等比数列(二)

等比数列（二）

[学习目标] 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法．

知识点一 推广的等比数列的通项公式

{a n }是等比数列，首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －

1，a n ＝a m ·q n －

m (m 、n ∈N *)． 思考1 如何推导a n ＝a m q n

－m?

答案 根据等比数列的通项公式， a n ＝a 1q n －

1， a m ＝a 1q m －1， ∴

an am

＝q n －m ，∴a n ＝a m ·q n －

m . 思考2 若已知等比数列{a n }中，q ＝3，a 3＝3，则a 7＝____. 答案 243

解析 a 7＝a 3·q 4＝3·34＝35＝243. 知识点二 等比数列的性质

1．如果m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l . 2．如果m ＋n ＝2k ，则有a m ·a n ＝a 2k .

3．若m ，n ，p 成等差数列，则a m ，a n ，a p 成等比数列．

4．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．

5．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫1an ，{a n ·b n }，⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫bn an ，

{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q1，q 1q 2，q2

q1

，|q 1|.

6．等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝a k ·a n －k ＋1＝….

思考 等比数列{a n }中，a3·a9

a5＝________，a 5·a 11＝________.

答案 a 7 a 28

解析 由等比数列的性质得a 5·a 11＝a 28. a 3·a 9＝a 5·a 7，∴a3·a9a5

＝a 7.

题型一 等比数列的性质及应用

例1 (1)在等比数列{a n }中，若a 3a 6＝9，a 2a 4a 5＝27，则a 2的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9

(2)已知公比为q 的等比数列{a n }中，a 5＋a 9＝1

2q ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为________．

答案 (1)B (2)1

4

解析 (1)因为{a n }为等比数列，所以a 3a 6＝a 4a 5＝9， 又因为a 2a 4a 5＝27，所以a 2＝3. (2)∵a 5＋a 9＝12q ，∴a 4＋a 8＝1

2，

∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10 ＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝()a4＋a82＝1

4

.

跟踪训练1 (1)在等比数列{a n }中， a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a20

a10等于( )

A.23

B.32

C.23或32 D ．－23或－32

(2)已知数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝______. 答案 (1)C (2)5

解析 (1)a 7·a 11＝a 4·a 14＝6， 又a 4＋a 14＝5，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ a4＝2，a14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧

a4＝3a14＝2

， ∴q 10＝a14a4＝32或23，

a20a10＝q 10＝32或23

. (2)由a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25， 即a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25， ∵a n ＞0，∴a 3＋a 5＞0，∴a 3＋a 5＝5. 题型二 灵活设项求解等比数列

例2 已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－3

2

，则此4个数为

______________________．

答案 8，－2，12，－18或－18，1

2，－2,8

解析 设此4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3. 则a 4q 6＝1， aq (1＋q )＝－3

2

，①

所以a 2q 3＝±1，当a 2q 3＝1时，q ＞0，代入①式化简可得q 2－1

4q ＋1＝0，此方程无解；

当a 2q 3＝－1时，q ＜0，代入①式化简可得q 2＋174q ＋1＝0，解得q ＝－4或q ＝－1

4.

当q ＝－4时，a ＝－1

8；

当q ＝－1

4

时，a ＝8.

所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，1

2

，－2,8.

跟踪训练2 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数． 解 由题意设此四个数为b

q ，b ，bq ，a ，

则有⎩⎪⎨⎪

⎧

b3＝－82bq ＝a ＋b

ab2q ＝－80，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝10

b ＝－2

q ＝－2

或⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＝－8

b ＝－2q ＝52

.

所以这四个数为1，－2,4,10或－4

5，－2，－5，－8.

题型三 等比数列的实际应用

例3 为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数)． 解 设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a 1＝2

5，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2014

年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.

依题意，a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积