高中数学《简单旋转体》课件
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高中数学 1.1.1 简单旋转体课件 北师大版必修2
[答案] 2 3 2
第二十二页，共45页。
课堂典例讲练
第二十三页，共45页。
• 旋转体的有关(yǒuguān)概念
下列叙述正确的个数为( )
①以直角三角形一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台
③用平面去截圆柱、圆锥、圆台，得到的截面均为圆面
④用一平面截圆锥一定得到一个圆锥和一个圆台
设圆柱的底面圆半径为 r，则 r＝52 (cm)， 所以底面圆的周长为 l＝2πr＝5π(cm)．
第三十七页，共45页。
将圆柱沿母线 AD 剪开后平放在一个平面内，如图(2)所示， 则从 A 到 C 的最短距离即为图(2)中 AC 的长．
由于 AB＝2l ＝52π(cm)，BC＝AD＝5(cm)， 所以 AC＝ 254π2＋25＝52 π2＋4(cm)．故选 B.
• B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是 一个圆柱体
• C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 (yuántái)
• D．通过圆台(yuántái)侧面上一点，有无数条 母线
• [答案] C
第二十七页，共45页。
• [解析] A错，连接圆柱上、下底面圆周上两 点的线段不一定与轴平行．B错，当两个平行 平面与底面不平行时，截得的几何体不是(bù shi)圆柱体．D错，通过圆台侧面上一点，只 有一条母线，C正确．
相似的圆
第十一页，共45页。
圆台 延长线交于
等一腰梯点形(tīxíng)
全等的 ________
• 3.球 • (1)球和球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋
转一球周面所(qi成úm的iàn曲) 面叫______．球面所球围成的 几何体叫球体，简称_____． • 用集合球的面观(q点iúm来iàn描) 述，到定点(dìnɡ diǎn)的距 离等于定长的所有点的集合(轨迹)叫 ________．
第二十二页，共45页。
课堂典例讲练
第二十三页，共45页。
• 旋转体的有关(yǒuguān)概念
下列叙述正确的个数为( )
①以直角三角形一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台
③用平面去截圆柱、圆锥、圆台，得到的截面均为圆面
④用一平面截圆锥一定得到一个圆锥和一个圆台
设圆柱的底面圆半径为 r，则 r＝52 (cm)， 所以底面圆的周长为 l＝2πr＝5π(cm)．
第三十七页，共45页。
将圆柱沿母线 AD 剪开后平放在一个平面内，如图(2)所示， 则从 A 到 C 的最短距离即为图(2)中 AC 的长．
由于 AB＝2l ＝52π(cm)，BC＝AD＝5(cm)， 所以 AC＝ 254π2＋25＝52 π2＋4(cm)．故选 B.
• B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是 一个圆柱体
• C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 (yuántái)
• D．通过圆台(yuántái)侧面上一点，有无数条 母线
• [答案] C
第二十七页，共45页。
• [解析] A错，连接圆柱上、下底面圆周上两 点的线段不一定与轴平行．B错，当两个平行 平面与底面不平行时，截得的几何体不是(bù shi)圆柱体．D错，通过圆台侧面上一点，只 有一条母线，C正确．
相似的圆
第十一页，共45页。
圆台 延长线交于
等一腰梯点形(tīxíng)
全等的 ________
• 3.球 • (1)球和球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋
转一球周面所(qi成úm的iàn曲) 面叫______．球面所球围成的 几何体叫球体，简称_____． • 用集合球的面观(q点iúm来iàn描) 述，到定点(dìnɡ diǎn)的距 离等于定长的所有点的集合(轨迹)叫 ________．
简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台-高一数学课件(北师大版2019必修第二册)
492和4002，求这个球的半径．
解：如图所示为球的轴截面，
由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，
则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，
设球的半径为R cm，
因为π·O2B2＝49π，所以O2B＝7 cm.
