向量组a1a2a3a4线性相关
4.3-向量组的线性相关性
β , β ,⋯, β
T 1 T 2
T n
2/23
定义1 定义1 对于给定的一组m n维向量组成 个 的向量组 A: a1, a2 , ⋯, am, 对任何一组实数 c1, c2 , ⋯, cm, 向量
c1a1 + c2a2 +⋯+ cmam
的一个线性组合 线性组合. 称为向量组 A的一个线性组合
4个3维向量一定线性相关 维向量一定线性相关， 解：4个3维向量一定线性相关，故 线性相关． α1,α2 ,α3,α4线性相关．
22/23
作业
习题4－ 习题 －3 1（2） （ ） 4（2） （ ） 6 8 9 （1），（ ） ），（3） ），（
23/23
T
讨论它的线性相关性． 讨论它的线性相关性．
10/23
解 设 k1e + k2e2 +⋯+ knen = 0 1 即
(1)
T
( k1, k2 ,⋯, kn )
T
= ( 0,0,⋯,0)
于是必有 k1 = k2 =⋯= kn = 0. 全为零时， ) 即只有当 k1, k2 ,⋯ kn , 全为零时，(1)式才成立 线性无关. 所以向量组 e , e2 ,⋯, en 线性无关 1
c1, c2 , ⋯, cm 称为这个线性组合的系数 称为这个线性组合的系数.
3/23
给定向量组 A： 1, a2 , ⋯, am 和向量 b， a 如果存在一组数
关于向量组线性相关性的教学
要证明 向量组线性相关 ，就 需要找 到一组不全为零的数
相关性知识是本课程 的一个重点与难 点，它贯 穿于线性代数课 ｋ１，ｋ２，…，ｋｍ，使它们的线性组合等于 ０，而对于证明向量组线
程 的始终 。向量 组的线性相关和线性无关的判定这个课题 ，实 性无关 ，不可能对所有不全为零的数 ｋ１，ｌ【２，… ，ｋｍ，验证（１）式
必要性 若 ｎ维 向量 组 ａ１，ａ２，…，ａｎ 线性无关，又任 意 ｎ＋１
定 理 是 说 ，ｎ维 空 间 中 的 ｍ 个 向量 ，若 ｍ ＞ １＂１，必 线性 相 关 。按 个 ｎ维向量必线性相关 ，设 ａ是任一 ｒｌ维 向量 ，则 向量组 ａ，ａｌ，
上面 的理解 ，这 个定理就 是：一条直线上 只能有一个互不共线 ａ２，…，ａｌｌ线性相关 ，故 ａ可 以由 ａ１，ａ２，…，ａｌｌ线性表示 。
Ｂ＝ｋ１＋ｋ２＋…＋ｋｍ （２）
ｅ２＋１２７＊ｅ３所以 ａ和 ｅｌ，ｅ２，ｅ３是线性相关的。但是 ｅ１，ｅ２与
则称单个 向量Ｂ可 由向量组线性表 出。
ｅ３这三个之间不能由其余两个线性表 出（比如 ｅ２与 ｅ３组合 出
实质上，向量组线 性相关所具有的充分必要条件是 向量组 来 的第 一个 分量永远是 ０，不 能变为 １），所 以ｅ１，ｅ２，ｅ３是线性
３）线 性无 关，他 们不在同一平 面内。ｎ个 向量 线性 无关就是他
而 ｎ维单位坐标 向量组是线性无关组 ，从而 向量组 ａ１，ａ２，
们都 各 占一个 空间维度 ，不能互相加减抵消 ，共 同张成 了一个 … ，ａ ｎ 也 是 线 性 无 关 组 。
１１维空间（想象一下空 间直角坐标系 中的三个坐标轴）。有一个
高等代数是数学专业必修课程 的专业基础课程 ，能够在一 当中必须要有一个向量可 以由其他部分线性表 出，其中需要注
向量组的线性相关性
所以向量组 b1 ,b2 ,b3
2013年6月14日6时11分
线性无关.
