等比数列(二)

等比数列（二）[学习目标] 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法．知识点一 推广的等比数列的通项公式{a n }是等比数列，首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m (m 、n ∈N *)． 思考1 如何推导a n ＝a m q n－m?答案 根据等比数列的通项公式， a n ＝a 1q n －1， a m ＝a 1q m －1， ∴an am＝q n －m ，∴a n ＝a m ·q n －m . 思考2 若已知等比数列{a n }中，q ＝3，a 3＝3，则a 7＝____. 答案 243解析 a 7＝a 3·q 4＝3·34＝35＝243. 知识点二 等比数列的性质1．如果m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l . 2．如果m ＋n ＝2k ，则有a m ·a n ＝a 2k .3．若m ，n ，p 成等差数列，则a m ，a n ，a p 成等比数列．4．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．5．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫bn an ，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q1，q 1q 2，q2q1，|q 1|.6．等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝a k ·a n －k ＋1＝….思考 等比数列{a n }中，a3·a9a5＝________，a 5·a 11＝________.答案 a 7 a 28解析 由等比数列的性质得a 5·a 11＝a 28. a 3·a 9＝a 5·a 7，∴a3·a9a5＝a 7.题型一 等比数列的性质及应用例1 (1)在等比数列{a n }中，若a 3a 6＝9，a 2a 4a 5＝27，则a 2的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9(2)已知公比为q 的等比数列{a n }中，a 5＋a 9＝12q ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为________．答案 (1)B (2)14解析 (1)因为{a n }为等比数列，所以a 3a 6＝a 4a 5＝9， 又因为a 2a 4a 5＝27，所以a 2＝3. (2)∵a 5＋a 9＝12q ，∴a 4＋a 8＝12，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10 ＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝()a4＋a82＝14.跟踪训练1 (1)在等比数列{a n }中， a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a20a10等于( )A.23B.32C.23或32 D ．－23或－32(2)已知数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝______. 答案 (1)C (2)5解析 (1)a 7·a 11＝a 4·a 14＝6， 又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a4＝2，a14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a4＝3a14＝2， ∴q 10＝a14a4＝32或23，a20a10＝q 10＝32或23. (2)由a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25， 即a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25， ∵a n ＞0，∴a 3＋a 5＞0，∴a 3＋a 5＝5. 题型二 灵活设项求解等比数列例2 已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，则此4个数为______________________．答案 8，－2，12，－18或－18，12，－2,8解析 设此4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3. 则a 4q 6＝1， aq (1＋q )＝－32，①所以a 2q 3＝±1，当a 2q 3＝1时，q ＞0，代入①式化简可得q 2－14q ＋1＝0，此方程无解；当a 2q 3＝－1时，q ＜0，代入①式化简可得q 2＋174q ＋1＝0，解得q ＝－4或q ＝－14.当q ＝－4时，a ＝－18；当q ＝－14时，a ＝8.所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，12，－2,8.跟踪训练2 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数． 解 由题意设此四个数为bq ，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b3＝－82bq ＝a ＋bab2q ＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10b ＝－2q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8b ＝－2q ＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.题型三 等比数列的实际应用例3 为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数)． 