专题等腰三角形和勾股定理

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中考数学几何模型专题专题六—勾股定理

专题六勾股定理模型26 “勾股树”模型故事“勾股树”毕达哥拉斯树(如图), 也叫“勾股树”. 是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形. 又因为重复数次后的形状好似一棵树, 所以被称为毕达哥拉斯树. 重复的次数越多, 毕达哥拉斯树的“枝千”就越茂密.模型展现基础模型勾股定理: 222a b c+=.勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a,,b c满足222a b c+=或222a c b+=或222b c a+=,那么这个三角形是直角三角形在直角三角形外，分别以三边作同样图形，可得下面结论作等边三角形作半圆作等腰直角三角形作正方形（毕达哥拉斯树的起始图形）怎么用?1. 找模型分别以直角三角形三边为边作相同图形2. 用模型根据勾股定理的关系及等式性质求解, 常用来解决面积问题结论分析：结论: 123S S S +=以作等边三角形为例.证明: 如解图, 过点 D 作 DM AC ⊥ 于点 M ,ACD 是等边三角形, 12AM MC b ∴==, 在 Rt ADM 中, 3tan tan602DM AM DAC AM b ∠=⋅=⋅=, 2111332224S DM AC b b b ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 同理可得, 222333,44S a S c ==, ()222212333444S S a b a b ∴+=+=+, Rt ABC 满足 222a b c +=,()222123344S S a b c ∴+=+=.123.S S S ∴+=拓展延伸其余图形的证明, 均是用面积的计算, 然后求和即可, 同学们可以参考给出的证明过程, 自行完成.满分技法以三边分别为边作相同的图形, 解题的基本思想是勾股定理, 但所作图形的性质也是解题的关键.勾股数中常见图形面积公式:1 ;2S =⨯⨯三角形底高2 S =等边三角形边长； 21;2360n r S π=⨯半圆 2 S =正方形边长典例小试例 1 如图,和 AC 为直径的半圆的面积（与模型的作图方法一致）, 则123,S S S 和满足的关系式（求面积，可使用结论）为（）A . 123S S S +=B . 123S S S =+C . 123S S S >+D . 123S S S =⋅考什么？圆的面积计算，勾股定理思路点拨满足模型，选填项目中，可直接使用结论，高效解题。

-等腰三角形与勾股定理

2010年中考数学复习试题汇编之17.2-等腰三角形与勾股定理11．（2009年衡阳市）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ．（1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论．【关键词】等腰三角形、矩形【答案】解：（1）证明：AE DA DAE BAF BAC ⊥⇒︒=∠⇒︒=︒⨯=∠+∠∠+∠⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫︒=∠+∠∠∠⇒∠∠∠⇒∠909018021)(21BAE BAD 180BAF BAC BAF 21BAE BAF AE BAC 21BAD BAC AD ＝＝平分＝平分（2）AB ＝DE ，理由是：DE AB D AE DAE AEB AE BE ADB BC AD BAC AD AC AB =⇒⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫︒=∠︒=∠⇒⊥︒=∠⇒⊥⇒⎭⎬⎫∠=是矩形四边形平分B 90 90 9012．（山东省临沂市）如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC ＝1km ，B 村到公路l 的距离BD ＝2km ，B 村在A 村的南偏东45方向上．（1）求出A ，B 两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．A B CD E解：（1）方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ∠=∠=°． ACO ∴△和BDO △都是等腰直角三角形．AO ∴=，BO = ∴A B ，两村的距离为AB AO BO =+==km ）．方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ．易证四边形CDBE 是矩形， ∴2CE BD ==．在Rt AEB △中，由45A ∠=°，可得3BE EA ==．∴AB ==km ） ∴A B ，两村的距离为．（2）作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于两点M N ，，作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求．（7分 13．（四川省泸州市）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，北东BACDlBA CDlN MOPAO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：7.13≈)(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?解：在Rt ΔAOB 中，OA ＝100,∠BAO ＝60° 所以OB ＝OA ·tan ∠BAO ＝Rt ΔAOC 中,∠CAO ＝45° 所以OC ＝OA ＝100,所以（100，0）（2）BC ＝BO+CO ＝18≈18>503, 所以这辆车超速了。

等腰三角形直角三角形勾股定理

a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
开启智慧定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
驶向胜利的彼岸
三、基本练习㈠填空题
1. 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为15，8两部分，则它的底边长为__3______.
2、“同角的余角相等”的逆命题是如__果_两__个__角__相_等__，__那__么_这__两. 个角是同一个角的余角
3、等腰三角形的一个内角为70º，它一腰上的
PD⊥OA，若PC=4，则PD=___2____.
B
A
MC
8、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠Ａ＝１5°,
AB的垂直平分线交AC于M，则MC：MA=___3_:_2__.
边在上△A的B中C线中，，底AB边=上A的C,高点互D相在重BC合上A
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ 1 = ∠2 ，B__D__= DC 。
2、∵AD是中线，
B1
∴ AD⊥BC ，∠ 1=∠ 2 。
3、∵AD是角平分线，
11 22 C
D
∴AD ⊥BC ，BD=DC 。
1、求有关等腰三角形
等等边对等角的问题，作顶角平分
性质２：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（简称“三线合一” A）
Ａ

等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明

等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明第一篇：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明例一：如图所示,已知△ABC中,AB=AC=8,P是BC上任意一点,PD⊥AB于点D，PE⊥AC点E，若△ABC的面积为14。

问：PD+PE 的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由。

解：三角形ABC的面积为14，所以PD+PE的值为定值。

由已知：AB=AC=8，S(△ABC)=14，得S(△ABC)=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE)=141/2*8*(PD+PE)=14PD+PE=14/4=3.5即 PD+PE=3.5这道题得出的结论是：等腰三角形底边上任一点到两腰上的距离之和等于一腰上的高。

