244弧长和扇形面积求阴影部分面积习题课剖析
九年级数学： 24.4《弧长和扇形的面积》说课稿
《弧长和扇形的面积》说课稿一、说教材分析：（一）、说教材的地位与作用：本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书，人教版九年级上册第24章《圆》中的“弧长和扇形面积”，从孩提时代的感觉圆形，到小学的认识图形，再到如今的系统学习，学生对圆的认识正在发生着质的变化。
这节课是学生在前阶段学习了“圆的认识”“与圆有关的位置、关系”“正多边形和圆”的基础上进行的拓展与延伸。
本课时在中考中占有一定的分值，掌握好这部分内容就是中考制胜的法宝，针对知识的形成过程，本节课创造性的使用教材，本节课的主要内容是在小学阶段学过的圆周长和面积公式的基础上，采用由特殊到一般的方法探索弧长及扇形面积公式，利用小组合作的方式让学生更好的理解弧长和扇形的面积的形成过程，让学生充分体验知识的形成过程，也注重数学方法的渗透。
并运用公式解决一些具体问题，为学生的学习及生活更好地运用数学作准备。
对学生以后学习用动态解决数学问题的学习起到了铺垫作用。
（二）说教学目标1、知识与技能（1）经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；（2）了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题。
2、过程与方法（1）经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力。
（2）了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力。
3、情感态度与价值观（1）经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
（2）通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力。
（三）说教学重、难点重点：弧长公式，扇形面积的推导及公式的应用。
难点：运用弧长和扇形的面积，计算组合图形的面积。
（四）说教法针对九年级学生年龄特点和心理特点，以及他们现有的知识水平，通过小组合作与交流尝试练习促进共同进步，并用肯定的语言进行鼓励，激励学生。
人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)
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1353π6×0 152＝375π(cm2)．
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能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中， 图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
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12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋 转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章 圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径． 核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个 量． 知识点 2 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
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知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径． 【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧 径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角 分 积析，：即先 可用 求形扇 出形 阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面
弧长与扇形面积教学反思
24．4弧长和扇形面积——扇形面积一课的教学反思柳州市融安县长安镇第一中学陈灵群本节课内容是新人教版九年级第24章第四节的第二课时，教学目标：1、经历扇形面积公式的探索过程；2、会利用扇形面积的计算公式进行计算；3、渗透辩证的观点和转化的思想。
教学重点：扇形的面积的计算。
教学难点：利用扇形面积公式计算阴影图形的面积。
教材是把弧长和扇形面积放在一课时授完，本人考虑到本班学生的基础比较差，一节课讲完弧长和扇形面积公式的探索过程和利用公式进行计算，学生是吃不消的，但实际教学下来，我们总是需要两课时处理，学生才能把两个公式掌握好。
因此，还不如一节课就掌握一个公式，这样学生易于接受新知识，也增强对数学学习的兴趣。
通过上这节课，本次我的授课思路是：复习圆周长公式——弧长公式，由此由圆面积公式类比导出扇形面积公式。
使学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中，获取广泛的数学活动经验，进而促进自身的主动发展。
重点强调培养学生解决实际问题的能力。
首先是与学生一起复习圆的周长、面积计算公式，接着用以下的题目引入新课，与学生一起探索出扇形面积的计算公式。
一、温故知新：1．圆的周长公式是。
2．圆的面积公式是。
3．什么叫弧长？弧长公式是。
4、什么叫扇形?二、自主学习：圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积;1、设圆的半径为R,180°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
2、设圆的半径为R,90°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
3、设圆的半径为R,45°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
4、设圆的半径为R,1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
……5、设圆的半径为R,n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
6、比较扇形面积公式和弧长公式,如何用弧长表示扇形的面积?三、新知掌握。
利用扇形面积计算公式完成以下题目.= ;1、若扇形的圆心角n为50°，半径为R=1，则这个扇形的面积，S扇2,则这个扇形的半径R= ;2、若扇形的圆心角n为60°, 面积为33、若扇形的半径R=3, S 扇形＝3π,则这个扇形的圆心角n 的度数为 ;4、若扇形的半径R=2㎝,弧长π34=l ㎝，则这个扇形的面积，S 扇= ; 四、典型例题：（教科书第111页例1）如图：水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0．6m ，其中水面高0．3m ．求截面上有水部分的面积(精确到0．01m 2)．五、巩固新知：1、教材122页练习第1题，2、教材122页练习第2题，3、习题24.4第1题填空。
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版知识精讲
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧长和扇形面积 1. 弧长和扇形面积.2. 圆锥的侧面积和全面积.二、知识要点：1. 弧长和扇形面积（1）圆的周长公式C ＝2πR ，n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR180.（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.（3）圆的面积公式S ＝πR 2，圆心角为n °的扇形的面积公式S 扇形＝n πR 2360. 当扇形所对的弧长为l 时，S 扇形＝12l R.2. 弓形面积（1）由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.（2）当弓形所含的弧是劣弧时，S 弓形＝S 扇形－S △；当弓形所含的弧是优弧时，S 弓形＝ S 扇形＋S △.3. 圆锥的侧面积和全面积连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥的母线都相等. 如果把圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么它的展开图是一个扇形. 如图所示，这个扇形的半径是圆锥的母线长SA ，弧长是圆锥底面圆的周长.如图中，高SO ＝h ，底面圆的半径OA ＝r ，母线SA ＝l ，则有h 2＋r 2＝l 2，侧面展开图中，扇形的半径为1，弧长︵AC 为2πr .圆锥的侧面积S 侧＝12l ·2πr ＝πrl ；全面积S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.r三、重点难点：本节课的重点是计算弧长和扇形面积以及圆锥的侧面积和全面积. 难点是对弧长和扇形面积公式的理解和公式变形后的灵活运用.四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分. 考查内容主要包括：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似、三角函数的综合运用.【典型例题】例1. 已知扇形的圆心角为270°，弧长为12π. 求扇形的面积.分析：根据扇形面积计算公式S ＝n πr 2360＝12lr . 已知n ＝270，l ＝12π. 不管用哪一个公式都必须先求出r ，可借助弧长公式l ＝n πr180求出r .解法一：设扇形半径为r .因为l ＝n πr 180，所以r ＝180l n π＝180×12π270×π＝8.所以S 扇形＝n πr 2360＝270×π×82360＝48π.解法二：设扇形半径为r . 由解法一知r ＝8.所以S 扇形＝12lr ＝12×12π×8＝48π.评析：扇形面积计算公式有两个，解题时要灵活选用. 特别是题目条件中弧长已知时，用S ＝12lr 计算较简便.例2. 如图所示，当半径为30cm 的圆（轮）转动过120°角时，传送带上的A 物体平移的距离为__________cm .分析：A 物体平移的距离相当于圆上的120°的圆心角所对的弧长. ∵R ＝30cm ，n ＝120，∴l ＝120·π·30180＝20π（cm ）.解：20π评析：关键是找出A 物体平移的距离与圆弧长的关系，也可以通过实验操作，或想象圆转动来确立. 在填答案时，由于没有确定精确度，故可以保留π.例3. （1）如图①所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是1，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）A. π12B. π8C. π6D. π2（2）如图②所示，有一圆锥形粮堆，从正面看它是一个边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线长是__________m . （结果不取近似值）BB②③分析：（1）∵S 扇1＝n 1πR 2360，S 扇2＝n 2πR 2360，S 扇3＝n 3πR 2360. ∴S 阴＝S 扇1＋S 扇2＋S 扇3＝n 1πR 2360＋n 2πR 2360＋n 3πR 2360＝πR 2360（n 1＋n 2＋n 3）＝πR 2360×180＝π2，故正确答案为D. （2）设展开后扇形的圆心角为n °，则n π×6180＝π×6，解得n ＝180. 所以圆锥侧面展开后为半圆，且AB⊥AC. 在R t △ABP 中，AB ＝6，AP ＝3，则BP ＝35（m ）.解：（1）D （2）3 5例4. 