解 设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2014年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.依题意，a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部分是新绿化的12%·b n ，所以 a n ＋1＝92%·a n ＋12%(1－a n )＝45a n ＋325，即a n ＋1－35＝45(a n －35)，a 1－35＝25－35＝－15，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫an －35是以－15为首项，45为公比的等比数列，∴a n －35＝(－15)(45)n －1，∴a n ＝35－15(45)n －1，则a n ＋1＝35－15⎝⎛⎭⎫45n，∵a n ＋1＞50%，∴35－15⎝⎛⎭⎫45n ＞12，∴⎝⎛⎭⎫45n ＜12，n ＞45log ＝lg 21－3lg 2＝3.则当n ≥4时，不等式⎝⎛⎭⎫45n ＜12恒成立． 所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.跟踪训练3 2015年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a 和25a ，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%. (1)求哪一年两林场木材的总存量相等？ (2)问两林场木材的总量到2019年能否翻一番？ 解 (1)由题意可得16a (1＋25%)n －1＝25a (1－20%)n －1， 解得n ＝2，故到2017年两林场木材的总存量相等．(2)令n ＝5，则a 5＝16a ⎝⎛⎭⎫544＋25a ⎝⎛⎭⎫454＜2(16a ＋25a )， 故到2019年不能翻一番．1．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a5a7等于( )A.56B.65C.23D.322．等比数列{a n }中，a 2＝4，a 7＝116，则a 3a 6＋a 4a 5的值是( )A ．1B ．2 C.12 D.143．在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a2 016－a2 017a2 014－a2 015等于( )A ．3或－1B ．9或1C ．1D ．94．已知数列：4，a,12，b 中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b 等于( ) A ．20 B ．18 C ．16 D ．145．在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．一、选择题1．已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 3＝19，则a 5等于( )A ．±181B ．－181 C.181 D ．±122．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＋a 6＝4，则a 10＋a 11＋a 12等于( ) A ．32 B ．16 C ．12 D ．83．已知等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1，a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 40a 50a 60的值为( )A ．32B ．64C ．256D ．±644．设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1，n ∈N *，若数列{b n }的连续四项在集合{－53，－23,17,37,82}中，则q 等于( ) A ．－43B ．－32C ．－32或－23D ．－34或－435．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2 C ．n 2 D ．(n －1)26．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn等于( )A.32B.32或23C.23D ．以上都不对 7．已知数列1，x 1，x 2，…，x 2n,2是等比数列，x 1·x 2·x 3·…·x 2n 的值为( ) A.⎝⎛⎭⎫12nB.⎝⎛⎭⎫122n ＋1 C ．2n D ．22n ＋1 二、填空题8．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 2＋a 3＝8，则a 5＝________.9．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且a 7＝b 7，则b 5＋b 9＝________.10．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.11．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于______． 三、解答题12．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于712，求这三个数．13．“猴子分苹果”问题：海滩上有一堆苹果，五只猴子来分，第一只猴子把苹果分成五等份，多一个，于是它把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的苹果也分成五等份，多了一个，它把多的一个扔到海里，取走一份；以后的3只猴子都是如此处理．问原来至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？当堂检测答案1．