人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点复习课程
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点复习(含答案解析)(1)
一、选择题1．方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠±lB ．m≥-l 且m≠1C ．m≥-lD ．m ＞-1且m≠1D 解析：D【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．【详解】∵方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，∴210m -≠，解得1m ≠±，10m +≥，解得：1m ≥-，∴1m >-且1m ≠，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=D解析：D【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x ，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：2000（1+x ）2=2880．故选：D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a ＜b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a ＞b ）．3．若用配方法解方程24121x x +=，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（ ）A ．2221212412122x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22241212112x x ++=+C ．2412919x x ++=+D ．241212112x x ++=+C解析：C【分析】 把原方程变形为2(2)621x x +⨯=，将2x 看成未知数，方程两边都加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：方程24121x x +=变形为2(2)621x x +⨯=， 2(2)62+91+9x x +⨯=∴2412919x x ++=+故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．4．若整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，并且使得关于y 的分式 方程32133ay y y y -+=--有整数解，则符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5B 解析：B【分析】对于关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，利用判别式的意义得到a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4（a-2）≥0，解不等式组得到整数a 为：-1，0，1，3，4，5；接着解分式方程得到y=61a -，而y≠3，则61a -≠3，解得a≠3，从而得到当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，然后求符合条件的所有a 的个数．【详解】解：∵整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根， ∴a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4（a-2）≥0， ∴31122a -≤≤且a≠2， ∴整数a 为：-1，0，1，3，4，5；去分母得3-ay+3-y=-2y ，解得y=61a -，而y≠3，则61a -≠3，解得a≠3， 当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，∴符合条件的所有a 的个数是3．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a （a <2），BC ＝2．以点D 为圆心，CD 的长为半径画弧，交AD 于点E ，交BD 于点F ．下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根（ ）A ．线段AE 的长B ．线段BF 的长C ．线段BD 的长D ．线段DF 的长B解析：B【分析】 根据勾股定理求出BF ，利用求根公式解方程，比较即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴CD=AB=a在Rt △BCD 中，由勾股定理得，2224BD BC CD a =++∴24a a +， 解方程2240x ax +-=得2224164x a a a a -±+=±=-+ ∴线段BF 的长是方程2240x ax +-=的一个根．故选：B ．【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．6．已知2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．12D ．12-D 解析：D【分析】直接利用根与系数的关系解答．【详解】解：∵2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，∴x 1•x 2＝12＝﹣12． 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 7．有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）人．A ．40B ．10C ．9D ．8D解析：D【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则一轮传染后共有（1+x ）人被传染，两轮传染后共有[（1+x ）+x(1+x)]人被传染，由题意列方程计算即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，由题意，得：（1+x ）+x(1+x)=81，即x 2+2x ﹣80=0，解得：x 1=8，x 2=﹣10（不符合题意，舍去），故每轮传染中平均一个人传染了8人，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，理解题意，正确列出方程是解答的关键．8．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且(a +m )( a +n )＝2，(b +m )( b +n )＝2，则ab ﹣mn 的值为（ ）A ．4B ．1C ．﹣2D ．﹣1C 解析：C【分析】先把已知条件变形得到a 2+ (m +n ) a +mn ﹣2＝0，b 2+( m +n ) b +mn ﹣2＝0，则可把a 、b 看作方程x 2+( m +n ) x +mn ﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab ＝mn ﹣2，从而得到ab ﹣mn 的值．【详解】解：∵(a +m )( a +n )＝2，(b +m )( b +n )＝2，∴a 2+( m +n )a +mn ﹣2＝0，b 2+( m +n )b +mn ﹣2＝0，而a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，∴可以把a 、b 看作方程x 2+（m +n ）x +mn ﹣2＝0的两个实数根，∴ab ＝mn ﹣2，∴ab ﹣mn ＝﹣2．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及整式的乘法，理解代数思想，把“a 、b 看作方程x 2+（m +n ）x +mn ﹣2＝0的两实数根”是解题关键．9．实数,m n 分别满足方程2199910m m ++=和219990n n ++=，且1mn ≠，求代数式41mn m n++的值（ ） A ．5-B ．5C ．10319-D ．10319A 解析：A【分析】 由219990n n ++=可得211199910n n⋅+⋅+=，进而可得1,m n 是方程2199910x x ++=的两个根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可求解．【详解】 解：由219990n n ++=可得211199910n n ⋅+⋅+=， ∴1,m n是方程2199910x x ++=的两个根， ∴19911,1919m m n n +=-⋅=， ∴4119914451919mn m m m n n n ++=+⋅+=-+⨯=-； 故选A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．10．若()()2222230xy x y ++--=，则22x y +的值是（ ） A ．3B ．-1C ．3或1D ．3或-1A 解析：A【分析】用22a x y =+，解出关于a 的方程，取正值即为22x y +的值是．【详解】解：令22a x y =+，则(2)30a a --=，即2230a a --=，即(3)(1)0a a ，解得13a =，21a =-，又因为220a x y =+>，所以3a =故22x y +的值是3，故选：A ．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意220a x y =+>． 