如图所示，在R t △ABC 中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝6cm ，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C ’处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是__________cm 2. （不取近似值）A分析：图中的阴影部分可以看成是由△A ’BC ’与扇形ABA ’的和减去△ABC 与扇形CBC ’，由旋转得S △ABC ＝S △A ’BC ’，∠ABA ’＝180°－∠A ’BC ’＝180°－60°＝120°，AB ＝6cm ，又扇形CBC ’中，∠CBC ’＝∠ABA ’＝120°（旋转角），BC ＝12AB ＝12×6＝3（cm ），因此S 扇形ABA ’＝120×π×62360＝12π（cm 2），S 扇形CBC ’＝120×π×32360＝3π（cm 2），∴S 阴影部分＝S 扇形ABA ’－S 扇形CBC ’＝12π－3π＝9π（cm 2）.解：9π评析：组合图形（不规则图形）面积，通常将其转化成规则图形的面积或规则图形面积的和差.例5. 如图所示，已知R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20cm ，BC ＝15cm ，以直线AB 为轴旋转一周，得到一个锥体，求这个几何体的表面积.分析：这个几何体的表面积是两个圆锥侧面积的和. 其中AB 为旋转轴，OC 为旋转半径，OC 就是△ABC 的高，可用面积法求得OC. 旋转结果为两个共底的圆锥，这两个圆锥的母线分别为AC 和BC.ACO解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20，BC ＝15. AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25. ∵AB 为旋转轴，∴旋转半径OC ＝AC ·BC AB ＝20×1525＝12，且旋转结果为两个共底的圆锥.S 上＝12×2π×OC ×AC ＝π×12×20＝240π（cm 2），S 下＝12×2π×OC ×BC ＝π×12×15＝180π（cm 2），∴这个几何体的表面积S ＝240π＋180π＝420πcm 2. 答：这个几何体的表面积是420πcm 2.评析：本题考查学生的空间想像能力，对旋转体概念理解能力，对旋转体表面积的计算能力.【方法总结】1. 本课是关于圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、以及圆锥侧面积的计算，我们应该熟记它们的计算公式.2. 把不规则图形的面积通过“和差法”、“割补法”、“等积代换法”等方法转化成规则图形面积来解决.【预习导学案】（随机事件和概率）一、预习前知1. 随意地向上抛一枚硬币，落地后有几种可能？2. 在做“锤子、剪刀、布”的游戏时，你知道获胜的把握有多大吗？二、预习导学1. 必然事件是指__________，不可能事件是指__________，随机事件是指__________.2. 下列事件： （1）任意三角形内角和都是180°；（2）任意选择电视的某一频道，它正在播放新闻；（3）两条线段可以组成一个三角形，其中__________是必然事件，__________是不可能事件，__________是随机事件.3. 若一袋中装有大小、质地等完全相同的5个黑球、8个白球，在看不到球的情况下，随机摸出一球，摸到__________球的可能性大. 若想让摸到另一种颜色的球的可能性大，应如何设计__________.4. 概率是指事件发生的__________稳定在某个__________附近，则这个__________就叫做这个事件的概率. 如抛掷硬币时，“正面向上”的频率约为0.5，则说此事件发生的概率约为__________. 反思：（1）如何划分事件发生的可能性？（2）如何理解试验频率与概率的关系？ （3）影响概率大小的因素有哪些？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图，已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧AB 的长为（ ） A. 2π B. 3π C. 6π D. 12πAB2. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（ ）A. 10π3cmB. 20π3cmC. 25π3cmD. 50π3cm3. 若扇形的圆心角是150°，扇形的面积是240πcm 2，则扇形的弧长是（ ） A. 5πcm B. 20πcm C. 40πcm D. 10πcm4. 如图所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 互不相交，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）A. ππ C. 2ππ*5. 如图所示，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（ ） A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)6. 如图，︵AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为︵AD 上任意一点，若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是（ ）A. 15B. 20C. 15＋5 2D. 15＋5 5ABD*7. 如图，用两道绳子捆扎着三瓶直径均为8cm 的酱油瓶，若不计绳子接头（π取3），则捆绳总长是（ ）A. 24cmB. 48cmC. 96cmD. 192cm**8. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°二、填空题1. 一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，那么这条弧长为__________.2. 已知R t △ABC ，斜边AB ＝13 cm ，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65πcm 2的圆锥，则这个圆锥的高等于__________.3. 如图所示为一弯形管道，其中心线上一段圆弧AB. 已知半径OA ＝60㎝，∠AOB ＝ 108，则管道的长度（即弧AB 的长）为__________cm （结果保留π）4. 某校校园里修了一个面积为16平方米的正方形花坛（如图所示），学校准备将阴影部分种上花，其余部分种草，则种花的面积是__________平方米.*5. 如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为__________（结果保留π）6. 小红要过生日了，为了筹备生日聚会，她准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽. 如图所示，圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助她计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为__________.36cm9cm三、解答题1. 如图所示，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.*2. 如图所示，等腰R t△ABC中斜边AB＝4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来. （结果用π表示）3. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，若直角三角形ABC绕AB旋转所得的圆锥的侧面积和矩形ABCD绕AB旋转所得到的圆柱的侧面积相等，求BC的长.ADB C**4. 如图所示，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的X围面积是多少？【试题答案】一、选择题1. B2. B3. B4. B5. C6. C7. C8. D二、填空题1. 32π2. 12cm3. 36π4. 85. 38π 6. 324πcm 2三、解答题1. 将圆锥沿过A 点的母线展开，爬行最短路径是从展开扇形弧的一端沿直线爬行到另一端. 这一长度是33r .2. 连接OE ，则△OEB 是等腰直角三角形，且面积为1. 扇形OEF 的面积为14π，阴影部分面积为2－12π3. 根据题意12×2π×BC ×AC ＝2π×BC ，即AC ＝2，在R t △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝ 3.4. 活动X 围由3部分（图中阴影部分）组成：半径为14、圆心角为270°的扇形一个，半径为14－10＝4、圆心角为90°的扇形两个. 狗的活动面积是：270π×142360＋2×90π×42360＝155π。
2022年人教版九年级数学上册第二十四章 圆教案 弧长和扇形面积 (第1课时)
24.4 弧长和扇形的面积第1课时一、教学目标【知识与技能】经历探索弧长计算公式的过程,培养学生的探索能力.了解弧长计算公式,并会应用弧长公式解决问题,提高学生的应用能力.【过程与方法】通过等分圆周的方法,体验弧长扇形面积公式的推导过程,培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.【情感态度与价值观】通过对弧长和扇形面积公式的推导,理解整体和局部的关系.通过图形的转化,体会转化在数学解题中的妙用.二、课型新授课三、课时第1课时,共2课时。
四、教学重难点【教学重点】弧长和扇形面积公式,准确计算弧长和扇形的面积.【教学难点】运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.五、课前准备课件、图片、直尺、圆规等. 六、教学过程 （一）导入新课教师问：如图,在运动会的4×100米比赛中,甲和乙分别在第1跑道和第2跑道,为什么他们的起跑线不在同一处？（出示课件2）学生答：因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 教师问：怎样来计算弯道的“展直长度”？（板书课题） （二）探索新知探究一 弧长计算公式及相关的计算教师问：半径为R 的圆,周长是多少？（出示课件4）学生答：=2C R .教师问：①360°的圆心角所对的弧长是多少？②1°的圆心角所对的弧长是多少？③n °的圆心角所对的弧长是多少？学生答：①360°的圆心角所对的弧长是圆的周长；②1°的圆心角所对的弧长是圆的周长的1360；③n °的圆心角所对的弧长是圆的周长的360n . 教师问:下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?弧长是多少？（出示课件5）学生观察,计算,交流,教师抽查学生分别口答.教师归纳：（出示课件6） 弧长公式：2360180n n R l R ππ=•= 用弧长公式进行计算时,要注意公式中n 的意义．n 表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的.算一算：已知弧所对的圆心角为60°,半径是4,则弧长为____.学生代入公式进行计算：43π出示课件7：例 制造弯形管道时,要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm,精确到1mm)学生观察思考后,师生共同解答. 解：由弧长公式,可得弧AB 的长：1009005001570(mm),180⨯⨯π==π≈l因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm ）.答：管道的展直长度为2970mm ． 巩固练习：（出示课件8）一滑轮起重机装置（如图）,滑轮的半径r=10cm,当重物上升15.7cm 时,滑轮的一条半径OA 绕轴心O 逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动,π取3.14）？学生自主思考后,独立解答,一生板演.解：设半径OA 绕轴心O 逆时针方向旋转的度数为n °.15.7,180n Rπ=解得n ≈90°.因此,滑轮旋转的角度约为90°.