2018-2019学年北京市东城区高一(上)期末数学试卷

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2018-2019学年北京市东城区高一(上)期末数学试卷
一、选择题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.(3分)已知集合A={x|x2﹣1>0},那么下列结论正确的是()A.0∈A B.1∈A C.﹣1∈A D.1∉A
2.(3分)命题“∀x∈(0,),tan x>0”的否定是()
A.∃x0∈(0,),tan x0≤0B.∃x0∉(0,),tan x0≤0
C.∀x∈(0,),tan x≤0D.∃x0∈(0,),tan x0>0
3.(3分)下列结论成立的是()
A.若ac>bc,则a>b B.若a>b,则a2>b2
C.若a>b,c<d,则a+c>b+d D.若a>b,c>d,则a﹣d>b﹣c 4.(3分)在单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为()
A.πB.πC.9πD.10π
5.(3分)函数的零点所在区间是()
A.B.C.D.
6.(3分)sin1,sin2,sin3的大小关系是()
A.sin1<sin2<sin3B.sin3<sin2<sin1
C.sin2<sin3<sin1D.sin3<sin1<sin2
7.(3分)设x∈R,则“2﹣x≥0”是“|x+1|≤1”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8.(3分)若实数x,y满足2x+y=1,则x•y的最大值为()
A.1B.C.D.
9.(3分)已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)=2x+1+1,当﹣1≤x≤1时,f (﹣x)=﹣f(x),当x>时,f(x+)=,则f(2019)=()
A.﹣2B.﹣1C.1D.2
10.(3分)已知非空集合A,B满足以下两个条件
(i)A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=∅;
(ii)若x∈A,则x+1∈B.
则有序集合对(A,B)的个数为()
A.12B.13C.14D.15
二、填空题共5小题,每小题4分,共20分,
11.(4分)=.
12.(4分)函数f(x)=的定义域为.
13.(4分)()+log925﹣log315=.
14.(4分)已知函数f(x)满足下列性质:
(i)定义域为R,值域为[1,+∞);
(ii)在区间(﹣∞,0)上是减函数;
(ⅲ)图象关于x=2对称.
请写出满足条件的f(x)的解析式(写出一个即可).
15.(4分)已知函数f(x)=.
(i)f(2)=.
(ii)若方程f(x)=x+a有且只有一个实根,则实数a的取值范围是.
三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.(8分)已知全集U=R,集合A={x|x2﹣x﹣12≤0},非空集合B={x|m﹣1≤x≤2m+3}.(Ⅰ)求当m=﹣3时,∁U(A∪B);
(Ⅱ)若B⊆A,求实数m的取值范围.
17.(8分)已知函数f(x)=1+(﹣2≤x≤2).
(Ⅰ)画出f(x)的图象;
(Ⅱ)根据图象写出f(x)的值域、单调区间.
18.(8分)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,它的终边过点P(﹣,),以角α的终边为始边,逆时针旋转得到角β.(Ⅰ)求tanα的值;
(Ⅱ)求cos(α+β)的值.
19.(10分)函数的部分图象如图所示.(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,令F(x)=f(x)+g(x),求函数F(x)的单调递增区间.
20.(8分)2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥一港珠澳大桥正式通车.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到220辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为100千米/时,研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(Ⅰ)当0≤x≤220时,求函数v(x)的表达式;
(Ⅱ)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x•v(x)可以达到最大?并求出最大值.
21.(8分)已知f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f(﹣1)=﹣1,当a,b∈[﹣1,
1],a+b≠0时,有>0成立.
(Ⅰ)求f(x)在区间[﹣1,1上的最大值;
(Ⅱ)若对任意的a∈[﹣1,1]都有f(x)≥2m2﹣am﹣4,求实数m的取值范围.
2018-2019学年北京市东城区高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.【解答】解:由x2﹣1>0,解得x>1,或x<﹣1.
∴A=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).
可得0,1,﹣1∉A,
故选:D.
