(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+
=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其
中O 为原点）. 求k 的取值范围.
解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b
y a x ).0,0(>>b a
由已知得.1,2,2,32222==+==
b b a
c a 得再由
故双曲线C 的方程为.13
22
=-y x （Ⅱ）将得代入13
222
=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.
0)1(36)31(36)26(,
0312
222
k k k k
即.13
1
22<≠
k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319
,31262
2>+>⋅--=-=
+B A B A B A B A y y x x OB OA k
x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x
.1
37
3231262319)1(22222
-+=+-+--+=k k k k k k k
于是解此不等式得即,01393,213732
222>-+->-+k k k k .33
1
2<<k ② 由①、②得.13
1
2<<k
故k 的取值范围为).1,3
3()33,1(⋃-
- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22
b
y ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线
l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.
（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.
（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是
2222222.
,
,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y a
x a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a e
a
a b e a c AB AM λλ=+-=得
即22
1e a a
b e a
c e a
-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得
证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e
a
-
设M 的坐标是00(,),x y
00(,)(,),a a
AM AB x y a e e
λλ=+=u u u u r u u u r 由得
所以⎪⎩⎪
⎨⎧
=-=.
)1(00a y e a x λλ
因为点M 在椭圆上，所以,122
220=+b
y a x
即.11)1(,1)()]1([2
2222222
=-+-=+-e e b a a e a
λλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e
解得.1122
e e -=-=λλ
即
（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，
即
.||2
1
1c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，
由
,1||1|0)(|||21221c e
ec a e a c e d PF =+-=+++-==
得
.112
2e e
e =+-
所以.3
2
1,3122=-==
e e λ于是
即当,3
2
时=
λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，
则0000010.
22y x c
e y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022
023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得
由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1
)1(2[]1)3([22222
2
2c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1
)
1(22
2
2e e e =+- 从而.3
12=
e 于是3
2112=-=e λ 即当3
2
=
λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖ
ϖ.
（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]
4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，
OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明2
2
μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学
知识解决问题及推理的能力. 满分12分.
（1）解：设椭圆方程为
)0,(),0(122
22c F b a b
y a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入122
22=+b y a x ，化简得
02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .
令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22
222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得
,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，
.2
3
,
0)()2(3212121c x x x x c x x =
+∴=++-+∴ 即2322
22c
b
a c a =+，所以3
6.32222a b a c b a =
-=∴=， 故离心率.3
6==
a c e （II ）证明：（1）知2
2
3b a =，所以椭圆12222=+b
y a x 可化为.332
22b y x =+
设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=
⎩⎨⎧+=+=∴.
,
2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(2
21212
22
22
2
12
12
b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.2
1,23,232
22221c b c a c x x ===
+ [变式新题型3]
抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；
（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ .
.6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u u
r r .
（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r
求向量与 的夹角的取值范围；
（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且|
|,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.
7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，
0MA AP ⋅=u u u
r u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；
（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.
8.已知点C 为圆8)1(2
2=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且
.2,0AM AP AP MQ ==⋅
（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，
且
4
3
32≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积
已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
三点．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．
10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

(Ⅰ)设点P 分有向线段所成的比为λ，证明);(λ-⊥
(Ⅱ)设直线AB 的方程是x —2y+12=0,过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程。

10.已知平面上一定点(1,0)C -和一定直线: 4.l x =-Ｐ为该平面上一动点，作,PQ l ⊥垂足为Q ，
0)2()2(=-⋅+→
→→→PC PQ PC PQ .
(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；
(2) 点Ｏ是坐标原点，A B 、两点在点Ｐ的轨迹上，若1OA OB OC λλ+=+u u u r u u u r u u u v
（），求λ的取值范围．
11.如图，已知E 、F 为平面上的两个定点6||=EF ，10||=FG ，且EG EH =2，HP ·0=GE ，
（G 为动点，P 是HP 和GF 的交点）
（1）建立适当的平面直角坐标系求出点P 的轨迹方程；
（2）若点P 的轨迹上存在两个不同的点A 、B ，且线段AB 的中垂线与EF
（或EF 的延长线）相交于一点C ，则||OC ＜5
9
（O 为EF 的中点）．
12．已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切. (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；
(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ？若存在，求出
G
P
H
直线l 的方程；若不存在，说明理由.
13．已知)0,1(),0,4(N M 若动点P 满足||6= （1）求动点P 的轨迹方C 的方程；
（2）设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线0122:=-+y x l 的距离的最小值. 19．如图，直角梯形ABCD 中，∠︒=90DAB ，AD ∥BC ，AB=2，AD=
23，BC=2
1 椭圆F 以A 、B 为焦点且过点D ，
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点E 满足AB EC 2
1
=,是否存在斜率
与的直线l k 0≠M 、F 交于椭圆N 两点，且
||||NE ME =，若存在，求K 的取值范围；若不存在，说明理由。

