圆锥曲线大题训练

3. （本小题共13分）

已知椭圆

22

22

1(0)

1

y x

a b

a

+=>>的离心率为

2

2

，斜率为(0)

k k≠的直线l过椭圆的上焦点且与

椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点(0,)

M m．（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）试用表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．

4．（本小题共14分）

已知椭圆

22

22

:1

x y

C

a b

+=(0)

a b

>>经过点

3

(1,),

2

M其离心率为

1

2

.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线

1

:(||)

2

l y kx m k

=+≤与椭圆C相交于A、B两点，以线段,

OA OB为邻边作平行四边形

OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点.求OP的取值范围.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

⋅的取值范围；

BM BN

（Ⅲ）设直线AM和直线

解析几何大题参考答案： 1．（共13分）

（Ⅰ）解：由已知，动点P 到定点1

(0,)4F 的距离与动点P 到直线1

4

y =-

的距离相等． 由抛物线定义可知，动点P 的轨迹为以1(0,)4

为焦点，直线1

4

y =-

为准线的抛物线． 所以曲线C 的方程为2

y x =． ………………3分

（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．

由2,1,

y x y kx ⎧=⎨=+⎩得210x kx --=． 所以12x x k +=，121x x =-． 设00(,)M x y ，则02

k x =． 因为MN x ⊥轴， 所以N 点的横坐标为

2

k ． 由2

y x =，可得'2y x = 所以当2

k

x =

时，'y k =． 所以曲线C 在点N 处的切线斜率为k ，与直线AB 平行．………………8分 （Ⅲ）解：由已知，0k ≠． 设直线l 的垂线为'l ：1

y x b k

=-

+． 代入2

y x =，可得2

1

0x x b k

+

-= （*） 若存在两点3344(,),(,)D x y E x y 关于直线l 对称，

则

34122x x k +=-，3421

22y y b k +=+

又3434

(

,)22

x x y y ++在l 上， 所以

211()122b k k k +=-+， 2

11

22b k =-

． 由方程（*）有两个不等实根

所以2

1()40b k

∆=+>，即

221220k k

+-> 所以

2

1

2

k <

，解得2k <-

或2k >． ………………13分 2.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，

所以24622+=+c a ， ……………1分

又椭圆的离心率为

3

，即3c a =

，所以3

c =

， ………………2分 所以3a =

，c = ………………4分

所以1b =，椭圆M 的方程为19

22

=+y x . ………………5分 （Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1

--

=x n

y . 由22

(3),

1

9

y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得0196)91(2

222=-+-+n x n x n ， ………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，

因为222819391n x n -=+，所以193

272

22+-=n n x ， ………………7分 同理可得22

19327n n x +-=， ………………8分

所以1

96

1||22

++=n n BC ，22

2961||n n n n AC ++=， ………………10分

9

64)1()

1

(2||||2

12+

++==∆n n n n AC BC S ABC ， ………………12分

设21

≥+=n n t ，

则2223

6464899t S t t t ==≤++

， ………………13分

当且仅当3

8

=t 时取等号，

所以ABC ∆面积的最大值为

8

3

. ………………14分 方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+.

由22

,1,9

x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222

(9)290k y kmy m +++-=， ………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，

则有12229

km

y y k +=-+，212299m y y k -=+. ① ………………7分

因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=. 由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，

得 1212(3)(3)0x x y y --+=. ………………8分 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，

得 22

1212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.

将 ① 代入上式，解得 12

5

m =

或3m =（舍）. ………………10分 所以125m =（此时直线AB 经过定点12

(,0)5D ，与椭圆有两个交点），

所以121

||||2

ABC S DC y y ∆=-

12==

……………12分 设2

11

,099

t t k =

<≤+，

则ABC S ∆= 所以当251(0,]2889

t =

∈时，ABC S ∆取得最大值83

. ……………14分

3.（共13分）

解：（Ⅰ）依题意可得，

2

2

=a c ，c b =， 又2

2

2

c b a +=，