二次根式的性质

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二次根式知识点总结

二次根式知识点总结二次根式是数学中的一种常见的根式表达式，它可以表示为$\sqrt{a}$ 的形式，其中 $a$ 是一个非负实数。

在学习二次根式时，常常会涉及到以下几个方面的知识点。

一、二次根式的性质：1. 非负性：对于任何非负实数 $a$，二次根式 $\sqrt{a}$ 都是非负实数。

2. 平方性：相对应的，对于任何非负实数 $a$，二次根式$\sqrt{a}$ 的平方等于 $a$，即 $(\sqrt{a})^2=a$。

3. 两个二次根式可以相等：如果两个二次根式 $\sqrt{a}$ 和$\sqrt{b}$ 相等，那么 $a$ 和 $b$ 必须相等，即$\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 可推出 $a=b$。

二、二次根式的运算：1. 加减运算：两个二次根式可以进行加减运算，只要它们的被开方数相同即可。

即 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}=\sqrt{a \pm b}$。

2. 乘法运算：两个二次根式相乘，可以将它们的被开方数相乘并开方。

即 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$。

3. 除法运算：两个二次根式相除，可以将它们的被开方数相除并开方。

即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。

4. 有理化分母：当二次根式的分母不含二次根式时，可以通过有理化分母的方法将其转化为含有二次根式的形式。

有理化分母的基本方法是将分母有理化，即乘以一个适当的形式为 $\sqrt{x}$ 的分子与分母相等的有理数，从而使得分母成为没有二次根式的有理数。

三、二次根式的化简：1.合并同类项：当二次根式相加或相减时，可以合并同类项，即将其中具有相同被开方数的二次根式相加或相减，并保持其他二次根式不变。

2.分解因式：当一个二次根式的被开方数可以分解成互质因子的乘积时，可以利用分解因式的方法进行化简。

3.化简根式：当二次根式的被开方数可以开方时，可以进行化简，即将其转化为整数、分数或者更简单的二次根式的形式。

二次根式知识点归纳

二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。

下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。

一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。

其中，a是被开方数，x是二次根。

2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。

-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。

-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。

-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。

-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。

二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。

2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。

三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。

2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。

即对于a≥b≥0，有√a≥√b。

四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。

-加法：√a+√b=√(a+b)。

-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。

2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。

-乘法：√a×√b=√(a×b)。

3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。

-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。

五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。

二次根式的性质与计算

二次根式的性质与计算在数学的世界里，二次根式是一个重要的概念，它不仅在代数运算中频繁出现，也在解决实际问题中发挥着关键作用。

接下来，让我们一起深入探究二次根式的性质与计算。

二次根式，简单来说，就是形如√a（a≥0）的式子。

其中，“√”称为二次根号，a 称为被开方数。

先来说说二次根式的性质。

性质一：双重非负性。

即二次根式的被开方数a 是非负的（a≥0），同时二次根式的值也是非负的（√a≥0）。

这就好比一个房子，里面住的人数（被开方数）不能是负数，而且从这个房子走出来的人（二次根式的值）也不能是负数。

性质二：（√a）²＝ a（a≥0）。

这个性质可以理解为，一个数先开平方再平方，就等于它本身。

就像一个人先出门再回家，还是原来那个人。

性质三：√（a²）＝｜a|。

当a≥0 时，√（a²）＝ a；当 a＜0 时，√（a²）＝ a。

这就好像一个人的正面和背面，虽然看起来不一样，但都是这个人。

性质四：√ab ＝√a×√b（a≥0，b≥0）。

这个性质告诉我们，两个非负实数的乘积的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的乘积。

比如说，计算√12，我们可以把 12 分解为 4×3，那么√12 ＝√4×√3 ＝2√3。

性质五：√a÷√b ＝√（a÷b）（a≥0，b＞0）。

这就像是把一个大蛋糕（a）按照一定比例（b）切开，得到的每一份的大小（√（a÷b）），和先分别计算每一份蛋糕的大小（√a 和√b）再相除是一样的。

了解了这些性质，我们再来看看二次根式的计算。

二次根式的加减法，首先要把二次根式化为最简二次根式。

最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

比如√8，就不是最简二次根式，因为 8 可以分解为 4×2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。

在进行二次根式的加减运算时，只有同类二次根式才能合并。

二次根式的3个基本性质

二次根式的3个基本性质
二次根式是由一个二次多项式除去x，剩下的部分称为二次根式，一般形式如
ax²+bx+c=0。

其中a、b、c都是实数，a≠0，这里我们就来看看关于二次根式的三个基本
性质。

首先，二次根式的解可以用公式求出。

根据二次公式的方程式ax²+bx+c=0的解的公
式可以由a、b、c求得：x=（-b±根号(b²-4ac)）/2a。

其次，二次根式的解存在特殊的规律。

比如，当根号(b²-4ac)＞0时，二次根式的解
的个数为2；当根号(b²-4ac)=0时，二次根式的解只有1个；而当根号(b²-4ac）＜0时，就没有二次根式的解了。

