数理统计复习题试题习题

数理统计练习题
1．设4321,,,X X X X 是总体),(2σμN 的样本，μ已知，2σ未知，则不是统计量的是
〔 〕.
〔A 〕415X X +； 〔B 〕
4
1
i
i X
μ=-∑；
〔C 〕σ-1X ； 〔D 〕
∑=4
1
2i i
X
.
解： 统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. ∴ 选C.
2．设总体n X X X p B X ,,,),,1(~21 为来自X 的样本，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛
=n k X P 〔 〕. 〔A 〕p ； 〔B 〕p -1；
〔C 〕k n k k n p p C --)1(； 〔D 〕k n k k
n p p C --)1(.
解：n X X X 21相互独立且均服从),1(p B 故 ∑=n
i i
p n B X
1
),(~
即 ),(~p n B X n 则()()(1)k k n k n k P X P nX k C p p n
-====- ∴ 选C.
3．设n X X X ,,,21 是总体)1,0(N 的样本，X 和S 分别为样本的均值和样本标准差，则〔 〕.
〔A 〕)1(~/-n t S X ； 〔B 〕)1,0(~N X ；
〔C 〕)1(~)1(2
2--n S n χ； 〔D 〕)1(~-n t X n .
解：∑==n
i i X n X 1
10=X E ，)1,0(~112n N X n n n X D ∴== B 错 )1(~)1(22
2
--n S n χσ
)1(~)1(1
)1(2
222
--=-∴
n S n S n χ )1(~-n t n S
X . ∴ A 错.
∴ 选C.
4．设n X X X ,,,21 是总体),(2
σμN 的样本，X 是样本均值，记
=
21
S ∑∑∑===--=-=--n i n i n i i i i X n S X X n S X X n 111
22
32222)(11,)(1,)(11μ，
∑=-=n
i i X n S 1
224
)(1μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是〔〕.
〔A 〕1/1--=
n S X T μ；〔B 〕1/2--=n S X T μ
；
〔C 〕n
S X T /3μ-=
；〔D 〕n S X T /4μ
-=
解：
)
1(~)(221
2
--∑=n X X
n
i i
χσ)1,0(~N n X σ
μ
-
)1(~1
)(1
1
2
2
----=
∑=n t n X X
n
X T n
i i
σ
σ
μ
)1(~11
/)(2
2
2---=
--=
n t n S X n nS n
X T μ
μ ∴选B.
5．设621,,,X X X 是来自),(2
σμN 的样本，2
S 为其样本方差，则2
DS 的值为〔〕. 〔A 〕
431σ；
〔B 〕4
5
1σ；〔C 〕452σ；〔D 〕.522σ 解：2
126,,
,~(,),6X X X N n μσ=∴
)5(~522
2
χσS
由2χ分布性质：1052522
=⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛σS D
即442522510σσ==DS ∴选C.
6．设总体X 的数学期望为n X X X ,,,,21 μ是来自X 的样本，则下列结论中正确的是〔〕. 〔A 〕1X 是μ的无偏估计量； 〔B 〕1X 是μ的极大似然估计量； 〔C 〕1X 是μ的一致〔相合〕估计量； 〔D 〕1X 不是μ的估计量. 解：
11EX EX X μ==∴是μ的无偏估计量.
∴选A.
7．设n X X X ,,,21 是总体X 的样本，2,σμ==DX EX ，X 是样本均值，2S 是样本方差，则〔〕.
〔A 〕2~,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝
⎭；
〔B 〕2
S 与X 独立； 〔C 〕
)1(~)1(22
2
--n S n χσ
；〔D 〕2S 是2σ的无偏估计量.
解：已知总体X 不是正态总体 ∴〔A 〕〔B 〕〔C 〕都不对. ∴选D.
8．设n X X X ,,,21 是总体),0(2
σN 的样本，则〔 〕可以作为2
σ的无偏估计量.
〔A 〕∑=n i i X n 121； 〔B 〕∑=-n i i X n 12
11； 〔C 〕∑=n i i X n 11； 〔D 〕∑=-n
i i X n 1
11.
解：2222)(,
0σ==-==i i i i i EX EX EX DX EX
22121
)1(σσ=⋅=∑n n
X n E n i ∴选A.
9．设总体X 服从区间],
[θθ-上均匀分布)0(>θ，n x x ,,1 为样本，
则θ的极大似然估计为〔 〕
〔A 〕},,max {1n x x ； 〔B 〕},,min{1n x x 〔C 〕|}|,|,max {|1n x x 〔D 〕|}|,|,min{|1n x x
解：1
[,]()20x f x θθθ⎧∈-⎪
=⎨⎪⎩其它
似然正数∏==n
i i n x f x x L 11),();,,(θθ 1
,||1,2,,(2)0,
i n
x i n θθ⎧≤=⎪=⎨
⎪⎩
其它
此处似然函数作为θ函数不连续 不能解似然方程求解θ极大似然估计
∴)(θL 在)(n X =θ处取得极大值|}|,|,max{|ˆ1n
n X X X ==θ ∴选C.
10．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中
正确的是
〔A 〕1X 是μ的无偏估计量. 〔B 〕1X 是μ的极大似然估计量. 〔C 〕1X 是μ的相合〔一致〕估计量. 〔D 〕1X 不是μ的估计量. 〔 〕 解：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选〔A 〕. 11．设12,,
,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的
置信度为1α-的置信区间为 〔A 〕
/2/2(x u x u αα-+ 〔B 〕
1/2/2(x u x u αα--+ 〔C 〕(x u x u
α
α-+ 〔D 〕
/2
/2(x u x u αα-+ 解：因为方差已知，所以μ的置信区间为
/2
/2
(X u X u αα-+
应选D.
12．设总体 X ~ N ( μ , σ2 ),其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1-α的关系是
(a) 当1-α缩小时，L 缩短. (b) 当1-α缩小时，L 增大. (c) 当1-α缩小时，L 不变. (d) 以上说法均错.
解：当σ2已知时，总体均值μ的置信区间长度为当1-α缩小时，L 将缩短，故应选〔a) 13．设总体 X ~ N ( μ1 , σ12 ), Y ~ N ( μ2 , σ22 ) ,X 和Y 相互独立，且μ1 , σ12，μ2 , σ22均未知,从X 中抽取容量为n 1 =9的样本，从Y 中抽取容量为n 2 =10的样本分别算得样本方差为 S 12 =63.86， S 22=236.8对于显著性水平α=0.10〔0< α <1〕,检验假设
H 0 : σ12 = σ22； H 1 : σ12≠σ22
则正确的方法和结论是[ ]
(a)用F 检验法,查临界值表知F 0.90(8 ，9)=0.40, F 0.10(8,9)=2.47 结论是接受H 0
(b)用F 检验法,查临界值表知F 0.95(8,9)=0.31, F 0.05(8,9)=3.23 结论是拒绝H 0 (c)用t 检验法,查临界值表知t 0.05(17)=2.11结论是拒绝H 0 (d)用χ2检验法,查临界值表知χ2 0.10(17)=24.67结论是接受H 0
解：这是两个正态总体均值未知时，方差的检验问题，要使用F 检验法。