二、填空题11．若关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a +-=≠有一根为2020x =，则一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为________．x=2019【分析】对于一元二次方程设t=x+1得到at2+bt=1利用at2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020从而可判断一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0必有一解析：x=2019【分析】对于一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=，设t=x+1得到at 2+bt=1，利用at 2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020，从而可判断一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）-1=0必有一根为x=2019．【详解】解：对于一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=，设t=x+1，所以at 2+bt=1，即at 2+bt-1=0，而关于x 的一元二次方程ax 2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2020，所以at 2+bt-1=0有一个根为t=2020，则x+1=2020，解得x=2019，所以2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为x=2019．故答案为：x=2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．对于任意实数a ，b ，定义：22a b a ab b =++◆．若方程()250x -=◆的两根记为m 、n ，则22m n +=______．6【分析】根据新定义可得出mn 为方程x2+2x ﹣1=0的两个根利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2mn=﹣1将其代入m2+n2=（m+n ）2﹣2mn 中即可得出结论【详解】解：∵（x ◆2）﹣5=x2+解析：6【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2、mn=﹣1，将其代入m 2+n 2=（m+n ）2﹣2mn 中即可得出结论．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5=x 2+2x+4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，∴m+n=﹣2，mn=﹣1，∴m 2+n 2=（m+n ）2﹣2mn=6．故答案为6．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a是解题的关键． 13．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析：23710x x -+=【分析】先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可．【详解】(32)(1)83x x x -+=-23322830x x x x +---+=23710x x -+=故答案为：23710x x -+=．【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．14．一元二次方程（x ＋1）（x ﹣3）＝3x ＋4化为一般形式可得_________．x2﹣5x ﹣7＝0【分析】利用多项式乘多项式的法则展开再利用等式的性质进行移项合并进行计算【详解】（x ＋1）（x ﹣3）＝3x ＋4x2﹣2x ﹣3＝3x ＋4x2﹣5x ﹣7＝0故答案是：x2﹣5x ﹣7＝0解析：x 2﹣5x ﹣7＝0 ．【分析】利用多项式乘多项式的法则展开，再利用等式的性质进行移项、合并，进行计算．【详解】（x ＋1）（x ﹣3）＝3x ＋4，x 2﹣2x ﹣3＝3x ＋4，x 2﹣5x ﹣7＝0．故答案是：x 2﹣5x ﹣7＝0．【点睛】本题考查一元二次方程的变形，属于基础题型．15．已知()0n n ≠是一元二次方程240x mx n ++=的一个根，则m n +的值为______．【分析】根据一元二次方程的解的定义把代入得到继而可得的值【详解】∵是关于x 的一元二次方程的一个根∴即∵∴即故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义因式分解的应用注意：能使一元二次方程左右两解析：4-【分析】根据一元二次方程的解的定义把x n =代入240x mx n ++=得到240n mn n ++=，继而可得m n +的值．【详解】∵n 是关于x 的一元二次方程240x mx n ++=的一个根，∴240n mn n ++=，即()40n n m ++=，∵0n ≠，∴4n m ++，即4m n +=-，故答案为：4-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义、因式分解的应用．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．16．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有______人患有流感．729【分析】设每轮传染中平均每人传染了x 人根据经过两轮传染后共有81人患了流感可求出x 进而求出第三轮过后共有多少人感染【详解】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x 人由题意可列得解得（舍去）即每轮传解析：729【分析】设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，可求出x ，进而求出第三轮过后，共有多少人感染．【详解】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x 人，由题意可列得，()1181x x x +++=，解得18x =，210x =-（舍去），即每轮传染中平均每个人传染的人数为8人，经过三轮传染后患上流感的人数为：81881729+⨯=（人）.故答案为：729.【点睛】本题考查理解题意的能力，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人，然后求出三轮过后，共有多少人患病．17．若m 是方程210x x +-=的根，则2222018m m ++的值为__________2020【分析】根据m 是方程的根得代入求值【详解】解：∵m 是方程的根∴即原式故答案是：2020【点睛】本题考查一元二次方程的根解题的关键是掌握一元二次方程根的定义解析：2020【分析】根据m 是方程210x x +-=的根，得21m m +=，代入求值．【详解】解：∵m 是方程210x x +-=的根，∴210m m +-=，即21m m +=，原式()222018220182020m m =++=+=．故答案是：2020．【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义．18．已知关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，则m =________．0【分析】先将方程化成一般式然后再运用根的判别式求解即可【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根∴关于的方程有两个相等的实数根∴△=02-4m=0解得m=0故答案为0【点睛】本题主要考查了一元二次解析：0【分析】先将方程化成一般式，然后再运用根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，∴关于x 的方程20x m -=有两个相等的实数根，∴△=02-4m=0，解得m=0．故答案为0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解答本题的关键．19．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了______人．3【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人则第一轮共有人患病第二轮后患病人数有人从而列方程再解方程可得答案【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人则：或或经检验：不符合题意舍去取答：每轮传染中平均一解析：3【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮共有()1x +人患病，第二轮后患病人数有()21x +人，从而列方程，再解方程可得答案．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则：()1+116,x x x ++=()2116,x ∴+=14x ∴+=或14,x +=- 3x ∴=或5,x =-经检验：5x =-不符合题意，舍去，取 3.x =答：每轮传染中平均一个人传染了3人．故答案为：3.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用中的传播问题是解题的关键．