最后，二次根式与通项式之间存在联系。

当然，如果通项式有两个或两个以上的系数，就可以将其分解为二次根式。

也就是说，任意一个通项式，都可以分解为多个二次根式来
求解。

比如，ax²+bx+cx+d=0可以分解为(ax+d)(cx+ss)(bx+d)=0，这时a、b、c、d四个
系数就可以分成三个部分，分别为(ax+d)、(cx+d)、(bx+d)，而每一个部分的形式分别为ax²+dx+0，cx²+dx+0和bx²+dx+0，就都可以用二次根式的解法来求解了。

总的来说二次根式具有三个基本性质：第一，可以用公式求解；第二，存在特定的规律；第三，与通项式之间存在联系，允许将复杂的通项式分解为多个二次根式。

二次根式性质

二次根式性质
一般地，形如√a的代数式叫做二次根式。

接下来分享二次根式性质 1及运算法则。

二次根式性质 1
1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

如正数a 的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为﹣√a，；最简形式中被开方数不能有分母存在。

2.零的平方根是零。

3.还有两个负数的平方根。

它们是共轭的。

4.有理根:如果两个有根的代数表达式的乘积不再含有根，那么这两个代数表达式就是互有理根，也称为互有理因子。

二次根式性质 2
1.齐次二次根:一般来说，几个二次根转化为最简单的二次根后，如果它们的根数相同，则这些二次根称为齐次二次根。

2.合并相似二次根:将几个相似二次根合并成一个二次根称为合并相似二次根。

3.加减二次根的时候，可以先把二次根变成最简单的二次根，然后把根数相同的合并起来。

二次根式性质 3
二次方根的乘除，根号的乘除，同根索引，然后结果变成最简单的二次方根。

1.乘法:两个数的算术平方根的乘积等于这两个阶乘乘积的算术平方根。

2.除法:两个数的算术平方根的商等于这两个数的商的算术平方根。

二次根式性质 4
1.把带分数或小数化成假分数；
2.把开方数分解成质因数或分解因式；
3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；
4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号；
5.约分。

二次根式的概念和性质

【答案】
2 ，9 5
【解析】
2a 2b c 2a 2b c 4 2 5b c 5a 5b c 5a 25 5
3
，

3 12 3 3 3 12 9 36 3 6 9

12、（2013 初二上期末大兴区）若最简二次根式
a _________
1 1 5 1 5； 16 4 16 4
4
2
4，；
7、估计 88 的大小应( ) A．在 9.1～9.2 之间 B．在 9.2～9.3 之间 C．在 9.3～9.4 之间 D．在 9.4～9.5 之间【答案】 C 【解析】设 88 9 x( x是小数部分) ；则有： 9 x 88 ，即： x2 18x 7 ，得 18x 7 ， x 0.38 ，
二次根式比较大小的方法（1） a b 0 a b （2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法（4）分子有理化（5）倒数法七、二次根式的乘除二次根式的乘除法
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二次根式
二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ）．二次根式的除法法则：
3 2 2 a 4与 6a 2 1 是同类二次根式，则 2 3
【答案】 1 【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．根据题意可列： a2 4 6a2 1 解得： a 1

