条件概率与全概率公式

事件的独立性条件概率与全概率公式

事件的独立性条件概率与全概率公式事件的独立性是概率论中一个非常重要的概念。

当两个事件A和B的发生与否不会相互影响时，我们称这两个事件是独立的。

具体来说，事件A的发生与否不会对事件B的发生概率造成影响，同样，事件B的发生与否也不会对事件A的发生概率造成影响。

独立性是概率论中一种核心的概念，它可以帮助我们简化计算过程，提高计算的效率。

在实际问题中，我们通常会用到一些已知的概率，利用独立性可以快速计算出我们所关心的概率。

条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，一些事件发生的概率。

具体来说，设A和B是两个事件，已知事件B已经发生，那么事件A发生的概率记作P(A，B)，读作“A在B发生的条件下发生的概率”。

条件概率可以通过以下公式计算：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率在实际问题中非常常见，它可以帮助我们确定一些事件在给定条件下的概率。

例如，在进行疾病检测时，我们可以根据患者的年龄、性别、家族病史等条件，计算出患病的概率，为疾病的早期预防提供重要依据。

全概率公式是概率论中一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算复杂事件的概率。

全概率公式的核心思想是将一个事件分解为不同的互斥事件，并将这些事件的概率加和起来。

具体来说，设B1、B2、…、Bn是一组互斥事件，且它们的并集构成了样本空间S，那么对于任意一个事件A，全概率公式可以表示为：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)全概率公式的应用场景非常广泛。

例如，在市场调查中，我们希望了解其中一特定群体的消费习惯，但由于无法直接获取到该群体的信息，我们可以通过对不同市场细分的消费者进行调查，然后利用全概率公式将这些细分市场的调查结果综合起来，推断出整个特定群体的消费习惯。

总结起来，事件的独立性、条件概率和全概率公式都是概率论中非常重要的概念和工具。

条件概率公式与全概率公式

2021/3/27
CHENLI
9
推论2 在 A 与 B, A 与 B,A 与 B ， A 与 B这四对事件中,若有一对独立,则另外三对也相互独立。
证明不妨设A.B独立,则
P (A B ) P (A B ) P (A ) P (A) B P (A ) P (A )P (B ) P (A )1 ( P (B ) )P (A )P (B )
20课上练习小王忘了朋友家电话号码的最后一位故只能随意拨最后一个号求他至多拨三次由乘法公式设事件表示三次拨号至少一次拨通表示第i次拨通他只能随意拨最后一个号他连拨三次由乘法公式表示第i次拨通10件产品中有3件次品从中任取2在所取2件中有一件是次品的条件下设事件表示所取2件中有一件次品事件表示另一件也是次品
3
14 1 10 10 10
3. 5
2021/3/27
CHENLI
16
一般 B 1, ： ,B n为设的一个 A 为划一分事，件
P(Bi
|
A)
P( P
AB (A
i
)
)
P(Bi )P(A| Bi ) P( A)
P(Bi )P(A | Bi )
n
P(BK )P(A | BK )
❖——贝叶斯(Bayes)公式
2021/3/27
CHENLI
2
例2 10个人为两张球票抽签，依次抽取，取后不放回，若已知第一个人抽到球票，求第2个人也抽到球票的概率。
解1：设A=“第一个人抽到球票”。 B=“第二个人抽到球票”。
1
则所求为
9
记为 P ( B A)
2021/3/27
CHENLI
3
定义P(： B| A)P(AB) P(A)

条件概率与全概率公式

条件概率与全概率公式
条件概率是指在一定条件下某事件发生的概率，例如，已知某人感染了疾病，求这个人的年龄在40岁以下的概率。

这里，已知某人感染了疾病就是条件，年龄在40岁以下是事件。

条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中，P(A|B)表示在条件B下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

全概率公式是指将一个事件拆分成多个互不重叠的子事件，并计算每个子事件的概率，然后将它们相加得到整个事件发生的概率。

例如，某医院有三个科室，分别是内科、外科和儿科，每个科室的病人比例为60%、30%和10%。

现在需要求这个医院的所有病人中，感染肺炎的比例。

这里，感染肺炎是整个事件，内科、外科和儿科是子事件。

全概率公式为：P(A) = Σ P(A|Bi) * P(Bi)，其中，P(A)表示事件A的概率，P(A|Bi)表示在条件Bi下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示对所有的i求和。

在这个例子中，感染肺炎的比例为：P(肺炎) = P(肺炎|内科) * P(内科) + P(肺炎|外科) * P(外科) + P(肺炎|儿科) * P(儿科)。

- 1 -。

1.3,1.4条件概率,全概率公式

解设 A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子。
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以（2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：