同理π·O1A2＝400π，所以O1A＝20 cm.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
以_____的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成
的面所围成的几何体称为圆柱
直角边
以直角三角形的一条__________所在的直线为旋转轴，其余各边
旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆锥
垂直于底边的腰
以直角梯形_________________所在的直线为旋转轴，其余各边
旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆台
们的侧面，无论转到什公位置，这条边都称为侧面的母线.
②圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，圆台也可以看作是用平行于圆锥底面
的平面截这个圆锥而得到的.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
三、简单旋转体——圆锥、圆锥、圆台
(3)圆锥、圆锥、圆台的表示方法：
圆柱、圆维、圆台用表示它的旋转轴的字母来表示，如圆柱 、圆锥
教材P210练习
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P210练习
1，(1)√；(2)×；(3)×；(4)√.
2， ⊊ ⊊ ⊊ .
3，(1)圆锥；(2)半圆锥.
4，10 3.
5，5.
6，12.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：球中的计算
思考一：在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为
的相似比，构建相关几何变量的方程组而得解．
解：如图所示为球的轴截面，
由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，
则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，
设球的半径为R cm，
因为π·O2B2＝49π，所以O2B＝7 cm.
同理π·O1A2＝400π，所以O1A＝20 cm.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
以_____的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成
的面所围成的几何体称为圆柱
直角边
以直角三角形的一条__________所在的直线为旋转轴，其余各边
旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆锥
垂直于底边的腰
以直角梯形_________________所在的直线为旋转轴，其余各边
旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆台
们的侧面，无论转到什公位置，这条边都称为侧面的母线.
②圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，圆台也可以看作是用平行于圆锥底面
的平面截这个圆锥而得到的.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
三、简单旋转体——圆锥、圆锥、圆台
(3)圆锥、圆锥、圆台的表示方法：
圆柱、圆维、圆台用表示它的旋转轴的字母来表示，如圆柱 、圆锥
教材P210练习
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P210练习
1，(1)√；(2)×；(3)×；(4)√.
2， ⊊ ⊊ ⊊ .
3，(1)圆锥；(2)半圆锥.
4，10 3.
5，5.
6，12.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：球中的计算
思考一：在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为
的相似比，构建相关几何变量的方程组而得解．
高中数学《简单旋转体》课件
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
[解析] 本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念，关键理解它们的形成 过程．①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥才能得到一个圆锥和一个圆台； ②以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转一周可得到圆台；③、④显然都正确．
[答案] C
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
[解] 如图，设圆台的母线长为 y cm，截得的圆锥底面与原圆锥底面半 径分别是 x cm,4x cm，根据相似三角形的性质得
3＋3 y＝4xx，解此方程得 y＝9，因此，圆台的母线长为 9 cm.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
答案
类题通法 处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素 的关系，常利用相似三角形去寻找等量关系.
A．一个圆台和两个圆锥 B．两个圆台和一个圆锥 C．两个圆柱和一个圆锥 D．一个圆柱和两个圆锥
答案 D 解析 把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义 可知所得几何体．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
答案
解析
3．给出下列四个命题： ①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体； ②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ③通过圆台侧面上一点，有无数条母线． 其中正确命题的序号是________．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
解析
下底面面积为 16π，所以上底面半径为 1，下底面半径为 4，所以SSOO2＝14.设 SO＝x，则 SO2＝4x，从而 OO2＝3x.因为 OO1∶O1O2＝2∶1，所以 OO1＝2x， 则 SO1＝SO＋OO1＝3x.在△SBO1 中，1r＝SSOO1＝3xx，所以 r＝3，因此截面的 面积是 9π.
简单常用的旋转体PPT课件
O
底面 B
A O B 底面
母线 A
侧面 轴
O B 底面
第12页/共50页
A 母线
O B 轴 侧面
A O B 底面
S
轴
母线
侧面
A
O B 底面
圆柱、圆锥、圆台的定义
侧面
母线
轴
A O B 底面
侧面展开图扇环
分别以 矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰
所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分 别叫作圆柱、圆锥、圆台。
、 、 ；它们的表面积等于
矩
形 扇. 形 扇环形
侧面积
与底面面积之和
第28页/共50页
2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴
A
A
B
A
B
C
DB
CC
D
分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形.
