反比例函数
反比例函数的方法
反比例函数的方法反比例函数是一类特殊的函数，其定义为：y = k/x，其中k为常数，x不等于0。
这意味着当x增加时，y减小，反之亦然，因此它被称为反比例函数。
在数学、物理、工程和科学等许多领域中，反比例函数都有广泛的应用。
本文将介绍反比例函数的性质、图像和解题方法。
一. 反比例函数的性质1. 垂直渐近线：x = 0是反比例函数的垂直渐近线，因为当x趋近于0时，y无限大或无限小。
2. 水平渐近线：y = 0是反比例函数的水平渐近线，因为当x趋近于无穷大或无穷小时，y趋近于0。
3. 对称中心点：反比例函数的对称中心点为(x,y) = (±√k,±√k)，因为当x等于±√k时，y等于±√k，即(x,y)关于这一点对称。
4. 定义域和值域：反比例函数的定义域为x不等于0，值域为y不等于0。
二. 反比例函数的图像反比例函数的图像可以通过绘制一些点然后连接它们来得到。
例如，对于函数y = 2/x，我们可以选择一些x值，并计算相应的y值，然后将它们表示在坐标系统中，如下所示：x y-3 -2/3-2 -1-1 -21 22 13 2/3通过连接这些点，我们可以得到反比例函数的图像如下所示：此图像具有以下特征：1. 过原点(0,0)，因为当x等于0时，y等于0。
2. 右上和左下方向的开口，因为当x大于0时，y小于0，当x小于0时，y大于0。
3. 垂直渐近线x = 0。
4. 水平渐近线y = 0。
5. 对称中心点为(-√2,√2)和(√2,-√2)。
三. 反比例函数的解题方法当我们需要解决与反比例函数有关的问题时，我们可以使用以下步骤：1. 理解问题并确定变量：首先，我们需要明确问题中给出的信息，并确定与反比例函数相关的变量。
例如，如果一个问题涉及到两个变量的反比例关系，我们可以使用y=k/x的形式表示它们之间的关系，并将k视为常数。
2. 列出方程：其次，我们需要将反比例关系转化为相应的方程，并用给定的值求解未知量。
反比例函数
反比例函数知识Ⅰ反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k 为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。
而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k〃x^（-1）。
Ⅱ自变量的取值范围：①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数②函数y的取值范围也是任意非零实数。
Ⅲ函数图像：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
Ⅳ图象的形状：双曲线．K的绝对值越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．K的绝对值越小，图象的弯曲度越大．Ⅴk的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC 的面积为．Ⅵ函数性质：单调性：当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。
对称性：反比例函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，其对称轴为y=x和y=-x；反比例函数图像上的点关于坐标原点对称。
Ⅶ直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．技能：Ⅰ画图像1）列表2）在平面直角坐标系中标出点。
3）用平滑的曲线连接点。
（注：当两个数相等时那么曲线呈弯月型）Ⅱ构造k（k的几何意义）思想Ⅰ数形结合（主要是k）Ⅱ分类讨论经验Ⅰ（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；Ⅱ（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；Ⅲ反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点Ⅳ双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．。
反比例函数的定义
反比例函数的定义
一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数，自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值的取值范围也是一切非零实数。
注：
（1）因为分母不能为零，所以反比例函数函数的自变量x不能为零，同样y也不能为零；（2）由，所以反比例函数可以写成的形式，自变量x的次数为-1；
（3）在反比例函数中，两个变量成反比例关系，即，因此判定两个变量是否成反比例关系，应看是否能写成反比例函数的形式，即两个变量的积是不是一个常数。
表达式：
x是自变量，y是因变量，y是x的函数
自变量的取值范围：
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
反比例函数性质：
①反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式；
②反比例函数表达式中，常数（也叫比例系数）k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;
③反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等式0的任意实数，函数值y 的取值范围也是非零实数。
反比例函数
k 1 ．反比例函数 y＝ (k 是常数， k≠0)的图象是 x 双曲线．因为 x≠0，k≠0，相应地 y 值也不能为 0， 所以反比例函数的图象无限接近 x 轴和 y 轴，但永不 与 x 轴、y 轴相交．
2．反比例函数的图象和性质 k 反比例函数 y＝ (k 是常数， k≠0)的图象总是关于 x 原点对称的，它的位置和性质受 k 的符号的影响.