结论虽简单，我们又应当如何证明呢？关于这道题的证明方法有很多种。

求证；等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。

已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC上任意点D，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC求证： DE＋DF＝BH证法一：连接AD则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2而△ABC的面积＝BH*AC/2所以：DE＋DF＝BH即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高证法二：作DG⊥BH，垂足为G因为DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC所以四边形DGHF是矩形所以GH＝DF因为AB＝AC所以∠EBD＝∠C因为GD//AC所以∠GDB＝∠C所以∠EBD＝∠GDB又因为BD＝BD所以△BDE≌△DBG（ASA）所以DE＝BG所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH证法三：提示：过B作直线DF的垂线，垂足为M运用全等三角形同样可证另外运用三角函数也能进行证明如果D在BC或CB的延长线上，有下列结论：|DE－DF|＝BH 问题：这个问题的另外一个表达形式：将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。

新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形-知识点归纳及典型题解析

新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°．所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ．（1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由；（2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时，求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△；（2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5，三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立．故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12．（2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==，得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=，所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=．【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ．【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ．【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ，又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ，在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°；如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°，故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形；（2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =，又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ．答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ），故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ），则BD =AB -AD =8-6=2（m ）．答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°．（2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒．（2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

等腰三角形勾股定理及全等的综合应用

在△CHB和△AEF中，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF=BD=5，
∴AF=AD-DF=12-5=7；
(2)证明：如图2，在BF上取一点H使BH=EF，
连接CF、CH
在△CHB和△AEF中，
=
∵ ∠ = ∠ = ° ，
=
∴△CHB≌△AEF(SAS)，
∴AE=CH，∠AEF=∠BHC，
∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE=x,则
EB=ED=x,CE=4-x,
∵∠C=∠PDE=90°，
2
2
2
2
2
∴PC +CE =PE =PD +DE
，
2
2
2
2
∴2 +(4-x) =1 +x ，
解得：x=

．
则DE=
，
证：CD⊥BF；
2
2
2
(2)连接BE，交CD的延长线于点H，如图2，若BC =BE +CD ，试判断
CD与BE的位置关系，并证明．
解:(1)证明：在△ACD和△AFE中
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ACD≌△AFE(SAS)，
∴∠DCA=∠EFA，
∴CD∥EF，
∵BF⊥EF，
∴CD⊥BF；
(2)解：CD⊥BE，理由如下：
延长CA到F，使AF=AC，连接EF，
∵BA⊥CF，AC=AF，
∴BC=BF，
由(1)可知CD∥EF，CD=EF，
2
2
2
∵BC =BE +CD ，
2
2
2
∴BF =BE +EF ，

等腰三角形勾股定理

等腰三角形勾股定理
等腰三角形勾股定理是初中数学中的一个重要定理，也是勾股定理的一种特殊情况。

它的内容是：在一个等腰三角形中，底边中点到顶点的线段长度等于底边一半的长度乘以腰长。

我们来了解一下什么是等腰三角形。

等腰三角形是指两边的长度相等的三角形，也就是说它的两个角度也是相等的。

在一个等腰三角形中，底边中点到顶点的线段长度就是等腰三角形的高。

在勾股定理中，我们知道了：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

那么在等腰三角形中，是否也存在这样的关系呢？答案是肯定的。

等腰三角形勾股定理就是等腰三角形中的一种特殊情况，它的公式为：$h^2 = \frac{a^2}{4} + b^2$，其中$h$为等腰三角形的高，$a$为等腰三角形底边的长度，$b$为等腰三角形腰长的长度。

我们可以通过一个简单的例子来理解等腰三角形勾股定理。

假设有一个底边长度为6，腰长长度为8的等腰三角形，那么它的高为多少呢？根据等腰三角形勾股定理，我们可以得到$h^2 = \frac{6^2}{4} + 8^2 = 36 + 64 = 100$，因此$h = 10$。

所以这个等腰三角形的高为10。

等腰三角形勾股定理不仅在初中数学中有着重要的地位，在实际生活中也有着广泛的应用。

比如在建筑设计中，经常需要计算房屋的
高度。

如果我们知道了房屋的底边长度和两侧的角度，就可以利用等腰三角形勾股定理来计算房屋的高度。

等腰三角形勾股定理是初中数学中的一个重要定理，它不仅可以帮助我们更好地理解等腰三角形的性质，还可以应用到实际生活中。

我们应该认真学习和掌握这个定理，为以后的学习和工作打下坚实的数学基础。

初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形

初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。

一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。

2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。

（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。

3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。

3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。

三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。

（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。

（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。

等腰三角形边长公式

等腰三角形边长公式
等腰三角形边长公式：在△ABC中,a2=b2+c2-2bc×cosA此定理可以变形为：cosA=（b2+c2-a2）÷2bc。

解直角三角形（斜三角形特殊情况）：
勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2,其中a 和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。

比如：3，4，5。

他们分别是3，4和5的倍数。

常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等。

斜三角形的解法：
已知条件定理应用一般解法
一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180?，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。

两边和夹角如a、b、c 余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180?求出另一角，在有解时有一解。

三边如a、b、c 余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180?，求出角C 在有解时只有一解。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

三角形、勾股定理知识点整理

⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“ ”；
⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ ”）
⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ ”）；
(5)直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ ”）注意：对应相等意思是：例如三角形ABC和三角形DEF，AB和DE是对应边，AB=DE；
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
（定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）
规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
⑵三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半;

