2020年东北三省四市高三二模考试理科数学试卷 (含答案 )
2020年东北三省四市暨沈阳市高考数学二模试卷(理科) (解析版)
2020年东北三省四市暨沈阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}，B ＝{x |﹣4＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．B ＝{x |﹣2≤x ＜2} B ．B ＝{x |﹣4＜x ≤2}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}2．已知复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）（a ∈R ）的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1 B ．﹣i C ．1 D ．i3．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．√2C ．1D ．124．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A 1B 1＝A 0B 0﹣B 0B 1，A 2B 2＝A 1B 1﹣B 1B 2，A 3B 3＝A 2B 2﹣B 2B 3，…，A n B n ＝A n ﹣1B n ﹣1﹣B n ﹣1B n ，其中B n ﹣1B n ═…＝B 2B 3＝B 1B 2＝B 0B 1，n ∈N*．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A 0B 0＝8m ，B 0B 1＝0.5m ，则这五层正六边形的周长总和为（ ）A ．35mB ．45mC ．210mD ．270m5．已知直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题： ①若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ②若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β； ③若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ④若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α．其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为（ ） A ．√55B ．√105C ．√1515D ．2√5157．函数f （x ）＝cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位B ．向左平移2π3个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向右平移2π3个单位8．某一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）学段 内容主题 第一学段（1﹣3年级） 第二阶段（4﹣6年级） 第三学段（7﹣9年级） 合计数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计4565150260A ．除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B ．在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占4%C ．第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D ．“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长9．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有[f （x 2）﹣f （x 1）]（x 2﹣x 1）＜0，则（ ） A ．f （0.3﹣1）＜f （2﹣0.3）＜f （log 20.2） B ．f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）＜f （0.3﹣1） C ．f （log 20.2）＜f （0.3﹣1）＜f （2﹣0.3） D ．f （0.3﹣1）＜f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）10．给定两个长度为2的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，则CB →•CA →的最小值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．211．若数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2），若使不等式|a n |≤λ成立的a n有且只有三项，则λ的取值范围为（ ） A ．[133，353） B ．（133，353] C ．[353，613） D ．（353，613]12．设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．34C ．57D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．二项式（a √x −1√x）6的展开式中，常数项与第五项的系数之比为﹣4，则a 的值为 ．14．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为 ．15．已知函数f （x ）满足f （x2）＝x 3﹣2x ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为 ．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝2，△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE＝1，则此四棱锥的外接球的表面积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．（Ⅰ）求tan A的值；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求tan B tan C的最小值．18．随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）．参考附表：P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．19．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥DC，BC＝CD＝1，AD＝2，PA＝PD，E为PC中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点，PA∥平面BEF．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）若PC与底面ABCD所成的角为60°．求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．20．已知点A （0，2），B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）A 关于y ＝x 的对称点为D ，是否存在斜率为12的直线1交曲线E 于M ，N 两点，使得△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出△MDN 的面积；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝mlnx ，g （x ）=x−1x（x ＞0）． （Ⅰ）讨论函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）判断当m ＝e 时．y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象公切线的条数，并说明理由． 选考题：共10分，请考生在22.23题中任选--题作答，如果多做则按所做的第-题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，直线l 的参数方程为{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点点M 和点N 为直线1上的点，且|MN |＝2，求△PMN 面积的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|． （Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}，B ＝{x |﹣4＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．B ＝{x |﹣2≤x ＜2} B ．B ＝{x |﹣4＜x ≤2}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】先求出集合A ，再利用集合交集的运算即可算出结果． 解：集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∩B ＝{﹣2，﹣1，0，1}， 故选：D ．2．已知复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）（a ∈R ）的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．﹣iC ．1D ．i【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出． 解：因为复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）＝（a +2）+（1﹣2a ）i ； ∴a +2＝3⇒a ＝1；∴z 的虚部为：1﹣2a ＝﹣1． 故选：A ． 3．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．√2C ．1D ．12【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．解：由题得：其焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）．渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0， 所以焦点到其渐近线的距离d =2=√2． 故选：B ．4．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A 1B 1＝A 0B 0﹣B 0B 1，A 2B 2＝A 1B 1﹣B 1B 2，A 3B 3＝A 2B 2﹣B 2B 3，…，A nB n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N*．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0＝8m，B0B1＝0.5m，则这五层正六边形的周长总和为（）A．35m B．45m C．210m D．270m【分析】根据A n B n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，可知{A n B n}是首项为8，公差为﹣0.5的等差数列，所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和，问题可解．解：根据A n B n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，可知{A n B n}是首项为8，公差为﹣0.5的等差数列．、所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和的6倍．所以S=6S5=6[5×8+5×42×(−12)]=210（m）故选：C．5．已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；②若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用求出正确的结果．解：已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m ⊥α，m ∥β，则在β内，作n ∥m ，所以n ⊥α，由于n ⊂α，则α⊥β，故正确； ②若m ⊥α，m ∥n ，所以n ⊥α，由于n ⊂β，则α⊥β；故正确． ③若n ⊥α，n ⊥β，所以α∥β，由于m ⊥α，则m ⊥β；故正确． ④若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α也可能n ⊂α内，故错误． 故选：C ．6．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为（ ） A ．√55B ．√105C ．√1515D ．2√515【分析】建立空间直角坐标系，分别求出两条异面直线对应的向量坐标，套用向量夹角公式计算即可．解：据题意，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则：D （0，0，0），O （1，1，0），B 1（2，2，2），M （1，0，2），N （0，2，1）， ∴B 1M →=(−1，−2，0)，ON →=(−1，1，1)， 设异面直线B 1M 与ON 所成角为θ，则cosθ=|B 1M →⋅ON →|B 1M →||ON →||=5×3=√1515． 故选：C ．7．函数f （x ）＝cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位B ．向左平移2π3个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向右平移2π3个单位【分析】利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的平移性质求出平移后的解析式，利用三角函数是奇函数建立条件关系进行求解即可． 解：f （x ）＝2（12cos x2−√32sin x2）＝2cos （x2+π3），将函数f （x ）向左平移φ的单位，得到y ＝2cos[12（x +φ）+π3]＝2cos （12x +12φ+π3），若f （x ）是奇函数，则12φ+π3=k π+π2，即φ＝2k π+π3，k ∈Z ，当k ＝0时，φ=π3，即可以将函数f （x ）的图象向左平移π3个单位，即可，故选：A ．8．某一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）学段 内容主题 第一学段（1﹣3年级） 第二阶段（4﹣6年级） 第三学段（7﹣9年级） 合计数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计4565150260A ．除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B ．在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占4%C．第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D．“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长【分析】从等高条形图看比例大体变化趋势，利用表格计算条目数的相关数据，逐项进行判断即可．解：（1）对于A，结合表格可知，除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的8725≈3.5倍，故A对．（2）对于B，由表格可知：“图形与几何”内容最多，占130260=50%，“综合与实践”内容最少，占10260≈4%，故B对．（3）对于C，分析表格可知，第一、二学段“数与代数”内容分别是21，28，数目最多，第三学段“图形与几何”内容为87，最多．故C对．（4）对于D，图形与几何的第一学段到第二学段百分比是减少的，故D错．故选：D．9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0，则（）A．f（0.3﹣1）＜f（2﹣0.3）＜f（log20.2）B．f（log20.2）＜f（2﹣0.3）＜f（0.3﹣1）C．f（log20.2）＜f（0.3﹣1）＜f（2﹣0.3）D．f（0.3﹣1）＜f（log20.2）＜f（2﹣0.3）【分析】根据题意，由单调性的定义分析可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合偶函数的性质可得f（log20.2）＝f（﹣log20.2）＝f（log25），由指数的性质可得2﹣0.3＜20＝1＜log25＜3＜103=0.3﹣1，据此分析可得答案．解：根据题意，对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，又由f（x）为偶函数，则f（log20.2）＝f（﹣log20.2）＝f（log25），又由2﹣0.3＜20＝1＜log25＜3＜103=0.3﹣1，则有f （0.3﹣1）＜f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）；故选：D ．10．给定两个长度为2的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，则CB →•CA →的最小值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．2【分析】根据题意，建立坐标系，求出A ，B 点的坐标，并设∠AOC ＝α，则向量OC →=（2cos α，2sin α），求出向量的数量积，结合角的范围即可求解． 解：建立如图所示的坐标系，则A （2，0），B （2cos120°，2sin120°）即B （﹣1，√3）， 设∠AOC ＝α，α∈[0°，120°]； 则OC →=（2cos α，2sin α）．∴CB →•CA →=（﹣1﹣2cos α，√3−2sin α）•（2﹣2cos α，﹣2sin α） ＝（﹣1﹣2cos α）×（2﹣2cos α）+（√3−2sin α）•（﹣2sin α） ＝2﹣2cos α﹣2√3sin α＝2﹣4sin （α+30°）； ∵α∈[0°，120°]；∴α+30°∈[30°，150°]⇒sin （α+30°）∈[12，1]；∴当sin （α+30°）＝1即α＝60°时，CB →•CA →取最小值为2﹣4×1＝﹣2； 故选：B ．11．若数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2），若使不等式|a n |≤λ成立的a n有且只有三项，则λ的取值范围为（ ）A ．[133，353） B ．（133，353] C ．[353，613） D ．（353，613]【分析】首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用不等式的应用求出参数的取值范围．解：数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2）， 所以：a n −a n−1=(−2)n−1， …，a 2−a 1=(−2)2，所以将上面（n ﹣1）个式子相加得到：a n −a 1=4[1−(−2)n−1]1−(−2)，整理得：a n =1−(−2)n+13．所以a 1=|1−43|=13，a 2=|1+83|=113，a 3=|1−163|=133，a 4=|1+323|=353，易知：|a n |＜|a n +1|，若不等式|a n |≤λ成立的a n 有且只有三项， 则：λ的取值范围为[133，353)．故选：A ．12．设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．34C ．57D ．23【分析】由题意画出图形，由|PF 2|＝2c ，|PF 1|=43|QF 1|，利用椭圆的定义可得：|PF 1|＝2a ﹣2c ，进一步求出|QF 1|，|QF 2|，在等腰△PF 1F 2中，求得得cos ∠PF 1F 2．在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2，利用cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，化简求得5a ＝7c ，则答案可求．解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， ∵|PF 2|＝2c ，则|PF 1|＝2a ﹣2c ． ∵|PF 1|=43|QF 1|，∴|QF 1|=34（2a ﹣2c ）=32（a ﹣c ）， 则|QF 2|＝2a −32（a ﹣c ）=a 2+32c ，在等腰△PF 1F 2中，可得cos ∠PF 1F 2=12|PF 1||F 1F 2|=a−c 2c． 在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2=94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)，由cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，得a−c 2c+94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)=0，整理得：5a−7c 6c=0，∴5a ＝7c ，∴e =c a =57． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．二项式（a √x x）6的展开式中，常数项与第五项的系数之比为﹣4，则a 的值为 3 ． 【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式，求得a 的值． 解：∵二项式（a √x √x）6的展开式中，通项公式为 T r +1=C 6r •a 6﹣r •（﹣1）r •x 3﹣r ． 令3﹣r ＝0，求得r ＝3，可得常数项为﹣20a 3；令r ＝4，可得第五项为C 64•a 2＝15a 2．∵常数项与第五项的系数之比为﹣4，即 −20a 315a 2=−4，则a ＝3，故答案为：3．14．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为 0.976 ．【分析】由题意利用相互独立事件的概率计算公式，事件和它的对立事件概率间的关系，求得结果．解：∵甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次， 则他们都没有投中的概率为（1﹣0.8）（1﹣0.7）（1﹣0.6）＝0.024， 则至少一人命中的概率为1﹣0.024＝0976，故答案为：0.976．15．已知函数f （x ）满足f （x2）＝x 3﹣2x ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为 20x ﹣y ﹣16＝0． ．【分析】先利用换元法求出f （x ）的解析式，然后再求出f （x ）的导数，求出切点处的函数值，导数值，最后利用点斜式求出切线方程． 解：令t =x2，则x ＝2t ，所以f （t ）＝8t 3﹣4t ， 即f （x ）＝8x 3﹣4x ，∴f ′（x ）＝24x 2﹣4．∴f （1）＝4，f ′（1）＝20，故切线方程为：y ﹣4＝20（x ﹣1），即20x ﹣y ﹣16＝0． 故答案为：20x ﹣y ﹣16＝0．16．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AB ＝2，△PAD 为等边三角形，线段BC 的中点为E ，若PE ＝1，则此四棱锥的外接球的表面积为28π3．【分析】取AD 的中点F ，连接EF ，PF ，由题意可得三角形PEF 为直角三角形，求出四棱锥的高，及底面外接圆的圆心到P 在底面的投影的距离，设正方形ABCD 的中心为M ，过M 做MO 垂直于底面，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上，分别在两个直角三角形中求出外接球的半径与直角边的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．