上海市虹口区2023届数学高一上期末检测试题含解析
上海市虹口区高一上期末数学试卷((含答案))
上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分30分，共10题）1．（3分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={x|x2=2x}，则A∩B= ．2．（3分）不等式|x﹣3|≤1的解集是．3．（3分）不等式＞4的解集是．4．（3分）已知函数f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），若函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），则实数a的值为．5．（3分）命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是．6．（3分）已知条件p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x≤3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围是．7．（3分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且在区间（0，+∞）单调递增，若f（﹣2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是．8．（3分）函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为．9．（3分）已知函数f（x）=，若f（f（a））=2，则实数a的值为．（2+|x|）﹣，则使得f（x﹣1）＞f（2x）成立的x取值范围10．（3分）设f（x）=log2是．11．已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g （1﹣x2），则关于函数y=h（x）的下列4个结论：①函数y=h（x）的图象关于原点对称；②函数y=h（x）为偶函数；③函数y=h（x）的最小值为0；④函数y=h（x）在（0，1）上为增函数其中，正确结论的序号为．（将你认为正确结论的序号都填上）二、选择题（本大题满分20分，每小题4分，共6小题）B）= 12．（4分）设全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}，B={x=2k﹣1，k∈Z}，则A∩（∁U（）A．{1，2，3，4，5，6} B．{1，3，5} C．{2，4，6} D．∅13．（4分）设x∈R，则“x＜﹣2”是“x2+x≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=|x| B．y=（）x C．y=D．y=﹣x315．（4分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=6，则+的最大值为（）A．B．C．1 D．216．（4分）设集合M=[0，），N=[，1]，函数f（x）=．若x0∈M且f（f（x））∈M，则x的取值范围为（）A．（0，] B．[0，] C．（，] D．（，）17．设f（x）=5|x|﹣，则使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）三、解答题（本大题慢点50分，共7小题）18．（10分）已知集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，（∁UA）∩B={﹣2}，求实数p、q、r的值．19．（10分）（1）解不等式：3≤x2﹣2x＜8；（2）已知a，b，c，d均为实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．20．（10分）已知函数f（x）=log2||x|﹣1|．（1）作出函数f（x）的大致图象；（2）指出函数f（x）的奇偶性、单调区间及零点．21．已知f（x）=|x|（2﹣x）（1）作出函数f（x）的大致图象，并指出其单调区间；（2）若函数f（x）=c恰有三个不同的解，试确定实数c的取值范围．22．（10分）如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、（1）设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示成x的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积．23．（10分）已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称．（1）若f（g（x））=6﹣x2，求实数x的值；（2）若函数y=g（f（x2））的定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，求实数m，n的值；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）．x（x＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）．24．已知函数f（x）=b+loga（1）求f（x）的解析式；（2）[f（x）]2=3f（x），求实数x的值；（3）令y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值时x的值．四、附加题25．设函数φ（x）=a2x﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）求函数φ（x）在[﹣2，2]上的最大值；（2）当a=时，φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．2019-2020学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分30分，共10题）1．（3分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={x|x2=2x}，则A∩B= {0，2} ．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={x|x2=2x}={0，2}，∴A∩B={0，2}．故答案为：{0，2}．2．（3分）不等式|x﹣3|≤1的解集是[2，4] ．【解答】解：∵|x﹣3|≤1，∴﹣1≤x﹣3≤1，解得：2≤x≤4，故答案为：[2，4]．3．（3分）不等式＞4的解集是（2，12）．【解答】解：∵＞4，∴＞0，即＜0，解得：2＜x＜12，故答案为：（2，12）．4．（3分）已知函数f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），若函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），则实数a的值为 1 ．【解答】解：f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），∵函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），原函数与反函数的图象关于y=x对称∴f（x）=3x+a的图象经过（1，4），即3+a=4，解得：a=1．故答案为：1．5．（3分）命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”．【解答】解：命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是“若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”，故答案为：若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”6．（3分）已知条件p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x≤3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围是k≤﹣1 ．【解答】解：∵p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x≤3，且p是q的必要条件，∴（﹣1，3]⊆[2k﹣1，﹣3k]，∴，解得：k≤﹣1，故答案为：k≤﹣1．7．（3分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且在区间（0，+∞）单调递增，若f（﹣2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（﹣2，0）∪（0，2）．【解答】解：函数y=f（x）是R上的奇函数，在区间（0，+∞）单调递增∴函数y=f（x）在R上单调递增，且f（0）=0∵f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0．∴当x＜﹣2时，f（x）＜0，当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0，那么：xf（x）＜0，即或，∴得：﹣2＜x＜0或0＜x＜2．故答案为（﹣2，0）∪（0，2）．8．（3分）函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为a=0或a＞4 ．【解答】解：函数g（x）=|x2﹣4|的图象如图所示，∵函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，∴a=0或a＞4．故答案为：a=0或a＞4．9．（3分）已知函数f（x）=，若f（f（a））=2，则实数a的值为﹣，，16 ．【解答】解：由f（x）=，f（f（a））=2，当log2a≤0时，即0＜a≤1时，（log2a）2+1=2，即（log2a）2=1，解得a=，当log2a＞0时，即a＞1时，log2（log2a）=2，解得a=16，因为a2+1＞0，log2（a2+1）=2，即a2+1=4解得a=（舍去），或﹣，综上所述a的值为﹣，，16，故答案为：﹣，，16，10．（3分）设f（x）=log2（2+|x|）﹣，则使得f（x﹣1）＞f（2x）成立的x取值范围是（﹣1，）．【解答】解：函数f（x）=log2（2+|x|）﹣，是偶函数，当x≥0时，y=log2（2+x），y=﹣都是增函数，所以f（x）=log2（2+x）﹣，x≥0是增函数，f（x﹣1）＞f（2x），可得|x﹣1|＞|2x|，可得3x2+2x﹣1＜0，解得x∈（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）．11．已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g （1﹣x2），则关于函数y=h（x）的下列4个结论：①函数y=h（x）的图象关于原点对称；②函数y=h（x）为偶函数；③函数y=h（x）的最小值为0；④函数y=h（x）在（0，1）上为增函数其中，正确结论的序号为②③④．（将你认为正确结论的序号都填上）【解答】解：∵函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，∴g（x）=，∴h（x）=g（1﹣x2）=，故h（﹣x）=h（x），即函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，故①错误；②正确；当x=0时，函数取最小值0，故③正确；当x∈（0，1）时，内外函数均为减函数，故函数y=h（x）在（0，1）上为增函数，故④正确；故答案为：②③④二、选择题（本大题满分20分，每小题4分，共6小题）12．（4分）设全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}，B={x=2k﹣1，k∈Z}，则A∩（∁UB）=（ ）A ．{1，2，3，4，5，6}B ．{1，3，5}C ．{2，4，6}D ．∅【解答】解：全集U=Z ，集合A={x|1≤x ＜7，x ∈Z}={1，2，3，4，5，6} B={x=2k ﹣1，k ∈Z}， ∴∁u B={x=2k ，k ∈Z}， ∴A ∩（∁u B ）={2，4，6}， 故选：C ．13．（4分）设x ∈R ，则“x ＜﹣2”是“x 2+x ≥0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由“x 2+x ≥0”，解得：x ＞0或x ＜﹣1， 故x ＜﹣2”是“x ＞0或x ＜﹣1“的充分不必要条件， 故选：A ．14．（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．y=|x| B ．y=（）xC ．y=D ．y=﹣x 3【解答】解：对于A ：y=f （x ）=|x|，则f （﹣x ）=|﹣x|=|x|是偶函数． 对于B ：，根据指数函数的性质可知，是减函数．不是奇函数．对于C ：定义为（﹣∞，0）∪（0，+∞），在其定义域内不连续，承载断点，∴在（﹣∞，0）和在（0，+∞）是减函数．对于D ：y=f （x ）=﹣x 3，则f （﹣x ）=x 3=﹣f （x ）是奇函数，根据幂函数的性质可知，是减函数． 故选D ．15．（4分）设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x =b y =3，a+b=6，则+的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．2【解答】解：设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，a x =b y =3，a+b=6， ∴x=log a 3，y=log b 3，∴+=log3a+log3b=log3ab≤log3（）=2，当且仅当a=b=3时取等号，故选：D16．（4分）设集合M=[0，），N=[，1]，函数f（x）=．若x0∈M且f（f（x））∈M，则x的取值范围为（）A．（0，] B．[0，] C．（，] D．（，）【解答】解：∵0≤x＜，∴f（x））∈[，1]⊆N，∴f（f（x0））=2（1﹣f（x））=2[1﹣（x+）]=2（﹣x），∵f（f（x））∈M，∴0≤2（﹣x）＜，∴＜x≤∵0≤x＜，∴＜x＜故选：D17．设f（x）=5|x|﹣，则使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）【解答】解：函数f（x）=5|x|﹣，则f（﹣x）=5|﹣x|﹣=5|x|﹣=f（x）为偶函数，∵y1=5|x|是增函数，y2=﹣也是增函数，故函数f（x）是增函数．那么：f（2x+1）＞f（x）等价于：|2x+1|＞|x|，解得：x＜﹣1或使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选D．三、解答题（本大题慢点50分，共7小题）18．（10分）已知集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，（∁A）∩B={﹣2}，U求实数p、q、r的值．【解答】解：集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，∴1+p+1=0，解得p=﹣2；又1+q+r=0，①A）∩B={﹣2}，（∁U∴4﹣2q+r=0，②由①②组成方程组解得q=1，r=﹣2；∴实数p=﹣2，q=1，r=﹣2．19．（10分）（1）解不等式：3≤x2﹣2x＜8；（2）已知a，b，c，d均为实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．【解答】解：（1）不等式：3≤x2﹣2x＜8，即：，解得：，即x∈（﹣2，﹣1]∪[3，4）．（2）证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2abcd﹣b2d2=a2d2+b2c2﹣2abcd=（ad﹣bc）2≥0∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．20．（10分）已知函数f（x）=log||x|﹣1|．2（1）作出函数f（x）的大致图象；（2）指出函数f（x）的奇偶性、单调区间及零点．||x|﹣1|的定义域为：{x|x≠±1，x∈R}．【解答】解：函数f（x）=log2||x|﹣1|=，x=0时f（x）=0，函数f（x）=log2函数的图象如图：（2）函数是偶函数，单调增区间（﹣1，0），（1，+∞）；单调减区间为：（﹣∞，﹣1），（0，1）；零点为：0，﹣2，2．21．已知f（x）=|x|（2﹣x）（1）作出函数f（x）的大致图象，并指出其单调区间；（2）若函数f（x）=c恰有三个不同的解，试确定实数c的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x|（2﹣x）=，函数的图象如图：函数的单调增区间（0，1），单调减区间（﹣∞，0），（1，+∞）．（2）函数f（x）=c恰有三个不同的解，函数在x=1时取得极大值：1，实数c的取值范围（0，1）．22．（10分）如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、（1）设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示成x的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（1）AB=2OA=2=2，∴y=f（x）=2x，x∈（0，40）．（2）y2=4x2（1600﹣x2）≤4×=16002，即y≤1600，当且仅当x=20时取等号．∴截取AD=20时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为1600．23．（10分）已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称．（1）若f（g（x））=6﹣x2，求实数x的值；（2）若函数y=g（f（x2））的定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，求实数m，n的值；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，∴g（x）=，∵f（g（x））=6﹣x2，∴=6﹣x2=x，即x2+x﹣6=0，解得x=2或x=﹣3（舍去），故x=2，（2）y=g（f（x2））==x2，∵定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，，解得m=0，n=2，（3）令t=（）x，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，则y=[f（x）]2﹣2af（x）+3等价为y=m（t）=t2﹣2at+3，对称轴为t=a，当a＜时，函数的最小值为h（a）=m（）=﹣a；当≤a≤2时，函数的最小值为h（a）=m（a）=3﹣a2；当a＞2时，函数的最小值为h（a）=m（2）=7﹣4a；故h（a）=24．已知函数f（x）=b+logax（x＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）．（1）求f（x）的解析式；（2）[f（x）]2=3f（x），求实数x的值；（3）令y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值时x的值．【解答】解：（1）由已知得，b+loga 8=2，b+loga1=﹣1，（a＞0且a≠1），解得a=2，b=﹣1；故f（x）=log2x﹣1（x＞0）；（2）[f（x）]2=3f（x），即f（x）=0或3，∴log2x﹣1=0或3，∴x=2或16；（3）g（x）=2f（x+1）﹣f（x）=2[log2（x+1）﹣1]﹣（log2x﹣1）=log2（x++2）﹣1≥1，当且仅当x=，即x=1时，等号成立）．于是，当x=1时，g（x）取得最小值1．四、附加题25．设函数φ（x）=a2x﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）求函数φ（x）在[﹣2，2]上的最大值；（2）当a=时，φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）∵φ（x）=a2x﹣a x=（a x﹣）2﹣（a＞0，a≠1），x∈[﹣2，2]，∴当a＞1时，φ（x）=φ（2）=a4﹣a2；max（x）=φ（﹣2）=a﹣4﹣a﹣2；当0＜a＜1时，φmax∴φ（x）=．max（2）当a=时，φ（x）=2x﹣（）x，（x）=φ（2）=（）4﹣（）2=4﹣2=2，由（1）知，φmax∴φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立⇔∀m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt+2≥φmax（x）=2恒成立，即∀m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt≥0恒成立，令g（m）=﹣2tm+t2，则，即，解得：t≥2或t≤﹣2，或t=0．∴实数m的取值范围为：（﹣∞，2]∪{0}∪[2，+∞）．。
2024届上海市虹口区复兴高级中学高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析
2024届上海市虹口区复兴高级中学高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题 请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)α+= A.35B.35C.45D.45-， 2．若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为A.()0,4B.()0,+∞C.()3,4D.()3,+∞ 3．已知0.5321log log 30.32a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（） A.a c b <<B.a b c <<C.c a b <<D.b c a <<4．某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生走法的是（）A. B.C. D.5．若函数()[]sin (0,,0)4f x x x πωπω⎛⎫=-∈> ⎪⎝⎭的图象与x 轴有交点，且值域3[,)2M ⊆-+∞，则ω的取值范围是（）A.14[,]23B.4[,2]3C.11[,]43D.119[,]412 6．函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（ ）A. B. C. D.7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线AC 与A 1D 1所成的角是A.30°B.45°C.60°D.90°8．已知幂函数()y f x =的图象过（4，2）点，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B.12C.14D.229．若 2.52=a ,12log 2.5b =, 2.512⎛⎫= ⎪⎝⎭c ,则a ,b ,c 之间的大小关系是( ) A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c10．若23a =，则4log 3=（）A.12aB.aC.2aD.4a 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年上海市虹口区上海外国语大学附属外国语学校高一上数学期末复习检测试题含解析
故选：A.
3、A
【解析】 ,所以 ，故选A.
考点：集合 运算.
4、B
【解析】直接利用函数图像变化原则：“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式
故答案为：
14、 ##
【解析】由题可得 ，然后利用圆锥的体积公式即得.
【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h,由圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，
∴ ，
∴该圆锥的体积为 .
故答案为： .
15、1
【解析】根据指数函数的图象过定点 ，即可求出
【详解】函数 其中 且 的图象过定点 ，
， ，
则 ，
故答案为1
【点睛】本题考查了指数函数 图象恒过定点 的应用，属于基础题.
16、
【解析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】因为函数 为“倍缩函数”，即满足存在 ，使 在 上的值域是 ，
由复合函数单调性可知函数 在 上是增函数
所以 ，则 ，即
所以方程 有两个不等 实根，且两根都大于0.