高中数学全概率公式

n
P( Ai )P(B | Ai ) i 1
——求和符号
二、探读与思考
n
P( Ai ) 1
i 1
全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,
且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有
P(B)= =
P(A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P(An )P(B | An ) .
由贝叶斯公式得
P(A|B)＝PAPPBB |A＝00..8858×7 51≈0.958.
堂 21 小结
1.设事件 2.写概率 3.代公式
条件概率 P(B|A)＝PAB―→乘法公式 P(AB)＝P(A)P(B|A) PA
↓
全概率公式由因求果
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋…＋P(BAn) 加法公式
易知, A1∪A2∪A3∪A4=Ω，
且两两互斥，
A4 0.4
四、引导与迁移
由因求果
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
例2：某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概
率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘坐这四种交通工具迟到
的概率分别为
由已知得
0.25,0.3,0.1,0.2,
我们称该式为概率的乘法公式.
回顾旧知
1.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是145,刮风的概率为125,既刮
风又下雨的概率为 1 ,则在下雨天里,刮风的概率为( C ) 10
A.2825
B.12
C.38
D.34
条件概率
1
解:设A=“下雨”,B=“刮风”,AB=“既刮风又下雨”,则

条件概率、乘法公式、全概率公式

条件概率、乘法公式、全概率公式
• 条件概率的定义与性质 • 乘法公式及其应用 • 全概率公式及其应用 • 条件概率、乘法公式、全概率公式的
联系与区别 • 案例分析
01
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
条件概率是指在某一事件B已经发生的情况下，另一事件A发生的概率。数学上表示为P(A|B)，读作“在B 的条件下A的概率”。
总结词
应用乘法公式
详细描述
天气预报中经常使用概率模型来预测未来天气情况。例如，预测明天下雨的概率是70%，那么应用乘法公式可以计算出在明天下雨的条件下，明天是阴天的概率是30%。
案例三：保险业务中的风险评估
总结词
利用全概率公式
详细描述
在保险业务中，全概率公式用于评估风险。例如，一辆汽车在一年内发生事故的概率是0.01，那么可以根据全概率公式计算出在1000辆汽车中，预计有10辆汽车会发生事故。
条件概率的定义公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B) 表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
01
P(A|B) ≥ 0，即条件概率不能是负数。
归一性
02
P(A|B) = 1 - P(¬A|B)，即条件概率满足归一化条件，其中¬A
05
案例分析
案例一：赌博游戏中的概率计算
总结词
理解条件概率
VS
详细描述
在赌博游戏中，条件概率是一个重要的概念。例如，在掷骰子游戏中，如果已知前一个骰子的点数，那么下一个骰子的点数与此无关。这可以通过条件概率公式来描述，即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
案例二：天气预报的概率模型

第十章第四节事件的独立性、条件概率与全概率公式

6．(全概率公式应用致误)在 A，B，C 三地爆发了流感，这三个地区分别有 6%，5%，4%的人患了流感．设这三个地区人口数的比为 3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是__________．
答案：52070 解析：由全概率公式可得，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为 6%×3＋31＋1 ＋5%×3＋11＋1 ＋4%×3＋11＋1 ＝52070 .
2．事件 A 与事件 B 相互独立性
若事件 A 与事件 B 相互独立，则事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率，
即有
P(B|A) ＝ P(B). 反之，若
P(B|A) ＝ P(B) 成立，则
P(AB)
＝ P(A)
P（AB） P（A）
＝
P(A)P(B|A)＝P(A)P(B).
3．n 个事件的相互独立
答案：25 解析：设事件 A 为“解题成功”，即甲乙两个小组至少有一个小组解题成功，
其概率为 P(A)＝1－1－23 ·1－12 ＝56 ，
事件 B 为“乙小组解题失败”，则 P(AB)＝23 ×1－12 ＝13 ，所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为
1 P(B|A)＝PP（（AAB））＝35 ＝25 .
5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．
答案：0.38 解析：设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一地降雨为 A－B ∪－A B，
所以 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝ P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.

概率论公式

n
注：如果有 n 个变量服从同一个 0-1 分布， Xi ~ b(1, p) ，则其和 X Xi 服从二项 i
分布 X ~ b(n, p)
11. Poisson 分布
X ~ P() P( X k) k e , k 0,1,...
F
(x)

0, 1,
x x

c c
E(X ) c
Var( X ) 0
9. 二项分布
X ~ b(n, p)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk E(X ) np
Var( X ) np(1 p)
10. 二点分布（0-1 分布）
X ~ b(1, p)
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
p(
x)

2
n 2
1 (
n
)
e

x 2
x
n 2
1
,
x

0
2

0, x 0
E(X ) n
Var( X ) 2n
Gamma 分布变为 2 分布：
当 X ~ Ga(,) ，则 2 X ~ Ga(, 1) 2 (2 ) 2
20. 严格单调函数Y g(X )
pY ( y) px[h(x)] | h '(x) |
21. K 阶原点矩和中心矩
k E(X k ) k E( X E( X ))k
中心矩和原点矩关系：
k
k Cik i (i )ki i0
22. 变异系数
Cv
(
X
)

