与a可交换的矩阵特点

矩阵可交换性质

矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。

本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。

可交换矩阵

可交换矩阵
可交换矩阵是一种特殊的矩阵，它通过可交换元素以多种方式来排列，从而构成一个可交换矩阵。

它通常用来表示多种关系，比如权杖（即多对多）、网格或其他拓扑结构，以及其他可交换或智变律映射。

可交换矩阵由一组索引表示，它可以保证相同元素的位置可以发生变化，这样就可以将原有的元素重新排列，而不会破坏可交换矩阵的整体结构。

要求可交换矩阵元素满足以下性质：
1.具有排列的对称性。

即对于可交换矩阵中的任意两个元素，若其索引表示的行与列和相同，则两个元素可以交换。

2. 矩阵每行有一个定义了Y坐标的值，每一列有一个定义其X坐标的值。

各行和列坐标值无重复。

3. 要求可交换矩阵元素必须与集合中唯一可达的元素匹配，以使满足对称的排列规则。

因此，角点元素的可交换性必须大于其他元素，以保证可交换矩阵完整性。

可交换矩阵常用于网络发现，具体由以下步骤组成：
1）网络初始化：构造可交换矩阵，将网络图分成若干小块，每一小块都是一个索引值丰富的可交换矩阵。

2）网络发现：从可交换矩阵里选择一个可交换项，然后根据可交换规则进行变换，调整可交换矩阵的布局，最终可以得到满足一定规则的网络拓扑图。

3）网络表征：利用可交换矩阵表示网络结构，把不同的元素按其相对位置用二叉编码表示，以表达网络中存在的关联。

可交换矩阵本身也有多种应用场景。

它具有处理复杂拓扑图的能力，可以用来发现社区中的潜在关系。

通过将矩阵的位置调整，可以有效的提高聚类的准确率。

可交换矩阵还可以用来提取模式，这可以帮助人们识别复杂系统中的局部规律；可交换矩阵有助于理解复杂的连接结构；可交换矩阵还可以用来预测网络未来的分布。

与矩阵A可交换的全体矩阵的性质

第３５卷第７期
（自然科学版）
Ｖｏｌ．３５Ｎｏ．７
２０１９年７月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｂｅｉＮｏｒｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｊｕｌ．２０１９
与矩阵犃可交换的全体矩阵的性质
丁晓业１，李红菊１，何健２
（１．安徽新华学院通识教育部，安徽合肥２３００８８；２．吉首大学数学系，湖南吉首４１６０００）
摘要：目的针对一些满足特殊条件的可交换矩阵，研究与矩阵犃可交换的全体矩阵的性质。方法从
可交换矩阵的概念出发，给出矩阵可交换的条件。再通过一些特殊的矩阵，利用可交换矩阵的定义和矩阵的乘
犫２１
犫２２
… 犫１狀燄
…
犫２狀
，则称矩阵（犮犻犼）犿×狀
燀犪犿１犪犿２ … 犪犿狊燅
燀犫狊１犫狊２ … 犫狊狀燅
来稿日期：２０１８０７１１基金项目：安徽新华学院校级重点教研项目（２０１６ｊｙ００８）作者简介：丁晓业（１９９０），男，安徽省合肥市人，硕士，助教，研究方向为代数学与矩阵理论。
·１·
２０１９年７月河北北方学院学报（自然科学版）第７期
为矩阵犃与矩阵犅的乘积矩阵。记作犃犅，即犃犅＝（犮犻犼）犿×狀，其中犮犻犼＝犪犻１犫１犼＋犪犻２犫２犼＋ … ＋犪犻狊犫狊犼＝
狊
∑犪犻犽犫犽犼（犻＝１，２，…，犿；犼＝１，２，…，狀）。乘积矩阵犃犅读作犃左乘犅或右乘犃。
般地，矩阵的乘法不满足交换律，即犃犅 ≠ 犅犃。但是在某些特殊情况下，矩阵的乘法也满足交换律，即