二次根式的性质

二次根式的性质在数学中，二次根式是指具有形如√a的数，其中a是一个非负实数。

二次根式在代数和几何中有着广泛的应用，特别是在求解方程、计算面积和体积等问题中。

一、二次根式的定义二次根式通常表示为√a，其中a≥0。

如果a>0，则√a被称为正根式，如果a=0，则√a=0；如果a<0，则二次根式不存在，因为它不是一个实数。

二、二次根式的性质1. 二次根式的平方二次根式的平方等于它本身，即(√a)^2 = a。

这是因为二次根式表示的是一个数的正平方根，而正平方根的平方等于被开方数本身。

2. 二次根式的加减运算如果两个二次根式的被开方数相同，那么它们可以进行加减运算。

例如，√2 + √2 = 2√2。

当然，如果两个二次根式的被开方数不同，则无法进行加减运算。

3. 二次根式的乘法两个二次根式可以进行乘法运算，即(√a) * (√b) = √(a * b)。

这个性质可以通过平方的方式进行证明。

例如，(√2) * (√3) = (√2^2) * (√3^2) = √(2 * 3) = √6。

4. 二次根式的除法两个非零的二次根式可以进行除法运算，即(√a) / (√b) = √(a / b)。

这个性质也可以通过平方的方式进行证明。

5. 二次根式的化简将一个二次根式化简为最简形式是一种常见的操作。

例如，将√8化简为√(4 * 2)，再进一步化简为2√2。

也可以将√32化简为√(16 * 2)，再化简为4√2。

化简后的二次根式更加简洁明了。

6. 二次根式的大小比较当两个二次根式的被开方数相同时，它们的大小关系取决于它们的系数。

例如，2√3和3√2，由于√3>√2，所以2√3<3√2。

但如果被开方数不同，则无法直接比较大小。

7. 二次根式的乘方一个二次根式可以进行乘方运算，例如(√2)^3 = (√2) * (√2) * (√2) = √(2 * 2 * 2) = 2√2。

这个性质是由乘法的性质推导而来。

二次根式的概念

二次根式的概念二次根式，也称为平方根，是指一个数的平方根，即找出一个数，使其平方等于给定的数。

在代数中，二次根式是非常重要的数学概念。

它们在代数运算、方程求解以及几何形状的计算中都有广泛应用。

本文将介绍二次根式的定义、性质和一些常用的求解方法。

一、二次根式的定义在数学中，二次根式是一个数学表达式，形式为√a，其中a是一个非负实数。

它表示一个数x，使得x的平方等于a。

例如，√4表示一个数x，使得x的平方等于4，因此x等于正负2。

当a是一个负实数时，二次根式通常用i来表示虚数单位。

虚数单位i定义为√-1。

因此，√-9可以表示为3i，因为(3i)^2 = -9。

二、二次根式的性质1. 非负实数的二次根式是唯一确定的。

即对于给定的非负实数a，它的二次根式√a只有一个值。

2. 二次根式满足乘法运算律。

即对于任意非负实数a和b，有√(ab)= √a * √b。

3. 二次根式满足除法运算律。

即对于任意非负实数a和b，有√(a/b) = √a / √b，其中b不等于0。

4. 二次根式满足加法和减法运算律。

即对于任意非负实数a和b，有√a ± √b不能进行合并。

三、二次根式的求解方法1. 分解因式法：如果二次根式的被开方数可以分解成两个平方数的乘积，那么可以利用分解因式的方法来求解。

例如，√12可以分解为√(4 * 3)，然后再分别对4和3开方，最后得到2√3。

2. 化简法：可以将二次根式的被开方数进行化简，将其中的一个因子提取出来，并留在根号外面。

例如，√50可以化简为√(25 * 2)，再对25开方得到5，最终得到5√2。

3. 有理化法：当二次根式的被开方数是一个分数时，可以利用有理化方法将其化为无理数。

有理化的方法是在分子和分母上同时乘以一个适当的数，使得分母变为一个有理数。

例如，√(3/5)可以进行有理化，将分子和分母同时乘以√5，得到√(3/5) * (√5/√5)= √15 / 5。

四、结论本文介绍了二次根式的定义、性质和求解方法。

二次根式及其性质

二次根式及其性质
1、二次根式
一般地，我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式，其中为整式或分式，叫做被开方式．
2、二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件是≥0，即被开方式是非负数．
3、二次根式的性质
(3)
4、积的算术平方根的性质
(a≥0，b≥0)
即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．
5、商的算术平方根的性质
(a≥0，b＞0)
商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
6、最简二次根式
如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方的因式，这样的二次根式称为最简二次根式．
二、重难点知识归纳
1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，
且被开方数必须是非负数．
2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a≥0）,算术平方根非负(≥0).
3、利用得到成立，可以把任意一个非负数或式写成
一个数或式的平方的形式．如．
4、注意逆用二次根式的性质，即，，
利用这两个性质可以对二次根式进行化简．
5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方式中不含分母；(2)被开方式中不含能开得尽
方的因数或因式．。