(1)求该轿车可行驶的总路程 s 与平均耗油量 a 之 间的函数解析式(关系式)． (2)当平均耗油量为 0.08 升/千米时， 该轿车可以行 驶多少千米？ 【点拨】本题考查建立反比例函数模型解答实际 问题． k k 解：(1)把 a＝0.1，s＝700 代入 s＝ ，得 700＝ ， a 0.1 70 k＝70，s＝ . a
考点三 反比例函数值的大小比较 例 3(2014· 衡阳)若点 P1(－1，m)，P2(－2，n)在 k 反比例函数 y＝ (k>0)的图象上，则 m________n(填 x “>”“<”或“＝”)．
【点拨】方法一：∵k＞0，∴在每个象限内y 随x的增大而减小．又∵0＞－1＞－2，∴m＜n.方 法二：∵k＞0，∴取k＝2，把x＝－1，x＝－2分别 2 代入y＝ ，得m＝－2，n＝－1，∴m＜n. x
k 2． (2014· 株洲)已知反比例函数 y＝ 的图象经过点 x (2,3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是 ( B ) A．(－6,1) C．(2，－3) B．(1,6) D．(3，－2)
k 解析：∵y＝ 的图象经过点(2,3)，∴k＝2×3＝6. x 又∵1×6＝6＝k， ∴点(1,6)也在这个函数的图象上． 故 选 B.
A．②③
B．③④
C．①②
D．①④
反比例函数
反比例函数相关知识反比例函数的定义定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的性质函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量，1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3.x的取值范围是：x≠0;y的取值范围是：y≠0。
4..因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。
反比例函数的一般形式一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
其中，x是自变量，y是函数。
由于x在分母上，故取x≠0的一切实数，看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。
补充说明：1.反比例函数的解析式又可以写成：(k是常数，k≠0).2.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可.反比例函数解析式的特征⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为1。
⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。
y与x成反比xy=a（a为常数）如果二者呈反比，常数a依然被称作反比例常数。
顺便说一下，反比例的式子也可以通过下面的形式表达（可能这种形式才是主流）。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数知识点总结1.反比例函数的定义一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
它可以从以下几个方面来理解：⑴ x是自变量，y是x的反比例函数；⑵自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值的取值范围是y≠0；⑶比例系数k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：① y=k/x（k≠0）；② y=kx^-1（k≠0）；③ xy=k（定值）（k≠0）；⑸函数y=k/x（k≠0）与函数x=k/y（k≠0）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。
当k=0时，y=k/x就不是反比例函数了。
2.用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y=k/x（k≠0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
3.反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例函数的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
4.反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表所示：反比例函数 y=k/x（k≠0） k的符号 k>0 k0 y0时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
反比例函数知识讲解
反比例函数知识讲解具体来说，当x≠0时，反比例函数的定义域为R\{0}，值域为R。
当x=0时，函数的值将无法定义，因为在分母为零的情况下，函数没有意义。
1.当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于零。
2.当x趋近于零时，y趋近于正无穷大或负无穷大。
3.函数图像不会与坐标轴相交。
1.比例定律：在一定条件下，两个量之间的比值始终保持不变。
如果该比值为常数k，我们可以写成y=k/x的形式，其中自变量x和因变量y之间呈现出反比例关系。
2.电阻和电流关系：根据欧姆定律，电阻R与电流I之间的关系为R=k/I，其中k为电阻常数。
根据这个关系，可以推导出电压和电流之间的关系为V=kI，其中V为电阻上的电压。
3. 速度和时间关系：根据路程与时间的关系式 S = vt，可以得到时间和速度之间呈现出反比例的关系。