矩形
等腰三角形
第29页/共50页
等腰梯形
知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积 (1)柱体的侧面积
第9页/共50页
旋转体
1、旋转面： 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转
所形成的曲面叫作旋转面 2、旋转体： 封闭的旋转面围成的几何体叫旋转体。
第10页/共50页
1、.图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
第11页/共50页
二、圆柱、圆锥、圆台
A 母线
O B
轴 母线
侧面
S 轴
侧面
A
（底面积S，高h）
V三棱锥
=
1 sh 3
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为 底面，可以用来求点到面的距离
简单常用的旋转体
sinBAC
= 4 3 (cm)
B
Rd
则可得
A
rE
d = R 2 - r 2 = 11(cm)
C
课堂练习
用一个平面截半径为25cm的球,截面面积 是49πcm2,求球心到截面的距离.
变式 已知球的半径为25cm,被两个平行平 面所截,两个截面的面积分别49πcm2 和225πcm2,求两个截面之间的距离.
直径
表面积、全面积和侧面积
表面积：立体图形的所能触摸到的面积之 和叫做它的表面积。（每个面的面积相加 ）
全面积 全面积是立体几何里的概念， 相对于截面积（“截面积”即切面的面积） 来说的，就是表面积总和
侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和 （除去底面）
1.几何体的表面积
各面面积
（1之）和圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是
= R2 - d 2 O
Rd rC
P
α
O1 A
O
令OA = R,O1A = r 则OO12 = R2 - r2
球面被经过球心的
平面所截得的圆叫
做大圆
o
球面被不经过球心
dO
的截点的球半径与 赤道面所成的角的度 数等于球半径和纬线 圈所在平面的半径的 夹角。
为l，那么 S圆柱侧＝
ch.（类比矩形的面积）
2πrl
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
r
l
长方形
宽＝ l
长＝ 2r
S 圆柱 =S 侧 长方 ＝ 2 形 rl
说明： 小圆半径r与球半 径R及纬度的关系
r =R × cosθ
Cr
A
高中数学北师大版必修二：1.1 简单旋转体 课件
思考探究
用一个平面截半径为25cm的球，截面面积是
225
c㎡,则球心到截面的距离
思考探究
用一个平面截半径为25cm的球，截面面积是
225
c㎡,则球心到截面的距离
20cm
垂径定理：球心到截面的距离d与 球的半径R及截面圆的半径r满足 勾股定理，即
25
A
O
d R r
2
2
O'
今日作业
1.1
简单旋转体·评价练习
祝同学们:
努力学习 天天向上
高
底面
想一想：
（1）圆柱、圆锥、圆台之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
想一想：
（2）用一个平面去截一个球,截面是什么? 圆面
O
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。
球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆。
想一想：
（3）圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别是什么图形？
小试牛刀
1.用一个平面去截一个几何体，各个截面都是
③连接圆柱上下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线； ④圆柱任意两条母线互相平行。
A.1 B.2 C.3 D.4
小试牛刀
5．将图1所示的三角形绕着直线l旋转一周，可以
得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（
B）
小试牛刀
6．图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（
A
）
课堂小结：
（1）知识小结：
（2）数学思想方法：
分组讨论，合作交流
（1)请同学们观察球、圆柱、圆锥、 圆台，分组讨论，总结概括出球、圆 柱、圆锥、圆台的定义、表示方法及 结构特征等。 (2)请各小组选代表上台交流。
1. 球
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.1 简单旋转体课件2
2、其中:把半圆的圆心叫做 球心。
3、连结球心与球面上的任 意一点的线段叫作球的半径。
A
半 4、连结球面上的任意
O
径 两点且过球心的线段叫 做球的直径。
直径
球心
B
球的表示方法： 用表示球心的字母表示，如球O。
定义2：球面也可以看作
O
空间上与定点（球心）
的距离等于定长（半径）
的所有点的集合（轨
迹）。
面叫做圆柱的底面。
（3）由平行于轴的边旋转而成
母 线
的曲面叫做圆柱的侧面。
（4）无论旋转到什么位置不垂 直于轴的边都叫做圆柱的母线。
2、表示：用表示它的轴的端点的两个 字母表示，如圆柱OO1。
底面
圆柱的结构特征 （1）底面是平行且半径相等的圆面. （2）侧面展开图是矩形面.（动画演示） （3）母线平行且相等. （4）平行于底面的截面是与底面平行且半径相等的圆面.