例 8 已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关. 证三： 令A (a1 , a2 , a3 ), B (b1 , b2 , b3 ), B AK 令Bx 0, 即AKx 0 1 0 1 1 1 0 , Kx 0 K 因a1 , a2 , a3 线性无关
k1a1 k2a2 kmam 0 则称向量组 A 是线性相关的. ()
设有向量组
否则，称它是线性无关的. 也就是，只有当 才能使(＊)式成立， k1 k2 L L km 0 时， 则称向量组 A 是线性无关的.
2013年6月14日6时11分
说明：
线性相关
则x1 x2 x3 0, 所以向量组 E 线性无关.
2013年6月14日6时11分
定理1
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性相关
x1a1 x2a2 xmam 0
Ax 0有非零解
其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ).
有非零解.
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关. 证二：令A (a1 , a2 , a3 ), B ( b1 , b2 , b3)
则B AK， 其中
K 2, K是可逆方阵,
R( B) R( AK ) R( A) 3,
K 2, R( K ) 3, x 0
《线性代数》向量组的线性相关与线性无关
a11 a21
an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2n
ann
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即
例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1
0
0
0
α1
=
0
,
0
α2
=
1
,
0
α3
=
0 1
,
α4
=
k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0 ...
a1n a2n
故
β
=
(-
l1 l
)α 1
+
(-
l2 l
)α 2
+
+
(-
lm l
)α m
，
即b可由向量组a1，a2， ，am线性表示.
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表
示式是惟一的.
证明： 再证表示法惟一.
设b可表示成以下两种形式，
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.
向量组的线性相关性
r2 2r1
~
r3 r1
0 0
1 3
2 6
3 9
r3 3r2
~
r2 (1)
0 0
1 0
2 0
3 0
得
x1 x2
3x3 2x3
4x4 3x4
令自由未知数 x3 c1 ， x4 c2 ，得通解
x1 3 4
x2 x3 x4
c1
2
1
0
c2
3
第四章 向量组的线性相关性
§１ 向量组及其线性组合
定义 1：
向量： n 个有次序的数 a1, a2,L , an 所组成的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向
量称为复向量。 定义 2：
线性组合：给定的向量组 A : k1a1 k2a2 ,L , kmam ，对于任何一组实数 k1, k2 ,L , km ，表达
证明： n 维单位坐标向量组 e1, e2 ,L , en 能由向量组 A : a1, a2 ,L , am 线性表示的充分必要条 件是 R(A) n .
证：根据定理 2，向量组 e1, e2,L , en 能由向量组 A 线性表示的充分必要条件是 R(A) R A, E. 而 R A, E R(E) n ， 又 矩 阵 A, E 含 n 行 ， 知 R A, E n 合 起 来 有 R A, E n ， 因 此 条 件 R(A) R A, E就是 R(A) n .
a21x1
a22 x2
a2n xn 0
am1x1 am2 x2 amn xn 0
若记
A
a11 a21
线代第三章习题解答
第三章 行列式习题3.13-1-6.用定义计算行列式（1）()2,1,0,,,0000000222211114=≠=i d c b a d c b a d c b a D ii i i解：设444⨯=ija D 则4D 中第1行的非0元为113111,b a a a ==，故11,3j =同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j ===∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2， 故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --=(2)010...0002 0000...000 0n D n =M M MM解：由行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑L L L仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零12121()(231)1212231(1)(1)(1)(1)(1)12(1)!n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-⋅=-⋅L L L L L习题3.23.