解（1）已知双曲线实半轴a 1=4，虚半轴b 1=25，半焦距c 1=62016=+， ∴椭圆的长半轴a 2=c 1=6，椭圆的半焦距c 2=a 1=4，椭圆的短半轴2b =204622=
-，
∴所求的椭圆方程为
+362x 120
2
=y （2）由已知)0,6(-A ,)0,4(F ，设点P 的坐标为),(y x ，则
),,4(),,6(y x y x -=+=由已知得 22
213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪
⎨
⎪+-+=⎩
则018922
=-+x x ，解之得623-==x x 或，
由于y>0，所以只能取23=x ，于是325=y ，所以点P 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛325,
239分 （3）直线063:=+-y x AP ，设点M 是)0,(m ，则点M 到直线AP 的距离是2
6
+m ，于是626-=+m m ， 又∵点M 在椭圆的长轴上，即 66≤≤-m 2m ∴= ∴当2=m 时，椭圆上的点到)0,2(M 的距离
22222
2549(2)4420()15992
x d x y x x x =-+=-++-=-+
又66x -≤≤∴当2
9
=x 时，d 取最小值15
2．解：（1）由3
4sin |
|||cos ,sin 34||||,sin ||||2
132θθθ
θt FP OF FP =⋅==⋅⋅⋅=由得，
得.34tan t
=θ…………………………………………………………………3分
],0[3
tan 1344πθθ∈<<∴<<ΘΘt ∴夹角θ的取值范围是（
3,
4π
π）
………………………………………………………………6分
C B
D A
（2）).0,(),,(),,(0000c y c x y x P =-则设
2
000000(,)(,0)()1)1||||2OFP OF FP x c y c x c c t c x S OF y y ∆∴⋅=-⋅=-==∴==⋅==u u u r u u u r
u u u r
…………………………………………………………………………………………8分
||OP ∴u u u r 10分
∴当且仅当)32,32(,,62||,2,3
43±===
c c
c 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33
=+=
∴OM 或)1,2()1,0()32,32(3
3-=+-=OM …………12分 椭圆长轴
12,48)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a
或2
17
1,217117
1)01()22()01()22(222222+=
+=
∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为
112162
2=+y x .或12
17
12
17922=+++y x …………14分 解： （Ⅰ）∵ OP →·OQ →
＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0， ……………………1分
又P 、Q 在抛物线上，
∴y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，
∴y 122p ·y 222p
＋y 1y 2＝0， y 1y 2＝－4p 2
， ∴|y 1y 2|＝4p 2，……………………3分
又|y 1y 2|＝4，∴4p 2＝4，p=1． ……………………4分 （Ⅱ）设E(a,0），直线PQ 方程为x ＝my ＋a ,
联立方程组 ⎩⎨⎧x ＝my ＋a y 2＝2px
,……………………5分
消去x 得y 2－2pmy －2pa ＝0,……………………6分
∴ y 1y 2＝－2pa , ① ……………………7分 设F(b,0)，R(x 3,y 3)，同理可知：
y 1y 3＝－2pb , ② ……………………8分 由①、②可得
y 3y 2＝b
a
, ③ ……………………9分 若 TR →＝3TQ →