第01讲二次根式的性质

第01讲二次根式的性质第1讲二次根式的性质知识导航1．二次根式的概念与被开方数中字母的取值范围；2．二次根式的双重非负性；3．开平方与平方两种运算的关系【板块一】二次根式的概念与基本性质方法技巧一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，”称为二次根号．开平方时，被开方数a的取值范围是a0，二次根式有两个非负性，也叫二次根式的双重非负性，即被开方数a的取值范围是a0，算术平方根的结果0．题型一判断式子是否为二次根式【例1】下列式子中是二次根式的有()；；－；；；(x＞1)；A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】形如(a0)的式子叫做二次根式，被开方数a的取值范围是a0；不符合被开方数a的取值范围是a0，是开3次方，为二次根式，故选C．【解答】C题型二二次根式有意义的字母的取值范围【例2】在下列式子：；(x－2)0；中，x不可以取2的是()A．只有 B．只有 C．和 D．和【分析】二次根式中被开方数大于等于零，零指数幂的底数不为零，分母的值不为零．，x－20，则x2；(x－2)0，x－20，则x2；中，x－20，解得x2，故x不可以取2的是和，故选C【解谷】C题型三二次根式的双重非负性【例3】若x，y为实数，y＝，则4y－3x的平方根是．【分析】，故只有x2－4＝0，即x＝±2，又x－2≠0，x＝－2，y＝＝－，4y－3x＝－1－(－6)＝5，故4y－3r的平方根是±．【解答】士．【例4】已知|7－9m|＋(n－3)2＝9m－7－，求(n－m)2019的值．【分析】非负数有三种呈现形式：绝对值，平方，算术平方根，几个非负数的和一定是非负数，若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0．【解答】＋(n－3)2＝9m－7－，＋(n－3)2＋＝9m－70，9m－7＋(n－3)2＋＝9m－7，(n－3)2＋＝0，n－3＝0，m－4＝0，n＝3，m＝4，(n－m)2019＝(－1)2019＝－1．题型四二次根式中的隐含条件的运用【例5】若实数x，y，m适合关系式＋＝·，求m的值．【分析】由(x＋y)－200，20－(x＋y)0，所以x＋y＝20．再利用两个二次根式的和等于0，即每一个被开方数等于0．【解答】x＋y－200，20－(x＋y)0，x＋y＝20．＋＝0，≥0，0，3x＋3y－m＝0，m＝3(x＋y)＝3×20＝60．针对练习11．x取何值时，下列各式有意义(1)；(2)；－；(4)．【解答】(1)x＞；(2)x4且x－5；(3)1x≤2；(4)x5且x6．2．代数式＋＋的最小值是()A．0 B．1＋ C．1 D．不存在【解答】B．3．方程＋＝0的解是．【解答】，或4．已知x，y为实数，且满足－(3y－1)＝0，则(xy)2019＝．【解答】－15．如果x，y，z为实数，且满足＋＋z2－z＋＝0，求(y＋z)x2的值．【解答】|4x－4y＋1|＋＋(z－)2＝0，又≥0，0，(z－)20，4x－4y＋1＝0，2y＋z＝0，z－＝0，x＝－，y＝－，z＝，(y＋z)x2＝(－＋)(－)2＝．6．若m适合关系式：－＝－，求m的值．【解答】由条件得x＋y－1160，116－(x＋y)0，116≤x＋y116，x＋y＝116，＝－，≥0，－0，，＋得5(x＋y)＋18＝2m，2m＝5×116＋18，m＝299．【板块二】二次根式的两个基本性质的综合运用方法技巧二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝，可以运用上述两个性质进行有关计算和化简．题型五＝的运用【例1】已知0＜a＜1，化简－＝．【分析】a＝()2，＝，又0＜a＜1，()2＜，即＜．原式＝－＝－＝＋－（－）＝2．【解答】2．【例2】若化简－的结果为2x－5，则x的取值范围是．【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．－＝－＝2x－5，则－＝x－1＋x－4，即1－x0，x－40，解得1x≤4．【解答】1x≤4．题型六()2＝a(a0)的运用【例3】已知ABC的三边a，b，c满足关系式a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，试求ABC的周长．【分析】根据式子的结构特点，运用a＝()2配方，然后利用非负性解题．【解答】a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，(a－5)－2＋1＋(b－4)－4＋4＋(c－1)－6＋9＝0，(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，a－5＝1，b－4＝4，c－1＝9．a＝6，b＝8，c＝10，ABC的周长为6＋8＋10＝24．题型七二次根式的规律探究【例4】观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，2，，，…，(第n个数)．【分析】由题意可知，被开方数是2的倍数，由此即可求解＝，2＝，＝，2＝，＝，第6个数是＝2，第n个数是．【解答】2，．【例5】观察下列各式：＝2；＝3；＝4；，请你猜想⑴＝，＝；(2)计算(请写出推导过程)：；(3)请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来．【分析】先将被开方数化为假分数，再用二次根式的性质化简．【解答】＝5，＝6；(2)＝＝＝14；＝(n＋1)（n1）．题型八求值【例6】已知：x＝2－，求代数式x2－4x－6的值．【分析】由x＝2－得x－2＝－，两边平方可得二次式．【解答】x＝2－，x－2＝－，(x－2)2＝(－)2，x2－4x＋4＝10，x2－4x＝6，x2－4x－6＝0．【例7】已知x＝2－，那么x4－8x3＋16x2－x＋1的值是．【分析】由x＝2－得出x2－4x－1＝0，用x2－4x－1除x4－8x3＋16x2－x＋1，得出商和余数，利用：被除数＝除数×商十余数，将多项式化简，再代值计算．【解答】由x＝2－得x－2＝－，两边平方，得x2－4x＋4＝5，x2－4x－1＝0，x4－8x3＋16x2－x＋1＝(x2－4x－1)(x2－4x＋1)＋(－x＋2)＝2－x＝．题型九复合二次根式的化简【例8】先阅读下面的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个非负数a，b，使a＋b＝m，ab ＝n，这样()2＋()2＝m，(＝，那么便有＝＝(a＞b)．例如：化简．首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4＋3＝7，43＝12，即()2＋()2＝7，(＝，＝＝＝2＋．由上述例题的方法化简：(1)；(2)；(3)．【分析】由例题所给信息知关键是要找到两个合适的非负数．【解答】(1)＝＝；(2)＝＝＝－；(3)＝＝(＝(－1)＝－．＝＝＝＝1＋．解决问题：(1)在括号内填上适当的数：＝＝＝＝________；(2)根据上述思路，试将予以化简．【分析】通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面的一层根号．【解答】(1)＝＝＝＝3＋；(2)＝＝＝＝5－．针对训练21．a，b，＋＋－a－．a，b在数轴上的位置可得a＜0a＋b＜0－a＞0b－＜0．－a|－|b －|＝－a－a－b＋－a＋b－＝－3a．2．＝·，－2＋．＝·3x＋10，2－x0，∴－≤x≤2，x－2＋＝x－2＋3x＋1＝－(x－2)＋(3x＋1)＝2x＋3．＋＋1，试化简代数式：|x－1|－－．【解答】∵－x≥0，x－≥0，－x＝，y＞0＋0＋1，y＞1y－1＞，＝－＝－14．当1＜x＜5时，化简：－．【解答】原式＝－＝|x－1|－|x－5|，又∵1＜x＜5，原式＝(x－1)－[－(x－5)]＝2x－6．5．若x，y为实数，且y＝＋＋，求－的值．【解答】∵1－4x≥0，4x－1≥0，∴1－4x＝0，∴x＝，∴y＝，＋＝2＋＝．∴原式＝－＝＝．6．已知a为偶数，且＝，求－的值．【解答】∵＝，∴a－1≥0，3－a＞0，∴1≤a＜3，又∵a为偶数，∴a＝2，又∵－＝－，∵a＝2，a－3＜0，∴原式＝a－1－＝a－1＋＝2－1＋＝．7．对于题目“化简求值：＋，其中a＝”甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：＋＝＋＝＋－a＝－a＝；乙的解笞是：＋＝＋＝＋a－＝a＝，谁的解答是错误的?为什么?【解答】乙的解答是错误的．∵当a＝时，－a＞0，∴＝－a．8．化简：(1)；(2)．【解答】(1)原式＝＝＝；(2)原式＝＝＝(＋1)＝＋．9．已知a＋b＋c＝2＋4＋6－14，求a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)的值．【解答】依题意得(a＋1)－2＋1＋(b＋1)－4＋4＋(c－2)－6＋9＝0，∴(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，∴＝1，＝2，＝3，∴a＝0，b＝3，c＝11．a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)＝0＋33＋33＝66．10．利用“≥0”解答下列问题：(1)若＋＋＝0，求a，b，c的值；(2)若a＋b＋c＝4＋6＋2，求a，b，c的值．【解答】(1)∵≥0，≥0，≥0．＋＋＝＝0，＝0＝0，a＝1b＝4，c ＝9；(2a－2＋b－4＋c－6＝0，[()2－2＋1]＋[()－4＋4]＋[()－6＋9]＝0，(－1＋(－2)＋(－3)＝0，(－10，(－2)0，(－3)0．－1＝0，－2＝0－3＝0，a＝2，b＝8，c＝18．11．＋＝a－2017＝__．a－2018≥0，即a≥2018，则原方程可化为|2017－a＋＝aa－2017＋＝a＝2017a－2018＝201720172＝2018．2018．。