20．当x=______时，−4x 2−4x+1有最大值．【分析】先根据完全平方公式将原式配方进而利用非负数的性质求出即可【详解】解：∵-4x2-4x+1=-(4x2+4x-1)=-(2x+1)2+2-(2x+1)2≤0∴当x=-时4x2-4x+1有最大值 解析：12- 【分析】先根据完全平方公式将原式配方，进而利用非负数的性质求出即可．【详解】解：∵-4x 2-4x+1=-(4x 2+4x-1)=-(2x+1)2+2，-(2x+1)2≤0，∴当x=-12时，4x 2-4x+1有最大值是2． 故答案为：-12． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，正确配方得出是解题关键．三、解答题21．若a 为方程2(16x =的一个正根，b 为方程22113y y -+=的一个负根，求+a b 的值．解析：a+b= 5【分析】先求出2(16x =的根4x ，由a 为方程2(16x =的一个正根，得4a =+，再求22113y y -+=的根=1y ±b 为方程22113y y -+=的一个负根，得1b =+a b 即可．【详解】2(16x -=，4x -=±，4x ，a为方程2(16x =的一个正根，4a =+，22113y y -+=，()2113y -=，1y -==1y ±b 为方程22113y y -+=的一个负根，1b =415a b +=+=．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，会比较方程根的正负与大小，掌握一元二次方程的解法是解题关键．22．解方程：（1）x 2+10x +9＝0；（2）x 2＝14．解析：（1）121,9x x =-=-；（2）1222,22x x == 【分析】（1）运用因式分解法求解即可（2）运用公式法求解即可．【详解】解：（1）∵x 2+10x +9＝0，∴（x +1）（x +9）＝0，则x +1＝0或x +9＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣9；（2）x 2＝14整理，得：x 2﹣14＝0， ∵a ＝1，b c ＝﹣14， ∴△2﹣4×1×（﹣14）＝4＞0，则x ＝22，即x 1＝22，x 2＝22-． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键． 23．某地区2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费2420万元（1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2022年需投入教育经费2900万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2022年该地区投入的教育经费是否能达到2900万元?请说明理由．解析：（1）10%；（2）可以，理由见解析【分析】（1）设年平均增长率是x ，列式()2200012420x +=，求出结果；（2）利用（1）中算出的增长率算出2022年的教育经费，看是否超过2900万元．【详解】解：（1）设年平均增长率是x ， ()2200012420x +=1 1.1x +=±10.1x =，2 2.1x =-（舍去），答：年平均增长率是10%；（2）2022年的教育经费是()2242010.12928.2⨯+=（万元）， 2928.22900>，答：教育经费可以达到2900万元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握增长率问题的列式方法．24．用配方法解方程：22450x x +-=．解析：121,122x x =-+=-- 【分析】 利用完全平方公式进行配方解一元二次方程即可得．【详解】22450x x +-=，2245x x +=，2522x x +=， 252112x x ++=+， ()2712x +=，12x +=±，1x =-±，即121,122x x =-+=--． 【点睛】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．25．回答下列问题．（1（2|1-． （3）计算：102(1)-++． （4）解方程：2(1)90x +-=．解析：（13；（21+；（3）44）12x =，24x =-． 【分析】 （1）利用用二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘除法则以及绝对值的性质计算，再合并同类二次根式即可；（3）根据零指数幂，负整数指数幂以及完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可；（4）移项，利用直接开平方法即可求解．【详解】（13 3=+3 =；（2|11)=-1=1=；（3）102(1)-++121=+-4=-（4）2(1)90x+-=，移项得：2(1)9x+=，∴13x+=或13x+=-，12x=，24x=-．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．26．（12．（2）解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．解析：（1）2；（2）125, 1.x x==-【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；（2）根据因式分解的方法解方程即可．解：（1|2|3+23＝2 （2）x 2﹣4x ﹣5＝0，（x ﹣5）（x +1）＝0，∴x ﹣5＝0或x +1＝0，∴x 1＝5，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查二次根式的混合运算以及解一元二次方程的方法，属于基础题 。
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程专题复习
一元二次方程复习（1）一、复习目标：1.能说出一元二次方程的概念。
2会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程。
3.能由已知一元二次方程的一根去求另一根．4.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况5.会用一元二次方程根与系数的关系解决有关问题.二、知识回顾，展示交流（疏理知识点）1、一元二次方程的概念 ，一般形式 。
2、一元二次方程的解法：（1） （2） （3） （4）3、一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式：△= 当 △＞0时，方程有 实数当△=0时，方程有 实数根当△＜0时，方程有 实数根；4、根与系数的关系如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根12,x x ，那么1212.x x x x += 常见式子的变形：222121212()2x x x x x x +=+-； 12121211x x x x x x ++= 三、基础训练考点一、一元二次方程的概念1、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是 ( ）．A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B ．211x x +－2＝0 C ．ax 2＋bx ＋c ＝0D ．X 2＋2x ＝x 2－1 考点二：一元二次方程根的概念2. 如果在－1是方程x 2+mx －1=0的一个根，那么m 的值为（ ）A ．－2B ．－3C ．0D ．2考点三：一元二次方程的解法。
3. 方程2(3)5(3)x x x -=-的解是（ ）12553 3, 322A xB xC x xD x ⋅=⋅=⋅==⋅=-4、解下列方程（1）2)32(-x -25=0 （2）x 2+2x-3＝0（3）2x 2-7x-2=0 （4）3x （2x+1）=4x+2考点四：一元二次方程根的判别式5、 当_________m 时，方程032)1(2=+++-m mx x m 有两个实数根；变式：当_________m 时，方程032)1(2=+++-m mx xm 有实数根考点五：一元二次方程根与系数的关系 6、方程0132=+-x x 的两根是21,x x ；则：=+2111x x ,=+2221x x 四、拓展延伸7、关于x 的一元二次方程x 2+kx+4k 2-3＝0的两个实数根分别是x 1、x 2, 且满足x 1+x 2=x 1x 2，求k 的值8、(2014湖北十堰)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2－1＝0．(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，求实数m 的值五、小结反思。
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件
5. 解下列方程： x2－2x=0；
解：分解因式得： x(x-2)=0 x=0或x-2=0 x1=0,x2=2
x2－2x+2=0. 解：x2-2x+1=-1
(x-1)2=-1 方程无解
6. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产 品,据市场分析，若以每千克50元销售，一个月能 售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成 本不超过10000元的情况下，使得月销售利润到达 8000元，销售单价应为多少?
