高一数学第12讲：幂函数函数与方程(学生版

第12讲 幂函数、函数与方程（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（相关知识点精讲，标题加粗，正文宋体5号，单倍行距，首行缩进2字符）一、 幂函数的定义与性质1． 幂函数的定义一般地,形如y=x α（x ∈R ）的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.如y=x 2,y=x 21,y=x 3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. 2，幂函数的图像我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.我们在研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x 21,y=x 2,y=x 3,y=x -1的图象.列表:描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1.图2-3-1幂函数的性质小结：（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）；（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.二、函数和方程１．方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.２．一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.３．方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点零点存在性定理：①在闭区间［a,b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤： 1°确定区间［a,b ］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε. 2°求区间(a,b)的中点c. 3°计算f(c):a.若f(c)=0，则c 就是函数的零点；b.若f(a)·f(c)<0，则令b=c 〔此时零点x 0∈(a,c)〕；c.若f(c)·f(b)<0，则令a=c 〔此时零点x 0∈(c,b)〕. 4°判断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°~4°． 小贴士：由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.（添加2条以上，加粗，宋体5号）1、从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.2、结合函数图象性质判断方程根的个数３、用二分法求方程的近似解（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）【例1】判断下列函数哪些是幂函数.①y=0.2x ;②y=x -3;③y=x -2;④y=x 51. 【例2】求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x 32,（2）y=x 23 ,（3）y=x -2.【例3】证明幂函数f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数.【例4】 已知函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.(1)函数有两个零点; (2)函数有三个零点;(3)函数有四个零点.【例5】 若关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a 的取值范围.【例6】 若方程2ax 2-x-1=0在(0，1)内有解，求实数a 的取值范围.【练1】 下列幂函数为偶函数的是( )A ． 12y x = B ．y = C ．2y x = D ． 1y x -=【练2】 设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( )A ． 1,3B ． －1,1C ． －1,3D ． －1,1,3【练3】 函数2(4)y x =+的递减区间是( )A ． (－∞，－4)B ． (－4，＋∞)C ． (4，＋∞)D ． (－∞，4)【练4】 幂函数的图象过点1(2,)4，则它的单调递增区间是( ) A ． (0，＋∞) B ． [0，＋∞) C ． (－∞，0) D ． (－∞，＋∞)【练5】 设α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，则使()f x x α=为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( ) A ． 1 B ．2C ． 3D ． 4【练6】 幂函数()f x x α=满足1x >时()1f x >，则α满足条件 ( )A ．1α>B ．01α<<C ．0α> D ．0α>且1α≠【练7】 函数21()(5)m f x m m x-=--是幂函数，且当(0,)x ∈+∞时，()f x )是增函数，试确定m 的值．【练8】 已知函数221()(2)m m f x m m x+-=+，m 为何值时，()f x 是：(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数？【练9】 已知点2)在幂函数()f x 的图象上，点1(2,)4-在幂函数()g x 的图象上，问当x为何值时，(1)()()f x g x >；(2)()()f x g x =；(3)()()f x g x <．【练10】 已知幂函数39()m y x m N -*=∈)的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上函数值随x 的增大而减小，求满足(1)(32)33m ma a +-<--的a 的范围．【练1】 关于x 的函数(1)y x α=-(其中α的取值范围可以是1,2,3，－1，12)的图象恒过点_________【练2】 已知2.4 2.5αα>，则α的取值范围是________． 【练3】 函数12()(1)(1)f x x x =-+-的定义域为________．【练4】 幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式是________．【练5】 设(0,1)x ∈)时，()py x p R =∈的图象在直线y x =的上方，则p 的取值范围是________．【练6】 下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．13y x = B ．12y x -=C ．53y x=D. 23y x =【练7】 函数()2xf x -=0x ，则0x 必属于区间( )A ．1(0,)3B ．11(,)32C ．1(,1)2D ．(1,2)【练8】 以下关于函数y x α=当0α=时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错【练9】 已知幂函数()f x 的图象经过点(2,2，则(4)f 的值为 ( ) A ． 16 B ．116C ．12D ． 2 【练10】已知幂函数的图象223(,0)m m y x m Z x --=∈≠与),x y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ． -1或1B ． -1,1或3C ． 1或3D ． 3【练1】 证明函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上恰有两个零点.【练2】 分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系. ①y ＝x -1,y ＝x -2,y=x -3;②y ＝x21-,y ＝x31-;③y=x,y=x 2,y=x 3;④y=x 21,y ＝x 31.1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( )A.14 B ．4 C.22D. 22．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f (12)的值为( )A ．－3B ．－13C ．3D.133．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．35 .函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )．A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64} 6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是 ( )．A ．3B ．4C ．5D ．67．对于函数y ＝x 2，y ＝x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．8．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 9．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．10．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，12则m 的取值范围是________．11．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．13．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．14．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)． (1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．课程顾问签字： 教学主管签字：。