探究二 扇形面积计算公式及相关的计算出示定义:圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图,黄色部分是一个扇形,记作扇形OAB.（出示课件9）判一判：下列图形是扇形吗？（出示课件10）学生观察后口答：×；×；√；×；√.教师问：半径为r的圆,面积是多少？（出示课件11）学生答：2 =S r.教师问：①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？学生答：①360°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积；②1°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积的1.360③n°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积的360n.教师问：图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几,具体是多少呢?（出示课件12）学生观察计算并填表.出示课件13：教师归纳：扇形面积公式：半径为r 的圆中,圆心角为n °的扇形的面积为2=.360n r S π扇形教师强调：①公式中n 的意义．n 表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.教师问：扇形的面积与哪些因素有关？（出示课件14）学生答1：圆心角大小不变时,对应的扇形面积与半径有关,半径越长,面积越大.学生答2：圆的半径不变时,扇形面积与圆心角有关,圆心角越大,面积越大. 教师总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.教师问：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？（出示课件15） 学生板演：11.180221802n r r n r S r lr ππ=⋅=⋅⋅=扇形 教师问：扇形的面积公式与什么公式类似？ 学生答：1.2S ah ∆=出示课件16：例1 如图,圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm 2和0.01cm ）学生独立思考后师生共同解答. 解：∵n=60,r=10cm, ∴扇形的面积为扇形的周长为巩固练习：（出示课件17）1.已知半径为2cm 的扇形,其弧长为43π,则这个扇形的面积S 扇= ．2.已知扇形的圆心角为120°,半径为2,则这个扇形的面积S 扇= .学生独立思考后口答：1.24cm 3π；2.43π.出示课件18,19：例2 如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm ）教师问：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 学生答：阴影部分.教师问：(2)水面高0.3m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 学生答：线段DC.过点O 作OD 垂直于AB 并交圆O 于C. 教师问：(3)要求图中阴影部分面积,应该怎么办？ 学生答：阴影部分面积=扇形OAB 的面积-△OAB 的面积. 师生共同解答如下：（出示课件20）解：如图(3),连接OA,OB,过点O 作弦AB 的垂线,垂足为D,交AB 于点C,连接AC.∵OC ＝0.6,DC ＝0.3, ∴OD ＝OC-DC ＝0.3, ∴OD ＝DC. 又AD ⊥DC,∴AD 是线段OC 的垂直平分线, ∴AC ＝AO ＝OC.从而∠AOD ＝60˚,∠AOB=120˚. 有水部分的面积： S ＝S 扇形OAB -S ΔOAB22120π10.6360210.12π0.22(m 0.32)=⨯-•=-⨯≈AB OD 出示课件21：弓形的面积公式：教师归纳：弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积. 巩固练习：（出示课件22）如图,扇形OAB 的圆心角为60°,半径为6cm,C,D 是弧AB 的三等分点,则图中阴影部分的面积和是_____．学生独立思考后解答：阴影部分的面积就是扇形OAC 的面积,由题意得： ∠AOC=60°÷3=20°.S 扇形OAC =⨯220π6360=2π.（三）课堂练习（出示课件23-29）1.如图,AB 是⊙O 的直径,点D 为⊙O 上一点,且∠ABD=30°,BO=4,则 的长为（ ）A ．23π B ．43π C ．2π D ．83π 2.如图,在平行四边形ABCD 中,∠B=60°,⊙C 的半径为3,则图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π 3.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长_____.4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点,将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置,则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（）5.如图,☉A、☉B、☉C、☉D两两不相交,且半径都是2cm,则图中阴影部分的面积是_____.6.如图,Rt△ABC的边BC位于直线l上,AC∠ACB＝90°,∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转,当点A第3次落在直线l上时,点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．7.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.9cm,求截面上有水部分的面积.8.如图,一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置,求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.参考答案：1.D2.C3.2π4.C5.212πcm6.(4+π7.解：=OAB S S S +△弓形扇形224010.60.30.63602π=⨯+⨯⨯0.24π=+()20.91cm .≈8.解：由图可知,由于∠A ′CB ′=60°,则等边三角形木板绕点C 按顺时针方向旋转了120°,即∠ACA ′ =120°,这说明顶点A 经过的路程长等于弧AA ′的长.∵等边三角形ABC 的边长为10cm,∴弧AA ′ 所在圆的半径为10cm.∴l 弧AA ′1201020(cm).1803ππ⨯⨯== 答：顶点A 从开始到结束时所经过的路程为20cm.3π （四）课堂小结通过这堂课的学习,你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？（五）课前预习预习下节课（24.4第2课时）的相关内容.七、课后作业1.教材113页练习1,2,3.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课从复习圆周长公式入手,根据圆心角与所对弧长之间的关系,推导出了弧长公式.后又用类比的方法,推出扇形面积,两个公式的推导中,都渗透着由“特殊到一般”,再由“一般到特殊”的辩证思想,再由学生比较两个公式时,又很容易得出两者之间的关系,明确了知识间的联系.。
《弧长和扇形面积》课件
总结：弧长和扇形面积的重要性及应用场 景
学习弧长和扇形面积的知识可以帮助我们解决许多现实生活中的问题。无论是在工程上，还是在日常生活中， 这些概念都具有重要的应用价值。
扇形面积 = (中心角/360°) x π x 半径²
如何求解缺失的角度和弧长？
当只知道扇形的半径或面积时，可以使用相应的公式来计算缺失的角度或弧长。这对于实际应用中的问题求解 非常有用。
1 求解缺失角度
角度 = (扇形面积/π x 半径²) x (360°/π)
2 求解缺失弧长
弧长 = (角度/360°) x 2π x 半径
周长公式
周长 = 2π x 半径
面积公式
面积 = π x 半径²
圆的周长与直径的关系
周长
直径
2πr
2r
圆的面积与半径的关系
面积
半径
πr²
r
实际应用中的弧长和扇形面积
弧长和扇形面积的概念在现实生活中有许多应用。例如，测量道路的弯曲程 度或计算圆形花坛的面积。这些概念能够帮助我们更好地理解和处理各种实 际问题。
圆周角是什么？
圆周角是指一对半径线相交的角，在圆的圆心处形成一个完整的？
圆心角是指圆的边界上两条半径线之间的角度，其顶点位于圆心。圆心角的大小可以通过弧度或角度来度量。
计算公式
圆心角度数 = 弧长/半径
圆的周长和面积是什么？
圆的周长是圆形边界的长度，可以通过直径或半径来计算。圆的面积是圆内部区域的大小，可以通过半径来计 算。
弧度是什么？
弧度是用于度量圆心角大小的单位。一个圆的一周对应的弧度数是2π，也就是360°。弧度和角度 之间有一种简单的转换关系。
转换关系公式
角度 = 弧度 x (180/π)
2022年人教版九年级数学上册第二十四章 圆教案 弧长和扇形面积 (第2课时)
24.4 弧长和扇形的面积第2课时一、教学目标【知识与技能】通过实物演示让学生知道圆锥的侧面展开图是扇形；知道圆锥各部分的名称,能够计算圆锥的侧面积和全面积.【过程与方法】通过展开圆锥知道圆锥的全面积是扇形和底面圆形,通过制作圆锥,理解圆锥与扇形和圆之间的关系,进一步体会数学中的转化思想,培养学生动手操作能力和分析问题解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过把圆锥展开和制作圆锥,理解事物之间的联系,激发学生动手的欲望和积极思考的兴趣.二、课型新授课三、课时第2课时,共2课时。
四、教学重难点【教学重点】计算圆锥的侧面积和全面积.【教学难点】圆锥侧面展开的扇形和底面圆之间有关元素的计算.五、课前准备课件、图片、直尺、圆规等.六、教学过程（一）导入新课教师问：下面图片是什么形状的？你会求它们的面积吗？（出示课件2）学生观察思考.（板书课题）（二）探索新知探究一圆锥及相关概念出示课件4,5：教师展示圆锥的图片及圆锥形成过程,学生初步认定圆锥各部分的名称.出示课件6,7：教师归纳：圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA,SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线,它们都相等.圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,l表示圆锥的母线长,那么r、h、l之间数量关系是：r2+h2=l2.填一填：（出示课件8）根据下列条件求值（其中r、h、l分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）（1）l=2,r=1则h=_______.（2）h=3,r=4,则l=_______.（3）l=10,h=8,则r=_______.学生独立思考后,自主解答：（1；(2)5；(3)6.探究二圆锥的侧面展开图教师问：圆锥的侧面展开图是什么图形？（出示课件9）学生答：圆锥的侧面展开图是扇形.出示课件10：教师问：1.沿着圆锥的母线,把一个圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？2.圆锥侧面展开图是扇形,这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？出示课件11：通过概念对比,学生进一步明确：圆锥侧面展开图扇形的半径=母线的长；圆锥侧面展开图扇形的弧长=底面周长.出示课件12：师生共同展示圆锥的侧面积计算公式的推导： ∵12S lR =侧（l 为弧长,R 为扇形的半径）,12.2S r l π=⋅⋅侧 ∴侧面S =πlr (r 表示圆锥底面的半径,l 表示圆锥的母线长).教师归纳：圆锥的全面积计算公式：全底侧2 S =S +S =πr +πrl出示课件13：例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20π的扇形,试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.学生独立思考后师生共同解答.解：设该圆锥的底面的半径为r,母线长为a.220r ππ=, 可得r=10. 