一个未知数
一 概念 最高次是2
元
整式方程
二
次 一般情势： ax2 + bx + c =0(a≠0)
方
程
二次项系数
常数项
一次项系数
Δ>0,方程有两个不等的实数根
根的判别式Δ=b2-4ac Δ=0,方程有两个相等的实数根
Δ<0,方程无实数根
根
b
根与系数的x1 x2 a
因式分解法： 若A·B=0，则A=0或B=0
方案设计问题
数字问题
随堂演练
1.方程(2x＋1)(x－3)=x2+1化成一般情势为
，
二次x2项-5x系-4数=0、一次项系数和常数项分别是
.
2. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同1，时-加5，上-44的
是（ ）
A.x2－C2x=5
B.2x2－4x=5
C.x2+4x=5
D.x2+2x=5
3. 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72 张，则这个小组共有（ C） A.12人 B.18人 C.9人 D.10人
4. 某超市一月份的营业额为200万元,一、二、三月份的 总营业额为1000万元,设平均每月营业额的增长率为x, 则由题意列方程为（ D ） A.200+200×2x=1000 B.200(1+x)2=1000 C.200+200×3x=1000 D.200［1+(1+x)+(1+x)2］=1000
人教版九年级数学上册同步备课 第二十一章 一元二次方程(章末总结)(课件)
变形为
可以直接开平方
解的一元二次方程
01
基础巩固（配方法）
通过配方法解一元二次方程的步骤:
1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4）将原方程变成(x＋n)2＝p的形式；
x1＝-n- ，x2＝-n+
______________________；
x1＝x2＝-n
相等
2)当p＝0时，方程①有两个________________的实数根______________________；
≥
无
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(x＋n)2____0，所以方程①_______实数根。
课前导入
本章重点内容：
1.理解与掌握一元二次方程及其有关的概念。
2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
3.利用一元二次方程解决实际问题。
本章难点内容：
1.理解用根的判别式判别根的情况。
2.一元二次方程求根公式的推导。
3.一元二次方程根与系数的关系。
章节简介
解一元二次方程方法为本章基础内容，它的计算量相对较大，对正确率要
4）最后求出原方程的解。
01
基础巩固（因式分解法）
两个一次式乘积等于0
先因式分解，使一元二次方程转化为____________________的形式，
降次
从而实现________，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
01
基础巩固（因式分解法）
通过因式分解法解一元二次方程的步骤:
1.移项。使一元二次方程等式右边为0；
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》复习参考课件 (共25张ppt)
2
2) 6 0
2
9x 6x 1 0
2016/11/16
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程 的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
,
x1x2=
c a
.
2016/11/16
回顾与复习 5 • 列方程解应用题的一般步骤是:
解应用题
• 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
• 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
• 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系.
2 b b 4 ac 2 2016/11/16 x . b 4 ac 0 . 2a
4.因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为因 式分解法. 老师提示: 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》知识点小结与复习
当 a 0 时,它不是一元二次方程.