勾股定理500种证明方法

勾股定理500种证明方法
勾股定理是数学中的基本定理之一，有着广泛的应用和许多证明方法。

下面介绍一些常见的证明方法：
1.几何证明法：利用几何图形构造，例如在直角三角形的两个直角边
上分别构造平方和的面积相等，然后利用面积的性质进行证明。

2.代数证明法：利用代数式推导和变换，例如假设直角三角形的三边
长度为a、b和c，然后将直角三角形的两边长度的平方相加，利用分配
律和可交换性进行推导。

3.数学归纳法：先证明三边全为整数的勾股三元组存在，然后利用数
学归纳法证明勾股三元组的通解存在。

4.平行四边形证明法：构造直角三角形的对角线，利用平行四边形的
性质推导得出结论。

5.等腰三角形证明法：构造以直角为顶点的等腰三角形，利用等腰三
角形的性质推导得出结论。

6.射影证明法：构造勾股定理三角形的高，利用射影的性质进行证明。

7.相似三角形证明法：构造与直角三角形相似的三角形，利用相似三
角形的性质进行证明。

8.三角函数证明法：利用正弦、余弦和正切函数的性质进行证明。

9.黎曼几何证明法：利用黎曼几何的相关定理和性质进行证明。

10.三角恒等式证明法：利用三角恒等式进行推导和变换，将勾股定
理转化为等式的形式进行证明。

还有许多其他的证明方法，如使用卡西尼恒等式、向量法等。

总共可能有上百种证明方法，每种方法都有其独特的思路和证明过程。

由于篇幅限制，无法一一详细介绍所有方法，但上述方法已经涵盖了常见的证明思路。

九年级数学中考一轮复习课堂练习17等腰三角形与勾股定理

2 1C D BA 等腰三角形与勾股定理一、选择题1.如图，已知直线110AB CD DCF =︒∥，∠，且AE AF =，则A ∠等于（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．70︒2.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AE 平分么BAC 交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连结DE ，则△BDE 的周长是( )A ．7+5B ．10C ．4+25D ．123.如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝ 60°，则CD 的长为（）A ．32B ．23C ．12D ．344.如图， ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（）①1A ∠=∠，②CD DB AD CD= ③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶，⑤AC BD AC CD =··A ．1B ．2C ．3D ．45.图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若A D CP B60°A F BDE正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是( )A ．13B ．26C ．47D ．946.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（）A．．25 C．5 D ．35二、填空题1.已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是．2.在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_____________度．3.如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．4.在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．AC D B5.如图，在边长为1的等边△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点O ，则OA 长度为．6.如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于．7.已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为．第12题图8.某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为．9.如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．BC A 30°CABS 1S 2【参考答案】一、选择题1. B 解析：本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，∵110AB CD DCF =︒∥，∠，所以110EFB DCF ∠=∠=︒，∴70AFE ∠=︒，∵AE AF =，∴70E AFE ∠=∠=︒，∴40A ∠=︒，故选B.2.B3.B4.C5.C6.B二、填空题1.2．5＜x ＜52.︒70或︒203.4 解析：本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理。

等腰三角形与勾股定理试题及答案1

（1）求出 A，B 两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点 P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
北
东 A
D
C
l
B
解：（1）方法一：设 AB 与 CD 的交点为 O ，根据题意可得 A B 45°． △ACO和 △BDO 都是等腰直角三角形． AO 2 ， BO 2 2 ．
A．AB 垂直平分 CD
B．CD 垂直平分 AB
A
B
C．AB 与 CD 互相垂直平分 D．CD 平分∠ACB
【答案】A
D
3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形
拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三
角形的两条直角边的长分别是 2 和 4．中间小正方形与大正方
形面积的比是
A，B 两村的距离为 AB AO BO 2 2 2 3 2 （km）．
A
N
O
D
C
P
l
M
B
（2）作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点 A，B 为圆心，以大于 1 AB 的长为
2
半径作弧，两弧交于两点 M，N ，作直线 MN ；
②直线 MN 交 l 于点 P ，点 P 即为所求．（7 分） 5．（2009 白银市）如图 13，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ ECD＝90°，D 为 AB 边上一点，求证：（1） △ACE ≌△BCD ；（2） AD2 DB2 DE2 ．
7．（2009 年重庆）作图，请你在下图中作出一个以线段 AB 为一边的等边
△ABC ．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）

一次函数的专题-等腰三角形存在性问题

DyxOCB A一次函数中等腰三角形的存在性若△ABC 是等腰三角形，则分三种情况分类讨论：AB=AC ；BA=BC ；CA=CB ，然后利用等腰三角形的性质或勾股定理计算（或建立方程）解题。

如图①，在直线l 上找一点C ，使得△ABC 为等腰二用形。

图① 图②（1）若AB=AC ，以A 点为圆心，AB 为半径画圆，交直线l 于两点C 1，C 2；（2）若BA=BC ，以B 点为圆心，AB 为半径画圆，交直线l 于两点C 3，C 4；（3）若CA=CB ，作AB 的中垂线交直线l 于点C 5.上述寻找等腰三角形的方法简称“两圆一线（垂直平分线）”。

例：已知直线经过点A （-2，0），B （0，3）（1）求直线的解析式；（2）在x 轴上有一点P ，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标。

跟踪练习：1、如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴和y 轴分别交于点A(6,0)和B(0, 23),再将△AOB 沿直线CD 对折,使点A 与点B 重合.直线CD 与x 轴交于点C,与AB 交于点D 、(1)试确定这个一次函数的解析式;(2)求点C 的坐标;(3)在x 轴上是否存在一点P,使△PAB 是等腰三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在请说明理由.2、如图，直线y ＝4-3x +8与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 的上的一点，若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求直线AM 的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，直线l₁：y＝x+2与直线l₂：y＝kx+b相交于点P（1，m）（1）写出k、b满足的关系；（2）如果直线l₂：y＝kx+b与两坐标轴围成一等腰直角三角形，试求直线l₂的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设直线l₂与x轴相交于点A，点Q是x轴上一动点，求当△APQ是等腰三角形时的Q点的坐标．4、如图，在平面直角坐标系中，过点 B（6，0）的直线 AB 与直线 OA 相交于点 A（4，2）．(1)求直线 BC 的函数表达式；(2)若在 x轴上存在一点 M，使 MA+MC 的值最小，请求出点 M 的坐标；(3)在 y轴上是否存在点 N，使△AON 是等腰三角形？如果存在，直接写出点 N 的坐标；如果不存在，说明理由．。

专题04 等腰三角形的证明(解析版)