( E(

全概率和条件概率的关系

全概率和条件概率的关系
全概率和条件概率是概率论中非常重要的概念，它们之间存在着密切的关系。

全概率是指在一个随机试验中，所有可能结果的概率之和为1。

通常用全概率公式来计算，即在所有可能事件E1、E2、E3…En的基础上，计算它们的概率P(Ei)，并乘以对应的条件概率P(A|Ei)，然后将所有结果加起来得到P(A)。

条件概率则是在给定某一事件发生的前提下，另一事件发生的概率。

通常用条件概率公式来计算，即在已知某一事件A的情况下，另一事件B发生的概率为P(B|A)。

全概率和条件概率之间的关系在于，全概率公式中的条件概率
P(A|Ei)可以通过条件概率公式来计算，即P(A|Ei) = P(A∩Ei) / P(Ei)。

这意味着全概率公式可以转化为P(A) = Σ P(Ei) * P(A|Ei)，其中P(A|Ei)可以用条件概率公式来计算。

因此，全概率和条件概率是概率论中相互依存的概念，它们的关系在实际应用中非常广泛，例如在贝叶斯定理、风险评估、统计推断等领域中都有重要应用。

- 1 -。

条件概率及全概率公式

求解如下: 设B={飞机被击落} Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3
则 B=A1B+A2B+A3B
由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)
+ P(A3)P(B |A3)
依题意，
P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1
为求P(Ai ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3 可求得:
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PB An 已知
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
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例1 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的. 其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占 20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为 90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大?
有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少解? : 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1: P( A | B) P( AB) 3 36 1 P(B) 6 36 2
解法2: P( A | B) 3 1 62
PAnB PAn PB An

高中数学公式大全概率与条件概率的计算公式

高中数学公式大全概率与条件概率的计算公式高中数学公式大全：概率与条件概率的计算公式数学中的概率和条件概率是高中数学中较为重要的概念，在各类数学问题中都有广泛的应用。

为了更好地理解和应用概率与条件概率，掌握相关的计算公式是必不可少的。

本文将为您全面介绍高中数学中概率与条件概率的计算公式，帮助您更好地学习和运用这一重要的数学知识。

一、概率的计算公式1.基本概率公式：在随机试验中，若S是随机试验的样本空间，E是S的某个事件，P(E)表示事件E发生的概率，则基本概率公式如下：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)表示事件E的样本点个数，n(S)表示样本空间的样本点个数。

2.加法公式：若事件A与事件B互不相容（即A与B不同时发生），则加法公式如下：P(AUB) = P(A) + P(B)3.减法公式：若事件A发生，则事件B的非发生记作A-B，减法公式如下： P(A-B) = P(A) - P(A∩B)4.乘法公式：若事件A与事件B相继发生，则乘法公式如下：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

5.全概率公式：对于一事件B，若B能由有限个互不相容的事件A1、A2、...、An组成，并且B=A1∪A2∪...∪An，则全概率公式如下： P(B) = P(A1)×P(B|A1) + P(A2)×P(B|A2) + ... + P(An)×P(B|An)二、条件概率的计算公式1.条件概率公式：在随机试验中，设A，B是两个事件，且P(A) > 0，则事件B在事件A发生的条件下发生的概率用条件概率表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)2.独立事件的条件概率：若事件A与事件B相互独立，则条件概率公式如下：P(B|A) = P(B)3.乘法公式（条件概率的推广）：若事件A、B同时发生的概率用条件概率表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)4.贝叶斯定理：在全概率公式的基础上，根据条件概率的定义，可以推导出贝叶斯定理：P(A|B) = P(A) × P(B|A) / [P(A) × P(B|A) + P(A') × P(B|A')]三、总结通过学习和掌握上述概率与条件概率的计算公式，我们能够更好地理解和应用概率与条件概率的相关概念。

条件概率与全概率公式

P ( A )＝ P ( B 1 ) P ( A ｜ B 1 )＋ P ( B 2 ) P ( A ｜ B 2 )＋ P ( B 3 ) P ( A ｜ B
3 )＋
P ( B 4 ) P ( A ｜ B 4 )＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋
0.35×0.02＝0.031 5，

∑ ()(｜)
=1
， i ＝1，2，···， n .
[小题诊断]
1.
1
1
若 P ( A ｜ B )＝， P ( B )＝，则 P ( AB )的值是(
9
3
A )
1
1
1
由 P ( AB )＝ P ( A ｜ B ) P ( B )，可得 P ( AB )＝ × ＝ .
9
3
27
2. 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失
[解]
设第1次抽到舞蹈节目为事件 A ，第2次抽到舞蹈节目为事件 B ，
则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件 AB .
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞
()
蹈节目的概率为 P ( B ｜ A )＝
＝
()
2
5
2
3
法二：因为 n ( AB )＝12， n ( A )＝20，
总产量的15％，20％，30％和35％，且四条流水线的产品不合格率分别
为0.05，0.04，0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不
合格品的概率是多少？
解：设 A ＝“任取一件这种产品，抽到不合格品”，
B i ＝“任取一件这种产品，结果是第 i 条流水线的产品”( i ＝1，

