2018-2019学年北京市东城区高一(上)期末数学试卷

2018-2019学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣1＞0}，那么下列结论正确的是（）A．0∈A B．1∈A C．﹣1∈A D．1∉A
2．（3分）命题“∀x∈（0，），tan x＞0”的否定是（）
A．∃x0∈（0，），tan x0≤0B．∃x0∉（0，），tan x0≤0
C．∀x∈（0，），tan x≤0D．∃x0∈（0，），tan x0＞0
3．（3分）下列结论成立的是（）
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c 4．（3分）在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为（）
A．πB．πC．9πD．10π
5．（3分）函数的零点所在区间是（）
A．B．C．D．
6．（3分）sin1，sin2，sin3的大小关系是（）
A．sin1＜sin2＜sin3B．sin3＜sin2＜sin1
C．sin2＜sin3＜sin1D．sin3＜sin1＜sin2
7．（3分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x+1|≤1”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（3分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x•y的最大值为（）
A．1B．C．D．
9．（3分）已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＝2x+1+1，当﹣1≤x≤1时，f （﹣x）＝﹣f（x），当x＞时，f（x+）＝，则f（2019）＝（）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
10．（3分）已知非空集合A，B满足以下两个条件
（i）A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝∅；
（ii）若x∈A，则x+1∈B．
则有序集合对（A，B）的个数为（）
A．12B．13C．14D．15
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分，
11．（4分）＝．
12．（4分）函数f（x）＝的定义域为．
13．（4分）（）+log925﹣log315＝．
14．（4分）已知函数f（x）满足下列性质：
（i）定义域为R，值域为[1，+∞）；
（ii）在区间（﹣∞，0）上是减函数；
（ⅲ）图象关于x＝2对称．
请写出满足条件的f（x）的解析式（写出一个即可）．
15．（4分）已知函数f（x）＝．
（i）f（2）＝．
（ii）若方程f（x）＝x+a有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．
三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（8分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}，非空集合B＝{x|m﹣1≤x≤2m+3}．（Ⅰ）求当m＝﹣3时，∁U（A∪B）；
（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．
17．（8分）已知函数f（x）＝1+（﹣2≤x≤2）．
（Ⅰ）画出f（x）的图象；
（Ⅱ）根据图象写出f（x）的值域、单调区间．
18．（8分）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P（﹣，），以角α的终边为始边，逆时针旋转得到角β．（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求cos（α+β）的值．
19．（10分）函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，令F（x）＝f（x）+g（x），求函数F（x）的单调递增区间．
20．（8分）2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥一港珠澳大桥正式通车．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤220时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）f（x）＝x•v（x）可以达到最大？并求出最大值．
21．（8分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，
1]，a+b≠0时，有＞0成立．
（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣1，1上的最大值；
（Ⅱ）若对任意的a∈[﹣1，1]都有f（x）≥2m2﹣am﹣4，求实数m的取值范围．
2018-2019学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．【解答】解：由x2﹣1＞0，解得x＞1，或x＜﹣1．
∴A＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
可得0，1，﹣1∉A，
故选：D．
2．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题p：∀x∈（0，），tan x＞0，则￢p为∃x0∈（0，），tan x0≤0．
故选：A．
3．【解答】解：对于A．当c＜0时，不成立；
对于B．取a＝﹣1，b＝﹣2，不成立；
对于C．∵a＞b，c＜d，∴a﹣c＞b﹣d，因此不成立；
对于D．∵c＞d，∴﹣d＞﹣c，又a＞b，∴a﹣d＞b﹣c，因此成立．
故选：D．
4．【解答】解：l＝＝＝，
故选：B．
5．【解答】解：根据题意，函数，分析易得函数f（x）为减函数，且f（）＝8﹣＞0，
f（1）＝4﹣2＝2＞0，
f（）＝﹣＜0，
f（2）＝2﹣4＝﹣2＜0，
则函数的零点所在区间是（1，）；
故选：C．
6．【解答】解：由sin2＝sin（π﹣2），
sin3＝sin（π﹣3），
∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，sin x在第一象限为增函数，
∴sin（π﹣3）＜sin1＜sin（π﹣2）．
故得sin3＜sin1＜sin2
故选：D．
7．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，
由|x+1|≤1得﹣1≤x+1≤1，
得﹣2≤x≤0．
则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，
故选：B．
8．【解答】解：∵实数x，y满足2x+y＝1，
∴y＝1﹣2x，
∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，