二次根式的定义及性质

二次根式的定义及性质1、二次根式的定义形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式（1）式子中含有二次根号“”；（2）a 可以表示数也可以表示代数式（3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性二次根式的两个非负性：)0(≥a a ；0≥a ，具有非负性的还有02≥a ；0≥a ；几个非负数的和等于零，那么这几个非负数均为零。

2、二次根式的主要性质（1）())0(2≥=a a a （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a aa a a3、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.方法:①单项二次根式：利用a =来确定．②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a ba -=-+来确定．如: aa4、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式叫最简二次根式最简二次根式的条件①号内不含有开的尽方的因数或因式，②根号内不含有分母，③分母不含有根号。

5、同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式6、乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a ab7、除法公式：)0,0______(>≥=b a ba ；反之：)0,0______(>≥=b a b a 8、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式例1、下列式子中二次根式的个数有（）（1）31（2）3-（3）12+-x （4）38（5）2)31(-（6）)1(1>-x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【变式练习】1、下列各式中，一定是二次根式的有______________________________① a ；②z y +；③6a ；④32+x ；⑤962++x x ；⑥12-x2、222++a a 是不是二次根式？___________（填“是”或“否”）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性例2、（2012.德阳）使代数式12-x x 有意义的x 的取值范围是（） A.0≥x B.21≠x C.210≠≥x x 且 D.一切实数例3、函数1213-+-=x x y 的自变量x 的取值范围是_______________【变式练习】1、使12--x x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______________ 2、（2012.杭州）已知0)3(<-a a ，若a b -=2，则b 的取值范围是___________3、若2)(11y x x x +=---，则______=-y x())0(2≥=a a a例4、计算： (1) (2) (3) (4)(b ≥0) (5)【变式练习】计算： (1)； (2)； (3)； (4). ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a例5、化简: (1)； (2)； (3)； (4).例6、2x =，则x 的取值范围是。

二次根式的概念

二次根式的概念二次根式是数学中的一个重要概念，通常与平方根有关。

在本文中，我们将深入探讨二次根式的定义、性质以及它们在数学中的应用。

一、二次根式的定义二次根式是指具有如下形式的数学表达式：√a，其中a代表一个非负实数。

√a称为二次根号或平方根，表示满足b²=a的非负实数b。

二次根式可以进一步扩展到包含多个项的复合根式，例如：√(a+b)或√(a-b)。

这些复合根式可以通过符合基本二次根式定义的方法来求解。

二、二次根式的性质1. 非负性质：二次根式的值不会是负数。

因为二次根式的定义要求被开方数是非负实数，所以二次根式的结果也是非负的。

2. 运算性质：二次根式具有一些特殊的运算性质，例如：a) 二次根式的乘法：√a * √b = √(a*b)。

这意味着，二次根式的乘积等于这两个数的乘积的平方根。

b) 二次根式的除法：√a / √b = √(a/b)。

这表示，二次根式的商等于这两个数的商的平方根。

c) 二次根式的化简：对于某些特殊情况，我们可以将一个二次根式化简为更简单的形式，例如√(a²)等于|a|，其中|a|表示a的绝对值。

3. 比较性质：我们可以通过比较两个二次根式的大小。

例如，如果a>b，那么√a>√b。

三、二次根式的应用二次根式在数学中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 几何学：二次根式经常出现在几何学的计算中。