条件概率及全概率公式

1963.3条件概率及全概率公式教学要求本节要求学生正确理解条件概率的概念及其运算公式，学会运用概率的乘法定理. 对于全概率公式不但要求能深刻理解其内在含义，而且要求学生会熟练运用此公式去解决实际问题. 要求学生掌握两个事件独立的概念，了解多个事件相互独立的条件.知识点1. 条件概率2. 概率的乘法定理3. 全概率公式4. 两个事件的独立性5. 多个事件的独立性 *6.贝叶斯(Bayes )公式 *7.贝努里(Bernoulli )概型3.3.1 条件概率在实际问题中, 除了要知道事件A 的概率P (A )外, 有时还需要知道在事件B 已发生的条件下，事件A 发生的概率, 这就是我们所要讲的条件概率, 将它记为P (A |B ).我们先通过一个例子来引入条件概率的概念. 掷一颗骰子, 观察其出现点数, 令事件A 表示“出现点数小于4”, 则P (A )=1/2, 如果已知事件B 表示“出现偶数点”, 且B 已发生, 这时只剩下三种可能, 即“2点”,“4点”或“6点”. 从而在B 已发生的条件下, A 发生的概率为P (A |B )=1/3, 注意P (B )=1/2, P (AB )=1/6, 此时有)()()()|(A P B P AB P B A P ≠=. 定义.设A ﹑B 是随机试验E 的二个事件, 且P (B )>0, 则称 )()()|(B P AB P B A P =为事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率.不难验证, 条件概率P (A |B )也是一种概率, 它符合概率的三个条件. 由前面的条件概率的定义, 我们可以知道, 计算条件P (A |B )有两种方法: (1)在样本空间Ω的缩减后的样本空间ΩB (事件B 发生时的样本空间)上计算A 发生的（无条件）概率, 就可以得到P (A |B ).(2)样本空间Ω中, 先计算P (AB ) ﹑P (B ), 然后由定义公式求得P (A |B ).197例3.3.1 全年级100名学生中, 有男生(以事件A 表示)80人, 女生20人; 来自北京的(以事件B 表示)有20人, 其中男生12人, 女生8人; 免修英语的(用事件C 表示)40人中有32名男生, 8名女生. 试写出P (A )、P (B )、P (B |A )、 P (A |B ) 、P (AB )、P (C )、P (C |A )、)|(B A P 、P (AC ).解.根据题意有P (A )=80/100=0.8; P (B )=20/100=0.2; P (B |A )=P (AB )/P (A )=12/80=0.15; P (A |B )=P (AB )/P (B )=12/20=0.6 ;P (AB )=12/100=0.12; P (C )=40/100=0.4; P (C |A )=P (AC )/P (A )=32/80=0.4; )|(B A P )()(B P B A P ==15.08012=;P (AC )=32/100=0.32.例3.3.2 8个乒乓球中有5个新的，3个旧的. 第一次比赛时, 同时取出2个, 用完后放回去; 第二次比赛时又取出2个球, 求第一次取到1个新球的条件下, 第二次取到2个新球的概率.解. 设事件A =“第一次取到1个新球”;事件B =“第二次取到2个新球”.由于第一次比赛后, 球被放回去, 因此在A 已发生的条件下, 再取2个球时, 总球数仍为8. 但是, 因第一次比赛所用的一个新球已变成旧球，其新旧比例已变化为: 新球4个, 旧球4个, 所以所求的概率为: 143)|(2824==C C A B P . 由条件概率,我们可以得到概率的乘法定理及两个事件的独立性.3.3.2 概率的乘法定理由前面的条件概率的定义公式,可得到下面的定理.概率的乘法定理. 设A ﹑B 为随机试验E 中的两个事件,且P (B )>0,则有 P (AB )=P (A |B )P (B ).198这个公式称为概率的乘法公式. 同样地,概率的乘法公式还有另一种形式:若P (A )>0, P (AB )=P (B |A )P (A ).例3.3.3. 设在一盒子中装有4个蓝色球和6个红色球, 取球两次, 一次取1个, 取后不放回, 问两次都取到红球的概率是多少? 解. 设事件A =“第一次取到红球”, 事件B =“第二次取到红球” ∵ P (A )=6/10, P (B |A )=5/9,因此 P (AB )=P (B |A )P (A )=1/3.我们还可以将概率的乘法公式推广到3个事件的情形: P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2).我们已经学习了条件概率和概率的乘法定理,由此我们可以得到下面的全概率公式.3.3.3 全概率公式前面我们学习了条件概率和概率乘法定理，下面我们介绍一个重要的公式--全概率公式.定理(全概率定理). 如果事件A 1, A 2, …, A n 构成一个完备事件组, 且P (A i )>0,(i =1,2,…,n ). 则对任一事件B , 有 ∑==ni i i A A B P P B P 1)|()()(这个公式称为全概率公式.证明. A 1, A 2,…,A n 是一个完备事件组, 从而A i (i =1,2,…,n )是两两互斥的, 且P (A i )>0, 由于B 被分成n 个部分A i B (i =1,2,…,n )之和, 且A i B (i =1,2,…,n )也是两两互斥的, 于是 B A A B B ni i ni i ∑∑====11.由概率的可加性及概率乘法定理得到:∑∑====ni i ni i B A P B A P B P 11)()()(=∑=ni i i A A P B P 1)()|(.