高中物理 第十一章 第4节 单摆讲义(含解析)新人教版选修3-4-新人教版高中选修3-4物理教案

单摆一、单摆及单摆的回复力┄┄┄┄┄┄┄┄①1．单摆(1)组成：①细线，②小球。

(2)理想化模型的要求①质量关系：细线质量与小球质量相比可以忽略；②线度关系：球的直径与线的长度相比可以忽略；③力的关系：忽略摆动过程中所受阻力作用。

为了组成单摆，应尽量选择质量大、直径小的球和尽量细且不可伸长的线。

2．单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。

(2)回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mg lx 。

(3)单摆运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律。

[注意]回复力是按效果命名的力，是沿振动方向上的合力，不是物体受到的合力。

①[选一选]关于单摆的摆球在运动中所受的力，下列说法正确的是( )A ．摆球运动到平衡位置时，重力与摆线拉力的合力为零B ．摆球在运动过程中受到三个力的作用：重力、摆线的拉力和回复力C ．摆球在运动过程中，重力和摆线拉力的合力等于回复力D ．摆球在运动过程中，重力沿圆弧方向上的分力等于回复力解析：选D 摆球所受外力为重力和摆线拉力，B 错误；摆球的轨迹是圆弧，故重力、拉力的合力除提供回复力外，还提供向心力，C 错误；摆球所受合外力在圆弧方向的分力(等于重力沿圆弧方向的分力)作为回复力，在圆弧法线方向上的分力作为摆球做圆周运动的向心力，D 正确；除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力，在最低点平衡位置处，回复力为零，回复力产生的加速度为零，但有向心力，有向心加速度，故重力与摆线拉力的合力不为零，A 错误。

二、单摆的周期┄┄┄┄┄┄┄┄②1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响(1)探究方法：控制变量法。

(2)实验结论：①单摆振动的周期与摆球质量无关；②振幅较小时周期与振幅无关；③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。

2．周期公式(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。

(2)公式：T＝2πlg，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。

(3)应用：①计时器(摆钟)原理：单摆的等时性；校准：调节摆长可调节钟表的快慢；②测重力加速度：由T＝2πlg得g＝4π2lT2，即只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以求出当地的重力加速度。

[说明]1．摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球的重心的距离，而不一定是摆线的长度。

2．单摆的周期公式T＝2πlg是在单摆的最大摆角小于5°，单摆的振动是简谐运动的条件下才适用的。

②[选一选]一个单摆，如果摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的一半，则单摆的( )A．频率不变，振幅不变B．频率不变，振幅改变C．频率改变，振幅不变D．频率改变，振幅改变解析：选B 决定单摆周期的是摆长和当地的重力加速度，与质量无关，与单摆的运动速度也无关，当然频率也与质量和速度无关，C、D错误；当质量增为原来的4倍，速度减为原来的一半时，动能不变，势能不变，但质量变大了，摆动的竖直高度就一定变小了，也就是说，振幅变小了，B正确，A错误。

1.单摆的回复力如图所示，重力G 沿圆弧切线方向的分力G 1＝G sin θ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力F ＝G 1＝G sin θ。

2．单摆做简谐运动的推证在偏角很小时(一般情况下，摆角θ小于5°)，sin θ≈x l ，又回复力F ＝G sin θ，所以单摆的回复力为F ＝－G lx (式中x 表示摆球偏离平衡位置的位移，l 表示单摆的摆长，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反)，由此知回复力符合F ＝－kx ，单摆做简谐运动。

[典型例题]例1.下列有关单摆的运动的说法中正确的是( )A ．单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧法线方向的一个分力B ．单摆做简谐运动的平衡位置合力不为零C ．单摆做简谐运动的振幅等于摆动中最高点与最低点的高度差D ．两次相邻的经过平衡位置的时间为单摆的一个周期[解析] 单摆做简谐运动的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，A 错误；单摆做简谐运动的平衡位置回复力为零，但合力指向圆心，不为零，B 正确；单摆做简谐运动的振幅等于摆动中最高点与最低点的距离，C 错误；两次相邻的经过平衡位置的时间为单摆的一个周期的二分之一，D 错误。