要求提高反比例函数的知识理解，可以进一步研究以下几个方面：1.反比例函数的图像特点：观察不同常数k值的情况下函数图像的变化情况。
通过画出函数图像来理解反比例函数的性质。
2.反比例函数的性质：研究反比例函数的性质，例如定义域、值域、单调性等。
了解函数图像的变化对应的函数性质的变化。
3.反比例函数的应用：研究反比例函数在实际问题中的应用，例如物理学、经济学、生物学等领域中的应用。
需要注意的是，在应用反比例函数的过程中，需要将模型与实际问题相结合，并针对具体问题来确定函数中的常数。
总之，反比例函数是一类重要的函数形式，具有特殊的数学特征和实际应用背景。
通过进一步的研究和探索，可以提高对反比例函数的理解和应用能力。
反比例函数表达式的三种形式
反比例函数表达式的三种形式
反比例函数是一种特殊的函数，其表达式可以有三种形式，标
准形式、一般形式和直线方程形式。
1. 标准形式，反比例函数的标准形式可以表示为 y = k/x，其
中 k 是一个非零常数。
在标准形式中，y 和 x 是函数的变量，k
是比例常数，表示 y 和 x 的乘积的比例。
2. 一般形式，反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/(ax +
b)，其中 k、a 和 b 都是非零常数。
一般形式中，除了比例常数 k，还引入了两个常数 a 和 b，用于调整函数的斜率和截距。
3. 直线方程形式，反比例函数的直线方程形式可以表示为 xy
= k，其中 k 是一个非零常数。
直线方程形式中，将反比例函数转
化为直线的乘积形式，其中 x 和 y 的乘积保持不变。
这三种形式都可以用来表示反比例函数，选择使用哪种形式取
决于具体的问题和需要。
无论使用哪种形式，反比例函数都具有一
个特点，即当一个变量增大时，另一个变量会相应地减小，它们之
间的乘积保持不变。
反比例函数计算公式
反比例函数计算公式
1、y＝k／x 其中X是自变量，Y是X的函数
2、y=k/x=k·1/x
3、xy=k
4、y=k·x^-1
5、① k ≠ 0 ②一般情况下，自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数③函数 y 的取值范围也是一切非零实数 .
两种有关联的量，一种量随另一种量变化而变化，但这两种量的积一定是个常数，这时，这两种量是成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
一般用来x的变化规律来表示y的变化规律。
反比例量涵盖三个量，一个定量和两个变量。
研究两个变量的膨胀(或减少)之间的关系。
一个量的变化导致另一个量的相反变化。
这两个量是成反比的，它们的关系是成反比的。
形如 y／x＝k（一定）（k不等于0）的函数叫做反比例函数，k叫做反比例系数。
(一定)，这是求反比例的公式。
用字母表示反比例的关系式k（一定）=yx。
反比例，指的是两种有关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，假设这两种量中相对应的两个数的乘积一定，既然如此那，他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
比例（proportion）是一个数学术语，表示两个或多个比相等的式子。
在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质。
反比例函数知识点汇总
反比例函数知识点汇总1.定义与图像特征：反比例函数的定义为y=k/x，在此函数中，x不等于0，k为常数。
反比例函数的图像特点是：经过第一、二象限两点，以y轴和x轴为渐进线，图像在x轴的正半轴和y轴的正半轴上都不会出现，图像呈现出一种双曲线的形状。
2.反比例函数的基本性质：(a)定义域：x≠0，即x不能为0。
(b)值域：排除0，即y不能为0。
当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋近于0。
(c)对称中心：该函数关于原点(0,0)对称。
(d)渐进线：图像与x轴和y轴都有渐进线，即当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当y趋近于无穷大时，x趋近于0。
(e)单调性：反比例函数在定义域内是单调递减的。
(f)异号性：当x与y异号时，k为负数；当x与y同号时，k为正数。
(g)零点：当x与y相等时，即x=y≠0。
3.确定反比例函数的常数k：y1=k/x1和y2=k/x2通过消去k，可以得到：y1*y2=k因此，可以通过已知点的y值的乘积来确定k的值。
4.反比例函数的应用：(a)正比例与反比例的混合问题：当一个问题与正比例和反比例函数有关时，可以通过组合两种函数来解决问题。
例如，当一个物体的质量与加速度成反比例关系，而力与加速度成正比例关系时，可以通过设置两个函数来解决问题。
(b)流速与管道宽度：根据波的传播速度，流速与管道宽度成反比例关系。
当管道宽度较小时，流速较大；当管道宽度较大时，流速较小。
(c)投资与收益率：投资的利润与投资金额成反比例关系。
当投资金额较小时，相对的利润率较大；当投资金额较大时，相对的利润率较小。
(d)电阻与电流：电阻与电流成反比例关系，即当电阻较大时，电流较小；当电阻较小时，电流较大。
总结起来，反比例函数是一种特殊的函数关系，其图像呈现出一种双曲线的形状。
反比例函数具有一些基本性质，如定义域、值域、对称中心和渐进线等。
确定反比例函数的常数k可以通过已知点进行求解。
反比例函数在实际生活中有很多应用，特别是与强度、速度和功率等相关的问题。
初中数学 反比例函数
初中数学反比例函数
反比例函数是指一种函数，其定义域与值域都为实数集，且满足函数值与自变量之间的比例关系为反比例关系。
具体而言，如果函数为f(x)，则反比例关系可以表示为 f(x) = k / x，其中 k 为比例常数。
反比例函数的特点是，自变量越大，函数值越小；自变量越小，函数值越大。