专题04 等腰三角形的证明知识对接考点一、怎样解与等腰三角形有关的问题解与等腰三角形的边有关的问题时，常利用三角形的三边关系:确定能否构成三角形.当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时,要分类讨论,还要考虑三角形的存在性，即两腰之和大于底边.解与等腰三角形的角有关的问题时，常利用三角形的内角和定理,遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时，还要注意分类讨论. 考点二、等腰三角形中的分类讨论在解决与等腰三角形的边、角有关的问题时,如果不知道已知的边是腰还是底边或不知道已知的角是顶角还是底角,就需要分类讨论.1.已知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠b),求周长C 时,分两种情况: (1)若腰长为a 且2a>b,则周长C=2a+b; (2)若腰长为b 且2b>a,则周长C=2b+a.2.已知等腰三角形的一个角为α,求顶角或底角的度数时,有三种情况: (1)若α为钝角,则α为顶角,底角的度数为(180°-α).(2)若α为直角,则α为顶角,且该三角形为等腰直角三角形,底角为45°.(3)若α为锐角,则应分两种情况讨论:①当α为顶角时,底角的度数为(180°-α);②当α为底角时,顶角的度数为180°-2α.特别注意:无论哪种情况,都要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”,三个角必须满足“三角形的内角和等于180°”.专项训练一、单选题1．（2021·河北九年级一模）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，CAE ∠是ABC 的外角，12∠=∠，AD ∥BC ．求证AB AC =．以下是排乱的证明过程：∥又12∠=∠， ∥∥B C ∠=∠， ∥∥AD ∥BC ，∥∥1B ∠=∠，2C ∠=∠， ∥∥AB AC =．证明步骤正确的顺序是（） A ．∥→∥→∥→∥→∥ B ．∥→∥→∥→∥→∥ C ．∥→∥→∥→∥→∥ D ．∥→∥→∥→∥→∥【答案】B 【分析】根据平行线的性质得出1,2B C ∠=∠∠=∠，再利用12∠=∠等量代换，得出B C ∠=∠，即可判定ABC 是等腰三角形，即可证明．【详解】具体步骤为： ∥∥AD ∥BC ，∥∥1B ∠=∠，2C ∠=∠， ∥又12∠=∠， ∥∥B C ∠=∠， ∥∥AB AC =．故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质，等量代换，等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质与等腰三角形的判定与性质．2．（2021·江西）如图，在∥ABC 中，∥A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是∥ABC 的角平分线．若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D 【详解】试题分析：在∥ABC 中，∥A=36°，AB=AC ，求得∥ABC=∥C=72°，且∥ABC 是等腰三角形；因为CD 是∥ABC 的角平分线，所以∥ACD=∥DCB=36°，所以∥ACD 是等腰三角形；在∥BDC中，由三角形的内角和求出∥BDC=72°，所以∥BDC 是等腰三角形；所以BD=BC=BE ，所以∥BDE 是等腰三角形；所以∥BDE=72°，∥ADE=36°，所以∥ADE 是等腰三角形．共5个．故选D考点：角平分线，三角形的内角和、外角和，平角3．（2021·河北）已知：如图，ABC 中，B C ∠=∠，求证：AB AC =，在证明该结论时，只添加一条辅助线：∥作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，∥过点A 作AD BC ⊥于点D ，∥取BC 中点D ，连接AD ，∥作BC 的垂直平分线AD ，其中作法正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据辅助线构造的条件和三角形全等的判定方法结合在一起判断求解．【详解】∥作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则B CBAD CAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABD ∥∥ACD ， ∥AB =AC ， ∥∥作法正确；∥过点A 作AD BC ⊥于点D ，则B C BDA CDA AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABD ∥∥ACD ， ∥AB =AC ， ∥∥作法正确；∥取BC 中点D ，连接AD ，无法证明∥ABD ∥∥ACD ， ∥∥作法不正确；∥作BC 的垂直平分线无法证明点A 在其上，∥∥作法不正确；故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质证明，三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．4．（2021·云南文山·）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）A．30B．60︒C．30或60︒D．15︒或75︒【答案】D【分析】首先根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角．【详解】解：如图∥：∥CD∥AB，∥∥ADC=90°，∥CD=12AC，∥∥A=30°，∥AB=AC，∥∥B=∥ACB=18030752︒︒︒-=；如图∥：∥CD∥AB，∥∥ADC=90°，AC，∥CD=12∥∥CAD=30°，∥AB=AC，∥∥B=∥ACB∥∥DAC=∥B+∥ACB=2∥B=30°，∥∥B=∥ACB=15°．∥这个三角形的底角为：75°或15°．故选：D．【点睛】此题考查了直角三角形的性质与等腰三角形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．5．（2021·广东九年级二模）已知a、b、4分别是等腰三角形三边的长，且a、b是关于x 的一元二次方程2620-++=的两个根，则k的值等于（）x x kA．6B．7C．-7或6D．6或7【答案】D【分析】当a＝4或b＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当a＝b时，即∥＝（−6）2−4×（k ＋2）＝0，解方程即可得到结论．【详解】解：∥a、b、4分别是等腰三角形三边的长，∥当a＝4或b＝4时，即：42−6×4＋k＋2＝0，解得：k＝6，此时，2680-+=的两个根为：x1=2，x2=4，符合题意；x x当a＝b时，即∥＝（−6）2−4×（k＋2）＝0，解得：k＝7，此时，2690-+=的两个根为：x1=x2=3，符合题意；x x综上所述，k的值等于6或7，故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，进行分类讨论，是解题的关键．6．（2021·甘肃兰州·九年级）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∥A＝46°，CD∥AB于点D，则∥DCB＝（）A ．46°B ．67°C ．44°D ．23°【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：∥等腰三角形ABC 中，AB =AC ， ∥∥ABC =∥ACB ∥∥A =46°，∥∥ABC =12×（180°-46°）=12×134°=67°， ∥CD ∥AB 于D ，∥∥DCB =90°-∥ABC =90°-67°=23°，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，本题的解题关键是求出∥ABC 的度数即可得出答案． 7．（2021·苏州高新区第二中学九年级二模）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】B 【分析】由已知可以写出∥B 和∥C ，再根据三角形内角和定理可以得解．【详解】解：由已知可得：∥B=∥C=k∥A=（36k ）°，由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180， ∥k=2，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键．8．（2021·四川成都·九年级一模）在螳螂的示意图中，AB∥DE ，∥ABC 是等腰三角形，∥ABC ＝124°，∥CDE ＝72°，则∥ACD ＝（）A ．16°B ．28°C ．44°D ．