在假设H 0 : σ12 = σ22是双侧检验问题，选(b)
14．机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中分别抽取容量为n 1和n 2的样本，并且已知这些零件的长度都服从正态分布，为检验这两台机器的精度是否相同，则正确的假设是
(a) H 0 : μ1 = μ2； H 1 : μ1≠μ2 (b) H 0 : μ1 = μ2； H 1 : μ1 < μ2 (c) H 0 : σ12 = σ22 ； H 1 : σ12≠σ22 (d) H 0 : σ12 = σ22 ； H 1 : σ12< σ22
分析：为检验精度，要检验方差是否相同，故应选(C) 15．在求参数θ的置信区间时，置信度为90%是指〔〕 〔a 〕对100个样品，定有90个区间能覆盖θ 〔b 〕对100个样品，约有90个区间能覆盖θ 〔c 〕对100个样品，至多有90个区间能覆盖θ 〔d 〕对100个样品，只能有90个区间能覆盖θ 答：选(b)
16．收集了n 组数据n i y x i i ,,2,1),( = 画出散布图，若n 个点基本在一条直线附近时，称这两变量间具有〔〕 〔a 〕独立的关系〔b 〕不相容的关系 〔c 〕函数关系 〔d 〕线性相关关系 答：选(d) 17．设1217,,
,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，
则a =____________.
〔注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=,20.01(16)32.0χ=, 2
0.005(16)34.2χ=〕
解：2
2
16(){4}0.014
S P S a P a >=>= 即 2
0.01(16)4a χ=，亦即 432a =8a ∴=.
18．设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布2
(,)N μσ，今随机地测量16个零件，得
16
1
8i
i X
==∑，16
21
34i i X ==∑. 在置信度0.95下，μ的置信区间为___________.
0.050.025((15) 1.7531,(15) 2.1315)t t ==
解：μ的置信度1α-下的置信区间为
/2/2(((X t n X t n αα--+- 162
2
2110.5,[16]2, 1.4142,1615i i X S X X S n ===-===∑
0.025(15) 2.1315.t =
所以μ的置信区间为〔0.2535,1.2535-〕.
19．最小二乘法的基本特点是使回归值与＿＿＿的平方和为最小，最小二乘法的理论依据是＿＿＿。