解：取AD 的中点F ，连接EF ，PF ，因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，△PAD 为等边三角形，所以PF =√3，EF ＝2，又PE ＝1，所以PF ⊥PE ，设正方形ABCD 的对角线的交点M ，过P 做底面的投影N ，则由题意可得N 在EF 上，由射影定理可得NE =PE 2EF =12，而ME ＝1，所以MN =12，PN =√PE 2−HE 2=√32，MB =12BD =2√22=√2， 过M 做底面的垂线MO ，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上， 设O 为外接球的球心，设球的半径为R ，则OP ＝OB ＝R ，过O 做OH ⊥PN 于H ，则四边形OMNH 为矩形，所以OH ＝MN =12，HN ＝OM ， （i ）若球心在四棱锥的内部则可得：在△OPH 中，OP 2＝OH 2+（PN ﹣HN ）2，即R 2＝（12）2+（√32−OM ）2，①在△OBM 中，OB 2＝BM 2+OM 2，即R 2＝（√2）2+OM 2，②由①②可得OM =−√33，不符合，故舍去．（ii ）若球心在四棱锥的外部则可得：在△OPH 中，OP 2＝OH 2+（PN +HN ）2，即R 2＝（12）2+（√32+OM ）2，③在△OBM 中，OB 2＝BM 2+OM 2，即R 2＝（√2）2+OM 2，④ 由③④可得R 2=73，所以四棱锥的外接球的表面积S ＝4πR 2=28π3． 综上所述四棱锥的外接球的表面积S ＝4πR 2=28π3． 故答案为：28π3．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5（sin 2B +sin 2C ）＝8sin B sin C +5sin 2A ． （Ⅰ）求tan A 的值；（Ⅱ）若△ABC 为锐角三角形，求tan B tan C 的最小值．【分析】（I ）5（sin 2B +sin 2C ）＝8sin B sin C +5sin 2A ．由正弦定理可得：5（b 2+c 2）＝8bc +5a 2，可得：b 2+c 2﹣a 2=85bc ，再利用余弦定理即可得出． （II ）由tan （B +C ）=tanB+tanC 1−tanAtanC =−tan A =−34，可得4tan B +4tan C ﹣3tan B tan C +3＝0，利用基本不等式的性质即可得出．解：（I ）5（sin 2B +sin 2C ）＝8sin B sin C +5sin 2A ．由正弦定理可得：5（b 2+c 2）＝8bc +5a 2，可得：b 2+c 2﹣a 2=85bc ，∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =45，A ∈(0，π2)，∴sin A =√1−cos 2A =35，则tan A =34． （II ）由tan （B +C ）=tanB+tanC 1−tanAtanC =−tan A =−34，∴4tan B +4tan C ﹣3tan B tan C +3＝0， ∵tan B ＞0，tan C ＞0，由均值不等式可得：4tan B +4tan C ＝3tan B tan C ﹣3≥2√4tanB ⋅4tanC ，当且仅当tan B ＝tan C ＝3时取等号． 解得tan B tan C ≥9． ∴tan B tan C 的最小值为9．18．随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀 成绩不够优秀总计 选修生涯规划课 15 10 25 不选修生涯规划课6 19 25 总计212950（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）． 参考附表： P （K 2≥k ）0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 【分析】（Ⅰ）根据K 2的公式计算出观测值，并与附表中的参考值进行对比即可作出判断；（Ⅱ）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为35，成绩够不优秀的概率为25，而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，最后根据二项分布的性质求数学期望即可．解：（Ⅰ）由题意知，K 2=50×(15×19−6×10)221×29×25×25≈6.650＞6.635，∴有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“． （Ⅱ）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为1525=35，成绩够不优秀的概率为1−35=25，而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ＝0）=C 30⋅(25)0⋅(35)3=27125， P （ξ＝1）=C 31⋅(25)1⋅(35)2=54125，P （ξ＝2）=C 32⋅(25)2⋅(35)1=36125， P （ξ＝3）=C 33⋅(25)3⋅(35)0=8125．∴ξ的分布列为ξ 0 123P2712554125361258125∵ξ～B （3，25），∴E （ξ）＝3×25=65． 19．四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，AD ⊥DC ，BC ＝CD ＝1，AD ＝2，PA ＝PD ，E 为PC 中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，F 为AD 上一点，PA ∥平面BEF ． （Ⅰ）求证：平面BEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若PC 与底面ABCD 所成的角为60°．求二面角E ﹣BF ﹣A 的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接AC 交BE 与G ，连接EG ，由已知结合线面平行的性质可得PA ∥EG ，再由E 为PC 的中点，得G 为AC 的中点，则△AFG ≌△BCG ，得到AF ＝BC =12AD ＝1，即F 为AD 的中点，可得四边形DCBF 为平行四边形，再由AD ⊥DC ，得BF ⊥AD ，可得BF ⊥平面PAD ，进一步得到平面BEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）连接PF ，证明PF ⊥底面ABCD ，又BF ⊥AD ，以F 为坐标原点，分别以FA ，FB ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设P （0，0，t ），由PC 与底面ABCD 所成的角为60°求解t ，然后分别求出平面ABF 与EBF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E ﹣BF ﹣A 的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：连接AC 交BE 与G ，连接EG ，∵PA ∥平面BEF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面BEF ＝EG ，∴PA ∥EG ， 又E 为PC 的中点，∴G 为AC 的中点，则△AFG ≌△BCG ， 得AF ＝BC =12AD ＝1． ∴F 为AD 的中点，∵BC ∥FD ，且BC ＝FD ，∴四边形DCBF 为平行四边形， ∵AD ⊥DC ，∴BF ⊥AD ，又BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）解：连接PF ，∵PA ＝PD ，F 为AD 的中点，∴PF ⊥AD ，又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥底面ABCD ，又BF ⊥AD ，以F 为坐标原点，分别以FA ，FB ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设P （0，0，t ），C （﹣1，1，0），取平面ABCD 的法向量n 1→=(0，0，1)，PC →=(−1，1，−t)，B （0，1，0）， ∴sin60°＝|n 1→⋅PC→|n 1→|⋅|PC →|，即√t 2+2=√32，解得t =√6． 设平面EBF 的法向量为n 2→=(x ，y ，z)，由{n 2→⋅FE →=−12x +12y +√62z =0n 2→⋅FB →=y =0，令z ＝1，得n 2→=(√6，0，1)．设二面角E ﹣BF ﹣A 的平面角为θ，则|cos θ|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√77，又θ为钝角，∴cos θ=−√77．即二面角E ﹣BF ﹣A 的余弦值为−√77．20．已知点A （0，2），B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）A 关于y ＝x 的对称点为D ，是否存在斜率为12的直线1交曲线E 于M ，N 两点，使得△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出△MDN 的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设C 的坐标，可得AC 的中点B 的坐标，由B 在抛物线x 2＝2y ﹣2上可得E 的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得MN 的中点P 的坐标，由△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形可得PD ⊥l ，所以可得k DP •k l ＝﹣1，求出直线l 的方程，及弦长|MN |及|DP |的值，代入面积公式求出面积 解：（Ⅰ）设C （x ，y ），B （m ，n ）， B 是AC 的中点，则{m =x2n =y+22，因为B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上，所以m 2＝2n ﹣2， 即x 24=2⋅2+y2−2， 所以x 2＝4y ，故曲线E 的方程为：x 2＝4y ；（Ⅱ）由题意得D（2，0），设直线l：y=12x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），将l的方程代入x2＝4y得x2﹣2x﹣4t＝0（*），所以x1+x2＝2，x1x2＝﹣4t，△＝4+16t＞0，所以M，N的中点P（1，12+t），因为k DP•k l＝﹣1，所以12+t1−2⋅12=−1，所以t=32符合△＞0，所以直线l存在，所以（*）化为x2﹣2x﹣6＝0，x1+x2＝2，x1x2＝﹣6，所以：|MN|=√1+14√4+24=√35|DP|=√5，所以S△MND=12×√35×√5=52√7．21．已知函数f（x）＝mlnx，g（x）=x−1x（x＞0）．（Ⅰ）讨论函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）判断当m＝e时．y＝f（x）与y＝g（x）的图象公切线的条数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）求出导函数F'（x），对m的值分情况讨论，分别利用导函数F'（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调性；（Ⅱ）先利用导数的几何意义分别求出函数f（x）＝elnx在点（a，elna）处的切线方程和函数g（x）=x−1x在点（b，1−1b）处的切线方程，判断y＝f（x）与y＝g（x）的图象公切线的条数，只须判断关于b的方程2elnb+2b−1=0在（0，+∞）上解的个数，令h（x）＝2elnx+2x−1 （x＞0），利用导数得到方程h（x）＝0在（0，1e）及（1e，+∞）上各有一个根，即y＝f（x）与y＝g（x）的图象有两条公切线．解：（Ⅰ）由题意可知：F（x）＝f（x）﹣g（x）＝mlnx−x−1x，x∈（0，+∞），则F'（x）=mx−1x2=mx−1x2，1°当m≤0时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；2°当m＞0时，由F'（x）＜0得：0＜x＜1m，由F'（x）＞0得：x＞1m，∴函数F （x ）在（0，1m ）上单调递减，在（1m ，+∞）上单调递增， 综上所求：当m ≤0时，函数F （x ）在（0，+∞） 上单调递减；当m ＞0时，函数F （x ）在（0，1m ）上单调递减，在（1m ，+∞）上单调递增； （Ⅱ）函数f （x ）＝elnx 在点（a ，elna ）处的切线方程为y ﹣elna =e a (x −a)，即y =e a x +elna −e ，函数g （x ）=x−1x =1−1x 在点（b ，1−1b ）处的切线方程为y ﹣（1−1b ）=1b 2（x ﹣b ），即y =1b 2x −2b +1，若y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象有公切线，则{e a =1b 2①elna −e =1−2b ②， 由①得a ＝eb 2代入②整理得：2elnb +2b−1=0③， 由题意只须判断关于b 的方程在（0，+∞）上解的个数，令h （x ）＝2elnx +2x−1 （x ＞0）， ∴h '（x ）=2e x −2x 2=2ex−2x 2， 令h '（x ）＝0，解得x =1e ，∴当x ∈(0，1e )时，h '（x ）＜0，函数h （x ）单调递减；当x ∈(1e，+∞)时，h '（x ）＞0，函数h （x ）单调递增，∴h （x ）≥h （1e ）＝﹣1， ∵h （1e ）＝﹣4e +2e 2﹣1＞0，h （1）＝1＞0， ∴h （1e ）h （1e ）＜0，h （1）h （1e ）＜0，且h （x ）图象在（0，+∞）上连续不断， ∴方程h （x ）＝0在（0，1e ）及（1e ，+∞）上各有一个根，即y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象有两条公切线．一、选择题22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，直线l 的参数方程为{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点点M 和点N 为直线1上的点，且|MN |＝2，求△PMN 面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）由ρ2=123+sin 2θ，得3ρ2+ρ2sin 2θ＝12，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的普通方程，结合平方关系可得曲线C 的参数方程；直接把直线l 的参数方程中的参数t 消去，可得直线l 的普通方程；（Ⅱ）设P （2cos θ，√3sinθ）到直线l 的距离为d ，写出三角形面积公式，再由点到直线的距离公式求得d ，利用三角函数求最值可得△PMN 面积的取值范围．解：（Ⅰ）由ρ2=123+sin 2θ，得3ρ2+ρ2sin 2θ＝12， ∴3（x 2+y 2）+y 2＝12，即x 24+y 23=1，∴曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ（θ为参数）． 由{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数），消去参数t ，可得x +2y ﹣8＝0． ∴直线l 的普通方程为x +2y ﹣8＝0；（Ⅱ）设P （2cos θ，√3sinθ）到直线l 的距离为d ，S △PMN =12×2×d =d ，而d =|2cosθ+2√3sinθ−8|5=|4sin(θ+π6)−8|5． ∴4√55≤d ≤12√55． ∴△PMN 面积的取值范围为[4√55，12√55]． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|．（Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用绝对值不等式的性质；（Ⅱ）利用绝对值不等式解法求出m ，代入得到a ，b 的等式，转化为只含有a 的式子后利用基本不等式可以求解．解：（Ⅰ）由题意得：∵f （x ）≤g （x ）在x ∈R 上恒成立，∴m ≤|x +3|+|x ﹣2|恒成立，即m ≤（|x +3|+|x ﹣2|）min ，又因为|x +3|+|x ﹣2|≥|（x +3）﹣（x ﹣2）|＝5，当且仅当x +3与x ﹣2异号时等号成立． ∴m ≤5，即m ∈（﹣∞，5]；（Ⅱ）令f （x ）≥0，∴m ≥|x ﹣2|；若m ≤0，则解集为∅，不合题意；若m ＞0，则有﹣m ≤x ﹣2≤m ，即x ∈[2﹣m ，2+m ]，又∵解集为x ∈[1，3]，∴m ＝1．∴ab ﹣2a ﹣b ＝2，∴b =2a+2a−1； ∵{a ＞0b ＞0，解得a ＞1， ∴a +b ＝a +2a+2a−1=a ﹣1+4a−1+3， ∴a +b ≥2 √(a −1)4a−1+3＝7， 当且仅当a ﹣1=4a−1，即a ＝3时，等号成立，此时b ＝4， ∴a ＝3，b ＝4时a +b 的最小值为7．。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|0≤x<4}，，则A∩B=()A. {x|1≤x≤3}B. {x|0≤x<4}C. {1,2，3}D. {0,1，2，3}2.若复数z=(2−ai)(1+i)的实部为1，则其虚部为()A. 3B. 3iC. 1D. i3.双曲线x24−y212=1的焦点到渐近线的距离为()A. 2B. √3C. 3D. 2√34.我国是一个多民族国家，每个民族都有着丰富多彩的文化遗产．风雨桥就是侗族最具特色的建筑之一，由桥、塔、亭组成，其中亭、塔的平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图所示是风雨桥亭、塔正六边形的正投影，正六边形的边长计算如下：A1B1=A0B0−B0B1，A2B2=A1B1−B1B2，A3B3=A2B2−B2B3，…，A n B n=A n−1B n−1−B n−1B n，其中B n−1B n=⋯=B2B3=B1B2=B0B1，n∈N ∗.根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0=8m，B0B1=0.5m，则这五层正六边形的周长总和为A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m5.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()A. l⊂α，m⊂β，且l⊥mB. l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC. m⊂α，n⊂β，m//n，且l⊥mD. l⊂α，l//m，且m⊥β6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为()A. √22B. √34C. √26D. √367. 函数f(x)=cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f(x)的图象( )A. 向左平移π3个单位 B. 向左平移2π3个单位 C. 向右平移π3个单位D. 向右平移2π3个单位8. 某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数(如下表)，下右图是统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是A. 除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图象几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.B. 所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4%．C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多．D. “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长．9. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f(x)=x −x 2，则当x >0时，f(x)=( )A. x −x 2B. −x −x 2C. −x +x 2D. x +x 210. 如图，RT △ABC 中，AB =AC ，BC =4，O 为BC 的中点，以O 为圆心，1为半径的半圆与BC 交于点D ，P 为半圆上任意一点，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 2+√5B. √5C. 2D. 2−√511. 在数列{a n }中，a 1=1，a n −a n−1=n(n ≥2)，则a n 等于( )A. nB. (n +1)nC. n 22D.n(n+1)212. 已知F 1、F 2椭圆x 216+4y 215=1左右焦点，P 是椭圆是一点，|PF 1|=5，则∠F 2PF 1的大小为( )A. 2π3B. 5π6 C. 3π4D. π3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x ≤2，则z =−2x +y 的最大值为______．14. 已知甲运动员的投篮命中率为34，乙运动员的投篮命中率为23，则甲乙各投篮一次，恰有一人命中的概率为________．15. 已知{a n }是递增的等差数列，a 1=2，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 6成等比数列，则S 5= ______ ． 16. 四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥面ABCD ，PA =PD =AD =3，AB =4，则四棱锥ABCD 的外接球的表面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ．(1)求A ；(2)若√2a +b =2c ，求sin C ．18. 随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．(Ⅰ)根据2×2列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；(Ⅱ)如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望(将频率当作概率计算)．参考附表：P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828参考公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)，其中n=a+b+c+d．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值．20.已知点P是抛物线C:y=14x2−3的顶点，A，B是C上的两个动点，且PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =−4．(1)判断点D(0,−1)是否在直线AB上？说明理由；(2)设点M是△PAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程．21.已知函数f(x)=mln(x+1)，g(x)=xx+1(x>−1)．(1)讨论函数F(x)=f(x)−g(x)的单调性；(2)若y=f(x)与y=g(x)的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．22.曲线C的参数方程为{x=cosθy=1+sinθ(θ为参数)，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√2，(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)判断直线l与曲线C的位置关系．23.已知函数f(x)=|2x+1|(x∈R)．(1)解不等式f(x)≤1；(2)设函数g(x)=f(x)+f(x−1)的最小值为m，且a+b=m(a,b>0)，求4a +1b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．由A与B，求出两集合的交集即可．解：∵A={x|0≤x<4}，2，3}，∴A∩B={1,2，3}，故选：C．2.