矩阵可交换性质

矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。

本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。

可交换矩阵的几个充要条件性质

可交换矩阵的几个充要条件性质
矩阵交换表示其行向量和列向量交换，而向量本身也是一种特殊的对称矩阵，因此可
以认为矩阵交换和对称矩阵有很多共同之处。

一般来讲，对称矩阵具有以下若干个充要条件：
（1）对称矩阵的元素是对称的，即mij=mji。

可交换矩阵的充要条件也有一定的要求，主要有以下几点：
（2）可交换矩阵的主对角线元素可任意变换，即mii=mii'。

综上所述，可交换矩阵的几个充要条件性质主要集中在可变元素，可变主对角线元素，可交换行向量和列向量以及可变元素。

只有矩阵满足这些充要条件，才能被称为可交换矩阵。

论文：浅谈矩阵的可交换性3

浅谈矩阵的可交换性摘要：交换矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具,交换矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点,而在我们的大学学习中,交换矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究。

因此本文针对一般的矩阵可交换这一性质进行了深入研究，对一些特殊的矩阵如上三角矩阵、数量矩阵等给出了一些可交换性质的充分条件和必要条件。

关键字：矩阵交换矩阵上三角矩阵数量矩阵本文分二章第一章为引言,主要介绍了对于矩阵可交换性研究的选题背景和本文有关的一些定义和相关概念。

第二章主要参考一些特殊的公式和通过一些特殊的矩阵如对角矩阵、数量矩阵、上三角矩阵等的研究来对矩阵可交换性的充分条件、必要条件的探讨和总结以及矩阵可交换性的一些性质的探讨。

选题背景随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步,科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视,其应用范围已经渗透到各个学科领域计算机的日益普及,使得矩阵理论与应用越来越受到数学学者、工程技术人员和科技人员的关注，矩阵理论不仅仅是一们重要的数学理论,而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用,还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景，由于利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时,具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点。

因此研究矩阵的可交换性对我的后继学习有极大的帮助。

研究现状及本文所做的工作目前,对于交换矩阵性质的研究主要是围绕交换矩阵的基本性质进行的,重点是交换矩阵的运算性质、交换矩阵的继承性质以及交换矩阵的有关性质。

本文的主要工作是把交换矩阵的性质进行分类并进行相应的总结参考资料【1】高丽一类上三角形矩阵可交换的充要条件。

滨州师范学院学报，2000，16（4）31-33【2】阎家灏赵锡英可交换矩阵兰州工业高等专科学校学报，2002，9（3）：51-54【3】曾梅兰。

可交换矩阵的特征探讨

可交换矩阵的特征探讨可交换矩阵的特征探讨摘要：。

交换矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具,交换矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点,矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视。

关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵引言：当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；即使矩阵AB、BA都有意义时它们也未必相等。

由于矩阵的乘法不满足满足交换律，所以对于研究AB与BA的关系有重要意义。

我们知道，若对n阶实方阵A，B,如果满足AB=BA，则称A、B可交换。

可交换矩阵有许多良好的性质，研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理论的研究具有重要的意义。

基本定义和相关概念2.1.1 若同阶矩阵A、B有AB=BA，则称A与B为可交换矩阵.2.1.2 矩阵可交换的几个充分条件定理①设 A, B至少有一个为零矩阵，则 A, B可交换；②设 A, B至少有一个为数量矩阵，则 A, B可交换；③设 A, B均为对角矩阵，则 A, B可交换；④设 A, B均为准对角矩阵，则 A, B可交换；⑤设A*是A 的伴随矩阵，则A与A*可交换；⑥设 AB = E ，则 A, B可交换。

证明：①对任意矩阵 A，均有： AO = OA，O表示零矩阵；②对任意矩阵A，均有：A(kE) = (kE)A，k 为任意实数；③，④显然成立[2]；⑤ AA? = A?A = A E ；⑥当 AB = E 时， A,B均可逆，且互为逆矩阵。