答：实际观测值；函数的极值原理。

20．某单因子试验，因子A 有 2 个水平，水平 A 1下进行 5 次重复试验，在水平A 2下进行 6 次重复试验，则总偏差平方和的自由度为〔〕。

答：10
数理统计的基本概念
1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X ，求样本的分布.
解 样本12(,,
,)n X X X 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为
11221
(,,
,)()n
n n i i i P X k X k X k P X k ======∏1
!
i
k
n
i i e k λλ-==∏
112!!!
n
i i n k n e k k k λ
λ=-∑=0,1,i k =，1,2,,,i n =
2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。

解 零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为
,0,()0,0.
x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩
于是样本12(,,,)n X X X 的密度为
1121
,0(,,
,)0,.n
i i i
x n
n
x i n i e x f x x x e λλλλ=--=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩
∏其它1,2,,i n =
3．证明若2
~()X n χ，则,2.EX n DX n == 证 因2
~()X n χ，所以X 可表示为2
1
n
i
i X X
==
∑，其中12,,,n X X X 相互独立，且均服
从(0,1)N ，于是
22
1
1
1
[()]1n n n
i
i i i i i EX EX DX EX n =====+==∑∑∑
224224
2
1
1
1
[()][1]x n n n
i i i i i i DX DX EX EX x dx -
+∞-∞
=====-=-∑∑∑⎰
1
(31)2.n
i n ==-=∑
4．已知~()X t n ，求证2
~(1,).X F n 证 ~()X t n ，则X
可表示为X =，其中2
~(0,1),~()Z N Y n χ且,Z Y 相互独立，于是
2
2
~(1,)/Z X F n Y n
=.
5．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2
(0,2)N 的简单随机样本，
221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，求常数,a b ，使得2~(2)X χ.
解2212121
2~(0,20),~(0,1),(2)~(1),20X X N N X X χ--
222343434341
34~(0,10),~(0,1),(34)~(1),10100
X X X X N N X X χ---
所以当11
,20100
a b ==
时 2221234(2)(34)~(2)X a X X b X X χ=-+-
6．设11,
,,,
,n n n m X X X X ++是分布2(0,)N σ的容量为n m +的样本，试求下列统计量
的概率分布：
〔1
〕1n
i
X Y =
； 〔2〕2122
1n
i i n m
i i n m X Y n X =+=+=
∑∑
解2
1
~(0,)n
i i X N n σ=∑
1~(0,1),n
i i X N = 2~(0,)i X N σ，22
2~(1)i X χσ，2221
1~()n m i i n X m χσ
+=+∑，
所以
〔1
〕1~();n
n
i
X Y t m =
=
〔2〕222
1122
22
1
1
1/~(,).1
/n
n
i
i n i n m
n m
i i
i n i n m X
X
n
Y F n m n X X
m
σ
σ
==++=+=+=
=
∑∑∑∑ 7．设11
,
,,n n X X X +是来自总体2
(,)N μσ的样本，1
1n
i i X X n ==∑，
*2
211()n i i S X X n ==-∑
，试求统计量T = 解2
11~(0,)n n X X N n
σ++-，*222~(1)nS n χσ-
于是
~(0,1)X
N
~(1)X
T t n =
=- 8．从正态总体2
(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间〔1.4, 5.4〕内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应多大？
解110.95(1.4 5.4)n i i P X n =≤<<=Φ-Φ∑
213
=Φ- 即
0.9753Φ≥
，查正态分表得 1.963
≥即34.57n ≥. 故样本容量至少应为35。

