数学线性规划试题答案及解析

数学线性规划试题答案及解析
1.在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜
率的最小值为 .
【答案】
【解析】不等式组表示的区域如图，当取得点时，直线斜率取得最小，最小值为．故选C．
2.若实数满足其中，若使得取得最小值的解有无穷多个，则
等于．
【答案】2．
【解析】表达式可看成是定点与动点连线斜率（点在所给不等式组表示的平面区域内），如图，动直线过定点，为使满足题意的点有无穷多个，此时直
线应过，从而
【考点】本题考查含参数的二元一次不等式组表示平面区域等知识，意在考查画图、用图及计算能力.
3.设实数满足条件，则的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，直线经过可行域，尽可能地向下平移经过点时取到最大值，即的最大值为.
【考点】本题考查线性规划等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．4.已知实数满足：，则的最小值为 .
【答案】
【解析】画出可行域及直线..，如图所示.
平移直线，当经过点时，直线的纵截距最大，所以，
．
【考点】本题考查简单线性规划的应用等知识，意在考查作图、识图、用图的能力及数形结合思想．
5.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6
吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的
每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运
送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝ () A．4 650元B．4 700元C．4 900元D．5 000元
【答案】C
【解析】设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则，目标函数z＝450x＋350y，画
出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4 900元
6.若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．
【答案】－1
【解析】本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．
利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z取最小值－1.
7.已知变量满足约束条件，若的最大值为，则实数 .
【答案】或（对1个得3分，对2个得5分）
【解析】利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如下图所示:
其中点,根据线性规划的知识可得目标函数的最优解在只能是,当目标函数在点A处取得最优解时,有符合题意,当目标函数在点B处取得最优解时, 符合题意,当目标函数在C点取得最优解时, 无解,所以或,故填或.
8.已知点满足约束条件，为坐标原点，则的最大值为．
【答案】5
【解析】作出可行域，得到当位于时，最大，其值为5.
9.浙江理）设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数
________。

【答案】
【解析】此题是线性规划的逆向求解问题，其解法画出不等式组所表示的平面区域后，对目标函数中的进行讨论。

此不等式表示的平面区域如下图所示：，
当时，直线平移到A点时目标函数取最大值，即；当时，直线平移到A或B点时目标函数取最大值，可知k取值是大于零，所以不满足，所以，所以填2；
【考点】此题考查线性规划知识点，把不等式组所表示的平面区域表示出来，然后对k进行分类
讨论即可解决；
10.天津理）设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为（）
A．－7B．－4
C．1D．2
【答案】A
【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，
由题意知,当目标函数表示的直线经过点A(5，3)时，取得最小值，所以的最小值为，故选A.
【考点】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式
出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.
11.陕西理）若点(x, y)位于曲线与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 .
【答案】-4。

【解析】作出曲线与所表示的区域，令，即，作直线，在封
闭区域内平行移动直线，当经过点时，取到最小值，此时最小值为．解题的关键
在于画出曲线围成的封闭区域，并把求的最小值转化为求所表示的直线截距的最大值，通过平移直线即可求解．
【考点】本题主要考查了线性规划的最值问题，考查画图和转化能力，属于中等题。

12.山东理）在平面直角坐标系中，为不等式组，所表示的区域上一动点，则
直线斜率的最小值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】画出可行域得该区域为点形成的三角形，因此的最小值为
【考点】本题考查线性规划下的斜率运算，确定可行域是关键，通过绕旋转来确定最小值
点.
13.若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）
∴
=，设与的
△ABC
交点为D，则由知，∴
∴选A。

14.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。

销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元
【答案】D
【解析】设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即
已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故
，故选择D。

15.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
（单位：亩）分别为
A、50,0
B、30.0
C、20,30
D、0,50
【答案】B
【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为
.线性约束条件为即作出不等式组表示的可行域,易求得点.
平移直线，可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且（万元）.故选B.
【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题.
16.若实数满足，若使得取得最小值．
【答案】
【解析】如图，作出表示的可行域，则直线过定点，故使得
取得最小值为．
【命题意图】本题考查含参数的二元一次不等式组表示平面区域等知识，意在考查画图、用图及计算能力．
17.设满足约束条件，若的最小值为，则（）
A．1B．2C． 3D． 4
【答案】B
【解析】画出可行域，设，变形为，当取到最小值时，直线的纵截距最小，所以B是最优解，代入目标函数得，解得
．
【命题意图】本题考查线性规划等基础知识，意在考查数形结合思想的运用能力．
18.已知满足约束条件则的最大值是；
【答案】6
【解析】解：作出不等式组表示的平面区域（如图），
把目标函数
化为
令，作直线，把直线平移经过可行域内点时，的值最小，经过可行域内点时，的值最大．由得，由得，此时．
【命题意图】本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率与边界直
线的斜率的大小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程度，意在考查数形结合的应用能力
和计算能力．
19.设变量满足约束条件：，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，作出约束条件确定的可行域，
因为，设，则当直线过点时，取得最小值，当直线
过点时，取得最大值.
由解得；由解得.
所以的最小值为；最大值为.故，所以的取值范围为.故选A.
【命题意图】本题主要考查线性规划中的最值问题以及数形结合的数学思想等.
20.若实数x，y满足且的最大值为，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】A．
【解析】目标函数，其中表示可行域内点与点连线
的斜率．当时，画出可行域为如图1所示的阴影区域（包括边
界）．
解得；当时，可行域如
图2所示的阴影区域（包括边界），此时与题意的最大值为不符；当时，可行域如图3所示的阴影区域（包括边界），此时也有与题意
也不符．综上所述，，故选A．
【命题意图】本题考查线性规划基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．。