45°【答案】C 【分析】延长ED ，交AC 于F ，根据等腰三角形的性质得出28A ACB ，根据平行线的性质得出28CFD A，【详解】解：延长ED ，交AC 于F ，ABC ∆是等腰三角形，124ABC ∠=︒，28AACB， //AB DE ，28CFD A，72CDE CFD ACD，722844ACD，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．9．（2021·全国九年级专题练习）如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，5BD =，则CD 等于（）A ．10B ．5C ．4D ．3【答案】B 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD 的长．【详解】∥AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线 ∥CD=BD=5．故选：B ．【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．10．（2021·河北九年级专题练习）已知m 、n 、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程2x ﹣6x +k+2=0的两个根，则k 的值等于( ) A ．7 B ．7或6 C ．6或﹣7 D ．6【答案】B 【分析】当m =4或n =4时，即x =4，代入方程即可得到结论，当m =n 时，即∥=(﹣6)2﹣4×(k +2)=0，解方程即可得到结论．【详解】当m=4或n=4时，即x=4， ∥方程为42﹣6×4+k+2=0，解得：k=6；当m=n 时，2x ﹣6x +k+2=0 ∥1a =，6b =-，2c k =+，∥()()22464120b ac k =-=--⨯⨯+=⊿，解得：7k =，综上所述，k 的值等于6或7，故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键．二、填空题11．（2021·江苏九年级）若一条长为32cm 的细线能围成一边长等于8cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为___cm ．【答案】12 【分析】根据题意，分腰长为8cm 和底边为8cm 两种情况并结合三角形的构成条件分类讨论即可．【详解】解：若腰长为8cm ，则此三角形的另一边长为32-8-8=16（cm ），而8+8=16，无法构成三角形， ∥此情形舍去；若底边为8cm ，则腰长为（32-8）÷2=12（cm ），此时12+12＞8，12+8＞8，可以构成三角形．故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形的构成条件、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想，根据题意结合三角形构成条件进行分类讨论是解题的关键．12．（2021·江苏九年级二模）顶角是36︒的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，AC AD BE 、、是正五边形ABCDE 的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．【答案】6 【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可．【详解】解：设BE 与AC 、AD 交于M 、N ，ABCDE 是正五边形，内角和为5218540(0)-⨯︒=︒，每一个内角为5405108︒÷=︒，∥∥ABC＝∥BAE＝∥AED＝∥BCD＝∥CDE＝108°，∥AB＝BC＝AE＝ED，∥∥BAC＝∥BCA＝36°，∥EAD＝∥ADE＝36°，∥∥CAD＝36°，∥ACD＝∥ADC＝72°，∥AC＝AD，∥∥ACD是黄金三角形，同理可求：∥BAN＝∥ANB＝∥AME＝∥EAM＝72°，∥CBM＝∥BMC＝∥DNE＝∥DEN＝72°，∥∥AMN、∥DEN、∥EAM、∥CMB，∥ABN也是黄金三角形．则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．13．（2021·浙江九年级期末）ABC中，∥A=36°，∥B是锐角．当∥B=72°时，我们可以如图作线段BD将ABC分成两个小等腰三角形如果存在一条线段将ABC分成两个小三角形，这两个小三角形都是等腰三角形，则∥B的角度还可以取到的有____________．【答案】54°，36°，18°，12°【分析】直线从A、B、C出发分三种情况讨论，利用等边对对角、三角形的外角性质、三角形的内角和建立方程求解，再结合题干看是否存在即可得出答案．【详解】∠=解：这条直线从A、B、C出发皆可，设B x()I假设从A出发，如下图：∥当BD=AD，AD=DC时，B BAD DAC C∴∠=∠∠=∠∴︒-︒-=︒-1803636x x此时x的值不存在；∥当BD=AD，AC=DC时∠=∠，ADC DACB BAD∠=∠ADC B BAD BAC BAD∠=∠+∠=∠-∠∴=︒-236x xx=︒；解得：12∥当BD=AD，AD=AC时∠=∠∠=∠，ADC CB BADC x x∠=︒--︒=︒-ADC B BAD x∠=∠+∠=，180361442x x∴=︒-2144解得：48x=︒︒>︒，此种情况不存在；此时4836∥当AB=AD，AD=DC时，∠=∠∠=∠，ADC CB ADBC x∠=︒-，18036∠=--︒BAD x1802()∴︒-=︒---︒x x180********x=︒（不符合题意）解得：96()II假设从B出发，如下图：∥当AD =BD ，BD =BC 时36272BDC A ABD ∠=∠+∠=︒⨯=︒72,72C B ∴∠=︒∠=︒,此情况成立；∥AD =BD ，BD =DC 时7236BDC DBC x ∠=︒∠=-︒， 3618036x x ∴-︒=︒-︒-解得：90x =︒，此时不成立；()III 假设从C 出发，如下图：∥BD =DC ，AC =DC 时362ADC A B DCB x ∠=∠=︒=∠+∠=解得：18x =︒，此时成立； ∥BD =DC ，AD =DC180362108ADC ∠=︒-︒⨯=︒,2108ADC B DCB x ∠=∠+∠==︒解得：54x =︒，此时成立； ∥BD =BC ，AD =DC 1802xBDC BCD ︒-∠=∠=，36A ACD ∠=∠=︒，BDC A ACD ∠=∠+∠ 18036362x︒-∴=︒+︒x=︒；解得：36综上所述，∥B的角度还可以取到的有54︒、36︒、12︒、18︒．故答案为：54°，36°，18°，12°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角的性质，解题的关键是分情况讨论，注意不要漏掉．14．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．【答案】45°或36°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：∥如图1，当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，设∥A=x°，则∥ACD=∥A=x°，∥B=∥A=x°，∥∥BCD=∥B=x°，∥∥A+∥ACB+∥B=180°，∥x+x+x+x=180，解得x=45，∥原等腰三角形的底角是45°；∥如图2，∥ABC 中，AB =AC ，BD =AD ，AC =CD ， ∥AB =AC ，BD =AD ，AC =CD ， ∥∥B =∥C =∥BAD ，∥CDA =∥CAD ， ∥∥CDA =2∥B ， ∥∥CAB =3∥B ， ∥∥BAC +∥B +∥C =180°， ∥5∥B =180°， ∥∥B =36°，∥原等腰三角形的底角为36°；故答案为45°或36° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． 15．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 、F 分别是边BC 、CD 上一点，EF AE ⊥，将ECF △沿EF 翻折得EC F '△，连接AC '，当BE =________时，AEC '是以AE 为腰的等腰三角形．【答案】78或43【分析】对AEC '是以AE 为腰的等腰三角形分类讨论，当=AE EC '时，设BE x =，可得到4EC x =-，再根据折叠可得到=4EC EC x '=-，然后在Rt∥ABE 中利用勾股定理列方程计算即可；当=AE AC '时，过A 作AH 垂直于EC '于点H ，然后根据折叠可得到=C EF FEC '∠∠，在结合EF AE ⊥，利用互余性质可得到BEA AEH =∠∠，然后证得∥ABE ∥∥AHE ，进而得到BE HE =，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到EH C H '=，然后在根据数量关系得到14=33BE BC =．