定理2.2①设AB =α A+β B ，其中α ,β为非零实数，则A,B可交换；②设Am +α AB = E，其中m 为正整数，α为非零实数，则A,B可交换。

证明：①由AB =α A+β B 得(A?β E)(B ?α E) =αβ E ，即1 (A β E)(B α E) Eαβ?? =，故依定理2.1⑥得：1 (B E) ααβ?(A ?β E) = E ，于是BA?α A?β B +αβ E =αβ E ，故BA =α A+β B = AB ；②由 Am +α AB = E 得A(Am?1 +α B) = E ，可得 AB = BA。

可交换矩阵浅析

= a22 ， b11 = b22 ，所以 AB = BA 。
′ −1 −1 A′B′ = ⎡( A − kE ) B ⎤′ ⎡( A − kE ) A⎤ = B′ ( A − kE )′ A′ [ ( A − kE )′] = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −1 −1 B′( A2 − kA)′ [ ( A − kE )′] = B′ [ ( A − kE ) A]′ [ ( A − kE )′] = B′A′ = ( AB)′ 。
[3]
ai ≠ a j (i ≠ j ) ，
B = ( bij ) n×n (i, j = 1, 2,L , n) ，因 AB = BA ，得到元素 ai ·bij = bij ·a j = a j ·bij ， ai - a j ) bij = 0， ai ≠ a j ， ( 因
199
2009 年
αβ
( A − β E )( B − α E ) = E ，故依定理 2.1 ⑥ 得： 1 ( B − α E )
αβ
性质 4.2 与主对角线上的元素互不相等的 n 阶对角阵 A 可交换
( A − β E ) = E ，于是 BA − α A − β B + αβ E = αβ E ，故 BA = α A +
两边取转置得 AB = BA 。或由 A−1 B −1 = ⎡( A − kE ) B ⎤ ⎣ ⎦
−1
−1
−1
⎡( A − kE )−1 A⎤ = B −1 ( A − kE )−1 A−1 ( A − kE ) = B ( A − kA) ⎣ ⎦
−1
2
aij ) n×n 中元素满足 aij =0， ≠ j ， i
定义 1.3 在 n 阶对角阵 A 中， a11 若

可交换的矩阵

非零特征根，相当于没有 A1 那
块．此时，A = PJ（ 0，k0） P －1，由上面的过程易知 A* = An－1．
矩阵是研究有限维代数的一个有力工具．本文研究矩阵代数中一个小知识点—可交换的矩阵．但是对矩阵 A 与 B 来说若有 AB = BA，则称 A 与 B 可交换．可交换的阵必为同阶方阵．关于可交换阵，最常见的结论是数量阵与同阶方阵都可交换，还有就是任一方阵都与其多项式可交换．由于 AA* = A* A = | A | I，故 A* 与 A 可交换．另外，当矩阵 A 可逆时，A －1 与 A 可交换．本文证明方阵的伴随阵也是其多项式．一般地，与 A 可交换的阵并不一定是 A 的多项式．本文还刻画了与其可交换的阵一定是其多项式的矩阵．
=
（－ λ1） k1… （－ λs） ks
＊
＊
＊
（
－
λ1）
k1… （
－
λs）
ks
，
于
是，
（
－
λ1）
bk0 k1… （
－
λs）
ks f（
J（
0，k0 ）
）
J
（ 0，k0 ） k0－1 = B4 ．
因此令 g（ λ）
= （
－
λ1）
bk0 k1… （
－
λs）
ks f（ λ） λk0－1 ，则 A*
f（ A） = An + a1An－1 + … + an－1A + anI = 0，故 A（ An－1 + a1 An－2 + … + an－1 I） = － an I，于是 A －1 = － an－1（ An－1 + a1 An－2 + … + an－1 I）．

矩阵可交换的条件及其性质

中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecial matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。

矩阵可交换的条件及其性质

中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecial matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。

(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.