答案：A解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，结合已知条件求出a的值，则答案可求．解：∵z=(2−ai)(1+i)=2+a+(2−a)i的实部为1，∴2+a=1，即a=−1．∴其虚部为3．故选：A．3.答案：D解析：解：由题得：其焦点坐标为(±4,0).渐近线方程为y=±√3x=2√3．所以焦点到其渐近线的距离d=√3√3+1故选：D．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题给出双曲线的方程，求它的焦点到渐近线的距离．着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．4.答案：C解析：【试题解析】本题考查了对题中信息的理解，根据题意依次得出A1B1，A2B2，A3B3，A4B4的长度，再求周长总和即可．解：因为A0B0=8m，B0B1=0.5m，易知B1B2=B2B3=B3B4=B0B1=0.5，所以A1B1=A0B0−B0B1=8−0.5=7.5，A2B2=A1B1−B1B2=7.5−0.5=7，A3B3=A2B2−B2B3=7−0.5=6.5，A4B4=A3B3−B3B4=6.5−0.5=6，所以这五层正六边形的周长总和为(8+7.5+7+6.5+6)×6=210m，故选C．5.答案：D解析：本题考查面面垂直的判定定理，利用面面垂直的判定定理，即可得出结论．解：对于A，l⊂α，m⊂β，且l⊥m，α，β可以平行、相交、垂直，故A不正确；对于B，l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n，则l不一定与β垂直，故B不正确；对于C，m⊂α，n⊂β，且l⊥m，l⊥n，α，β可以平行、相交、垂直，故C不正确；对于D，l⊂α，l//m，且m⊥β，可得l⊥β，根据面面垂直的判定，可知α⊥β，故D正确．故选D．6.答案：C解析：解：正方体ABCD−A1B1C1D1，M为A1B1的中点，设正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科) (解析版)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}，B ＝{x |﹣4＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．B ＝{x |﹣2≤x ＜2} B ．B ＝{x |﹣4＜x ≤2}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}2．已知复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）（a ∈R ）的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1 B ．﹣i C ．1 D ．i3．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．√2C ．1D ．124．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A 1B 1＝A 0B 0﹣B 0B 1，A 2B 2＝A 1B 1﹣B 1B 2，A 3B 3＝A 2B 2﹣B 2B 3，…，A n B n ＝A n ﹣1B n ﹣1﹣B n ﹣1B n ，其中B n ﹣1B n ═…＝B 2B 3＝B 1B 2＝B 0B 1，n ∈N*．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A 0B 0＝8m ，B 0B 1＝0.5m ，则这五层正六边形的周长总和为（ ）A ．35mB ．45mC ．210mD ．270m5．已知直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题： ①若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ②若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β； ③若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ④若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α．其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为（ ） A ．√55B ．√105C ．√1515D ．2√5157．函数f （x ）＝cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位B ．向左平移2π3个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向右平移2π3个单位8．某一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）学段 内容主题 第一学段（1﹣3年级） 第二阶段（4﹣6年级） 第三学段（7﹣9年级） 合计数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计4565150260A ．除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B ．在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占4%C ．第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D ．“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长9．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有[f （x 2）﹣f （x 1）]（x 2﹣x 1）＜0，则（ ） A ．f （0.3﹣1）＜f （2﹣0.3）＜f （log 20.2） B ．f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）＜f （0.3﹣1） C ．f （log 20.2）＜f （0.3﹣1）＜f （2﹣0.3） D ．f （0.3﹣1）＜f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）10．给定两个长度为2的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，则CB →•CA →的最小值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．211．若数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2），若使不等式|a n |≤λ成立的a n有且只有三项，则λ的取值范围为（ ） A ．[133，353） B ．（133，353] C ．[353，613） D ．（353，613]12．设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．34C ．57D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件{x +1≥0y −2≤02x −y −2≤0，则z ＝x +3y 的最大值是 ．14．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为 ．15．数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，a 1＝1，S 5＝15，且a 3+λa 9+a 15＝15，则实数λ＝ ．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝2，△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE＝1，则此四棱锥的外接球的表面积为．三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．（Ⅰ）求tan A的值；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求tan B tan C的最小值．18．随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）．参考附表：P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．19．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥DC，BC＝CD＝1，AD＝2，PA＝PD，E为PC中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点，PA∥平面BEF．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）若PC与底面ABCD所成的角为60°．求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．20．已知点A （0，2），B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）A 关于y ＝x 的对称点为D ，是否存在斜率为12的直线1交曲线E 于M ，N 两点，使得△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出△MDN 的面积；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝mlnx ，g （x ）=x−1x（x ＞0）． （Ⅰ）讨论函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）判断当m ＝e 时．y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象公切线的条数，并说明理由． （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，直线l 的参数方程为{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点点M 和点N 为直线1上的点，且|MN |＝2，求△PMN 面积的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|． （Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}，B ＝{x |﹣4＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．B ＝{x |﹣2≤x ＜2} B ．B ＝{x |﹣4＜x ≤2}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】先求出集合A ，再利用集合交集的运算即可算出结果． 解：集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∩B ＝{﹣2，﹣1，0，1}， 故选：D ．2．已知复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）（a ∈R ）的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．﹣iC ．1D ．i【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出． 解：因为复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）＝（a +2）+（1﹣2a ）i ； ∴a +2＝3⇒a ＝1；∴z 的虚部为：1﹣2a ＝﹣1． 故选：A ． 3．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．√2C ．1D ．12【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．解：由题得：其焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）．渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0， 所以焦点到其渐近线的距离d =2=√2． 故选：B ．4．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A 1B 1＝A 0B 0﹣B 0B 1，A 2B 2＝A 1B 1﹣B 1B 2，A 3B 3＝A 2B 2﹣B 2B 3，…，A nB n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N*．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0＝8m，B0B1＝0.5m，则这五层正六边形的周长总和为（）A．35m B．45m C．210m D．270m【分析】根据A n B n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，可知{A n B n}是首项为8，公差为﹣0.5的等差数列，所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和，问题可解．解：根据A n B n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，可知{A n B n}是首项为8，公差为﹣0.5的等差数列．、所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和的6倍．所以S=6S5=6[5×8+5×42×(−12)]=210（m）故选：C．5．已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；②若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用求出正确的结果．解：已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m ⊥α，m ∥β，则在β内，作n ∥m ，所以n ⊥α，由于n ⊂α，则α⊥β，故正确； ②若m ⊥α，m ∥n ，所以n ⊥α，由于n ⊂β，则α⊥β；故正确． ③若n ⊥α，n ⊥β，所以α∥β，由于m ⊥α，则m ⊥β；故正确． ④若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α也可能n ⊂α内，故错误． 故选：C ．6．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为（ ） A ．√55B ．√105C ．√1515D ．2√515【分析】建立空间直角坐标系，分别求出两条异面直线对应的向量坐标，套用向量夹角公式计算即可．解：据题意，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则：D （0，0，0），O （1，1，0），B 1（2，2，2），M （1，0，2），N （0，2，1）， ∴B 1M →=(−1，−2，0)，ON →=(−1，1，1)， 设异面直线B 1M 与ON 所成角为θ，则cosθ=|B 1M →⋅ON →|B 1M →||ON →||=5×3=√1515． 故选：C ．7．函数f （x ）＝cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位B ．向左平移2π3个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向右平移2π3个单位【分析】利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的平移性质求出平移后的解析式，利用三角函数是奇函数建立条件关系进行求解即可． 解：f （x ）＝2（12cos x2−√32sin x2）＝2cos （x2+π3），将函数f （x ）向左平移φ的单位，得到y ＝2cos[12（x +φ）+π3]＝2cos （12x +12φ+π3），若f （x ）是奇函数，则12φ+π3=k π+π2，即φ＝2k π+π3，k ∈Z ，当k ＝0时，φ=π3，即可以将函数f （x ）的图象向左平移π3个单位，即可，故选：A ．8．某一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）学段 内容主题 第一学段（1﹣3年级） 第二阶段（4﹣6年级） 第三学段（7﹣9年级） 合计数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计4565150260A ．除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B ．在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占4%C．第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D．“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长【分析】从等高条形图看比例大体变化趋势，利用表格计算条目数的相关数据，逐项进行判断即可．解：（1）对于A，结合表格可知，除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的8725≈3.5倍，故A对．（2）对于B，由表格可知：“图形与几何”内容最多，占130260=50%，“综合与实践”内容最少，占10260≈4%，故B对．（3）对于C，分析表格可知，第一、二学段“数与代数”内容分别是21，28，数目最多，第三学段“图形与几何”内容为87，最多．故C对．（4）对于D，图形与几何的第一学段到第二学段百分比是减少的，故D错．故选：D．9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0，则（）A．f（0.3﹣1）＜f（2﹣0.3）＜f（log20.2）B．f（log20.2）＜f（2﹣0.3）＜f（0.3﹣1）C．f（log20.2）＜f（0.3﹣1）＜f（2﹣0.3）D．f（0.3﹣1）＜f（log20.2）＜f（2﹣0.3）【分析】根据题意，由单调性的定义分析可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合偶函数的性质可得f（log20.2）＝f（﹣log20.2）＝f（log25），由指数的性质可得2﹣0.3＜20＝1＜log25＜3＜103=0.3﹣1，据此分析可得答案．解：根据题意，对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，又由f（x）为偶函数，则f（log20.2）＝f（﹣log20.2）＝f（log25），又由2﹣0.3＜20＝1＜log25＜3＜103=0.3﹣1，则有f （0.3﹣1）＜f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）；故选：D ．10．给定两个长度为2的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，则CB →•CA →的最小值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．2【分析】根据题意，建立坐标系，求出A ，B 点的坐标，并设∠AOC ＝α，则向量OC →=（2cos α，2sin α），求出向量的数量积，结合角的范围即可求解． 解：建立如图所示的坐标系，则A （2，0），B （2cos120°，2sin120°）即B （﹣1，√3）， 设∠AOC ＝α，α∈[0°，120°]； 则OC →=（2cos α，2sin α）．∴CB →•CA →=（﹣1﹣2cos α，√3−2sin α）•（2﹣2cos α，﹣2sin α） ＝（﹣1﹣2cos α）×（2﹣2cos α）+（√3−2sin α）•（﹣2sin α） ＝2﹣2cos α﹣2√3sin α＝2﹣4sin （α+30°）； ∵α∈[0°，120°]；∴α+30°∈[30°，150°]⇒sin （α+30°）∈[12，1]；∴当sin （α+30°）＝1即α＝60°时，CB →•CA →取最小值为2﹣4×1＝﹣2； 故选：B ．11．若数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2），若使不等式|a n |≤λ成立的a n有且只有三项，则λ的取值范围为（ ）A ．[133，353） B ．（133，353] C ．[353，613） D ．（353，613]【分析】首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用不等式的应用求出参数的取值范围．解：数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2）， 所以：a n −a n−1=(−2)n−1， …，a 2−a 1=(−2)2，所以将上面（n ﹣1）个式子相加得到：a n −a 1=4[1−(−2)n−1]1−(−2)，整理得：a n =1−(−2)n+13．所以a 1=|1−43|=13，a 2=|1+83|=113，a 3=|1−163|=133，a 4=|1+323|=353，易知：|a n |＜|a n +1|，若不等式|a n |≤λ成立的a n 有且只有三项， 则：λ的取值范围为[133，353)．故选：A ．12．设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．34C ．57D ．23【分析】由题意画出图形，由|PF 2|＝2c ，|PF 1|=43|QF 1|，利用椭圆的定义可得：|PF 1|＝2a ﹣2c ，进一步求出|QF 1|，|QF 2|，在等腰△PF 1F 2中，求得得cos ∠PF 1F 2．在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2，利用cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，化简求得5a ＝7c ，则答案可求．解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， ∵|PF 2|＝2c ，则|PF 1|＝2a ﹣2c ． ∵|PF 1|=43|QF 1|，∴|QF 1|=34（2a ﹣2c ）=32（a ﹣c ）， 则|QF 2|＝2a −32（a ﹣c ）=a 2+32c ，在等腰△PF 1F 2中，可得cos ∠PF 1F 2=12|PF 1||F 1F 2|=a−c 2c． 在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2=94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)，由cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，得a−c 2c+94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)=0，整理得：5a−7c 6c=0，∴5a ＝7c ，∴e =c a =57． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件{x +1≥0y −2≤02x −y −2≤0，则z ＝x +3y 的最大值是 8 ．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z 的最大值即可．解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由{y =22x −y −2=0，解得A （2，2）， 由z ＝x +3y 得：y =−12x +，显然直线过A 时，z 最大，z 的最大值是z ＝2+3×2＝8， 故答案为：8．14．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为0.976．【分析】由题意利用相互独立事件的概率计算公式，事件和它的对立事件概率间的关系，求得结果．