2.【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,
所以命题p:∀x∈(0,),tan x>0,则¬p为∃x0∈(0,),tan x0≤0.
故选:A.
3.【解答】解:对于A.当c<0时,不成立;
对于B.取a=﹣1,b=﹣2,不成立;
对于C.∵a>b,c<d,∴a﹣c>b﹣d,因此不成立;
对于D.∵c>d,∴﹣d>﹣c,又a>b,∴a﹣d>b﹣c,因此成立.
故选:D.
4.【解答】解:l===,
故选:B.
5.【解答】解:根据题意,函数,分析易得函数f(x)为减函数,且f()=8﹣>0,
f(1)=4﹣2=2>0,
f()=﹣<0,
f(2)=2﹣4=﹣2<0,
则函数的零点所在区间是(1,);
故选:C.
6.【解答】解:由sin2=sin(π﹣2),
sin3=sin(π﹣3),
∵0<π﹣3<1<π﹣2,sin x在第一象限为增函数,
∴sin(π﹣3)<sin1<sin(π﹣2).
故得sin3<sin1<sin2
故选:D.
7.【解答】解:由2﹣x≥0得x≤2,
由|x+1|≤1得﹣1≤x+1≤1,
得﹣2≤x≤0.
则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件,
故选:B.
8.【解答】解:∵实数x,y满足2x+y=1,
∴y=1﹣2x,
∴xy=x(1﹣2x)=﹣2x2+x=﹣2(x﹣)2+≤,
当x=,y=时取等号,
故选:C.
9.【解答】解:根据题意,函数f(x)的定义域为R,且当x<0时,f(x)=2x+1+1,则f (﹣1)=2,
当x>时,f(x+)=,即f(x+1)==f(x),
即f(x+1)=f(x),则函数f(x)为周期为1的周期函数;
则f(2019)=f(1),
当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x),则有f(1)=﹣f(1),
又由f(﹣1)=2,则f(1)=﹣f(1)=﹣2;
故选:A.
10.【解答】解:由题意分类讨论可得:若A={1},则B={2,3,4,5,6};若A={2},则B={1,3,4,5,6};若A={3},则B={1,2,4,5,6};若A={4},则B={1,2,3,5,6};若A={5},则B={2,3,4,1,6};若A={6},则B={2,3,4,5,1},舍去.
若A={1,3},则B={2,4,5,6};若A={1,4},则B={2,3,5,6};若A={1,
5},则B={2,3,4,6};
若A={2,4},则B={1,3,5,6};若A={2,5},则B={1,3,4,6};
若A={3,5},则B={1,2,4,6};
若A={1,3,5},则B={2,4,6}.
综上可得:有序集合对(A,B)的个数为12.
故选:A.
二、填空题共5小题,每小题4分,共20分,
11.【解答】解:=﹣sin=﹣sin(π﹣)=﹣sin=﹣故答案为﹣
12.【解答】解:函数的定义域为:
{x|},
解得0<x≤e.
故答案为:(0,e].
13.【解答】解:原式==3+log35﹣1﹣log35=2.故答案为:2.
14.【解答】解:f(x)=(x﹣2)2+1满足上述3条性质.
故答案为:f(x)=(x﹣2)2+1.
15.【解答】解:(i)f(2)=2f(1)=4f(0)=4×1=4,
(ii)当0<x≤1时,﹣1<x﹣1≤0,f(x)=2f(x﹣1)=2×=,当1<x≤2时,0<x﹣1≤1,f(x)=2f(x﹣1)=2×=()x﹣4,
当2<x≤3时,1<x﹣1≤2,
f(x)=2f(x﹣1)=2×=()x﹣5=()x﹣6,
作出函数f(x)的图象如图,
其中f(0)=1,f(1)=2f(0)=2,f(3)=2f(2)=4,f(4)=2f(3)=8,设直线g(x)=x+a,
当g(x)=x+a分别过(0,1),A(1,2),B(2,4)时,
则g(0)=a=1,g(1)=+a=2,得a=,
g(2)=3+a=4,得a=1,
由图象知要使方程f(x)=x+a有且只有一个实根,
则g(x)在A,B之间的区域,
即≤a<1,
即实数a的取值范围是[,1),
故答案为:4,[,1).