内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称：指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。

在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范。

但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。

成绩：中指导教师：内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB≠.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多BA特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an important content in altitude-mathematics,it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule underAB≠. Whereas, in some certain the normal condition, that is to say, normally, BAconditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and parts of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.Key Words：matrix interchangeable conditions property upper triangular matrix目录引言 (1)一可交换矩阵及相关定义 (1)(一)矩阵 (1)(二)可交换矩阵 (3)二可交换矩阵成立的条件与性质 (3)(一)可交换矩阵成立的条件 (3)(二)相关结论 (5)(三)可交换矩阵的性质 (7)三几类常用的可交换矩阵 (7)四可交换矩阵的应用 (8)五总结 (10)参考文献 (10)致谢 (10)可交换矩阵成立的条件与性质引言随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.一、可交换矩阵及相关定义㈠矩阵1、矩阵的定义由m n ⨯个数ij a ()n j m i ,,2,1,,,2,1 ==排成的m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ()1 称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，也可以记为()ij a A =或n m A ⨯．这里的ij a 表示位于A 的第i 行第j 列的元素.n m ⨯称为矩阵的阶数.矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O .两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵.2、矩阵的运算()1加减法设()()n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==,为同型矩阵，则()nm ij ij b a B A ⨯+=+ ()2 这里若设B -为B 的负矩阵，即()n m ij b B ⨯-=-，则可以定义减法运算()n m ij ij b a B A ⨯-=-()3 ()2数与矩阵的乘积设()R k a A n m ij ∈=⨯,为实数，则kA 称为矩阵A 的数乘，且()n m ij ka kA ⨯=()4 即给A 的每个元素均乘以数k .()3矩阵的乘积设()()n ij m ij b B a A ⨯⨯==55,，则()n m ij c C AB ⨯==()5 称c 为矩阵A 与矩阵B 的乘积.其中()n j m i b a b a b a c j i j i j i ij ,,2,1;,,2,1552211 ==+++=即C 的第i 行第j 列元素为A 的第i 行各元素与B 的第j 列各元素对应相乘再相加.注意：只有当A 的行数与B 的列数相等时，A 与B 才能相乘．()4对称矩阵在一个n 阶方阵A 中，若元素满足如下性质：1,0,-<<=n j i A A ji ij()6 则称A 为对称矩阵.()5反对称矩阵设A 是一个n 阶方阵，如果A A T -=()7则称A 为反对称矩阵.㈡可交换矩阵一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：1.AB 有意义时，BA 不一定有意义.2.AB 与BA 均有意义时，可能它们的阶数不相等.3.AB 与BA 均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现BA AB ≠.因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵B A ,满足：BA AB = ()8则称矩阵A 和B 是可交换的.二、矩阵可交换成立的条件与性质若BA AB =成立，则称方阵A 与B 为可交换矩阵.设()01111a x a x a x a x f m m m m ++++=-- ()9 系数m a a a ,,,10 均为数域P 中的交换数，A 为P 上的一个n 阶方阵，记()E a A a A a A a a f m m m m 0111++++=--容易看出：任何方阵A 都与其伴随矩阵*A 是可交换的，且二者的乘积为n AI ;对于任何方阵A ，()I a A a A a x f p P P +++=- 110与()I b A b A b A g q q q +++=- 110可交换.(一) 可交换矩阵成立的条件定理1[1] 设n 阶方阵B A ,满足条件AB B A =+.则B A ,可交换.证明由条件AB B A =+,[]I e e diag n = ,1，变形可得)()(A I B I A AB B I A I -+-=-+-=-))((I B I A ---=即I I B I A =--))((，所以I A -为可逆矩阵，其逆矩阵为I B -，有I I A I B I B I A =--=--))(())(( 即I A B BA I B A AB +--=+--，从而可得BA AB =.