得16k+2≤x≤16k+10，
即函数的单调递增区间为[16k+2，16k+10]，k∈Z
当k＝﹣1时，为[﹣14，﹣6]，
当k＝0时，为[2，10]，
∵x∈（﹣2π，2π），
∴函数在（﹣2π，2π）上的递增区间为（﹣2π，﹣6）和[2，2π）
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质
上海市虹口区上海市继光高级中学2023届高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．已知()()2ln ,045,1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若方程()()f x m m =∈R 有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是（）A.（3，4）B.（2，4）C.[0，4）D.[3，4）2．平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，4AB AD ⋅=-，点M 满足3DM MC =，则(MA MB ⋅= )A.1B.1-C.4D.4-3．下列运算中，正确的是（）A.3log 239=B.233(0)a a a a ⋅=>C.()2333381-+= D.22122lg 31009-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭4．已知函数()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列结论中错误的是（ ） A.()f x 的图像关于,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 B.()f x 在511,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 C.()f x 的图像关于3x π=对称D.()f x 的最大值为3 5．已知函数2()f x x nx =+，记集合{|()0,}A x f x x R ==∈，(){|()0,}B x f f x x R ==∈，若A B =≠∅，则n的取值范围是（）A.[0,4]B.（0,4）C.[0，4)D.(0，4]6．已知向量()1,2a =-，(),4b m =，且//a b ，那么m =（）A.2B.-2C.6D.-67．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ）A.4B.27D.2 8．方程()234x f x x =+-的零点所在的区间为（）A.()1,0-B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭9．若0a >且1a ≠，则函数()11x f x a-=+的图象一定过点（ ） A.()0,2B.()0,1-C.()1,2D.()1,1- 10．函数()lg(2)32f x x x=++-的定义域是（ ） A.（-2，32] B.（-2，32） C.（-2，＋∞） D.（32，＋∞） 二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知()1cos 2πα+=-，则()cos 3πα+的值为______.12．已知()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()3x f x =，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________. 13．已知函数()x f x e =，若关于x 的不等式2[()]2()0f x f x a --≥在[0，1]上有解，则实数a 的取值范围为______14．请写出一个最小正周期为π，且在()0,1上单调递增的函数()f x =__________15．计算7log 237log 27lg 25lg 47log 1++++=______.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点34,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求()cos απ+的值；（2）若tan 2β=-，求()tan αβ-的值17．已知函数()33x xf x -=+. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若实数m 满足()ln3ln3e e f m -=+，求m 的值.18．若函数21()ax f x bx c+=+是奇函数(,,)a b c ∈N )，且(1)2f =，(2)3f <. (1)求实数a ,b ,c 的值；(2)判断函数()f x 在(,1]-∞-上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.19．已知集合{}2,560|U R A x x x ==-+≤，112B xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭ （1）求,A B ；（2）判断U x A ∈是x B ∈的什么条件20．已知函数()222sin 2cos 6f x x x x R π⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭， （1）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间；（2）若f （x ）在区间3m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为1，求m 的最小值 21．已知tan ,tan αβ 是方程26510x x -+=的两根，且π30,22παπβ<<<<.求：()tan αβ+及αβ+的值.参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、D【解析】利用数形结合可得12m <≤，结合条件可得121=x x ，312x ≤<，423x <≤，且344x x +=，再利用二次函数的性质即得.【详解】由方程()()f x m m =∈R 有四个不同的实数根，得函数()y f x =的图象与直线y m =有四个不同的交点，分别作出函数()y f x =的图象与直线y m =由函数()f x 的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，12m <≤设y m =与|ln()|(0)y x x =-<交点的横坐标为1x ，2x ，设12x x <，则11x <-，210x -<<，由()()12ln ln x x -=-得()()12ln ln x x -=--，所以()()121x x --=，即121=x x设y m =与245(1)y x x x =-+≥的交点的横坐标为3x ，4x ， 设34x x <，则312x ≤<，423x <≤，且344x x +=，所以()()234333424[3,4)x x x x x =-=--+∈，则1234[3,4)x x x x ∈故选：D.2、B【解析】选取AB ，AD 为基向量，将MA ，MB 用基向量表示后，再利用平面向量数量积的运算法则求解数量积MA MB ⋅. 【详解】 3344MA MD DA DM AD DC AD AB AD =+=--=--=--， 3144MB AB AM AB MA AB AB AD AB AD =-=+=--=-， 22313144162MA MB AB AD AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫∴⋅=--⋅-=-++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3164216=-⨯+- 1=-，故选B【点睛】本题考查了平面向量的运算法则以及向量数量积的性质及其运算，属中档题．向量的运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.3、C【解析】根据对数和指数的运算法则逐项计算即可.【详解】3log 232=，故A 错误；2233722(0)a a a a a a ⋅=>⋅=，故B 错误； ()22333333832341⨯-+=-+=-+=，故C 正确； 22191lg 2310044-⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：C.4、B【解析】根据三角函数的性质，依次整体代入检验即可得答案.【详解】解:对于A 选项,当12x π=时,206x π-=,所以,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心,故A 选项正确;对于B 选项,当511,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, 25,2633x πππ⎛⎫ ⎪⎝-⎭∈,此时函数sin y x =在区间325,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故B 选项错误； 对于C 选项，当3x π=时,226x ππ-=，所以()f x 的图像关于3x π=对称，故C 选项正确； 对于D 选项，()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值为max ()213f x =+=，故D 选项正确. 故选：B5、C 【解析】对n 分成0n =和0n ≠两种情况进行分类讨论，结合A B =≠∅求得n 的取值范围.【详解】当0n =时，()()2,00f x x f x x ==⇒=， 此时{}{}0,0,A B A B ===≠∅，符合题意. 当0n ≠时，()()f x x x n =+，由()0f x =解得0x =或x n =-，由()()0f f x =得()0f x =或()f x n =-，其中，()20f x n x nx n =-⇒++=，0和n -都不是这个方程的根，要使A B =≠∅，则需()244004n n n n n ∆=-=-<⇒<<. 综上所述，n 的取值范围是[)0,4.故选：C6、B【解析】根据向量共线的坐标表示，列出关于m 的方程，解得答案.【详解】由向量()1,2a =-，(),4b m =，且//a b ，可得:14(2)0,2m m ⨯--⨯==- ,故选：B7、B【解析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱【详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥11P DCC D -，底面11DCC D 是边长为2的正方形，侧面11PC D ∆是边长为2的正三角形，且侧面11PC D ⊥底面11DCC D根据图形可得四棱锥中的最长棱为1PC 和1PD ，结合所给数据可得1122PC PD ==， 所以该四棱锥的最长棱为22故选B【点睛】在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．熟悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力8、C【解析】分析函数()f x 的单调性，利用零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数2x y =、34y x =-均为R 上的增函数，故函数()f x 在R 上也为增函数，因为()10f -<，()00f <，152022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()110f =>， 由零点存在定理可知，函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C.9、C【解析】令10x -=求出定点的横坐标，即得解.【详解】解：令10,1-=∴=x x .当1x =时，()1111=2f a -=+，所以函数()f x 的图象过点()1,2.故选：C.10、B【解析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解【详解】解：由32020x x ->⎧⎨+>⎩，解得322x -<< ∴函数()(2)f x lg x =++的定义域是3(2,)2- 故选：B【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属于基础题二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、12- 【解析】用诱导公式计算 【详解】1cos()cos 2παα+=-=-，1cos 2α=， 1cos(3)cos 2παα+=-=-故答案为：12-12、123-【解析】根据函数的周期和奇偶性即可求得答案.【详解】因为函数的周期为2的奇函数，所以511222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：13、2(,2]e e -∞-【解析】不等式()()220f x f x a ⎡⎤--≥⎣⎦在[0，1]上有解等价于2[()]2()a f x f x ≤-，令2()2x x g x e e =-(01)x ≤≤，则max ()a g x ≤.【详解】由2[()]2()0f x f x a --≥ 在[0，1]上有解，可得2[()]2()a f x f x ≤-，即22x x a e e ≤-令2()2x x g x e e =-(01)x ≤≤，则max ()a g x ≤，因为01x ≤≤，所以1x e e ≤≤，则当x e e =，即1x =时，2max ()2g x e e =-，即22a e e ≤-，故实数a 的取值范围是2(,2]e e -∞-故答案为(2,2e e ⎤-∞-⎦【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.14、cos2x -或tan x （不唯一）.【解析】根据函数最小正周期为π，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在()0,1上单调递增，构造即可.【详解】解：根据函数最小正周期为π，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在()0,1上单调递增，构造即可，如()cos2f x x =-或tan x 满足题意故答案为：cos2x -或tan x （不唯一）.15、7【解析】根据对数与指数的运算性质计算即可得解.【详解】解：7log 237log 27lg 25lg 47log 1++++()3lg 2542=+⨯+52=+7=.故答案为：7.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）35；（2）-2.【解析】（1）先利用三角函数的坐标定义求出3cos 5α=，再利用诱导公式求解；（2）求出4tan 3α=，再利用差角的正切公式求解.【小问1详解】解：由于角α的终边过点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，由三角函数的定义可得3cos 5α=，则()3cos cos 5απα+=-=-【小问2详解】解：由已知得4tan 3α=， 则()()42tan tan 3tan 281tan tan 13αβαβαβ----===-+- 17、（1）偶函数，理由见详解；（2）1或1-.【解析】（1）根据函数定义域，以及()(),f x f x -的关系，即可判断函数奇偶性； （2）根据()f x 的单调性以及对数运算，即可求得参数m 的值.【小问1详解】偶函数，理由如下：因为()33x xf x -=+，其定义域为R ，关于原点对称； 又()() 33x x f x f x --=+=，故()f x 是偶函数.【小问2详解】()33x x f x -=+在()0,+∞单调递增，在(),0-∞单调递减，证明如下：设120x x <<，故()()11221212121133333333x x x x x x x x f x f x ---=+--=-+- ()121213313x x x x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为120x x <<，故1233x x <，则12330x x -<，又120x x +>，故1231x x +>，则121103x x +->， 故()1212133103x x x x +⎛⎫--< ⎪⎝⎭，则()()12f x f x < 故()f x 在()0,+∞单调递增，又()f x 为偶函数，故()f x 在(),0-∞单调递减； 因为()ln3ln3ee f m -=+()()13113f f =+==-， 又()33x xf x -=+在()0,+∞单调递增，在(),0-∞单调递减， 故1m =或1-.18、 (1)1a =,1b =,0c ；(2)()f x 在(,1]-∞-上为增函数,证明见解析.【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得(1)2f -=-，进而可得12124132a b c a b ca b c +⎧=⎪+⎪+⎪=-⎨-+⎪+⎪<⎪+⎩，解可得a 、b 、c 的值，即可得答案；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可【详解】解：(1)根据题意，函数21()ax f x bx c+=+是奇函数（,a b c ∈N ,），且(1)2f =， 则(1)2f -=-，又由(2)3f <， 则有12124132a b c a b ca b c +⎧=⎪+⎪+⎪=-⎨-+⎪+⎪<⎪+⎩，且a b c ∈N 、、，解得1a =，1b =，0c . (2)由(1)可得：211()x f x x x x+==+，函数()f x 在(,1]-∞-上为增函数 证明：设任意的121x x <≤-，()()()()121212121212111x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又由121x x <≤-，则120x x -<且1210x x ->，120x x >，则有()()120f x f x -<，故函数()f x 在(,1]-∞-上为增函数【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a 、b 、c 的值，属于基础题19、（1）{}|23A x x =≤≤；{2B x x =<或}3x ≥.（2）充分不必要条件【解析】（1）分别解一元二次不等式和分式不等式即可得答案；（2）由题知{2U A x x =<或}3x >，进而根据充分不必要条件判断即可.【小问1详解】解：解不等式2560x x -+≤得23x ≤≤，故{}|23A x x =≤≤； 解不等式()()320113110022220x x x x x x x ⎧--≤-≤⇔-≤⇔≤⇔⎨----≠⎩， 解得2x <或3x ≥，故{2B x x =<或}3x ≥.【小问2详解】解：因为{}|23A x x =≤≤, 所以{2U A x x =<或}3x >，因为{2B x x =<或}3x ≥，所以U x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.20、（1）T π=．, ()536k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， （2）56π 【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果（2）利用正弦型函数的性质的应用求出结果【详解】（1）由题意，函数()()2222121263f x sin x cos x cos x cos x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，=122222cos x cos x x ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭=122222226sin x cos x sin x π⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期：22T ππ== 由()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得()5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 即函数()f x 的单调递减区间是 ()536k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， （2）由（1）知()226f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 因为3x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以22626x m πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 要使f （x ）在区间3m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为1，即26y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间3m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为-1 所以3262m ππ-≥，即56m π≥ 所以m 的最小值为56π 【点睛】本题考查了三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型21、1，54π. 【解析】由韦达定理结合两角和差的正切公式可得()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-.结合所给的角的范围可知2,παβπ<+<则54παβ+=. 试题解析： tan tan αβ、为方程26510x x -+=的两根，51tan tan tan tan 66αβαβ∴+==，， ()5tan tan 6tan 111tan tan 16αβαβαβ++===--. 350,,2,224πππαπβπαβπαβ<<<<∴<+<∴+=. 点睛：三角函数式的化简、求值问题的常用技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化。
上海市虹口区上海外国语大学附属外国语学校2023届高一上数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，或 ，或
因为 ，
所以 .
故选：A
3、B
【解析】 或 ，分类求解 ，根据 可求得 的取值集合
【详解】 或 ，
， ，
或 或 ，解得 或 ，综上 ，
故选：
4、A
【解析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果.
【详解】设与直线 平行的直线方程为 ，
将点 代入直线方程 可得 ，解得
（2） ；
（3）存在，正整数 或2.
【解析】（1）根据 ， ，即可求出 的值，从而可求函数的解析式；
（2）根据函数的奇偶性和单调性由题意可得到 恒成立，然后通过分类讨论，根据二次不等式恒成立问题的解决方法即可求出答案；
（3）设等分点的横坐标为 ， .首先根据 ，可得到函数 的图象关于点 对称，从而可得到 ， ；进而可求出 ；再根据 ，从而只需求 即可.
又f =2，f(6)=log36<2，
故f(x)在区间 值对数型函数的图像和性质，考查数形结合的思想，属于基础题
20、（1） (2)偶函数（3） 在 上是减函数,证明见解析.