全概率公式应用较广, 它的基本思路是将一个比较复杂的事件分解成若干个较简单且199两两互斥事件的和, 即要找一个完备事件组, 然后利用概率的可加性及概率乘法定理来计算.例3.3.4 设袋中装有5件同样的产品, 其中3件正品, 2件次品, 每次从袋中取1件,无放回地连续取2次, 求第2次取到正品的概率.解. 设事件A 表示“第1次取到正品”, 则A 表示“第1次取到次品”；事件B 表示“第2次取到正品”．事件A A ,构成一个完备事件组, A B BA B +=(即第2次取正品的可能性是与第1次取到正品或次品有关).因A B BA , 互不相容, 则有)()()()(A B P BA P A B BA P B P +=+= )|()()|()(A B P A P A B P A P += =(3/5)×(2/4)+(2/5)×(3/4)=3/5.例3.3.5 某厂有甲﹑乙﹑丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的25%﹑35%﹑40%. 各自的废品率为5%﹑4%﹑2%, 今从总产品中任取一件, 求所取出的产品为废品的概率.解．设A 1=“所取产品为甲车间生产的”; A 2=“所取产品为乙车间生产的”; A 3=“所取产品为丙车间生产的”; B =“所取产品为废品”. 则A i (i =1,2,3)构成一个完备事件组, 且P (A 1)=0.25, P (A 2)=0.35, P (A 3)=0.4, P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02，由全概率公式有∑==31)|()()(i i i A A B P P B P=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0345.由全概率公式我们可以求出,从总产品中任取一件,其为废品的概率是0.0345；反之，若已知从总产品取出一件,其为废品,反过来求它是甲车间(或乙车间﹑丙车间)生产的可能有多大,即为我们后面要讲的贝叶斯公式.3.3.4 两个事件的独立性前面我们讨论了条件概率P(A|B), 一般说来P(A|B)≠P(A)即事件B的发生对事件A发生的概率是有影响. 但当P(A|B)=P(A), 即B的发生对A发生的概率没有影响,此时即说事件A独立于事件B, 此时由概率乘法定理得到P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B). 由此我们可给出两个事件独立的定义.定义. 设A﹑B是试验E的两个事件, 若有P(AB)=P(A)P(B)则称事件A﹑B为相互独立的事件.由概率乘法定理, 容易得出: 当事件A独立于事件B时, 事件B也独立于事件A, 即独立是一个对称性概念.例如, 从具有次品的一批产品中，有放回的连抽取二次, 每次抽取一件. 这样,事件A(第一次抽得正品)的出现并不影响事件B(第二次抽得正品)的概率, 即事件A与事件B是相互独立的两个事件.定理. 设A﹑B是试验E的两个事件, 且有P(B) >0, 则A与B相互独立的充分必要条件为:P(A|B)=P(A).证明. 必要性. 若A﹑B相互独立,则当P(B)>0时,由概率乘法公式有:P(B)P(A|B)=P(AB)=P(A)P(B)从而 P(A|B)=P(A).充分性. 若P(A|B)=P(A),由概率乘法公式有:P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)P(A)即A﹑B相互独立.在实际问题中, 往往是通过对问题性质的分析来判断事件间是否独立.例3.3.6 甲﹑乙两人同时射击某一目标．设甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.5，求目标被击中的概率.解．设事件A=“甲击中目标”,事件B=“乙击中目标”,事件C=“目标被击中”.从题意可知： C=A+B,且200201P (C )=P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ).由于甲﹑乙射击是相互独立的, 因此可以认为甲﹑乙互不干扰, 从而A 与B 是相互独立的.P (AB )=P (A )P (B )=0.8×0.5=0.4,所以 P (C )=0.8+0.5-0.4=0.9. 例3.3.7 试证A ﹑B 相互独立与以下每一条件等价:(1)事件A 与B 独立；(2)事件A 与B 独立；(3) 事件A 与B 独立.证明．我们在这里只证由A 和B 相互独立,推出A 与B 独立,对于其它情形,由两个事件独立的对称性,同样可以推出.若A 与B 相互独立,则P (AB )=P (A )P (B ).由概率的性质,得到: )(B A P =P (A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )P (B )=P (A )(1-P (B )) =)()(B P A P . 故A 与B 相互独立. 此例的结论,我们可用下表来表示: 表3.3.1表中任意一种情形成立, 都可以推出其它情形成立.由两个事件的独立性的概念，我们可以推出多个事件的独立性.3.3.5 多个事件的独立性前面我们学习了两个事件的独立性的概念﹑定理, 由此我们可以给出三个事件的独立性的概念.定义. 若A ﹑B ﹑C 是随机试验E 中的三个事件, 满足下列条件:(1) P (AB )=P (A )P (B )； (2)P (BC )=P (B )P (C )；202(3) P (AC )=P (A )P (C )； (4)P (ABC )=P (A )P (B )P (C )。