解：∵甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则他们都没有投中的概率为（1﹣0.8）（1﹣0.7）（1﹣0.6）＝0.024，则至少一人命中的概率为1﹣0.024＝0976，故答案为：0.976．15．数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，a1＝1，S5＝15，且a3+λa9+a15＝15，则实数λ＝−13．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝1，S5＝15，∴5+10d＝15，解得d＝1．∴a n＝1+n﹣1＝n，代入a3+λa9+a15＝15，∴3+9λ+15＝15，解得实数λ=−1 3．故答案为：−1 3．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝2，△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE＝1，则此四棱锥的外接球的表面积为28π3．【分析】取AD的中点F，连接EF，PF，由题意可得三角形PEF为直角三角形，求出四棱锥的高，及底面外接圆的圆心到P在底面的投影的距离，设正方形ABCD的中心为M ，过M 做MO 垂直于底面，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上，分别在两个直角三角形中求出外接球的半径与直角边的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．解：取AD 的中点F ，连接EF ，PF ，因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，△PAD 为等边三角形，所以PF =√3，EF ＝2，又PE ＝1，所以PF ⊥PE ，设正方形ABCD 的对角线的交点M ，过P 做底面的投影N ，则由题意可得N 在EF 上，由射影定理可得NE =PE 2EF =12，而ME ＝1，所以MN =12，PN =√PE 2−HE 2=√32，MB =12BD =2√22=√2， 过M 做底面的垂线MO ，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上， 设O 为外接球的球心，设球的半径为R ，则OP ＝OB ＝R ，过O 做OH ⊥PN 于H ，则四边形OMNH 为矩形，所以OH ＝MN =12，HN ＝OM ， （i ）若球心在四棱锥的内部则可得：在△OPH 中，OP 2＝OH 2+（PN ﹣HN ）2，即R 2＝（12）2+（√32−OM ）2，①在△OBM 中，OB 2＝BM 2+OM 2，即R 2＝（√2）2+OM 2，②由①②可得OM =−√33，不符合，故舍去．（ii ）若球心在四棱锥的外部则可得：在△OPH 中，OP 2＝OH 2+（PN +HN ）2，即R 2＝（12）2+（√32+OM ）2，③在△OBM 中，OB 2＝BM 2+OM 2，即R 2＝（√2）2+OM 2，④ 由③④可得R 2=73，所以四棱锥的外接球的表面积S ＝4πR 2=28π3． 综上所述四棱锥的外接球的表面积S ＝4πR 2=28π3． 故答案为：28π3．三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．（Ⅰ）求tan A的值；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求tan B tan C的最小值．【分析】（I）5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．由正弦定理可得：5（b2+c2）＝8bc+5a2，可得：b2+c2﹣a2=85bc，再利用余弦定理即可得出．（II）由tan（B+C）=tanB+tanC1−tanAtanC=−tan A=−34，可得4tan B+4tan C﹣3tan B tan C+3＝0，利用基本不等式的性质即可得出．解：（I）5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．由正弦定理可得：5（b2+c2）＝8bc+5a2，可得：b2+c2﹣a2=85bc，∴cos A=b 2+c2−a22bc=45，A∈(0，π2 )，∴sin A=√1−cos2A=35，则tan A=34．（II）由tan（B+C）=tanB+tanC1−tanAtanC=−tan A=−34，∴4tan B+4tan C﹣3tan B tan C+3＝0，∵tan B＞0，tan C＞0，由均值不等式可得：4tan B+4tan C＝3tan B tan C﹣3≥2√4tanB⋅4tanC，当且仅当tan B ＝tan C＝3时取等号．解得tan B tan C≥9．∴tan B tan C的最小值为9．18．随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀 成绩不够优秀总计 选修生涯规划课 15 10 25 不选修生涯规划课6 19 25 总计212950（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）． 参考附表： P （K 2≥k ）0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 【分析】（Ⅰ）根据K 2的公式计算出观测值，并与附表中的参考值进行对比即可作出判断；（Ⅱ）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为35，成绩够不优秀的概率为25，而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，最后根据二项分布的性质求数学期望即可．解：（Ⅰ）由题意知，K 2=50×(15×19−6×10)221×29×25×25≈6.650＞6.635，∴有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“． （Ⅱ）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为1525=35，成绩够不优秀的概率为1−35=25，而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ＝0）=C 30⋅(25)0⋅(35)3=27125，P（ξ＝1）=C31⋅(25)1⋅(35)2=54125，P（ξ＝2）=C32⋅(25)2⋅(35)1=36125，P（ξ＝3）=C33⋅(25)3⋅(35)0=8125．∴ξ的分布列为ξ0123P2712554125361258125∵ξ～B（3，25），∴E（ξ）＝3×25=65．19．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥DC，BC＝CD＝1，AD＝2，PA＝PD，E为PC中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点，PA∥平面BEF．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）若PC与底面ABCD所成的角为60°．求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接AC交BE与G，连接EG，由已知结合线面平行的性质可得PA∥EG，再由E为PC的中点，得G为AC的中点，则△AFG≌△BCG，得到AF＝BC=12AD＝1，即F为AD的中点，可得四边形DCBF为平行四边形，再由AD⊥DC，得BF⊥AD，可得BF⊥平面PAD，进一步得到平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）连接PF，证明PF⊥底面ABCD，又BF⊥AD，以F为坐标原点，分别以FA，FB，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设P（0，0，t），由PC与底面ABCD所成的角为60°求解t，然后分别求出平面ABF与EBF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣BF﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC交BE与G，连接EG，∵PA∥平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝EG，∴PA∥EG，又E 为PC 的中点，∴G 为AC 的中点，则△AFG ≌△BCG ， 得AF ＝BC =12AD ＝1． ∴F 为AD 的中点，∵BC ∥FD ，且BC ＝FD ，∴四边形DCBF 为平行四边形， ∵AD ⊥DC ，∴BF ⊥AD ，又BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）解：连接PF ，∵PA ＝PD ，F 为AD 的中点，∴PF ⊥AD ，又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥底面ABCD ，又BF ⊥AD ，以F 为坐标原点，分别以FA ，FB ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设P （0，0，t ），C （﹣1，1，0），取平面ABCD 的法向量n 1→=(0，0，1)，PC →=(−1，1，−t)，B （0，1，0）， ∴sin60°＝|n 1→⋅PC→|n 1→|⋅|PC →|，即√t 2+2=√32，解得t =√6． 设平面EBF 的法向量为n 2→=(x ，y ，z)，由{n 2→⋅FE →=−12x +12y +√62z =0n 2→⋅FB →=y =0，令z ＝1，得n 2→=(√6，0，1)． 设二面角E ﹣BF ﹣A 的平面角为θ，则|cos θ|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√77， 又θ为钝角，∴cos θ=−√77．即二面角E ﹣BF ﹣A 的余弦值为−√77．20．已知点A （0，2），B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）A 关于y ＝x 的对称点为D ，是否存在斜率为12的直线1交曲线E 于M ，N 两点，使得△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出△MDN 的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设C 的坐标，可得AC 的中点B 的坐标，由B 在抛物线x 2＝2y ﹣2上可得E 的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得MN 的中点P 的坐标，由△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形可得PD ⊥l ，所以可得k DP •k l ＝﹣1，求出直线l 的方程，及弦长|MN |及|DP |的值，代入面积公式求出面积解：（Ⅰ）设C （x ，y ），B （m ，n ），B 是AC 的中点，则{m =x 2n =y+22， 因为B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上，所以m 2＝2n ﹣2，即x 24=2⋅2+y 2−2， 所以x 2＝4y ，故曲线E 的方程为：x 2＝4y ；（Ⅱ）由题意得D （2，0），设直线l ：y =12x +t ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），将l 的方程代入x 2＝4y 得x 2﹣2x ﹣4t ＝0（*），所以x 1+x 2＝2，x 1x 2＝﹣4t ，△＝4+16t ＞0，所以M，N的中点P（1，12+t），因为k DP•k l＝﹣1，所以12+t1−2⋅12=−1，所以t=32符合△＞0，所以直线l存在，所以（*）化为x2﹣2x﹣6＝0，x1+x2＝2，x1x2＝﹣6，所以：|MN|=√1+14√4+24=√35|DP|=√5，所以S△MND=12×√35×√5=52√7．21．已知函数f（x）＝mlnx，g（x）=x−1x（x＞0）．（Ⅰ）讨论函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）判断当m＝e时．y＝f（x）与y＝g（x）的图象公切线的条数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）求出导函数F'（x），对m的值分情况讨论，分别利用导函数F'（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调性；（Ⅱ）先利用导数的几何意义分别求出函数f（x）＝elnx在点（a，elna）处的切线方程和函数g（x）=x−1x在点（b，1−1b）处的切线方程，判断y＝f（x）与y＝g（x）的图象公切线的条数，只须判断关于b的方程2elnb+2b−1=0在（0，+∞）上解的个数，令h（x）＝2elnx+2x−1 （x＞0），利用导数得到方程h（x）＝0在（0，1e）及（1e，+∞）上各有一个根，即y＝f（x）与y＝g（x）的图象有两条公切线．解：（Ⅰ）由题意可知：F（x）＝f（x）﹣g（x）＝mlnx−x−1x，x∈（0，+∞），则F'（x）=mx−1x2=mx−1x2，1°当m≤0时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；2°当m＞0时，由F'（x）＜0得：0＜x＜1m，由F'（x）＞0得：x＞1m，∴函数F（x）在（0，1m）上单调递减，在（1m，+∞）上单调递增，综上所求：当m≤0时，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；当m＞0时，函数F（x）在（0，1m）上单调递减，在（1m，+∞）上单调递增；（Ⅱ）函数f （x ）＝elnx 在点（a ，elna ）处的切线方程为y ﹣elna =e a (x −a)，即y =e a x +elna −e ，函数g （x ）=x−1x =1−1x 在点（b ，1−1b ）处的切线方程为y ﹣（1−1b ）=1b 2（x ﹣b ），即y =1b 2x −2b +1，若y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象有公切线，则{e a =1b 2①elna −e =1−2b ②， 由①得a ＝eb 2代入②整理得：2elnb +2b−1=0③， 由题意只须判断关于b 的方程在（0，+∞）上解的个数，令h （x ）＝2elnx +2x −1 （x ＞0），∴h '（x ）=2e x −2x 2=2ex−2x 2， 令h '（x ）＝0，解得x =1e ，∴当x ∈(0，1e )时，h '（x ）＜0，函数h （x ）单调递减；当x ∈(1e，+∞)时，h '（x ）＞0，函数h （x ）单调递增，∴h （x ）≥h （1e ）＝﹣1， ∵h （1e 2）＝﹣4e +2e 2﹣1＞0，h （1）＝1＞0， ∴h （1e ）h （1e ）＜0，h （1）h （1e ）＜0，且h （x ）图象在（0，+∞）上连续不断， ∴方程h （x ）＝0在（0，1e ）及（1e ，+∞）上各有一个根，即y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象有两条公切线．一、选择题22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，直线l 的参数方程为{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点点M 和点N 为直线1上的点，且|MN |＝2，求△PMN 面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）由ρ2=123+sin 2θ，得3ρ2+ρ2sin 2θ＝12，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的普通方程，结合平方关系可得曲线C 的参数方程；直接把直线l 的参数方程中的参数t 消去，可得直线l 的普通方程；（Ⅱ）设P （2cos θ，√3sinθ）到直线l 的距离为d ，写出三角形面积公式，再由点到直线的距离公式求得d ，利用三角函数求最值可得△PMN 面积的取值范围．解：（Ⅰ）由ρ2=123+sin 2θ，得3ρ2+ρ2sin 2θ＝12， ∴3（x 2+y 2）+y 2＝12，即x 24+y 23=1，∴曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ（θ为参数）． 由{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数），消去参数t ，可得x +2y ﹣8＝0． ∴直线l 的普通方程为x +2y ﹣8＝0；（Ⅱ）设P （2cos θ，√3sinθ）到直线l 的距离为d ，S △PMN =12×2×d =d ，而d =|2cosθ+2√3sinθ−8|5=|4sin(θ+π6)−8|5． ∴4√55≤d ≤12√55． ∴△PMN 面积的取值范围为[4√55，12√55]． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|．（Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m ，带入得到a ，b 等式，转化为只含有a 的式子后利用基本不等式可以求解．解：（1）由题意得：∵f （x ）≤g （x ）在x ∈R 上恒成立，∴m ≤|x +3|+|x ﹣2|恒成立，即m ≤（|x +3|+|x ﹣2|）min又∵|x +3|+|x ﹣2|≥|（x +3）﹣（x ﹣2）|＝5 ∴m ≤5，即m ∈（﹣∞，5]（2）令f （x ）≥0，∴m ≥|| 若m ≤0，则解集为∅，不合题意； 若m ＞0，则有﹣m ≤x ﹣2≤m ，即x ∈[2﹣m ，2+m ] 又∵解集为x ∈[1，3]，∴m ＝1 ∴ab ﹣2a ﹣b ＝2∴b =2a+2a−1∵{a ＞0b ＞0，解得a ＞1 ∴a +b ＝a +2a+2a−1=a −1+4a−1+3 ∴a +b ≥2√(a −1)(4a−1)+3＝7 当且仅当a ﹣1=4a−1，即a ＝3时，等号成立，此时b ＝4 ∴a ＝3，b ＝4时a +b 的最小值为7。
2020年东北三省三校高考数学二模试卷(理科)(有答案解析)
2020年东北三省三校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. A⊆BB. B⊆AC. A∪B=RD. A∩B=∅2.已知z-2=（z+2）i（i为虚数单位），则复数z=（）A. 1+2iB. 1-2iC. 2iD. -2i3.过点P（0，1）的直线l与圆（x-1）2+（y-1）2=1相交于A，B两点，若|AB|=，则该直线的斜率为（）A. ±1B.C.D. ±24.将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，现采用随机模拟的方法估计p的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为f，则p，f分别为（）111 001 011 010 000 111 111 111 101 010000 101 011 010 001 011 100 101 001 011A. ，B.C.D. ，5.已知cos（）=，则sin（2）=（）A. B. C. D.6.已知函数f（x）=e x-e-x+，若f（lg m）=3，则f（lg）=（）A. -4B. -3C. -2D. -17.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，则直线PB与平面PAC所成角为（）A. B. C. D.8.将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，且g（-x）=-g（x），则φ的一个可能值为（）A. B. C. D.9.双曲线C：=1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点G满足GF1⊥GF2，线段GF1与另一条渐近线的交点为H，H恰好为线段GF1的中点，则双曲线C的离心率为（）A. B. 2 C. 3 D. 410.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=2AF，则（）A. =B. =C. =D. =11.已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（）A. B. C. D. 8π12.已知直线y=2x+m与椭圆C：=1相交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，|AB|=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=，则f（f（-e））=______．14.（x-y）（2x+y）4的展开式中x2y3的系数是______．15.设△ABC的内角A，BC的对边分别为a，b，c，且b=6，c=4，A=2B，则a=______．16.以抛物线y2=2px（p＞0）焦点F为圆心，p为半径作圆交y轴于A，B两点，连结FA交抛物线于点D（D在线段FA上），延长FA交抛物线的准线于点C，若|AD|=m，且m∈[1，2]，则|FD|•|CD|的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=a n+n2-1，数列{b n}为等比数列，公比为q，且S5=qS2+3，a2=5b1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．18.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面A1BD；（Ⅱ）若AB=AC=，BC=BB1=2，在棱AC上是否存在点M，使二面角B-A1D-M的大小为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19.椭圆C：=1，点A（2，0），动直线y=kx+m与椭圆C交于M，N两点（M、N是异于A的两个不同的点），已知直线AM的斜率为k1，直线AN的斜率为k2，且k1，k2的乘积为λ．（Ⅰ）若k=0，求实数λ的值；（Ⅱ）若，求证：直线MN过定点．20.一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货．今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252．（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率）：（1）写出四月后20天每天百合花需求量ξ的分布列；（2）若百合花进货价格与售价均不变，微店从四月十一日起，每天从云南固定空运x（235≤x≤265，x∈N）支百合花，当x为多少时，四月后20天每天百合花销售利润T（单位：元）的期望值最大？21.已知函数f（x）=x+x lnx，g（x）=ax2-2（a-1）x+a-1．（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）与y=g（x）在（1，1）处的切线重合；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）对任意x∈[1，+∞）恒成立．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：ln[（n+1）!•n!]＜（其中n∈N*）．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2=，直线l与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求|AB|．23.（Ⅰ）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，求证：a4+b4≥2；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，求a3+b3+c3+（）3的最小值，并写出取最小值时a，b，c的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x＜0，或x＞2}，且；∴A∪B=R．故选：C．容易求出集合A={x|x＜0，或x＞2}，从而可判断集合A，B的关系．考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及并集的概念．2.答案：C解析：解：∵z-2=（z+2）i，∴z（1-i）=2+2i，故z=．