【解析】(1)根据对数函数成立的条件即可求函数f(x）的定义域及 的值；
(2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数 的奇偶性;
C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0
5．给定函数：① ；② ；③ ；④ ，其中在区间 上单调递减的函数序号是（）
A.①②B.②③
C.③④D.①④
6．已知集合A={x|－1 ≤x≤2}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）
A.{0，1}B.{－1，0，1}
C.{0，1，2}D.{－1，0，1，2}
2020-2021学年上海市虹口区高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.已知a、b都是实数，那么“a>b”是“a3>b3”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.函数f(x)=4x+12x的图象()A. 关于y轴对称B. 关于x轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y=x对称3.已知全集U=R及集合A={a|14≤22−a<8，且a∈Z}，B={b|b2+3b−10>0，其中b∈R}，则A∩B−的元素个数为()A. 4B. 3C. 2D. 14.已知函数y=2x+x，y=lnx+x，y=lgx+x的零点依次为x1、x2、x3，则x1、x2、x3的大小关系为()A. x1<x2<x3B. x2<x1<x3C. x2<x3<x1D. x1<x3<x25.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2，若对任意的x∈[t,t+2]，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是()A. [√2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,2]D. [−√2,−1]∪[√2,√3]6.若函数y=−|x−a|与y=ax+1在区间[1,2]上都是严格减函数，则实数a的取值范围为()A. (−∞,0)B. (−1,0)∪(0,1]C. (0,1)D. (0,1]二、单空题（本大题共13小题，共39.0分）7.已知集合A={−1,1，2}，B={x|x2+x=0}，则A∩B=．8.不等式x+3x−1≤0的解集为______ ．9.函数f(x)=x+4x ，x∈[12,4]的值域为______ ．10.计算：log2209+2log23−log25+7log72=______ ．11.用“二分法”求方程x3+x−4=0在区间(1,2)内的实根，首先取区间中点x=1.5进行判断，那么下一个取的点是x=．12. 已知条件p ：2k −1≤x ≤1−k ，q ：−3≤x <3，且p 是q 的必要条件，则实数k 的取值范围为______ ．13. 不等式|x +2|+|x −1|≤5的解集为______ ．14. 已知函数f(x)=3x +a 的反函数为y =f −1(x)，若函数y =f −1(x)的图象过点(3,2)，则实数a 的值为______ ．15. 已知函数f(x)=2|x−a|在区间[1,+∞)上是严格增函数，则实数a 的取值范围为______ ．16. 已知集合A ={x||x −m|<m +13，其中x ，m ∈Z ，且m >0}，B ={x||x +13|<2m ，其中x ，m ∈Z ，且m >0}，则A ∩B 的元素个数为______ .(用含正整数m 的式子表示)17. 若集合A ={x|x 2+5x −6=0}，B ={x|ax +3=0,a ∈R}，且B ⊂A ，则满足条件的实数a 的取值集合为______ ．18. 已知函数f(x)={x 2+3x,x ≥03x −x 2,x <0，若f(a 2−3)+f(2a)>0，则实数a 的取值范围为______ ．19. 已知函数y =f(x)是定义在实数集R 上的偶函数，若f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数，且f(2)=0，则不等式f(x)x ≤0的解集为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）20. 已知a 、b 是任意实数，求证：a 4+b 4≥a 3b +ab 3，并指出等号成立的条件．21. 某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m 2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示(图中单位：m)，问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？22. 已知函数y =|2x−3x+1|．(1)作出这个函数的大致图象； (2)讨论关于x 的方程|2x−3x+1|=t 的根的个数．23. 已知函数f(x)=1−6a x+1+a (a >0,a ≠1)是定义在R 上的奇函数．(1)求实数a 的值及函数f(x)的值域；(2)若不等式t ⋅f(x)≥3x −3在x ∈[1,2]上恒成立，求实数t 的取值范围．24. 已知函数f(x)={log 2(1+x)x ≥0log 12(1−x)x <0．(1)判断函数y =f(x)的奇偶性；(2)对任意的实数x 1、x 2，且x 1+x 2>0，求证：f(x 1)+f(x 2)>0；(3)若关于x 的方程[f(x)]2+af(−x)+a −34=0有两个不相等的正根，求实数a取值范围．25.设a是正常数，函数f(x)=log2(√x2+1+ax)满足f(−1)+f(1)=0．(1)求a的值，并判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)是否存在一个正整数M，使得M>f(x)对于任意x∈[1,√3]恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．26.对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间[m,n]是D的一个子集，若存在x0∈(m,n)，使得函数y=f(x)在区间[m,x0]上是严格减函数，在区间[x0,n]上是严格增函数，则称函数y=f(x)在区间[m,n]上具有性质P．(1)若函数y=ax2+bx在区间[0,1]上具有性质P，写出实数a、b所满足的条件；(2)设c是常数，若函数y=x3−cx在区间[1,2]上具有性质P，求实数c的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：若a >b 则a 3>b 3.是真命题，即a >b ⇒a 3>b 3． 若a 3>b 3则a >b.是真命题，即a 3>b 3⇒a >b ． 所以a >b 是a 3>b 3的充要条件． 故选：C ．判断命题的真假：若a >b 则a 3>b 3.是真命题，即a >b ⇒a 3>b 3.若a 3>b 3则a >b.是真命题，即a 3>b 3⇒a >b ．解决判断充要条件问题可以先判断命题的真假，最好用⇒来表示，再转换为是什么样的命题．2.【答案】A【解析】解：因为f(x)=4x +12x═4x2x +12x =2x +2−x ，所以f(−x)=2−x +2x =2x +2−x =f(x)，所以函数f(x)是偶函数，即函数图象关于y 轴对称． 故选A ．将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵A ={a|−2≤2−a <3,a ∈Z}={a|−1<a ≤4,a ∈Z}={0,1，2，3，4}，B ={b|b <−5或b >2}，且U =R ， ∴B −={b|−5≤b ≤2}，A ∩B −={0,1,2}， ∴A ∩B −的元素个数为：3． 故选：B ．可求出集合A ，B ，然后进行交集和补集的运算求出A ∩B −，然后即可得出A ∩B −的元素本题考查了描述法、列举法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：已知函数y=2x+x，y=lnx+x，y=lgx+x的零点依次为x1、x2、x3，y=2x+x=0时，2x=−x，即2x1=−x1，y=lnx+x=0时，lnx=−x，即lnx2=−x2，y=lgx+x=0时，lgx=−x，即lgx3=−x3，在同一坐标系中画出函数y=2x，y=lnx，y=lgx和y=−x的图象，由图象可知，这三个函数的零点依次增大，故x1、x2、x3的大小关系为x1<x3<x2．故选：D．化函数的零点为方程的根，然后在同一坐标系中画出函数y=2x，y=lnx，y=lgx和y=−x的图象，根据图象即可判断x1、x2、x3的大小关系．本题考查函数零点的定义，函数零点就是相应方程的根，考查了数形结合思想，属于基础题．5.【答案】A【解析】本题考查函数单调性的应用，利用单调性处理不等式恒成立问题，属于中档题． 由题意可得2f(x)=f(√2x)，由题意可知f(x)为R 上的增函数，故对任意的x ∈[t,t +2]，不等式f(x +t)≥2f(x)恒成立可转化为x +t ≥√2x 对任意的x ∈[t,t +2]恒成立，求解即可． 【解答】解：当x ≥0时，f(x)=x 2，当x <0时，−x >0，f (−x )=x 2=−f (x )，所以当x <0时，f (x )=−x 2，所以f(x)在R 上单调递增， 对于x ∈R,都有2f (x )=f(√2x)，∴f(x +t)≥2f(x)⇒f (x +t )≥f(√2x)，即x +t ≥√2x ⇒x ≤√2−1=(√2+1)t 对任意的x ∈[t,t +2]恒成立， ∴x max =t +2≤(√2+1)t ⇒t ≥√2， ∴实数t 的取值范围为[√2,+∞); 故选：A ．6.【答案】D【解析】解：因为y =−|x −a|与y =ax+1在区间[1,2]上都是严格减函数， 所以{a ≤1a >0，故0<a ≤1． 故选：D ．结合函数图象的变换及反比例函数与一次函数性质可求． 本题主要考查了基本初等函数单调性的应用，属于基础题．7.【答案】{−1}【解析】 【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 【解答】解：∵A={−1,1，2}，B={−1,0}，∴A∩B={−1}．故答案为：{−1}．8.【答案】[−3,1)【解析】解：x+3x−1≤0⇒(x+3)(x−1)≤0且x−1≠0，解得−3≤x<1，即不等式的解集为[−3,1)，故答案为：[−3,1)．根据题意，原不等式等价于(x+3)(x−1)≤0且x−1≠0，再得到不等式的解集．本题考查分式不等式的解法，注意将分式不等式变形为整式不等式，属于基础题．9.【答案】[4,172]【解析】解：∵f(x)=x+4x 在[12,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增，且f(12)=172,f(2)=4,f(4)=5，∴f(x)在[12,4]上的最大值为172，最小值为4，∴f(x)的值域为[4,172]．故答案为：[4,172]．可看出f(x)在[12,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增，这样即可求出f(x)在[12,4]上的最大值和最小值，从而得出f(x)的值域．本题考查了函数值域的定义及求法，函数f(x)=x+4x的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】4【解析】解：原式=log2(209×9×15)+2=log24+2=2+2=4，故答案为：4．根据对数的运算法则即可求出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．11.【答案】1.25【解析】 【分析】构造函数f(x)=x 3+x −4，确定f(1)，f(2)，f(1.5)的符号，根据零点存在定理，即可得到结论．本题考查二分法，考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题． 【解答】解：设函数f(x)=x 3+x −4，易知函数为增函数，∵f(1)=−2<0，f(2)=6>0，f(1.5)=1.53+1.5−4=0.875>0 ∴下一个有根区间是(1,1.5)， 那么下一个取的点是x =1+1.52=1.25，故答案为：1.25．12.【答案】(−∞,−2]【解析】解：∵条件p ：2k −1≤x ≤1−k ，q ：−3≤x <3，且p 是q 的必要条件， ∴{2k −1≤33≤1−k，解得k ≤−2．则实数k 的取值范围是(−∞,−2]． 故答案为：(−∞,−2]．条件p ：2k −1≤x ≤1−k ，q ：−3≤x <3，根据p 是q 的必要条件，可得{2k −1≤33≤1−k ，解得k 实数k 的取值范围．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】[−3,2]【解析】解：①当x<−2时，不等式可化为−x−2−x+1≤5，∴x≥−3∴−3≤x<−2②当−2≤x≤1时，不等式可化为x+2−x+1≤5，恒成立，−2≤x≤1；③当x>1时，不等式可化为x+2+x−1≤5，x≤2，∴1<x≤2，综上所述：不等式的解集为[−3,2]，故答案为：[−3,2]．对x分3种情况他要论去绝对值．本题考查了绝对值不等式的解法．属中档题．14.【答案】−6【解析】解：∵y=f−1(x)的图象过点(3,2)，∴函数y=f(x)的图象过点(2,3)，又f(x)=3x+a，∴32+a=3，即a=−6．故答案为：−6．由y=f−1(x)的图象过点(3,2)得函数y=f(x)的图象过点(2,3)，把点(2,3)代入y=f(x)的解析式求得a的值．本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础的计算题．15.【答案】(−∞,1]【解析】解：令t(x)=|x−a|，原函数化为y=2t，函数y=2t为增函数，要使函数f(x)=2|x−a|在区间[1,+∞)上是严格增函数，则t=|x−a|在[1,+∞)上单调递增，则a≤1．∴实数a的取值范围为(−∞,1]．故答案为：(−∞,1]．令t(x)=|x−a|，函数y=2t为增函数，问题转化为t=|x−a|在[1,+∞)上单调递增，由此可得a的取值范围．本题考查复合函数的单调性，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，是基础题．16.【答案】2m【解析】解：∵A={x|−13<x<2m+13,x,m∈Z,m>0}，B={x|−2m−13<x<2m−13,x,m∈Z,m>0}，∴A∩B={x|−13<x<2m−13,x,m∈Z,m>0}，∵x，m∈Z，且m>0，∴A∩B={0,1，2，…，2m−1}，∴A∩B元素的个数为：2m．可求出集合A，B，然后进行交集的运算求出A∩B，根据x，m∈Z且m>0即可得出A∩B 的元素个数．本题考查了绝对值不等式的解法，描述法的定义，考查了计算能力，属于基础题．17.【答案】{−3,0,12}【解析】解：由集合A={x|x2+5x−6=0}={1,−6}，∵B⊂A，当B=⌀时，即ax+3=0无解，此时a=0；当B≠⌀时，ax+3=0有解，x=−3a若1=−3a，可得a=−3；若−6=−3a ，可得a=12；∴满足条件的实数a的取值集合为{−3,0，12}.故答案为：{−3,0，12}.根据B⊂A，对B讨论，建立条件关系即可求实数a的取值集合．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．18.【答案】{a|a>1或a<−3}【解析】解：因为f(x)={x 2+3x,x ≥03x −x 2,x <0的图象如图所示，故f(x)为单调递增的奇函数， 若f(a 2−3)+f(2a)>0， 则f(a 2−3)>−f(2a)=f(−2a)， 所以a 2−3>−2a ，即a 2+2a −3>0， 解得，a >1或a <−3．故a 的取值范围{a|a >1或a <−3}． 故答案为：{a|a >1或a <−3}．先利用图象求解函数的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可求解不等式． 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式的求解，属于中档题．19.【答案】(−∞,−2]∪(0，2]【解析】解：因为y =f(x)是定义在实数集R 上的偶函数，f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数，且f(2)=0，所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(−2)=f(2)=0，所以在(−∞,−2]∪[2,+∞)上f(x)≥0，在(−2,0)∪(0,2)上f(x)<0， 因为不等式f(x)x≤0，所以{f(x)≥0x <0或{f(x)≤0x >0，即x =−2或x =2或{x <−2或x >2x <0或{−2<x <0或0<x <2x >0， 解得x ≤−2或0<x ≤2， 即不等式f(x)x≤0的解集为(−∞,−2]∪(0，2]．故答案为：(−∞,−2]∪(0，2]．根据题意可得f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(−2)=0，利用单调性即可得出在(−∞,−2]∪[2,+∞)上f(x)≥0，在(−2,0)∪(0,2)上f(x)<0，将不等式合理转化即可求得解集．本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合，属于中档题．20.【答案】证明：a 4+b 4−a 3b −ab 3=(a 4−a 3b)+(b 4−ab 3)，=a 3(a −b)+b 3(b −a)=(a −b)(a 3−b 3)，=(a −b)2(a 2+ab +b 2)=(a −b)2[(a +12)2+34b 2]≥0， 即a 4+b 4≥a 3b +ab 3， 当且仅当a =b 时，等号成立．【解析】作差，再进行配方，与0比较，即可得到结论． 本题考查了不等式的证明，考查了推理论证能力，属于基础题．21.【答案】解：设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S =(x +6)(8+1200x)−1200=8x +7200x+48≥2√8x ⋅7200x+48=96， 当且仅当8x =7200x，即x =30(m)时取等号，S min =96(m 2)，此时1200x=40(m)，所以矩形停车场的南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，才能使人行通道占地面积最小，最小面积是528m 2．【解析】设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S =(x +6)(8+1200x)−1200=8x +7200x+48，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，体现了转化思想的应用．22.【答案】解：(1)∵y =|2x−3x+1|=|2−5x+1|，首先将y =−5x 的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到y =2−5x+1的图象，最后将y =2−5x+1的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方， 便可得到y =|2x−3x+1|的图象；(2)当t <0时，方程|2x−3x+1|=t 的根的个数为0； 当t =0或t =2时，|2x−3x+1|=t 的根的个数为1；当0<t<2或t>2时，|2x−3x+1|=t的根的个数为2．【解析】(1)把已知函数解析式变形，再由函数图象的平移与翻折变换可得y=|2x−3x+1|的图象；(2)对t分类，数形结合得答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想，是中档题．23.【答案】解：(1)由f(0)=0，解得：a=3，反之a=3时，f(x)=1−63x+1+3=3x−13x+1，f(−x)=−f(x)，符合题意，故a=3，由f(x)=1−23x+1，x→0时，f(x)→−1，x→∞时，f(x)→1，故函数的值域是(−1,1)；(2)f(x)=1−23x+1在x∈[1,2]递增，故f(x)∈[12,35 ]，故t≥(3x−3)⋅3x+13x−1，故t≥[(3x−3)⋅3x+13x−1]max，令3x−1=m，m∈[2,8]，则(3x−3)⋅3x+13x−1=(m−2)⋅m+2m=m−4m随m的增大而增大，最大值是152，故实数t的取值范围是[152,+∞)．【解析】(1)根据函数的奇偶性求出a的值，检验即可；(2)问题转化为t≥[(3x−3)⋅3x+13x−1]max，令3x−1=m，m∈[2,8]，根据函数的单调性求出t的范围即可．本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查函数恒成立，转化思想，是一道中档题．24.【答案】解：(1)f(0)=log 2(1+0)=0．当x >0时，−x <0，有f(−x)=log 12[1−(−x)]=−log 2(1+x)=−f(x)， 即f(−x)=−f(x)．当x <0时，−x >0，有f(−x)=log 2[1+(−x)]=−log 12(1−x)=−f(x)， 即f(−x)=−f(x)．综上，函数f(x)是R 上的奇函数；证明：(2)∵函数y =log 2x 是(0,+∞)上的严格增函数，函数u =1+x 在R 上也是严格增函数，故函数y =log 2(1+x)在[0,+∞)上是严格增函数．由(1)知，函数y =f(x)在R 上为奇函数，由奇函数的单调性可知，y =log 12(1−x) 在(−∞,0)上也是严格增函数，从而y =f(x)在R 上是严格增函数． 由x 1+x 2>0，得x 1>−x 2，∴f(x 1)>f(−x 2)=−f(x 2)， 即f(x 1)+f(x 2)>0；解：(3)由(1)知，y =f(x)是R 上的奇函数，故原方程可化为 [f(x)]2−af(x)+a −34=0．令f(x)=t ，则当x >0时，t =f(x)>0，于是，原方程有两个不等正根等价于： 关于t 的方程t 2−at +(a −34)=0有两个不等的正根．即{△=a 2−4(a −34)>0a >0a −34>0⇔{a <1,或a >3a >0a >34⇔34<a <1或a >3． 因此，实数a 的取值范围是(34,1)∪(3,+∞)．【解析】(1)利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；(2)证明函数y =log 2(1+x)在[0,+∞)上是严格增函数，结合函数的奇偶性可得y =log 12(1−x)在(−∞,0)上也是严格增函数，从而y =f(x)在R 上是严格增函数，由x 1+x 2>0，即可证明f(x 1)+f(x 2)>0；(3)由(1)知，y =f(x)是R 上的奇函数，故原方程可化为[f(x)]2−af(x)+a −34=0，把原方程有两个不等正根转化为关于a 的不等式组求解．本题考查函数奇偶性的判定及应用，考查函数的单调性，考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化思想，是中档题．25.【答案】解：(1)由f(−1)+f(1)=0得：log2(√2−a)+log2(√2+a)=log2(2−a2)= 0，解得：a=±1，∵a>0，∴a=1，f(x)=log2(√x2+1+x)，x∈R，=−log2(√x2+1+x)=−f(x)，又f(−x)=log2(√x2+1−x)=−log√x2+1−x∴f(x)为奇函数；(2)由(1)知：f(x)=log2(√x2+1+x)，x∈R，设任意的x1，x2满足1≤x1<x2≤√3，则有0<x12+1<x22+1，∴0<√x12+1+x1<√x22+1+x2，∴f(x1)=log2(√x12+1+x1)<f(x2)=log2(√x22+1+x2)，∴函数y=f(x)在[1,√3]上单调递增，∴f(x)max=f(√3)=log2(2+√3)，又由M>f(x)对于任意x∈[1,√3]恒成立可得：M>f(x)max=log2(2+√3)，∵M为正整数，∴存在M，且M min=2．【解析】(1)先由f(−1)+f(1)=0求解出a的值，进而求得函数f(x)，再利用函数奇偶性的定义判断其奇偶性即可；(2)先由题设和函数单调性的定义推导出函数f(x)在x∈[1,√3]的单调性，然后利用其单调性求得f(x)的最大值，再由M>f(x)对于任意x∈[1,√3]恒成立求得M的取值范围，进而求得M的最小值即可．本题主要考查函数的奇偶性判断、单调性的定义及单调性在处理恒成立问题中的应用，属于中档题．26.【答案】解：(1)当y=ax2+bx在[0,1]上具有性质P时，由其图象在R上是抛物线，∈(0,1)，故此抛物线开口向上即a>0，且对称轴x=−b2a于是，实数a，b满足的条件−2a<b<0；(2)记f(x)=x3−cx，设x1，x2是区间[1,2]上任意给定的两个实数，总有f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x12+x1x2+x22−c)，若c≤3，当x1<x2时，总有x1−x2<0且x12+x1x2+x22−c>0，故f(x1)−f(x2)<0，因此y=x3−cx在区间[1,2]上单调递增，不符合题意，若c≥12，x1<x2时，总有x1−x2<0且x12+x1x2+x22−c<0，故f(x1)−f(x2)>0，因此y=x3−cx在区间[1,2]上单调递减，不符合题意，若3<c<12，]时，总有x1−x2<0且x12+x1x2+x22−c>0，当x1<x2，且x1，x2∈[1,√c3故f(x1)−f(x2)>0，]上单调递减，因此y=x3−cx在区间[1,√c3,2]时，总有x1−x2<0且x12+x1x2+x22−c<0，当x1<x2，且x1，x2∈[√c3故f(x1)−f(x2)<0，]上单调递增，因此y=x3−cx在区间[1,√c3故3<c<12．综上，c的范围(3,12)【解析】本题以新定义为载体，综合考查了函数性质，考查了逻辑推理的能力，体现了分类讨论思想的应用．∈(0,1)，从而可求，(1)由题意得，抛物线开口向上即a>0，且对称轴x=−b2a(2)利用作差法f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x12+x1x2+x22−c)，结合x的范围对c的范围分类讨论，结合已知新定义可求．。
上海市虹口高级中学2025届高一数学第一学期期末检测试题含解析
15．对数函数 f x loga x （ a 0 且 a 1）的图象经过点 4, 2 ，则此函数的解析式 f x ________
16．已知函数
①
______；
②函数 与函数
，二者图象有______个交点
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．已知函数 f x ex 1 aex
（1）若 f x 是偶函数，求 a 值；
（2）若对任意 x 0, ，不等式 f x a 1恒成立，求 a 的取值范围
的 20．已知集合 A x x2 x 0 ，记函数 f (x) 1ax2 (a 0)的定义域为集合 B.