【详解】解：当=AE EC '时，设BE x =，则4EC x =-， ∥ECF △沿EF 翻折得EC F '△，∥=4EC EC x '=-，在Rt∥ABE 中由勾股定理可得：222AE BE AB =+即222(4)3x x -=+，解得：7=8x ；当=AE AC '时，如图所示，过A 作AH 垂直于EC '于点H ，∥AH ∥EC '，=AE AC '， ∥EH C H '=， ∥EF AE ⊥，∥=90C EF AEC ''+︒∠∠，90BEA FEC +=︒∠∠ ∥ECF △沿EF 翻折得EC F '△， ∥=C EF FEC '∠∠， ∥BEA AEH =∠∠，在∥ABE 和∥AHE 中B AHE AEB AEH AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥ABE ∥∥AHE （AAS ）， ∥BE HE =， ∥=BE HE HC '=， ∥12BE EC '=∥EC EC '=， ∥12BE EC =， ∥14=33BE BC =，综上所述，7483BE =或，故答案为：7483或【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可．三、解答题16．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片ABCD 沿E 折叠，使,C A 两点重合．点D 落在点G 处．已知=4AB ，8BC =．（1）求证：AEF ∆是等腰三角形；（2）求线段FD 的长．【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）根据矩形的性质可得//AD BC ,则FEC AFE ∠=∠,因为折叠，FEC AEF ∠=∠，即可得证；（2）设FD x =用含x 的代数式表示AF ，由折叠，AG DC =，再用勾股定理求解即可【详解】（1）四边形ABCD 是矩形∴//AD BC∴FEC AFE ∠=∠因为折叠，则FEC AEF ∠=∠AEF AFE ∴∠=∠∴AEF ∆是等腰三角形（2）四边形ABCD 是矩形8,4AD BC CD AB ∴====,90D ∠=︒设FD x =，则8AF AD x x =-=-因为折叠，则FG x =，4AG CD ==,90G D ∠=∠=︒ 在Rt AGF △中222FG AF AG =-即222(8)4x x =-- 解得：3x =∴3FD =【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．17．（2021·湖南郴州市·）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒．点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB AGC ≌；（2）如图2，连接GF ，HC ，AF 交AF 于点Q ． ∥证明：在点H 的运动过程中，总有90HFG ∠=︒；∥若4AB AC ==，当EH 的长度为多少时，AQG 为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）∥见详解；∥当EH 的长度为2AQG 为等腰三角形【分析】（1）由旋转的性质得AH =AG ，∥HAG =90°，从而得∥BAH =∥CAG ，进而即可得到结论；（2）∥由AHB AGC ≌，得AH =AG ，再证明AEH AFG ≌，进而即可得到结论；∥AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∥QAG =∥QGA =45°时，（b ）当∥GAQ =∥GQA =67.5°时，（c ）当∥AQG =∥AGQ =45°时，分别画出图形求解，即可．【详解】解：（1）∥线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ， ∥AH =AG ，∥HAG =90°，∥在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =AC ， ∥∥BAH =90°-∥CAH =∥CAG ， ∥AHB AGC ≌；（2）∥∥在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∥AE =AF ，AEF 是等腰直角三角形， ∥AH =AG ，∥BAH =∥CAG ， ∥AEH AFG ≌， ∥∥AEH =∥AFG =45°，∥∥HFG =∥AFG +∥AFE =45°+45°=90°，即：90HFG ∠=︒； ∥∥4AB AC ==，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∥AE =AF =2，∥∥AGH =45°，AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∥QAG =∥QGA =45°时，如图，则∥HAF =90°-45°=45°， ∥AH 平分∥EAF ， ∥点H 是EF 的中点，∥EH 12=（b ）当∥GAQ =∥GQA =（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∥EAH =∥GAQ =67.5°， ∥∥EHA =180°-45°-67.5°=67.5°， ∥∥EHA =∥EAH ， ∥EH =EA =2；（c ）当∥AQG =∥AGQ =45°时，点H 与点F 重合，不符合题意，舍去，综上所述：当EH 的长度为2时，AQG 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．18．（2021·江苏九年级二模）如图（1），已知矩形ABCD 中，6cm AB BC ==，，点E 为对角线AC 上的动点．连接BE ，过E 作EB 的垂线交CD 于点F ．（1）探索BE 与EF 的数量关系，并说明理由．（2）如图（2），过F 作AC 垂线交AC 于点G ，交EB 于点H ，连接CH ．若点E 从A 出发沿AC 方向以/s 的速度向终点C 运动，设E 的运动时间为s t ． ∥是否存在t ，使得H 与B 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ∥t 为何值时，CFH △是等腰三角形； ∥当CG GH =时，求CGH 的面积．【答案】（1）BE =；（2）∥t=1，∥t =；【分析】(1)连接BF ，易证B. C. F. E 四点共圆，,AD EFtan ACD tan EBF CD BE∠==∠=即可求证出BE = ；(2)∥存在，当H 、B 重合时，如图所示，结合(1)知可得BG =3，CG =，同理可知CF =2，FG =1,EG CG ==CE =，由此可得t=1，∥先得出60CFH ∠=︒ ，再由△FHC 为等腰三角形，推出△FHC 为等边三角形进而得出45CEB ∠=︒ ，△ABE =15°，△EBC =75°，根据△BCH =30°得出CH=CB=CF ，根据题意列等式64t -=求出t =，∥过点E 作MN 垂直AB ，设AE =，求证出 ~FEM EBN ∆∆ ，根据相似的性质结合4DF t =，64CF t =- ，32FG t =- 得出EG =-=，再结合EGH FGE ∽得出()232t -=进而表示出CG ，代入面积公式()21CG 2CGH S ∆==即可；【详解】解：(1)连接BF ，如图：已知矩形ABCD 中，BE EF ⊥ ， ∥∥BEF =∥BCF =90°，∥点B ， C ，F ， E 四点共圆，∥∥EBF =∥ACD （同圆中同弧所对圆周角相等），∥,AD EFtan ACD tan EBF CD BE∠==∠=∥BE =(2) ∥存在，当H 、B 重合时，如图所示：由(1)知，∥EBF =30°， ∥∥ACD =∥EBF =30°，则∥ACB =60°，∥FH AC ⊥ 即∥BGC =90°，BC =∥BG =3，CG =，同理可得CF=2，FG=1，EG CG ==∥CE =， ∥AE AC CE =- ，又∥已知矩形ABCD 中，6cm AB BC ==，，∥AC =，∥AE =∥点E 从A 出发沿AC 方向以/s 的速度向终点C 运动， ∥t=1； ∥∥∥CFH 为等腰三角形，又∥∥ACD =30°， ∥60CFH ∠=︒ ， ∥∥CFH 为等边三角形， ∥FG =GH ，又由（1）知90BEF ∠=︒， ∥FG =GH =EG ， ∥45CEB ∠=︒ ， ∥∥ABE =15°， ∥∥EBC =75°， ∥∥BCH =30°，∥∥CHB 为等腰三角形， ∥CH =CB =CF ，∥3CE CG EG =+=，∥3AE CE == ，即3= ，解得：t =， ∥由题意知：过点E 作MN 垂直AB ，设AE =，则由（1）得EN =，3t AN =，∥∥FME =∥ENB ，∥FEM +∥BEN=∥BEN +∥EBN=90°， ∥∥FEM =∥EBN ， ∥FEM EBN ∆~∆ ， ∥ME MFBN EN= ，，∥MF =t ，∥4DF DM MF AN MF t =+=+=，则64CF t =- ， ∥32FG t =- ，∥CG = ，EG AC AE CG =--=-=，在t R EFH ∆中，EG FH ⊥ ，,EGH FGE ∴∽ ,EG GH FG EG∴= ∥2EG GH FG =⨯ ，∥()()232t =⨯-，∥()232t -∥CG GH =，∥()()221122CGH S CG ∆===；【点睛】此题属于四边形综合试题，考查动点问题，涉及到圆周角，三角形相似，特殊角的直角三角形各边的关系及等边三角形的证明，有一定难度．