用闭区间套定理证明确界原理

用闭区间套定理证明确界原理

区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以。就说一下有上界数集如何证有上确界，下界类似。

分两步，第一步套出一个数，第二步证明这个数就是上确界。

①对于数集X，如果它有上界M，就构造闭区间列U[n]，U[1]=[a[1]，M]，a[1]是任意一个数，只要使得U[1]∩X≠∅就可以。U[2]这样构造，如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数，就令U[2]=[(a[1]+M)/2，M]否则等于[a[1]，(a[1]+M)/2]。U[3]构造类似，就是再把U[2]一分为二，右半边如果有X中的数就等于右半区间，否则等于左半区间。就这样一直构造下去，所有的U[n]都是递减区间列，根据闭区间套定理，它们必有一个公共元素m。

②要证m就是X的上确界。下面分类讨论。

1)先说如果m就是集合X中的元素，那么假设X中还有比m大的m'，上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的，和m是公共元素矛盾了。这个比较好证明，就不写具体过程了。这样m在X中，而且X中还没有比m更大的数，显然m是X中的最大数，自然是上确界（根据上确界定义可知）。

2)m不在X中。先证明m任意小邻域里面有X中的数。还是反证法，假设可以找到一个δ>0，使得[m-δ，m+δ]里面没有X中的数，那由于区间U[n]长度可以任意小，只要n足够大。所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ，但所有U都包含m，于是U[j]包含于[m-δ，m+δ]中，但是[m-δ，m+δ]中没有X中元素，意思是U[j]里面就没有X中元素，和一开始约定的U[n]构造规则矛盾，所以m任意邻域都有X中数。再证X中的数不可能比m大。