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γγγβββααα证明:22222222222222132222222cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin c c αααααααβββββββγγγγγγγ-=-+-左0= (2) 322)(11122b a b b a a b ab a -=+证明:23222212()()2()11001c c a ab ab b b a a b b a b a b c c a ba b b a b a b a b --------==---左右=-=3)(b a(3) 121211221100001000001n n n n n nn n x x x a x a x a x a x a a a a a x-------=+++++-+L L M MM O M M L L L证明: 按最后一行展开，得1211000000010001000(1)(1)00010000100101n n n n x x a a x x x ++----=-+-----L L L L O M M M M M O M M L L LL左321220000100000000100(1)(1)0001000000001001n n n x x x x a a x x +----+-++----LL L L L M M M O M M M M M O M M L L LL21100100()(1)000100nx x x a x x--++--LL M M M O M M L L222222121221(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x a x x a x ----=-+-+-++-++-L 2211221n n n n n n a a x a x a x a x x ----=++++++=L 右3=2-3．计算下列行列式 （1）11111100((1))((1))x a a a x a ax a x a x n a x n a a a xa a xx a-=+-=+--LL L LLLM M O M M M OM MM O M LLL])1([)(1a n x a x n -+-=-(2)()()()()()()111(1)211111111()1(1)(1)111111nnnn n n n n n n n n nnna a a n a a a n a a a n D a a a n a a a n a a a n ---++---------==-------L L L LM MOMMM O ML L LL（最后一行（n+1）行依次与第n,n-1,…,2,1行交换，经过n 次交换；再将新的行列式的最后一行（即原来的n 行）依次换到第二行，经过n-1次交换；。
5.2 向量组的线性相关性
一、向量组的线性组合
二、向量组的线性相关性
1
由若干个相同维数的列向量(或相同维数 的行向量)所组成的集合称为列(行)向量组。
设矩阵A (aij )m n , 若按列分块, 则得 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A (a1 a2 an ) a am 2 amn m1
11
(2)关于向量组等价的性质
两向量组的等价 ,显然满足下列性质 : (1) 自身性 A ~ A
(2) 对称性 若A ~ B, 则B ~ A (3) 传递性 若A ~ B, B ~ C 则A ~ C
12
(3)线性表示的矩阵表达法 如果向量组A : a1, a2 , , ar可由向量组B : b1, b2 ,
其中bi (ai1, ai 2 , , ain ) (i 1, 2, , m)是n维 行向量。
即矩阵可构成一个n维行向量组成的行向量组。 反之, 有限个同维行向量也可以构成一个矩阵。
由此可见, 矩阵问题可以就转化为向量的问题。
3
若对A按列分块, 记作A (a1 a2 an ), 则 方程组 Ax b x1 x 2 b a1 a2 an xn 即 x1a1 x2a2 xnan b 这里a1, a2,, an, b都是m维列向量。 由此可见,方程组的问题也可以就转化为向量的
15
设向量组A : a1, a2 , , am , 那么向量组A 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 k1a1 k2a2 kmam 0 有非零解。
即Ax 0有非零解,其中A (a1, a2,, am )。
定理2 设n维向量组a1, a2 , , am ,记矩阵 A (a1, a2 , , am ), x ( x1, x2 , , xm )T ,那么下列 三个命题等价: (1)向量组a1, a2 , , am线性相关 (2)齐次线性方程组Ax 0有非零解。 (3)R( A) m,即矩阵A的秩小于向量组所含 向量的个数m。
线性代数全真模拟试卷
线性代数全真模拟试卷第一题 选择题1、已知行列式22221111b a b a b a b a -+-+=4，则2211b a b a =（ ）A 、2B 、4C 、-4D 、-22、若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+03,02,022132132132x x x x x x x x x λ有非零解，则λ=（ ）A 、0B 、1C 、-1D 、23、设A 是n 阶非零方阵，下列矩阵不是对称矩阵的是（ ） A 、A+A TB 、AA TC 、A-A TD 、21（A+A T） 4、设ABC 均为n 阶可逆方阵，且ABC=E,则下列结论成立的是（ ） A 、ABC=E B 、BAC=E C 、BCA=E D 、CBA=E5、设a1，a2，a3线性无关，而a2，a3，a4线性相关，则（ ） A 、a1必可由a2，a3线性表示 B 、a2必可由a3，a4线性表示 C 、a3必可由a2，a4线性表示 D 、a4必可由a2，a3线性表示6、向量组a 1,a 2…，a s 的秩为s 的充要条件为（ ）A 、此向量组中不含零向量B 、此向量组中没有两个向量的对应分量成比例C 、此向量组中有一个向量不能由其余向量线性表示D 、此向量组线性无关7、设A 为m*n 矩阵，且任何n 维列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则（ ） A 、A=0B 、r （A ）=mC 、r （A ）=nD 、0<r （A ）<n8、设三元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为1η=（2,0,3），2η=（1，-1，2）T,r （A ）=2，则此线性方程组的通解为（ ） A 、k1（2,0,3）T+k2（1，-1,2）TB 、（2,0,3）T+k （1,1,1）TC 、（2,0,3）T+k （1，-1,2）TD 、（2,0,3）T+k （3，-1,5）T9、下列命题正确的是（ ）A 、两个同阶的正交矩阵的行列式都等于1B 、两个同阶的正交矩阵的和必是正交矩阵C 、两个同阶的正交矩阵的乘积必是正交矩阵D 、特征值为1的矩阵就是正交矩阵10、设A 为n 阶矩阵，则在（ ）情况下，它的特征值可以是零。