2024版高考数学总复习：条件概率与全概率公式课件

( × )
(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表
示事件A，B同时发生的概率．
( √ )
(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
( √ )
1
2
3
4
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状
完全相同．甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球
一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽
到的是卡口灯泡的概率为(
3
A．
10
2
B．
9
7
C．
8
)
7
D．
9
D
解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2
3
3 7
7
次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝ × ＝，则所求的
10
10 9 30

概率为P(B|A)＝
2
C．
17
)
17
D．
38
解析：记事件A：抽到的至少1张钞票是假钞，记事件B：抽到的
2张钞票都是假钞，
C15 C115 +C25
85
17
C25
1
则P(A)＝
＝＝，P(AB)＝ 2 ＝，
2
C20
190 38
C20 19

因此，P(B|A)＝

1 38
2
＝ × ＝．
19 17 17
根据条件概率的概念(公式)计算条件概率的两种方法：

为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称
条件概率

条件概率及全概率公式

1963.3条件概率及全概率公式教学要求本节要求学生正确理解条件概率的概念及其运算公式，学会运用概率的乘法定理. 对于全概率公式不但要求能深刻理解其内在含义，而且要求学生会熟练运用此公式去解决实际问题. 要求学生掌握两个事件独立的概念，了解多个事件相互独立的条件.知识点1. 条件概率2. 概率的乘法定理3. 全概率公式4. 两个事件的独立性5. 多个事件的独立性 *6.贝叶斯(Bayes )公式 *7.贝努里(Bernoulli )概型3.3.1 条件概率在实际问题中, 除了要知道事件A 的概率P (A )外, 有时还需要知道在事件B 已发生的条件下，事件A 发生的概率, 这就是我们所要讲的条件概率, 将它记为P (A |B ).我们先通过一个例子来引入条件概率的概念. 掷一颗骰子, 观察其出现点数, 令事件A 表示“出现点数小于4”, 则P (A )=1/2, 如果已知事件B 表示“出现偶数点”, 且B 已发生, 这时只剩下三种可能, 即“2点”,“4点”或“6点”. 从而在B 已发生的条件下, A 发生的概率为P (A |B )=1/3, 注意P (B )=1/2, P (AB )=1/6, 此时有)()()()|(A P B P AB P B A P ≠=. 定义.设A ﹑B 是随机试验E 的二个事件, 且P (B )>0, 则称 )()()|(B P AB P B A P =为事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率.不难验证, 条件概率P (A |B )也是一种概率, 它符合概率的三个条件. 由前面的条件概率的定义, 我们可以知道, 计算条件P (A |B )有两种方法: (1)在样本空间Ω的缩减后的样本空间ΩB (事件B 发生时的样本空间)上计算A 发生的（无条件）概率, 就可以得到P (A |B ).(2)样本空间Ω中, 先计算P (AB ) ﹑P (B ), 然后由定义公式求得P (A |B ).197例3.3.1 全年级100名学生中, 有男生(以事件A 表示)80人, 女生20人; 来自北京的(以事件B 表示)有20人, 其中男生12人, 女生8人; 免修英语的(用事件C 表示)40人中有32名男生, 8名女生. 试写出P (A )、P (B )、P (B |A )、 P (A |B ) 、P (AB )、P (C )、P (C |A )、)|(B A P 、P (AC ).解.根据题意有P (A )=80/100=0.8; P (B )=20/100=0.2; P (B |A )=P (AB )/P (A )=12/80=0.15; P (A |B )=P (AB )/P (B )=12/20=0.6 ;P (AB )=12/100=0.12; P (C )=40/100=0.4; P (C |A )=P (AC )/P (A )=32/80=0.4; )|(B A P )()(B P B A P ==15.08012=;P (AC )=32/100=0.32.例3.3.2 8个乒乓球中有5个新的，3个旧的. 第一次比赛时, 同时取出2个, 用完后放回去; 第二次比赛时又取出2个球, 求第一次取到1个新球的条件下, 第二次取到2个新球的概率.解. 设事件A =“第一次取到1个新球”;事件B =“第二次取到2个新球”.由于第一次比赛后, 球被放回去, 因此在A 已发生的条件下, 再取2个球时, 总球数仍为8. 但是, 因第一次比赛所用的一个新球已变成旧球，其新旧比例已变化为: 新球4个, 旧球4个, 所以所求的概率为: 143)|(2824==C C A B P . 由条件概率,我们可以得到概率的乘法定理及两个事件的独立性.3.3.2 概率的乘法定理由前面的条件概率的定义公式,可得到下面的定理.概率的乘法定理. 设A ﹑B 为随机试验E 中的两个事件,且P (B )>0,则有 P (AB )=P (A |B )P (B ).198这个公式称为概率的乘法公式. 同样地,概率的乘法公式还有另一种形式:若P (A )>0, P (AB )=P (B |A )P (A ).例3.3.3. 设在一盒子中装有4个蓝色球和6个红色球, 取球两次, 一次取1个, 取后不放回, 问两次都取到红球的概率是多少? 解. 设事件A =“第一次取到红球”, 事件B =“第二次取到红球” ∵ P (A )=6/10, P (B |A )=5/9,因此 P (AB )=P (B |A )P (A )=1/3.我们还可以将概率的乘法公式推广到3个事件的情形: P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2).我们已经学习了条件概率和概率的乘法定理,由此我们可以得到下面的全概率公式.3.3.3 全概率公式前面我们学习了条件概率和概率乘法定理，下面我们介绍一个重要的公式--全概率公式.