答案 D解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1， 由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a5a7＝1q2＝⎝⎛⎭⎫622＝32.2．答案 C解析 a 3a 6＝a 4a 5＝a 2a 7＝4×116＝14， ∴a 3a 6＋a 4a 5＝12.3．答案 D解析 由3a 1，12a 3,2a 2成等差数列可得a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ， ∵a 1≠0，∴q 2－2q －3＝0. 解得q ＝3或q ＝－1(舍)． ∴a2 016－a2 017a2 014－a2 015＝a2 016()1－q a2 014()1－q＝a2 016a2 014＝q 2＝9. 4．答案 B解析 由题意可得2a ＝4＋12＝16⇒a ＝8，又122＝8b ⇒b ＝18. 5．答案 8解析 设插入的3个数依次为a ，b ，c ，即12，a ，b ，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b 2＝ac ＝12×8＝4，因为a 2＝12b ＞0，∴b ＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc ＝4×2＝8.课时精练答案一、选择题 1．答案 C解析 根据等比数列的性质可知 a 1a 5＝a 23⇒a 5＝a23a1＝181.2．答案 B 解析a4＋a5＋a6a1＋a2＋a3＝q 3＝42＝2，∴a 10＋a 11＋a 12＝(a 1＋a 2＋a 3)q 9＝2·(23)＝24＝16.3．答案 B解析 由题意得，a 1a 99＝16， ∴a 40a 60＝a 250＝a 1a 99＝16， 又∵a 50＞0， ∴a 50＝4，∴a 40a 50a 60＝16×4＝64. 4．答案 C解析 即a n 的连续四项在集合{－54，－24,16,36,81}中，由题意知，这四项可选择－54,36，－24,16，此时，q ＝－23，若选择16，－24,36，－54，则q ＝－32.5．答案 C解析 设T ＝a 1·a 3·a 5…a 2n －3·a 2n －1， T ＝a 2n －1·a 2n －3·a 2n －5…a 3·a 1，∴T 2＝(a 1·a 2n －1)(a 3·a 2n －3)(a 5·a 2n －5)…(a 2n －1·a 1) ＝(22n )n ＝22n 2， ∴T ＝22n2＝2n 2，∴原式＝log 2(a 1a 3…a 2n －1)＝log 2T ＝n 2. 6．答案 A解析 不妨设12是x 2－mx ＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m ＝4＋12＝92，对方程x 2－nx ＋2＝0，设其根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 则x 1x 2＝2，∴等比数列为12，x 1，x 2,4，∴q 3＝412＝8，∴q ＝2，∴x 1＝1，x 2＝2， ∴n ＝x 1＋x 2＝1＋2＝3， ∴m n ＝92×3＝32. 7．答案 C解析 由题意得x 1x 2n ＝x 2x 2n －1＝…＝2， ∴x 1x 2…x 2n ＝2n . 二、填空题 8．答案643解析 q ＝a2＋a3a1＋a2＝84＝2，∴a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝4＝a 1(1＋2)＝3a 1， ∴a 1＝43，∴a 5＝43·24＝643.9．答案 8解析 a 3a 11＝4a 7＝a 27， ∴a 7＝4(a 7＝0舍去)， ∴b 7＝a 7＝4＝12(b 5＋b 9)，∴b 5＋b 9＝8. 10．答案 2n解析 ∵{a n }单调递增，∴q ＞0， 又a 25＝a 10＞0，∴a n ＞0，q ＞1， 由条件得2⎝⎛⎭⎪⎫an an ＋1＋an ＋2an ＋1＝5，即2⎝⎛⎭⎫1q ＋q ＝5，∴q ＝2或q ＝12(舍)， 由a 25＝a 10得(a 1q 4)2＝a 1q 9， ∴a 1＝q ＝2，故a n ＝2n . 11．答案 9解析 由题意得，a ＋b ＝p ，ab ＝q ， 由p ＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a －2ab ＝4①或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2ab ＝4②， 解①得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝1，解②得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4.∴p ＝a ＋b ＝5，q ＝ab ＝4， ∴p ＋q ＝9.三、解答题12．解 设三个数为aq，a ，aq (a ，q ＞0)，由题⎩⎨⎧ aq ＋a ＋aq ＝21q a ＋1a ＋1aq ＝712，∴⎩⎨⎧a (1q＋1＋q )＝211a (q ＋1＋1q )＝712⇒a 2＝21×127＝36，∴a ＝6，q ＝2或12，∴三个数为3,6,12或12,6,3.13．解 设最初的苹果数为a 1，五只猴子分剩的苹果数依次为a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，由题意得：a n ＋1＝(a n －1)－15(a n －1)＝45a n －45(*)，设a n ＋1＋x ＝45(a n ＋x )，即a n ＋1＝45a n －15x ，对照(*)式得，－15x ＝－45，所以x ＝4.即a n ＋1＋4＝45(a n ＋4)．所以数列{a n ＋4}为等比数列，首项为a 1＋4，公比q ＝45，所以a 6＋4＝(a 1＋4)×(45)5.因此a 6＝(a 1＋4)×(45)5－4.由题意知a 6为整数，故a 1＋4的最小值是55， 即a 1的最小值是55－4＝3 121. 即最初至少有3 121个苹果，从而最后剩下a 6＝45－4＝1 020(个)苹果．。