19．（2021·苏州市胥江实验中学校九年级）如图，在ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 边于点D ，交AC 边于点E ．过点D 作O 的切线，交AC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，且DF AC ⊥，连接DE ．（1）求证：ABC 是等腰三角形；（2）求证：2DE EF AC =⋅；（3）若6BG =，2CF =，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）DF 是△O 的切线，得到∥ODF =90°，再求出∥C +∥FDC =90° ，∥C =∥BDO ，由OB =OD ，得∥BDO =∥ABC ．∥C =∥ABC ，即可求解．（2）因为AB 是直径，得到90ADB ∠=︒,知道AB AC =,BAD CAD ∠=∠,BD DE =,推出，ABD DEF ∽，得到AC DEDE EF=即可求解；（3）求出∥ODG∥∥AFG ，得出比例式，即可求出圆的半径．【详解】（1）证明： ∥DF 是△O 的切线， ∥OD ∥DF ． ∥∥ODF =90°．又∥∥BDO +∥ODF +∥FDC =180°， ∥∥BDO +∥FDC =90°． ∥DF ∥AC ， ∥∥DFC =90°， ∥∥C +∥FDC =90°． ∥∥C =∥BDO ． ∥OB =OD ， ∥∥BDO =∥ABC ． ∥∥C =∥ABC ． ∥AB =AC ．∥∥ABC 是等腰三角形；（2）连接AD ，∥AB 是直径 90ADB ∴∠=︒, AB AC =,BAD CAD ∴∠=∠,BD DE ∴=,在ABD △和DEF 中90ADB DFE ABD DEF∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩ ABD DEF ∴∽,AB BDDE EF∴= ,AB AC BD DE ==AC DEDE EF∴= 2DE EF AC ∴=⋅ （3）解：∥AB =AC ， ∥∥ABC =∥C ， ∥OB =OD ， ∥∥ABC =∥ODB ， ∥∥ODB =∥C ， ∥OD ∥AC ， ∥∥GOD ∥∥GAF ， ,OD GOAF GA∴= ∥设△O 的半径是r ，则AB =AC =2r ， ∥AF =2r -2， 6,2262r rr r+∴=-+ ∥r =3，经检验：3r =是原方程的根，且符合题意，即△O 的半径是3．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 20．（2021·广东中山·）如图，已知等腰ABC ∆的顶角36A ∠=︒．（1）根据要求用尺规作图：作ABC ∠的平分线交AC 于点D ；（不写作法，只保留作图痕迹．）（2）在（1）的条件下，证明：BDC ∆是等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 、BC 于点M 、N ，然后以点M 、N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，交于点O ，连接BO ，交AC 于点D ，则问题可求解；（2）由题意易得72ABC C ∠=∠=︒，然后可得72C CDB ∠=∠=︒，则问题可求证．【详解】.解：（1）如图所示：BD 即为所求；（2）∥36A ∠=︒，∥()18036272ABC C ∠=∠=︒-︒÷=︒， ∥BD 平分ABC ∠，∥72236ABD DBC ∠=∠=︒÷=︒， ∥1803672872CDB ∠=︒-︒-=︒， ∥72C CDB ∠=∠=︒， ∥BD BC =，∥BDC都是等腰三角形．【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2021·浙江）如图，矩形ABCD中，点E为BC边上一点，把ABE△沿着AE折叠得到AEF，点F落在AD边的上方，线段EF与AD边交于点G．（1）求证：AGE是等腰三角形（2）试写出线段FG，GD，EC三者之间的数量关系式（用同一个等式表示），并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）GD=GF+EC，证明见解析．【分析】（1）根据矩形性质、折叠性质及等角对等边可以得到证明；（2）根据折叠性质及（1）可得AG+GD=FG+GA+EC，从而得到GD=GF+EC．【详解】解：(1)证明:在矩形ABCD中，有:AD∥BC且AD=BC.∥∥DAE=∥BEA.∥∥ABE沿着AE折叠得到∥AEF.∥∥AEB= ∥AEG.∥∥GAE=∥GEA.∥GA=GE.∥∥AGE是等腰三角形.(2)GD=GF+EC.证明:根据折叠的性质:BE=EF.∥GE=GA、AG+GD=BE+EC.∥AG+GD=EF+EC.∥EF=FG+GE=FG+GA.∥AG+GD=FG+GA+EC.∥GD=GF+EC.【点睛】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质是解题关键．22．（2021·安徽）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上不与A，B重合的一动点，AC ＝CD，连接AC，CD，AD，BC，延长BC交AD于F，交半圆O的切线AE于E．（1）求证：∥AEF是等腰三角形；（2）填空：∥若AE BE＝5，则BF的长为；∥当∥E的度数为时，四边形OACD为菱形．【答案】（1）见详解；（2）∥3；∥60°【分析】（1）由AB为半圆O的直径，AE是切线，可得∥EAC=∥ABC，结合圆周角定理的推论可得∥EAC=∥CAD，从而得ACE≌ACF，，进而即可得到结论；（2）∥由等腰三角形的性质得EF=2CE，再利用勾股定理求出AB的值，然后利用面积法求出AC的值，进而即可求解；∥利用菱形的性质和圆的性质，可得ACO是等边三角形，结合圆周角定理，即可求得答案．【详解】（1）证明：∥AB为半圆O的直径，AE是切线，∥∥ACB=90°，∥EAB=90°，∥∥EAC+∥CAB=∥CAB+∥ABC=90°，∥∥EAC=∥ABC，∥AC＝CD，∥∥ABC =∥CAD，∥∥EAC=∥CAD，又∥∥ACE=∥ACF=90°，AC=AC，∥ACE≌ACF，∥AE=AF，∥∥AEF是等腰三角形；（2）∥∥∥AEF是等腰三角形，AE=AF，AC∥BE，∥点C是EF的中点，即:EF=2CE，∥AE ∥AB ，∥AB∥1122AEBSAE AB BE AC =⋅=⋅，∥2AE AB AC BE ⋅===，∥1CE =， ∥EF =2CE =2， ∥BF =BE -EF =5-2=3，故答案是：3； ∥连接OC ，∥四边形OACD 为菱形， ∥OA =OD =CD =AC =OC ， ∥ACO 是等边三角形， ∥∥AOC =60°， ∥∥ABE =30°， ∥∥E =90°-30°=60°．故答案是：60°．【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其推论，是解题的关键．23．（2021·广东）如图，已知等腰三角形ABC 的顶角∥A ＝108°．（1）在BC 上作一点D ，使AD ＝CD （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．（2）求证：∥ABD 是等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图直接进行求解即可；（2）由题意易得∥B＝∥C＝36°，然后根据三角形内角和与外角的性质及等腰三角形的判定可进行求解．【详解】解：（1）如图，点D即为所求；（2）连接AD，∥AB＝AC，∥A＝108°，∥∥B＝∥C＝36°，由（1）得：AD＝CD，∥∥DAC＝∥C＝36°，∥∥ADB＝∥DAC+∥C＝72°，∥BAD＝∥BAC﹣∥DAC＝108°﹣36°＝72°，∥∥BAD＝∥BDA，∥AB＝BD，∥∥ABD是等腰三角形．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．。