（1）当 a=1 时，求 A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.
【解析】分别判断 a, b, c 与 0,1 等的大小关系判断即可.
【详解】因为1.50.2 1.50 1 .故 a 1.又 log0.2 1.5 log0.2 1 0 ,故 b 0 .又 0 0.21.5 0.20 1,故 0 c 1.所以
a c b.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据指对幂函数的单调性判断函数值大小的问题,属于基础题.
所以可知错误的是 C．由折线图可看出乙的波动比甲大，所以甲更稳定.
故选 C
4、C
【解析】由补集的概念，得 AB 0, 2,6,10，故选 C
【考点】集合的补集运算 【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地， 对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性， 进行合理转化 5、B 【解析】利用函数奇偶性的定义可判断 A、B、C 选项中各函数的奇偶性，利用特殊值法可判断 D 选项中函数的奇偶 性.
2020_2021学年上海虹口区高一上学期期末数学试卷(答案版)
2020~2021学年上海虹口区高一上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.【答案】【解析】【踩分点】已知集合，，则 ．∵集合，．∴．2.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集为 ．不等式可化为，或，解得，或，∴原不等式的解集为：．3.【答案】【解析】【踩分点】函数，的值域为 ．由双勾函数性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，又∵，，，∴函数，的值域是．4.【答案】【解析】【踩分点】计算： ．．5.【答案】【解析】【踩分点】用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是 ．设函数，易知函数为增函数，∵，，，∴下一个有根区间是，那么下一个取的点是．故答案为：．6.【答案】【解析】已知条件，，且是的必要条件，则实数的取值范围为 ．∵条件：，：，且是的必要条件，∴，解得，则实数的取值范围是．【踩分点】故答案为︰．7.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集为 ．①当时，不等式可化为，∴，∴；②当时，不等式可化为，恒成立，；③当时，不等式可化为，，∴，综上所述：不等式的解集为．故答案为∶．8.【答案】【解析】【踩分点】已知函数的反函数为，若函数的图象过点，则实数的值为 ．的反函数为，∵函数的图象经过点，∴函数的图象经过点，∴，解得．故答案为：．9.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ．【答案】【解析】【踩分点】令，原函数化为，函数为增函数，要使函数在区间上是增函数，则在上单调递增，则．∴实数的取值范围为．故答案为：．10.【答案】【解析】【踩分点】，其中，，且，，其中，，且，则的元素个数为 ．（用含正整数的式子表示）∵，，∴，∵，，且，∴，∴元素的个数为：．11.【答案】【解析】若集合，，且，则满足条件的实数的取值集合为 ．，解得或，则，【踩分点】①时，，此时满足条件；②时，要满足，则或，解得或，综上所述，实数的取值集合为．12.【答案】【解析】【踩分点】已知函数，若，则实数的取值范围为 ．函数的图象如图所示，当时，，，当时，，，所以在上单调递增，且，，所以，所以是奇函数，若，则相当于，相当于，即，得或，所以的取值范围是．13.已知函数是定义在实数集上的偶函数，若在区间上是增函数，且，则不等式的解集为 ．【答案】【解析】【踩分点】因为是定义在实数集上的偶函数，在区间上是增函数，且，所以在上单调递减，且，所以在上，在上．因为不等式，所以或，即或或或，解得或，即不等式的解集为．故答案为：．或或二、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）14.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）．C ∵函数在上单调递增，则当时，有，故充分性成立，当，即时，有，故必要性成立，∴“”是“”的充要条件．故选．15.A.关于轴对称B.关于轴对称函数的图象的对称性为（ ）．C.关于原点对称D.关于直线对称【答案】【解析】B 因为，定义域为，且，所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．故选．16.A.B. C. D.【答案】【解析】已知全集及集合，，则的元素个数为（ ）．B 集合，集合，则，所以，含个元素．故选．且其中且且或17.A.B. C. D.【答案】【解析】已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（ ）．D 已知函数，，的零点依次为、、，当时，，即；当时，，即；当时，，即．在同一平面直角坐标系中分别作出函数，，，的图象，如图：由图知．故选．18.A. B.C.D.【答案】【解析】设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）．A（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为，则恒成立，排除项，同理再验证时，恒成立，排除项，时，不成立，故排除项．故选：．19.A.B.C.D.【答案】【解析】若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ）．D 对于函数，时，为减函数，时，为增函数，故应有．对于函数，显然不为，对比函数可知，时，在上为减函数，时，在上为增函数，因此．故选．三、解答题（本大题共5小题，共50分）20.【答案】【解析】【踩分点】已知，是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件．证明见解析，时，等号成立．证明：因故，即．当且仅当时，等号成立．21.【答案】【解析】某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道．设计要求停车场外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如图所示（图中单位：）．问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？北南停车场设计矩形停车场南北侧边长为，其东西侧边长为，人行通道占地面积最小，最小面积是．设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，【踩分点】人行通道占地面积为，由均值不等式，得 ，当且仅当，即时，，此时．所以，设计矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，人行通道占地面积最小．22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知函数．作出这个函数的大致图象．讨论关于的方程的根的个数．图象见解析．当时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为．，故先将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，最后将函数的图象轴下方部分翻折到轴上方，即可得到函数的大致图象．–8–6–4–22468–22468当时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为．23.24.（1）（2）（3）（1）（2）【答案】已知函数．判断函数的奇偶性．对任意的实数，，且，求证：．若关于的方程有两个不相等的正根，求实数的取值范围．奇函数．证明见解析．（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知函数是定义在上的奇函数．求实数的值及函数的值域．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．，函数的值域是．实数的取值范围是：．由，解得：，反之时，，，符合题意，故，由，时，，时，，故函数的值域是．在递增，故，故，故，令，，则随的增大而增大，最大值是，故实数的取值范围是：．（3）（1）（2）（3）【解析】．因为，当时，，所以，即．当时，，，即．综上知，是奇函数．因为是单调递增函数，也是单调递增函数，由复合函数的单调性，知在上是单调递增函数．由（）知是上的奇函数．由奇函数的单调性知当时是单调递增函数，从而是定义在上的单调递增的奇函数．由，得，所以，即．由（）知函数是上的奇函数，故原方程可化为．令，则当时，，于是，原方程有两个不相等的正根等价于：关于的方程有两个不相等的正根，即【踩分点】或，因此实数的取值范围为．或25.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】设是正常数，函数满足．求的值，并判断函数的奇偶性．是否存在一个正整数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．；奇函数．存在；．由，得，即，注意到，解得．于是，对于任意实数，均有，即恒成立，故的定义域为．在中任取一个实数，都有，并且，故，因此是奇函数．设、是区间上任意给定实数，且，易知，故，因在上是严格增函数，故，【踩分点】从而在上是严格增函数，此时函数的最大值为．由对于任意恒成立，得，又是正整数，因此的最小值为．四、附加题26.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】对于定义在上的函数，设区间是的一个子集．若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质．若函数在区间上具有性质，写出实数，所满足的条件．设是常数，若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围．．．当函数在区间上具有性质时，由其图象在上是抛物线，故此抛物线的开口向上（即)，且对称轴是；于是，实数，所满足的条件为：．记．设，是区间上任意给定的两个实数，总有．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．若，当且，时，总有且，故，因此在区间上是考查严格减函数；当且，时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数．【踩分点】。
2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，且f(3)=2，则f(2021)=()A. 2B. 1C. 0D. −23.已知集合A={−3,−2,−1,0,1,2,3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=()A. {−3,−2,2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,2}D. {−3,3}4.函数f(x)=2lnx+x−2的零点所在的大致区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是()A. y=x+1B. y=−x2+1C. y=|x|+1D. y=1−1x6.已知y=f(x)是偶函数，且在区间(0,+∞)上是增函数，则f(−4)、f(π)、f(−1)的大小关系是()A. f(π)>f(−1)>f(−4)B. f(−1)>f(−4)>f(π)C. f(−4)>f(π)>f(−1)D. f(−4)>f(−1)>f(π)二、单空题（本大题共13小题，共39.0分）7.集合M={x|0<x≤3}，N={x∈N|0≤x−1≤1}，则M∩N=______ ．>0的解集是______ ．8.不等式(x+1)(x−5)x−29.函数f(x)=1g(3x−1)的定义域为______．10.计算：log32log83=______11.若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：则方程x3+x2−2x−2=0的一个近似解(精确度0.04)为12. 已知α，β为三角形的内角，则“α>β”是“sinα>sinβ”的______ 条件(填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”)．13. 如果存在实数x使不等式|x+1|−|x−2|<k成立，则实数k的取值范围是______ ．14. 已知函数f(x)=2+log a(x+1)(a>0，且a≠1).若y=f(x)的反函数的图象经过点(1,2)，则a=______ ．15. 函数y=log0.5(2x2−ax+5)在区间[−1,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是______．16. 已知集合A={x|x2−x−2≤0}，集合B={x|1<x≤3}，则A∩B=．17. 集合{x,y,z}的子集个数为______．18. y=x|x|+3的单调增区间是______ ．x)为奇函数，则a=______．19. 若函数f(x)=x(log2(2x+a)−12三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）|+|x−a|(a>0)．20. 设函数f(x)=|x+6a(Ⅰ)证明：f(x)≥2√6；(Ⅱ)若f(3)<7，求a的取值范围．21. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知．(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)若，求的取值范围．22. 已知函数f(x)=x2−4x+a+3，a∈R(1)若函数y=f(x)在[−1,1]上存在零点，求a的取值范围；(2)设函数g(x)=bx+5−2b，b∈R，当a=0时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使得f(x1)=g(x2)，求b的取值范围．23. 设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R)，(1)若f(−1)=0，且对于任意的x，f(x)≥0恒成立，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[−2,2]时，g(x)=f(x)−kx是单调函数，求实数k的取值范围．24. 已知方程x2+(m−3)x+m=0的两个根都是正数，求实数m的取值范围．25. 设f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=lg(x2−ax+10)，a∈R．(1)若f(1)=1，求f(x)的解析式；(2)若a=0，不等式f(k⋅2x)+f(4x+k+1)>0恒成立，求实数k的取值范围；(3)若f(x)的值域为R，求a的取值范围．26. 已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数．(Ⅰ)若当x≥0时f(x)=x3+x+1，求当x<0时f(x)表达式；(Ⅱ)若函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，求满足f(x2+2x+3)>f(−x2−4x−5)的x的集合．参考答案及解析1.答案：B解析：解：若数列{a n}为常数列，则设a n=a，所以S n=na，于是S1=a1=a，S n+1−S n=a，所以{S n}为等差数列，所以“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要条件；若数列{S n}为等差数列，设公差为d，则S n=S1+(n−1)d，于是a1=S1，a n+1=S n+1−S n=(S1+nd)−(S1+(n−1)d)=d，当a1=S1≠d时，数列{a n}不是常数列，所以，“数列{S n}为等差数列”不是“数列{a n}为常数列”的充分条件；综上所述，“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要不充分条件．故选：B．求出数列的通项公式，利用等差数列的定义及充分条件和必要条件概念进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的基本概念，考查了等差数列的基本性质，属于基础题．2.答案：D解析：解：根据题意，f(x)是奇函数，且f(1−x)=f(1+x)，则有f(1−x)=f(1+x)=−f(x−1)，f(0)=0，则f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，故f(2021)=f(1+2020)=f(1)，则有f(3)=f(−1)=−f(1)=2，变形可得f(1)=−2，故f(2021)=−2；故选：D．根据题意，分析可得f(x)是周期为4的周期函数，则有f(2021)=f(1)，由奇偶性求出f(1)的值，即可得答案．本题考查抽象函数的求值，涉及函数周期性的判断，属于基础题．3.答案：A解析：解：∵A={−3,−2,−1,0,1,2,3}，B={x|x≤−2或x≥2}，∴A∩B={−3,−2,2,3}．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：由函数的解析式先判断单调性，再根据函数的零点的判定定理，函数f(x)=2lnx+x−2的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．解：易知函数f(x)=2lnx+x−2是(0,+∞)上的增函数，f(1)=1−2=−1<0，f(2)=2ln2+2−2=2ln2>0，故f(1)⋅f(2)<0，且f(x)在(0,+∞)上连续，故函数f(x)=2lnx+x−2的零点所在的大致区间为(1,2)，故选：B．5.答案：C解析：解：A、y=x+1是非奇非偶函数，A不满足条件；B、y=−x2+1是偶函数，在(0,+∞)上是减函数，B不满足条件；C、y=|x|+1是定义域R上的偶函数，且在(0,+∞)上是增函数，C满足条件；D、y=1−1是非奇非偶的函数，D不满足条件；x故选：C．根据基本初等函数的单调性、奇偶性，逐一分析答案中函数在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，可得答案．本题考查了函数的奇偶性与单调性，熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．6.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．由函数的奇偶性可得f(−4)=f(4)，f(−1)=f(1)，再由单调性可作出判断．解：∵y=f(x)是偶函数，∴f(−4)=f(4)，f(−1)=f(1)，又∵函数在区间(0,+∞)上是增函数，∴f(4)>f(π)>f(1)，∴f(−4)>f(π)>f(−1)，故选：C．7.答案：{1,2}解析：解：∵M={x|0<x≤3}，N={x∈N|0≤x−1≤1}={x∈N|1≤x≤2}={1,2}，∴M∩N={1,2}．故答案为：{1,2}求出N中不等式解集的自然数解确定出N，找出M与N的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8.答案：{x|x>5或−1<x<2}解析：解：原不等式可转化为(x+1)(x−2)(x−5)>0，结合高次不等式的求解得，x>5或−1<x<2．故原不等式的解集{x|x>5或−1<x<2}．故答案为：{x|x>5或−1<x<2}．把已知分式不等式直接转化为高次不等式，然后结合数轴标根法可求．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用，属于基础题．9.答案：(0,+∞)解析：解：要使f(x)有意义，则3x−1>0；∴x>0；∴f(x)的定义域为(0,+∞)．故答案为：(0,+∞)．可看出，要使得函数f(x)有意义，则需满足3x−1>0，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，指数函数的单调性．10.答案：13。
