椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)

解：（Ⅰ） 离心率 ， ，即 （1）；
又椭圆过点 ，则 ，（1）式代入上式，解得 ， ，椭圆方程为 。
（Ⅱ）设 ，弦MN的中点A
由 得： ， 直线 与椭圆交于不同的两点， ，即 ………………（1）
由韦达定理得： ，则 ，
直线AG的斜率为： ，
由直线AG和直线MN垂直可得： ，即 ，代入（1）式，可得 ，即 ，则 。
由 消y整理，得
由直线和抛物线交于两点，得 即
由韦达定理，得： 。则线段AB的中点为 。
线段的垂直平分线方程为：
令y=0,得 ，则 为正三角形， 到直线AB的距离d为 。
解得 满足 式此时 。
思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 倍，将k确定，进而求出 的坐标。
解：(I)∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-
设M(- )，则圆半径：r=|(- )-(-2)|=
由|OM|=r，得 ，解得t=± ，∴所求圆的方程为(x+ )2+(y± )2= .
(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，
本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？
题型三：过已知曲线上定点的弦的问题
若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。
例题5、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且 ， ，如图。
( )求点C的坐标及椭圆E的方程；
( )若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线 对称，求直线PQ的斜率。
解：( ) ，且BC过椭圆的中心O
又 点C的坐标为 。 A 是椭圆的右顶点，
练习1：已知椭圆 过点 ，且离心率 。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且线段 的垂直平分线过定点 ，求 的取值范围。
分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到 的关系式，再根据“过点 ”得到 的第2个关系式，解方程组，就可以解出 的值，确定椭圆方程。
第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出 的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点 ，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得 的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范围。
椭圆与双曲线常见题型归纳
题型一：弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。
例题1、过点T(-1,0)作直线 与曲线N： 交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E( ,0)，使得 是等边三角形，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由。
练习：直线 和抛物线 相交于A、B，以AB为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线 过定点，并求定点的坐标。
分析：以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，则OA OB，若设 ，则 ，再通过 ，将条件转化为 ，再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到 ， ，解出k、m的等式，就可以了。
解：设 ，由 得， ，（这里消x得到的）
解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A的直线的斜率存在，且不等于。设直线l的方程为： ，C 、D ，CD的中点M 。
由 得： ，
又直线l与椭圆交于不同的两点C、D，则 ，即 。
由韦达定理得： ，
则 ，M( ， ห้องสมุดไป่ตู้。
又点 ，则直线 的斜率为 ，
根据 得： ，即 ，此方程无解，即k不存在，也就是不存在满足条件的直线。
例题2、已知椭圆 的左焦点为F，O为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O、F，并且与 相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。
分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。
则 ………………（1）由韦达定理，得： ，
则 ， 以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，则OA OB，即 ，可得 ，则 ，
即 ，又 ，则 ，且使（1）成立，
此时 ，直线恒过点 。
名师指点：这个题是课本上的很经典的题，例题5、（07山东理）就是在这个题的基础上，由出题人迁移得到的，解题思维都是一样的，因此只要能在平时，把我们腾飞学校老师讲解的内容理解透，在高考中考取140多分，应该不成问题。
分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N： 相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的 倍。运用弦长公式求弦长。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线 ， ， ， 。
ab0过m2n1两点所以解得所以椭圆e的方程为2假设存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点ab且设该圆的切线方程为解方程组得即则即要使需使即所以所以又所以所以即或因为直线为圆心在原点的圆的一条切线所以圆的半径为所求的圆为此时圆的切线都满足或而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足综上存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点ab且
老师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。
故当 时，MN过椭圆的焦点。方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标－2是方程 的一个根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M的横坐标： ，
再利用直线A1M的方程通过同点的坐标变换，得点M的纵坐标： ；
其实由 消y整理得 ，得到 ，即 ， 很快。
不过如果看到：将 中的 换下来， 前的系数2用－2换下来，就得点N的坐标 ，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。
解（I）由题意设椭圆的标准方程为
， （II）设 ，由 得
， ，
（注意：这一步是同类坐标变换）
（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换） 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 且 ，
， ，
， ，解得
，且满足
当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；
当 时， ，直线过定点
综上可知，直线 过定点，定点坐标为
名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为 ，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出 ，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。
，则椭圆方程为： 将点C 代入方程，得 ，
椭圆E的方程为 ( ) 直线PC与直线QC关于直线 对称，
设直线PC的斜率为 ，则直线QC的斜率为 ，从而直线PC的方程为：
，即 ，由 消y，整理得：
是方程的一个根，
即 同理可得：
＝
＝ ＝
则直线PQ的斜率为定值 。
方法总结：本题第二问中，由“直线PC与直线QC关于直线 对称”得两直线的斜率互为相反数，设直线PC的斜率为k，就得直线QC的斜率为-k。利用 是方程
解：（ ）由已知椭圆C的离心率 ， ,则得 。
从而椭圆的方程为
（ ）设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ，由 消y整理得
是方程的两个根，
则 ， ，即点M的坐标为 ，
同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为
， 直线MN的方程为： ，
令y=0，得 ，将点M、N的坐标代入，化简后得：
又 ， 椭圆的焦点为 ，即
老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为： ，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。
例题3、已知椭圆C： 的离心率为 ，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
（ ）求椭圆的方程；
（ ）若直线 与x轴交于点T,点P为直线 上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线 上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。