等腰直角三角形的性质

等腰直角三角形的性质
等腰直角三角形的性质：稳定性，两直角边相等，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一等。

等腰直角三角形符合勾股定理、正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理。

等腰直角三角形的性质：稳定性，两直角边相等，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一等。

等腰直角三角形符合勾股定理、正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理。

性质是什么
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形〔有一个角是直角〕，也是特殊的直角三角形〔两条直角边等〕，因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质〔如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等〕。

当然，等腰直角三角形同样具有一般三角形的性质，如正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理等。

等腰直角三角形三边比例为1：1：√2。

等腰直角三角形斜边长
利用勾股定理。

两条直角边的平方和=斜边的平方。

假如直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么
a2+b2=c2。

还有就是可以利用在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边一半，利用所对的那个直角边也可以求出来。

等腰三角形和勾股定理

等腰三角形和勾股定理1、等腰三角形（1）定义:有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底。

②两腰的夹角叫做顶角。

③腰与底的夹角叫做底角。

说明：顶角=180°- 2底角底角=顶角顶角21-902180︒=-︒可见，底角只能是锐角。

（2）性质①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。

②等边对等角。

③三线合一（顶角）。

（3）判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个角相等的三角形是等腰三角形。

2、等边三角形（1）定义:三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

（2）性质①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。

②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。

③等边三角形的三个内角都等于60°。

（3）判定①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个内角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。

（4）重要结论:在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。

➢ 典例精析题型一：等腰三角形的判定【例1】已知AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．AFBCDE练习1、等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．题型二：等腰三角形性质的应用【例1】等腰三角形的周长是25 cm ,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为__ ___.举一反三：练习1、如图所示，在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，且DA =DB =DC ．（1）已知∠A =︒30，求∠ACB 的度数；（2）已知∠A =︒40，求∠ACB 的度数；（3）已知∠A =︒x ，求∠ACB 的度数；（4）请你根据解题结果归纳出一个结论．练习2、等腰△ABC 中，若∠A =30°，则∠B =________．练习3、等腰△ABC 中，AB =AC =10，∠A =30°，则腰AB 上的高等于___________．题型三：等边三角形性质的应用【例3】如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE =EF =FC 的道理．B ABO EFCBDAB F 练习1、如图1，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF•的形状是（）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。

勾股定理-讲义

勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。