又12020180a ππ⨯⨯=， 可得a=30.巩固练习：（出示课件14）如图所示的扇形中,半径R=10,圆心角θ=144°,用这个扇形围成一个圆锥的侧面.(1)则这个圆锥的底面半径r= ．(2)这个圆锥的高h= .学生独立思考后自主解答：⑴4；⑵出示课件15,16：例2 如图,圆锥形的烟囱帽,它的底面直径为80cm,母线为50cm.在一块大铁皮上裁剪时,如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积.学生独立思考后师生共同解答.解：该烟囱的侧面展开图是扇形,如图所示.设该扇形的面积为S.方法一：×2πl∵2πr= α360°=288°∴α=360°× rl∴S=α360°πl 2=2000π（cm 2）方法二：S= 12×2πr ·l=12×2π×40×50=2000π（cm 2）.方法三:S=πr ·l=π×40×50=2000π（cm 2）.巩固练习：（出示课件17）已知一个圆锥的底面半径为12cm,母线长为20cm,则这个圆锥的侧面积为 ,全面积为 .学生独立思考后自主解答：πcm 2240；πcm 2384.出示课件18,19：例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成,如果想用毛毡搭建20个底面积为35m 2,高为3.5m,外围高为1.5m 的蒙古包,至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m 2）？学生思考交流后,师生共同解答.解：如图是一个蒙古包示意图．根据题意,下部圆柱的底面积为35m 2,高为1.5m ；上部圆锥的高为3.5－1.5=2（m ）．3.34m ≈， 圆柱的侧面积为2π×3.34×1.5≈31.46（平方米）,()3.89m .≈侧面展开扇形的弧长为()2 3.3420.98m π⨯≈，圆锥的侧面积为()21 3.8920.9840.81m 2⨯⨯≈， 20×（31.46+40.81）≈1446（平方米）．答：至少需要1446平方米的毛毡.巩固练习:（出示课件20）圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm,高为38.7cm,求这个烟囱帽的面积（π取3.14,结果保留2个有效数字）.学生独立思考后自主解答.解：∵l=80,h=38.7,∴r=∴S 侧=πrl ≈3.14×70×80≈1.8×104（cm 2）.答：烟囱帽的面积约为1.8×104cm 2.（三）课堂练习（出示课件21-25）1.如图,蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm 2,圆柱高为3m,圆锥高为2m 的蒙古包,则需要毛毡的面积是（ ）A ．（）πm 2 B ．40πm 2C.（m 2 D ．55πm 2.707.38802222≈-=-hl2.圆锥的底面半径为3cm,母线长为6cm,则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是_______．3.一个扇形,半径为30cm,圆心角为120度,用它做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的底面半径为_____ ．2.如图,在平行四边形ABCD中,∠B=60°,⊙C的半径为3,则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π3.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长_____.4.已知圆锥的底面的半径为3cm,高为4cm,则它的侧面积是_____,全面积是_____．5.如图,已知圆锥的母线长AB=8cm,轴截面的顶角为60°,求圆锥全面积.6.（1）在半径为10的圆的铁片中,要裁剪出一个直角扇形,求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥,求这个圆锥的底面圆的半径？（3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由．参考答案：1.A2.180°3.10cm4.15πcm2；24πcm25.解：∵AB=AC,∠BAC=60°, ∴△ABC是等边三角形.∴AB=BC=AC=8cm.∴S侧=πrl=π×4×8=32π(cm2), S底=πr2=π×4×4=16π(cm2),∴S全=S侧+S底=48π(cm2).6.解：（1）连接BC,则BC=20,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴AB=AC=∴S 扇形=(29050360ππ⨯=；（2）圆锥侧面展开图的弧长为：90180π⨯⨯，r ∴= （3）延长AO 交⊙O 于点F,交扇形于点E,EF=最大半径为.r <所以不能．（四）课堂小结通过这堂课的学习,你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？（五）课前预习预习下节课（25.1.1）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.本节课从观察圆锥图片开始,通过猜想侧面展开图的形状,然后由老师具体操作验证结论的正确性,并能运用所学知识推导出圆锥的侧面积和全面积公式,培养了学生观察、猜想、探索等方面的能力.2.本小节教材是复习圆周长公式推出弧长公式,复习圆面积公式推出扇形面积公式,是在小学基础知识上的提升,圆柱和圆锥的侧面积的计算,是将立体图形化为平面图形,通过具体操作,学生可以获得直观的感受,对于学习高中立体几何,会大有帮助.。
人教版九年级数学上册教案设计：24.4 弧长和扇形面积
24.4弧长和扇形面积一、内容和内容解析1.内容弧长和扇形面积.2.内容解析弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的两个常用公式.应用弧长和扇形面积公式可以计算一些与圆有关的图形的周长和面积，也可以解决一些简单的实际问题.学习这两个公式也为圆锥侧面积公式打下了基础.弧长公式是在圆周长公式的基础上，借助部分与整体之间的联系推导出来的.运用相同的研究方法，可以在圆面积公式的基础上推导出扇形面积公式，进而通过弧长公式表示扇形面积.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：弧长和扇形面积公式的推导及应用.教学难点是:推导弧长和扇形面积公式的过程.二、目标和目标解析1.目标(1)理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积.(2)在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，感受转化、类比的数学思想.2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生能够理解1°的圆心角所对的弧长等于圆周长的3601，所对的扇形面积等于圆面积的3601；能够发现n °的圆心角所对的弧长和扇形面积都是1°的圆心角所对的弧长和扇形面积的n 倍；能利用弧长表示扇形面积，能利用公式计算弧长和扇形面积.达成目标（2）的标志是：在弧长和扇形面积公式的推导过程中，发现弧长与圆周长、扇形面积与圆面积都是部分与整体之间的关系，从而将计算弧长和扇形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一部分来解决，体会转化、类比的数学思想.三、教学问题诊断分析圆的周长和面积公式都是学生已经掌握的内容，学生能够感知到弧长和扇形面积分别与圆周长和圆面积有关，但是对于公式推导过程中圆心角的作用不易理解.教师可以利用特殊情况进行引导：先知道360°的圆心角所对的弧长即圆的周长；然后求1°的圆心角所对的弧长，再通过求2°的圆心角所对的弧长，逐渐认识到弧长；最后探索n °的圆心角所对的弧长，并通过n °圆心角与1°圆心角的倍数关系得出弧长公式.扇形面积公式的推导过程也类似.基于以上分析，本节课的教学难点是：推导弧长和扇形面积公式的过程.突破难点的关键是教师运用部分与整体之间的联系来推导弧长公式，再运用类比的思想引导学生推导扇形面积公式.四、教学过程设计1.创设情境，导入新知（预计时间2分钟）师生活动：教师播放视频，学生观看视频.观看后教师提出问题：在奥运会比赛中各国选手进入弯道后所跑的路线是什么几何图形？为什么各国选手的出发点不一样？学生回答问题，从而引出课题.设计意图：教师通过引导学生观看视频，能初步感知到弧长和这条弧所对的圆心角和圆的大小（半径）有关，同时激发学生的爱国热情和学习兴趣，为新课做铺垫.2.推导并应用弧长公式（预计时间15分钟）问题1 （1）半径为R 的圆周长公式是什么？（2）半径为R 的圆面积公式是什么？（3）什么是弧？(4)圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？师生活动：教师提出问题，学生回答问题（1）、（2）、（3）.对于问题（4）学生能够感知弧长与半径和圆心角有关，但不容易推导出弧长公式，此时教师趁机引出课题.设计意图：教师确立延伸目标，让学生独立思考，为本课学习做好准备.教师追问1： （5）在同圆或等圆中，每一个 1°的圆心角所对的弧长有怎样的关系？（6） 1°的圆心角所对的弧长是多少？（7） n °的圆心角所对的弧长是多少？师生活动：教师引导学生回答问题（5）——-（7）：（5）相等，（6）圆周长的3601，（7）1°圆心角所对弧长的n 倍. 教师追问2:（8）你会计算半径为 R ，1°的圆心角所对的弧长吗？（9）你会计算半径为R ，2°的圆心角所对的弧长吗？师生活动：教师引导学生获得（8），（9）的解答；（8）1°的弧长是圆周长的3601，为1803602R R ππ=；（9）2°是1°的2倍，所以弧长也是1°的弧长的2倍，为901802R R ππ=⨯.设计意图：引导学生关注圆心角的大小，让学生出体验由特殊到一般的弧长公式的推导过程.教师追问3：（10）你会计算半径为 R ，n °的圆心角所对的弧长吗？师生活动：学生独立思考，n °的圆心角所对的弧长是1°的圆心角所对弧长的n 倍，半径为R 的圆的周长是2πR ，利用1°的圆心角所对的弧长180R π，再乘n ，就可以得到n °的圆心角所对的弧长为180R n l π=.此时教师还要强调公式中n 的意义，n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的，公式中的180也是不带单位的.设计意图：让学生经历从整体到部分的研究过程，从圆周长公式出发推导出弧长公式. 教师追问4：弧长的大小由哪些量决定？师生活动：学生独立思考，在弧长公式180R n l π=中，180和π是常量，n 和R 是变量，弧的长度与圆心角和圆的大小（半径）有关，当圆的大小一定时，圆心角越大，弧长越大；当圆心角的度数一定时，圆越大，弧的长也越大.设计意图：通过辨析弧长公式，让学生加深对公式的理解.例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中所示的管道的展直长度 L （结果取整数）．师生活动：（1）学生分析题中条件和解题思路：管道由三个图形组成（两条线段和一段弧），要求展直长度L ，需要知道两条线段长和弧长；其中线段长已知，要求弧长需要知道圆心角和半径；而圆心角和半径题目都已经给出了，由弧长公式即可直接求出弧长，进而可求出展直长度L.(2)学生独立完成解体过程，一名学生板书，师生共同交流.设计意图：通过实际问题，加深学生对弧长公式的认识.3.推导扇形面积公式（预计时间10分钟）问题2 在小学的时候我们曾经研究过扇形，你还记得小学时扇形的定义吗？师生活动：教师提出问题，学生思考后回答.教师指出扇形的特征是：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形,然后引导学生判断下列图形哪些是扇形？设计意图：加深学生对扇形定义的理解，能准确的判断出扇形.教师追问：同学们既然已经学过扇形了，知道扇形是由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形，可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外，还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也越大，那么如何计算扇形的面积呢？