方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？
解： 原方程转化为(2a-4)x2 -2bx+a=0 当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
m=
。
3、当m
时，关于x的方程3x2－
2(3m+1)x+3m2－1=0有两个不相等的实数
根。
4、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－
2=0的根的判别式的值等于4，则m=
。
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= -
2(a－2)x+a２－5=0有实数根，且两 根之积等于两根之和的2倍，求a的值。
【例4】已知x1,x2是关于x的方程 x2+px+q=0的两根，x1+1,x2+1是关 于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常 数p、q的值。
拓展练习：
１、当a,c异号时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的
情况是
一元二次方程的解法：（公式法）
例：（3） 2x2 3x 4 0
解： a 2,b 3,c 4
b2 4ac 32 4 24
9 32 41
3 41
x 22
3 41 3 41 x1 4 , x2 4
注：当一元二次方程二次项系数不为1且
难以用因式分解时常用公式法比较简便。
b2 4ac 0,
2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程“必背知识点
2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程”必背知识点一、一元二次方程的定义定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
其中，ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。
方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
二、一元二次方程的解法1. 配方法步骤：一移 （把常数项移到等号的右边）、二除 （方程两边都除以二次项系数）、三配 （方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式）、四开 （若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解）。
2. 公式法求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠。
0），如果b²-4ac ≥ 0，则方程的两个根为x1,2=−b±√b2−4ac2a 根的判别式：Δ = b² - 4ac。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
当Δ < 0时，方程无实数根。
3. 直接开平方法适用条件：如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
步骤：移项、使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1、两边直接开平方。
4. 因式分解法方法：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解。
三、一元二次方程的根与系数的关系对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），若其两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/ax₁x₂ = c/a四、一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的一般步骤：审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
2022年九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程知识点总结素材 (新版)新人教版
一元二次方程知识点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
知识点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程乘积的形式，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
九年级数学人教版第二十一章一元二次方程整章知识(同步课本图文结合例题详解)
解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2=8，你的看法如何？
【解析】上述解法是错误的，将 x1、x2 代入原方程等 式两边不相等，因此它们并不是原方程的解.
九年级数学上册第21章一元二次方程
1. 当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0 是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数、 常数项分别是什么? 【解析】当a-1≠0，即a ≠1时，方程(a-1)x2-bx+c=0 是一元二次方程，这时方程的二次项系数、一次项系数、 常数项分别是a-1,-b,c.
（2）若x＝2是方程 ax2 4x 5 0 的一个根，
你能求出a的值吗？ （提示：根的作用：可以使等号成立.）
九年级数学上册第21章一元二次方程
例题
【例2】关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值
为（ ）
A．1
B ． -1
C．2
D．-2
【解析】选A. 将x=3代入方程x2-kx-6=0得32-3k-6=0 ，解得
(1 x)2 100
求得方程的正整数解为 x 9.
九年级数学上册第21章一元二次方程
2.（眉山·中考）一元二次方程的解 2x2 6 0 为
.
【解析】∵一元二次方程 2x2 6 0 , ∴x2=3 ∴x= 3
∴x1= 3 ，x2= 3 答案：x1= 3 ，x2= 3 .
（3）变形得（x+2）2 = 4，所以x1=0 , x2= -4.
九年级数学上册第21章一元二次方程
跟踪训练
解下列方程：
（1）y2=0.49 （2）a2=0.5 （3）3x2 27
【解析】 （1）用直接开平方法解得 y=±0.7，所以y1=0.7, y2= -0.7
人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程知识点汇总
第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的概念1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．2、一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠3、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的值，叫做一元二次方程的根（解）. 【注意】1、定义的隐含条件：①是整式方程；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．2、任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式。
其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．3、任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．二、一元二次方程的解法 １．一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 2．一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． 【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零．（2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24b ac -的值．求根公式：x =2(40)b ac -≥（3）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如2ax b =或()()20x a b b +=≥或()2ax b +=()2cx d +的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（4）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）转化为它的简单形式2Ax B =，这种转化方法就是配方，具体方法为： 2ax bx c ++22222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）就转化为22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的形式，即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．三、根的判别式1、一元二次方程根的判别式：24b ac ∆=-2、根的判别式用来判别根的个数情况：（1）0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =（2）0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． （3）0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 3、一元二次方程根的判别式的应用 （1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围； （3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况．四、根与系数的关系——韦达定理1、设一元二次方程20ax bx c ++=的两个根为12x x ，，则两个根满足：1212b cx x x x a a+=-⋅=，2、韦达定理的重要推论推论1：如果方程20x px q ++=的两个根是12x x ，，那么1212x x p x x q +=-⋅=，． 推论2：以两个数12x x ，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++= 3、利用根与系数的关系，可知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有如下重要的结论：（1）若两根互为相反数，则0ba -=，得0b =；（2）若两根互为倒数，则1c a =，得a c =；若两根互为负倒数，则1ca =-，得a c =-； （3）若有一个根是零，则0ca=，得0c =； （4）若两根都为零，则0b a -=，0ca =，得0b =，0c =；（5）若有一根为1，则0a b c ++=；若有一根为1-，则0a b c -+=．4、几个常见转化；；或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x1x 2)x 1x (x 1x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221（2）222121212()2x x x x x x +=+-；（3）12121211x x x x x x ++=；（4）22121212()()4x x x x x x -=+-；（5）12||x x -=（6）2212121212()x x x x x x x x +=+；（7）22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==．五、用一元二次方程解决实际问题 1、面积最大化问题 2、利润最大化问题 3、增长率问题 4、传播问题 5、动点问题解题方法技巧1、一元二次方程的整数根问题：对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： （1） 24b ac ∆=-为完全平方数；（2）2b ak -+或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)2、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．3、把一元二次方程根的判别式和根与系数的关系结合起来，判别讨论一元二次方程根的符号常常需要解不等式组．对于方程20(0)ax bx c a ++=≠，则： （1）有两正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪->+>⎪⎩≥（2）有两负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪-<+<⎪⎩≥（3）有一个正跟一个负根：121200(0)0(0)c x x a b x x a ⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪->+>⎪⎩正根的绝对值较大 121200(0)0(0)cx x a b x x a⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪-<+<⎪⎩负根的绝对值较大（4）有一零根一正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪->+>⎪⎩（5）有一零根一负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a ⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-<+<⎪⎩（6）有两个零根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆=⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-=+=⎪⎩。
人教版数学九年级上册第二十一章一元二次方程章节复习课件
解：由题意知x＝1是 x2＋mx＋n ＝0的一个根， 则1＋m＋n＝0求得m＋n＝－1 又∵ m2＋2mn＋n2 ＝ (m＋n)2 则 m2＋2mn＋n2 ＝ (－1)2 -x-1=0的一个根，求a3-2a2+2014的值．
解：将x=a代入方程得：a2-a-1=0，即a2=a+1， 则原式=a2（a-2）+2014 =（a+1）（a-2）+2014 =a2-a-2+2014 =a+1-a-2+2014 =2013． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的应用．此类题型的特点是：利用方程根的 定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的情势，再把此 相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值，注意灵活降次是解题关键．
1 一元二次方程的定义
【例1 】 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围
是（ A ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数 不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
A
2.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4 数项是 0 .
