【中考数学】整式乘法与因式分解易错压轴解答题练习题(及答案)

【中考数学】整式乘法与因式分解易错压轴解答题练习题(及答案)
一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题
1．[数学实验探索活动]
实验材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片.
实验目的：
用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.
例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积，写出相应的等式有a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2.
问题探索：
（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片________张，长方形纸片________张；
（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块，可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；
（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框3内.
2．如图1，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张.
（1）用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图2，用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式________；
（2）选取1张A型卡片，10张C型卡片，________张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为________；
（3）如图3，两个正方形边长分别为m、n，m+n=10，mn=19，求阴影部分的面积. 3．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正
方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，可以发现代数式2a²+5ab+2b²可以因式分解为________.
（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，
求图中空白部分的面积.
4．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形
（1）若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ________ .(只要写出一个即可)
（2）请利用(1)中的等式解答下列问题:
①若三个实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值
②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z= ，x2+4y2+9z2=44，求2xy-3xz-6yz的值
5．【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次_一项式ax2+bx+c进行因式分解呢?我们已经知道，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2.反过来，就得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).
我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1， a2， c1，c2，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1， c1位于图的上一行，a2， c2位于下一行.
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.
例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2×（-3)；然后把1，1，2，-3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解为(x+2)(x-3).
（1）请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6=________.
（2）【理解与应用】
请你仔细体会上述方法，并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
Ⅰ.2x2+5x-7=________；
Ⅱ.6x2-7xy+2y2=________ .
（3）【探究与拓展】
对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解.如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
Ⅰ.分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=________ .
Ⅱ.若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24 可以分解成两个一次因式的积，求m的值.________
Ⅲ.己知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1，请写出一组符合题意的x，y的值.________
6．阅读下列材料:
对于多项式x2+x-2，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+x-2的值为0，这时可以确定多项式中有因式(x-1):同理，可以确定多项式中有另一个因式(x+2)，于是我们可以得到:x2+x-2=(x-1)(x+2)
又如:对于多项式2x2-3x-2，发现当x=2时，2x2-3x-2的值为0，则多项式2x2-3x-2有一个因式(x-2)，我们可以设2x2-3x-2=(x-2)(mx+n)，解得m=2，n=1，于是我们可以得到:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1)
请你根据以上材料，解答以下问题:
（1）当x=________时，多项式6x2-x-5的值为0，所以多项式6x2-x-5有因式________ ，从而因式分解6x2-x-5=________.
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式.请你尝试用试根法分解多项式:①2x2+5x+3;②x3-7x+6
（3）小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想:
代数式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3有因式________ ，________ ，________ ，所以分解因式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3= ________。

