物理竞赛 联赛公式大全

角动量
若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保 持不变，这就是质点的角动量守恒定律．物体在受有心力作用而绕着中心天 体运动，或几个天体互相绕其系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力
心的力矩为零，故系统的角动量守恒．即 mvr sin 恒量 ． 模型与 方法
返回
物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守
GM m R2

m

2
T
2

R

G 4
3
R3
4 2

R
R2
T2
3
GT 2
E

1 2
mv02

GMm r
E0
2GM
vd
r
E0
GM vb r
E 0 ve
2GM r
v0
a
e
d
bc
轨道与 能量
轨道与
引力势 能
E

1 2
mv02

GMm r

能量
恒量

Rm

M M m
L


RM

m M m
L
之二：∵角速度相同，即 vm vM , vm M
之三：∵两天体做圆周运动R的m 向R心M力大小vM相等m，
之四：
由
GMm L2

m

2
T
2

M M m
L
T 2
L3
GM m
之五：双星系统动量守恒
am M aM m
♣ 水平直径以上各点的临界速度
⑴在水平直径以上各点弹力方向是指
向圆心的情况，例如系在绳端的小球，过 v
山车……
FT mg sin

m
v2 R
线
绳 R FT
当FT =0时，v 临界= Rg sin
mg
v
轨 FN 道 mg
在水平直径以上各点不脱离轨道 因而可做完整的圆运动的条件是 ：
v gR sin
F
r3

G

R3
M r2

m

G
Mm R3
r
距球心r处所置质点的引力势能
m R
r
M
由
G
Mm R3

R
2
r


R

r



GMm R

E
p
Mm Ep G 2R3
r2 3R2
专题11-例1 试推导地球上的第三宇宙速度v3．
地球质量M 太阳质量MS 地球半径R 日地距离r 物体质量m
恒．引力是保守力，引力场是势场，在平方反比力场
中，质点的引力势能取决于其在有心力场
A1移至无穷远处，引力
做负功为：
M
r1 mA1 A2 A3
An
n GMm
W lim
r n i 1
2 i
ri1 ri
n
GMm lim n i1
中心天体半径R0
轨道半径R 与轨道半径关系
加速度
a0

g0

GM R02
a

g

GM R2
速度
v0
R0 g0
GM R0
v Rg GM R
周期
T 2
R0 2 g0
R03 T 2 GM
R 2 g
R3 GM
角速度
g0 R0
GM R03

g R
GM R3
S2 cos2 r22
F1 F2
整个球壳对球壳内物
质的万有引力为零!
r O
M
r2 S2
2
返回
对于一个质量均匀半径为R 的实心球，在距球心r（＜R） 处质点只受半径为r的球内质量 的万有引力，而r以外球壳（即 R为外径r为内径的球壳）则对
质点无引力的作用．
距球心r处所置质点受到引力大小
示例
两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作 用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互 作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互 作用的前后相对速度遵守“反射定律”，如果是一维方向上的“弹性碰 撞”，则相对速度等值反向．若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的 动量守恒而机械能不守恒．
v2
2GMs 42.1km/s r
这是以日为参照物之速度，而地球对太阳的公转速度
=29.8 km/s；则以地球为参照物，这个速度为
由能量守恒：
1 2
mv32
GMm 1 m R2
v2 v地日
v2
2
v地日
v3
2GM R
v2 v地日
2
16.5km/s
r
量p的垂直距离的乘积 ;方向
O
遵守右手定则,矢量定义式为
L rp
两面元质量各为
S1

M
4 r2
S1
S2

M
4 r2
S2
两面元对壳内质点m的引力各为S1
r1
1

m
F1

G


S1 r12

m
,
F2

G


S2 r22

m
由几何关系:S1 cos1 r12
ri1 ri ri ri1
n 1 1
GMm lim n
i 1

ri
ri 1

1 1 1 1

GMm
lim n
r1

r2

r2

r3


1 rn1

1 rn


GMm

1 r1

1 rn

以无穷远处为零引力势 能位置，物体在距中心 天体r远处的引力势能为
GMm Ep r
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矢量r称位置矢量，或称矢径
rm
绕定点圆运动质点的（线）动量为
O
p mv 方向总是与矢径r垂直
p
定义: 质点动量大小mv与矢径大小r的乘积为质点对
定点（圆心）O的角动量：L=pr
当p与r方向不垂直而成角度θ：
角动量大小L pr sin
A θ
等于动量大小与O点到动量矢 p
第一宇宙速度v1： 由
(地球环绕速度)
GMm R2
m v12 R
GM
v
7.9 km/s
1
R
第第二三(地宇宇球宙宙逃逸速速速度度度vv) 23：：原由处能于量太守阳恒系G中MR地m 球 轨12 vm道2v22位置2G的RM物体 1离1.2 km/s
(太阳逃逸速度) 开太阳系所需“逃逸速度”
a 1 R2
v 1 R
T R3
1
R3
★模型特征：
两颗相近的天体绕它们连线上的某 vm
点（质心Ｏ）以共同的角速度做匀速
圆周运动 .
m
★模型规律：
ω
M
Rm
O RM
vM
之一：两天体做圆周运动的向心力均为两天体间的万有引
力，大小相等，即 mRm 2 MRM 2
故有
Rm M RM m
⑵在水平直径以上各点弹力方向是
背离圆心的情况，例如车过拱形桥……
mg sin
FN
m v2 R
当FN =0时，v 临界= Rg sin
FN
轨

道
在水平直径以上各点
不脱离轨道的条件是 ： v gR sin
mg
♣ 机械能守恒
mg 2R