故选：C．先将式子化为z（1-i）=2+2i，再由复数的除法运算即可得出结果．本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型．3.答案：A解析：解：由题意设直线l的方程为y=kx+1，因为圆（x-1）2+（y-1）2=1的圆心为（1，1），半径为r=1，又弦长|AB|=，所以圆心到直线的距离为d===，所以有=，解得k=±1．故选：A．先由题意，设直线的方程为y=kx+1；根据弦长和半径确定点到直线的距离，再由点到直线的距离公式即可求出结果本题主要考查直线与圆位置关系，熟记点到直线距离公式以及几何法求与弦长有关的问题，属中档题．4.答案：B解析：解：事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，则p==，“恰有1次反面朝上”的频数为7，所以f=，故选：B．事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，可以根据计数原理处理．从模拟数据中数出“恰有1次反面朝上”的个数，除以20即可得到f，本题考查了古典概型的概率计算，随机模拟，属基础题．5.答案：B解析：解：∵cos（）=，则sin（2）=-cos（2α-+）=-cos（2α+）=1-2=1-2×=，故选：B．由则sin（2）=-cos（2α-+），利用二倍角公式可得结果．本题主要考查给值求值问题，熟记诱导公式与二倍角公式即可，属于基础题型．6.答案：C解析：解：根据题意，f（x）=e x-e-x+，则f（-x）=e-x-e x+，则f（x）+f（-x）=1，若f（lg m）=3，则f（lg）=f（-lg m）=1-f（lg m）=1-3=-2；故选：C．根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）+f（-x）=1，又由f（lg m）=3，则f（lg）=f（-lg m）=1-f（lg m），计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题．7.答案：A解析：解：连接AC交BD于点O，因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA，PA AC=A，因此BD⊥平面PAC；故BO⊥平面PAC；连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，又因PA=AB=2，所以PB=2，BO=．所以sin∠BPO==，所以∠BPO=．故选：A．连接AC交BD于点O，连接OP，证明BO⊥平面PAC，进而可得到∠BPO即是直线PB 与平面PAC所成角，根据题中数据即可求出结果．本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型．8.答案：A解析：【分析】本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型．先由题意写出g（x）解析式，根据g（-x）=-g（x），可知g（x）为奇函数，进而可求出φ．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x-2φ+）的图象，又g（-x）=-g（x），所以g（x）为奇函数，∴-2φ+=kπ，k∈Z，∴可取φ=，故选：A．9.答案：B解析：解：由题意得双曲线C：=1（a＞0，b＞0），的渐近线方程为，焦点坐标为F1（-c，0），F2（c，0）；不妨令G在渐近线上，则H在y=-x上，设G（x，x），由GF1⊥GF2，得，即，解得x=a，所以G（a，b），又H恰好为线段GF1的中点，所以H（，），因H在y=-x上，所以，因此c=2a，故离心率为2．故选：B．根据题意得到双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为F1（-c，0），F2（c，0）；不妨令G在渐近线上，则H在y=-x上，设G（x，x），根据题意求出G点坐标，再得到H的坐标，将H坐标代入直线y=-，即可得出结果．本题主要考查双曲线的斜率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型．10.答案：D解析：解：设DF=2AF=2，因此BD=AF=1，又由题意可得∠ADB=120°，所以AB2=AD2+BD2-2AD•BD•cos∠ADB=32+12-6cos∠120°=13，因此AB=；延长AD交BC于M，记∠DAB=θ，∠AMB=α，则cos∠DAB===，所以sin∠DAB==；又由题意易知∠DAB=∠DBM，则α=120°-θ，在三角形DBM中，由正弦定理可得：=，即，因此BM====BC，DM===，所以AD=AM=AM，因为=，即=（），整理得=+，所以==（+）=+．故选：D．先设DF=2AF=2，根据题意可知∠ADB=120°，求出AB的长，延长AD交BC于M，求出BM，DM的长，再由平面向量基本定理即可得出结果．本题主要考查解三角形以及平面向量基本定理，熟记正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理即可，属于常考题型．11.答案：C解析：解：根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为P-ABC，且长方体的底面边长为2，高为；取AB中点为D，上底面中心为E，连接DE，EP，则DE=，EP=1，因为三角形ABC为直角三角形，所以D点为三角形ABC的外接圆圆心，因此三棱锥的外接球球心，必在线段DE上，记球心为O，设球的半径为R，则OB=OP=R，所以有OE==，OD==，因此，解得，所以该三棱锥的外接球表面积为4πR2=．故选：C．先在长方体中还原该三棱锥为P-ABC，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设球的半径为R，列出方程即可求出结果．本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型．12.答案：A解析：解：由，得21x2+20mx+5m2-5=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，==．又O到直线AB的距离，则△AOB的面积=≤=，当且仅当m2=21-m2，即时，△AOB的面积取得最大值．此时，．故选：A．先联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得到，，结合弦长公式表示出弦长|AB|，进而表示出三角形的面积，根据面积最大值，可求出m2，代入弦长的表达式，即可得出结果．本题主要考查椭圆中的弦长问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、以及弦长公式等求解，属于常考题型．13.答案：e解析：【分析】本题考查求函数值，分段函数中的求函数值问题是比较常见的一种题型，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出f（-e）的值，进而又由f（f（-e））=f（1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=，则f（-e）=ln e=1，则f（f（-e））=f（1）=e1=e；故答案为：e．14.答案：-16解析：解：因为（2x+y）4的展开式的通项公式为T r+1=24-r x4-r y r，则（x-y）（2x+y）4的展开式中x2y3的系数是1×21+（-1）×22=-16，故答案为：-16．由二项式定理及分类讨论思想得：因为（2x+y）4的展开式的通项公式为T r+1=24-r x4-r y r，则（x-y）（2x+y）4的展开式中x2y3的系数是1×21+（-1）×22=-16，得解本题考查了二项式定理及分类讨论思想，属中档题．15.答案：2解析：解：根据题意，在△ABC中，b=6，c=4，A=2B；由正弦定理可得=，即=，变形可得cos B=，又由余弦定理可得cos B==，则有=，解可得a=2，故答案为：2．根据题意，由正弦定理可得=，即=，变形可得cos B=，又由余弦定理可得cos B==，联立可得=，解可得a的值，即可得答案．本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．16.答案：32解析：解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x=-，所以以F为圆心，p为半径的圆的方程为+y2=p2，因为A，B两点为圆+y2=p2与y轴的两个交点，不妨令A为y轴正半轴上的点，由x=0得，A（0，）；所以直线AF的斜率为k AF==-，因此直线AF的方程为y=-x+，由得C（-，p）；由得D（，），所以|FD|=+=，|CD|==p，|AD|==p，又|AD|=m，且m∈[1，2]，所以p∈[1，2]，即p∈[3，6]，因此|PD|•|CD|=p2≤32，当且仅当p=6时，取等号．故答案为：32．由题意得到以F为圆心，P为半径的圆的方程，再令A为y轴正半轴上的点，从而求出A点坐标，得到直线AF的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出C、D 两点坐标，即可用p表示出|FD|•|CD|，再由|AD|=m，且m∈[1，2]，求出p的范围，即可得出结果．本题主要考查抛物线的性质，通常需要联立直线与抛物线方程等求解，是中档题．17.答案：解：（I）∵S n=a n+n2-1，S n+1=a n+1+（n+1）2-1，∴a n+1=S n+1-S n=a n+1-a n+2n+1，∴a n=2n+1．数列{b n}为等比数列，公比为q，a2=5b1．∵5b1=a2=5，解得b1=1．∵S5=qS2+3，=（3+5）q+3，解得q=4．∴b n=4n-1．（II）∵a n•b n=（2n+1）•4n-1．∴T n=3+5×4+7×42+……+（2n+1）•4n-1．4T n=3×4+5×42+7×43+……+（2n-1）•4n-1+（2n+1）•4n．∴-3T n=3+2（4+42+……+4n-1）-（2n+1）•4n=3+2×-（2n+1）•4n，∴T n=-+•4n．解析：（I）S n=a n+n2-1，S n+1=a n+1+（n+1）2-1，可得a n+1=S n+1-S n=a n+1-a n+2n+1，化简即可得出．数列{b n}为等比数列，公比为q，a2=5b1．解得b1=1．利用S5=qS2+3，=（3+5）q+3，解得q．可得b n．（II）∵a n•b n=（2n+1）•4n-1．利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1中点，连接OD，又D是棱B1C1的中点，∴OD∥AC1，∵OD⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD，∴AC1∥平面A1BD．解：（Ⅱ）由已知AB⊥AC，则AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，如图建立空间直角坐标系A-xyz，则B（），A1（0，0，2），D（，2），C（0，，0），设M（0，a，0），（0），则=（-），=（，0），=（0，a，-2），设平面BA1D的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（，1）．设平面A1DM的法向量为=（x，y，z），则，x=-2，得=（-2，2，a）．∵二面角B-A1D-M的大小为45°，∴cos45°=|cos＜＞|===，∴3a2+16-24=0，解得a=-6或a=，∵0，∴a=，∴存在点M，此时=，使二面角B-A1D-M的大小为45°．解析：（Ⅰ）先连接AB1，交A1B于点O，再由线面平行的判定定理，即可证明AC1∥平面A1BD；（Ⅱ）先由题意得AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，设M（0，a，0），（0），求出两平面的法向量，根据法向量夹角余弦值以及二面角的大小列出等式，即可求出a，进而可得出结果．本题主要考查线面平行、以及已知二面角求其它量的问题，通常需要熟记线面平行的判定定理来证明平行；另外，向量法求二面角是最实用的一种做法，属于常考题型．19.答案：（Ⅰ）解：不妨设M（-2，m），N（2，m），k1=，k2=，∴k1k2=-=，∴λ=．（Ⅱ）证明：联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，=16（4k2+1-m2）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-，x1x2=，∵k1k2=•==-，∴4（kx1+m）（kx2+m）+3（x1-2）（x2-2）=0，∴（4k2+3）x1x2+（4km-6）（x1+x2）+4m2+12=0，∴（4k2+3）•+（4km-6）（-）+4m2+12=0，∴2k2+m2+3km=0，∴m=-k或m=-2k，均符合＞0．若m=-2k，直线MN：y=k（x-2）过A（2，0），与已知矛盾．∴m=-k，直线MN：y=k（x-1）过定点（1，0）．解析：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆中直线过定点的问题，属于中档题．（Ⅰ）先由k=0，设M（-2，m），N（2，m），表示出k1，k2，进而可求出结果；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到k，m 的关系式，进而可得出直线所过的定点．20.答案：解：（I）四月前10天订单中百合需求量众数为255，平均数==250．频率分布直方图补充如下：（II）（1）由（I）频率分布直方图知，ξ 235245255265P0.10.30.40.2（）①＜，∈ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x，ξ=245，Y=245×2-1.6x-1.8（245-x）=0.2x+49，ξ=255，Y=255×2-1.6x-1.8（255-x）=0.2x+51，ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53，E（Y）=0.1×（470-1.6x）+0.3×（0.2x+49）+0.4×（0.2x+51）+0.2×（0.2x+53）=0.2x+92.7 ②245≤x＜255，x∈N，ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x，ξ=245，Y=245×2-1.6x=490-1.6x，ξ=255，Y=255×2-1.6x-1.8（255-x）=0.2x+51，ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53，E（Y）=0.1×（470-1.6x）+0.3×（490-1.6x）+0.4×（0.2x+51）+0.2×（0.2x+53）=-0.52x+225 ③255≤x≤265，x∈N，ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x，ξ=245，Y=245×2-1.6x=490-1.6x，ξ=255，Y=255×2-1.6x=510-1.6x，ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53，E（Y）=0.1×（470-1.6x）+0.3×（490-1.6x）+0.4×（510-1.6x）+0.2×（0.2x+53）=-1.24x+408.6 ∴x=245时，E（Y）max=97.6（元）．故每天空运245支百合，四月后20天每天百合销售利润Y的期望值最大．解析：（I）根据题意完善频率分布直方图，平均数等于每组的中间值乘以该组频率再求和；众数为频率最大的一组的中间值；（Ⅱ）（1）由（I）中频率分组直方图可直接得到分布列；（2）分别计算235≤x＜245、245≤x＜255、以及255≤x≤265时的利润期望，比较大小即可得出结果．本题主要考查频率分布直方图，以及离散型随机分布列与期望等，结合相关知识点求解即可，属于常考中档题型．21.答案：解：（Ⅰ）证明：f′（x）=2+ln x，f′（1）=2，f（1）=1y=f（x）在（1，2）处的切线方程为y=2x-1．g′（x）=2a-2（a-1），g′（1）=2，g（1）=1y=g（x）在（1，1）处的切线方程为y=2x-1．所以切线重合．（Ⅱ）（1）令F（x）=g（x）-f（x）=ax2-2（a-1）x+a-1-x-x lnx（x≥1），则F′（x）=2a（x-1）-ln x，①当a≤0时，F′（x）≤0当且仅当x=1时，取等号，F（x）在[1，+∞）递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不成立．②当a＞0时，，（i）当0＜a＜时，时，F″（x）＜0，F′（x）递减，F′（x）＜F′（1）=0，F（x）在递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不恒成立．（ii）当a时，F″（x）≥0，F′（x）在[1，+∞）递增，F′（x）≥F′（1）=0，f（）x在[1，+∞）递增，F（x）≥F（1）=0，f（x）≤g（x）恒成立．综上实数a的取值范围为．（2）证明：由（1）知当a=时，f（x）≤g（x），∀x≥1恒成立．得，令x=1，2，…，n得n个不等式相加得，∴，∴∴．下面只要证明，即，再由不等式得，令得，取k=1，2，3，…，n得n个不等式累加得证明成立．故原不等式成立．解析：（Ⅰ）先对函数f（x）求导，得到f′（1）=2，再由f（1）=1，根据直线的点斜式方程即可求出y=f（x）在点（1，1）处的切线方程；另外同理求出y=g（x）在（1，1）处的切线方程，即可得出结论成立；（Ⅱ）（1）先令F（x）=g（x）-f（x），对函数F（x）求导，通过讨论a≤0与、研究函数F（x）的单调性，即可得出结果；（2）先由（1）得到当时，f（x）≤g（x），∀x≥1恒成立，得，分别令x=1，2，…，n得个不等式相加得，整理化简得到只要证明即可得出结论成立．本题主要考查导数的几何意义以及导数的应用，通常需要对函数求导，通过研究函数单调等来处理，属于较难题目．22.答案：解：（Ⅰ）易知直线l的方程为y=x+1，曲线C的方程为+=1．（Ⅱ）将（t参数），代入+=1中得7t2-6-18=0，△＞0设AB所对应的参数分别为t1，t2，t1+t2=，t1t2=-，|AB|=|t1-t2|==．解析：（Ⅰ）由参数方程消去参数，可直接得出直线的普通方程；根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，可直接得出曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将代入+=1得到关于t的一元二次方程，由韦达定理以及|AB|=|t1-t2|即可求出结果本题主要考查参数方程与普通方程的互化、以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式以及弦长公式等即可，属中档题．23.答案：证明：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，∴a4+b4≥≥[]2=×4解（II）a＞0，b＞0，c＞0，∴a3+b3+c3+（）3≥3+（3）3≥2=18当且仅当a=b=c=时，原式取最小值18．解析：（Ⅰ）由基本不等式可得，进而可证明出结论；（Ⅱ）由基本不等式可得，进而可得出结果．本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型．。
2020年东北三省三校高考数学二模试卷(理科)
2020年东北三省三校高考数学二模试卷(理科)2020-12-12【关键字】方案、情况、条件、空间、矛盾、焦点、充分、执行、建立、发现、位置、标准、关系、形成、满足、方向一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|1≤x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣2≤x＜1}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2} 2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣i B．﹣2i C．﹣1D．﹣23．（5分）已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为（）A．B．C．1﹣a D．4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{a n}的前9项的和S9等于（）A．66B．99C．144D．2975．（5分）α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A ∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是（）A．垂直B．相交C．异面D．平行6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．7．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（5分）已知偶函数f（x）的定义域为R，若f（x﹣1）为奇函数，且f（2）=3，则f（5）+f（6）的值为（）A．﹣3B．﹣2C．2D．39．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的周长可无限逼近圆的周长，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率，利用刘徽的割圆术设计的程序框图如图所示，若输出的n=96，则判断框内可以填入（）（参考数据：sin7.5°≈0.1305，sin3.75°≈0.06540，sin1.875°≈0.03272）A．p≤3.14B．p≥3.14C．p≥3.1415D．p≥3.141592610．（5分）在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（）A．20B．21C．22D．2411．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与E的左支交于P，Q两点，若|PF1|=2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，则E的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=2x+x2﹣xln2﹣2，若函数g（x）=|f（x）|﹣log a（x+2）（a＞1）在区间[﹣1，1]上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．[3，+∞）D．（2，3]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若直线y=k（x+3）与圆x2+y2﹣2x=3相切，则k=．14．（5分）甲乙两人从1，2，3，…，10中各任取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为．15．（5分）下列命题正确的是．（写出所有正确命题的序号）①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；②已知平面向量，“且”是“”的必要不充分条件；③已知a，b∈R，“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为￢p：“∀x∈R，都有e x＜x+1且lnx＞x﹣1”16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2+c2﹣b2=ac，c=2，点G满足||=且=（+），则sinA=．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n﹣n+1，数列{b n}满足b1=2，b n+1=b n+a n ﹣n．（1）证明：{a n﹣n}为等比数列；（2）数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）下表数据为某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）及对应销售价格y（单位：千元/吨）．x12345y7065553822（1）若y与x有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（2）若每吨该农产品的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润Z最大？参考公式：．