2023-2024学年上海市高一上册期末数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题一、填空题1．设全集{1,0,1,2,3}U =-，若集合{1,0,2}A =-，则A =________【正确答案】{1,3}直接利用补集定义进行运算即可.【详解】因为全集{1,0,1,2,3}U =-，若集合{1,0,2}A =-，所以A ={}1,3.故答案为.{1,3}2．已知扇形的弧长是6，圆心角是2弧度，则该扇形的半径是___________.【正确答案】3【分析】结合扇形弧长公式可直接求解.【详解】由632ll r r αα=⋅⇒===.故33．函数9(0)y x x x=+>的最小值是_____.【正确答案】6【分析】利用基本不等式即可求得答案.【详解】由题意可知0x >，故96y x x =+≥=，当且仅当=3x 时取等号，即函数9(0)y x x x=+>的最小值是6，故6.4．化简()()cos 20cos 20sin 200sin 20αα︒-︒+︒-︒，得其结果为__．【正确答案】cos α【分析】利用诱导公式和余弦的两角和公式化简即可.【详解】()()cos 20cos 20sin 200sin 20αα︒-︒+︒-︒()()()cos 20cos 20sin 18020sin 20αα=︒-︒+︒+︒-︒()()cos 20cos 20sin 20sin 20αα=︒-︒-︒-︒()cos 2020α=︒+-︒⎡⎤⎣⎦cos α=故cos α5．终边在x 轴上角的集合为_________【正确答案】{},k k Z ααπ=∈【分析】根据终边在x 轴上角的特点进行求解即可.【详解】当角α终边在x 轴正半轴上时，()2k k Z απ=∈，当角α终边在x 轴负半轴上时，2(21)()k k k Z απππ=+=+∈，因此终边在x 轴上角的集合为：{},k k Z ααπ=∈，故{},k k Z ααπ=∈6．已知()3πsin π,,052αα⎛⎫+=∈- ⎪⎝⎭，则tan α=__．【正确答案】34-##-0.75【分析】根据三角函数诱导公式和同角三角函数关系求解即可.【详解】()3πsin πsin ,,052ααα⎛⎫+=-=∈- ⎪⎝⎭，所以34sin ,cos 55αα=-=，所以sin 3tan cos 4ααα==-.故答案为.34-7．若函数()f x =_______________．【正确答案】[2,2]-【详解】因为函数()f x =0,a =函数()f x =2820x -≥解得22,x -≤≤故函数的定义域为[]2,2-.为[]2,2-.8．已知(){}21|lg 2,|2xA x y x xB y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==--==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，那么A B = __．【正确答案】(2,)+∞【分析】先化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.【详解】解：因为(){}21|lg 2(,1)(2,),|(0,)2xA x y x xB y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==--=-∞-+∞===+∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭ ，所以(2,)A B =+∞ .故答案为.(2,)+∞9．在ABC ∆中，若2sin sin cos2AB C =，则ABC ∆是__________三角形．【正确答案】等腰【详解】由题意得1cos sin sin 2AB C +=，即sin sin 1cos cos B C C B =-，得() cos 1C B -=，∵,C B 为三角形的内角，∴B C =，即ABC ∆是等腰三角形，故答案为等腰.10．已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22xy +的取值范围是_____.【正确答案】1[,1]2【详解】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即0,0x y ≥≥，1x y +=表示线段，那么22x y +的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.11．若函数()()()33,0,0x x a x f x a x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩在(),x ∈-∞+∞上为严格增函数，则实数a 的取值范围是__．【正确答案】41,3⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据增函数的定义及所给条件列出关于实数a 的不等式组，解之即可求得实数a 的取值范围.【详解】函数()()()33,0,0x x a x f x a x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩在(),x ∈-∞+∞上为严格增函数，可得1331a a >⎧⎨-≤⎩，解得413a <≤，故实数a 的取值范围为41,3⎛⎤⎥⎝⎦，故41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦12．设命题:p 函数()21lg 16f x ax x a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的值域为R ；命题:q 不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立，若命题p 和q 不全为真命题，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】(,0)(2,)-∞+∞ 【分析】根据对数型复合函数值域可知()0,∞+是2116y ax x a =-+的值域的子集，根据二次函数图象分析可得不等关系，求得命题p 为真时，02a ≤≤；利用换元法将39x x a -<转化为()21a t t t >->，求解2t t -的最值可求得命题q 为真时，0a ≥；求出当,p q 全为真时a 的范围，取补集得到结果.【详解】若命题p 为真，即()21lg 16f x ax x a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭值域为R 当0a =时，0x ->，解得：0x <，满足题意当0a ≠时，201104a a >⎧⎪⎨∆=-≥⎪⎩，解得：02a <≤综上所述：若命题p 为真，则02a ≤≤若命题q 为真，即不等式39x x a -<对()0,x ∈+∞恒成立令31x t =>，则2a t t >-1t >Q 2110t t ∴-<-=0a ∴≥即若命题q 为真，则0a ≥∴当命题,p q 全为真命题时，02a ≤≤ 命题,p q 不全为真命题a ∴的取值范围为：()(),02,-∞+∞ 故答案为()(),02,-∞+∞ 本题考查根据命题的真假性求解参数范围，涉及到根据对数型复合函数的值域求解参数范围、不等式恒成立问题的求解等知识.二、单选题13．“1x >”是“21x >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据函数单调性得到1x >时，221x >>，解21x >得到0x >，从而判断出结论.【详解】因为2x y =在R 上单调递增，故当1x >时，221x >>，充分性成立，21x >，解得：0x >，其中0x >⇒1x >，故必要性不成立，所以“1x >”是“21x >”的充分而不必要条件.故选：A14．已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边位置在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】B【分析】由P 所在的象限有tan 0,cos 0αα<<，即可判断α所在的象限.【详解】因为点()tan ,cos P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<<，由tan 0α<，可得角α的终边在第二、四象限，由cos 0α<，可得角α的终边在第二、三象限或x 轴非正半轴上，所以角α终边位置在第二象限，故选：B.15．设π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+的一个可能值是（）A ．42B ．1C ．2π7D ．23【正确答案】A【分析】利用辅助角公式化简sin cos θθ+，结合三角函数值域的求法确定正确答案.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πsin cos sin 4θθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由于θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444，所以(ππsin 424θθ⎛⎤⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎦，所以A 选项符合，BCD 选项不符合.故选：A.16．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，(1)3f -=，且当0x ≥时，()2xf x x c =++(c 是常数)，则不等式1()6f x―<的解集是A ．(31)-，B ．(23)-，C ．(22)-，D ．(1,3)-【正确答案】D【分析】先根据(1)3f -=以及奇偶性计算c 的值，然后根据奇偶性和单调性解不等式.【详解】因为()f x 是偶函数，所以()()113f f -==，所以()133f c =+=，所以0c =；又因为[)0,x ∈+∞时()2xf x x =+是增函数且()22226f =+=，所以(),0x ∈-∞时()f x 是减函数且()()226f f -==；所以212x -<-<，解得：()1,3x ∈-，故选D.本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，难度一般.对于利用奇偶性、单调性解不等式的问题，除了可以直接分析外，还可以利用函数图象分析.三、解答题17．设集合21{|2},|12x A xx a B x x -⎧⎫=-<=<⎨⎬+⎩⎭‖（1）求集合A 、B（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围【正确答案】（1）(2,2),(2,3)A a a B =-+=-；（2）[0,1]【分析】（1）直接解不等式得到集合,A B .（2）根据A B ⊆得到不等式2322a a +≤⎧⎨-≥-⎩计算得到答案.【详解】（1）{}{}222A x x a x a x a =-<=-<<+，{}213102322x x B x B x B x x x x ⎧⎫⎧⎫--=<==<==-<<⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭（2）A B ⊆，则满足2322a a +≤⎧⎨-≥-⎩解得01a ≤≤本题考查了求集合，根据集合关系求参数，意在考查学生的计算能力.18．已知幂函数213()(22)m f x m m x -=-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的定义域、值域；(3)判断()f x 的奇偶性.【正确答案】(1)2()f x x -=(2)定义域为()(),00,∞-+∞U ，值域为(0,)+∞(3)偶函数【分析】（1）根据幂函数的定义运算求解；（2）根据幂函数解析式求定义域和值域；（3）根据偶函数的定义分析证明.【详解】（1）函数213()(22)m f x m m x -=-+为幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，则13132m -=-=-，所以函数2()f x x -=；（2）221()f x x x-==，令20x ≠，解得0x ≠故函数2()f x x -=的定义域为(,0)(0,)A =-∞+∞ ，∵20x >，则21()0f x x =>，故函数2()f x x -=的值域为(0,)+∞；（3）任取x A ∈，22()()()f x x x f x ---=-==，所以函数()f x 是定义域上的偶函数．19．已知(,)2παπ∈，且sin cos 223αα+=．（1）求cos α的值；（2）若3sin()5αβ+=-，(0,2πβ∈，求sin β的值.【正确答案】（1）（2【详解】试题分析：（1）将sincos223αα+=两边平方可求得1sin 3α=，根据(,)2παπ∈判断出cos α的符号，再根据同角三角函数的平方关系可得cos α的值；（2）由(,)2παπ∈，(0,)2πβ∈，3sin()5αβ+=-可得得4cos()5αβ+=-，利用两角和的正弦公式可得[]sin sin ()βαβα=+-的值.试题解析：（1）∵sin cos223αα+=，∴412sincos223αα+=，1sin 3α=．因为(,)2παπ∈，所以cos α===（2）∵(,)2παπ∈，(0,)2πβ∈，∴3(,)22ππαβ+∈．又3sin()5αβ+=-，得4cos()5αβ+=-，[]sin sin ()βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+341()(()553=-⨯---⨯415=．1、正弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系；2、两角和的正弦公式.20．已知函数1()22(x x f x a a --=⋅+为常数，R)x ∈为偶函数．(1)求a 的值；并用定义证明()f x 在[0,)+∞上是严格增函数；(2)解不等式：(2log 1)(log 1)a a f x f x ->+．【正确答案】(1)2a =，证明见解析(2)(0,1)(4,)∞⋃+【分析】（1）根据()f x 为偶函数，由(1)(1)f f =-，求得2a =，再利用单调性的定义证明其单调性；（2）根据()f x 为偶函数，得到22(|2log 1|)(|log 1|)f x f x ->+，再根据()22x x f x -=+在[0,)+∞上严格增，得到所22|2log 1||log 1|x x ->+求解.【详解】（1）解：因为()f x 为偶函数，所以(1)(1)f f =-，即11224a a +=+，解得2a =，故()22x x f x -=+，则()22()x x f x f x --=+=且定义域为R ，满足题设；任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则11221212121()()2222(22)(1)2x x x x x x x x f x f x --+-=+--=--，因为12x x <，所以12220x x -<，因为12,[0,)x x ∈+∞，所以121102x x +->，所以12())0(f x f x -<，所以12()()f x f x <，所以()22x x f x -=+在[0,)+∞上是严格增函数．（2）因为()f x 为偶函数，2a =，所以不等式(2log 1)(log 1)a a f x f x ->+，即为22(|2log 1|)(|log 1|)f x f x ->+，因为()22x x f x -=+在[0,)+∞上严格增，所以22|2log 1||log 1|x x ->+，两边平方，得222log 2log 0x x ->，解得2log 0x <或2log 2x >，所以01x <<或>4x ，故解集为(0,1)(4,)∞⋃+．21．若函数()f x 满足:对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数()21f x x =与()122f x x =是否是“L 函数”；（2）若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()12,2N *k kx k -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．【正确答案】（1）21()f x x =是“L 函数”.2()f x =不是“L 函数”.（2）[11]-，（3）见解析【详解】试题分析：利用“L 函数”的定义判断函数21()f x x =符合要求，而2()f x =要求（只需举一个反例说明）；函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，则()g x 满足“L 函数”的定义，当0,0t s >>时，()0,()0,()()()g s g t g s g t g s t >>+<+成立；根据要求可以求出a 的范围；令s t =得(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k kk kk k f sf s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅> ，()()12,2N *k kx k -∈∈,则()112,2kk x--∈，利用(1)1f =，借助()()()1122k k f x f x f -->-+及()111122kk f f f x x --⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助不等关系证明.试题解析：（1）对于函数()21f x x =，当0,0t s >>时，()()22110,0f t t f s s =>=>，又()()()()22211120f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以()()()111f s f t f s t +<+，故()21f x x=是“L 函数”.对于函数()2f x =，当1t s ==时，()()()2222f t f s f t s +=>+，故()2f x =不是“L 函数”.（2）当0,0t s >>时，由()()3131x xg x a -=-+-是“L 函数”，可知()()31310t t g t a -=-+->，即()()3130t ta -->对一切正数t 恒成立，又310t ->，可得3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤．由()()()g t g s g t s +<+，可得()+333133310s ts t s t s t a ------++--+>，故()()()31313+0s t s ta +-->，又()()31310t s -->，故3+0s t a +>，由3+0s t a +>对一切正数,s t 恒成立，可得10a +≥，即1a ≥-．综上可知，a 的取值范围是[]11-，．（3）由函数()f x 为“L 函数”，可知对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知()()22f s f s >，即()()22f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k kk kk k f sf s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅> ，对任意()()12,2N *k kx k -∈∈，可得()112,2kk x--∈，又()11f =，所以()()()()()111122222122k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>，同理()()()11111112222212k k k k k f f f f f x x x -----⎛⎫⎛⎫<--<≤=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()1f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭22x x -．本题为自定义信息题，根据题目所提供的信息，要严格遵循“L 函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“L 函数”的定义，说明是“L 函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数()g x 是“L 函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.。
2023届上海市虹口中学高一上数学期末复习检测试题含解析
因为 当且仅当 时取等号,所以 ，
因为 ,所以 .
故选：C.
【点睛】对于不等式任意或存在性问题，一般转化为对应函数最值大小关系，即 ； ，
10、D
【解析】利用全称量词命题的否定变换形式即可求解.
【详解】 的否定是 ， 的否定是 ，
故“ ， ”的否定是“ ， ”，
【详解】(1) ，
，
（2）， ,
，
，
当 时，当且仅当 时， 取最小值 ，解得 ；
当 时，当且仅当 时， 取最小值 ，解得 （舍）；
当 时，当且仅当 时， 取最小值 ，解得 （舍去），
综上所述， .
【点睛】本题主要考查求平面向量的数量积，向量的模，以及由函数的最值求参数的问题，熟记平面向量数量积的坐标表示，向量模的坐标表示，以及三角函数的性质即可，属于常考题型.
【解析】 详解】若A′C⊥BD，又BD⊥CD，
则BD⊥平面A′CD，则BD⊥A′D，显然不可能，故(1)错误.
因为BA′⊥A′D，BA′⊥CD，故BA′⊥平面A′CD，
所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C=90°，故(2)正确.
因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，
所以CD⊥平面A′BD，CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D，
对于D， 的定义域为 ，而 的定义域是R，两个的数的定义域不相同，所以不是同一个函数.
故选：B.