因此，它的图像呈现出一条括弧形的曲线。
同时，反比例函数的定义域必须去掉 0，因为在 x=0 处函数值会变为无穷大或无穷小。
反比例函数在实际问题的应用广泛，例如电路中的电阻、电容等元件的阻抗值与频率呈反比例关系。
在解决实际问题时，可以利用反比例函数的性质进行建模，并通过函数图像和数学计算进行分析。
反比例函数知识点
反比例函数知识点反比例函数的定义定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的性质函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量， 1.当k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随x的增大而减小;当k0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k0时，函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数;k0时，函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。
3.x的取值范围是：x≠0;y的取值范围是：y≠0。
4..由于在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不行能与x轴相交，也不行能与y轴相交。
但随着x无限增大或是无限削减，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。
反比例函数的一般形式(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
其中，x是自变量，y是函数。
由于x在分母上，故取x≠0的一切实数，看函数y的取值范围，由于k≠0，且x≠0，所以函数值y也不行能为0。
补充说明：1.反比例函数的解析式又可以写成： (k是常数，k≠0).2.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可.反比例函数解析式的特征⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为1。
⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。
反比例函数〔高一数学〕学问点形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有f(x)=f(x)，图像关于原点对称。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结一、反比例函数定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0，x ≠ 0) 的函数，其中 k 为常数，称为比例常数，x 为自变量，y 为因变量。
二、图象特征1. 反比例函数的图象是一组双曲线。
2. 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限。
3. 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限。
4. 双曲线的对称轴是 y 轴。
三、性质1. 反比例函数不是定义在全体实数上的函数，其定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
2. 反比例函数的值域为全体实数 R。
3. 反比例函数是奇函数，具有对称性，其对称中心为原点 (0, 0)。
4. 当 x 的值增大时，y 的值减小；当 x 的值减小时，y 的值增大。
5. 反比例函数没有渐近线，但当 x 趋向于 0 时，y 趋向于无穷大或负无穷大。
四、运算法则1. 反比例函数的加法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 + y2 = (k1x2 + k2x1) / (x1x2)。
2. 反比例函数的减法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 - y2 = (k1x2 - k2x1) / (x1x2)。
3. 反比例函数的乘法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 * y2 = (k1 * k2) / (x1 * x2)。
4. 反比例函数的除法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 /y2 = (k1 / k2) * (x2 / x1)。
五、实际应用反比例函数在物理学、经济学、生物学等领域有广泛的应用。
例如，在电路分析中，电流与电阻的关系可以由欧姆定律表示为 I = V/R，其中 V 为电压，I 为电流，R 为电阻，这可以看作是反比例函数的一个特例。
六、常见问题及解析1. 问题：如何确定反比例函数的定义域和值域？解析：反比例函数的定义域为除去 0 的所有实数，即 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
反比例函数
反比例函数知识要点1. 反比例函数的概念： 一般地，函数x k y =（k 是常数，且k ≠0）叫做反比例函数。