你能否类比研究弧长公式的方法推导出扇形面积公式吗？师生活动：教师利用多媒体给出推导弧长公式的问题，学生独立思考并讨论.类比弧长公式的研究过程，可以发现在半径为R 的圆中，，360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR ²，所以1°的圆心角所对的扇形面积是圆面积πR ²的3601，即3602R π,则n °的圆心角所对的扇形面积为360n 2R S π=扇形. 设计意图：类比弧长公式的发现过程，由学生独立思考，归纳出扇形的面积公式，同时让学生体会类比的数学思想.问题3 比较扇形面积公式360n 2R S π=扇形和弧长公式180R n l π=，你能利用弧长表示扇形面积吗？ 师生活动：学生独立思考.通过观察可以发现扇形面积公式3602R n π中，分子含有因式n πR ，则分子n πR ²可以写成R R n ∙π;分母360可以写成180×2.所以可以用弧长来表示扇形的面积，lR R R R S 212180n 360n 2=⋅==ππ扇形，其中l 为扇形的弧长，R 为圆的半径. 同时教师强调当已知弧长L 和半径R ，求扇形面积时，应选用lR S 21=扇；当已知半径和圆心角的度数，求扇形面积时，应选用360n 2R S π=扇形. 设计意图：通过对比弧长和扇形面积公式，让学生发现可以通过弧长来表示扇形面积，为圆锥的侧面积公式的推导作准备..4.练习、巩固弧长和扇形面积公式（预计时间10分钟）例2如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m ，其中水面高 0.3 m ，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．教师追问：（1）你能否在图中标出截面半径和水高？（2）分析截面上有水部分图形的形状，如何求它的面积？（3）要求扇形面积，还需要求出公式中的哪个量？要求三角形的面积，还需要求出哪个量？（4）由已知中半径和水面高，怎样求圆心角和弦长？师生活动：（1）教师通过问题引导学生分析解题思路，并画出相应的图形（图3）.然后分析有水部分的形状为弓形，从而确定了弓形面积的计算方法（扇形面积-三角形面积）.进而通过已知求出相应线段和圆心角即可解决本题.（2）师生共同分析板书解题过程. 设计意图：结合具体例子介绍弓形的面积，加深学生对扇形面积公式的认识，同时小结不规则图形的解法，若图形为不规则图形时，要把它转化为规则图形来解决.例2变式 如图4、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm ，其中水面高0.9cm ，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm ）师生活动：教师把例2的图形调过来，变成优弧弓形，学生根据例2的解题经验，了解到优弧弓形的面积的计算方法（扇形面积+三角形面积），教师引导学生口述解决问题，然后总结所有弓形面积的计算方法:如图5，若弓形为半圆，则221R S π=弓形; 若弓形AMB 的面积小于半圆的面积，则OAB OAB S S S ∆-=扇形弓形；若弓形AMB 的面积大于半圆的面积，则OAB OAB S S S ∆+=扇形弓形.图4练习 教科书第113页练习第1,2,3题.师生活动：学生在练习本上完成，教师巡视、指导.然后小组内交流、评价，教师派代表发言.设计意图：例1是对弧长公式进行辨析，半径和圆心角的大小都对弧长的大小有影响.练习2是巩固弧长公式.练习3是巩固扇形面积公式.5.小结（预计时间3分钟）教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们主要研究了哪些内容？你有什么收获？在推导弧长和扇形面积公式的时，体现了哪些数学思想？（2）弧长与圆周长、扇形面积与圆面积之间有什么联系？设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——弧长和扇形面积公式，并体会部分与整体之间的联系，及类比、转化的数学思想.6.布置作业（预计时间1分钟）教科书习题24.3第4,6,8题.五.目标检测设计(10分)（预计时间4分钟）（注：1、2、4题各2分，3题4分.A 、B 层次的全部完成，C 层次的只需完成1、2即可）1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π2.已知扇形的圆心角为100°，半径为6cm ，则这个扇形的面积为( )A ．6πB ．10πC ．12πD ．20π3.已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的面积是 2cm ,扇形的圆心角为 °.4.如图6，在正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶型（阴影部分）图案，如图，则树叶型图案的面积为( )A.πaB.2πaC.a 21D.3a设计意图：考查学生对弧长和扇形面积公式的掌握.分层布置，体现了让不同学生在数学中都有不同发展的理念.。
弧长及扇形的面积(2种题型)-2023年新九年级数学暑假精品课(苏科版)(解析版)
弧长及扇形的面积（2种题型）1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程并会应用解决问题.一．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．二．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．一．弧长的计算（共13小题）1．（2023•南京一模）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为（）A．B．πC．2πD．3π【分析】连接OD、OE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DOE＝60°，再根据弧长公式计算，得到答案．【解答】解：连接OD、OE，∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝120°，∵OB＝OD，OE＝OC，∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，∴∠DOE＝60°，∴的长为：＝π，故选：B．【点评】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．2．（2022秋•常州期末）如图，同一个圆中的两条弦AB、CD相交于点E．若∠AEC＝120°，AC＝4，则与长度之和的最小值为（）A．4πB．2πC．D．【分析】如图，以AC为边作等边△ACH，则∠AHC＝60°，而∠AEC＝120°，则E在△ACH的外接圆P 上运动，记AB，CD所在的圆为⊙O，连接OA，OB，OC，OD，证明∠AOD+∠BOC＝120°，再证明OA+OC ≥AC，（当A，O，C三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可．【解答】解：如图，以AC为边作等边△ACH，则∠AHC＝60°，而∠AEC＝120°，则E在△ACH的外接圆P上运动，记AB，CD所在的圆为⊙O，连接OA，OB，OC，OD，∴，，∴∠AOD+∠BOC＝2（∠ACD+∠BAC）＝2（180°﹣∠AEC）＝2×60°＝120°，结合三角形的三边关系可得：OA+OC≥AC，（当A，O，C三点共线时取等号），当OA+OC＝AC时，⊙O半径最小，此时半径为，∴此时与的和最小，最小值为：．故选：C．【点评】本题考查弧长的计算，确定弧长和取最小值时圆心O的位置是解本题的关键．3．（2023•苏州一模）半径是10cm，圆心角为120°的扇形弧长为cm．（结果保留π）【分析】直接利用弧长公式计算即可．【解答】解：∵扇形的半径是10cm，圆心角为120°，∴扇形弧长＝＝（cm）．故答案为：．【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解决问题的关键．4．（2023•泗洪县二模）若扇形的圆心角为36°，半径为15，则该扇形的弧长为．【分析】直接利用弧长公式计算即可．【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π．故答案为：3π．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝．5．（2022秋•广陵区校级期末）如图，点C，D在⊙O上直径AB两侧的两点，∠ACD＝60°，AB＝8，则的长为．【分析】连接OD．根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ACD＝120°，那么∠BOD＝60°，代入弧长公式计算即可．【解答】解：如图，连接OD．∵∠ACD＝60°，∴∠AOD＝2∠ACD＝120°，∴∠BOD＝60°，∵AB＝8，∴OA＝OB＝4，∴的长为＝．故答案为：．【点评】本题考查了弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ACD＝120°是解题的关键．6．（2023•启东市三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC＝AD，若∠ABC＝130°，⊙O的半径为9，则劣弧的长为（）A．4πB．8πC．9πD．18π【分析】连接OD，OC．利用圆内接四边形的性质求出∠ADC，再求出圆心角∠DOC，利用弧长公式求解．【解答】解：连接OD，OC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝130°，∴∠ADC＝50°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝50°，∴∠DAC＝80°，∴∠DOC＝2∠DAC＝160°，∴的长＝＝8π．故选：B．【点评】本题考查弧长公式，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是求出圆心角，记住弧长公式．7．（2023•苏州一模）如图，正方形ABCD的边长是1，延长AB到E，以A为圆心，AE为半径的弧恰好经过正方形的顶点C，则的长为．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，求出∠EAC，再根据弧长公式求出答案即可．【解答】解：连接AC，由勾股定理得：AC＝＝，∵AB是小正方形的对角线，∴∠EAC＝45°，∴的长度是＝．故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质和弧长计算等知识点，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是．8．（2023•宝应县校级三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则的长为．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，求出∠EAF，再根据弧长公式求出答案即可．【解答】解：如图，连接AC，则AC＝＝，∴弧长＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质和弧长计算等知识点，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是．9．（2023•海陵区一模）如图，⊙O的直径为10，点P是弦AB所对优弧上一动点，连接AP、BP，作AH ⊥BP，垂足为H．（1）若∠P＝45°，求AB的长及的长；（2）若AB＝5，求点H到AP的距离的最大值．【分析】（1）连接OA，OB，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠AOB＝90°，然后利用勾股定理及扇形弧长面积公式即可求得答案；（2）结合已知条件易得△AOB是等边三角形，则∠AOB＝90°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠P＝30°，再由三角函数可得AH＝AP，PH＝AP，设点H到AP的距离为h，利用等面积法可得h＝AP，那么当AP为直径时，h最大，从而得出答案．