7．
（1）若m2+n2=13，m+n=3，则mn=________ 。

（2）请仿照上述方法解答下列问题：若(a-b-2017)2+(2019-a+b)2=5，则代数式的值为________。

8．观察下列一组等式，然后解答后面的问题
，
，
，
（1）观察以上规律，请写出第个等式：________ 为正整数）．
（2）利用上面的规律，计算：
（3）请利用上面的规律，比较与的大小．
9．效学活动课上老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B 种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B 种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：________，
方法2：________；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2， a2+b2， ab之间的等量关系________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值；
②已知（2019-a）2+（a-2018）2=5，求（2019-a）（a-2018）的值．
10．如图所示,在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路.
（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：
方法①：________ 方法②：________
请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是：________
（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：
①已知：，求的值；
②己知：，求的值.
11．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则
原式=A2+2A+1=（A+1）2
再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2．
上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=________．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
12．著名的瑞士数学家欧拉曾指出：可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和，即
，这就是著名的欧拉恒等
式，有人称这样的数为“不变心的数”．实际上，上述结论可概括为：可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和．
【阅读思考】
在数学思想中，有种解题技巧称之为“无中生有”．例如问题：将代数式
改成两个平方之差的形式．解：原式
﹒
（1）【动手一试】试将改成两个整数平方之和的形式．（12+52）（22+72）=________；
（2）【解决问题】请你灵活运用利用上述思想来解决“不变心的数”问题：将代数式改成两个整数平方之和的形式（其中a、b、c、d均为整数），并给出详细的推导过程﹒
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一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题
1．（1）3；3
（2）解：∵大长方形长为a+3b，宽为a+b
∴面积S=（a+3b）（a+b）
又∵大长方形由三个大正方形，一个小正方形和四个小长方形组成
∴面积S=a2+4ab+3b2
∴a2
解析：（1）3；3
（2）解：∵大长方形长为a+3b，宽为a+b
∴面积S=（a+3b）（a+b）
又∵大长方形由三个大正方形，一个小正方形和四个小长方形组成
∴面积S=a2+4ab+3b2
∴a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）
（3）解：∵由2b2+5ab+2a2可知
大长方形由两个小正方形和两个大正方形以及五个长方形组成，如图
∴2b2+5ab+2a2=（2b+a）（b+2a）.
【解析】【解答】（1）∵（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2；
∴拼图需要两个小正方形，一个大正方形和三个小长方形
∴需要3个正方形纸片，3个长方形纸片.
【分析】（1）根据多项式（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2可发现矩形有两个小正方形，一个大正方形和三个小长方形.（2）正方形、长方形硬纸片一共八块，面积等于长为a+3b，宽为a+b的矩形面积.所以a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）（3）正方形、长方形硬纸片共9块，画出图形，面积等于长为a+2b，宽为2a+b的矩形面积，则2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）
2．（1）(a+b)2=a2+b2+2ab
（2）25；a+5b
（3）解：阴影部分的面积为
则阴影部分的面积为
=432
答：阴影部分的面积为 432 .
【解析】【解答
解析：（1）
（2）25；
（3）解：阴影部分的面积为
则阴影部分的面积为
答：阴影部分的面积为 .
【解析】【解答】（1）方法一：这个正方形的边长为，则其面积为
方法二：这个正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和
则其面积为
因此，可以得到一个等式
故答案为：；
（ 2 ）设选取x张B型卡片，x为正整数
由（1）的方法二得：拼成的正方形的面积为
由题意得：是一个完全平方公式
则
因此，拼成的正方形的面积为
所以其边长为
故答案为：25，；
【分析】（1）方法一：先求出这个正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可得；方法二：这个正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和即可得；然后根
据方法一与方法二的面积相等可得出所求的等式；（2）设选取x张B型卡片，根据（1）中的方法二求出拼成的正方形的面积，然后利用完全平方公式即可求出x的值，最后根据正方形的面积公式即可得其边长；（3）先利用阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个直角三角形的面积求出阴影部分的面积，再利用完全平方公式进行变形，然后将已知等式的值代入求解即可.
3．（1）（a+2b）（2a+b）
（2）解：由已知得： {2(a2+b2)=2426a+6b=78
化简得
②平方的：
化简得：
将①代入③得到：ab=24
∴空白部分的面积为
解析：（1）（a+2b）（2a+b）
（2）解：由已知得：
化简得
②平方的：
化简得：
将①代入③得到：ab=24
∴空白部分的面积为 5ab=120（）
【解析】【解答】（1）2a²+5ab+2b² = （a+2b）（2a+b）
解：由已知得：
化简得
∴
∴ab=24
∴空白部分的面积为 5ab=120（平分厘米）
【分析】（1）利用等面积法即可得到答案。

图中大长方形的面积可以用面积公式S=长×宽=（a+2b）（2a+b），也可以看成是2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形组成，即S= 2a²+5ab+2b²，所以 2a²+5ab+2b² = （a+2b）（2a+b）；
（2）图中阴影部分的面积为、大长方形纸板的周长为
、根据题意联立方程解得ab，即可得到空白部分的面积6ab.
4．（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
且a+b+c=11， ab+bc+ac=38
∴a
解析：（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
且a+b+c=11， ab+bc+ac=38
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)
=112-2×38
=45
②∵2x×4y÷8z=
2x×22y÷23z=2-2
∴2x+2y-3z=2-2
∴x+2y-3z=-2
∵(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)
∴(-2) 2=44+2(2xy-3xz-6yz)
∴2xy-3xz-6yz=-20
【解析】【分析】（1）根据边长为(a+b+c)的正方形面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+边长为c的正方形的面积之和，再加上边长分别为a、b的长方形的面积+边长分别为a、c的长方形的面积+边长分别为c、b的长方形的面积，列式计算即可。