当x＝，y＝时取等号，
故选：C．
9．【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为R，且当x＜0时，f（x）＝2x+1+1，则f （﹣1）＝2，
当x＞时，f（x+）＝，即f（x+1）＝＝f（x），
即f（x+1）＝f（x），则函数f（x）为周期为1的周期函数；
则f（2019）＝f（1），
当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（1）＝﹣f（1），
又由f（﹣1）＝2，则f（1）＝﹣f（1）＝﹣2；
故选：A．
10．【解答】解：由题意分类讨论可得：若A＝{1}，则B＝{2，3，4，5，6}；若A＝{2}，则B＝{1，3，4，5，6}；若A＝{3}，则B＝{1，2，4，5，6}；若A＝{4}，则B＝{1，2，3，5，6}；若A＝{5}，则B＝{2，3，4，1，6}；若A＝{6}，则B＝{2，3，4，5，1}，舍去．
若A＝{1，3}，则B＝{2，4，5，6}；若A＝{1，4}，则B＝{2，3，5，6}；若A＝{1，
5}，则B＝{2，3，4，6}；
若A＝{2，4}，则B＝{1，3，5，6}；若A＝{2，5}，则B＝{1，3，4，6}；
若A＝{3，5}，则B＝{1，2，4，6}；
若A＝{1，3，5}，则B＝{2，4，6}．
综上可得：有序集合对（A，B）的个数为12．
故选：A．
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分，
11．【解答】解：＝﹣sin＝﹣sin（π﹣）＝﹣sin＝﹣故答案为﹣
12．【解答】解：函数的定义域为：
{x|}，
解得0＜x≤e．
故答案为：（0，e]．
13．【解答】解：原式＝＝3+log35﹣1﹣log35＝2．故答案为：2．
14．【解答】解：f（x）＝（x﹣2）2+1满足上述3条性质．
故答案为：f（x）＝（x﹣2）2+1．
15．【解答】解：（i）f（2）＝2f（1）＝4f（0）＝4×1＝4，
（ii）当0＜x≤1时，﹣1＜x﹣1≤0，f（x）＝2f（x﹣1）＝2×＝，当1＜x≤2时，0＜x﹣1≤1，f（x）＝2f（x﹣1）＝2×＝（）x﹣4，
当2＜x≤3时，1＜x﹣1≤2，
f（x）＝2f（x﹣1）＝2×＝（）x﹣5＝（）x﹣6，
作出函数f（x）的图象如图，
其中f（0）＝1，f（1）＝2f（0）＝2，f（3）＝2f（2）＝4，f（4）＝2f（3）＝8，设直线g（x）＝x+a，
当g（x）＝x+a分别过（0，1），A（1，2），B（2，4）时，
则g（0）＝a＝1，g（1）＝+a＝2，得a＝，
g（2）＝3+a＝4，得a＝1，
由图象知要使方程f（x）＝x+a有且只有一个实根，
则g（x）在A，B之间的区域，
即≤a＜1，
即实数a的取值范围是[，1），
故答案为：4，[，1）．
三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}＝{x|﹣3≤x≤4}，
当m＝﹣3时，B＝{x|﹣4≤x≤﹣3}．
则A∪B＝{x|﹣4≤x≤4}，
∁U（A∪B）＝{x|x＞4或x＜﹣4}．
（Ⅱ）若B⊆A，则，得，即﹣2≤m≤，
即实数m的取值范围是[﹣2，]．
17．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝，
f（x）的图象；
（Ⅱ）由图象知f（x）的值域为[1，3]，
f（x）的单调递减区间为[﹣2，0]，无增区间．
18．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P（﹣，），
∴tanα＝＝﹣．
（Ⅱ）以角α的终边为始边，逆时针旋转得到角β，∴β＝α+．
由（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义可得cosα＝﹣，sinα＝，
∴sn2α＝2sinαcosα＝﹣，cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣．
∴cos（α+β）＝cos（2α+）＝sin2αcos﹣cos2αsin＝（cos2α﹣sin2α）＝．19．【解答】解：（Ⅰ）因为T＝＝4（﹣）＝2π，
所以ω＝1．
又因为sin（+φ）＝1，
所以+φ＝+2kπ，k∈Z，
即φ＝+2kπ，k∈Z．
因为﹣＜φ＜，
所以φ＝．
所以f（x）的解析式是f（x）＝sin（x+）．……………（6分）（Ⅱ）由已知g（x）＝sin[（x+）+]＝sin（x+）＝cos x，
所以F（x）＝f（x）+g（x）＝sin（x+）+cos x＝sin x+cos x+cos x＝sin x+cos x ＝sin（x+）．
函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．
由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，
所以F（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．………（13分）20．【解答】解：（I）当20≤x≤220时，设v（x）＝kx+b，则，解得：，
∴v（x）＝．
（II）由（I）得f（x）＝．
当0≤x≤20时，f（x）≤f（20）＝2000；
当20＜x≤220时，f（x）＝﹣（x﹣110）2+6050，
∴当x＝110时，f（x）的最大值为f（110）＝6050．
∴车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时．
21．【解答】解：（Ⅰ）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则﹣x2∈[﹣1，1]，∵f（x）为奇函数，
∴f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝•（x1﹣x2），
由已知得＞0，x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
可得f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）＝﹣f（﹣1）＝1；
（Ⅱ）若对任意的a∈[﹣1，1]都有f（x）≥2m2﹣am﹣4成立，
∵f（﹣1）＝﹣1，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
∴在[﹣1，1]上，﹣1≤f（x）≤1，即2m2﹣am﹣4≤﹣1，
∴2m2﹣am﹣3≤0对a∈[﹣1，1]恒成立，
设g（a）＝﹣m•a+2m2﹣3≤0，
①若m＝0，则g（a）＝﹣3≤0，自然对a∈[﹣1，1]恒成立．
②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≤0对a∈[﹣1，1]恒成立，则必须g（﹣1）≤0，且g（1）≤0，即m+2m2﹣3≤0，且﹣m+2m2﹣3≤0，∴﹣1≤m≤1．
∴m的取值范围是[﹣1，1]．
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