3、B
【解析】本题首先可以通过图像得出函数的周期，然后通过函数周期得出 的值，再然后通过函数过点 求出 的值，最后将 带入函数解析式即可得出结果
【详解】因为由图像可知 ，解得 ，
所以 ， ，
因为由图像可知函数过点 ，
2022-2023年上海市虹口区高一数学上学期期末试卷及答案
2022-2023年上海市虹口区高一数学上学期期末试卷及答案一、积累应用 19分1. 按要求填空。
（1）___________，到中流击水，浪遏飞舟？（毛泽东《沁园春·长沙》）（2）___________，失向来之烟霞。
（李白《梦游天姥吟留别》）（3）___________，渚清沙白鸟飞回。
（杜甫《登高》）（4）江山如画，___________。
（苏轼《念奴娇·赤壁怀古》）（5）蟹六跪而二螯，非蛇鳝之穴无可寄托者，___________。
（《荀子·劝学》）（6）___________，而卒莫消长也。
（苏轼《赤壁赋》）【答案】①. 曾记否②. 惟觉时之枕席③. 风急天高猿啸哀④. 一时多少豪杰⑤. 用心躁也⑥. 盈虚者如彼2. 按要求选择。
（1）学校诗社刚成立，李老师想送给社员们一副对联表示鼓励和期望，以下选项中最合适的一联是（）A. 男儿志兮天下事，但有进兮不有止。
B. 借问别来太瘦生，总为从前作诗苦。
C. 别裁伪体亲风雅，转益多师是汝师。
D. 十岁裁诗走马成，冷灰残烛动离情。
（2）将下列编号的语句依次填入语段空白处，语意连贯的一项是（）为更好发挥政府投资资金对社会投资的引导带动作用，应针对不同领域的具体特征选择适宜的政府投资方式。
_______，_______，_______，_______。
在外部性领域，因为某些产业存在一定的外部性，需要政府采取投资补助等方式，有效引导市场投资。
①无法形成有效市场或市场机制不充分②市场失灵主要体现为公共产品的受益者不可识别或可识别度低③需要政府履行全部或部分公共投资的职能④在公共产品领域A. ②④①③B. ④②③①C. ④②①③D. ②④①③【答案】（1）C （2）C3. 写出下列加点词在句中的意思。
（1）声非加疾也，而闻者彰（《劝学》）（2）假舆马者，非利足也，而致千里（《劝学》）（3）巫医乐师百工之人，君子不齿（《师说》）（4）余嘉其能行古道（《师说》）（5）凌万顷之茫然（《赤壁赋》）（6）方其破荆州，下江陵（《赤壁赋》）（7）其远古刻尽漫失（《登泰山记》）【答案】（1）清楚（2）到达（3）并列，排列（4）赞许（5）越过（6）攻占（7）模糊4. 以下是虚词“以”的部分义项，请从下列选项中分别为其选择恰当的例句。
2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题5(含解析)
2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题一、填空题1．若一个幂函数的图像过点()27,3，则该函数的表达式为______．【正确答案】13y x =【分析】设幂函数为y x α=，代入点的坐标即可求出结果.【详解】设幂函数为y x α=，则273=α，即13α=，所以该函数的表达式为13y x =，故答案为.13y x =2．终边在直线y x =上的角α构成的集合可以表示为_________.【正确答案】,4k k Z παπ=+∈【分析】写出终边落在直线y x =上且在第一、三象限的角的集合，即可得到结果．【详解】∵角α的终边在直线y x =上，∴角α的终边在一、三象限的角平分线上，∴,4k k Z παπ=+∈．故,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．3．化简：sin()cos cos()sin αβααβα+-+=______.【正确答案】sin β【分析】根据两角差的正弦函数的公式，化简运算，即可求解.【详解】由题意，根据两角差的正弦函数的公式，可得sin()cos cos()sin sin[()]sin αβααβααβαβ+-+=+-=.故答案为sin β.本题主要考查了两角差的正弦函数的公式的化简、运算，其中解答中熟记两角和与差的三角恒等变换的公式是简单的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．已知5614a =，试用a 表示7log 56为______.【正确答案】231a -【分析】指对互化可得a ，由换底公式可得7log 2，由77log 5613log 2=+可得答案.【详解】因为5614a =，所以775677log 14log 21log 14log 563log 21+===+a ，可得71log 231-=-a a ，()77712log 56log 7813log 2133131-=⨯=+=+⨯=--a a a .故答案为.231a -5．函数()2lg 43y mx mx m =-++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.【正确答案】[)0,1【分析】由条件可得对R x ∀∈都有2430mx mx m -++>，然后分0m =、0m ≠两种情况讨论求解即可.【详解】因为函数()2lg 43y mx mx m =-++的定义域为R ，所以对R x ∀∈都有2430mx mx m -++>，当0m =时成立，当0m ≠时有()20Δ16430m m m m >⎧⎨=-+<⎩，解得01m <<，综上可得01m ≤<，故[)0,16．若扇形的周长为16，问当圆心角为______时，扇形面积最大？【正确答案】2【分析】设该扇形的弧长为l 、半径为R 、圆心角为α，根据条件可将S 表示成关于R 的二次函数，由此可得答案.【详解】设该扇形的弧长为l 、半径为R 、圆心角为α，因为扇形的周长为16，所以216l R +=，所以()211162822S lR R R R R ==-=-+，所以当4R =时S 最大，此时8,2l l R α===，故2.7．已知角α的终边上一点()4,3P a a -，0a ≠，则3sin cos αα+的值为______.【正确答案】1±【分析】利用三角函数的定义，求得正弦值与余弦值，可得答案.【详解】由角α的终边上一点()4,3P a a -，则当0a >时，3sin 5α==，4cos 5α==-，即3sin cos 1αα+=；当a<0时，3sin 5α==-，4cos 5α=，即3sin cos 1αα+=-.故答案为.1±8．奇函数()f x 在(),0∞-上是严格减函数，且()30f -=，则()0x f x ⋅<的解集是______.【正确答案】()(),33,-∞-+∞ 【分析】利用奇函数的性质，结合函数的单调性，可得函数与零的大小关系，可得答案.【详解】由奇函数()f x 在(),0∞-上是严格减函数，则()f x 在()0,∞+上是严格减函数，由()30f -=，则奇函数()30f =，且当()(),30,3x ∞∈--⋃时，()0f x >，当()()3,03,x ∞∈-⋃+时，()0f x <，即不等式()0x f x ⋅<的解集为()(),33,-∞-+∞ .故()(),33,-∞-+∞ 9．在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，函数()()2,R f x x bx c b c =++∈与()21x x g x x++=在同一个点取得相同的最小值，那么()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为______．【正确答案】4【分析】将()g x 化简得()11g x x x =++，运用均值不等式得()()min 1g x g =，所以()()min 1f x f =，由二次函数的性质求得()f x 的解析式，再求出()f x 的最大值，得解.【详解】由()211113x x g x x x x ++==++≥=，当且仅当1x =时取等号，得()()min 13g x g ==，于是()f x 也在1x =处取得最小值3，则()1213b f ⎧-=⎪⎨⎪=⎩,解得24b c =-⎧⎨=⎩，即()()222413f x x x x =-+=-+，所以()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()24f =．故填：4.本题考查双勾函数和二次函数的最值问题，关键在将双勾函数()g x 化简运用均值不等式求最值和二次函数运用配方法求最值，属于中档题.10．已知ABC 的外接圆半径是2，c =6A π=，边长b =______.【正确答案】2或4##4或2【分析】先利用正弦定理求出a ，再利用余弦定理列方程可求出b .【详解】因为ABC 的外接圆半径是2，6A π=，所以由正弦定理得2sin 22sin26a R A π==⨯=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2412b =+-2680b b -+=，解得2b =或4b =，故2或4二、单选题11．下列命题中真命题是（）A ．第一象限的角为锐角B ．钝角是第二象限的角C ．小于π2的角是锐角D ．终边在x 轴负半轴上的角既是第二象限角又是第三象限角【正确答案】B【分析】根据象限角和锐角和钝角的定义判断依次判断各选项即可.【详解】对于选项A ，若7π3α=，则α为第一象限角，但α不是锐角，A 错误；对于选项B ，若β为钝角，则ππ2β<<，所以β为第二象限角，B 正确；对于选项C ，若πγ=-，则π2γ<，但γ不是锐角，C 错误；对于选项D ，终边在x 轴负半轴上的角既不是第二象限角也不是第三象限角，D 错误；故选：B.12．关于幂函数k y x =及其图象，有下列四个命题：其中正确的命题个数是（）①其图象一定不通过第四象限；②当0k >时，函数k y x =是增函数；③当0k <时，其图象关于直线y x =对称；④k y x =的图象与k y x -=的图象至少有两个交点.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【正确答案】B【分析】利用幂函数的性质可判断①，举例可判断②③④.【详解】对于①，因为0x >时，幂函数0=>k y x ，所以其图象一定不通过第四象限，故正确；对于②，当0k >时，如2k =时，2y x =在x ∈R 上不是增函数，故错误；对于③，当0k <时，如3k =-时，31y x =在其图象不关于直线y x =对称，故错误；对于④，当12k =时，y =y =1,1x y ==，其图象交点为()1,1，只有1个交点，故错误.故选：B.13．在△ABC 中，“sin sin A B >”是“A B >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C 【详解】试题分析：由正弦定理sin sin a b k A B==，得sin ,sin a b A B k k ==，由sin sin A B >得a b k k >，即a b >，由大边对大角得A B >；当A B >得a b >，即a b k k>，由正弦定理得sin sin A B >，因此“sin sin A B >”是“A B >”的充要条件，故答案为C.1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.14．已知函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则函数()()()F x f x g x =⋅的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D 【分析】利用函数的奇偶性结合()()y f x g x =⋅在定义域上的函数值的正负即可判断.【详解】由图知，()y f x =的定义域为()-∞+∞，，()y g x =的定义域为()(),00,∞-+∞U ，令()0f x =时，1x x =或2x x =，且120x x <<，设()()()h x f x g x =⋅，则函数()h x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，因为()y f x =为偶函数，()y g x =为奇函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=-=-，则()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-⋅-=-=-，所以函数()h x 为奇函数，其图象关于原点对称，对于选项A ，因为()()()h x f x g x =⋅是奇函数，图象关于原点对称，故A 错误；对于选项B ，因为()()()h x f x g x =⋅是奇函数，图象关于原点对称，故B 错误；对于选项C ，当()1,0x x ∈时，()0f x <，()0g x <，所以()()0f x g x ⋅>，故C 错误；对于选项D ，由图知，当()1,x x ∈-∞时，()()0f x g x ⋅<，当()1,0x x ∈时，()()0f x g x ⋅>，结合奇函数的对称性可得()0,x ∈+∞时的图象，故D 正确.故选：D.三、解答题15．设集合{}2A x x a =-<，2112x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，(1)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.(2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[]0,1(2)(][),45,-∞-⋃+∞【分析】（1）先求出集合,A B ，再由A B B ⋃=，得A B ⊆，从而可求出实数a 的取值范围；（2）由A B ⋂=∅，列出关于a 的不等式，从而可求出实数a 的取值范围.【详解】（1）{}{}222A x x a x a x a =-<=-<<+，{}211232x B x x x x ⎧⎫-=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，{}211232x B x x x x ⎧⎫-=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，所以2223a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]0,1；（2）因为A B ⋂=∅，所以22a +≤-或23a -≥，解得4a ≤-或5a ≥，所以实数a 的取值范围为(][),45,-∞-⋃+∞16．已知ππsin 0434x x ⎛⎫⎛⎫-=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求：πcos 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求sin 2x 的值.【正确答案】(1)3(2)59【分析】（1）由诱导公式可得结果.（2）由差角公式、完全平方公式可得结果.【详解】（1）ππππcos()cos[()]sin()42443x x x +=--=-=∴πcos()4x +的值为3.（2）∵πππsin()sin cos cos sin (cos sin )44423x x x x x -=-=-=∴2cos sin 3x x -=又∵2224(cos sin )cos sin 2sin cos 1sin 29x x x x x x x -=+-=-=∴5sin 29x =17．某居民小区的自来水蓄水池足够大，现存有40吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入8吨水，同时蓄水池又向居民不间断地供水，x 小时的供水总量为吨()024x ≤≤.(1)设蓄水池中的水量()y f x =，当x 为何值，蓄水池中的水量最小，最小水量是多少？(2)若蓄水池中水量少于10吨时，就会出现供水紧张现象，试问在24小时内，有多少小时会出现供水紧张现象？【正确答案】(1)当4x =时，蓄水池中水量最小，最小水量为8吨；(2)4小时.【分析】（1）由题意得到()f x 的解析式，然后可得答案；（2）解出不等式()10f x <可得答案.【详解】（1）由题意可得())()2408828024f x x x =+-=-+≤≤，2=，即4x =时，蓄水池中水量最小，为8吨.（2）由40810x +-<可得8300x -<，()()3100<所以3522<<，即92544x <<，259444-=；则在24小时内，有4小时会出现供水紧张现象.18．已知关于x 的函数()()221f x mx m x n =--+为R 上的偶函数，且在[]1,3-上的最大值为10.(1)求函数()f x 的解析式.(2)若不等式()34kf x x -≥在x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.(3)若不等式()221x x f a -⋅≥-在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()21f x x =+(2)[)1,+∞(3)a ≤【分析】（1）利用偶函数的性质，结合二次函数求最值，可得答案；（2）根据二次函数的性质，利用分类讨论的思想，可得答案；（3）利用换元法整理不等式，根据基本不等式，可得答案.【详解】（1）∵()f x 在R 为偶函数，∴()()f x f x -=，则可得()()222121mx m x n mx m x n --+=+-+，解得1m =，即()2f x x n =+，∵()f x 在[]1,3-上的最大值为10，即()310f =，∴1n =，∴()21f x x =+.（2）不等式()34kf x x -≥可化简为2304kx x k -+-≥为在x ∈R 恒成立.当0k =时，不符合题意，则0k ≠时，只需满足0k >且0∆≤即可，即031404k k k >⎧⎪⎨⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1k ≥所以实数k 的取值范围为[)1,+∞.（3）令2x t =，不等式()221x x f a -⋅≥-可2t a t +≥在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，由2t t +≥2t t =，即t =时等号成立，故a ≤。
2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题1(含解析)
2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题一、填空题1．已知集合{1,1,2}A =-，{}20B x x x =+=，则A B = __________．【正确答案】{}1-【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：{1A =- ，1，2}，{1B =-，0}，{1}A B ∴=- ．故{}1-．2．设a 、b 都为正数，且4a b +=，则11a b+的最小值为________.【正确答案】1【分析】把11a b+变形为：1114()4a b ⨯⋅+利用已知，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为a 、b 都为正数，所以有：111111114()()()(2)(214444b a a b a b a b a b ⨯⋅+=+⋅+=⋅++≥⋅+=，当且仅当b a ab=时取等号，即2a b ==时取等号，故13．函数2()1y f x x ==-，则1(3)f -=______________.【正确答案】533在反函数的定义域中，它必在原函数的值域中，因为反函数与原函数的对应关系相反，故由231x =-解得x 值为所求.【详解】由231x =-解得53x =，所以15(3)3f -=.故534．已知0a >且1a ≠，若log 2a m =，log 3a n =，则m n a +=_______________.【正确答案】6利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可.【详解】log 2,2ma m a =∴= ，同理：3n a =∴236m n m n a a a +==⨯=故6对数运算技巧：(1)指数式与对数式互化；(2)灵活应用对数的运算性质；(3)逆用法则、公式；(4)应用换底公式，化为同底结构．5．已知函数()()221f x ax b x =+++，22,x a a ⎡⎤∈-⎣⎦是偶函数，则a b +的值为______．【正确答案】1-【分析】根据奇偶定义可建立方程求解即可.【详解】由题意得2220202b a a a a +=⎧⎪-+=⎨⎪-<⎩，所以1,2a b ==-，所以1a b +=-.故1-6．若幂函数22m m y x -++=（m 为整数）的定义域为R ，则m 的值为______．【正确答案】0或1【分析】依题意可得220m m -++>，解得m 的取值范围，再由m 为整数，求出参数的值.【详解】由题意得220m m -++>，解得12m -<<，又m 为整数，所以0m =或1.故0或17．用“二分法”求方程340x x +-=在区间()1,3内的实根，首先取区间中点2x =进行判断，那么下一个取的点是x =______．【正确答案】1.5##32【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解.【详解】设函数3()4f x x x =+-，易得函数为严格增函数，因为(1)20f =-<，(2)60f =>，所以下一个有根区间是(1,2)，那么下一个取的点是 1.5x =．故1.58．已知函数22([0,1])y x ax x =+∈的最小值为-2，则实数a =________.【正确答案】32-【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.【详解】222()2()y f x x ax x a a ==+=+-，所以该二次函数的对称轴为：x a =-，当1a ≤-时，即1a ≤-，函数2()2f x x ax =+在[0,1]x ∈时单调递减，因此min 3()(1)1222f x f a a ==+=-⇒=-，显然符合1a ≤-；当01a <-<时，即10a -<<时，2min ()2f x a a =-=-⇒=，显然不符合10a -<<；当0a -≤时，即0a ≥时，函数2()2f x x ax =+在[0,1]x ∈时单调递增，因此min ()(0)02f x f ==≠-，不符合题意，综上所述：32a =-，故32-9．设方程22log 1122x a a --=-+的实根12,,,k x x x ，其中k 为正整数，则所有实根的和为______．【正确答案】4【分析】画出2()log 11g x x =--的图象，由图象的特征可求.【详解】令2()|log ||1|f x x =-，22()|log ||1||log ||1|()f x x x f x -=--=-=，所以函数2()|log ||1|f x x =-图象关于y 轴对称，令2()log 11g x x =--，则()(1)g x f x =-的图象关于直线1x =对称，因为方程22log 1122x a a --=-+的实根，可以看作函数2()log 11g x x =--的图象与直线222y a a =-+的交点横坐标.由图可知方程22log 1122x a a --=-+有4个实根，且关于直线1x =对称.所以12344x x x x +++=.故4.10．设函数()2x f x =，2()2g x x x a =-+，如果对任意的实数1[1,2]x ∈，任意的实数2[1,2]x ∈，不等式()()121f x g x -≥恒成立，则实数a 的取值范围为________．【正确答案】(,1][6,)-∞+∞U 【分析】分别求出函数()2x f x =，2()2g x x x a =-+在[1,2]上的值域，把问题转化为关于a 的不等式组，求出解集即可【详解】解：因为()2x f x =在[1,2]上为增函数，所以min max ()(1)2,()(2)4f x f f x f ====，所以()2x f x =在[1,2]上的值域为[2,4]，因为2()2g x x x a =-+的对称轴为直线1x =，所以2()2g x x x a =-+在[1,2]上为增函数，所以min max ()(1)1,()(2)g x g a g x g a ==-==，所以2()2g x x x a =-+在[1,2]上的值域为[1]a a -,，因为对任意的实数1[1,2]x ∈，任意的实数2[1,2]x ∈，不等式()()121f x g x -≥恒成立，所以(1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩，解得4613a a a a ≤≥⎧⎨≤≥⎩或或，所以1a ≤或6a ≥，所以实数a 的取值范围为(,1][6,)-∞+∞U ，故(,1][6,)-∞+∞U 此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数()2xf x =，2()2g x x x a =-+在[1,2]上的值域，把问题转化为(1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩，从而可求出实数a 的取值范围，属于中档题二、单选题11．