高中物理 第十一章 第4节 单摆讲义(含解析)新人教版选修3-4-新人教版高中选修3-4物理教案

单摆

一、单摆及单摆的回复力┄┄┄┄┄┄┄┄①

1．单摆

(1)组成：①细线，②小球。

(2)理想化模型的要求

①质量关系：细线质量与小球质量相比可以忽略；

②线度关系：球的直径与线的长度相比可以忽略；

③力的关系：忽略摆动过程中所受阻力作用。

为了组成单摆，应尽量选择质量大、直径小的球和尽量细且不可伸长的线。

2．单摆的回复力

(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。

(2)回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mg l

x 。

(3)单摆运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律。

[注意]

回复力是按效果命名的力，是沿振动方向上的合力，不是物体受到的合力。

①[选一选]

关于单摆的摆球在运动中所受的力，下列说法正确的是( )

A ．摆球运动到平衡位置时，重力与摆线拉力的合力为零

B ．摆球在运动过程中受到三个力的作用：重力、摆线的拉力和回复力

C ．摆球在运动过程中，重力和摆线拉力的合力等于回复力

D ．摆球在运动过程中，重力沿圆弧方向上的分力等于回复力

解析：选D 摆球所受外力为重力和摆线拉力，B 错误；摆球的轨迹是圆弧，故重力、拉力的合力除提供回复力外，还提供向心力，C 错误；摆球所受合外力在圆弧方向的分力(等于重力沿圆弧方向的分力)作为回复力，在圆弧法线方向上的分力作为摆球做圆周运动的向心力，D 正确；除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力，在最低点平衡位置处，回复力为零，回复力产生的加速度为零，但有向心力，有向心加速度，故重力与摆线拉力的合力不为零，A 错误。

二、单摆的周期┄┄┄┄┄┄┄┄②

1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响

(1)探究方法：控制变量法。

(2)实验结论：①单摆振动的周期与摆球质量无关；②振幅较小时周期与振幅无关；③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。

2．周期公式

(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。

(2)公式：T＝2πl

g

，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重

力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。

(3)应用：①计时器(摆钟)

原理：单摆的等时性；

校准：调节摆长可调节钟表的快慢；

②测重力加速度：由T＝2πl

g

得g＝

4π2l

T2

，即只要测出单摆的摆长l和周期T，就

可以求出当地的重力加速度。

[说明]

1．摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球的重心的距离，而不一定是摆线的长度。

2．单摆的周期公式T＝2πl

g

是在单摆的最大摆角小于5°，单摆的振动是简谐运动

的条件下才适用的。

②[选一选]

一个单摆，如果摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的一半，则单摆的( )

A．频率不变，振幅不变

B．频率不变，振幅改变

C．频率改变，振幅不变

D．频率改变，振幅改变

解析：选B 决定单摆周期的是摆长和当地的重力加速度，与质量无关，与单摆的运动速度也无关，当然频率也与质量和速度无关，C、D错误；当质量增为原来的4倍，速度减为原来的一半时，动能不变，势能不变，但质量变大了，摆动的竖直高度就一定变小了，也就是说，振幅变小了，B正确，A错误。

1.单摆的回复力

如图所示，重力G 沿圆弧切线方向的分力G 1＝G sin θ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力F ＝G 1＝G sin θ。

2．单摆做简谐运动的推证

在偏角很小时(一般情况下，摆角θ小于5°)，sin θ≈x l ，又回复力F ＝G sin θ，所以单摆的回复力为F ＝－G l

x (式中x 表示摆球偏离平衡位置的位移，l 表示单摆的摆长，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反)，由此知回复力符合F ＝－kx ，单摆做简谐运动。

[典型例题]

例1.下列有关单摆的运动的说法中正确的是( )

A ．单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧法线方向的一个分力

B ．单摆做简谐运动的平衡位置合力不为零

C ．单摆做简谐运动的振幅等于摆动中最高点与最低点的高度差

D ．两次相邻的经过平衡位置的时间为单摆的一个周期

[解析] 单摆做简谐运动的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，A 错误；单摆做简谐运动的平衡位置回复力为零，但合力指向圆心，不为零，B 正确；单摆做简谐运动的振幅等于摆动中最高点与最低点的距离，C 错误；两次相邻的经过平衡位置的时间为单摆的一个周期的二分之一，D 错误。

[答案] B

[点评] 关于单摆的回复力的三点提醒

(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。单摆振动过程中，“摆线拉力”与“重力沿摆线方向的分力”的合力提供向心力，这是与弹簧振子的不同之处。

(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力等于回复力。

(3)在平衡位置处，速度不为零，向心力不为零，此时回复力为零，但摆球所受合力不为零。

[即时巩固]

1．对于单摆的振动，以下说法中正确的是( )

A ．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B ．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力

C ．摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D ．摆球经过平衡位置时所受合力为零

解析：选C 单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿圆弧切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为

F 向＝m v 2

l

，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，在平衡位置处为零，C 正确。

由公式T ＝2πl g

知，单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期只与其摆长l 和当地的重力加速度g 有关，而与振幅和摆球质量无关。

1．摆长l

(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即l ＝l ′＋d 2

，l ′为摆线长，d 为摆球直径。 (2)等效摆长：图a 中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l ·sin α，这就是等效摆长。其周期T ＝2π l sin αg

，图b 中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。