【解答】（1）如图，连接OA，OB，∵⊙O的直径为10，∴OA＝OB＝5，∵∠P＝45°，∴∠AOB＝2∠P＝90°，∴AB＝＝5，的长为：＝π；（2）∵AB＝OA＝OB＝5，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠P＝∠AOB＝30°，∵AH⊥BP，∴AH＝AP，PH＝AP，设点H到AP的距离为h，则AH•PH＝AP•h，那么h＝AP，若要h最大，那么AP最大即可，故当AP为直径时h最大，即h最大值为×10＝，即点H到AP的距离的最大值为．【点评】本题主要考查与圆有关的性质及与圆有关的计算，（1）中圆周角定理及弧长公式是重要知识点，必须熟练掌握；（2）中利用等面积法得出点H到AP的距离与AP的数量关系是解题的关键．10．（2022秋•如皋市期末）如图，CE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为点D，连AB，AC，AE．（1）求证：∠ACB＝∠E；（2）若∠ACB＝30°，AC＝3，求的长．【分析】（1）根据垂径定理得到＝，则根据等弧所对的圆周角相等得到∠ACB＝∠E；（2）先利用（1）的结论得到∠E＝30°，再根据圆周角定理得到∠AOC＝60°，则可判断△OAC为等边三角形，所以OA＝AC＝3，然后根据弧长公式求解．【解答】（1）证明：∵OA⊥弦BC，∴＝，∴∠ACB＝∠E；（2）解：∵∠E＝∠ACB＝30°，∴∠AOC＝2∠E＝60°，∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴OA＝AC＝3，∴的长为＝π．【点评】本题考查了弧长的计算：记住弧长公式是解决问题的关键（弧长公式为l＝，其中弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了垂径定理和圆周角定理．11．（2023•建湖县三模）如图，弧AB与∠ACB的一边CB切于点B，与另一边CA交于点A，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝，则弧AB的长是．（结果保留π）．【分析】设所在圆的圆心为O点，连接OB、OA，过O点作OD⊥AC于D点，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得到OB⊥BC，再证明四边形OBCD为矩形的∠BOD＝90°，OD＝BC＝5 ，CD＝OB＝r，接着在Rt△OAD中利用勾股定理得到（r﹣5）2+（5）2＝r2，解方程求出r，得AD＝5，OA＝10，然后利用正弦的定义求出∠AOD＝30°，所以∠AOB＝60°，最后利用弧长公式求出即可．【解答】解：设所在圆的圆心为O点，连接OB、OA，过O点作OD⊥AC于D点，如图，设⊙O的半径为r，∵BC与⊙O相切，∴OB⊥BC，∵∠OBA＝∠ODA＝90°，∠ACB＝90°∴四边形OBCD为矩形，∴∠BOD＝90°，OD＝BC＝5 ，CD＝OB＝r，∴AD＝r﹣5，在Rt△OAD中，（r﹣5）2+（5 ）2＝r2，解得：r＝10，AD＝10﹣5＝5，OA＝10，∴AD＝OA，∴∠AOD＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∴的长＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了弧长公式和直角三角形的性质，能求出∠AOB的度数是解此题的关键．12．（2023•淮阴区一模）半径为3，圆心角为30°的扇形的弧长为．【分析】根据弧长的计算公式即可得到结论．【解答】解：弧长l＝＝；故答案为：．【点评】本题考查了扇形的弧长的计算，熟记弧长的计算公式是解题的关键．13．（2023•兴化市一模）75°的圆心角所对的弧长是π，则此弧所在圆的半径为．【分析】利用弧长公式求解即可．【解答】解：设扇形的半径为r．则有＝π，解得r＝6，故答案为：6．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式：l＝．二．扇形面积的计算（共14小题）14．（2023•天宁区校级一模）已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm，则这个扇形的面积是cm2．【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【解答】解：扇形的面积＝＝2πcm2．故答案是：2π．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．15．（2023•鼓楼区校级三模）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为．【分析】根据扇形的面积公式S扇形＝lR进行计算即可．【解答】解：∵S扇形＝lR，即4＝l×4，∴l＝2，故答案为：2．【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握S扇形＝lR是正确解答的前提．16．（2023•连云港二模）如图所示，将扇形OAB沿OA方向平移得对应扇形CDE，线段CE交弧AB点F，当OC＝CF时平移停止．若∠O＝60°，OB＝3，则两个扇形重叠部分的面积为．【分析】连接OF，过点C作CH⊥OF，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出，根据三角函数求出，根据S阴＝S扇形AOF﹣S△COF求出结果即可．【解答】解：如图所示，连接OF，过点C作CH⊥OF，由平移性质知，CE∥OB，∵CO＝CF，∴∠COF＝∠CFO，∴，在等腰△OCF中，，∴CH＝OH•tan30°＝×＝，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线求出，．17．（2023•大丰区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是．【分析】连接OD、BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD 是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OD、BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥DB，∴∠COB＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△CBD，∴图中阴影部分的面积＝扇形COB的面积＝．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，正确添加辅助线是解题的关键．18．（2022秋•连云港期末）一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（）A．260°B．240°C．140°D．120°【分析】设这个扇形的圆心角是n°，根据，求出这个扇形的圆心角为多少即可．【解答】解：设这个扇形的圆心角是n°，由题意得，∴n＝240，∴这个扇形的圆心角为240度．故选：B．【点评】此题主要考查了扇形的面积的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：设圆心角是n°，圆的半径为r的扇形面积为S，则．19．（2023•锡山区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（）A．B．C．D．【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD 是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可求得圆的半径，然后根据弧长公式求得即可．【解答】解：连接OD，BC．∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴图中阴影部分的面积＝＝2π，∴OC＝2或﹣2（舍去），∴的长＝＝π，故选：B．【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，弧长的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．20．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB ＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（）A．π﹣20B．π﹣20C．20πD．20【分析】根据进行的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆进行计算即可．【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，∴BD2＝AB2+AD2＝41，S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2＝+20﹣＝20，故选：D．【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．21．（2022秋•苏州期末）如图，C为⊙O上一点，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠ABC＝30°，现将△ABC 绕点B按顺时针方向旋转30°后得到△A'BC'，BC'交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【分析】连接OC，OD，根据∠ABC＝30°及旋转，得到∠ABC＝∠CBC'＝30°，∠DOB＝60°，从而得到△BOD是等边三角形，结合AB是⊙O的直径，即可得到∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，从而得到△AOC 是等边三角形，即可得到OD⊥BC，∠BOC＝120°，根据扇形面积公式及三角形面积公式即可得到答案．【解答】解：连接OC，OD，过O作OE⊥BD，∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∵AB＝4，∴OB＝2，∵△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到ΔA'BC'，∴∠ABC＝∠CBC'＝30°，∴∠DOB＝60°，△BOD是等边三角形，∴∠BOC＝120°，OD⊥BC，∴Rt△OCF≌Rt△DBF（HL），∴阴影部分的面积为：S扇COD＝＝，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，扇形面积公式，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，利用扇形面积减三角形面积求得阴影部分面积．22．（2023•启东市三模）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．【解答】解：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝∠BDC＝60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB＝2，∴△ABD的高为＝，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠DBE+∠DBF＝60°，∠ABE+∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBF，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，∵∠A＝∠DBH，AB＝BD，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝﹣×2×＝﹣．故答案为：．【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD 的面积等于△ABD的面积是解题关键．23．（2023•工业园区校级二模）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l 与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是．