定理(全概率定理). 如果事件A 1, A 2, …, A n 构成一个完备事件组, 且P (A i )>0,(i =1,2,…,n ). 则对任一事件B , 有 ∑==ni i i A A B P P B P 1)|()()(这个公式称为全概率公式.证明. A 1, A 2,…,A n 是一个完备事件组, 从而A i (i =1,2,…,n )是两两互斥的, 且P (A i )>0, 由于B 被分成n 个部分A i B (i =1,2,…,n )之和, 且A i B (i =1,2,…,n )也是两两互斥的, 于是 B A A B B ni i ni i ∑∑====11.由概率的可加性及概率乘法定理得到:∑∑====ni i ni i B A P B A P B P 11)()()(=∑=ni i i A A P B P 1)()|(.全概率公式应用较广, 它的基本思路是将一个比较复杂的事件分解成若干个较简单且199两两互斥事件的和, 即要找一个完备事件组, 然后利用概率的可加性及概率乘法定理来计算.例3.3.4 设袋中装有5件同样的产品, 其中3件正品, 2件次品, 每次从袋中取1件,无放回地连续取2次, 求第2次取到正品的概率.解. 设事件A 表示“第1次取到正品”, 则A 表示“第1次取到次品”；事件B 表示“第2次取到正品”．事件A A ,构成一个完备事件组, A B BA B +=(即第2次取正品的可能性是与第1次取到正品或次品有关).因A B BA , 互不相容, 则有)()()()(A B P BA P A B BA P B P +=+= )|()()|()(A B P A P A B P A P += =(3/5)×(2/4)+(2/5)×(3/4)=3/5.例3.3.5 某厂有甲﹑乙﹑丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的25%﹑35%﹑40%. 各自的废品率为5%﹑4%﹑2%, 今从总产品中任取一件, 求所取出的产品为废品的概率.解．设A 1=“所取产品为甲车间生产的”; A 2=“所取产品为乙车间生产的”; A 3=“所取产品为丙车间生产的”; B =“所取产品为废品”. 则A i (i =1,2,3)构成一个完备事件组, 且P (A 1)=0.25, P (A 2)=0.35, P (A 3)=0.4, P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02，由全概率公式有∑==31)|()()(i i i A A B P P B P=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0345.由全概率公式我们可以求出,从总产品中任取一件,其为废品的概率是0.0345；反之，若已知从总产品取出一件,其为废品,反过来求它是甲车间(或乙车间﹑丙车间)生产的可能有多大,即为我们后面要讲的贝叶斯公式.3.3.4 两个事件的独立性前面我们讨论了条件概率P(A|B), 一般说来P(A|B)≠P(A)即事件B的发生对事件A发生的概率是有影响. 但当P(A|B)=P(A), 即B的发生对A发生的概率没有影响,此时即说事件A独立于事件B, 此时由概率乘法定理得到P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B). 由此我们可给出两个事件独立的定义.定义. 设A﹑B是试验E的两个事件, 若有P(AB)=P(A)P(B)则称事件A﹑B为相互独立的事件.由概率乘法定理, 容易得出: 当事件A独立于事件B时, 事件B也独立于事件A, 即独立是一个对称性概念.例如, 从具有次品的一批产品中，有放回的连抽取二次, 每次抽取一件. 这样,事件A(第一次抽得正品)的出现并不影响事件B(第二次抽得正品)的概率, 即事件A与事件B是相互独立的两个事件.定理. 设A﹑B是试验E的两个事件, 且有P(B) >0, 则A与B相互独立的充分必要条件为:P(A|B)=P(A).证明. 必要性. 若A﹑B相互独立,则当P(B)>0时,由概率乘法公式有:P(B)P(A|B)=P(AB)=P(A)P(B)从而 P(A|B)=P(A).充分性. 若P(A|B)=P(A),由概率乘法公式有:P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)P(A)即A﹑B相互独立.在实际问题中, 往往是通过对问题性质的分析来判断事件间是否独立.例3.3.6 甲﹑乙两人同时射击某一目标．设甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.5，求目标被击中的概率.解．设事件A=“甲击中目标”,事件B=“乙击中目标”,事件C=“目标被击中”.从题意可知： C=A+B,且200201P (C )=P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ).由于甲﹑乙射击是相互独立的, 因此可以认为甲﹑乙互不干扰, 从而A 与B 是相互独立的.P (AB )=P (A )P (B )=0.8×0.5=0.4,所以 P (C )=0.8+0.5-0.4=0.9. 例3.3.7 试证A ﹑B 相互独立与以下每一条件等价:(1)事件A 与B 独立；(2)事件A 与B 独立；(3) 事件A 与B 独立.证明．我们在这里只证由A 和B 相互独立,推出A 与B 独立,对于其它情形,由两个事件独立的对称性,同样可以推出.若A 与B 相互独立,则P (AB )=P (A )P (B ).由概率的性质,得到: )(B A P =P (A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )P (B )=P (A )(1-P (B )) =)()(B P A P . 故A 与B 相互独立. 此例的结论,我们可用下表来表示: 表3.3.1表中任意一种情形成立, 都可以推出其它情形成立.由两个事件的独立性的概念，我们可以推出多个事件的独立性.3.3.5 多个事件的独立性前面我们学习了两个事件的独立性的概念﹑定理, 由此我们可以给出三个事件的独立性的概念.定义. 若A ﹑B ﹑C 是随机试验E 中的三个事件, 满足下列条件:(1) P (AB )=P (A )P (B )； (2)P (BC )=P (B )P (C )；202(3) P (AC )=P (A )P (C )； (4)P (ABC )=P (A )P (B )P (C )。