向量组的线性相关性
3 1
,
4线1性,表21示 ？
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
x1 a11 a12 L a1mx1
x1a1x2a2Lxm ama1,a2,L,amx M 2aM 21 aM 22 L
a2mx2 M M
xm an1 an2 L anmxm
l l l b 1 a 12 a 2 L m a m
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12 L c1n a11 a12 L a1l b11 b12 L b1n
c21 c22 L MM
cM 2naM 21 aM 22 L
a2l b21 b22 L M MM
b2n M
cm1 cm2 L cmn am1 am2 L amlbl1 bl2 L bln
1 1 1 1 1 0 3 2
(A,b)1 2 1 0~r 0 1 2 1 2 1 4 3 0 0 0 0
2 3 0 1 0 0 0
0
行最简形矩阵对应的方程组为
x1
3x3 2 x2 2x3 1
3 2 3c2
通解为
x c
2 1
2c1
1 0 c
所以 b = (－3c + 2) a1 + (2c－1) a2 + c a3 ．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
2. 增广矩阵的形式
3xx11
4x2 x3 x2 2x3
5 1
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1 2
x1 x2 x3
5 1
西南大学网络学习线性代数作业答案
行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 正 号。
2．排列45312的逆序数为 8 。
3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 -11 。
5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 -5 。
6．计算00000d c ba = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102---解：381141102---=（-4）⨯221+-（）2111= -42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i 和j 等于5或8。
（1）当i =5，j =8时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 5 6 8 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=2,该排列为偶排列。
（2）当i =8，j =5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 8 6 5 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=5,该排列为奇排列。
所以当i =8，j =5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列。
3．(7分)已知0010413≠xx x ，求x 的值．解：D =314010xx x=2x （x -2） 当x =0或x =2时，D=0，所以，当x 0≠或2x ≠时，0010413≠xx x4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。
解： D=1111111λλ=2(1)λ-如果方程组有非零解，则D =0，即1λ=。
5．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：计算行列式D =124512270311=-≠- 131242912811011D ==--2131452921083101D ==- 3124512135311D ==--所以：13D x D ==，24Dy D ==，35D z D== 矩阵部分填空题1．计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453641126= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---126641453 2．已知矩阵A=（1，2，3），则=A A T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 3．若4阶方阵A 的行列式|A|=2，则|A 3|= 8 。
真题考试：2021 线性代数(经管类)真题及答案(2)
真题考试：2021 线性代数（经管类）真题及答案(2)1、某公司为了解员工对培训计划的意见与建议，负责培训工作的王总在办公室单独和员工小王进行了沟通。
该沟通方式属于（单选题）A. 面谈沟通B. 会议沟通C. 书面报告D. 非正式沟通试题答案：A2、设齐次线性方程组有非零解，则数k=（单选题）A. -2B. -1C. 1D. 2试题答案：D3、（单选题）A. -2B. -1C. 1D. 2试题答案：B4、《香市》一文，用来加以对比的主要内容是（单选题）A. 农民与商人B. 南阳武术班与打拳卖膏药的C. 今与昔D. 衙门与戏台试题答案：C5、设3阶实对称矩阵A的秩为2.则A的特征值λ=0的重数为（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：B6、以完成某项或某些实际工作任务为基础，通过活动观察被试者实际管理能力的测评方式是 ( ) （单选题）A. 管理游戏B. 小组讨论C. 文件筐测验D. 能力倾向测验试题答案：A7、下列《五代史伶官传序》语句中，属于分论点的有（多选题）A. 盛衰之理，虽曰天命，岂非人事哉B. 《书》日：“满招损谦得益。