定理2[3] 设B A ,均为对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为对称矩阵. 证明设B A ,均为对称矩阵，由于BA AB =，故()AB BA A B AB T T T=== 所以AB 是对称的.反之，由于()AB AB T =，所以()BA A B AB AB T T T===，因此，B A ,可交换.推论设A 为n 阶对称矩阵，则T A A ,都可交换.定理3[3] 设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.证明设A A T -=，B B T -=,由于BA AB =,所以()()AB BA A B AB T T T -=-== ()10 所以AB 为反对称矩阵.反之，若AB 为反对称矩阵,则()11从而BA AB =.定理4[3] 设B A ,均为反对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为对称矩阵．证明因B A ,均为反对称矩阵，故有A A T -=，B B T -=，又因为B A ,可交换，故有BA AB =成立.从而()()()BA AB A B A B AB T T T==--== ()12 反之，若AB 为对称矩阵，则 ()()()AB BA A B A B AB AB T T T ==--=== ()13所以B A ,是可交换矩阵.定理５[3] 若B A ,为同阶可逆矩阵，则B A ,可交换的充要条件是11,--B A 可交换. 证明因BA AB =,故有()14即1-A 与1-B 是可交换的.反之，因1-A ，1-B 可交换，故有()15 两边求逆得到BA AB =.推论可逆矩阵B A ,可交换的充要条件是()111---=A B AB .定理6[3] 若B A ,为n 阶方阵，则AB 可交换的条件是()T T TB A AB = 证明如果BA AB =，那么()()T T TT B A BA AB == 反之，若()T T T A B AB =，则()()TT T T BA A B AB ==，即BA AB =. ()()()BA A B AB AB T T T -===-()()111111------===B A BA AB A B ()()111111------===AB A B B A BA定理7[5] 矩阵A 能与一切n 阶矩阵可交换的充分必要条件是A 为数量矩阵.证明若A 与一切n 阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知A 必为一对角线矩阵.设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n d d d A ..21 取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0..00.....0....0..001..11B 代入条件BA AB =,得n d d d === 21，所以A 是一个数量矩阵.反之，设aI A =,B 为任意n 阶矩阵，则()()()BA Ia B a BI Ba aB B aI AB ====== ()16引理1 (1)0=A 时（即A 为零矩阵时），与A 可交换得矩阵B 可以是任意的与A 同价的B 矩阵.(2)A 的幂矩阵总是与A 可交换.定理8[ 7 ] 与A 可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于1-n 次的多项式矩阵. 定理9[ 7 ] 一个矩阵A 化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A 可交换的矩阵其充要条件为B 可化为A 的1-n 次多项式.定理10[7] 下列均是A ,B 可交换的充要条件:(1)()()()()B A B A B A B A B A +-=-+=-(2)()'''B A AB = 定理11[5] 可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是：()B A AB ⨯=．定理12[7] (1)设A ,B 均为(反) 对称矩阵, 则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵．(2)设A ,B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.(二)相关结论定理13[7] 设A ,B 是可交换矩阵，则以下结论成立：(1)()()()()B A B A B A B A B A -+=+-=-22(2)()2222B AB A B A ++=+ (3)()2222B AB A B A +-=-(4)()A B AB A B AB m m K K K==,，其中m k ,分别为正整数 ()()121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A(5)()k k m m k k m mB AC B A -=∑=+0 证明 (1)因为()()22B BA AB A B A B A --+=-+()()22B BA AB A B A B A -+-=-+由已知BA AB =，可得()()()()B A B A B A B A B A -+=+-=-22(2)()()()222B BA AB A B A B A B A +++=++=+ 由已知BA AB =，可得()2222B AB A B A ++=+同理可得： ()2222B AB A B A +-=-(3)由已知BA AB =,可得 ()k k k B A B AB AA AB AABB AB ABAB AB ==== ,A B BA BB B BAB B ABB AB m m =====(4)运用数学归纳法①当2=m 时，由（1）等式成立，即()()B A B A B A +-=-22②假设1-=k m 时，等式成立，即有()()23211-----+++-=-k k k k k B B A A B A B A ③当k m =时，由已知BA AB =，有()()A B B A B A B A B A k k k k k k 1111----+-+-=-()()()A B B A B A B B A A B A k k k k k 12232-----+-++++-= A B B A B A B A B B A