例如，计算一个矩形的对角线长度时，我们可以利用二次根式来表示。

2. 物理学：物理学中的许多公式和方程涉及二次根式。

例如，求解自由落体运动中的时间或求解抛物线的轨迹等。

3. 金融学：金融学中的一些复利计算和利率计算也会涉及到二次根式。

例如，计算复利投资的未来价值或计算贷款的月均还款额等。

四、总结二次根式在数学中扮演着重要的角色，其定义、性质和应用都是我们学习数学的基础。

通过本文的介绍，我们希望读者对二次根式有更深入的理解，并能够将其运用到实际问题中。

专题15 二次根式的性质（含答案）

第三章二次根式专题15 二次根式的性质知识解读1．确定式子中被开方数字母取值范围的思路(1)如果二次根式的被开方数是整式，只要满足被开方数是非负数；(2)被开方数是分式，首先要确保分式有意义，即分式的分母不为0；其次要保证分式的值不小于0，即分子等于0或分子、分母同号．根据以上要求，可列出关于字母的不等式组，根据不等式组的解集确定字母的取值范围．2．二次根式的性质性质1：式子a(a≥0)既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根，所以a具有双重非负性：(l)a≥0；(2)a≥0．性质2：(a)2=a(a≥0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，性质3：2a a=．培优学案典例示范一、确定式子中被开方数字母取值范围的思路例1求当下列式子有意义时，x的取值范围．（1）1x--；（2）12 xx-+【提示】（1）被开方数－1－x≥0；（2）被开方数是非负数且分母不为0．【解答】【技巧点评】判断代数武是否有意义的时候，首先要看这个代数式中是否含有二次根式、分式和零次幂，如果只含有二次根式，则保证二次根式的被开方数为非负数即可，如果同时含有二次根式和分式则需要列出不等式组，同时保证二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为零，其余的依此类推．跟踪训练1．求当下列式子有意义时x 的取值范围．（131x - ；（21231x x ++；（32+1x二、a 的双重非负性例2 已知3260x y x y +-+-+=，求x ，y 的值．【提示】3x y +-和26x y -+都是非负数，则两个非负数的值都为0．【解答】【技巧点评】a 具有双重非负性，即a 是一个非负数，被开方数a 也是一个非负数，a 的双重非负性常常为题目的解决提供意想不到的效果．跟踪训练2．已知x ，y 为实数，且满足1+x －()11y y --=0，那么x 2015－ y 2015= ．三、利用a （a ≥0）求值例3 已知x ，y 是实数，则1x x x πππ--+-+的值是（）A ．1－1πB ．1+1π C ．1π－1 D ．无法确定的【提示】由二次根式的性质可知x －π≥0，π－x ≥0，可得到x 的值．【技巧点评】求代数式的值需要用到未知数的值时，如果题目没有提供未知数的值，这时候要仔细挖掘题中的隐含条件，本题存在隐含条件x －π≥0，π－x ≥0，由此可求出x 的值，问题也随之而解．跟踪训练3．已知a +2a 24a -2a -a 2=a 化简例4计算： (1)（35）2； (2)（－22）2； (3)()26-； (4)()22+4a．【提示】（1）可套用公式（a ）2=a （a ≥0），其中a =35；（2）(－22)2可先运用积的乘方公式，将二次根式化为（－2）2×（2）2，然后再套用公式；（3）有两种思路，思路1：直接套用公式2a a =；思路2：先计算出（－6）2，然后再开方；(4)直接套用公式2a a =．【解答】【技巧点评】套用性质进行计算前，首先不能记错公式，其次要弄清公式的适用范围．跟踪训练 4．计算：(1)2233⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭= ； (2)21142⎛⎫⎪⎝⎭= ．五、运用公式2a a =化简例5 若－3≤x ≤2时，试化简()22231025x x x x -+++-+．2a a =，去掉根号，得235x x x -+++-，然后化简绝对值符号．【解答】【技巧点评】应用2a a =化简时，一定要留意a 的符号，千万不能不假思索写成a ．跟踪训练5．先化简再求值：当a =－9时，求a 212a a -+的值，甲、乙两人的解答过程如下：甲解答：原式=a ()21a -a +（1－a ）=1；乙解答：原式=a ()21a -a +(a －1)= 2a －l=17．两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是．六、在实数范围内因式分解例6 在实数范围内分解下列因式：（1）x 2－2；（2）x 4一9；（3）3x 2－5；（4）x 2－22x +2．【提示】（1）可写成（2）2，然后考虑应用平方差公式；（2）x 4可写成(x 2)2的形式，运用平方差公式；（3）3x 2，5分别可写成(3x )2，（5）2的形式，运用平方差公式；（4）运用完全平方公式．【解答】【技巧点评】因式分解的一般步骤：(1)先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式；(2)提公因式后若各项无公因式，再看多项式的项数：①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解因式；②若多项式为三项，可虑用完全平方公式；③若多项式有四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法；(3)若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按上面步骤进行；(4)检查分解后的每个因式是否是质因式．要分解到多项式的每个因式在要求的数的范围内都不能再分解为止．跟踪训练6．在实数范围内分解因式： (1)3x 2－6y 2；(2)4a 4－b 4；(3)x 4 －3x 2 y 2+2y 4；(4)－x 22x －2．延伸拓展例7化简下列二次根式：7+43 23- 104322-+ 2a 2a a =化简．【解答】跟踪训练7．（希望杯试题）635-+635+的值为 ( ) A ．7+5 B ．14 C ．()1752- D ．1竞赛链接例8（希望杯试题）已知12-<x <l ，将()()22214x x +--化简得 ( )A ．3－3xB ．3+3xC ．5+xD ．5－x【提示】利用公式2a a =化去根号，然后利用绝对值的性质化简．跟踪训练8．（希望杯试题）若a <0，则化简()221a a +-得 ( )A ．1B ．－1C ．2a －lD ．1－ 2a培优训练直击中考1．★★(2017•山东枣庄)实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |2()a b +-的结果是（）图3－15－1A ．﹣2a +bB ．2a ﹣bC ．﹣bD ．b2．★★★（2017•山东济宁）若2112x x -+-+1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是（） A ．x 12≥B ．x 12≤C ．x 12=D ．x 12≠3．★★★★（2017•江苏扬州）若关于x 的方程﹣2x +m 2017x -+4020＝0存在整数解，则正整数．．．m 的所有取值的和为．4．★★★★（2017•湖北鄂州）若y 1122x x =-+--6，则xy ＝． 5．★计算： (1)( 1.7)2； (2)（25）2； (3)（2+1a ）2．6．★★在实数范围内分解下列因式： (1)x 2 －3； (2)2x 2－3； (3)x 4－4．挑战竞赛1．★★（希望杯试题）使等式(x -2=－x 成立的x 的值是 ( ) A ．正数 B ．负数 C ．0 D ．不能确定 223243x x x ---+x 的取值范围是( )．A ．1<x ≤5B ． x <l 或x ≥5C ．x ≤1或x ≥5D ．x <1或x >53322-的值等于 ( ) A 32 B 31 C 32 D 214．★★（全国初中数学竞赛试题）已知32-<x <2，化简()2239x x +-得．5．★★（希望杯试题）若()211x x --=，则实数x 的取值范围是．中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网。

