中考压轴题---抛物线.doc
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A
B
中考压轴题一一抛物线
1. 如图,抛物线y=a^+bx+c 经过A (—1,0)、3(3,0)、C (0 ,3)三点,直线/是抛物线的对称轴.
(1) 求抛物线的函数关系式;
(2) 设点P 是直线/上的一个动点,当△B4C 的周长最小时,求点F 的坐标;
(3) 在直线/上是否存在点使为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M 的 坐标;若不存在,请说明理由.
2. 如图1,点A 在x 轴上,OA=4,将线段OA 绕点。顺时针旋转120°至。8的位置.
(1) 求点B 的坐标;
(2) 求经过A 、0、B 的抛物线的解析式;
(3)
在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P 、。、B 为顶点的三角形是等腰三角形?若 存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
3. 如图1,已知抛物线y=-^+bx+c 经过A (0, 1)、顷4,3)两点.
1) 求抛物线的解析式;
2) 求 tanZABO 的值;
3) 过点8作BCLx 轴,垂足为C,在对称轴的左侧旦平行于y 轴的直线交线段AB 于点N,交抛物线 于点若四边形MVCB 为平行四边形,求点M 的坐标.
4. 如图1,抛物线 > =-定+2尤+ 3与尤轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴相交于点C, 顶点为D.
(1) 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连结8C,与抛物线的对称轴交于点E,点F为线段BC上的一个动点,过点F作PF//DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.
%1用含〃2的代数式表示线段户尸的长,并求出当,〃为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
%1设的面积为S,求S与〃?的函数关系.
5.如图1,已知抛物线+ +女(。是实数旦人>2)与X轴的正半轴分别交于点A、B (点A
4 4 4
位于点B是左侧),与),轴的正半轴交于点C.
(1)点B的坐标为,点C的坐标为 (用含人的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于M, HAPBC是以点P为直角顶点的等腰宜角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点。的坐标;如果不存在,请说明理由.
6.如图1,已知抛物线的方程Cl:),=__L Q +2)(X-梢(m>0)与工轴交于点8、C,与y轴交于点E, m
旦点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;
2)在(1)的条件下,求2\8京的面积;
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点8、C、F为顶点的三角形与相似? 若存在,求〃2的值;若不存在,请说明理由.
7.如图1,点A在尤轴上,Q4=4,将线段0A绕点。顺时针旋转120°至。8的位置.
1)求点B的坐标;
2)求经过A、0、B的抛物线的解析式;
3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、。、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
1.解答(1)因为抛物线与x轴交于火一1,0)、8(3,0)两点,设y=a(x+l)(x-3),
代入点C(0,3),得一3。=3.解得。=一1.
所以抛物线的函数关系式是y=-Q+l)(x-3)=-J + 2x+3.
(2)如图2,抛物线的对称轴是直线人=1.
当点P落在线段上时,PA + PC最小,△0C的周长最小.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.
ill —= —, BO=CO,得PH=BH=2.
BO CO
所以点P的坐标为(1,2).
点M的坐标为(1, 1)、(1,灼、(1,顼)或(1,0).
第(3)题的解题过程是这样的:设点M的坐标为(1皿).
在△MAC 中,AC2=10, A/C2=l+(m-3)2, MA2=4+w2.
%1如图3,当MA=MC时,MA2=MC1.解方程4+麻=1+仞_3)\得m=\.
此时点M的坐标为(1, 1).
如图4,当A M=A C 时,AM^AC2.解方程 4+/n2 = 10,得m = ±j6 .
此时点M的坐标为(1,店)或(1,-化).
如图5,当CM=CA时,CM2=CA2
.解方程
1 +(0 — 3)2=10,得〃—0 或6. 当M(l,6)时,M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0).
在RtAOBC 中,ZBOC=30° , 03=4,所以BC=2, OC = 2^3 .
所以点B的坐标为(-2,-273).
(2)因为抛物线与尤轴交于0、A(4,0),设抛物线的解析式为4), 代入点
8(—2,-2右),—2JJ = —2ox(—6).解得。=_虫.
6
所以抛物线的解析式为y =—虫尤(工—4)= 一虽X1+巫x .
6 6 3
(3)抛物线的对称轴是直线尤=2,设点P的坐标为(2,力・
①当0P=0B=4 时,。/^=16.所以4+y2=16.解得y = ±2>/3 .
当P在(2,2^3)时,B、0、P三点共线(如图2).
②当BP=B0=4时,g=16.所以42 + 3 + 20)2=16.解得凹=力=一2右・
③当PB=P。时,PB2 = PO2.所以4?+ (> + 2右)2=2?+ y2.解得),=_2右.
综合①、②、③,点P的坐标为(2,-2右),如图2所示.
3.解答(1)将A(0, 1)、3(4,3)分别代入y=-^+bx+c,得口4^ = 3.解得T i
2.解答(1)如图2,过点B作BCA.y轴,垂足为C.
图3