9．求总体(20,3)N 的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。

解 设1X 和2X 为两个独立样本的均值，则13
~(20,
)10
X N ，23~(20,)15X N 于是1215~(0,
)30X X N -即121
~(0,)2
X X N - 1212(||0.3)1(||0.3)P X X P X X ->=--≤
1=-Φ+Φ
22(0.42)220.66280.6744=-Φ=-⨯=.
参数估计
1．对某一距离进行5次测量，结果如下：
2781,2836,2807,2765,2858〔米〕.
已知测量结果服从2
(,)N μσ，求参数μ和2
σ的矩估计.
解μ的矩估计为ˆX μ
=，2
σ的矩估计为2
2*21
1ˆ()n
i i X X S n σ==-=∑ 1
(27812836280727652858)2809.05X =++++=，
*21
5854.01170.845
S =⨯=
所以
2ˆ2809,1170.8μσ
== 2．设总体X 具有密度
11(1)
1,,(;)0,.
C
x x C f x θθθθ
-+⎧>⎪=⎨⎪⎩
其他
其中参数01,C θ<<为已知常数，且0C >，从中抽得一个样本，12,,,n X X X ，求θ的
矩估计 解1
11
1111
11
1
1C
C
EX C x dx C x
θ
θθ
θ
μθ
θθ
+∞
-
-
+∞==
=-
⎰
1
1
1()11C
C C C θθθθ
-=-⋅=--，
解出θ得
1
1,C
θμ=-
于是θ的矩估计为
1C
X
θ=-
. 3．设总体的密度为
(1),01,(;)0
,.x x f x ααα⎧+<<⎪
=⎨⎪⎩其他
试用样本12,,,n X X X 求参数α的矩估计和极大似然估计.
解 先求矩估计：
1
112100
11
(1),22
EX x dx x ααααμααα++++==+=
=++⎰
解出α得
1
112,1
μαμ-=
- 所以α的矩估计为
121
X
X α-=
-. 再求极大似然估计：
112
1(,
,;)(1)(1)()n
n n i n i L X X x x x x ααααα==+=+∏，
1
ln ln(1)ln n
i i L n x αα==++∑，
1
ln ln 01n
i
i d L n
x d αα==++∑，
解得α的极大似然估计：
1
(1)ln n
i
i n
x
α==-+
∑.
4．设总体X 服从指数分布
(),,(;)0,.
x e x f x θθθ--⎧≥⎪=⎨⎪⎩其他
试利用样本12,,,n X X X 求参数θ的极大似然估计.
解1
()
11
(,
,;),,1,2,
,.n
i i i n
x n x n i i L X X e
e
x i n θ
θθθ=-
+--=∑==≥=∏
1
ln n
i i L n X θ==-∑
ln 0d L
n d θ
=≠ 由极大似然估计的定义，θ的极大似然估计为(1)x θ= 5．设12,,
,n X X X 来自几何分布
1()(1),1,2,
,01k P X k p p k p -==-=<<，
试求未知参数p 的极大似然估计. 解1
1
11(,
,;)(1)
(1)n
i i i n
x n
x n
n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏，
1
ln ln ()ln(1),n
i i L n p X n p ==+--∑
1ln 0,1n
i i X n
d L n dp p p
=-=--∑
解似然方程
1
1n
i
i n X n p
p
=-+=-∑，
得p 的极大似然估计
1p X
=。

6．.设12,,
,n X X X 是来自参数为λ的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数k ，
统计量2
(1)kX k S +-是λ的无偏估计量。

证2
2
((1))(1)E kX k S kEX k ES k k λλλλ+-=+-=+-=
〔此处利用了X 是EX 的无偏估计，2
S 是DX 的无偏估计〕，所以对任意的
2(1)kX k S +-是λ的无偏估计。

7．设总体2
~(,)X N μσ，123,,X X X 是来自X 的样本，试证估计量
11231315102X X X μ=+
+；2123115
3412X X X μ=++，
3123111362
X X X μ=++.
都是μ的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效. 证1231131131
()51025102E EX EX EX μμμ=
++=++= 2115
()3412E μμμ=++=
3111
()362E μμμ=++=
故123,,μμμ都是μ的无偏估计.
2
21231191390.39251004100D DX DX DX μσσ=
++==, 22
22112550()0.347916144144D μσσσ=++==，
222311114
()0.389936436D μσσσ=++==.
所以2μ最有效.
8．设总体X 的数学期望EX μ=已知，试证统计量2
1
1()n i i X n μ=-∑是总体方差
2DX σ=的无偏估计.
证222
11
11(())()n n i i i i E X E X n n μμσ==-=-=∑∑， 证毕.
9．从一批钉子中抽取16枚，测得长度〔单位：厘米〕为2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11，设钉长分布为正态，试在下列情况下，求总体期望μ的置信度为0.90的置信区间。