二次根式的性质与计算

二次根式的性质与计算二次根式是数学中一个重要的概念，它涉及到了根号以及平方等运算，具有一些特殊的性质和计算规律。

本文将介绍二次根式的一些基本性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这个概念。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。

在二次根式中，根号下的数被称为被开方数。

被开方数的值必须大于等于零，否则二次根式就没有意义。

二、二次根式的性质1. 二次根式的值：对于二次根式√a，它的值是满足b^2 = a的非负实数b。

例如，√9的值是3，因为3^2等于9。

2. 二次根式的性质：(a) 任意非负实数a和b，有以下性质成立：a)√(a*b) = √a * √b；b)√(a/b) = √a / √b。

(b) 对于任意的非负实数a和b，有以下性质成立：a) √(a + b) ≠ √a + √b；b) √(a - b) ≠ √a - √b。

3. 二次根式的化简：当被开方数是特殊形式时，我们可以通过化简来简化二次根式的计算。

常见的化简规则包括：(a) 约分：如果被开方数能够被某个因数整除，那么可以将该因数提出到根号外。

(b) 分解因式：将被开方数分解成多个因数的乘积，然后将相同的因数提出到根号外。

三、二次根式的基本计算方法1. 二次根式的加减法：当两个二次根式相加或相减时，如果它们的被开方数相同，那么可以直接将系数相加或相减，并保持根号下的数不变。

例如，√3 + √3 =2√3，√5 - √2 = √5 - √2。

2. 二次根式的乘法：当两个二次根式相乘时，可以将它们的被开方数相乘，并保持根号下的数不变。

例如，√3 * √5 = √15，√2 * √2 = 2。

3. 二次根式的除法：当两个二次根式相除时，可以将它们的被开方数相除，并保持根号下的数不变。

初中数学二次根式的性质

初中数学二次根式的性质
二次根式具有多种性质，以下是其中一些主要的性质：
1.非负性：对于任意的实数a，如果a≥0，那么√a是一个非
负数。

也就是说，二次根式的结果总是非负的。

这个性质在二次根式的运算中非常重要，因为它可以帮助我们确定结果的符号。

2.定义域：二次根式有意义的条件是被开方数必须是非负
数。

也就是说，如果我们要对一个数进行开方运算，那么这个数必须是大于或等于0的。

否则，二次根式就没有意义。

3.运算性质：二次根式满足一些基本的运算性质，如加法、
减法、乘法和除法。

这些性质与整数的运算性质类似，但需要注意的是，二次根式的运算结果可能需要进行化简。

4.化简性质：在二次根式中，我们可以利用一些公式和性质
进行化简。

例如，我们可以利用平方差公式将√(a^2 -
b^2)化简为√a^2 - √b^2，或者利用完全平方公式将√(a^2 + 2ab + b^2)化简为√(a + b)^2。

以上是二次根式的一些主要性质，这些性质在解二次根式方程和不等式，以及进行二次根式的运算时都非常重要。

二次根式的性质与计算

二次根式的性质与计算二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数表达式和方程求解中有着广泛的应用。

本文将介绍二次根式的性质，并探讨如何进行二次根式的计算。

一、二次根式的性质1. 定义：二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。

根号下面的数称为被开方数。

2. 化简与合并：当被开方数是一个常数时，我们可以化简二次根式来得到一个最简形式，并且对不同的二次根式可以进行合并操作。

例如：√4 = 2√9 = 3√(4+9) = √133. 乘法与除法：二次根式之间可以进行乘法和除法运算，其中乘法的规则如下：√a * √b = √(a*b)同理，除法的规则如下：√a / √b = √(a/b)√2 * √3 = √(2*3) = √6√6 / √2 = √(6/2) = √34. 有理化：有理化是指将分母有二次根式的分式转化为分母为有理数的分式。