”C. 忧劳可以兴国，逸豫可以亡身D. 夫祸患常积予忽微，两智勇多匿子所溺E. 抑本其成败之迹，丽皆自于人欤试题答案：C,D8、《雨巷》中，“丁香姑娘”的象征内涵有（多选题）A. 梦中情人B. 革命C. 江南风景D. 理想E. 美试题答案：A,B,D,E9、《苦恼》中姚纳最想倾诉的苦恼是（单选题）A. 寒夜中难赚到钱B. 载客常挨打挨骂C. 儿子不幸去世D. 小母马体弱难行试题答案：C10、下列不属于西方法律传统的是（多选题）A. 德治传统B. 法治传统C. 权利文化D. 耗法文化E. 政法合一试题答案：A,D,E11、下列语句中，通过语言描写，“以外显内”，进行心理刻画的有（多选题）A. 黛玉一闻此言，方想起昨日的话来。
今日原自己说错了，又是急，又是愧B. 叹一口气，用手指慢慢摸着凉滑的枪身，又微微一笑，“不传!不传!”C. 她忽然觉得心头一紧，不知怎么的就哭了起来，那是欢乐的泪水，满足的泪水D. “其实我连买燕麦的钱还没挣到呢，”他想，“这就是为什么我会这么苦恼的缘故了。
线性代数第二章习题部分答案
线性代数第二章习题部分答案第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 n维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1. 设3 α1?α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,?1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T . 2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1?3α2+α3= (?5,0,2)T .3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2?β3= (?2,8,?2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0?3k2?k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。
2. α1=(1,?1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,?1)T, α3=(5,?3,t)T，问t 取何值时该向量组线性相关。
解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 13?1 +k3 5?3t =0即 k1+k2+5k3=0k1+3k2?3k3=0?k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2?4k3=0?k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2?3k3=0(t?4)k3=0所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。
解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=?k1a1?k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=?k1k1+k2a1?k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,?,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,?,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,?,β2n线性相关。
线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第五章习题答案
1. a1 1 a1 0 a2 0 a3 , 0 0 a1 0 a2 0 a3 . 2.不一定。例如，对于 a1 , a2 , a3 ，它们中的任两个都线性无关，但 是 a1 , a2 , a3 是线性相关的。 3. 不一定。也可能是 a 2 能由 a1 , a3 线性表示，还可能是 a3 能由 a1 , a2 线性表示。 4. 不一定。例如，对于 a1 , a2
思考题 5-2
1． （1) 不正确。当 r ( A) r 时， A 中有一个 r 阶非奇异子阵就行，不需要所有 r 阶子 阵都是非奇异的. (2) 正确。 （3）正确。因为 A 的行秩与列秩相等，当 A 为方阵时， A 的秩与 A 的行数和列数的 大小关系是一样的，所以 A 的行向量组和列向量组有相同的线性相关性.
1
6. 证： 由 A 可逆知，A 的列向量组线性无关。 根据定理 5-6， 增加两行后得到的矩阵 B 的列向量组也线性无关. 注：该题也可通过矩阵的秩来证明。 7.证： （1） 由向量组 a1 , a2 , a3 线性无关， 可知 a2 , a3 也线性无关。 又因为向量组 a2 , a3 , a4 线性相关，所以 a 4 能由 a2 , a3 线性表示。 2） 反证法。 设 a1 能由 a3 , a4 线性表示， 又因为 a 4 能由 a2 , a3 线性表示， 所以 a1 能由 a2 , a3 线性表示，这与 a1 , a2 , a3 线性无关矛盾，因而 a1 不能由 a3 , a4 线性表示。 8.证： 反证法。 设 a1 , a2 , a3 线性相关， 则其中至少有一个向量可由另两个向量线性表示， 不妨设 a1 能由 a2 , a3 线性表示。因为向量 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示，所以 b 能由 a2 , a3 线性 表示， 这与 b 不能由 a1 , a2 , a3 中任何两个向量线性表示矛盾， 所以向量组 a1 , a2 , a3 线性无关。 9.证：设 l1α l2 Aα l3 A α
线性代数模拟题答案.
6. 若 D a21 a22 a23 1 ，则
a31 a32 a33
4a11 D1 4a21
4a31
2a11 3a12 2a21 3a22 2a31 3a32
a13 a23 _____1_2____ a33
二、选择题
1. 设 A 为3阶方阵， A* 是 A 的伴随矩阵，常数 a ≠0，且 a ≠±1 ，则( a A )* = ______B____
1 0 0
1 0 0
6.