〔1〕已知0.01σ=厘米； 〔2〕σ为未知.
解 2
2.125,0.0029,0.017X S S === 〔1〕μ
的置信区间为0.05
0.05
(X u X u -+
0.05
2.125, 1.645,0.01,16X u n σ====
μ的置信区间为(2.121, 2.129)；
〔2〕μ
的置信区间为0.050.05(X t X t -+ 0.05(15) 1.7531t =
μ的置信区间为(2.1175,2.1325).
10．生产一个零件所需时间〔单位：秒〕2
~(,)X N μσ，观察25个零件的生产时间，
得 5.5, 1.73X S ==，试以0.95的可靠性求μ和2
σ的置信区间.
解μ
的置信区间为0.0250.025(X t X t -+ 其中 0.0255.5,(24) 2.0639, 1.73,25.X t S n ====
所以
μ的置信度0.95下的置信区间为
1.73 1.73
(5.5 2.0639,5.5 2.0639)(4.7858,6.2141)55
-⨯
+⨯= 2σ的置信区间为
2222/21/2(1)(1),(1)(1)n S n S n n ααχχ-⎛⎫
-- ⎪--⎝⎭
222
0.0250.9752.9929,(24)39.364,(24)12.401S χχ===
所以2
σ的置信区间为
24 2.992924.29929(1.8248,5.7922)39.364
12.401⨯⎛⎫
=
⎪⎝⎭
.
11．零件尺寸与规定尺寸的偏差2
~(,)X N μσ，令测得10个零件，得偏差值〔单位：
微米〕2, 1, –2, 3, 2, 4, –2, 5, 3, 4，试求2
,μσ的无偏估计值和置信度为0.90的置信区间。

解μ的无偏估计为10
1
1210i i X X ===∑ 2
σ的无偏估计为2
211104 5.7789n i i S X =⎡⎤
=-⨯=⎢⎥⎣⎦
∑
μ的置信区间为
0.050.05(X t X t --
0.052, 2.404,(9) 1.8331
3.1623X S t ====
所以
μ的置信度为0.90的置信区间为
2.404 2.404
(2 1.8331,2 1.8331)(0.6064,3.3935)3.1623 3.1623
-⨯
+⨯=；
2σ的置信区间为 2
22
2
/21/2(1)(1)(1)
(1)n S n S n n ααχχ-⎛⎫
-- ⎪--⎝⎭
220.050.95(9)16.919,(9) 3.325χχ==
所以2
σ的置信度0.90下的置信区间为
52.00252.002(3.075,15.6397)16.919 3.325⎛⎫
=
⎪⎝⎭
.
12．对某农作物两个品种计算了8个地区的单位面积产量如下： 品种A ：86，87，56，93，84，93，75，79； 品种B ：80，79，58，91，77，82，74，66.
假定两个品种的单位面积产量，分别服从正态分布，且方差相等，试求平均单位面积产量之差在置信度为0.95下的置信区间.
解 此题是在2
2
12σσ=的条件下求12μμ-的置信区间.
12μμ-的置信区间为
/212((2)X Y t n n S α--+-
/212(2)X Y t n n S α-++-其中 88222
111
1181.625,(8(81.625))145.6087i i i i X X S X =====-=∑∑
882
22211
1175.875,(8(75.875))102.1387i i i i Y Y S Y =====-⨯=∑∑
111.129,
2
w S =
== 0.0250.05,(14) 2.1448t α==.
所以12μμ-的置信度为0.95下的置信区间为
11
(81.62575.875 2.144811.129,81.62575.875 2.144811.129)22
--⨯⨯-+⨯⨯
( 6.185,17.685)=-.
13．设A 和B 两批导线是用不同工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取5根测量电阻，算得2
2
7
1 1.0710A S S -==⨯，2
2
6
2 5.310B S S -==⨯，若A 批导线的电阻服从2
12(,)
N μσ分布，B 批导线的电阻服从222
(,)N μσ，求2
122
σσ的置信度为0.90的置信区间.
解 2
122
σσ的置信区间为
2222
1212/2121/212//(1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭
其中 2726
120.051.0710, 5.310,0.10,(4,4) 6.39.S S F α--=⨯=⨯==
0.950.051
(4,4)0.1565(4,4)
F F ==.
所以 2
122
σσ的置信度0.90下的置信区间为
1.07/53 1.07/53,(0.0032,0.1290)6.39
0.1565⎛⎫
= ⎪⎝⎭.
14．从一台机床加工的轴中随机地取200根测量其椭圆度，由测量值〔单位：毫米〕计算得平均值0.081X =，标准差0.025S =，求此机床加工的轴之平均椭圆度的置信度为
0.95的置信区间。