[答案] B[点评] 关于单摆的回复力的三点提醒(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。

单摆振动过程中，“摆线拉力”与“重力沿摆线方向的分力”的合力提供向心力，这是与弹簧振子的不同之处。

(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力等于回复力。

(3)在平衡位置处，速度不为零，向心力不为零，此时回复力为零，但摆球所受合力不为零。

[即时巩固]1．对于单摆的振动，以下说法中正确的是( )A ．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等B ．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C ．摆球经过平衡位置时所受回复力为零D ．摆球经过平衡位置时所受合力为零解析：选C 单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿圆弧切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为F 向＝m v 2l，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，在平衡位置处为零，C 正确。

由公式T ＝2πl g知，单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期只与其摆长l 和当地的重力加速度g 有关，而与振幅和摆球质量无关。

1．摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即l ＝l ′＋d 2，l ′为摆线长，d 为摆球直径。

(2)等效摆长：图a 中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l ·sin α，这就是等效摆长。

其周期T ＝2π l sin αg，图b 中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。

2．重力加速度g(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即g ＝GM R2，式中R 为物体到地心的距离，M 为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化。

另外，在不同星球上M 和R 也是变化的，所以g 也不同，g ＝9.8 m/s 2只是在地球表面附近时的取值。

(2)等效重力加速度：单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速)，一般情况下，g 值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的X 力与摆球质量的比值。

如图所示，此场景中的等效重力加速度g ′＝g sin θ。

球静止在O 点时，F T ＝mg sin θ，等效加速度g ′＝F T m ＝g sin θ。

[典型例题]例 2.有一单摆，在地球表面为秒摆，已知月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的1/6。

(1)将该单摆置于月球表面，其周期多大？ (2)若将摆长缩短为原来的1/2，在月球表面时此摆的周期多大？(3)该秒摆的摆长多少？(g ＝9.8 m/s 2)[解析] (1)由单摆周期公式可知T 月＝2π l g 月① T 地＝2π l g 地② 因为秒摆的周期为2秒，则①式除以②式得，T 月＝T 地g 地g 月≈4.9 s (2)摆长变为l 2时，该单摆周期变为T ′地＝22T 地＝ 2 s则月球表面周期T ′月＝T ′地g 地·l 2g 月·l 2＝2× 6 s≈3.5 s (3)由T 地＝2πl g 地知 l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫T 地2π2·g 地＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22π2·9.8 m≈0.99 m [答案] (1)4.9 s (2)3.5 s (3)0.99 m[点评](1)在运用T ＝2πl g时，要注意l 和g 是否发生变化。

如果发生变化，则应求出与变化的l 和g 相对应的运动时间。

(2)改变单摆振动周期的途径①改变单摆的摆长；②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)。

(3)明确小角度情况下，单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系。

[即时巩固]2．一个单摆的摆长为l ，在其悬点O 的正下方0.19l 处有一钉子P (如图所示)，现将摆球向左拉开到A ，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期。

解析：设释放后摆球到达右边最高点B 处，由机械能守恒可知B 和A 等高，则摆球始终做简谐运动。

摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。

小球在左边的周期为T 1＝2πl g小球在右边的周期为T 2＝2π0.81l g则整个单摆的周期为 T ＝T 12＋T 22＝πl g ＋π 0.81l g ＝1.9πl g答案：1.9πl g1.实验原理由公式T ＝2πl g ，可知g ＝4π2l T 2，因此测出摆长l 和周期T ，就可以求出当地的重力加速度值。

2．实验器材带孔小钢球一个、细线一条(约1 m 长)、铁架台、刻度尺、秒表、游标卡尺等。

3．实验步骤(1)制做单摆①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结；②把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记。

(2)测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l ′，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D ，精确到毫米；则l ＝l ′＋D2，即为单摆的摆长。

(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足摆角小于5°，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间。

计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T 。

(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l 和周期T 。

4．数据处理(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l 和T ，代入公式g ＝4π2l T 2中求出g 值，最后求出g 的平均值。

设计如下所示实验表格(2)图象法：由T ＝2πl g 得T 2＝4π2g l ，作出T 2 ­l 图象，即以T 2为纵轴，以l 为横轴。

其斜率k ＝4π2g，由图象的斜率即可求出重力加速度g 。

[典型例题]例3.在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l 和周期T 计算重力加速度的公式是g ＝________。

若已知摆球直径为2.00 cm ，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________ m 。

若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，则秒表读数是________ s ，单摆摆动周期是________ s 。