，设T(c,0)，则有
(x 3－c,y 3－0)＝3(x 2－c,y 2－0),
∴y 3＝3y 2 即 y 3
y 2
＝3, ④ ……………………10分
将④代入③，得 b ＝3a ． ……………………11分
又由（Ⅰ）知，OP →·OQ →
＝0,
∴ y 1y 2＝－4p 2，代入①，
得－2pa ＝－4 p 2∴ a ＝2p,……………………13分 ∴b ＝6p,
故，在x 轴上，存在异于E 的一点F(6p,0)，使得TR →＝3TQ →
．………………14分 注：若设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，不影响解答结果． （Ⅰ）解：设P (,)x y 则
(,)A AP x x y =-u u u r (,)B PB x y y =--u u u r
……………………………………………...2分
由AP PB =-u u u r u u u r
得 2A x x =，2B y y =……………………………………………..4分 又(,2)A MA x =u u u r (,)A AP x x y =-u u u r
即(2,2)MA x =u u u r ，(,)AP x y =-u u u r ……………6分
由0MA AP ⋅=u u u r u u u r 得 2
(0)x y y =≥……………………………………………………..8分
（Ⅱ）设11(,)E x y ，22(,)F x y
因为'y x = ，故两切线的斜率分别为1x 、2x ……………………………10分
由方程组22(2)x y y k x ⎧=⎨=+⎩ 得2
240x kx k --=122x x k +=124x x k ⋅=- (12)
当12l l ⊥时，，
121x x ⋅=-，所以 1
8
k =
所以，直线l 的方程是 1
(2)8
y x =+…………
解：(Ⅰ)∵2MF x ⊥轴，∴21||2MF =,由椭圆的定义得：11
||22
MF a +=，--------2分
∵2211||(2)4MF c =+，∴22
11(2)424
a c -=+，-----------------------------------4分
又2e =
得2
234
c a =∴22423,a a a -=0a >Q 2a ∴= ∴2
2
2
2
114
b a
c a =-=
=，-------------------------------6分 ∴所求椭圆C 的方程为2
214
x y +=．------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B 为（0，－1），设点P 的坐标为(,)x y
则(2,)PA x y =---u u u r ，(2,1)AB =-u u u r
,
由PA AB m ⋅=u u u r u u u r
－4得－424x y m -+=-，
∴点P 的轨迹方程为2y x m =+------------------------------------9分 设点B 关于P 的轨迹的对称点为00'(,)B x y ，则由轴对称的性质可得：000011
1,2222
y y x m x +-=-=⋅+， 解得：004423
,55
m m x y ---=
=
，------------------------------11分 ∵点00'(,)B x y 在椭圆上，∴224423()4()455m m ---+=，整理得2230m m --=解得1m =-或 3
2
m =
∴点P 的轨迹方程为21y x =-或3
22
y x =+，-------------------------------------------13分
经检验21y x =-和3
22
y x =+都符合题设，
∴满足条件的点P 的轨迹方程为21y x =-或3
22
y x =+．---
解(Ⅰ)依题意,可设直线AB 的方程为m kx y +=,代入抛物线方程y x 42
=得
.0442=--m kx x ①
设A 、B 两点的坐标分别是（x 1,y 1）、(x 2,y 2),则x 1、x 2是方程①的两根。