设
A
2 3
2 3
0 3
，则
A1
1
1/ 2
__0____1__/ _2_
0
1 / 3
a1 0 0 b1 7. 四阶行列式 0 a2 b2 0 _____D_____
0 b3 a3 0 b4 0 0 a4
(A) a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4
(A) a A * (B) a 2 A * (C) a 3 A * (D) a -1 A *
2. 若3阶方阵 A 的行列式| A | = 0，则_____D_____ (A) A 必有一列元素全为零 (B) A = 0 (C) A 必有两列元素成比例 (D) 前三个条件是 | A | = 0 的充分条件
(A) x1 , 3x2 , 4x3 (C) x1 , x1+x2 , x3
(B) x1 , x1+x2 , x1+x2+ x3 (D) x1－x2 , x2－x3 , x3－x1
7. 设 A、B是两个 n 阶正交阵，则下列结论不正确的是__A__ (A) A + B 是正交阵 (B) AB 是正交阵 (C) A -1 是正交阵 (D) B -1 是正交阵
n维向量组a1a2a3a4线性相关
n维向量组a1a2a3a4线性相关线性相关，指的是两个或多个变量之间存在着一定程度上的相关性。
只要任意两个变量间有任何线性关系，它们就被认为是线性相关的。
维向量组a1a2a3a4之间存在线性相关性，那么关于它们的内容有：1. 维向量组a1a2a3a4可以表示为m维空间里的n个线性方程，即a1、a2、a3、a4都可以表示为：$x_1c_1 + x_2c_2 + x_3c_3 + x_4c_4 = 0$ 。
2. a1a2a3a4之间的线性关系可以表示为：一个变量值的变化会改变其他变量的值，或者说某一变量的变化会引起其他变量的变化。
3. 根据a1a2a3a4的线性相关性，在满足一定约束条件时，可以求出4个变量之间的相对关系。
4. a1a2a3a4之间的线性相关性包括两个方面：一是它们本身存在线性关系，二是它们之间存在线性关系。
5. 维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以通过线性回归分析等方法来进行评估和确定。
6. 定量分析维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性，可以通过Kendall系数法，Spearman等秩相关系数等方法来测定。
7. 维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以用多元线性回归模型进行预测和分析，来验证其定量分析结果。
8. 利用维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以分析多个指标之间的关系，从而实现建模和预测。
9. 如果维向量组a1a2a3a4之间的线性关系很强，那么可以用回归模型来表示，从而可以实现估算变量值，也可以给出变量的可信区间。
10. 利用维向量组a1a2a3a4之间的线性关系可以计算特征向量的投影，可以解决多维特征间相关性的研究问题，使特征维度减少，数据表达更加简洁。
若向量组a1a2a3线性无关,a1a2a4线性相关
若向量组a1a2a3线性无关,a1a2a4线性相关
几乎每一种数学学科都有其独特的定义，这些定义代表了这个学科的核心概念，对于线性代数正是如此。
线性代数主要用于处理线性变换，这里所说的线性变换是指保留“面积”这一概念的变换，其定义如下：若两个向量组之每一对向量组成的“平行四边形”的面积相等，那么它们就满足向量组可以进行线性变换的条件。
以向量组a1、a2、a3、a4为例，对于a1、a2、a3三个向量组，由于它们组成
的“平行四边形”的面积不相等，所以我们认为a1a2a3三个向量组是线性无关的，而对于a1、a2、a4三个向量组，它们三者组成的“平行四边形”的面积是相等的，因此可以认为a1a2a4三个向量组是线性相关的。
概念非常重要，而向量组的线性无关性和线性相关性即是线性代数中的重要概念。
它定义了一种保持“面积”的变换，并使用其来描述不同向量组的相关关系。
它的概念和应用是数学基础教育中最基础的元素之一。