（2）①将（1）中的结论转化为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)，再整体代入求值；②利
用幂的运算性质，将2x×4y÷8z= 转化为x+2y-3z=-2，再利用完全平方公式可得到(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)，再整体代入计算可求出2xy-3xz-6yz的值。

5．（1）(x+3)(x-2)
（2）(x-1)(2x+7)；(2x-y)(3x-2y)
（3）(x+2y-1)(3x-y+4)；解：如图，
∵关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-
解析：（1）(x+3)(x-2)
（2）(x-1)(2x+7)；(2x-y)(3x-2y)
（3）(x+2y-1)(3x-y+4)；解：如图，
∵关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，
∴存在其中1×1=1，9×(-2)=-18，(-8)×3=--24；
而7=1×(-2)+1×9，-5=1×(-8)+1×3，
∴m=9×3+(-2)×(-8)=43或m=9×(-8)+(-2)×3=-78.
故m的值为43或者-78.
；x=-1，y=0(答案不唯一)
【解析】【解答】（1）将式子x 2 -x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=3×（-2)；然后把1，1，3，-2按下图所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(+3)+1×(-2)=-1，恰好等于一次项的系数1，于是x 2+ x-6就可以分解为(x+3)(x-2).
（2）根据基本原理，同样得出十字交叉图：
Ⅰ. II.
∴ 2x2+5x-7= (x-1)(2x+7), 6x2-7xy+2y2=(2x-y)(3x-2y);
（3）Ⅰ. 根据 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 分解因式的基本原理得如图所示的双十字交叉图：
所以 3x2+5xy-2y2+x+9y-4= (x+2y-1)(3x-y+4) ；
Ⅱ
如图：x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成(x-2y+3)(x+9y-8),或分解成：(x-2y-8)(x+9y+3),
所以m=43或-78.
III.x2+3xy+2y2+2x+3y=-1, 得 x2+3xy+2y2+2x+3y+1=0,
如图所示：得(x+2y+1)(x+y+1)=0，∴ x+2y+1=0，或x+y+1=0，或 x+2y+1=0且x+y+1=0
∴如当x=-1时，y=0,或x=3,y=-4等均可使上式成立。

【分析】（1）根据题给基本原理分步解答，即左侧相乘等于二次项，右侧相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于中间项，最终得出如图所示的十字交叉结果。

（2）根据十字相乘法的原理画出十字相乘图，就能得出分解因式的结果。

（3）I.对于双十字相乘法，同样也模仿十字相乘法根据其基本原理，分步解答，画出双十字交叉图，根据原理验证各项系数，得出因式分解的结论。

II.y项系数不定，先根据双十字相乘法画出双十字相乘图，在满足其他项系数前提下，再算m项系数。

III.先根据双十字相乘原理分解因式，要使二元二次式等于零，只要一个因式等于即可，所以符合条件的答案不唯一。

6．（1）1；x-1；(x-1)(6x+5)
（2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)
②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)
（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(
解析：（1）1；x-1；(x-1)(6x+5)
（2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)
②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)
（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(y-2)3-(x-y)3=3(x-2)(y-2)(x-y)
【解析】【分析】（1）根据阅读材料可知当x=1时多项式6x2-x-5的值为0，从而可得到多项式6x2-x-5的一个因式为（x-1）即可将此多项式分解因式。

（2）将x=-1代入2x2+5x+3，可知其值为0，因此可将此多项式分解因式；将x=1代入x3-7x+6，可知 x3-7x+6=0，再将x=2代入，可知x3-7x+6=0，从而可将其多项式进行分解因式。