注意：（1）常数K 称为反比例系数，K 是非零常数；（2）解析式有三种表达式： ①xk y =（k ≠0）；②xy=k （k ≠0）；③1-=kx y （k ≠0） 2.反比例函数的图像： 3.反比例函数xk y =（k ≠0）的性质： （1）当K ＞0时，图像的两个分支分别在第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；（2）当K ＜0时，图像的两个分支分别在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大；（3）反比例函数的图像：①关于原点成中心对称；②关于直线x y =成轴对称；③关于直线x y -=成轴对称；4. 反比例函数面积的基本模型：①如图，过双曲线x k y =上任意一点P(X ，y)，作x 轴（或y 轴）的垂线，则S ∆OMN=2|K |; ②如图，过双曲线x k y =上任意一点P(X ，y)，作x 轴、y 轴的垂线，则S 矩形AOBP=|K|；反比例函数 xk y =（k 是常数，且k ≠0） K 的符号K ＞0K ＜0 图像（双曲线）这两条曲线只能无限接近于两坐标轴， 不能与其相交。
基础知识检测（一）填空1. 当m= 时，函数y=()的变化范围是时，函数值是反比例函数。
当y x m m 1-x 3-12≤≤+- . 2. 写出一个反比例函数，当x （x ＞0）增大时，y 反而减小，此函数的解析式是 ；已知反比例函数xk y -=4，当k 时，函数图像位于第一、三象限；当k 时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
3. 在函数y=xa 12--(a 为常数)的图像上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，则函数y1，y2，y3的关系是 。
4. 已知反比例函数x k y =（k ≠0）的图像经过P(1,3)点，则反比例函数的解析式为 。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数，又称为倒数函数，是数学中重要的函数类型之一。
它是一种特殊的函数关系，其中一个量的变化与另一个量的变化成反比。
在反比例函数中，当一个变量增加时，另一个变量会以相应的速度减少，反之亦然。
本文将通过定义、性质、图像和应用等方面，对反比例函数进行详细的知识点总结。
1. 定义与表示：反比例函数是指一种函数关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比。
一般来说，反比例函数可以通过以下形式来表示：y = k/x其中k是常数，称为比例常数，x和y分别是两个变量的值。
2. 性质：(1) 定义域和值域：反比例函数的定义域为除了x=0外的所有实数，值域也为除了y=0外的所有实数。
(2) 对称性：反比例函数在原点(0,0)处具有对称性，即在x轴和y轴上分别关于原点对称。
(3) 单调性：反比例函数在其定义域内是单调递减的，即当x增加时，y会减小。
(4) 渐进线：反比例函数y=k/x在x趋近正无穷大或负无穷大时，都会逼近x轴和y轴，即有两条渐进线x=0和y=0。
(5) 变换：反比例函数可以通过平移、伸缩等变换来得到相应的函数图像。
3. 图像：反比例函数的图像呈现出一条曲线，并且具有特定的形状。
以y=k/x为例，当k为正数时，函数的图像将出现在第一和第三象限，形状类似于右上方向的双曲线；当k为负数时，图像将出现在第二和第四象限，形状类似于左下方向的双曲线。
同时，倒数函数的图像都会与x轴和y轴有两条渐进线，即x=0和y=0。
4. 应用：反比例函数在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：(1) 电阻与电流关系：欧姆定律中，电阻与电流的关系就是一个反比例函数关系。
当电流增大时，电阻会相应减小，反之亦然。
(2) 时间与速度关系：在行驶过程中，车辆在相同的距离内，速度与时间呈反比例。
当时间增加时，速度会相应减小，行驶速度与时间的乘积保持一定的常数。
(3) 人均用水量与总用水量关系：一般情况下，社会的总用水量与人口的数量成反比例。
反比例函数
反比例函数的定义：如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
因为y=k/x是一个分式，定义域为x≠0，值域为y≠0。
反比例函数的图像：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线, 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
反比例函数性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k〃m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
反比例函数测试题一、选择题（每题3分共30分）1、下列函数中，反比例函数是（）A、y=x+1B、y=C、=1D、3xy=22、函数y1=kx和y2=的图象如图，自变量x的取值范围相同的是（）3、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。
反比例函数最全知识点
反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按。
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第十七章 反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x ky =还可以写成kxy =1-2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。
⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序）③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
45. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xk y =，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0<k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=0211k k k 或 1-=∴k1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为xy 1-=【例2】在反比例函数x y 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >> 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。
解法一：由题意得111x y -=，221x y -=，331x y -= 3210x x x >>> ，213y y y >>∴所以选A解法二：用图像法，在直角坐标系中作出xy 1-=的图像描出三个点，满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A 解法三：用特殊值法213321321321,1,1,211,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数xmn y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 【解析】⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12132212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=∴221111121,122211y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为()11--∴，另一个点为【例4】 如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线xmy =在第一象限的交点，且2=∆AOB S ，则m 的值是_____.图解:因为直线m x y +=与双曲线xmy =过点A ,设A 点的坐标为()A A y x ,. 则有AA A A x my m x y =+=,.所以A A y x m =. 又点A 在第一象限,所以A A A A y y AB x x OB ====,.所以m y x AB OB S A A AOB 212121==∙=∆.而已知2=∆AOB S . 所以4=m .一、选择题1．下列函数，①y ＝2x ，②y ＝x ，③y ＝x －1，④y ＝11x +是反比例函数的个数有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．反比例函数y ＝2x的图象位于( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 3．已知矩形的面积为10，则它的长y 与宽x 之间的关系用图象表示大致为( )4．已知关于x 的函数y ＝k (x +1)和y ＝－kx(k ≠0)它们在同一坐标系中的大致图象是(• )5．已知点(3，1)是双曲线y ＝kx(k ≠0)上一点，则下列各点中在该图象上的点是( ) A ．(13，－9) B ．(3，1) C ．(－1，3) D ．(6，－12)6．某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压P (kPa )是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于140kPa 时，•气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应( ) A ．不大于2435m 3 B ．不小于2435m 3 C ．不大于2437m 3 D ．不小于2437m 3第6题图 第7题图7．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I A ．与电阻R (Ω)成反比例，如右图所表示的是该电路中电流I 与电阻R 之间的函数关系的图象，则用电阻R 表示电流I •的函数解析式为( )．A ．I ＝6R B ．I ＝－6R C ．I ＝3R D ．I ＝2R 8．函数y ＝1x与函数y ＝x 的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 9．若函数y ＝(m +2)|m |－3是反比例函数，则m 的值是( )．A ．2B ．－2C ．±2D ．×210．已知点A (－3，y 1)，B (－2，y 2)，C (3，y 3)都在反比例函数y ＝4x的图象上，则( )． A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 2＜y 1＜y 3 二、填空题11．一个反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象经过点P (－2，－1)，则该反比例函数的解析式是________．12．已知关于x 的一次函数y ＝kx +1和反比例函数y ＝6x的图象都经过点(2，m )，则一次函数的解析式是________．13．一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x •与完成任务所需的时间y 之间的函数关系式为________． 14．正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD •⊥x 轴于D ，如图所示，则四边形ABCD 的为_______．第14题图 第15题图 第19题图 15．如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_________． 16．