【分析】由翻折的性质得到CA＝，而OA＝OC，得到△OAC是等边三角形，求出扇形OAC的面积，△AOC的面积，即可求出阴影的面积．【解答】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，∵扇形AOB中，OA＝2，∴OC＝OA＝2，∵点A与圆心O重合，∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，∴OC＝AC，∴OA＝OC＝AC＝2，∴△OAC是等边三角形，∴∠COD＝60°，∵CD⊥OA，∴CD＝＝，∴阴影部分的面积为：﹣×2×＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（2023•如皋市一模）如图，⊙O的直径AB＝8，C为⊙O上一点，在AB的延长线上取一点P，连接PC交⊙O于点D，PO＝4，∠OPC＝30°．（1）求CD的长；（2）计算图中阴影部分的面积．【分析】（1）作OE⊥CD于点E，连接OC，OD，根据垂径定理得CE＝DE，再根据PO＝4，∠OPC ＝30°，得OE＝2，再根据勾股定理计算即可；（2）根据阴影部分的面积为扇形COD的面积减去△COD的面积即可．【解答】解：（1）作OE⊥CD于点E，连接OC，OD，∴CE＝DE，∵PO＝4，∠OPC＝30°，∴OE＝PO＝2，∵直径AB＝8，∴OD＝4，∴DE＝＝＝2，∴CD＝2DE＝4；（2）∵OD＝2DE，∴∠DOE＝30°，∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积为﹣×4×2＝﹣4．【点评】本题考查了垂径定理，扇形面积的计算，含30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．25．（2022秋•南京期末）如图，用长度均为12m的两根绳子分别围成矩形ABCD和扇形OEF，设AB的长为xm，半径OE为Rm，矩形和扇形的面积分别为S1m2，S2m2．（1）BC的长为m，的长为m；（用含x或R的代数式表示）（2）求S1，S2的最大值，并比较大小．【分析】（1）根据长方形周长公式和扇形周长的定义可求BC，的长；（2）根据长方形面积公式，扇形的面积公式，结合完全平方公式可求S1，S2的最大值，再进行比较即可求解．【解答】解（1）BC的长为12÷2﹣x＝（6﹣x）m，的长为（12﹣2R）m．故答案为：（6﹣x），（12﹣2R）；（2）S1＝x（6﹣x）＝﹣（x﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴当x＝3时，S1有最大值9．S2＝（12﹣2R）R＝﹣（R﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴当R＝3时，S2有最大值9．∴S1的最大值＝S2的最大值．【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，弧长的计算，关键是熟练掌握长方形周长公式和扇形周长的定义，长方形面积公式，扇形的面积公式．26．（2023•清江浦区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，根据圆周角定理得到∠BDC ＝90°，推出△ACD是直角三角形，根据直角三角形的性质得到EC＝ED，求得∠ECD＝∠EDC于是得到结论；（2）由（1）已证：∠ODF＝90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF＝60°，求得∠F＝30°，解直角三角形得到根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD、CD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，又∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴△ACD是直角三角形，又∵点E是斜边AC的中点，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90度，∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，∴直线DE是⊙O的切线；（2）解：由（1）已证：∠ODF＝90°，∵∠B＝30°，∴∠DOF＝60°，∴∠F＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，∴BC＝＝＝4，∴，在Rt△ODF中，，∴阴影部分的面积为：＝．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，切线的判定，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．27．（2023•邗江区二模）如图，已知⊙O的半径为3，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以B的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是．【分析】连接AC、BC，如图，先判断△ACB为等边三角形，则∠BAC＝60°，由于S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，所以图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．【解答】解：连接BC，如图，由作法可知AC＝BC＝AB＝3，∴△ACB为等边三角形∴∠BAC＝60°，∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，∴图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O＝4×﹣2×3××3﹣π×（）2＝π﹣．故答案为：π﹣．【点评】本题考查了扇形的面积和三角形的面积计算等知识点，明确阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC ﹣S⊙O是解此题的关键．一、单选题 1．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，A ，B ，C ，D 为O 上的点，且直线AB 与CD 夹角为45︒．若AB ，AC ，CD 的长分别为π，π和3π，则O 的半径是（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．5.5【答案】A 【分析】延长BA ，与直线CD 交于E ，连接BD ，设弧长为π所对的圆周角为α，根据题意得出2BDC α∠=，4ABD α∠=，利用三角形内角和定理求得1356α︒=，即可求得弧长为π所对的圆心角为1352456︒⨯=︒，代入弧长公式即可求得O 的半径．【详解】解：延长BA ，与直线交于E ，连接BD ， AB ，AC ，CD 的长分别为π，π和3π，∴BC 的长为2π，AD 的长为4π，∴设弧长为π所对的圆周角为α，则2BDC α∠=，4ABD α∠=，180BDC ABD E ∠+∠+∠=︒，45E ∠=︒，2445180αα∴++︒=︒，1356α︒∴=，∴弧长为π所对的圆心角为1352456︒⨯=︒， ∴45180R ππ⋅=，4R ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了弧长的计算，三角形内角和定理，求得弧长为π所对的圆心角是解题的关键． 2．（2023·江苏南通·统考三模）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，AC AD =，若130ABC ∠=︒，O 的半径为9，则劣弧CD 的长为（ ）A ．4πB ．8πC ．9πD ．18π【答案】B 【分析】连接、OD OC ；由圆内接四边形性质可得ADC ∠的度数，再由AC AD =及三角形内角和定理可求得DAC ∠的度数，由圆周角定理可得DOC ∠的度数，最后由弧长公式即可求得结果．【详解】解：连接、OD OC ，如图；∵四边形ABCD 是圆内接四边形，130∠=︒，∴18050ADC ABC ∠=︒−∠=︒，∵AC AD =，∴50ADC ACD ∠=∠=︒，∴18025080DAC ∠=︒−⨯︒=︒，∴2160DOC DAC ∠=∠=︒，∴160π98π180CD l ⨯==，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，弧长公式等知识，综合运用这些知识是关键．A ．13124π− 【答案】A【分析】根据图形可以求得BF 的长，然后根据图形即可求得12S S −的值．【详解】解：∵在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，∴2BF BG ==，∴12ABCD ADE BGF S S S S S −+=−矩形扇形扇形，∴22129031343123604S S ππ⋅⨯−=⨯−=−， 故选A ．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．4．（2023·江苏苏州·统考二模）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到16cm AC BD ==，C 、D 两点之间的距离为10cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（ ）2cm ．A ．26πB ．96πC ．98πD ．100π【分析】连接CD ，先证OCD ∆是等边三角形，求出OC ，再利用扇形面积公式分别求出OAB S 扇和OCD S 扇，=OAB OCD S S S −阴影扇扇即可得出结果．【详解】解：如图，连接CD ，由题意OC OD =，60O ∠=︒，OCD ∴∆是等边三角形，10cm OC OD CD ∴===，16cm AC BD ==，161026cm OA OB ∴==+=，=OAB OCD S S S ∴−阴影扇扇226060360360OA OC ππ⋅⋅=−()22602610360π⋅−=()296cm π=故选：B ．【点睛】本题考查扇形面积计算、等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积计算公式2360n R S π⋅⋅=扇是解题关键． 5．（2023·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标是()4,5P ，P 与x 轴相切．点A ，B 在P 上，它们的横坐标分别是0，9．若P 沿着x 轴向右作无滑动的滚动，当点B 第一次落在x 轴上时，此时点A 的坐标是（ ）A ．()72,9π+B ．()7 2.5,9π+C ．()72,8π+D ．()7 2.5,8π+【分析】连接,AP PB ，过点P 作PC y ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，求出,A B 的坐标，当点B 第一次落在x 轴上时，点P 移动的距离为BD 的长，进而得到此时点P 的坐标，根据旋转过程中AB 的长度不变，确定A 的位置，再进行求解即可．【详解】解：连接,AP PB ，过点P 作PC y ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，∵()4,5P∴5,4PD OC PC OD ====，∵P 与x 轴相切，∴5PA PB ==，∴3AC =，∴8OA OC AC =+=，∴()0,8A ，∵点B 的横坐标为：9，945−=，∴,P B 在平行于x 轴的直线上，即：()9,5B ，∴90BPD ∠=︒，∴BD 的长为905 2.5180ππ=⨯=，当点B 第一次落在x 轴上时，点P 移动的距离为BD 的长，∴此时P 点的坐标为：()4 2.5,5π+，∵P 沿着x 轴向右作无滑动的滚动，AB 的长度保持不变，∴点A 位置转动到如图所示的位置：∵3,4AC PC ==，∴9BC PB PC =+=，∴()4 2.53,9A π++，即：()7 2.5,9A π+，故选B ．【点睛】本题考查坐标与图形，切线的性质，求弧长，勾股定理．解题的关键是确定点B 第一次落在x 轴上时，点P 和点A 的位置． A ．