，一次项系数是 -2 ，常 B
2 一元二次方程的根
【例2 】 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则
m= -1 .
【分析】根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相 等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应 填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
人教版九年级上册数学第二十一章《一元二次方程》单元精品教学课件
x(10－4.9x)＝0
于是得x＝0或10－4.9x＝0
②
∴x1＝0
x2＝14090 2.04
上述解中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1＝0表示物体被上 抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。
知识点详解
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.方程右边化为零。 2.将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 3.至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程。 4.两个一元一次方程的解就是原方程的解。
1 4
0
(2)5(3x 2)2 3x(3x 2)
解：(1)
x2
1 4
0, x 2
1 4
,即x
1. 4
x1
1 2
,x2
1 2
(2)原方程可变形为5(3x x )2 3x(3x 2) 0,
(3x 2)(15x 10 3x ) 0.
3x 2 0或12x 10 0.
x 1
b2 4ac 0 ，当
时，将a，b，c的值代入式子 x b b2 4ac 2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它
解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知，一元二次方程
最多有两个实数根。
例题详解
知识点详解
归纳：
（1）当 根。
b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0）
课堂总结
其选择的原则一般为： (1)当给定的一元二次方程能转换成(x＋m)2 ＝n(n≥0)型时可选用配 方法。 (2)当一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边能分解因式时，选 用因式分解法；不能分解因式时，一般选用公式法。
人教版 数学 九年级 上册
人教版九年级数学上册21章 一元二次方程 知识点复习共41张
先独立完成导学案专题4，再同桌相互交流， 最后小组交流；
38
31
知识点三：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
合作探究
先独立完成导学案专题3，再同桌相互交流， 最后小组交流；
32
知识点四：一元二次方程的应用
知识回顾
审
用一元二次方程 解决实际问题
传播类 握手类 数字类
增长率问题 利润问题
面积问题
边框与甬道问题 圈舍问题 动态问题
找
设
解题
列Hale Waihona Puke 步骤解验答
33
知识点四：一元二次方程的应用
先独立完成导学案专题1，再同桌相互交流， 最后小组交流；
12
知识点二：一元二次方程的解法
知识回顾 我们学习的一元二次方程的解法有哪些？
直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法
直接开平方法解 一元二次方程
理论 依据
平方根的定义
x2=p(p≥0)
x= ± p .
转 化
思 (mx+n)2=p(p≥0) mx+n=± p . 想
巩固练习
1.一元二次方程x(x-3)=2根的判别式的值为( C )
A.0 B.1
C.17
D.﹣2
2.下列方程:① x2-3x-4=0; ② y2 +9= 6y;③ 2x2﹣5x+9=0;
④ x2+2=2 2 x.其中有两个不相等实数根的方程的个数是( A )
A.1
B.2
C.3
D.4
先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值．
最直接的方法 最灵活的方法 硬规定的方法
公式法 因式分解法 配方法
人教版九年级数学上册课件：第二十一章一元二次方程复习
(3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即 K＜ 9
8
说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般情势，再算 出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出 待定系数的取值范围
例3、已知m为非负整数，且关于x的方程 ：
6 2x1 5
x1
3 5
又
3 5
2
k 5
k
5
3 5
2
7
所以，方程的另一根是 3，k的值是 7。 5
证明:
1、设关于x 方程 x2 2mx 2m 4 0 ，证明，
不论m为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。
2、用配方法证明：关于x的方程（m²-12m +37）x ²+3mx+1=0， 无论m取何值，此方程都是一元 二次方程
练习：用最好的方法求解下列方程
1、（3x -2）²-49=0 解： （3x-2）²=49
2、（3x -4）²=（4x -3）² 解：
3、4y = 1 -
3 2
y²
3x -2=±7 法一3x-4=±（4x-3）
解：3y²+8y -2=0
x= 2 7
x1=3，x2=
-
5 3
3
3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 b²- 4ac
例3:某印刷厂一月份印刷了科技书50 万册，第一季度共印182万册，问二、 三月份平均每月的增长率是多少？
解:设平均每月增长率是x 50+50(1+x)+50(1+x)²=182
1+1+x+ (1+x)²=3.64 2+X+1+x2²x++3xx²==03..6644
第21章 一元二次方程小结与复习 人教版数学九年级上册课件
转化为一般 式，判断 Δ
考点四 一元二次方程的根与系数的关系
例5 已知一元二次方程 x2 - 4x - 3 = 0 的两根为 m，n， 则 m2 - mn + n2 = 25 ．
总结 重要公式变形：
练一练
2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx + m2 + m = 0 有 两个实数根．
第二十一章 一元二次方程
小结与复习
人教版九年级（上）
单元结构图
设未知数，列方程 实际问题
一元二次方程
ax2 + bx + c = 0
配方法
解 方 程
公式法 因式分解法
降 次
实际问题 的答案
检验 方程 ax2 + bx + c = 0 的根
1. 一元二次方程的三个判断条件： ①方程两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是 2.