三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.【解答】解:(Ⅰ)A={x|x2﹣x﹣12≤0}={x|﹣3≤x≤4},
当m=﹣3时,B={x|﹣4≤x≤﹣3}.
则A∪B={x|﹣4≤x≤4},
∁U(A∪B)={x|x>4或x<﹣4}.
(Ⅱ)若B⊆A,则,得,即﹣2≤m≤,
即实数m的取值范围是[﹣2,].
17.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=,
f(x)的图象;
(Ⅱ)由图象知f(x)的值域为[1,3],
f(x)的单调递减区间为[﹣2,0],无增区间.
18.【解答】解:(Ⅰ)∵角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,它的终边过点P(﹣,),
∴tanα==﹣.
(Ⅱ)以角α的终边为始边,逆时针旋转得到角β,∴β=α+.
由(Ⅰ)利用任意角的三角函数的定义可得cosα=﹣,sinα=,
∴sn2α=2sinαcosα=﹣,cos2α=2cos2α﹣1=﹣.
∴cos(α+β)=cos(2α+)=sin2αcos﹣cos2αsin=(cos2α﹣sin2α)=.19.【解答】解:(Ⅰ)因为T==4(﹣)=2π,
所以ω=1.
又因为sin(+φ)=1,
所以+φ=+2kπ,k∈Z,
即φ=+2kπ,k∈Z.
因为﹣<φ<,
所以φ=.
所以f(x)的解析式是f(x)=sin(x+).……………(6分)(Ⅱ)由已知g(x)=sin[(x+)+]=sin(x+)=cos x,
所以F(x)=f(x)+g(x)=sin(x+)+cos x=sin x+cos x+cos x=sin x+cos x =sin(x+).
函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ﹣,2kπ+],k∈Z.
由2kπ﹣≤x+≤2kπ+,得2kπ﹣≤x≤2kπ+,k∈Z,
所以F(x)的单调递增区间为[2kπ﹣,2kπ+],k∈Z.………(13分)20.【解答】解:(I)当20≤x≤220时,设v(x)=kx+b,则,解得:,
∴v(x)=.
(II)由(I)得f(x)=.
当0≤x≤20时,f(x)≤f(20)=2000;
当20<x≤220时,f(x)=﹣(x﹣110)2+6050,
∴当x=110时,f(x)的最大值为f(110)=6050.
∴车流密度为110辆/千米时,车流量最大,最大值为6050辆/时.
21.【解答】解:(Ⅰ)任取x1,x2∈[﹣1,1],且x1<x2,则﹣x2∈[﹣1,1],∵f(x)为奇函数,
∴f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)=•(x1﹣x2),
由已知得>0,x1﹣x2<0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在[﹣1,1]上单调递增,
可得f(x)在[﹣1,1]上的最大值为f(1)=﹣f(﹣1)=1;
(Ⅱ)若对任意的a∈[﹣1,1]都有f(x)≥2m2﹣am﹣4成立,
∵f(﹣1)=﹣1,f(x)在[﹣1,1]上单调递增,
∴在[﹣1,1]上,﹣1≤f(x)≤1,即2m2﹣am﹣4≤﹣1,
∴2m2﹣am﹣3≤0对a∈[﹣1,1]恒成立,
设g(a)=﹣m•a+2m2﹣3≤0,
①若m=0,则g(a)=﹣3≤0,自然对a∈[﹣1,1]恒成立.
②若m≠0,则g(a)为a的一次函数,若g(a)≤0对a∈[﹣1,1]恒成立,则必须g(﹣1)≤0,且g(1)≤0,即m+2m2﹣3≤0,且﹣m+2m2﹣3≤0,∴﹣1≤m≤1.
∴m的取值范围是[﹣1,1].
第11页(共11页)。

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