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面SAD⊥平面SCD，．（1）求证：平面SAD⊥平面ABCD；（2）E为线段DS上一点，若二面角S﹣BC﹣E的平面角与二面角D﹣BC﹣E的平面角大小相等，求SE的长．20．（12分）已知F是抛物线C：x2=4y的焦点，A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线C上不同的两点，l1，l2分别是抛物线C在点A、点B处的切线，P（x0，y0）是l1，l2的交点．（1）当直线AB经过焦点F时，求证：点P在定直线上；（2）若|PF|=2，求|AF|•|BF|的值．21．（12分）已知函数f（x）=sinx．（1）当x＞0时，证明：；（2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程\（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若射线θ=，θ=分别与l交于A，B两点．（1）求|AB|；（2）设点P是曲线C：x2+=1上的动点，求△ABP面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若对任意，不等式f（x）≥|2x+a|﹣4恒成立，求实数a的取值范围．2017年东北三省三校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|1≤x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|﹣2≤x＜1}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}【解答】解：∵A={x|1≤x＜3}，B={x|x2≥4}={x|x≤﹣2或x≥2}，∴∁R B={x|﹣2＜x＜2}，∴（∁R A）∩B={x|1≤x＜2}，故选：A．2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣i B．﹣2i C．﹣1D．﹣2【解答】解：由=，得复数的虚部为：﹣1．故选：C．3．（5分）已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为（）A．B．C．1﹣a D．【解答】解：∵随机变量X服从标准正态分布N（0，σ2），∴正态曲线关于X=0对称，∵P（|X|＜2）=a，∴P（X＞2）=，故选：A．4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{a n}的前9项的和S9等于（）A．66B．99C．144D．297【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，∴3a3=39，3a7=27，解得a3=13，a7=9，∴数列{a n}的前9项的和：S9===．故选：B．5．（5分）α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是（）A．垂直B．相交C．异面D．平行【解答】解：∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，∴n在平面a上，m与平面a相交∵A∈m．A∈a∴A是M和平面a相交的点∴m和n 异面或相交，一定不平行．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知这是用轴截面分成两部分的半个圆锥，圆锥是底面半径是1，高是2，母线长是，∴该几何体的表面积是=+2，故选：B．7．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：=，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选：C．8．（5分）已知偶函数f（x）的定义域为R，若f（x﹣1）为奇函数，且f（2）=3，则f（5）+f（6）的值为（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【解答】解：∵f（x﹣1）为奇函数，∴f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x﹣1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x+2）=﹣f（x），f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），则f（5）=f（1），f（6）=f（2）=3，当x=﹣1时，由f（x+2）=﹣f（x），得f（1）=﹣f（﹣1）=﹣f（1），即f（1）=0，∴f（5）+f（6）=3，故选：D．9．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的周长可无限逼近圆的周长，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率，利用刘徽的割圆术设计的程序框图如图所示，若输出的n=96，则判断框内可以填入（）（参考数据：sin7.5°≈0.1305，sin3.75°≈0.06540，sin1.875°≈0.03272）A．p≤3.14B．p≥3.14C．p≥3.1415D．p≥3.1415926【解答】解：模拟执行程序，可得：n=48，p=48sin（）°≈3.13，n=96，S=96×sin（）°≈3.14，满足条件p≥3.14，退出循环，输出n的值为96．故选：B．10．（5分）在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（）A．20B．21C．22D．24【解答】解：根据题意，要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则蓝色最多可以用3块，分4种情况讨论：①、6块广告牌都不用蓝色，即全部用红色，有1种情况；②、6块广告牌有1块用蓝色，在6块广告牌选1块用蓝色即可，有C61=6种情况；③、6块广告牌有2块用蓝色，先将4块红色的广告牌安排好，形成5个空位，在5个空位中任选2个，安排蓝色的广告牌，有C52=10种情况；④、6块广告牌有3块用蓝色，先将3块红色的广告牌安排好，形成4个空位，在4个空位中任选3个，安排蓝色的广告牌，有C43=4种情况；则一共有1+6+10+4=21种配色方案；故选：B．11．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与E的左支交于P，Q两点，若|PF1|=2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，则E的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：若|PF1|=2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，可设|F1Q|=m，可得|PF1|=2m，由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a，|QF2|﹣|QF1|=2a，即有|PF2|=2a+2m，|QF2|=m+2a，在直角三角形PQF2中，可得|PQ|2+|QF2|2=|PF2|2，即为（3m）2+（m+2a）2=（2a+2m）2，化简可得2a=3m，即m=a，再由直角三角形F1QF2中，可得|F2Q|2+|QF1|2=|F1F2|2，即为（2a+m）2+m2=（2c）2，即为a2+a2=4c2，即a2=c2，由e==．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=2x+x2﹣xln2﹣2，若函数g（x）=|f（x）|﹣log a（x+2）（a＞1）在区间[﹣1，1]上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．[3，+∞）D．（2，3]【解答】解：f′（x）=2x•ln2+2x﹣ln2=（2x﹣1）ln2+2x，∴当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，令g（x）=0得|f（x）|=log a（x+2），则y=|f（x）|与y=log a x的函数图象在[﹣1，1]上有4个交点，作出y=|f（x）|与y=log a（x+2）的大致图象如图所示：∴log a3≤1﹣ln2，即，解得a≥3．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若直线y=k（x+3）与圆x2+y2﹣2x=3相切，则k=±．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=3的圆心为（1，0），半径r==2，∵直线y=k（x+3）与圆x2+y2﹣2x=3相切，∴圆心（1，0）到直线y=k（x+3）的距离：d==2，解得k=±．故答案为：．14．（5分）甲乙两人从1，2，3，…，10中各任取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为．【解答】解：甲乙两人从1，2，3，…，10中各任取一数（不重复），甲取到的数是5的倍数，基本事件总数n==18，甲数小于乙数的基本事件有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），∴甲数大于乙数的概率为p=1﹣=．故答案为：．15．（5分）下列命题正确的是①③．（写出所有正确命题的序号）①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；②已知平面向量，“且”是“”的必要不充分条件；③已知a，b∈R，“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为￢p：“∀x∈R，都有e x＜x+1且lnx＞x﹣1”【解答】解；对于①，已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；对于②，向量的加法法则可知，“且”不能得到“”；“”，不能得到，“且”，故错；对于③，如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故正确；对于④，命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为￢p：“∀x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x﹣1”，故错．故答案为：①③16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2+c2﹣b2=ac，c=2，点G满足||=且=（+），则sinA=．【解答】解：a2+c2﹣b2=ac，即为cosB==，由0°＜B＜180°，可得B=60°，点G满足||=且=（+），可得2=（+）2=（2+2+2•）=（c2+a2+2accosB）=×（4+a2+2a•2•）=，解得a=3（﹣5舍去），由a2+c2﹣b2=ac，可得b===，由正弦定理可得，=，可得sinA===．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n﹣n+1，数列{b n}满足b1=2，b n+1=b n+a n ﹣n．（1）证明：{a n﹣n}为等比数列；（2）数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．=2a n﹣n+1，∴a n+1﹣（n+1）=2（a n﹣n），【解答】（1）证明：∵a n+1又因为a1﹣1=2，所以{a n﹣n}是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）解：∵，∵，∴，累加求和得到，当n=1时，b1=2，∴．∴，∴T n=++…+=﹣．18．（12分）下表数据为某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）及对应销售价格y（单位：千元/吨）．x12345y7065553822（1）若y与x有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（2）若每吨该农产品的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润Z最大？参考公式：．【解答】解：（I）计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（70+65+55+38+22）=50，x i y i=1×70+2×65+3×55+4×38+3×22=627，=12+22+32+42+52=55；∴回归系数=≈﹣12.3，=50﹣（﹣12.3）×3=86.9；∴y关于x的线性回归方程为=﹣12.3x+86.9；（Ⅱ）年利润z=x（86.9﹣12.3x）﹣13.1x=﹣12.3x2+73.8x；∴当x=﹣=3时，年利润Z最大．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面SAD⊥平面SCD，．（1）求证：平面SAD⊥平面ABCD；（2）E为线段DS上一点，若二面角S﹣BC﹣E的平面角与二面角D﹣BC﹣E的平面角大小相等，求SE的长．【解答】证明：（1）∵底面ABCD是边长为4的正方形，平面SAD⊥平面SCD，SA=SD=2，∴DC⊥AD，AS⊥DS，∴AS⊥平面SDC，∴AS⊥CD，又AS∩AD=A，∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥SD，∵AD∩SD=D，∴CD⊥平面ASD，∵CD⊂底面ABCD，∴平面SAD⊥底面ABCD解：（2）取AD中点M，连接SM，∵SA=AD，∴SM⊥AD，又∵平面SAD⊥底面ABCD，∴SM⊥平面ABCD以M为原点，方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，平面ABCD的法向量=（0，0，1），设平面BCS的法向量=（x，y，z），S（0，0，2），B（﹣2，4，0），C（2，4，0），则，取y=1，得=（0，1，2），设，∴E（2﹣2λ，0，2λ），由上同理可求出平面BCE的法向量=（0，λ，2），由平面BCD、BCS与平面BCE所成的锐二面角的大小相等可得：=，即=，解得，∴．20．（12分）已知F是抛物线C：x2=4y的焦点，A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线C上不同的两点，l1，l2分别是抛物线C在点A、点B处的切线，P（x0，y0）是l1，l2的交点．（1）当直线AB经过焦点F时，求证：点P在定直线上；（2）若|PF|=2，求|AF|•|BF|的值．【解答】（1）证明：抛物线，则，∴切线PA的方程为，即，同理切线PB的方程为，联立得点P，设直线AB的方程为y=kx+1，代入C：x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0．所以x1x2=﹣4所以点P在直线y=﹣1上；（2）证明：设直线AB的方程为y=kx+m，代入C：x2=4y得x2﹣4kx﹣4m=0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，所以P（2k，﹣m），，=﹣4mk2+4k2（m+1）+4﹣4k2=4．21．（12分）已知函数f（x）=sinx．（1）当x＞0时，证明：；（2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵函数f（x）=sinx，x＞0，∴f′（x）=cosx，设，则g′（x）=﹣sinx+x，g''（x）=1﹣cosx＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上是增函数，∴g′（x）＞g′（0）=0，∴当x＞0时，．（2）当时，恒成立，等价于sinx+tanx＞ax，设h（x）=sinx+tanx﹣ax，则，，令t=cosx，由，得0＜t＜1，设，∴k（t）在（0，1）上是减函数，∴k（t）＞k（1）=2，当a≤2时，h′（x）≥0，∴h（x）在上是增函数，∴h（x）＞h（0）=0成立，当a＞2时在（0，1）仅有一根，设根为t0，设cosx=t0，，存在唯一m有cosm=t0，当x∈（0，m）时，，∴h（x）在（0，m）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，这与条件矛盾，所以a＞2时不成立综上得到实数a的取值范围是{a|a≤2}．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程\（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若射线θ=，θ=分别与l交于A，B两点．（1）求|AB|；（2）设点P是曲线C：x2+=1上的动点，求△ABP面积的最大值．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若对任意，不等式f（x）≥|2x+a|﹣4恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）1°当时，﹣2x﹣1﹣2x+3≤6⇒x≥﹣1；2°当时，2x+1﹣2x+3≤6恒成立；3°当时，4x﹣2≤6⇒x≤2综上，解集为[﹣1，2]；（2）f（x）≥|2x+a|﹣4⇔|2x+a|≤8即﹣8≤2x+a≤8⇒﹣7≤a≤6．。
2020年东北三省三校高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年东北三省三校高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知z+5−6i=3+4i，则复数z为()A. −4+20iB. −2+10iC. −8+20iD. −2+20i2.已知集合U={1,2，3，4，5，6，7}，A={2,3，4，5}，B={2,3，6，7}，则A∩∁U B=()A. {1,4}B. {1,4，5}C. {4,5}D. {6,7}3.设x，y满足约束条件{x−y+1≤0x+y−3≥0y≤4，则z=2x+y的最大值是()A. 10B. 5C. 4D. 24.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有如下四个命题：①若α//β，则l⊥m；②若α⊥β，则l//m；③若l//m，则α⊥β；④若l⊥m，则α//β．其中正确的两个命题是()A. ①与②B. ①与③C. ②与④D. ③与④5.甲、乙、丙、丁四人，只有一人是说谎者．甲说：乙丙说真话；乙说：甲丁有一人说假话；丙说：我说真话；丁说：我说真话．判定四人中，说谎者是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6. 已知正项等比数列{a n }，若向量a ⃗ =(8,a 2)，b ⃗ =(a 8,2),a ⃗ //b ⃗ ，则log 2 a 1+log 2 a 2+⋯+log 2 a 9=( )A. 12B. 8+log 25C. 5D. 187. 现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒．若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积的最小值为A. 36πB. 72πC. 81πD. 216π8. 已知函数f (x )=4cos 2x ，则下列说法中正确的是( )A. f (x )为奇函数B. f (x )的最小正周期为π2 C. f (x )的图象关于直线x =π4对称D. f (x )的值域为[0,4]9. 已知tan(π4−α)=43，则sin 2(π4+α)=( )A. 725B. 925C. 1625D. 242510. 已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A. √2B. √22 C. 3√32D. 2√211. 过双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 做圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为M ，切线交y 轴于点P ，且FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √512. 已知函数，若方程f(x)=ax 恰有两个不同的实根时，则实数a 的取值范围是( )A. (0,e)B. (1e ,4]C. (e,4]D. (0,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某学校为了解全校三个年级学生对安全常识掌握的情况，采用分层抽样的方法从全校3500名学生中抽取一个容量为50的样本，其中高一年级抽取16人，若高三年级有1120名学生，则从高二年级抽取的人数为________．14. 某校选定4名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，则甲、乙两人不在同一边远地区的概率是______．15.设△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，cos(A−C)+cosB=3，b2=ac，则B=2 ______ ．16.点P是抛物线y2=x上的动点，点Q的坐标为(3,0)，则|PQ|的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是等差数列，a3=5，a5=9．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和为T n，求T n.(2)若数列{1a n a n+118.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=π，△ADP为等边三角形．3(1)求证：AD⊥PB；(2)若AB=2，BP=√6，求二面角D−PC−B的余弦值．19. 已知函数f(x)=x 2−ax +lnx(a ∈R)．(1)若函数f(x)在x =1处取得极小值，求函数f(x)的极大值； (2)若x ∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，求a 的取值范围．20. 灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X ，已知X ～N(1000,302).要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为99.7%，问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？21. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为，点P 是椭圆E 上的一个动点，△PF 1F 2的周长为6，且存在点P 使得，△PF 1F 为正三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若AC 的斜率为√3，求四边形ABCD 的面积．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,(t为参数).以坐标原点为极点，y=tsinα以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知a、b、c∈R+且a+b+c=1，求√4a+1+√4b+1+√4c+1的最大值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵z +5−6i =3+4i ， ∴z =3+4i −5+6i =−2+10i ． 故选：B ．直接利用复数的代数形式的混合运算，求出复数z 即可． 本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2.答案：C解析：本题主要考查集合的交集及补集运算，属基础题． 由交集、补集的定义直接求解即可．解：因为集合U ={1,2，3，4，5，6，7}，A ={2,3，4，5}， B ={2,3，6，7}， 则∁U B ={1,4，5}， 所以A ∩∁U B ={4,5}． 故选C ．3.答案：A解析：解：由约束条件{x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4作出可行域如图，联立{y =4x −y +1=0，解得A(3,4)，化z=2x+y为y=−2x+z，由图可知，当直线y=−2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+4=10．