正因为线性无关性和线性相关性的存在，使得线性代数这一学科在本质上变得
更加丰富。
它提供了对不同向量组之间的关系的深层次理解，并为一系列数学概念，如伴随矩阵、求解线性系统等，提供了有效的分析方法。
因此，在各种数学书籍中，线性无关性和线性相关性这两个概念被誉为线性代数的基础，甚至一些偏远的领域中也能发挥作用，比如经济学、物理学甚至是生物学领域等等。
综上所述，线性无关性和线性相关性是数学中令人惊叹的观点，它们不但给线
性代数带来了巨大的发展，还可以将其应用于其他不同领域，为基础教育和研究提供了大量的支持。
若向量组a1a2a3线性无关,a1a2a4线性相关
若向量组a1a2a3线性无关,a1a2a4线性相关线性相关是指数据之间存在着某种线性关系，当预测一个变量值时，另一个变量值会发生变化，二者之间存在着某种线性关系。
即：如果变量x的变化会使另一变量y也发生变化，那么这两个变量就是线性相关的。
线性无关是指数据之间不存在着某种线性关系，当预测一个变量值时，另一个变量值不会发生变化，二者之间没有线性关系。
即：如果变量x的变化不会使另一变量y也发生变化，那么这两个变量就是线性无关的。
向量组a1a2a3线性无关,a1a2a4线性相关给定向量组a1a2a3a4，我们可以从线性相关、线性无关的角度探讨它们之间的关系。
首先，我们来看向量组a1a2a3，它们之间存在着线性无关的关系，因为当预测a1的变化时，a2和a3的变化并不会受到任何影响。
既然a1a2a3之间的关系是线性无关的，那么在预测其中任意一个变量值时，其他变量值都不会发生变化。
而对向量组a1a2a4而言，它们之间存在着线性相关的关系。
当预测a1的变化时，a2和a4会受到影响，因为它们之间存在着线性关系，使得它们的变量值会发生变化。
既然a1a2a4之间存在着线性相关关系，那么在预测其中任意一个变量值时，其他变量值也会发生变化。
从数学上来讲，如果我们将上述两组向量表示为矩阵形式，则可以得到下面的结果：向量组a1a2a3：[a1 a2 a3]线性无关：[1 0 0][0 1 0][0 0 1]向量组a1a2a4：[a1 a2 a4]线性相关：[1 0 m][0 1 0][0 0 1]由此可见，当预测变量a1时，矩阵中第一列的数字都为1，第二列和第三列均为0，表明a1a2a3之间是线性无关的；当预测变量a1时，矩阵中第一列的数字为1，第二列为0，第三列的数字为m（m 为任意正数），表明a1a2a4之间是线性相关的。
从以上可以知道，向量组a1a2a3线性无关，a1a2a4线性相关。
在实际应用中，对线性相关与线性无关的判断很重要，它们可以用来预测未来变量值的变化。
公共课数学二模拟题2020年_真题(含答案与解析)-交互
公共课数学二模拟题2020年(101) (总分150, 做题时间180分钟)选择题1.若向量组a1,a2,a3,a4线性相关，且向量a4不可由向量组，a1，a2，a3线性表示，则下列结论正确的是（）。
SSS_SINGLE_SELAa 1,a2,a3线性无关Ba 1,a2,a3线性相关Ca 1,a2,a4线性无关Da 1,a2,a4线性相关该题您未回答:х该问题分值: 8.9答案:B若a1,a2,a3线性无关，因为a4不可由a1，a2，a3线性表示，所以a1，a2，a3，a4线性无关，与已知矛盾，故a1，a2，a3线性相关，选B.2.设矩阵A=(a1,a2,a3,a4)经过初等行变换变为矩阵B=（Β1,Β2,Β3,Β4)，且a 1,a2,a3线性无关，a1,a2,a3，a4线性相关，则（）。
SSS_SINGLE_SELAΒ4不能由Β1,Β2,Β3线性表示BΒ4能由Β1,Β2,Β3线性表示，但表示法不唯一CΒ4能由Β1,Β2,Β3线性表示，且表示法唯一DΒ4能由Β1,Β2,Β3线性表示不能确定该题您未回答:х该问题分值: 8.9答案:C因为a1，a2，a3线性无关，而a1，a2，a3，a4线性相关，所以a4可由a1，a2，a3唯一线性表示，又A=(a1，a2，a3,a4)经过有限次初等行变换为B=（Β1,Β2,Β3,Β4),所以方程组x1a1+x2a2+x3a3=a4与x1Β1+x2Β2+x3Β3=Β4是同解方程组，因为方程组x1a1+x2a2+x3a3=a4有唯一解，所以方程组x 1Β1+x2Β2+x3Β3=Β4有唯一解，即Β4能由Β1,Β2,Β3线性表示，且表示法唯一，选C.3.设A=(a1,a2,...,am)其中a1,a2,...,am是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1,k2,...,km,皆有k1a1+k2a2,...+kmam≠0,则（）。
