中考压轴题---抛物线.doc

A

B

中考压轴题一一抛物线

1. 如图,抛物线y=a^+bx+c 经过A （—1,0）、3（3,0）、C （0 ,3）三点,直线/是抛物线的对称轴.

（1） 求抛物线的函数关系式；

（2） 设点P 是直线/上的一个动点，当△B4C 的周长最小时，求点F 的坐标；

（3） 在直线/上是否存在点使为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的 坐标；若不存在，请说明理由.

2. 如图1,点A 在x 轴上，OA=4,将线段OA 绕点。顺时针旋转120°至。8的位置.

（1） 求点B 的坐标；

（2） 求经过A 、0、B 的抛物线的解析式；

（3）

在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P 、。、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若 存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

3. 如图1,已知抛物线y=-^+bx+c 经过A （0, 1）、顷4,3）两点.

1） 求抛物线的解析式；

2） 求 tanZABO 的值；

3） 过点8作BCLx 轴，垂足为C,在对称轴的左侧旦平行于y 轴的直线交线段AB 于点N,交抛物线 于点若四边形MVCB 为平行四边形，求点M 的坐标.

4. 如图1,抛物线 > =-定+2尤+ 3与尤轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C, 顶点为D.

(1) 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；

(2)连结8C,与抛物线的对称轴交于点E,点F为线段BC上的一个动点，过点F作PF//DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.

%1用含〃2的代数式表示线段户尸的长，并求出当，〃为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

%1设的面积为S,求S与〃?的函数关系.

5.如图1,已知抛物线+ +女(。是实数旦人>2)与X轴的正半轴分别交于点A、B (点A

4 4 4

位于点B是左侧)，与)，轴的正半轴交于点C.

(1)点B的坐标为，点C的坐标为 (用含人的代数式表示)；

(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于M, HAPBC是以点P为直角顶点的等腰宜角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)？如果存在，求出点。的坐标；如果不存在，请说明理由.

6.如图1,已知抛物线的方程Cl：),=__L Q +2)(X-梢(m>0)与工轴交于点8、C,与y轴交于点E, m

旦点B在点C的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值；

2)在(1)的条件下，求2\8京的面积；

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小，求出点H的坐标；

(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F,使得以点8、C、F为顶点的三角形与相似? 若存在，求〃2的值；若不存在，请说明理由.

7.如图1,点A在尤轴上，Q4=4,将线段0A绕点。顺时针旋转120°至。8的位置.

1)求点B的坐标；

2)求经过A、0、B的抛物线的解析式；

3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、。、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

1.解答(1)因为抛物线与x轴交于火一1,0)、8(3,0)两点,设y=a(x+l)(x-3),

代入点C(0,3),得一3。=3.解得。=一1.

所以抛物线的函数关系式是y=-Q+l)(x-3)=-J + 2x+3.

(2)如图2,抛物线的对称轴是直线人=1.

当点P落在线段上时，PA + PC最小，△0C的周长最小.

设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.

ill —= —, BO=CO,得PH=BH=2.

BO CO

所以点P的坐标为(1,2).

点M的坐标为(1, 1)、(1,灼、(1,顼)或(1,0).

第(3)题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1皿).

在△MAC 中，AC2=10, A/C2=l+(m-3)2, MA2=4+w2.

%1如图3,当MA=MC时，MA2=MC1.解方程4+麻=1+仞_3)\得m=\.

此时点M的坐标为(1, 1).

如图4,当A M=A C 时，AM^AC2.解方程 4+/n2 = 10,得m = ±j6 .

此时点M的坐标为(1,店)或(1,-化).

如图5,当CM=CA时，CM2=CA2

.解方程

1 +(0 — 3)2=10,得〃—0 或6. 当M(l,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0).

在RtAOBC 中，ZBOC=30° , 03=4,所以BC=2, OC = 2^3 .

所以点B的坐标为(-2,-273).

(2)因为抛物线与尤轴交于0、A(4,0),设抛物线的解析式为4), 代入点

8(—2,-2右)，—2JJ = —2ox(—6).解得。=_虫.

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所以抛物线的解析式为y =—虫尤(工—4)= 一虽X1+巫x .

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(3)抛物线的对称轴是直线尤=2,设点P的坐标为(2,力・

①当0P=0B=4 时，。/^=16.所以4+y2=16.解得y = ±2>/3 .

当P在(2,2^3)时,B、0、P三点共线(如图2).

②当BP=B0=4时，g=16.所以42 + 3 + 20)2=16.解得凹=力=一2右・

③当PB=P。时，PB2 = PO2.所以4?+ (> + 2右)2=2?+ y2.解得),=_2右.

综合①、②、③，点P的坐标为(2,-2右)，如图2所示.

3.解答(1)将A(0, 1)、3(4,3)分别代入y=-^+bx+c,得口4^ = 3.解得T i

2.解答(1)如图2,过点B作BCA.y轴，垂足为C.

图3