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4.答案：B解析：解：①根据面面平行的性质可知，若α//β，当l⊥α时，有l⊥β，因为m⊂β，所以l⊥m成立，所以①正确．②若α⊥β，当l⊥α时，有l//β或l⊂β，无法判断，l与m的位置关系，所以②错误．③若l//m，当l⊥α时，则m⊥α，因为m⊂β，所以α⊥β，所以③正确．④若l⊥m，m⊂β，则l和β关系不确定，所以α//β不一定成立，所以④错误．故选B．①根据面面平行的性质判断．②利用面面垂直的性质判断．③利用面面垂直的判定定理判断．④利用面面平行的判定定理判断．本题主要考查空间平面平行和垂直的判定和性质，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5.答案：D解析：本题考查合情推理中的归纳推理，属于基础题．经过推理即可得结果．解：(1)若丙说谎话，则甲也说谎话，与条件不符，故丙说真话；(2)若乙说谎话，则甲也说谎话，与条件不符，故乙说真话；(3)由(1)(2)知：甲说真话；(4)故丁说谎话．故选D．6.答案：D解析：解：由题意，向量a⃗=(8,a2),b⃗ =(a8,2),a⃗//b⃗ ，则8⋅2−a2⋅a8=0，即a2⋅a8=16，根据等比中项的知识，可得a2⋅a8=a52=16，∵a5>0，∴a5=4，∴log2a1+log2a2+⋯+log2a9=log2(a1a2 (9)=log2[(a1a9)⋅(a2a8)⋅(a3a7)⋅(a4a6)⋅a5]=log2a59=9log24=18．故选：D．本题先根据平行向量的坐标运算可得a2⋅a8=16，再根据等比中项的知识，可计算出a5=4，在求和时根据对数的运算及等比中项可得到正确选项．本题主要考查等比数列的性质应用，向量共线的充要条件，属中档题．7.答案：B解析：本题考查圆锥体积的求解及利用基本不等式求最值，同时考查两角和与差的三角函数，画出轴截面，然后设角，将体积表示为三角函数，利用基本不等式求解即可，属于中档题．解：由已知球为圆锥的内切球，画出轴截面如下图，)，设∠OCB=α，α∈(0,π4∵由已知OB=3，∴BC=3 tanα,AB=BC×tan2α=3tan2αtanα=61−tan2α，∴圆锥的体积 V=13π×(3tanα)2×61−tan2α，=18π×1tan2α(1−tan2α)，≥18π×1(tan2α+1−tan2α)24=72π，当tanα=√22时，取等号，∴其包装盒的体积的最小值为72π．故选B．8.答案：D解析：本题考查余弦函数的图象与性质，考查二倍角公式及其应用，属于基础题．由二倍角公式可得f(x)=4cos2 x=2cos 2x+2，根据余弦函数的图象与性质逐项判断即可．解：∵f(x)=4cos2x=2cos2x+2，该函数的定义域为R．对于A选项，f(−x)=2cos(−2x)+2=2cos2x+2=f(x)，函数y=f(x)为偶函数，A选项错误；对于B选项，函数y=f(x)的最小正周期为T=2π2=π，B选项错误；对于C选项，∵f(π4)=2cos(2×π4)+2=2，所以f(π4)既不是函数y=f(x)的最大值，也不是该函数的最小值，C选项错误；对于D选项，∵−1≤cos2x≤1，∴f(x)=2cos2x+2∈[0,4]，D选项正确．故选D．9.答案：B解析：本题考查了三角函数的综合运用，属于基础题．利用两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数公式进行计算即可． 解：由题意得tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=43， 解得tanα=−17，而sin 2(π4+α)=(√22sinα+√22cosα)2=1+sin2α2=12+sinαcosαsin 2α+cos 2α=12+tanα1+tan 2α=925，故选B ．10.答案：A解析：解：AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 可得|AC|=√2，并且B ，D 在以BC 为直径的圆上， 显然|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为圆的直径，√2． 故选：A ．利用已知条件分析判断然后求解BD 的最大值．本题考查向量在几何中的应用，向量的模的最大值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．11.答案：B解析：解：设P(0,3y)，则M(13c,2y)， 则∵OM ⊥PF ，∴2y13c ⋅3y−c =−1，取y =√c 18，M 的坐标代入圆x 2+y 2=a 2，即圆19c 2+418c 2=a 2，∴e =√3，故选：B ．求出M 的坐标，代入圆的方程求得离心率．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出M 的坐标是解题的关键．12.答案：C解析：本题考查方程根的个数的判断，体现了数形结合及转化的数学思想，属于中档题． 方程f(x)=ax 恰有两个不同的实根，即与函数y =ax 的图象有且只有两个交点，在同一坐标系中画出两个函数的图象，数形结合可得实数a 的取值范围． 解：函数f(x)={4(x −1),x ≤0e x ,x >0的图象如下图所示：设y =ax 与y =e x 相切于点(x 0,y 0)，y =e x 的导数为y ′=e x ， 则有{a =y 0x 0=e x 0,y 0=e x 0，解得x 0=1，a =e ．由图象可得：当a <e 时，两个函数的图象无交点; 当a =e 时，两个函数的图象有一个交点; 当e <a ≤4时，两个函数的图象有两个交点; 当a >4时，两个函数的图象有三个交点． 综上所述：实数a 的取值范围是(e,4]． 故选：C ．13.答案：18解析：本题考查分层抽样，考查考生的数据处理能力和运动求解能力，属基础题，难度不大．由题意知抽样比为503500=170，所以从高三年级抽取的人数为1120×170=16，进而知从高二年级抽取的人数为50−16−16=18．解：由题意知抽样比为503500=170，所以从高三年级抽取的人数为1120×170=16，所以从高二年级抽取的人数为50−16−16=18．14.答案：56解析：本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 基本事件总数n =C 42C 21C 11A 22⋅A 33=36，甲、乙两人在同一边远地区包含的基本事件个数m =C 22A 33=6，由此能求出甲、乙两人不在同一边远地区的概率．解：某校选定4名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)， 基本事件总数n =C 42C 21C 11A 22⋅A 33=36，甲、乙两人在同一边远地区包含的基本事件个数m =C 22A 33=6，∴甲、乙两人不在同一边远地区的概率是p =1−m n=1−636=56．故答案为：56．15.答案：π3解析：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．将B =π−(A +C)代入已知等式左边第二项，左边两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后求出sin A sin C 的值，利用正弦定理化简b 2=ac ，将sin A sin C 的值代入求出sin B 的值，即可确定出B 的度数．解：∵B =π−(A +C)，∴已知等式变形得：cos(A −C)−cos(A +C)=32，即cosAcosC +sinAsinC −cosAcosC +sinAsinC =2sinAsinC =32，∴sinAsinC =34，将b 2=ac 利用正弦定理化简得：sin 2B =sinAsinC =34， ∴sinB =√32或sinB =−√32(舍去)， ∴B =π3或B =2π3，∵b 2=ac ，∴b ≤a 或b ≤c ， 则B =π3． 故答案为：π316.答案：√112解析：解：∵点P 是抛物线y 2=x 上的动点， ∴设P(x,√x)， ∵点Q 的坐标为(3,0)，∴|PQ|=√(x −3)2+(√x −0)2 =√=√(x −52)2+114，∴当x =52，即P(52,√104)时， |PQ|取最小值√112．故答案为：√112．由已知条件，设P(x,√x)，利用两点间距离公式，求出|PQ|，由此利用配方法能求出|PQ|的最小值． 本题考查线段长的最小值的求法，中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．17.答案：解：设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，(1)由a 3=5，a 5=9得： a 1+2d =5，a 1+4d =9； 解得a 1=1，d =2； ∴a n =2n −1；(2)∵1a n⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)，∴T n=11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1) =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．解析：本题考查了等差数列的通项公式的求法及裂项求和法的应用，属于中档题．(1)利用等差数列通项公式求解即可．(2)利用裂项相消求和．18.答案：(1)证明：取AD中点E，连结PE，BE∵ABCD为菱形，∠DAB=60∘，∴ΔABD为等边三角形，∴BE⊥AD,∵ΔADP为等边三角形，∴PE⊥AD，∵PE∩BE=E∴AD⊥平面PBE，∵PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB;解：(2)∵ΔPAD,ΔBAD为等边三角形，边长为2，∴PE=BE=√3,∵PB=√6，∴PE2+BE2=PB2，∴PE⊥EB，∵PE⊥AD,AD∩BE=E，∴PE⊥平面ABCD，如图，以EA，EB，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∴P(0,0,√3),D(−1,0,0),B(0,√3,0),C(−2,√3,0)，设平面PCD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， {m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，{(x,y,z)⋅(−1,0,−√3)=0(x,y,z)⋅(−1,√3,0)=0,{−x −√3z =0−x +√3y =0，取z =1，则x =−√3,y =−1,m ⃗⃗⃗ =(−√3,−1,1) ， 设平面PCB 的法向量为n⃗ =(a,b,c) {n →⋅PB →=0n →⋅BC →=0，{(a,b,c)⋅(0,√3,−√3)=0(a,b,c)⋅(−2,0,0)=0,{−2a =0√3b −√3c =0， 取c =−1，则a =0,b =−1,n ⃗ =(0,−1,−1) ， 设二面角D −PC −B 的平面角为θ ∴，cosθ=cos <m →,n →>=m →·n→|m →||n →|=√3,−1,1)·(0,−1,−1)√5×√2=0，二面角D −PC −B 的余弦值等于0．解析：本题主要考查空间线面垂直的性质，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．(1)根据线面垂直的性质定理即可证明AD ⊥PB ．(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求半平面APB 和PBC 的法向量，求法向量夹角的余弦值，即可求二面角D −PC −B 的余弦值．19.答案：解：(1)∵f(x)=x 2−ax +lnx(a ∈R)在x =1时取得极值，f′(x)=2x −a +1x ，∴f′(1)=0， ∴2−a +1=0，解得a =3，经过验证满足条件．(2)∵x ∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，∴a ≥x +lnx x−1x =ℎ(x)．ℎ′(x)=1+1x 2+1−lnx x 2=x 2+2−lnxx 2>0，∴函数ℎ(x)在x ∈(0,e]单调递增，∴x =e 时，ℎ(x)取得最大值，ℎ(e)=e +1e −1e =e ． ∴a ≥e ．解析：本题考查了利用导数研究函数的极值与最值，考查了等价转化方法、推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由f(x)=x 2−ax +lnx(a ∈R)在x =1时取得极值，可得f′(1)=0，解出a 即可得出． (2)x ∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，可得a ≥x +lnx x−1x=ℎ(x).利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．20.答案：解：∵灯泡的寿命为X ，X ～N(1000,302).∴X 在(1000−3×30,1000+3×30)的概率为99.7%， ∴X 在(910,1090)内的取值的概率为99.7%，解析：由于灯泡的寿命为X ，X ～N(1000,302).可得X 在(1000−3×30,1000+3×30)的概率为99.7%，即可得出．本题考查了正态分布的“3σ原则”，属于基础题．21.答案：解：(1)设c 为椭圆的半焦距，依题意，有：{2a +2c =6a =2c ，解得{a =2c =1，∴b 2=a 2−c 2=3． 故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．(2)解：由AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33． 则AC ：y =√3(x +1)，BD ：y =−√33(x +1)．联立{x 24+y 23=1y =√3(x +1)，得5x 2+8x =0，∴x =0或x =−85，∴|AC|=√1+(√3)2|0−(−85)|=165．联立{x 24+y 23=1y =−√33(x +1)，得13x 2+8x −32=0，∴x =−4±12√313， ∴|BD|=√33)−4+12√313−−4−12√313|=4813． ∴S ABCD =12|AC|×|BD|=12×165×4813=38465，故四边形ABCD 面积为38465．解析：(1)由题意列关于a ，c 的方程组，求得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；(2)由已知向量等式可得AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33.分别写出AC 、BD 所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四边形面积公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0． 法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由(1)可知t 1+t 2=2cosα，t 1t 2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t 1+t 2|=2|cosα|=1， ∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由柯西不等式得(√4a +1+√4b +1+√4c +1)2≤(12+12+12)(4a +1+4b +1+4c +1)=3[4(a +b +c)+3]=21， 当且仅当a =b =c =13时等号成立，故√4a+1+√4b+1+√4c+1的最大值为√21．解析：本题考查柯西不等式．利用柯西不等式得(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)≥(am+bn+cp)2进行求解即可．。
2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(二)理科数学试卷含答案
学校号姓名2020年东北三省四市教研收合体高芍模拟试卷（二）数学（理科）2020A第I卷（选择题共6。
分）*玫* AIK.*议州夫后•将各K卡1. 3题曹・夕生光将白已的姓名,,女寿诞号码母耳清欠.料杀力马准♦格NA才生信息/附码格RL1.2.逸小题必“使用泳♦小逸新■必场使用0.5击泉累包字填的筌字E书笃•字体工整.E遵法",3.诂林只黑手・小在3题卡'MH的工愚区域力件8,缎出8髓区域由月的8金力效I也单口限,次卷上△题七败.4•你网可无使用馅里/出•*之於必Ml用又包字边的等字里如又・5.保朴卡面清泊.不要折叠•不要异或、异被・K准使M除改我,修正，•制徽刀,一、选择题：本题共12小题，级小题§分,共6。
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的©1.已知火；；A=<iGZI”• 1 .B=<x|- ； / J .WJ.An«=A. .r I — 2Cx<2：B. .r|-4 V*&2C. {-2. — 1 •□• 1 .2}D. { —2t — 1 •©•I2.已知复数z5+八（1 -2i）SWR）的实部为3.真中，为总数仇位•则复数/的虚部为A.一1B. —iC. 1 I）, i3.已知以曲线1： <一<=】•则此双曲线的焦点到冗渐近线的距离为 M WA.2B.V2C. 1D.yI.凤而桥是侗族最儿特色的建筑之一.凤南桥由桥.塔・亭组成•冗亭、塔平而图通常是正方 a正T”ihi匕卜图是凤潮柳亭.塔u的正射影•共止六边旧的边K计算方法如 F：A|B1-AoU>-ft>B|eA：B：=AB|-B|B：M J B3-A J B J-B:B3e- •人比=4」B.•其中B B.… B t B BiB /；/；・心、.■■每层边长间的规律.― 婶通过推第,可初步估计需要多少材机所用材料中•横向梁所用木料与正六边形的冏长有关.某一风雨桥亭、塔共5乩若4 H =8皿.”“他=0・5皿・则这五尺正六边形的周长总和为A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m5.对于直线，…和平面a・代丁•有如下四个命题：（1）若m Xa•m//p.则 aj./9i （2）若〃，〃・〃U小则 a ，（3）若。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. 0，1，D. 0，2.已知复数的实部为3，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为A. B. C. 1 D. i3.已知双曲线C：，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为A. 2B.C. 1D.4.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：，，，，，其中，根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若，，则这五层正六边形的周长总和为A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m5.已知直线m，n和平面，，，有如下四个命题：若，，则；若，，，则；若，，，则；若，，则．其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.已知正方体，O为底面ABCD的中心，M，N分别为棱，的中点，则异面直线与ON所成角的余弦值为A. B. C. D.7.函数，若要得到奇函数的图象，可以将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位8.某一项针对我国义务教育数学课程标准的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是学段内容主题第一学段年级第二阶段年级第三学段年级合计数与代数21284998图形与几何182587130统计与概率381122综合与实践34310合计4565150260A. 除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的倍B. 在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占，“综合与实践”内容最少，约占C. 第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D. “数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长9.定义在R上的偶函数满足：对任意的，，有，则A. B.C. D.10.给定两个长度为2的平面向量和，它们的夹角为如图所示，点C在以O为圆心2为半径的圆弧AB上运动，则的最小值为A. B. C. 0 D. 211.若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为A. B. C. D.12.设椭圆的左右焦点为，，焦距为2c，过点的直线与椭圆C交于点P，Q，若，且，则椭圆C的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值是______．14.甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为，，，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为______．15.数列是等差数列，前n项和为，，，且，则实数______．16.在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，为等边三角形，线段BC的中点为E，若，则此四棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A.Ⅰ求tan A的值；Ⅱ若为锐角三角形，求tan B tan C的最小值．18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950Ⅰ根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；Ⅱ如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望将频率当作慨率计算．参考附表：k参考公式：，其中．19.四棱锥中，ABCD为直角梯形，，，，，，E为PC中点，平面平面ABCD，F为AD上一点，平面BEF．Ⅰ求证：平面平面PAD；Ⅱ若PC与底面ABCD所成的角为求二面角的余弦值．20.已知点，B为抛物线上任意一点，且B为AC的中点，设动点C的轨迹为曲线E．Ⅰ求曲线E的方程；Ⅱ关于的对称点为D，是否存在斜率为的直线1交曲线E于M，N两点，使得为以MN为底边的等腰三角形？若存在，请求出的面积；若不存在，请说明理由．21.已知函数，．Ⅰ讨论函数在上的单调性；Ⅱ判断当时．与的图象公切线的条数，并说明理由．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数．Ⅰ求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；Ⅱ设点P为曲线C上的动点点M和点N为直线1上的点，且，求面积的取值范围．23.已知函数，，．Ⅰ当时，有，求实数m的取值范围．Ⅱ若不等式的解集为，正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合0，1，，0，，故选：D．先求出集合A，再利用集合交集的运算即可算出结果．本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.答案：A解析：解：因为复数；；的虚部为：．故选：A．利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：由题得：其焦点坐标为，渐近线方程为，即，所以焦点到其渐近线的距离．故选：B．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．4.答案：C解析：解：根据，其中，可知是首项为8，公差为的等差数列．、所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和的6倍．所以故选：C．根据，其中，可知是首项为8，公差为的等差数列，所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和，问题可解．本题考查合情推理的有关知识与方法，同时考查学生的逻辑推理能力，以及数学建模、数学计算等核心素养．属于中档题．5.