SSS_SINGLE_SELAm﹥nBm=nC存在m阶可逆矩阵P，使得D若AB=O,则B=O该题您未回答:х该问题分值: 8.9答案:D因为对任意不全为零的常数k1,k2,...,km,有k1a1+k2a2+...+kmam≠0,所以向量组a 1，a2，...am线性无关，即方程组AX=0只有零解，故若AB=O,则B=O,选D.4.下列命题正确的是（）。
关于向量组线性相关性的初步探讨
关于向量组线性相关性的初步探讨黄娟霞【摘要】向量组的线性相关性是线性代数中的一个重点和难点,介绍了向量组线性相关性的概念与几何意义,提出用几何的理念加深对其概念的理解,通过例子证明线性相关性来从总体上对其判定进行梳理和把握。
%The linear correlation of vector group is key and difficult in linear algebra teaching. This paper proposes to use the con- cept of geometry to deepen the understanding, and to comb and grasp linear correlation in general.【期刊名称】《广东石油化工学院学报》【年(卷),期】2012(022)001【总页数】4页(P67-69,77)【关键词】向量组;线性相关;线性无关;线性组合【作者】黄娟霞【作者单位】陇南师范高等专科学校数学系,甘肃成县742500【正文语种】中文【中图分类】O151.2在线性代数中,向量组线性相关性的概念隙抽象,判定定理繁多,难以理解和把握,尤其对于初学者来说,学习这部分内容往往抓不住要领。
因此,笔者通过自己的经验,对这一部分内容进行了梳理。
1 向量组线性相关性的概念及几何意义1.1 向量组线性相关性的概念定义1 设a1,a2,…,an是F上向量空间V的n个向量。
如果存在F中一组不全为零的数k1,k2,…,kn,使得那么就称向量a1,a2,…,an线性相关。
如果不存在不全为零的数k1,k2,…,kn使(1)式成立,或者说,当且仅当k1=k2=…=kn=0时,(1)式才成立,那么就称a1,a2,…,an线性无关。
理解这个定义的关键是“仅当”两个字的含义。
显然,对于任意一组n维向量a1,a2,…,an,当取k1=k2=…=kn=0时,都能使(1)成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量组a1a2a3a4线性相关
线性相关，又称相关系数，是研究两组数据间是否存在联系的一种统计概念，一般描述一个变量与另一个变量之间的线性关系。
比如说，我们有向量组
a1a2a3a4，如果这丛向量是线性相关的，那么意味着当a1发生变化时，a2 a3a4也
会发生相应的变化，并且变化的趋势是一致的。
为了让向量组a1a2a3a4达到线性相关，需要从原理上把握向量组构成的数
学关系。
首先，我们需要把这组向量看作多个变量，然后构造出它们之间的数学关系，以便研究它们之间的联系。
比如a1a2 之间的数学关系，可以用a1=k*a2+b的
方式来表示。
其中，k为系数，b 为常数，经过计算后可以得出系数k，如果得到
的系数与0之间的关系是相关的，那么a1a2 便是线性相关的。
如果想使向量组a1a2a3a4达到线性相关，就需要使它们之间的数学关系成
为线性关系，这一点需要对它们进行详细分析，运用数学技巧，以及用数据分析手段，从而得出它们之间的一种线性关系，最终实现线性相关。
此外，线性相关也可以用其他的方法实现，比如用机器学习的方法拟合一个函数形式，来反应向量组a1a2a3a4之间的联系。
另外，如果想让向量组a1a2a3a4的
实现线性相关，也可以在实践中对这组向量进行拟合，以发现它们之间的趋势规律。
综上所述，线性相关是研究两个或多个变量之间关系的重要概念，向量组
a1a2a3a4也可以实现线性相关，需要根据实际情况运用数学理论和机器学习算法来拟合出它们之间的线性关系。