解 因总体不是正态的，所以该题是大样本区间估计，设平均椭圆度为μ，由中心极限定nX
近似服从(0,1)N ，对于给定的α，查正态分布表，求出临界值/2u α使
/2/2/2/21()(nX P u u P X u X u αααααμ-=-<<=-<<+
即μ的置信区间为
/2
/2(X u X u αα-+(0.0810.081=-+ (0.0775,0.0845)=.
15．在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现16个次品，试求这批货次品率的置信区间〔置信度近似为0.95〕
解 设次品率为p ，100件产品中的次品数为X ，由教材163页知，p 的置信区间为
12(,)p p ，其中
11(2p b a =-
21(2p b a
=-
此处 222
/2/2,(2),a n u b nX u c nX αα=+=-+=
本题中 0.02516
100,0.16,0.05, 1.96100
n X u α=====，
103.84,35.84, 2.56a b c ===
于是p 的置信度近似为0.95的置信区间为
(0.101,0.244).
假设检验
1．一台包装机装奶粉，额定标准重量为500g ，根据以往经验，包装机的实际装袋重量服从正态),(2
0σμN ，其中0σ=15g ，为检验包装机工作是否正常，随机抽取9袋，称得奶粉净重数据如下〔单位：g 〕
497 506 518 524 488 517 510 515 516
若取显著性水平05.0=α，问这包装机工作是否正常？ 解建立假设
500:0=μH ； 500:1≠μH
检验统计量为
X U =
当0H 成立时，有~(0,1)U N ，否定域为：2
||u u α⎧⎫>⎨⎬⎩
⎭
由2||P U u α⎧⎫
>=⎨⎬⎩⎭
05.0=α，查标准正态分布表，得0.0252 1.96u u α==
将样本观测值带入计算得96.102.2>=u
故否定0H ，接受1H ，认为产品重量均值不再等于500克．亦即认为包装机工作不正常． 2．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量〔单位：公斤〕如下：
99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5
问该日打包机工作是否正常〔0.05α=；已知包重服从正态分布〕？
解99.98X =，92
2
1
1(()) 1.478i i S X X ==-=∑， 1.21S =，
问题是检验假设0:100H μ=
0H 的否定域为/2||(8)t t α≥.
其中
99.98100
30.051.21X t -=
=⨯=-
0.025(8) 2.306t =
因为
0.025||0.05 2.306(8)t t =<=
所以接受0H ，即该日打包机工作正常.
3．设某机器生产的零件长度〔单位：cm 〕2
~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得
样本均值10x =，样本方差2
0.16s =. 〔1〕求μ的置信度为0.95的置信区间；〔2〕
检验假设2
0:0.1H σ≤〔显著性水平为0.05〕.
〔附注〕0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===
2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===
解：〔1〕μ的置信度为1α-下的置信区间为
/2/2(((X t n X t n αα--+- 0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n t α=====
所以μ的置信度为0.95的置信区间为〔9.7868，10.2132〕
〔2〕20:0.1H σ≤的拒绝域为22
(1)n αχχ≥-.
22
1515 1.6240.1
S χ==⨯=，2
0.05
(15)24.996χ= 因为 22
0.052424.996(15)χχ=<=，所以接受0H .
4．某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X ：3.25,3.27,3.24,3.26,3.24 设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=？
解问题是在2
σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=
0H 的否定域为 /2||(4)t t α>
5
2
21
13.252,(5)0.00017,
0.0134i i X S X X S ===-⨯==∑
0.005(4) 4.6041t =
3.252 3.25
2.240.3450.013
X t -=
=⨯=
因为
0.005||0.345 4.6041(4)t t =<=
所以接受0H ，即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.
5．按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C 的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C 的含量〔单位：毫克〕如下
22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.
已知维生素C 的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。

(0.025)α=
解设X 为维生素C 的含量，则2~(,)X N μσ，2
20,419.625X S ==，20.485S =，17n =.
问题是检验假设0:21.H μ≥ 〔1〕0:21H μ≥.
〔2〕选择统计量t 并计算其值：
0.20X t =
==- 〔3〕对于给定的0.025α=查t 分布表求出临界值0.025()(16) 2.2t n t α==. 〔4〕因为0.025(16) 2.200.20t t -=-<-=。

所以接受0H ，即认为维生素含量合格. 6．某种合金弦的抗拉强度2
~(,)X N μσ，由过去的经验知10560μ≤〔公斤/厘米2〕，今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下： 10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670.
问这批弦线的抗拉强度是否提高了？〔0.05α=〕
解10631.4X =，2
6558.89S =，80.99S =，10n =. 问题是检验假设0:10560H μ≤ 〔1〕0:10560H μ≤.
〔2〕选统计量并计算其值
.
X t =
=
2.772=
〔3〕对于0.05α=，查t 分布表，得临界值0.05(9)(9) 1.833t t α==. 〔4〕因0.05(9) 1.833 2.772t t =<=，故否定0H 即认为抗拉强度提高了。

7．从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得0.025S =，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的2
0.0004σ=有无显著差别？〔0.05α=，椭圆度服从正态分布〕。