A.1条
B.2条
C.3条
D.无数条
S
A
圆台的定义1：把直角梯形绕着它的垂直于底边
的腰所在的直线在空间中旋转一周，则直角梯形 的其它三条边在旋转的过程中所形成的曲面围成 的几何体叫作圆台
圆台的定义2：用一个平行于圆锥底面 的平面去截圆锥,底面与截面之间的部 分是圆台.
O’
O
表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆台O′O.
记为：圆锥SO
B
O
A
思考：若以斜边为轴旋转，
所得的旋转体还是圆锥吗？ 动画演示
S 圆锥具有的几何结构特征
（1）底面是圆面. （2）侧面展开图是以母线长为半A径的扇形面 .（动画演示） （3）母线相交于顶点.
（4）平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等 的圆面. （5）轴截面是等腰三角形面．
高中数学 第一章 立体几何初步 1 简单旋转体 1.2 简单多面体课件高一数学课件
第十一页，共四十六页。
练一练 (3) 下面没有体对角பைடு நூலகம்的几何体是( )
A．三棱柱
B．四棱柱
C．五棱柱
D．六棱柱
答案：A
第十二页，共四十六页。
6．棱锥 有一个面是_多__边_形________，其余各面是有一个公共顶点的 __三_角_形________，这些面围成的几何体叫作棱锥．如果棱锥的底面 是_正__多_边_形__(z_hè_ng_d_uō_bi，ānxí且ng) 各侧面_全_等__________，就称作正棱锥．
第二十五页，共四十六页。
是( )
观察图中的四个几何体，其中判断正确的
A．①是棱台 C．③是棱锥
B．②是圆台 D．④不是棱柱
第二十六页，共四十六页。
解析：①各侧棱延长后不能交于一点，A 错；②两底面不平 行，B 错；C 正确；④是以前后两面为底面的棱柱，D 错．
答案：C
第二十七页，共四十六页。
如图 所 示为长 方 体 ABCD － A′B′C′D′ ，当用 平 面 BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱 柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．
答案：D
第四十一页，共四十六页。
4．关于棱台，下列说法正确的是( ) A．两底面可以不相似 B．侧面都是全等的梯形 C．侧棱长一定相等 D．侧面一定是梯形 答案：D
第四十二页，共四十六页。
5．观察如图所示的四个几何体，其中判断错误的是( )
A．①是棱柱 C．③不是棱锥
B．②不是棱锥 D．④是棱台
第四十页，共四十六页。
解析：多面体至少应有四个顶点组成(否则至多 3 个顶点，而 3 个顶点只围成一个平面图形)，而四个顶点围成四个面，所以 A 正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边 形的边数相等，所以 B 正确；长方体、正方体都是棱柱，所以 C 正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以 D 错误， 故选 D.