2. 根的判别式与根与系数的关系：
Δ > 0，方程有两个不等的实数根
根的判别式 Δ = b2 − 4ac
Δ = 0，方程有两个相等的实数 根 Δ < 0，方程无实数根
根
*根与系数的关系
3. 解一元二次方程几种方法：
直接开平方法
(mx + n)2 = p (p≥0，m≠0)
配方法 解
法
公式法
(mx + n)2 = p (p≥0)
即
(2) (2x − 1)2 = (3 − x)2.
解：直接开方法： 2x −1=±(3 - x)， 即 2x −1 = 3 − x， 或 2x − 1 = −3 + x. ∴ x1 = ，x2 = −2.
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》课件
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2.
你注意到了吗？一元 二次方程可能不止一 个根.
例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2
2a2 4a 2018 2(a2 2a) 2018 2 2 2018 2022
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意 观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数 式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
×
x2=0
5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，
解：由题意得 a b c 0 即a 12 b 1 c 0 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方 程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2
课堂小结
概念
一 元 二 一般形
次方程
式
根
最新人教版初中九年级上册数学第二十一章《一元二次方程》知识点
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）21.2 降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。
1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系数化1：将二次项系数化为13.移项：将常数项移到等号右侧4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方：左右同时开平方7.求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．后序亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。
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第二十一章 一元二次方程21.1一元二次方程1、一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。
形如：()200ax bx c a ++=≠ 例1．关于x 的方程(m －4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.【答案】≠4，=4【解析】试题分析：根据一元二次方程、一元一次方程的定义即可求得结果.由题意得当m≠4时，是一元二次方程，当m=4时，是一元一次方程.考点：一元二次方程，一元一次方程点评：熟练掌握各种方程的基本特征是学好数学的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.例2．关于x 的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.【答案】m ≠-1且m ≠2【解析】试题分析：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），由a≠0即可得到m2-m-2≠0，从而得到结果。
由题意得m2-m-2≠0，解得m ≠-1且m ≠2.考点：本题考查的是一元二次方程成立的条件点评：解答本题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），尤其注意a≠0.2、a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
例1．一元二次方程3x2-6x+1=0中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是 （ ）A ．3，-6，1B ．3，6，1C ．3x2,6x ，1D ．3x2,-6x ，1【答案】A【解析】试题解析：3x2-6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1．故选A ．考点：一元二次方程的一般形式．例2．若关于x 的方程0142=--x ax 是一元二次方程，则a 满足的条件是（ ）A ．a ＞0B ．0≠aC ．0<aD ．4≠a【答案】B【解析】试题分析：本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a b c 都是常数，且a ≠0）．根据一元二次方程的定义得出a ≠0即可．考点：一元二次方程的定义．例3．请你写出一个有一根为1的一元二次方程____________________．【答案】（x+1）（x －1）=0（不唯一）【解析】试题分析：本题利用因式分解法，保证其中有一个解为x=1就可以．考点：一元二次方程的解．例4．关于x 的方程053)2(2=-+-x x m 是一元二次方程，则m 的取值范围是 ． 【答案】m ≠2．【解析】试题解析：由一元二次方程的定义可得m-2≠0，解得m ≠2．考点：一元二次方程的定义．例5．关于x 的方程221(1)50a a a x x --++-=是一元二次方程，则a=_________．【答案】3．【解析】试题分析：221(1)a a a x --+是方程二次项，即221210a a a ⎧--=⎨+≠⎩，解得：a=3．故答案为：3． 考点：一元二次方程的定义．21.2解一元二次方程21.2.1 配方法配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。