已知x ，y 是实数，则“x y >”是“33x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】由充要条件的定义求解即可【详解】因为2233223()()()24y y x y x y x xy y x y x ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，若x y >，则223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，若223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则0x y ->，即x y >，所以33x y x y >⇔>，即“x y >”是“33x y >”的充要条件，故选：C.12．如果12log 0.8log 0.80x x <<，那么（）A ．2101x x <<<B ．1201x x <<<C ．121x x <<D ．211x x <<【正确答案】C【分析】根据换底公式可得0.820.810.8log log 0log 1x x <<=，再利用0.8log y x =单调性可以判断C 正确.【详解】因为12log 0.8log 0.80x x <<，则0.820.810.8log log 0log 1x x <<=，又因为0.8log y x =在()0,∞+上单调递减，那么121x x <<，故选：C ．13．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)bay x x =>图像的关系可能为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)ba y x x =>为减函数，符合题意；对于B ，二次函数2y ax bx =+开口向下，则a<0，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)ba y x x =>为减函数，不符合题意；对于C ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴12b x a=-=-，则2ba =，即幂函数(0)b a y x x =>为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D ，二次函数2y ax bx =+开口向下，则a<0，其对称轴122b x a =->-，则01ba <<，即幂函数(0)ba y x x =>为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；故选：A关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.14．若函数||y x a =--与1ay x =+在区间[1,2]上都是严格减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(,0)-∞B ．(1,0)(0,1]-⋃C ．(0,1)D ．(0,1]【正确答案】D【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数a 的取值范围.【详解】函数||y x a =--的图像关于x a =对称，所以当x a >，y 随x 的增大而减小，当x a <，y 随x 的增大而增大.要使函数||y x a =--在区间[1,2]上都是严格减函数，只需1a ≤；要使1ay x =+在区间[1,2]上都是严格减函数，只需0a >；故a 的范围为01a <≤.故选：D三、解答题15．求下列不等式的解集：(1)4351x x +>-(2)2332x x -<-【正确答案】(1)(1,8)(2)(1,)+∞【分析】（1）根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.（2）应用公式法求绝对值不等式的解集.【详解】（1）()()4385018011x x x x x x +->⇔<⇔--<--，故解集为(1,8)；（2）|23|32322332x x x x x -<-⇔-+<-<-，故解集为(1,)+∞.16．已知函数()22(11)1xf x x x =-<<-．(1)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数()f x 的单调性并证明．【正确答案】(1)()f x 是奇函数，理由见解析(2)()f x 在(1,1)-上单调递减，证明见解析【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）()f x 是奇函数，理由如下：函数()22(11)1xf x x x =-<<-，则定义域关于原点对称，因为()()221xf x f x x --==--，所以()f x 是奇函数；（2）任取1211x x -<<<，则22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=----1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----，因为1211x x -<<<，所以2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<，所以12())0(f x f x ->，所以()f x 在(1,1)-上单调递减.17．将函数log 2a y x =-（0a >且1a ≠）的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数()y f x =的图像．(1)求函数()f x 的解析式(2)设函数()()()1f x f x F x a++=，若()m F x <对一切()1,x ∈-+∞恒成立，求实数m 的取值范围；(3)讨论关于x 的方程()log apf x x=，在区间()1,-+∞上解的个数．【正确答案】(1)()log (1)a f x x =+(2)(,0]-∞(3)答案见解析【分析】(1)由图象的平移特点可得所求函数的解析式；(2)求得()F x 的解析式，可得(1)(2)m x x <++对一切(1,)∈-+∞x 恒成立，再由二次函数的性质可得所求范围；(3)将方程()log ap f x x=等价转化为1(1px x x +=>-且0)x ≠，根据题意只需讨论(1)p x x =+在区间(1,)-+∞上的解的个数，利用图象，数形结合即可求得答案.【详解】（1）将函数log 2(0a y x a =->且1)a ≠的图象向左平移1个单位，得到log (1)2a y x =+-的图象，再向上平移2个单位，得函数()log (1)a f x x =+的图象；（2）函数()()()()()()()1log 1log 212a a f x f x x x F x aa x x +++++===++，1x >-，若()m F x <对一切(1,)∈-+∞x 恒成立，则(1)(2)m x x <++对一切(1,)∈-+∞x 恒成立，由(1)(2)y x x =++在(1,)-+∞严格单调递增，得(1)(2)0y x x =++>，所以0m ≤，即m 的取值范围是(,0]-∞；（3）关于x 的方程()log log (1)log aa a p p f x x x x=⇔+=1(1px x x⇔+=>-且0)x ≠，所以只需讨论(1)p x x =+在区间(1,)-+∞且x ≠0上的解的个数．由二次函数(1)(1y x x x =+>-且0)x ≠的图象得，当1(,)4p ∈-∞-时，原方程的解有0个；当1(0,)4p ⎧⎫∈-+∞⎨⎬⎩⎭时，原方程的解有1个；当1(,0)4p ∈-时，原方程的解有2个．18．其公司研发新产品，预估获得25万元到2000万元的投资收益，现在准备拟定一个奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(1)用数学语言列出公司对函数模型的基本要求；(2)判断函数()1050xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；(3)已知函数()1252g x a x a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 取值范围．【正确答案】(1)答案见解析(2)不符合，理由见解析(3)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数单调性的定义以及最值的定义，结合题意中的不等关系，可得答案；（2）由（1）所得的三个条件，进行检验，可得答案；（3）利用幂函数的单调性，结合题意中的最值以及不等关系，可得不等式组，利用基本不等式，可得答案.【详解】（1）()f x 满足的基本要求是：①()f x 是定义域[25,2000]上的严格增函数，②()f x 的最大值不超过75，③()5xf x ≤在[25,2000]上恒成立；（2）()1050xf x =+，()5050115f =>不满足要求③，故不符合；（3）因为12a ≥，所以函数()g x 满足条件①，由函数()g x 满足条件②得22000575a ≤，解得255a ≤由函数()g x 满足条件③得，255xx ≤对[25,2000]x ∈恒成立，即255x a x≤对[25,2000]x ∈恒成立，因为25≥，当且仅当5=，即25x =时取等号，所以1a ≤．综上所述，实数a 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩(1)设k 、m 均为实数，当(],x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式()()22310f x m k m k ≤--+-恒成立，求k 的取值范围；(2)设t 为实数，若关于x 的方程()()2log 0f f x t x --=⎡⎤⎣⎦恰有两个不相等的实数根12,x x 且12x x <，试将1221212log 211++--+-x x x x 表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域．【正确答案】(1)4k ≥(2)1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t=+，(]1,3【分析】(1)分离参数，得4(3)83k m m ≥-++-，再借助基本不等式求解即可；(2)先得出()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩，再对1x >，1x ≤进行分类讨论.【详解】（1）当(,]x m ∈-∞时，max ()f x =1，故02m ≤≤.要使得不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，需使2(2)310m k m k --+-1≥，即2(2)3110m k m k --+-≥对于任意的[0,2]m ∈都成立.因为133m ≤-≤，所以4(3)83k m m ≥-++-.由30m ->，403m <-得4(3)84843m m -++≤-+=-（当且仅当1m =时取等号）所以4k ≥；（2）由函数()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩，得()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩，①若1x ≤，则方程[]2()log ()0f f x t x --=变为x =2log ()t x -，即2x t x =-，则2x t x =+，2x y x =+为递增函数，1x ≤，则有3t ≤；②若1x >，则方程[]2()log ()0f f x t x --=变为()222log log log ()x t x =-，即2log x t x =-，且0t x ->，故1t >，于是12,x x 分别是方程2x t x =-、2log x t x =-的两个根，则11x ≤，21x <，即121x x ≤<，由于函数2log y x =与2x y =的图像关于直线y x =对称，故12x x t +=，122122log 2()x x t x x t +=-+=，()()1212112|1||1|211x x x x =--+-+-+-1t =故1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t=+，且13t <≤，故此函数的定义域为(]1,3.方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立.20．对于定义在D 上的函数()y f x =，设区间[,]m n 是D 的一个子集，若存在0(,)x m n ∈，使得函数()y f x =在区间[]0,m x 上是严格减函数，在区间[]0,x n 上是严格增函数，则称函数()y f x =在区间[,]m n 上具有性质P ．（1）若函数2y ax bx =+在区间[0,1]上具有性质P ，写出实数a 、b 所满足的条件；（2）设c 是常数，若函数3y x cx =-在区间[1,2]上具有性质P ，求实数c 的取值范围．【正确答案】（1）20a b -<<；（2）()3,12c ∈．【分析】（1）根据定义判断出2y ax bx =+为二次函数，然后根据()f x 的单调性和单调区间判断出2y ax bx =+的开口以及对称轴，由此得到,a b 满足的条件；（2）先分析函数3y x cx =-在区间[1,2]上为严格增函数和严格减函数时c 的取值，据此分析出3y x cx =-在区间[1,2]上先递减再递增时c 的取值范围，由此求解出c 的取值范围.【详解】（1）当函数2y ax bx =+在区间[0,1]上具有性质P 时，由其图象在R 上是抛物线，故此抛物线的开口向上（即0a >），且对称轴是(0,1)2b x a=-∈；于是，实数a ，b 所满足的条件为：20a b -<<．（2）记3()f x x cx =-．设1x ，2x 是区间[1,2]上任意给定的两个实数，总有()()()()2212121122f x f x x x x x x x c -=-++-．若3c ≤，当12x x <时，总有120x x -<且22112211130x x x x c ++->++-=，故()()120f x f x -<，因此3y x cx =-在区间[1,2]上是严格增函数，不符合题目要求．若12c ≥，当12x x <时，总有120x x -<且222211222222120x x x x c ++-<+⨯+-=，故()()120f x f x ->，因此3y x cx =-在区间[1,2]上是严格减函数，不符合题目要求．若312c <<，当12x x <且12,x x ⎡∈⎢⎣时，总有120x x -<且2211220333c c c x x x x c c ++-<++-=，故()()120f x f x ->，因此3y x cx =-在区间⎡⎢⎣上是严格减函数；当12x x <且12,2x x ⎤∈⎥⎦时，总有120x x -<且2211220333c c c x x x x c c ++->=++-=，故()()120f x f x -<，因此3y x cx =-在区间2⎤⎥⎦上是严格增函数．因此，当()3,12c ∈时，函数3y x cx =-在区间[1,2]上具有性质P ．关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质P 的理解，通过分析函数不具备性质P 的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质P 的情况，然后再进行验证即可.。
2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题7(含解析)
2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题一、填空题1．已知{0,1,2,3,4}A =，{|2,N}B x x x =≤∈，则A B = _______.【正确答案】{}0,1,2【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为集合{}0,1,2,3,4A =，{}{|2,N}0,1,2B x x x =≤∈=，因此，{}0,1,2A B = .故答案为.{}0,1,22．“0x ≠且1x ≠”的否定形式为________.【正确答案】0x =或1x =【分析】根据原命题的否定的定义可直接写出结论.【详解】原命题的否定形式为：0x =或1x =，故0x =或1x =.3．若实数a 、b 、x 满足21a x =+，b x =，则a 与b 的大小关系是a ______b .【正确答案】＞【分析】一般利用作差比较法解答.【详解】由题得22131()024a b x x x -=+-=-+>，所以a ＞b.故答案为＞本题主要考查作差法比较大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4．已知21log 3a =，则3a =____.【正确答案】2利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可求得3a 的值.【详解】21log 3a = ，132a ∴=，因此，313322a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为.25．函数1()3(01)x f x a a a +=->≠,的图象恒过定点________.【正确答案】()1,2--【分析】根据x y a =过定点(0,1)可得函数()13x f x a +=-的图象必过定点()1,2--.【详解】因为1()3x f x a +=-，(0,1)a a >≠，所以，当=1x -时，总有11(1)3132f a -+-=-=-=-，∴()f x 必过点()1,2--，故()1,2--．6．已知2x >，则22x x +-的最小值是___________.【正确答案】2+22##22+2【分析】首先利用配凑法，将原式配成积为定值的形式，再结合基本不等式以及x 的范围，即可求解.【详解】由2x >，知2x ->0则()22222222x x x x +=-++≥+=+--当且仅当222x x -=-时，即2x =，等号成立.故2+7．若幂函数()211m y m m x -=--在(0,)+∞上严格减，则m =________.【正确答案】1-【分析】根据幂函数得到211m m --=，解方程再验证单调性得到答案.【详解】由()211m y m m x -=--是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-.当2m =时，y x =，函数在(0,)+∞上严格增，不满足；当1m =-时，2y x -=，函数在(0,)+∞上严格减，满足；综上所述：1m =-故1-8．已知2()1(1)f x x x =->，则1(3)f -=________.【正确答案】2【分析】欲求1(3)f -的值，根据反函数的概念，只要求出使()3f x =成立的x 的值即可．【详解】令()3f x =得：213x -=(1)x >⇒2x =，∴1(3)2f -=．故2．9．关于x 的不等式24824xx x -+>的解集为_______.【正确答案】()(),24,-∞⋃+∞【分析】构造函数()2xf x =，根据其单调性解不等式即可.【详解】224848224,22,xx x xx x -+-+>∴>函数()2xf x =，()f x 单调递增，2482,x x x ∴-+>解之：()(),24,.x ∈-∞⋃+∞故()(),24,-∞⋃+∞10．已知函数()211,124,1a x x y x x x ⎧++<=⎨-+-≥⎩在R 上为严格减函数，则实数a 的取值范围为_______.【正确答案】[)5,1--【分析】根据分段函数的单调性得到1011124a a +<⎧⎨++≥-+-⎩，解得答案.【详解】函数()211,124,1a x x y x x x ⎧++<=⎨-+-≥⎩在R 上为严格减函数，则1011124a a +<⎧⎨++≥-+-⎩，解得51a -≤<-.故[)5,1--11．设()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()1f x x ax =-+.若函数()y f x =的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________.【正确答案】[2,)+∞【分析】由于函数是R 上的奇函数，所以要使函数的值域为R ，只要当0x >时，2()1f x x ax =-+的函数能取到所有正数即可，从而可求出实数a 的取值范围【详解】因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()1f x x ax =-+，所以要使()y f x =的值域为R ，则当0x >时，()f x 能取到所有正数即可,所以202Δ40a a ⎧>⎪⎨⎪=-≥⎩，解得2a ≥，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(,0)-∞上可以取到所有的负实数，又(0)0f =,故函数()y f x =的值域为R ，所以实数a 的取值范围是[2,)+∞，故[2,)+∞12．已知函数()y f x =和函数()y g x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和函数()y g x =在区间[,]a b 上同时递增或者同时递减时，把区间[,]a b 叫做函数的“不动区间”，若区间[1,3]为函数()3xf x k =-的“不动区间”，则实数k 的取值范围是_______.【正确答案】133⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】由题意知，函数()3xf x k =-和函数()3xg x k -=-在[1,3]上单调性相同，由3x y k =-和3x y k -=-单调性相反，可得()()330x xk k --≤-在[1,3]上恒成立，进而求出k 的取值范围．【详解】因为函数()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，所以()()3xg x f x k -=-=-,因为[1,3]为函数()3xf x k =-的“不动区间”，所以函数()3xf x k =-和函数()3xg x k -=-在区间[1,3]上的单调性相同,又因为3x y k =-和3x y k -=-的单调性相反，所以()()330x xk k --≤-在[1,3]上恒成立，而在[1,3]x ∈时，113[3,27],3[,]273x x-∈∈，所以33x x k -≤≤在[1,3]上恒成立，所以133k ≤≤，故答案为.133⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数单调性求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．二、单选题13．已知实数a b >，下列结论一定正确的是（）A ．22a b >B ．22a b >C ．1a b<D ．11a b<【正确答案】A【分析】根据指数函数的单调性、特殊值、差比较法确定正确答案.【详解】依题意a b >，A 选项，2x y =在R 上递增，所以22a b >，所以A 选项正确.B 选项，1,1a b ==-，满足a b >，但221a b ==，所以B 选项错误.C 选项，1a a b b b--=，其中0a b ->，但b 的符号无法确定，所以C 选项错误.D 选项，1,1a b ==-，满足a b >，但11a b>，所以D 选项错误.