练一练 (3) 下面没有体对角பைடு நூலகம்的几何体是( )
A．三棱柱
B．四棱柱
C．五棱柱
D．六棱柱
答案：A
第十二页，共四十六页。
6．棱锥 有一个面是_多__边_形________，其余各面是有一个公共顶点的 __三_角_形________，这些面围成的几何体叫作棱锥．如果棱锥的底面 是_正__多_边_形__(z_hè_ng_d_uō_bi，ānxí且ng) 各侧面_全_等__________，就称作正棱锥．
第二十五页，共四十六页。
是( )
观察图中的四个几何体，其中判断正确的
A．①是棱台 C．③是棱锥
B．②是圆台 D．④不是棱柱
第二十六页，共四十六页。
解析：①各侧棱延长后不能交于一点，A 错；②两底面不平 行，B 错；C 正确；④是以前后两面为底面的棱柱，D 错．
答案：C
第二十七页，共四十六页。
如图 所 示为长 方 体 ABCD － A′B′C′D′ ，当用 平 面 BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱 柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．
答案：D
第四十一页，共四十六页。
4．关于棱台，下列说法正确的是( ) A．两底面可以不相似 B．侧面都是全等的梯形 C．侧棱长一定相等 D．侧面一定是梯形 答案：D
第四十二页，共四十六页。
5．观察如图所示的四个几何体，其中判断错误的是( )
A．①是棱柱 C．③不是棱锥
B．②不是棱锥 D．④是棱台
第四十页，共四十六页。
解析：多面体至少应有四个顶点组成(否则至多 3 个顶点，而 3 个顶点只围成一个平面图形)，而四个顶点围成四个面，所以 A 正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边 形的边数相等，所以 B 正确；长方体、正方体都是棱柱，所以 C 正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以 D 错误， 故选 D.
新教材北师大版第6章1.3简单旋转体球圆柱圆锥和圆台课件(43张)
称为球体，简称球
几何体分别称为圆柱、圆锥、圆台
(1)在旋转轴上的这条边的长度称为它们
(1) 半 圆 的 圆 心 称
的高；
为 球心 ，连接球心和
相
(2)垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称
球面上任意一点的线
关
为它们的底面；
段称为球的半径；
概
(3)不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面
(2)连接球面上两点并
念
称为它们的侧面；
且过球心的线段称为
无论转到什么位置，这条边都称为侧面的
球的直径锥、圆台用表示它的旋转轴
示 球用表示它球心的字母来 的字母来表示，如圆柱O1O、圆锥
表示，如球O
SO、圆台O1O
(1)球面上所有的点到球心的距离都 (1)平行于圆柱、圆锥、圆
等于球的半径；
台的底面的截面都是圆；
性 (2)用任何一个平面去截球面，得到 (2)过圆柱、圆锥、圆台旋
提示：不一定．圆柱的母线与轴是平行的． 2．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？ 提示：不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面 及其内部．
1．如图所示的图形中有( ) A．圆柱、圆锥、圆台和球 B．圆柱、球和圆锥 C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球 B [根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4) 不是圆台，故应选B．]
4 3 [如图所示，由题意知，北纬30°所在小
圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝6，其中
∠ABO＝30°，所以该地球仪的半径R＝
6 cos 30°
＝
4 3 cm.]
旋转体的有关计算
[探究问题] 1. 圆柱的底面半径和高分别是r，h，其侧面展开图是什么(指出 其尺寸)? 提示：圆柱的侧面是矩形，两边长分别为h和2πr.
