2022年八年级上数学：一次函数与正比例函数

一次函数与正比例函数

【学习目标】

1．理解正比例函数和一次函数的概念，，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.

2．通过讨论一次函数与一元一次方程的关系，用函数的观点加深对已经学习过的一元一次方程内容的再认识.

【基础知识】

一．一次函数的定义

（1）一次函数的定义：

一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．

（2）注意：

①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．

②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．

③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．

④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．

二．正比例函数的定义

（1）正比例函数的定义：

一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．

注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．

（2）正比例函数图象的性质

正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．

当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y ＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．

（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．三．待定系数法求一次函数解析式

待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：

（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；

（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．

注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．

四．待定系数法求正比例函数解析式

待定系数法求正比例函数的解析式．

五．一次函数与一元一次方程

一次函数与一元一次方程．

六．根据实际问题列一次函数关系式

根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．

①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．

②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．【考点剖析】

一．一次函数的定义（共3小题）

1．（2022春•卧龙区期中）下列函数关系中，y是x的一次函数的是（）

A．y＝x﹣x2B．y＝C．y＝kx+b D．y＝﹣x

2．（2022春•杨浦区校级期中）若函数y＝（k+3）x﹣2+k是关于x的一次函数，那么k的取值范围是．3．当m取何值时，函数y＝（m+5）x2m﹣1+7x﹣3（x≠0）是一个一次函数？

二．正比例函数的定义（共2小题）

4．（2021春•新化县期末）若函数y＝（m﹣3）x+m2﹣9是正比例函数，求m的值．

5．（2021春•饶平县校级期末）已知y＝（k﹣3）x是关于x的正比例函数，

（1）写出y与x之间的函数解析式：

（2）求当x＝﹣4时，y的值．

三．待定系数法求一次函数解析式（共3小题）

6．（2020秋•永嘉县校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（0，2），求k，b的值．

7．（2021春•饶平县校级期末）已知y与x+1成正比例，且x＝﹣2时y＝2．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设点P（a，4）在（1）中的函数图象上，求点P的坐标．

8．（2021春•江城区期末）已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣11，求k和b的值．

四．待定系数法求正比例函数解析式（共3小题）

9．（2021春•惠州期末）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．求：y与x的函数解析式．

10．（2008秋•淮安区期末）已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝2，求当x＝3时，y的值．

11．已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的关系式；

（2）当x＝﹣1时，求y的值．

五．一次函数与一元一次方程（共2小题）

12．利用函数图象解下列方程

（1）0.5x﹣3＝1

（2）3x﹣2＝x+4

【思路导引】

把0.5x﹣3＝1变化为y＝画出函数y＝的图象，求得函数和x轴的交点．

13．用函数图象求解下列方程．

①2x﹣3＝x﹣2；

②x+3＝2x+1．

六．根据实际问题列一次函数关系式（共3小题）

14．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB＝xcm，BC＝ycm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．

15．已知等腰三角形的周长是18cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数，试求函数的关系式，并写出自变量的取值范围．

16．一辆汽车以50千米/小时的速度，从相距150千米的甲城市开往乙城市．

（1）求汽车与乙城市的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数解析式，写出自变量的取值范围．（2）判断y是x的什么函数．

【过关检测】

一．选择题（共6小题）

1．（2022春•杨浦区校级期中）下列函数中，一次函数一共有（）个．

（1）y＝+1；（2）y＝kx+b；（3）y＝3x；（4）y＝（x+1）2﹣x2；（5）y＝x2﹣2x+1．

A．1B．2C．3D．4

2．（2022春•南关区校级月考）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则k的值为（）

A．3B．﹣3

C．3或﹣3D．k的值不确定

3．（2021秋•芝罘区期末）下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是（）

A．10m长铁丝折成长为y（m），宽为x（m）的长方形

B．斜边长为5cm的直角三角形的直角边y（cm）和x（cm）

C．圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）