有理化的方法是将分子和分母同时乘以分母的共轭形式。

例如：1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3)(√2 - √3))= (√2 - √3) / (2 - 3)= (√2 - √3) / (-1)= -√2 + √3二、二次根式的计算1. 加法与减法：二次根式之间可以进行加法和减法运算，只要它们的被开方数相同。

例如：√2 + √2 = 2√2√5 - √3 = √5 - √3 （无法合并）2. 乘法：二次根式之间可以进行乘法运算，根据乘法规则，我们可以将二次根式的被开方数相乘，并将结果开方。

√2 * √3 = √63. 除法：二次根式之间可以进行除法运算，根据除法规则，我们可以将二次根式的被开方数相除，并将结果开方。

例如：√6 / √2 = √(6/2) = √34. 分式运算：在分式的计算中，二次根式可以作为分子或者分母出现。

我们可以按照有理化的方法将分母有二次根式的分式转化为分母为有理数的分式，然后进行简化计算。

例如：1 / (√2 + √3) = -√2 + √3结论：二次根式拥有多种性质，我们可以通过化简合并、乘法、除法和有理化等运算来对二次根式进行计算。

二次根式的总结

二次根式的总结二次根式是数学中的一个重要概念，它常常以√a的形式出现。

在初中数学中，我们学习了二次根式的概念、性质以及运算方法。

在这篇文章中，我们将对二次根式进行总结，深入探讨它的特点及应用。

1. 二次根式的定义二次根式是指含有根号的代数式，其中根号下的被开方数为一个非负实数。

一般地，二次根式的形式为√a，其中a为非负实数。

例如，√4就是一个二次根式。

对于二次根式而言，开方是一种运算，它的结果是为了找到一个非负实数，其平方等于被开方数。

2. 二次根式的性质二次根式有许多有趣的性质，我们将介绍其中几个重要的性质。

性质一：对于任意非负实数a和b，有√(a*b) = √a * √b。

这个性质被称为乘积的根式等于根式的乘积法则。

性质二：对于任意非负实数a和b，有√(a/b) = √a / √b。

这个性质被称为商的根式等于根式的商法则。

性质三：对于任意非负实数a和b，有√(a + b) ≠ √a + √b。

这是一个非常重要的性质，它表明二次根式的加法并不满足简单的分配律。

3. 二次根式的运算对于二次根式的运算，我们首先需要了解二次根式的化简和提取因式的方法。

这将有助于我们在进行加减乘除运算时得到更简洁的结果。

化简二次根式的方法是将被开方数进行因式分解，然后提取出因式中的二次根式，最后进行合并。

例如，√(4 * 9)可以化简为2√9，再进一步化简为6。

提取二次根式的方法是将含有二次根式的因式提取出来，然后进行合并。

例如，√(8 * 5)可以提取为2√10。

在进行加减运算时，我们需要先化简二次根式，然后将同类项进行合并。

例如，√2 + 3√2可以合并为4√2。

在进行乘除运算时，我们可以利用乘法的根式等于根式的乘法法则或者除法的根式等于根式的商法则进行计算。

4. 二次根式的应用二次根式在实际生活中有着广泛的应用。

例如，建筑领域中的勾股定理就涉及到二次根式的运算。

勾股定理指出，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

二次根式的性质开平方与乘方的关系

二次根式的性质开平方与乘方的关系二次根式是数学中的一个重要概念，它与开平方和乘方密切相关。

本文将从二次根式的定义开始，探讨二次根式的性质以及它与开平方和乘方之间的关系。

1. 二次根式的定义二次根式是形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

在二次根式中，√符号表示开平方的操作，它将非负实数的平方根提取出来。

例如，√9的结果是3，因为3的平方等于9。

2. 二次根式的性质二次根式具有以下性质：- 非负实数的二次根式结果是一个非负实数。

换句话说，对于非负实数a，√a ≥ 0。

- 二次根式的平方等于原来的数。

即(√a)² = a。

这也是开平方的逆运算。

3. 开平方与乘方的关系开平方和乘方是数学中常见的运算，它们与二次根式有着紧密的联系。

- 开平方是乘方的特殊情况。

开平方是将一个数的平方根提取出来，相当于将这个数的乘方写成二次根式的形式。

例如，√9 = 3，可以看作是9的平方根。

- 乘方可以用开平方表示。

对于一个非负实数a和正整数n，a的n次方可以写成√(a^n)的形式。

例如，3的二次方（即3的平方）可以表示为√(3²)。

通过开平方和乘方的关系，我们可以进行一些简化计算和求解问题的操作。

对于一个表达式，如果它可以通过开平方和乘方的运算转换成更简单的形式，我们可以利用这些运算规律来简化计算过程。

4. 例题分析为了更好地理解二次根式的性质和其与开平方与乘方的关系，我们来看几个例题。

例题1：计算√16 + √25的值。

解析：根据二次根式的性质，我们知道√16 = 4，√25 = 5。

所以，√16 + √25 = 4 + 5 = 9。

例题2：将16的平方根表示为二次根式的形式。

解析：根据乘方可以用开平方表示的规律，我们知道16的平方根可以表示为√(16²)，即√256。

通过这两个例题，我们看到了二次根式的性质在解题过程中的应用。

总结：二次根式是数学中的一个重要概念，它与开平方和乘方密切相关。