高中数学必修课件第一章简单旋转体
知数表 示球的半径和截面高度，再利 用球冠面积和体积公式计算被 截去部分的表面积和体积，接 着计算半球的表面积和体积， 最后根据组合方式计算组合体 的表面积和体积。
06
简单旋转体在实际生活中应用
建筑设计领域应用
1
圆柱体
在建筑中，圆柱体常被用作支撑结构， 如桥墩、建筑立柱等。它们承受压力并 将其分散到基础上，确保建筑的稳定性 。
01
例题1
一个圆柱和一个圆锥底面半径 相等且共轴，圆柱的高是圆锥 的高的$frac{2}{3}$，求它们 的组合体的表面积和体积。
02
解析
先根据题目条件设定未知数表 示底面半径和高，再分别计算 圆柱和圆锥的侧面积、底面积 和体积，最后根据组合方式计 算组合体的表面积和体积。
03
例题2
一个球被一个平面截去一部分 ，剩余部分与半球拼接成一个 新的组合体，求该组合体的表 面积和体积。
性质
圆锥的轴截面都是等腰三角形；圆锥的母线都相等；圆锥的 顶点到底面圆的每一距离都相等；圆锥的顶点、底面圆心和 底面任意一点的连线都构成等腰三角形，且这些等腰三角形 都全等。
圆锥体表面积与体积公式
表面积公式
S=πr^2+πrl（其中，r为底面半径，l 为母线长）。
体积公式
V=(1/3)πr^2h（其中，r为底面半径 ，h为高）。
解析
设圆柱体的底面半径为$r$，高为$h$，根据 题意得$2pi rh = 6pi r^{2}$，解得$h=3r$ ；侧面展开图是一个矩形，其长为底面圆周 长$2pi r$，宽为高$h=3r$，所以侧面展开 图与底面圆周长之比为$3:1$。
03
圆锥体
圆锥体定义与性质
定义
圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何 图形叫圆锥。
06
简单旋转体在实际生活中应用
建筑设计领域应用
1
圆柱体
在建筑中，圆柱体常被用作支撑结构， 如桥墩、建筑立柱等。它们承受压力并 将其分散到基础上，确保建筑的稳定性 。
01
例题1
一个圆柱和一个圆锥底面半径 相等且共轴，圆柱的高是圆锥 的高的$frac{2}{3}$，求它们 的组合体的表面积和体积。
02
解析
先根据题目条件设定未知数表 示底面半径和高，再分别计算 圆柱和圆锥的侧面积、底面积 和体积，最后根据组合方式计 算组合体的表面积和体积。
03
例题2
一个球被一个平面截去一部分 ，剩余部分与半球拼接成一个 新的组合体，求该组合体的表 面积和体积。
性质
圆锥的轴截面都是等腰三角形；圆锥的母线都相等；圆锥的 顶点到底面圆的每一距离都相等；圆锥的顶点、底面圆心和 底面任意一点的连线都构成等腰三角形，且这些等腰三角形 都全等。
圆锥体表面积与体积公式
表面积公式
S=πr^2+πrl（其中，r为底面半径，l 为母线长）。
体积公式
V=(1/3)πr^2h（其中，r为底面半径 ，h为高）。
解析
设圆柱体的底面半径为$r$，高为$h$，根据 题意得$2pi rh = 6pi r^{2}$，解得$h=3r$ ；侧面展开图是一个矩形，其长为底面圆周 长$2pi r$，宽为高$h=3r$，所以侧面展开 图与底面圆周长之比为$3:1$。
03
圆锥体
圆锥体定义与性质
定义
圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何 图形叫圆锥。
高中教育数学必修第二册《6.1.3 简单的旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台》教学课件
变式探究 若例 2 中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行 的最短距离是多少？
解析：可把圆柱展开两次，如图，则 AB′即为所求，AB＝2，BB′ ＝2×2π×1＝4π，
∴AB′＝ AB2＋BB′2＝ 4＋16π2＝2 1＋4π2. 所以蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋4π2.