答案：C解析：解：已知直线m，n和平面，，，有如下四个命题：若，，则在内，作，所以，由于，则，故正确；若，，所以，由于，则；故正确．若，，所以，由于，则；故正确．若，，则也可能内，故错误．故选：C．直接利用线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用求出正确的结果．本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及空间思维能力，属于基础题型．6.答案：C解析：解：据题意，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则：0，，1，，2，，0，，2，，，设异面直线与ON所成角为，则．故选：C．建立空间直角坐标系，分别求出两条异面直线对应的向量坐标，套用向量夹角公式计算即可．本题考查空间角的求法，一般的，如果给的条件便于建系，求角的问题利用坐标法比较简单．同时考查了学生的运算能力和逻辑推理能，属于中档题．7.答案：A解析：解：，将函数向左平移的单位，得到，若是奇函数，则，即，，当时，，即可以将函数的图象向左平移个单位，即可，故选：A．利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的平移性质求出平移后的解析式，利用三角函数是奇函数建立条件关系进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的奇偶性是解决本题的关键，难度不大．8.答案：D解析：解：对于A，结合表格可知，除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的倍，故A对．对于B，由表格可知：“图形与几何”内容最多，占，“综合与实践”内容最少，占，故B对．对于C，分析表格可知，第一、二学段“数与代数”内容分别是21，28，数目最多，第三学段“图形与几何”内容为87，最多．故C对．对于D，图形与几何的第一学段到第二学段百分比是减少的，故D错．故选：D．从等高条形图看比例大体变化趋势，利用表格计算条目数的相关数据，逐项进行判断即可．本题考查利用图表的识图问题，同时根据图表数据进行合理的分析和推理，属于中档题．9.答案：D解析：解：根据题意，对任意的，，有，则在上为减函数，又由为偶函数，则，又由，则有；故选：D．根据题意，由单调性的定义分析可得在上为减函数，结合偶函数的性质可得，由指数的性质可得，据此分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及指数、对数的大小比较，属于基础题．10.答案：B解析：解：建立如图所示的坐标系，则，即，设，；则．；；；当即时，取最小值为；故选：B．根据题意，建立坐标系，求出A，B点的坐标，并设，则向量，求出向量的数量积，结合角的范围即可求解．本题是向量的坐标表示以及数量积的应用，结合图形，利用三角函数的性质，容易求出结果．11.答案：A解析：解：数列满足，且，所以：，，，所以将上面个式子相加得到：，整理得：．所以，，，，易知：，若不等式成立的有且只有三项，则：的取值范围为．故选：A．首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用不等式的应用求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，参数的求法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.答案：C解析：解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，如图所示，，则．，，则，在等腰中，可得．在中，由余弦定理可得，由，得，整理得：，，．故选：C．由题意画出图形，由，，利用椭圆的定义可得：，进一步求出，，在等腰中，求得得在中，由余弦定理可得，利用，化简求得，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，考查三角形中余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：8解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得，由得：，显然直线过A时，z最大，z的最大值是，故答案为：8．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14.答案：解析：解：甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为，，，如果他们三人每人投篮一次，则他们都没有投中的概率为，则至少一人命中的概率为，故答案为：．由题意利用相互独立事件的概率计算公式，事件和它的对立事件概率间的关系，求得结果．本题主要考查相互独立事件的概率，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．15.答案：解析：解：设等差数列的公差为d，，，，解得．，代入，，解得实数．故答案为：．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：取AD的中点F，连接EF，PF，因为底面ABCD为正方形，，为等边三角形，所以，，又，所以，设正方形ABCD的对角线的交点M，过P做底面的投影N，则由题意可得N在EF上，由射影定理可得，而，所以，，，过M做底面的垂线MO，则四棱锥的外接球的球心在直线MO上，设O为外接球的球心，设球的半径为R，则，过O做于H，则四边形OMNH为矩形，所以，，若球心在四棱锥的内部则可得：在中，，即，在中，，即，由可得，不符合，故舍去．若球心在四棱锥的外部则可得：在中，，即，在中，，即，由可得，所以四棱锥的外接球的表面积．综上所述四棱锥的外接球的表面积．故答案为：．取AD的中点F，连接EF，PF，由题意可得三角形PEF为直角三角形，求出四棱锥的高，及底面外接圆的圆心到P在底面的投影的距离，设正方形ABCD的中心为M，过M做MO垂直于底面，则四棱锥的外接球的球心在直线MO上，分别在两个直角三角形中求出外接球的半径与直角边的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查四棱锥的外接球的半径与四棱锥的棱长之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．17.答案：解：A.由正弦定理可得：，可得：，，，，则．由，，，，由均值不等式可得：，当且仅当时取等号．解得．的最小值为9．解析：A.由正弦定理可得：，可得：，再利用余弦定理即可得出．由，可得，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了三角函数的性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意知，，有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“．Ⅱ在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为，成绩够不优秀的概率为，而随机变量的可能取值为0，1，2，3，，，，．的分布列为0 1 2 3P，．解析：Ⅰ根据的公式计算出观测值，并与附表中的参考值进行对比即可作出判断；Ⅱ在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为，成绩够不优秀的概率为，而随机变量的可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，最后根据二项分布的性质求数学期望即可．本题考查独立性检验、二项分布、离散型随机变量的分别列和数学期望，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．19.答案：Ⅰ证明：连接AC交BE与G，连接EG，平面BEF，平面PAC，平面平面，，又E为PC的中点，为AC的中点，则≌，得．为AD的中点，，且，四边形DCBF为平行四边形，，，又平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，又平面BEF，平面平面PAD；Ⅱ解：连接PF，，F为AD的中点，，又平面PAD，平面平面ABCD，平面平面，底面ABCD，又，以F为坐标原点，分别以FA，FB，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设0，，1，，取平面ABCD的法向量，，1，，，即，解得．设平面EBF的法向量为，由，令，得．设二面角的平面角为，则，又为钝角，．即二面角的余弦值为．解析：Ⅰ连接AC交BE与G，连接EG，由已知结合线面平行的性质可得，再由E为PC 的中点，得G为AC的中点，则≌，得到，即F为AD的中点，可得四边形DCBF为平行四边形，再由，得，可得平面PAD，进一步得到平面平面PAD；Ⅱ连接PF，证明底面ABCD，又，以F为坐标原点，分别以FA，FB，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设0，，由PC与底面ABCD所成的角为求解t，然后分别求出平面ABF与EBF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.答案：解：Ⅰ设，，B是AC的中点，则，因为B为抛物线上，所以，即，所以，故曲线E的方程为：；Ⅱ由题意得，设直线l：，设，，将l的方程代入得，所以，，，所以M，N的中点，因为，所以，所以符合，所以直线l存在，所以化为，，，所以：，所以．解析：Ⅰ设C的坐标，可得AC的中点B的坐标，由B在抛物线上可得E的方程；Ⅱ设直线l的方程，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得MN的中点P的坐标，由为以MN为底边的等腰三角形可得，所以可得，求出直线l的方程，及弦长及的值，代入面积公式求出面积本题考查求轨迹方程及直线与抛物线的综合，及面积公式，属于中难题．21.答案：解：Ⅰ由题意可知：，，则，当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；当时，由得：，由得：，函数在上单调递减，在上单调递增，综上所求：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；Ⅱ函数在点处的切线方程为，即，函数在点处的切线方程为，即，若与的图象有公切线，则，由得代入整理得：，由题意只须判断关于b的方程在上解的个数，令，，令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，，，，，，且图象在上连续不断，方程在及上各有一个根，即与的图象有两条公切线．解析：Ⅰ求出导函数，对m的值分情况讨论，分别利用导函数的正负，即可得到函数的单调性；Ⅱ先利用导数的几何意义分别求出函数在点处的切线方程和函数在点处的切线方程，判断与的图象公切线的条数，只须判断关于b的方程在上解的个数，令，利用导数得到方程在及上各有一个根，即与的图象有两条公切线．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，是中档题．22.答案：解：Ⅰ由，得，，即，曲线C的参数方程为为参数．由为参数，消去参数t，可得．直线l的普通方程为；Ⅱ设到直线l的距离为d，，而．．面积的取值范围为解析：Ⅰ由，得，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的普通方程，结合平方关系可得曲线C的参数方程；直接把直线l的参数方程中的参数t消去，可得直线l的普通方程；Ⅱ设到直线l的距离为d，写出三角形面积公式，再由点到直线的距离公式求得d，利用三角函数求最值可得面积的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程、利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：由题意得：在上恒成立，恒成立，即又，即令，若，则解集为，不合题意；若，则有，即又解集为，，解得当且仅当，即时，等号成立，此时，时的最小值为7解析：利用绝对值三角不等式性质利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题。
东北三省四市教研联合体2020届高三模拟考试试卷(二)数学(理)试题 Word版含解析
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第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合2{|4}A x Z x
=∈，{|42}B x x =-<< ，则A B =（ ） A. {|22}x x -<≤ B. {|42}x x -<≤ C. {2,1,0,1,2}-- D. {2,1,0,1}--
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的交运算，即可容易求得结果.
【详解】{|22}{2,1,0,1,2}A x Z x =∈-=--≤≤
故可得{}2,1,0,1A B ⋂=--
故选：D.
【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.
2.已知复数()(12) ()z a i i a R =+-∈的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）
A. 1-
B. -i
C. 1
D. i
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算化简复数z ，由其实部即可求得参数a .
【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =+-=++-，231a a +=∴=
∴121a -=-.
故选：A.
【点睛】本题考查复数的乘法运算，实部和虚部的辨识，属基础题. 3.已知双曲线C ：22
122
x y -=则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为( )。
2020年东北三省四市暨沈阳市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年东北三省四市暨沈阳市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|0≤x<4}，，则A∩B=()A. {x|1≤x≤3}B. {x|0≤x<4}C. {1,2，3}D. {0,1，2，3}2.若复数z=(2−ai)(1+i)的实部为1，则其虚部为()A. 3B. 3iC. 1D. i3.双曲线x24−y212=1的焦点到渐近线的距离为()A. 2B. √3C. 3D. 2√34.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是f(n)．由f(1)=1，f(2)=7，f(3)=19，…，可推出f(10)=()A. 271B. 272C. 273D. 2745.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()A. l⊂α，m⊂β，且l⊥mB. l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC. m⊂α，n⊂β，且l⊥m，l⊥nD. l⊂α，l//m，且m⊥β6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1、B1C1的中点，则异面直线AM与DN所成角的余弦值等于()A. 12B. 2√55C. √55D. 3√5107.已知函数f(x)=2sin(2x−π6)，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f(x)的图象()A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向右平移π12个单位长度D. 向左平移π12个单位长度8. 某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数(如下表)，下右图是统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是A. 除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图象几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.B. 所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4%．C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多．D. “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长．9. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f(x)=x −x 2，则当x >0时，f(x)=( )A. x −x 2B. −x −x 2C. −x +x 2D. x +x 210. 给定两个单位平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其夹角为120°，以O 为圆心的圆弧AB 上任一点，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，则满足x +y ≥√2的概率为( ) A. 2−√2B. 34C. π4D. 2311. 在数列{a n }中，a 1=13,a n =(−1)n 2a n−1,(n ≥2)，则a 5=( )A. 163B. −163C. 83D. −8312. 已知F 1、F 2椭圆x 216+4y 215=1左右焦点，P 是椭圆是一点，|PF 1|=5，则∠F 2PF 1的大小为( )A. 2π3B. 5π6 C. 3π4D. π3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在二项式(√x +1ax 2)5(a >0)的展开式中x −5的系数与常数项相等，则a 的值是______．14. 已知甲运动员的投篮命中率为34，乙运动员的投篮命中率为23，则甲乙各投篮一次，恰有一人命中的概率为________．15. 已知函数f(x)=x 3−ln x ，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为________．16. 已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB =3，△PAB 是等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为28π，则AD =______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a −b =bcosC ．(1)求的值；(2)若a =1，b =2，求c 的值．18. 为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：(记成绩不低于120分者为“成绩优秀”)． 分数 [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 甲班频数 1 1 4 4 5 3 2 乙班频数112664(Ⅰ)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95％以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？传统教学(甲班)创新课堂(乙班)总计成绩优秀成绩不优秀总计(Ⅱ)现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X，求X的分布列和期望．，其中n=a+b+c+d)参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.82819.如图，在四棱锥PABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A−PB−C的余弦值．20. 在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，点M 在线段PD 上，且DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点M 的轨迹为曲线C 1． (1)求曲线C 1的方程；(2)过抛物线C 2:y 2=8x 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交曲线C 1于另一点C ，求ΔABC 面积的最小值，以及取得最小值时直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=mln x ，g(x)=x−1x(x >0)．(Ⅰ)讨论函数F(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上的单调性；(Ⅱ)判断当m =e 时，y =f(x)与y =g(x)的图象公切线的条数，并说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，直线l的参数方程为以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的极坐标方程；(2)若P(x,y)为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离d的最大值和最小值．23.已知a>0，b>0，f(x)=|x−a|+|x+b|．(1)若f(x)≤3的解集为[−2,m]，求实数m的值．(2)若f(x)的最小值为2，证明：b2a +a2b≥2．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．由A与B，求出两集合的交集即可．解：∵A={x|0≤x<4}，2，3}，∴A∩B={1,2，3}，故选：C．2.答案：A解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，结合已知条件求出a的值，则答案可求．解：∵z=(2−ai)(1+i)=2+a+(2−a)i的实部为1，∴2+a=1，即a=−1．∴其虚部为3．故选：A．3.答案：D解析：解：由题得：其焦点坐标为(±4,0).渐近线方程为y=±√3x=2√3．所以焦点到其渐近线的距离d=√3√3+1故选：D．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题给出双曲线的方程，求它的焦点到渐近线的距离．着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．4.答案：A解析：本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和是数列的重要内容之一，出等差数列和等比数列外，大部分的数列求和都需要一定的技巧，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求和等根据图象的规律可得f(4)和f(5)的值．根据相邻两项的差的规律可分析得出f(n)−f(n−1)=6(n−1)，进而根据合并求和的方法求得f(n)的表达式，即可求得f(10)的值．解：由于：f(4)=37，f(5)=61．由于：f(2)−f(1)=7−1=6，f(3)−f(2)=19−7=2×6，f(4)−f(3)=37−19=3×6，f(5)−f(4)=61−37=4×6，因此：当n≥2时，有f(n)−f(n−1)=6(n−1)，所以：f(n)=[f(n)−f(n−1)]+[f(n−1)−f(n−2)]+⋯+[f(2)−f(1)]+f(1)=6[(n−1)+(n−2)+⋯+2+1]+1=3n2−3n+1．又：f(1)=1=3×12−3×1+1，所以：f(n)=3n2−3n+1．所以：f(10)=3×102−3×10+1=271．故选A．5.答案：D解析：本题考查学生分析解决问题的能力，考查常用逻辑用语及空间中直线与平面的位置关系，利用面面垂直的判定定理，即可得出结论，属于中档题．在解答时要仔细思考，避免出错．解：对于A，l⊂α，m⊂β，且l⊥m，α，β可以平行、相交、垂直，故A不正确；对于B，l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n，则l不一定与β垂直，故B不正确；对于C，m⊂α，n⊂β，且l⊥m，l⊥n，α，β可以平行、相交、垂直，故C不正确；对于D，l⊂α，l//m，且m⊥β，可得l⊥β，根据面面垂直的判定，可知α⊥β，故D正确．故选D．。