例1．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣4=0，下列变形正确的是（ ）A ．（x ﹣6）2=﹣4+36B ．（x ﹣6）2=4+36C ．（x ﹣3）2=﹣4+9D ．（x ﹣3）2=4+9【答案】D【解析】试题分析：本题考查了利用配方法解一元二次方程，一般步骤：第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；第二步：方程两边同时除以二次项系数；第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x±m ）2=n 的形式；第四步：用直接开平方解变形后的方程．解：x 2﹣6x ﹣4=0，移项，得x 2﹣6x=4，配方，得（x ﹣3）2=4+9．故选：D ．考点：解一元二次方程-配方法．例2．若把代数式223x x --化为2()x m k -+的形式，其中m k ，为常数，则m k += ．【答案】-3【解析】配方得223x x --=4)1(2--x ，所以m=1，k=-4，则m k +=-3.例3．用配方法解方程：01422=--x x【答案】11x =+ 21x = 【解析】 2122x x -=23(1)2x -=∴ 11x =+ 21x =- 例4．用配方法解方程0562=+-x x【答案】2694x x -+=2(3)4x -=32x -=± 15x =，21x =【解析】利用配方法求解21.2.2 公式法1. 24b ac ∆=-（1）120,x x ∆>==（2）120,2b x x a∆===- （3）0∆<，方程无实数根求根公式：x = 例1．一元二次方程2x 2+3x+1=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程的根的判别式，可由24b ac =-V =9-8=1＞0，可知其有两个不相等的实数根． 故选A考点：根的判别式例2．方程x 2＋4x －2=0的根的情况是（ ）A ．两个不相等的实数根B ．两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】A【解析】试题分析：先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． ∵2441(2)240=-⨯⨯-=>△，∴方程有两个不相等的实数根．故选答案：A考点：根的判别式．例3．若关于x 的方程(m －1)x 2－2mx ＋(m ＋2)=0有两个不相等的实根，则m 的取值范围是________．【答案】m ＜2且m≠1．【解析】试题解析：根据题意列出方程组()()()22412010m m m m ---+⎧⎡⎤⎪⎣⎦⎪≠⎨-⎩＞ 解之得m ＜2且m≠1．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．21.2.3 因式分解法先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
韦达定理：1212,b c x x x x a a+=-⋅= 例1．用因式分解法解方程9=x 2－2x+1（1）移项得__________；（2）方程左边化为两个平方差，右边为零得__________；（3）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________；（4）分别解这两个一次方程得x 1=__________,x 2=__________.【答案】9－(x 2－2x+1)=0，32－(x －1)2=0，(3－x+1)(3+x －1)=0，4，－2【解析】试题分析：根据因式分解法解方程的步骤依次分析即可得到结果.用因式分解法解方程9=x 2－2x+1（1）移项得9－(x 2－2x+1)=0；（2）方程左边化为两个平方差，右边为零得32－(x －1)2=0；（3）将方程左边分解成两个一次因式之积得(3－x+1)(3+x －1)=0；（4）分别解这两个一次方程得x 1=4，x 2=－2.考点：因式分解法解一元二次方程点评：熟练掌握各种解方程的一般方法是学习数学的基础，因而此类问题在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.例2．用因式分解法解方程03722=+-x x【答案】(21)(3)0x x --=112x =，23x = 【解析】利用因式分解法求解。
例3．用因式分解法解方程：x 2x+3=0；【答案】x 1=x 2【解析】试题分析：先根据完全平方公式分解因式，即可解出方程。
x 2x+3=0（2=0解得x 1=x 2考点：本题考查的是解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.)(2222b a b ab a ±=+± 21.3实际问题与一元二次方程实际问题要符合实际，看方程的根符合实际吗？不符合要舍去例1．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．100（1+x ）=121B ．100（1﹣x ）=121C ．100（1+x ）2=121D ．100（1﹣x ）2=121【答案】C【解析】试题解析：设平均每次提价的百分率为x ，根据题意得：100（1+x ）2=121，故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．例2．在一次学习交流会上，每两名学生握手一次，经统计共握手253次．若设参加此会的学生为x 名，根据题意可列方程为 （ ）A ．253)1(=+x xB ．253)1(=-x xC ．253)1(2=-x xD ．506)1(=-x x【答案】D ．【解析】试题分析：参加此会的学生有x 名,则每名同学需握手（x-1）次，x 名同学一共握手x （x-1）次，而两名学生握手一次，所以应将重复的握手次数去掉，由此可列出方程21x （x-1）=253，即506)1(=-x x ，故答案选D ． 考点：一元二次方程的应用．例3．某种手机经过四、五月份连续两次降价，每部手机由3200元降到2500元。
设平均每月降价的百分率为x ，则根据题意列出的方程是（ ）.A 、 2500)1(32002=-xB 、2500)1(32002=+xC 、2500)21(3200=-xD 、250032002=-x【答案】A.【解析】试题分析：依题意得：两次降价后的售价为3200（1-x ）2=2500.故选：A.考点：由实际问题抽象出一元二次方程.例4．某学校准备建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，则可列方程为：（ ）A 、x （x-10）=200B 、2x+2（x-10）=200C 、x （x+10）=200D 、2x+2（x+10）=200【答案】C【解析】试题分析：宽为x 米，则长为（x+1）米.S=长×宽，即x （x+10）=200.考点：一元二次方程的应用.例5．某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元售出时，每天可销售100件，如果每件提高1元，日销售量就要减少10件，若使商场投资少，收益大，那么该商品的售出价格定为多少元时，才能使每天获得350元？【答案】25元．【解析】试题分析：设售价定为每件x 元，由：利润=每件利润×销售量，列方程求解．试题解析：解：设售价定为每件x 元，则每件利润为（x ﹣8）元，销售量为[100﹣（x ﹣10）×10]，依题意，得（x ﹣8）[100﹣（x ﹣10）×10]=360，整理，得2281960x x -+=，解得12x x ==14．答：他将售出价定为每件14元时，才能使每天所赚利润为360元．考点：一元二次方程的应用．。