3π 【答案】B【分析】根据垂径定理得到CE DE =BC BD = ，30A ∠=︒，再利用三角函数求出2OD =，即可利用弧长公式计算解答．【详解】如图：连接OD ，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于E 点，AD =CD =∴CE DE ==BC BD = ，30A ∠=︒，60DOE ∴∠=︒，OD ∴=2sin 60DE =，∴BC 的长=BD 的长=60221803ππ⨯=， 故选：B ．【点睛】此题考查垂径定理，解直角三角形，弧长公式，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． A ．33B ．π【答案】C 【分析】过点O 作OD BC ⊥，连接AC ，根据题中条件可得12OD OB =，30OBD ∠=︒，即可得到弧长BC =弧长AC ，用弧长公式求解即可．【详解】解：过点O 作OD BC ⊥，连接AC ，如图所示，∵将半圆ACB 沿弦BC 所在的直线折叠，若弧BC 恰好过圆心O ， ∴12OD OB=，∴30OBD ∠=︒， ∵90ACB ∠=︒， ∴60CAB ∠=︒， ∴弧长BC =2弧长AC ， ∵6AB =， ∴3OB =， ∵18033180ACB l ππ︒⨯=︒弧长=， ∴12032180BC l ππ︒⨯==︒弧长故选：C ．【点睛】本题考查了圆的几何问题，涉及到圆的性质、弧长公式等，正确作出辅助线是关键．A ．4πB 【答案】C【分析】如图，以AC 为边作等边ACH ，则60AHC ∠=︒，而120AEC ∠=︒，则E 在ACH 的外接圆P 上运动，记AB ，CD 所在的圆为O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，证明120AOD BOC ∠+∠=︒，再证明OA OC AC +≥，（当A ，O ，C 三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：如图，以AC 为边作等边ACH ，则60AHC ∠=︒，而120AEC ∠=︒，则E 在ACH 的外接圆P 上运动，记AB ，CD 所在的圆为O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，∴12ACD AOD ∠=∠，12BAC BOC∠=∠，∴()2AOD BOC ACD BAC ∠+∠=∠+∠()2180260120AEC =︒−∠=⨯︒=︒，∵结合三角形的三边关系可得：OA OC AC +≥，（当A ，O ，C 三点共线时取等号），当OA OC AC +=时，O 半径最小，此时半径为122AC =，∴此时AD 与BC 的和最小，最小值为：12024=1803ππ⨯． 故选C ．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的三边关系的应用，三角形外接圆的含义，圆周角定理的应用，弧长的计算，确定弧长和取最小值时圆心O 的位置是解本题的关键．A ．6B ．12 【答案】D【分析】如图，连接AE 、AC 、BD ，设AC 、BD 交于点P ，AE 交MN 于点F ，连接CF ，设CF 中点为O ，连接OP 、OE ，根据菱形及等边三角形得性质可得AE BC ⊥，ANFEBF ，可得出12EF AF =，可得MN必经过点F ，根据90FEC CHF ∠=∠=︒，可得点H 在以CF 为直径的圆上，根据M 、N 的速度及菱形性质可得当点M 达到点B 时，点N 达到点D ，AC BD ⊥，可得点H 点运动路径长是»EP 的长，利用勾股定理可求出CF 的长，根据圆周角定理可得=120EOP ∠︒，利用弧长公式即可得答案．【详解】如图，连接AE 、AC 、BD ，设AC 、BD 交于点P ，AE 交MN 于点F ，连接CF ，设CF 中点为O ，连接OP 、OE ，∵菱形ABCD 的边长为12，=60B ∠︒， ∴=12AB BC =，ABC 是等边三角形， ∵点E 为BC 边的中点，∴AE BC ⊥，162BE CE AB ===，=AE∵点M 的速度为每秒1个单位，点N 的速度为每秒2个单位， ∴12M E A N=， ∵AN ME ， ∴ANFEBF ，∴12EF ME AF AN ==，∴13FE AE ==CF =∴MN 必经过点F ， ∵CH MN ⊥，AE BC ⊥，∴点H 在以CF 为直径的圆上，且F 、E 、C 、H 四点共圆， ∵当点M 达到点B 时，点N 达到点D ，AC BD ⊥， ∴点H 点运动路径长是»EP 的长，∵60BCA ∠=︒，=EP EP ， ∴2120EOP BCA ∠=∠=︒，∴EP =，即点H 点运动路径长是．故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧长公式，正确得出点H 的运动轨迹是解题关键．A ．12π− 【答案】D【分析】设弧BD 和弧AC 的交点为E,连接,DE AE 、作EF AD ⊥.先求出ADES，再求出ADE扇形S ，即可得到DE拱形S .再根据ADE 空白S ADE AES +扇形=S 拱形即可得到空白ADE 的面积.再根据DCE S DEDCE S S =−阴影拱形扇形即可得到得到阴影DCE 的面积，再用=ABCD ABD DCEBCE S S S S −−正方形扇形阴影空白即可得到空白BCE 的面积，最后用ADE BCES S −空白空白即可得到图中空白两部分的面积之差.【详解】设弧BD 和弧AC 的交点为E,连接,DE AE 、则ADE V 是等边三角形 作EF AD ⊥，则1,2DF DE ==EF ==122ADES∴=⨯=26022=3603ADE S ππ=⋅⋅扇形23DE S π∴=拱形23E S π∴=拱形AADE∴空白S 2(32433ADE AE S πππ+=+=扇形=S 拱形DCE DE DCE S S S =−阴影拱形扇形23022(3603ππ=⋅⋅−3π==ABCD ABD DCEBCE S S S S −−正方形扇形阴影空白22122)43ππ=−⋅⋅−243π=−4242433ADE BCE S S πππ⎛⎛∴−=−−=− ⎝⎝空白空白故选：D【点睛】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键二、填空题11．（2023·江苏淮安·统考二模）已知圆锥侧面展开图的半径为4，圆心角为120︒，则该圆锥的侧面积为______．（结果保留π）【答案】163π【分析】根据扇形面积的计算方法即可求解．【详解】解：根据题意得，图的半径为4，圆心角为120︒，∴圆锥的侧面积为21201643603ππ︒⨯⨯=︒， 故答案为：163π．【点睛】本题主要考查扇形的面积的计算方法，掌握扇形面积的计算是解题的关键．。
《弧长和扇形面积的计算》PPT赏析
（2）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧 长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在 同圆或等圆中，才可能是等弧．
二 扇形的面积
已知⊙O半径为R，如何求圆心角n°的扇形的面积?
研究问题的步骤:
（1）半径为R的圆,面积是多少? S=πR2
圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积).
当堂练习
1.制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
l 100 900 500 1570mm
180
因此所要求的展直长度 L 2 700 1570 2970(mm)
AB 180
180
180
S扇形AOB
nπr 2 360
100 π 102 360
100 3.14100 360
87.2(cm2 ).
B
O
所以AB的长⌒约为17. 4 cm，扇形AOB的面积约为87. 2 cm2.
C
(2)r=10 cm，l =25 cm，由弧长公式，得 AB
n
180l BC
180 25
回顾与思考 问题1 已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？
C=2πR
问题2 已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
S=πR2
一 扇形的弧长
制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中 虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.
已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长． （1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR
（1）1º的圆心角所对的扇形面积 S 是：S 1 πR2 = πR2
24.4 弧长和扇形面积(1)精讲精练(含答案).doc
一、基础知识1.使学生理解弧长和扇形的定义，明白弧长和扇形面积的推导过程，并熟记弧长和扇形面积公式。
n °的圆心角所对的弧长：180n Rlπ （R 为弧所在圆的半径） 圆心角为n °的扇形面积是：2n =360R S 扇形π1=l 2S R 扇形 （其中l 为扇形的弧长，R 为半径） 2.会灵活应用弧长和扇形面积计算公式。
二、重难点分析本课教学重点：弧长和扇形面积公式及其应用。
本课教学难点：弧长和扇形面积公式的应用。
三、典例精析：例1：（2014•自贡）一个扇形的半径为8cm ，弧长为cm ，则扇形的圆心角为（ ）A ．60°B ．120°C ．150°D ．180°例2 (2014•年山东东营)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（ ）A．B．C．D．故选：C．【点评】此题主要考查了扇形面积的计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=2n r 360π．例3.（2014•四川南充，第9题，3分）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．B．13πC．25πD.25点评:此题主要考查了弧长计算，以及勾股定理的应用，熟练掌握弧长计算公式n rl=180π是解题的关键.四、感悟中考1、（2014•甘肃兰州,第1题4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′，则点B转过的路径长为（）A．B．C．D．π【点评】此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式的应用，得出点B转过的路径是一段弧是解题关键2、（2014•河北）如图，将长为8cm的铁丝尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形=cm2．五、专项训练。
（一）基础练习1、（2014•江苏徐州）半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为cm2．2、（2014江苏省常州市，12，2分）已知扇形的半径为3cm,此扇形的弧长是2πcm,则此扇形的圆心角等于度,扇形的面积是.(结果保留π)故答案为：120；3πcm²【点评】本题考查了弧长公式和扇形面积公式，记熟公式是解题的关键3、（2014•连云港）如图1，折线段AOB将面积为S的⊙O分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S1、S2，若=0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”．生活中的折扇（如图2）大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为°．（精确到0.1）4、（2014•荆州）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为（二）提升练习1.（2014•山东烟台，第17题3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于．【点评】本题是对正多边形中心角的计算与菱形的判定和性质以及扇形面积计算的综合考查，巧妙的进行面积的转化，使阴影部分的面积转化成扇形的面积，此题关键在于面积的转换。