解2
0.025,0.00065,15S S n ===，问题是检验假设20:0.0004H σ=.
〔1〕22
00:0.0004H σσ==.
〔2〕选统计量2
χ并计算其值
2
2
20
(1)140.00065
22.750.0004
n S χσ-⨯=
=
=
〔3〕对于给定的0.05α=，查2
χ分布表得临界值
222
/20.0251/2(14)(14)26.119,(14)ααχχχ-==20.975(14) 5.629χ==.
〔4〕因为222
0.9750.0255.62922.7526.119χχχ=<=<=所以接受0H ，即总体方差与规定
的2
0.0004σ=无显著差异。

8．从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55.
问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80？〔0.05α=，熔化时间服从正态分布〕.
解62.4X =，2
121.82,
10,S n ==问题是检验假设20:80H σ≤.
〔1〕22
00:80H σσ≤=；
〔2〕选统计量2
χ并计算其值
2
2
20
(1)9121.82
13.70580
n S χσ-⨯=
=
=
〔3〕对于给定的0.05α=，查2
χ分布表得临界值
220.05(1)(9)16.919n αχχ-==.
〔4〕因22
0.0513.70516.919χχ=<=，故接受0H ，即可以认为方差不大于80。

9．对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下 第一种 138，127，134，125；
第二种 134，137，135，140，130，134.
问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。

(0.05)α=
解设第一、二种织品的强度分别为X 和Y ，则2
1~(,),X N μσ2
2~(,)Y N μσ
211131,36.667,4X S n ===
2
22135,35.2,
6Y S n ===
问题是检验假设012:H μμ=
〔1〕012:H μμ= 〔2〕选统计量T 并计算其值
.
T =
=
1.295=-
〔3〕对于给定的0.05α=，查t 分布表得临界值/212(2)t n n α+-0.025(8) 2.3069t ==. 〔4〕因为0.025|| 1.295 2.3069(8)t t =<=，所以接受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。

10．在20块条件相同的土地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地，其产量〔公斤〕分别为
旧品种 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; 新品种 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1;
设这两个样本相互独立，并都来自正态总体〔方差相等〕，问新品种的产量是否高于旧品种？〔0.01α=〕
解设X 为新品种产量，Y 为旧品种产量；21~(,)X N μσ，2
2~(,)Y N μσ，问题是检验假设
012:H μμ≥
79.43X =，21 2.2246S =，110n =
76.23Y =，2
2
3.3245S =，210n = 选统计量T 并计算其值：
T =
4.2956=
= 对给定的0.01α=，查t 分布表得临界值0.01(18)(18) 2.5524t t α==. 因为0.014.2956 2.5524(18)T t =>-=-故接受0H ，即新品种高于旧品种.
11．两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得
22
1
20.345,0.357S S ==，假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异？(0.05)α= 解2
110.345,
6,S n ==
2220.357,
9S n ==
问题是检验假设
22012:H σσ=
选统计量F 并计算其值
21220.3450.96640.357
S F S ===
对给定的
0.05α=查F 分布表得临界值/20.025(5,8)(5,8) 4.65F F α==，
0.9751
(5,8)0.14796.76
F =
=. 因0.9750.025(5,8)0.14790.9664 4.65(5,8)F F F =<=<=故接受0H ，即无显著差异. 12．一颗骰子掷了120次，得下列结果：
问骰子是否匀称？〔0.05α=〕
解用X 表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为1，2，3，4，5，6。

问题是检验假设
01
:(),1,2,
,6.6
i H p P X i i ====这里6k =，01
,120,6
i p n ==020i np =，
{}i A i =故
226
2
011
0()(20)96
4.82020k
i i i i i i n np n np χ==--====∑∑
查2χ分布表，得临界值220.05(1)(5)11.071k αχχ-==因为22
0.054.8 1.071χχ=<=故接受0H ，
即骰子匀称。

