3.4.2换底公式ppt课件高中数学必修一北师大版

例3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留 的质量约是原来的84%,估计约经过多少年，该物质的剩留量
是原来的一半（结果保留1个有效数字）.
解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y,则 经过1年，剩留量是y=0.84; 经过2年，剩留量是y=0.842; … … 经过x年，剩留量是y=0.84x; 依题意得 0.84x=0.5,
x = lo g 0 .8 4 0 .5 = ln 0 .5 ln 0 .8 4 ? 3 .9 8
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一 半.
1. 求值
(1) lo g 2 2 5 鬃 lo g 3 4 lo g 5 9 = _ _ _8 ____
5
( 2 ) ( lo g 4 3 + lo g 8 3 ) ( lo g 3 2 + lo g 9 2 ) = _ 4 __
计算：
解:
lo g 2
1 125
lo g 3
1 32
lo g 5
1 3
lo g 2
1 125
lo g 3
1 32
lo g 5
1 3
3 lo g 2 5 ( 5 lo g 3 2 ) ( lo g 5 3 )
3
lg 5 lg 2
(5)
lg 2 lg 3
(1)
(2)
真数中的指数放 于分子,底数中 的指数放于分母
lo g a b lo g b a 1
lo g
a
m
b
n

n m
lo g a b
例1.计算：
(1) lo g 9 2 7
( 2 ) lo g 8 9 lo g 2 7 3 2
解 ： (1) lo g 9 2 7 = lo g 3 2 7 lo g 3 9
lo g a b = lg b lg a
lo g
b
a
lg a lg b
互为倒数
思考2: lo g N 与 a
n
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lo g a N

有什么关系？
1 n log a N
log
a
n
N
lg N lg a
n
lg N n lg a
lo g
a
n
N
1 n
lo g a N
两个推论:
设 a,b>0且均不为1,则
2
5
2
1. 对数的换底公式
lo g b N lo g a N lo g a b ( a , b 0 , a , b 1, N 0 )
2. 两个重要推论
(1) lo g a b lo g b a 1
(2) lo g
a
m
b
n

n m
lo g a b
为你的终极目标而努力，你内在的意念是
4.2
换底公式
1.掌握对数的换底公式;（重点） 2.会利用对数的换底公式进行化简、求值.（难点、易混 点）
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
底数都相同
(1) lo g (2) lo g (3) lo g
a
a
( M N ) lo g
n
a
M lo g
a
N;
M a
M N
n lo g a M ( n R ).
a
= lo g
M - lo g
a
N;
问题1: 使用对数的运算法则运算
的前提条件是“同底”，如果底 不同怎么办？ 问题2: 科学计算器通常只能对常
用对数或自然对数进行计算，怎
么计算log215？
探究一: 设 x = log 2 15, 写成指数式，得 两边 取 对数 , 得
所以 x lg 1 5 lg 2
2 =15
x
lg 2
x
lg 1 5
探究二:
假设
lg 1 5 lg 2
x ,则 lg 1 5 x lg 2 lg 2 x
从而有
2
x
15
.
进一步可得到什么结论？
lg15 lg 2
x = log 2 15,即
= log 2 15
问题3:一般地，如果a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0，
lg 9 ?
=
3 2
;
(2)
lo g 8 9 ? lo g 2 7 3 2
lg 3 2
lg 8 lg 2 7
2 lg 3 5 lg 2 10 = g = ; 3 lg 2 3 lg 3 9
提升总结:
换底公式的应用：
1.化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题，利
用运算法则进行化简与求值； 2.求值：在实际问题中，把底数换成10或e,可利用计 算器或对数表得到结果。
外在事物成功的关键，专注在目标上，全
神贯注，你才会所向披靡。
a
x
?
x
lo g a b
换底公式
lo g b N lo g a N lo g a b ( a , b 0 , a , b 1, N 0 )
换底公式不难记， 一数等于两数比。 相对位置不改变， 新的底数可随意。
（非1的正数）
思考1: lo g a b 与 lo g b a 有什么关系？
那么
log c b log c a
与哪个对数相等？并给出证明.
lo g c b lo g c a = lo g a b
证明 :令
lo g c b lo g c a
= x ?
lo g c b
x
x lo g c a
?
?
lo g c b
lo g c b lo g c a
lo g c a
lo g a b
?
b
( 1)
lg 3 lg 5
15
例2：用科学计算器计算下列对数（精确到 0.001）： log248；log310；log8π ；log550；log1.0822. 解：log248≈5.585； log310≈2.096； log8π≈0.550； log550≈2.431；
log1.0822≈8.795.
2.利用换底公式证明：
lo g a b 鬃 lo g b c lo g c a = 1 .( a > 0 , b > 0 , c > 0 , a 构 1, b 1, c ? 1)
证明：
lg c lg a lo g a b 鬃 lo g b c lo g c a = 鬃 = 1 lg a lg b lg c
lg b
3.(2012·南昌高一检测)化简求值:
(lg 5) lg 2 lg 5 lg 20
2 4
(4) 125 2
2
6
(1
1 2
log 2 5)
解析：原式 lg 5 (lg 5 lg 2 ) lg 2 0 2 5 2 2 lo g
lg 5 lg 2 0 2 5 2 5