故选：A14．下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是（）A ．12y x =B ．y =C ．|1|2x y =-D ．2y x -=【正确答案】D【分析】先求解四个选项对应函数的定义域，再根据定义域求解值域，即可.【详解】对于A ，因为函数12y x =的定义域为[)0,∞+，值域为[)0,∞+，不是()0,∞+所以选项A 不符合题意；对于B ，因为函数y ={1x x ≤-或}1x ≥所以值域为[)0,∞+，不是()0,∞+，选项B 不符合题意.对于C ，因为函数|1|2x y =-的定义域为R ，则120,12>->-x x ，所以,1|2|0=-≥x y 则值域为[)0,∞+，不是()0,∞+，所以选项C 不符合题意；对于D ，因为函数2y x -=的定义域为{}0x x ≠关于原点对称，且()22x x ---=，所以函数2y x -=为偶函数，当0x >时，()2210,-==∈+∞y x x ，单调递减，当0x <时，()2210,-==∈+∞y x x ，单调递增，即函数2y x -=值域为()0,∞+，所以选项D 符合题意.故选：D15．函数()3f x x =+-的零点所在区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【正确答案】B【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.【详解】()f x 在[)0,∞+上单调递增，()()110,210f f =-<=>，所以()f x 的零点在区间()1,2.故选：B16．设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x <时，()27f x x x =--，则不等式()(1)0f x f x --<的解集为（）A ．(2,4)-B ．(3,4)-C ．(2,3)-D ．()3,3-【正确答案】B【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象的递减区间，分析可得答案.【详解】根据题意，设0x >，则0x -<，所以2()7f x x x -=-+，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2()7()f x x x f x -=-+=-，所以2()7f x x x =-，即0x ≥时，2()7f x x x =-，此时函数在7[0,2上单调递减，在7(,)2+∞单调递增；当0x <时，2()7f x x x =--，此时函数在7(,)2-∞-上单调递增，在7(,0)2-单调递减；所以函数()f x 在77(,)22-上单调递减，若()(1)0f x f x --<，即(1)()f x f x ->，又由1x x -<，且(3)(4),(3)(4)f f f f -=-=，必有144x x ->-⎧⎨<⎩时，()(1)0f x f x --<，解得：34x -<<，所以不等式()(1)0f x f x --<的解集为(3,4)-.故选.B方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.三、解答题17．已知函数2lg 1x y x -=+的定义域为P ，不等式|1|2x +≤的解集为Q .(1)求集合P 、Q ；(2)已知全集U =R ，求P Q .【正确答案】(1){|1P x x =<-或}2x >，{}|31Q x x =-≤≤(2){}|11P Q x x ⋂=-≤≤【分析】（1）根据函数的定义域的求法、不等式的解法求得,P Q .（2）根据补集和交集的知识求得P Q .【详解】（1）由201x x ->+解得1x <-或2x >，所以{|1P x x =<-或}2x >，1221231x x x +≤⇔-≤+≤⇔-≤≤，所以{}|31Q x x =-≤≤.（2）由（1）得{}|12P x x =-≤≤，所以{}|11P Q x x ⋂=-≤≤.18．已知函数()[]221,2,5f x x tx x =-+∈严格单调，且()f x 的最大值为8，求实数t 的值.【正确答案】95【分析】先求出二次函数的对称轴，再分2t <，722t ≤≤，752t <<和5t ≥四种情况，进行分类讨论，根据最大值列出方程，求出实数t 的值.【详解】()()[]222211,2,5f x x tx x t t x =-+=-+-∈，对称轴为x t =，开口向上，当2t <时，()221f x x tx =-+在[]2,5x ∈上单调递增，故当5x =时，()f x 取得最大值，()5251018f t =-+=，解得：95t =，满足2t <，当722t ≤≤时，()221f x x tx =-+在[]2,x t ∈上单调递减，在(],5x t ∈上单调递增，且()()25f f ≤，所以当5x =时，()f x 取得最大值，由()5251018f t =-+=，解得：95t =，与722t ≤≤矛盾，舍去；当752t <<时，()221f x x tx =-+在[]2,x t ∈上单调递减，在(],5x t ∈上单调递增，且()()52f f <，所以当2x =时，()f x 取得最大值，由()24418f t =-+=，解得：34t =-，与752t <<矛盾，舍去；当5t ≥时，()221f x x tx =-+在[]2,5x ∈上单调递减，故当2x =时，()f x 取得最大值，()24418f t =-+=，解得：34t =-，与5t ≥矛盾，舍去；综上.95t =19．已知函数16()1x f x a a+=-+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)求函数()f x 的值域.【正确答案】(1)3(2)(1,1)-【分析】(1)根据奇函数的定义即可求解；(2)结合（1）的结论和指数函数的值域即可求解.【详解】（1）因为函数16()1x f x a a+=-+是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，即610a a-=+，解得：3a =，此时162()113331x x f x +=-=-++，故对于任意的x ∈R ，有22223()()22031313131x x x x x f x f x -⨯+-=--=--=++++，即函数()f x 是R 上的奇函数，所以实数a 的值为3.（2）由（1）可知：162()113331x x f x +=-=-++，因为30x >，所以131x <+，则20231x<<+，22031x-<-<+，所以211131x-<-<+，故函数()f x 的值域为(1,1)-.20．设a ∈R ，函数()||2f x x x a x =⋅-+．(1)若2a =，求函数()f x 在区间[0,3]上的最大值；(2)若4a =，写出函数()f x 的单调区间（不必证明）；(3)若存在(2,4]a ∈，使得关于x 的方程()()f x t f a =⋅有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)9(2)单调递增区间为(],3∞-和[4,)+∞，单调递减区间为[]3,4(3)91,8t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）当2a =时，()|2|2f x x x x =-+，结合去绝对值求每段区间上的最值即可；（2）采用去绝对值解法，写出分段函数，画出函数大致图象，判断函数增减区间即可；（3）22(2),()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+-≥=⎨-++<⎩，分析二次函数的对称轴与a 的大小关系，确定()f x 的单调性，画出函数图象，数形结合得出关于参数t 的不等式求解即可.【详解】（1）当2a =，[]0,3x ∈时，22,23()224,02x x f x x x x x x x ⎧≤≤=-+=⎨-+≤<⎩，当[0,2)x ∈时，函数24y x x =-+为增函数，()[0,4)f x ∈；当[]2,3x ∈时，函数2y x =为增函数，()[]4,9f x ∈；所以函数()f x 在区间[0,3]上的最大值为9.（2）当4a =时，222,4()6,4x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，当4x ≥时，函数22y x x =-对称轴为1x =，所以当4x ≥时，()f x 单调递增；当4x <时，函数26y x x =-+对称轴为3x =，当(,3]x ∈-∞时，函数单调递增，当[]3,4x ∈时，函数单调递减，综上所述，当(,3]x ∈-∞和[4,)+∞时，函数()f x 单调递增，当[]3,4x ∈时，函数()f x 单调递减；（3）当(2,4]a ∈时，22(2),()(2),x a x x af x x a x x a⎧+-≥=⎨-++<⎩函数2(2)y x a x =+-的对称轴22a x a -=<，所以函数()f x 在x a ≥时单调递增，函数2(2)y x a x =-++的对称轴22a x a +=<，则()f x 在2,2a x +⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，()f x 在2,2a x a +⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，函数图象如图所示:要使()()f x t f a =⋅有三个不相等的实数根，即()t f a ⋅应介于如图所示两虚线12,l l 范围之间，而()2f a a =，()()22222222224a a a a f a ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2(2)2()4a a t f a +<⋅<，化简得2(2)11488a t a a a +4⎛⎫<<=++ ⎪⎝⎭，即存在(2,4]a ∈，使得上式成立.只需max 14148t a a ⎡⎤⎛⎫<<++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.令()44g x x x=++，设2142x x ≥>>，则()()()122121212112444x x g x g x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，由2142x x ≥>>得210x x ->，124x x >，故()()210g x g x ->，所以()()21g x g x >，所以()g x 在(2,4]x ∈为增函数，所以当(2,4]a ∈时，max444149a a ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，故max 149488a a ⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故91,8t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭21．如果存在非零常数c ，对函数()y f x =定义域内的任意x ，都有()()f x c f x +>成立，则称函数()y f x =为“Z 函数”.(1)判断[)2,1,y x x =∈-+∞和||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为“Z 函数”，并说明理由；(2)证明：定义域为R 的严格单调函数一定是“Z 函数”；(3)高斯函数是[]y x =为“Z 函数”，求正实数c 的最小值，并证明.（[]x 表示不超过x 的最大整数）【正确答案】(1)[)2,1,y x x =∈-+∞是“Z 函数”；||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭不是“Z 函数”，理由见解析(2)证明见解析(3)1，证明见解析【分析】（1）根据“Z 函数”的定义得到220xc c +>恒成立，考虑0c >和0c <两种情况，得到结果；220xc c +<，不等式不恒成立，得到答案.（2）考虑函数为增函数和减函数两种情况，根据“Z 函数”定义得到证明.（3）首先举反例排除01c <<的情况，再证明1c =时，函数是“Z 函数”，得到最小值.【详解】（1）假设[)2,1,y x x =∈-+∞是“Z 函数”，则()()f x c f x +>，即()22x c x +>，即220xc c +>恒成立，当0c >时，20x c +>，2c x >-，22x -≤，故2>c ，当0c <时，20x c +<，2c x <-，不恒成立，排除.综上所述：存在2>c 使()()f x c f x +>恒成立，故[)2,1,y x x =∈-+∞是“Z 函数”；假设||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是“Z 函数”，则()()f x c f x +>，即||||1122x c x +⎛⎫⎛⎫ ⎝>⎪⎪⎝⎭⎭，即x c x +<，即220xc c +<，不等式不恒成立，故||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭不是“Z 函数”，（2）若()f x 是单调增函数，当0c >时，都有()()f x c f x +>，故函数为“Z 函数”；若()f x 是单调减函数，当0c <时，都有()()f x c f x +>，故函数为“Z 函数”；综上所述：定义域为R 的严格单调函数一定是“Z 函数”；（3）高斯函数[]y x =为“Z 函数”，则[][]x c x +>，当01c <<时，取0x =，则[][]0x c c +==，[][]00x ==，不成立，故1c ≥，现证明1c =时成立：设[]x m =，m ∈Z ，则1m x m ≤<+，112m x m +≤+<+，故[]11x m +=+，即[][]1x x +>恒成立，故函数是“Z 函数”，即正实数c 的最小值为1。
上海高中2023届高一上数学期末联考试题含解析
【详解】设该函数为 ，
根据条件①，可知这个函数的周期是12；
由②可知， 最小， 最大，且 ，故该函数的振幅为100；
由③可知， 在 上单调递增，且 ，所以 ，
根据上述分析，可得 ，解得 ，且 ，解得 ，
又由当 时， 最小，当 时， 最大，
A. B.
C. D.
9．函数 （ 且 ）的图像恒过定点（）
A. B.
C. D.
10．已知直线 ， 且 ，则 的值为（）
A. 或 B.
C. D. 或
11．将函数 的图象先向左平移 ，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为
A. B.
C. D.
12．下列关系中，正确的是
【解析】（1）由图知： 且 可求 ，再由 ，结合已知求 ，写出解析式即可.
（2）由正弦函数的单调性，知 上 递增，再结合给定区间，讨论 值确定其增区间.
【详解】（1）由图知： 且 ，
∴ .
又 ，即 ，而 ，
∴ .
综上， .
（2）∵ ，
∴ .
当 时， ；当 时， ，又 ，
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，对于函数 有下列几种描述：
① 是周期函数；② 是它的一条对称轴；
③ 是它图象的一个对称中心；④当 时，它一定取最大值；
其中描述正确的是__________
14．夏季为旅游旺季，青岛某酒店工作人员为了适时为游客准备食物，调整投入，减少浪费，他们统计了每个月的游客人数，发现每年各个月份的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
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则 cos | AD1 CE | 1 1 ， | AD1 | | CE | 2 2 2
60 ，
异面直线 AD1 与 CE 所成角为 60
故选： C
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运
算求解能力，属于中档题
4、D
【解析】利用扇形的面积公式即得.
（1）设在 A 俱乐部租一-张球台开展活动 xh 的收费为 f x 元 (15 x 40) ，在 B 俱乐部租一张球台开展活动 xh 的
收费为 g x 元 (15 x 40) ，试求 f x 和 g x 的解析式；
（2）问选择哪家俱乐部比较合算?为什么?
22．已知函数 f (x) 2x ， h(x) x2 4x 5m ，g (x)与 f (x)互为反函数.
若 a 0 时，由 f (x) 0 解得 x 0 或 x 1，满足题意.
若 a 0 时，a 2a ， f (1) a 0 ，当 x 时， f (x) 0 ，即函数 f x 在区间[1, ) 上只有一个零点，因为函
数 f x 恰有 2 个零点，所以 2a 1且 0 a 1.
当 a 0 时， 2a a 0， f (1) a 0 ，此时函数 f x 有两个零点，满足题意.
【详解】函数 f (x) x 3 的定义域为 (0, ) ，且 f (x) 在 (0, ) 上单调递增， x
而 f (2) 2 3 0 ， f (3) 3 1 0 ， 2
所以函数 f (x) 的零点所在的区间为 (2, 3) .
故选：C 8、C
【解析】分析函数 f x 的单调性，可得出 f 2 f 2 0 ，分 x 0 、 x 0 两种情况解不等式 f x 0 ，综
21．某市有 A ， B 两家乒乓球俱乐部，两家的设备和服务都很好，但收费标准不同， A 俱乐部每张球台每小时 5 元，
B 俱乐部按月收费，一个月中 30h 以内（含 30h ）每张球台 90 元，超过 30h 的部分每张球台每小时加收 2 元.某学校
准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15h ，也不超过 40h
（2）已知函数
F
x
logc
f
x
9 4
（c
0
且c
1 ），已知
F
x
在
x 2, 4的最大值为
2，求 c
的值
18．已知函数 f (x) 3 sin(2x ) . 4
（1）利用“五点法”完成下面表格，并画出函数 f (x) 在区间[ , 9 ] 上的图像. 88
2x 4
x
f (x)
（2）解不等式 f (x) 3 . 2
2、C
【解析】根据给定函数图象求出函数 f (x) 的解析式，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】观察函数 f (x) 的图象得： A 2，令 f (x) 的周期为T ，则 T 2 ，即T 2 ，
4 3 62
2 1，由 f (2 ) 2sin(2 ) 2 ，且 得： ，于是有 f (x) 2sin(x ) ，
11．已知直三棱柱 ABC A1B1C1 的顶点都在球 O 上，且 AB 4 ， AA1 6 ， ACB 30 ，则此直三棱柱的外接球
O 的表面积是（ ）
A. 25π
C.100π
12．方程
B. 50π 500π
D.
3
的解所在的区间是
A.
B.
C.
D.
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
f (x2 ) ，B 不正确；
对于 C， x R ， f (5π x) 2sin(x 3 ) 2cos x ， f (5π x) 2sin(3 x) 2cos x ，
3
2
3
2
即 x R ，都有 f (5π x) f (5π x) ，C 正确；
3
3
对于 D，由 f (x) 2得： x 2k , k Z ，解得： x 2k , k Z ，
1、C
【解析】根据题意，由于函数 f (x) lg sin x 是 f (x) lg sin x f (x) ，因此排除线线 A,B，
然后对于选项 C，D，由于正弦函数周期为 2 ，那么利用图象的对称性可知，函数的周期性为 ，故选 C.
考点：函数的奇偶性和周期性
点评：解决的关键是根据已知函数解析式俩分析确定奇偶性，那么同时结合图像的变换来得到周期，属于基础题
16．函数 y 3 2x x2 的定义域是__________，值域是__________.
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数 f x x a b 是奇函数，且 f 1 2 ；
x
（1）判断函数 f x 在区间2, 4 的单调性，并给予证明；
x
综上所述，不等式 f x 0 的解集为 2,0 0,2 .
x
故选：C. 9、D
【解析】由 f x 在区间[1, ) 上单调递减，分类讨论 a 0 ， a 0 ， a 0 三种情况，根据零点个数求出实数 a 的
取值范围.
【详解】函数 f x 在区间[1, ) 上单调递减，且方程 x a x 2a 0 的两根为 a, 2a .
19．在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 sin 1 ，则 3
cos( ) =___________.
20．计算下列各题：
（1）
2log2
1 4
8 27
2
3
log 4
8；
（2） 2log3 6 log3 4 lg5lg5 lg 4 lg 22 .
B.对于任意
x1
，
x2
(
π 6
,
5π ) 6
，且
x1
x2
，都有
f (x1)
f (x2 )
C. x R ，都有 f (5π x) f (5π x)
3
3
D. x [17π , 5π] ，使得 f (x) 2
12 12
3．长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 AD 1， AB 2 ，E 为 C1D1 中点，则异面直线 AD1 与 CE 所成角为（）
x
合可得出原不等式的解集.
【详解】因为定义在 R 上的奇函数 f x 在 ,0 单调递减，则函数 f x 在 0, 上为减函数.
且 f 2 f 2 0 ，
当 x 0 时，由 f x 0 可得 f x 0 f 2，则 2 x 0 ；
x
当 x 0 时，由 f x 0 可得 f x 0 f 2 ，则 0 x 2.
13．在直角坐标系中，直线 3x 3y 3 0 的倾斜角 ________
14．已知扇形的弧长为 6，圆心角弧度数为 2，则其面积为______________. 15．高三年级的一次模拟考试中，经统计某校重点班 30 名学生的数学成绩均在[100，150]（单位：分）内，根据统计 的数据制作出频率分布直方图如右图所示，则图中的实数 a=__________，若以各组数据的中间数值代表这组数据的平 均水平，估算该班的数学成绩平均值为__________
1．函数 f x lg sin x 是
A.最小正周期为 的奇函数
B.最小正周期为 2 的奇函数 C.最小正周期为 的偶函数
D.最小正周期为 2 的偶函数 2．已知函数 f (x) Asin(x ) （ A 0 ， 0 ， ）的图象如图所示，则（ ）
2
A. f (x π) f (x)
6
2
3
令 17π 2k 5π ，解得 13 k 1 与 k Z 矛盾，D 不正确.
12
3 12
24
24
故选：C
3、C
【解析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AD1 与 CE 所成角 【详解】解：长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 AD 1， AB 2 ， E 为 C1D1 中点，
T
3
3
2
6
6
对于 A， f (x π) 2sin(x ) 2sin(x ) f (x) ，A 不正确；
6
6
对于 B，取 x1
2 3
且 x2
3 4
，满足
x1
，
x2
(
π 6
,
5π 6
)
，且
x1
x2 ，而
f
( x1 )
2sin 2
2，
f
(
x2
)
2
sin
7 12
2 ，此时
f
(x1)
023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑 色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
4．半径为 2，圆心角为1rad 的扇形的面积为（）
9
9
A.
B.
2
4
C.
D.2
5．当 x 越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（ ）
A. y 100x
B.
y
e 2
x