15．
方差分析回归分析
1．一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水试验，设每种工艺处理4块布样，测得缩水率的结果如下表
问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响(0.01)= 解123455,4,20m n n n n n n =======，查附表5得
0.010.01(1,)(4,15) 4.89F m n m F --==.
21
(147.9)20P =
⨯1093.72= 1149.25Q =
1170.92R =
e S R Q =-
21.67=
A S Q P =-
55.53= S R P =- 77.2=
因为9.6095 4.89>，所以工艺对缩水率有显著影响.
2．灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽样进行使用寿命的试验，得到下表的结果〔单位：小时〕，问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响？〔0.01α=〕
解
1234，
查
附
表
5
得
0.010.01(1,)(3,22) 4.82F m n m F --==
2(124)591.38526
P =
=，1286.092Q =，2937R = 1650.908e S R Q '=-=，1
16.509100e e
S S '== 694.707A S Q P '=-=，1
6.947100A A
S S '==
因为0.013.18 4.82(3,22)F F =<=，故不显著.
3．在钢线碳含量(%)x 对于电阻(20y ℃时，微欧〕效应的研究中，得到以下的数据
x
0.01 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 y
15
18 19 21 22.6 23.8
26
设对于给定的,x y 为正态变量，且方差与x 无关. 〔1〕求线性回归方程y a bx =+; 〔2〕检验回归方程的显著性；
〔3〕求b 的置信区间〔置信度为0.95〕；
〔4〕求y 在0.50x =处的置信度为0.95的预测区间. 解
0.543x =, 20.77y =
7
2217 2.595 2.0640.531xx i i L x x ==-=-=∑,
7
22173104.23019.7584.45yy i i L y y ==-=-=∑,
7
1
785.6178.947 6.663xy i i i L x y xy ==-=-=∑,
〔1〕 12.55xy xx
L b L =
=, 13.95a y bx =-=，
所以回归方程为 13.9512.55.y x =+ 〔2〕我们用方差分析表来检验回归方程的显著性
其中 ,
,2
xy yy U bL Q L U Q n ==-=
-. 查F 分布表求出临界值0.01(1,5)16.62F =
因为 0.01503.6116.62(1,5),F F =>=
所以回归方程高度显著.
〔3〕由公式知，b 的置信度为1α-下的置信区间为
/2
/2(2),(2)S S b t n b t n L L αα⎛⎫ ⎪--+- ⎪⎝⎭
此处
0.02512.55,7,0.05,(5) 2.5706
b n t α====,
2()yy xy S L bL =-/(2)0.166n -=.
所以b 的置信度为0.95下的置信区间为〔11.112, 13.987〕
〔4〕0.0257,0.53,0.531,0.407,(5) 2.5706xx n x L s t =====, 00.50x =.
0/2()(1)x t n αδ=-2.57060.407 1.12=⨯=
013.9512.550.520.225y =+⨯=
故y 在0.50x =处的置信度为0.95的置信区间为
00((0.5),(0.5))(19.105,21.345)y y δδ-+=
4．在硝酸钠3()NaNO 的溶解度试验中，对不同的温度t C 测得溶解于100ml 水中的硝酸钠质量Y 的观测值如下：
i t
0 4 10 15 21 29 36 51 68
i y 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.6 113.6 125.1
从理论知Y 与t 满足线性回归模型式〔9.20〕 〔1〕求Y 对t 的回归方程；
〔2〕检验回归方程的显著性(0.01)α=；
〔3〕求Y 在25t =℃时的预测区间〔置信度为0.95〕. 解
26,
90.2t y ==
922191014460844060,tt i i L t t ==-=-=∑
9
1924646.621106.83539.8ty i i i L t y t y ==-=-=∑,
9
221
976317.8273224.363093.46yy i i L y y ==-=-=∑
0.87187,67.5313,ty tt
L b a y bt L =
==-=
2()/7 1.0307,
1.0152yy ty S L bL S =-==
〔1〕Y 对t 的回归方程为
67.53130.87187y t =+；
〔2〕方差分析表如下
查F 分布表求出临界值0.01(1,7)12.25F =
因 0.012996.3612.25(1,7)F F =>>=，故方程高度显著. 〔3〕067.53130.871872589.3281y =+⨯=
/2(25)(2)t n S αδ=-⨯2.3646 1.0152 1.05 2.53=⨯⨯=
Y 在25t =℃时的置信度为0.95下的预测区间为
00((25),(25))(86.79,91.85))y y δδ-+=.
5．电容器充电后，电压达到100V ，然后开始放电，设在i t 时刻，电压U 的观察值为i u ，具体数据如下.
i t
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i u 100 75
55
40
30
20
15
10
10
5
5
〔1〕画出散点图；
〔2〕用指数曲线模型bt
U ae =来似合U 与t 的关于，求,a b 的估计值. 解 〔1〕
〔2〕由
令
ln ,ln y u A a ==
得线性模型 y A bt =+
5
t=, 3.05
y=
385275110
tt
L=-=
133.346167.7534.404 ty
L=-=-
113.17633.5579.626 yy
L=-=
∴
34.404
0.3128
110
b=-=-， 3.05 1.564 4.614
A=+=，
故100.887
A
a e
==，即,a b的估计值分别为100.887
a=，0.3128
b=-.。