概率论第四节条件概率全概率公式

乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解设事件A表示“取到的产品为正
B1, B2品, B”3 分，别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”
由已知 P(B1 ) 0.2, P(B2 ) 0.3, P(B3 ) 0.5
P( A B1 ) 0.95, P( A B2 ) 0.9, P( A B3 ) 0.8
当有了新的信息（知道B发生），人们对
诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、 0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混合在一起。
（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率；（2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、
我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。定理若事件A与B是相互独立的，则
A与B ,A与 B , A与都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
冒病毒是相互独立的，则所求概率为
P1500 Ai 1 PA1A2 A1500
i1
1 PA1PA2 PA1 1 1 0.002 1500 1 e1500 ln 10.002
1 e15000.002 1 e3 0.95
从这个例子可见，虽然每个带有感冒病毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。

条件概率与全概率公式

B={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝
若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率
即事件 B 已发生，求事件 A 的概率Ｐ（Ａ｜Ｂ）
A B 都发生，但样本空间缩小到只包含Ｂ的样本点
P( A | B) AB 2 B 3
ABA (AB ) B()(B )(n)
条件概率 Conditional Probability
所以 P(A) 1 P( A) 1 1 5 66
已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种情形下分别求出P(A-B)与P(B-A)
(1) 事件A,B互不相容 (2) 事件A,B有包含关系
解
(1) 由于 AB , 因此 A B A, B A B
P(A B) P(A) 0.3
P(B A) P(B) 0.6 (2) 由已知条件和性质,推得必定有 A B
P(A B) P() 0
P(B A) P(B) P(A) 0.3
考察甲，乙两个城市6月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是0.3, 乙城出现雨天的概率是0.4, 甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为0.52, 试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率. 解设A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨”
第二节随机事件的概率
概率论
集合论
样本空间（必然事件） Ω 全集
不可能事件 Φ
空集Φ
子事件 A⊂B
子集A⊂B
和事件 A∪B
并集A∪B
积事件 A∩B
交集A∩B
差事件 A-B
差集A-B
对立事件 A
补集 A
事件之间的运算律
交换律 A B B A AB BA
结合律 (A B) C A (B C) 分配律 A(B C) (AB) (AC)

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