反比例函数y ＝21039n n x--的图象每一象限内，y 随x 的增大而增大，则n ＝_______．17．已知一次函数y ＝3x +m 与反比例函数y ＝3m x-的图象有两个交点，当m ＝_____时，有一个交点的纵坐标为6．18．若一次函数y ＝x +b 与反比例函数y ＝kx图象，在第二象限内有两个交点，•则k ______0，b _______0，(用“＞”、“＜”、“＝”填空) 19．两个反比例函数y ＝3x ，y ＝6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2005，在反比例函数y ＝6x的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2005，纵坐标分别是1，3，•5•……，•共2005年连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线与y ＝3x的图象交点依次是Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，Q 3(x 3，y 3)，…，Q 2005(x 2005，y 2005)，则y 2005＝________．20．当＞0时，两个函数值y ，一个随x 增大而增大，另一个随x 的增大而减小的是( •)．A ．y ＝3x 与y ＝1x B ．y ＝－3x 与y ＝1xC ．y ＝－2x +6与y ＝1xD ．y ＝3x －15与y ＝－1x21．在y ＝1x的图象中，阴影部分面积为1的有（ ）22．如图，已知一次函数y ＝kx +b (k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B •两点，且与反比例函数y ＝mx(m ≠0)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，•若OA ＝OB ＝OD ＝1．(1)求点A 、B 、D 的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的解析式．第22题图23．如图，已知点A(4，m)，B(－1，n)在反比例函数y＝8x的图象上，直线AB•分别与x轴，y轴相交于C、D两点，(1)求直线AB的解析式．(2)C、D两点坐标．(3)S△AOC：S△BOD是多少？第23题图24．已知y＝y1－y2，y1y与x成反比例，且当x＝1时，y＝－14，x＝4时，y＝3．求(1)y与x之间的函数关系式．(2)自变量x的取值范围．(3)当x＝14时，y的值．25．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝mx的图象交于A、B两点．(1)利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．第25题图26．如图，双曲线y＝5x在第一象限的一支上有一点C(1，5)，•过点C•的直线y＝kx+b(k＞0)与x轴交于点A(a，0)．(1)求点A的横坐标a与k的函数关系式(不写自变量取值范围)．(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一个交点D的横坐标是9时，求△COA•的面积．第26题图反比例函数测试题（一）答案1．B．；2．D．；3．A．；4．A．；5．B．；6．B．；7．A．；8．B．；9．A．；10．D．；11．y＝2x；12．y＝x+1；13．y＝20x；14．2；15．y＝－8x；16．n＝－3；17．m＝5；18．＜，＞；19．2004．5；20．A．；B．；；21．A ．；C ．；D ．；22．解：(1)∵OA ＝OB ＝OD ＝1，∴点A 、B 、D 的坐标分别为A (－1，0)，B (0，1)，D (1，0)． (2)∵点AB 在一次函数y ＝kx +b (k ≠0)的图象上，∴01k b b -+=⎧⎨=⎩ 解得11k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为y ＝x +1，∵点C 在一次函数y ＝x +1的图象上，•且CD ⊥x 轴， ∴C 点的坐标为(1，2)，又∵点C 在反比例函数y ＝mx(m ≠0)的图象上， ∴m ＝2，•∴反比例函数的解析式为y ＝2x．；23．(1)y ＝2x －6；(2)C (3，0)，D (0，－6)；(3)S △AOC ：S △BOD ＝1：1．； 24．(1)y ＝216x 提示：设y ＝k22k x ，再代入求k 1，k 2的值． (2)自变量x 取值范围是x ＞0． (3)当x ＝14时，y ＝162＝255．； 25．解：(1)由图中条件可知，双曲线经过点A (2，1)∴1＝2m ，∴m ＝2，∴反比例函数的解析式为y ＝2x ．又点B 也在双曲线上，∴n ＝21-＝－2，∴点B 的坐标为(－1，－2)．∵直线y ＝kx +b 经过点A 、B ． ∴122k b k b =+⎧⎨-=-+⎩ 解得11k b =⎧⎨=-⎩ ∴一次函数的解析式为y ＝x －1．(2)根据图象可知，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方时，•一次函数的值大于反比例函数的值，即x ＞2或－1＜x ＜0．；26．解：(1)∵点C (1，5)在直线y ＝－kx +b 上，∴5＝－k +b ， 又∵点A (a ，0)也在直线y ＝－kx +b 上，∴－ak +b ＝0，∴b ＝ak 将b ＝ak 代入5＝－k +a 中得5＝－k +ak ，∴a ＝5k+1． (2)由于D 点是反比例函数的图象与直线的交点∴599y y k ak⎧=⎪⎨⎪=-+⎩ ∵ak ＝5+k ，∴y ＝－8k +5 ③将①代入③得：59＝－8k+5，∴k＝59，a＝10．∴A(10，0)，又知(1，5)，∴S△COA＝12×10×5＝25．；。