状元随笔 解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么 样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧 面展开图：
5.球的直径：
连接球面上两点且过__球__心____的线段．
6．球的性质： (1)球面上所有的点到__球__心____的距离都等于球的半径； (2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是___圆_____，其中 __过__球_心 ___的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径．
状元随笔 球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成 的空间，而球面只指球的表面部分．
易错警示
易错原因
纠错心得
在以边 CD、AB 为边所在直线旋转 画由平面图形旋转得到的旋转体
得到的几何体时，想象不出几何体 时要注意明确得到的旋转体的结
的形状，导致画不出几何体
构特征，以防画不出旋转体
要点二 旋转体 1．旋转面： 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一__条__定__直__线__旋转一周所形成 的曲面． 2．旋转体： __封__闭____的旋转面围成的几何体．
要点三 圆柱、圆锥、圆台
名称
定义
圆柱
以矩__形__的__边__所在直线为旋转轴，其余各边 旋转一周而形成的所围成的几何体
以_直__角__三_角__形__的__一__条__直__角__边_____所在的直 圆锥 线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的
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[变式训练2] 下列命题中： ①圆台的母线有无数条，且它们长度相同；②圆台的母线延长后一定相 交于一点；③圆台可以看作直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴， 其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；④圆绕其直径所在直线旋转半周形 成的曲面围成的几何体是球．正确命题的序号是________．
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④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③
D．②④
提示：D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确， ①③错误．
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[解析] 球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正 确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错 误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误； 空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所 以④错误．
[答案] ①
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类题通法 透析球的概念
(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组 成的几何体，球体与球面是两个不同的概念，用一个平面截球得到的是圆面 而不是圆．
(2)根据球的定义，篮球、排球等虽然它们的名字中都有一个“球”字， 但它们都是空心的，不符合球的定义．
答案 ①②③④
解析 由圆台与球的定义可知①②③④都对.
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解析
例 3 如下图，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上 下底面半径的比是 1∶4，截去的圆锥的母线长是 3 cm，求圆台的母线长．
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[变式训练1] 下列命题： ①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
②球面上任意三点可能在一条直线上；
③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面．
其中正确的命题序号为________． 答案 ③
解析 ①中作球的截面，在截面圆周上任取四点，则这四点在同一平面
内，所以①错；②球面上任意三点一定不能共线，所以②错；③由球的定义
可知③正确.
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例 2 下列命题： ①用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱的任意两条母线平行； ④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周 形成的曲面围成的几何体叫圆锥． 其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3
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例 1 有下列说法： ①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体； ②球的直径是球面上任意两点间的连线； ③用一个平面截一个球，得到的是一个圆； ④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球． 其中正确的序号是________．
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[解] 如图，设圆台的母线长为 y cm，截得的圆锥底面与原圆锥底面半 径分别是 x cm,4x cm，根据相似三角形的性质得
3＋3 y＝4xx，解此方程得 y＝9，因此，圆台的母线长为 9 cm.
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答案
类题通法 处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素 的关系，常利用相似三角形去寻找等量关系.
1.1 简单旋转体
[学习目标] 1.通过实物操作，增强直观感知． 2.能根据几何结构特征 对空间物体进行分类． 3.会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征． 4. 会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类.
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几种简单旋转体
【主干自填】
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提示
2．用一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是
() A．圆柱
B．圆锥
C．球
D．圆台
提示：C 由球的性质可知，用平面截球所得截面都是圆面．
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提示
3．给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母 线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母 线；
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[变式训练3] 圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是 3，则圆锥的高 与母线的长分别为________．
答案 3，2
解析 设正三角形的边长为 a，则 43a2＝ 3，∴a＝2.由于圆锥的高即为 圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为 23a＝ 3，圆锥的母线即为圆锥 的轴截面正三角形的边，所以母线长为 2.
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解析
答案
类题通法 透析几种旋转体的概念
解决此类问题一般是利用有关旋转体的定义，所以必须对各种旋转体的 概念在理解的基础上熟记．
圆柱、圆锥、圆台它们都是由平面图形旋转得到的，圆柱和圆台有两个 底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆面，圆台的两个底面是半径不等的圆 面，圆锥只有一个底面．
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)铅球和乒乓球都是球吗？
提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓 球是空心球，不符合球的定义．
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提示
(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆吗？ 提示：它们的底面都不是圆，而是圆面．
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[解析] 本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念，关键理解它们的形成 过程．①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥才能得到一个圆锥和一个圆台； ②以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转一周可得到圆台；③、④显然都正确．
[答案] C
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