（2）利用试根法，将已知多项式进行分解因式即可。

7．（1）-2
（2）-4038
【解析】【解答】解：（1）∵ m+n=3 ，
则（m+n）2=9,
m2+n2+2mn=9,
,
∴mn=(9-13)÷2=-2，
（2）设 a-b-
解析：（1）-2
（2）-4038
【解析】【解答】解：（1）∵m+n=3，
则（m+n）2=9,
m2+n2+2mn=9,
,
∴mn=(9-13)÷2=-2，
（2）设a-b-2017=m,2019-a+b=n,
则m+n=a-b-2017+2019-a+b=2,
∴(m+n)2=4,
则
故答案为：-4038.
【分析】（1）利用完全平方公式进行代数式变形求得：，把m2+n2
和m+n的值代入即可求出mn的值.
（2）根据题（1），设a-b-2017=m,2019-a+b=n，先求m+n的值，利用题（1）的结论代值即可求出mn的值，则求值式的值可求。

8．（1）(n+1+n)(n+1-n)=1
（2）解：原式
（3）解：，，
119+18<118+17 ，
．
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第 n 个等式为 (n
解析：（1）
（2）解：原式
（3）解：，，
，
．
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第个等式为
；
故答案为：
【分析】（1）根据已知等式，可得第个等式为；（2）利用分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减计算即得；
（3）先求出的大小，从而得出结论.
9．（1）（a+b）2；a2+b2+2ab
（2）（a+b）2=a2+b2+2ab
（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴25=13+2ab，
∴ab=6；
②∵（a+b）2=a2+
解析：（1）（a+b）2；a2+b2+2ab
（2）（a+b）2=a2+b2+2ab
（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴25=13+2ab，
∴ab=6；
②∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴[（2019-a）+（a-2018）]2=（2019-a）2+（a-2018）2+2（2019-a）（a-2018），
即1=5+2（2019-a）（a-2018），
∴（2019-a）（a-2018）=-2．
【解析】【解答】解：方法1：S=（a+b）2，
方法2：S=a2+b2+2ab；
故答案为（a+b）2， a2+b2+2ab；（2）由面积相等，可得（a+b）2=a2+b2+2ab；
故答案为（a+b）2=a2+b2+2ab
【分析】（1）正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和；（2）由同一图形面积相等即可得到关系式；（3）根据（a+b）2=a2+b2+2ab，将所给条件代入即可求解10．（1）（a-b）2；a2-2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2
（2）解：①把代入
∴ 52=20-2ab ，
∴ ab=-2.5
②原式可化为：
∴
∴ 2(x
解析：（1）（a-b）2；a2-2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2
（2）解：①把代入
∴，
∴
②原式可化为：
∴
∴
∴
【解析】【解答】解：（1）方法①：草坪的面积=（a-b）（a-b）= ．
方法②：草坪的面积= ；
等式为：
故答案为：，；
【分析】（1）方法①是根据已知条件先表示出矩形的长和宽，再根据矩形的面积公式即可得出答案；方法②是正方形的面积减去两条道路的面积，即可得出剩余草坪的面积；根据（1）得出的结论可得出；（2）①分别把的值和
的值代入（1）中等式，即可得到答案；②根据题意，把（x-2018）和（x-2020）变成（x-2019）的形式，然后计算完全平方公式，展开后即可得到答案.
11．（1）（x﹣y+1）2
（2）解：令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2 ，
故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2
（3）证明：（n+1）（
解析：（1）（x﹣y+1）2
（2）解：令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，
故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2
（3）证明：（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1.
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1.
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1.
=（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方.
【解析】【分析】（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
(2)令A=a+b,带入后因式分解即可将原式因式分解；
(3)将原式转化为(n²+3n) [(n+1)（n+2）]+1,进一步整理为(n²+3n+1) ²,根据n为正整数，从而说明原式是整数的平方.
12．（1）(12+52)(22+72)=32+372
（2）解： (a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2 ，证明如下：
(a2+b2)(c2+d2) =(a2c2
解析：（1）
（2）解：，证明如下：
【解析】【分析】（1）根据欧拉公式即可得出答案。

（2）根据欧拉公式再利用完全平方公式的性质进行证明即可得出答案；由题意可设m=a2+b2， n=c2+d2，求出mn的乘积，从而发现规律．。