所以.421m x x -=
由点P （0，m ）分有向线段AB 所成的比为λ， 得
012
1=++λ
λx x ， 即.21x x -=λ
又点Q 是点P 关于原点的以称点，
故点Q 的坐标是（0，--m ）,从而).2,0(m QP =
),(),(2211m y x m y x QB QA +-+=-λλ
=).)1(,(2121m y y x x λλλ-+--
])1([2)(21m y y m QB QA QP λλλ-+-=-⋅
=])1(44[22
122212
1m x x
x x x x m ++⋅+
=2
212144)(2x m
x x x x m +⋅
+
=2
21444)(2x m
m x x m +-⋅+
=0，
所以).(QB QA OP λ-⊥ (Ⅱ)由⎩
⎨
⎧=+-=,
0122,42
y x y x 得点A 、B 的坐标分别是（6，9）、（--4，4）。

由y x 42
=得241x y =
， 1
,2
y x '= 所以抛物线y x 42
=在点A 处切线的斜率为6
3x y ='=。

设圆C 的方程是2
2
2
)()(r b y a x =-+-，
则⎪⎩
⎪⎨⎧-=---++=-+-,3169
.)4()4()9()6(2222a b b a b a 解之得 .2
125
)4()4(,223,23222=-++==-=b a r b a
所以圆C 的方程是2
125
)223()23(22=
-++y x ， 解:(1)由(2)(2)0PQ PC PQ PC +•-=u u u r u u u r u u u r u u u r ,得:2240PQ PC -=u u u r u u u r ,………（2分）
设(,)P x y ,则2
2
2
(4)4(1)0x x y ⎡⎤+-++=⎣⎦,化简得:22143x y +=,………（4分）
点P 在椭圆上,其方程为22
143
x y +=.………（6分） (2)设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由(1)OA OB OC λλ+=+u u u r u u u r u u u r
得：0CA CB λ+=u u u r u u u r r ，所以，A 、B 、C 三点共线.且0λ>,
得:1122(1,)(1,)0x y x y λ+++=,即:12
12
1x x y y λλλ=---⎧⎨
=-⎩…（8分）
因为2211143x y +=,所以2
22(1)()143x y λλλ----+=①………（9分） 又因为2222143x y +=,所以22
222()()43
x y λλλ+=②………（10分） 由①-②得:2222(1)(1)14x λλλλ+++=- ,化简得:2352x λ
λ
-=,………（12分）
因为222x -≤≤,所以35222λ
λ
--≤≤. 解得:
133λ≤≤所以λ的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
解：（1）如图1，以EF 所在的直线为x 轴，EF 的中垂线为y 轴， 建立平面直角坐标系。

----------------------------------------1分 由题设EG EH =2，0=•EG HP
∴||||PE PG =，而a PG PE PF 2||||||==+-------------3分 ∴点P 是以E 、F 为焦点、长轴长为10的椭圆，
故点P 的轨迹方程是：
116
252
2=+y x -----------------4分 （2）如图2 ，设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(0x C ， ∴21x x ≠，且||||CB CA =，--------------------------------6分 即=+-21201)(y x x 2
2202)(y x x +- 又A 、B 在轨迹上，
∴116252
12
1=+y x ，116
252
22
2=+y
x 即2
12
125
1616x y -
=， 2
22
225
1616x y -
=---------------8分 代入整理得：
)(259)(22
122012x x x x x -=⋅-
∵21x x ≠，∴50
)
(9210x x x +=．---------------------10分
∵551≤≤-x ，552≤≤-x ，∴101021≤+≤-x x ． ∵21x x ≠，∴101021<+<-x x ∴59590<<-
x ，即||OC ＜5
9
．---------------1 （Ⅰ）以AB 中点为原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图 则A （-1,0） B(1,0) D(-1,
2
3
) (1分) 设椭圆F 的方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x （2分）
得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-1123)1(222
2
22b a b a
（4分） P
B
G
E
A
x
H F
O
y
C 图2
得3410417422224==∴>=+-b a a a a Θ
所求椭圆F 方程 13
42
2=+y x （6分）
（Ⅱ）由)2
1
,0(21E AB EC 得=
显然)0(≠+=⊥k m kx y l AB l 方程设时不合条件
代入01248)43(13
42222
2=-+++=+m kmx x k y x 得 （7分）
l 与椭圆F 有两不同公共点的充要条件是
0)124)(43(4)8(222>-+-=∆m k km (8分)
即03422>+-m k 设、
y x M ),(11),(),(0022y x P ，MN y x N 中点 MN PE NE ME ⊥=等价于|
|||
20
22104344382k km
x k km x x x +-=∴+-=
+=Θ (9分) 2
00436k
m
m kx y +=+= （10分） k
x y MN PE 12100-=-
⊥得 （11分） 得 k
k
km k m 143421
4362
2-=+--+ 得 2432k m +-= （12分） 代入 0234340
2
22
>⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+>∆k k 得
4
1
4
34022<
<+<k k 得Θ （13分） 又)21
,0()0,21(0
⋃-∈≠k k k 取值范围为故Θ （14分）
解法2， 设),(),(2211y x 、N y x M
得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+
134
13
42
2222
121y x y x ①—② 得
0)(3
1)(4122212221=-+-y y x x ①
②
2
12
1
21212
143y y x x x x y y x x ++⨯-=--≠得
Θ 设
000043)
,(y x k y x P MN ⨯-=得中点 得004
3
x ky -=③ （9分）
MN PE NE ME ⊥=即||||
得
k x y 121
00-=-
得2
0k x ky +-=④ （11分）
由③、④得 2
3
,
200-==y k x
且P （x 0,y 0）在椭圆F 内部
得4
1
13
494422
<
<+k k
得 （13分） 又)2
1
,0()0,21(0⋃-∈∴≠k k k 取值范围为Θ （14分）。