B A A k k k k k k k 1133322221------+-----+++= 由性质有11--=k k AB A B ，11--=k k BA B A因此，上式可转化为：A B B A B A B B A B A A B A k k k k k k k k k 1122221-----+----+++=- k k k k k k k k B A B A BA AB B A B A A ----++++=------ 332211221B -()()121---+++-=k k k B B A A B A()()()B A B B A B A B A A k k k -++-+-=---121即证得()()121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A 同理可证得()()B A B B A A B A m m m m m -+++=----121 (5)对m 用数学归纳法同（4）即可得证.(三) 可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质.性质1[2] 设A ,B 可交换,则有:(1)BA AB =,AB BA =,其中m ,k 都是正整数(2)()()A B f B Af =,其中()B f 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换(3)()()()()B A B AB A B AB A B A B A -++=++-=-?？(4)()k m mk k m mB AC B A 10-=∑=+ 性质2[4](矩阵二项式定理) 设B A ,可交换,则有：(1)若B A ,均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵(2)若B A ,均为幂等矩阵,则AB B A AB -+,也为幂等矩阵(3)若B A ,均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵(4)若B A ,均为幂零矩阵,则B A AB +,均为幂零矩阵.三、几类常用的可交换矩阵假设以下矩阵均为n 阶实方阵，定理14[7] （1）设B A ,至少有一个为零矩阵,则B A ,可交换(2)设B A ,至少有一个为单位矩阵, 则B A ,可交换(3)设B A ,至少有一个为数量矩阵,则B A ,可交换(4)设B A ,均为对角矩阵,则B A ,可交换(5)设B A ,均为准对角矩阵,则B A ,可交换(6)设*A 是A 的伴随矩阵,则*A 与A 可交换(7)设A 可逆,则A 与A 可交换(8)设E AB =,则B A ,可交换.定理15[7] (1)设B A AB βα+=,其中βα,为非零实数,则B A ,可交换(2)设E AB Am =+α ,其中m 为正整数,α为非零实数,则B A ,可交换.定理16[7] (1)设A 可逆,若O AB =或AB A =或BA A =,则B A ,可交换(2)设B A ,均可逆,若对任意实数ｋ,均有()B kE A A -=,则B A ,可交换.四、可交换矩阵的应用例1 设A 与所有的n 阶矩阵均可交换，证明A 一定是数量矩阵.证明记()n n ij a ⨯，用ij E 将第i 行第j 列的元素表示为1，而其余元素为零的n n ⨯矩阵.因A 与任何矩阵均可交换，因此必与ij E 可交换.由A E AE ij ij =,得()n j i a a jj ii ,,2,1, ==及()n j i j i a ij ,,2,1,,0 =≠=.故A 是数量矩阵.例2 与任意一个n 阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？解不妨设B 为可逆矩阵，由于BA AB =，所以对于任意可逆阵B 都有A AB B =-1即A 的任意线性变换仍是A 自己，这样的矩阵只能是KI ．例3 如果矩阵A 与所有的n 阶矩阵可交换，则A 一定是数量矩阵，即aE A =．证明记ij A 用ij E 将第i 行第j 列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因A 与任何矩阵均可交换，所以必与E 可交换.由A E AE ij ij =得ij ji a a = （n j i ,3,2,1== 及0=ij a i 不等于j ）故A 是数量矩阵．例4 若矩阵21,A A 都与B 可交换，则2121,A A LA KA +也都与B 可交换.解由已知11BA B A =，22BA B A =，那么()()21212121LA KA B BLA BKA B LA B KA B LA KA +=+=+=+()()()()2121212121A A B A B A BA A B A A B A A ====．例5 A 与B 可交换（即BA AB =)的充分必要条件是AB 为对称矩阵（即()AB AB T =）．解题目根本就是错的，A 取单位阵，B 取任意非对称阵，那么AB 非对称但BA AB =．一定要加一个条件A 和B 本身都是对称阵才有结论.若BA AB =，则()()AB B A BA AB T T TT ===.反之，若()AB AB T =，则 BA A B AB T T ==．例6 设A ,B 为乘积可交换的n 阶矩阵,且初等因子为一次的，则存在n 阶可逆矩阵P ,使得都为对角矩阵.证明在V 中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为B A ,,且A ,B 与对角形相似.例7 所有与A 可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环.解一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n 阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n 阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如()⇔+±=±2222B AB A B A A 和B 可交换.()()⇔-=-+22B A B A B A A 和B 可交换.A 和B 可交换⇒(不是⇔!)有二项公式.例8 (1)设矩阵()n a a a diag A ,,,21 =为对角矩阵，其中j i ≠时，()n j i a a j i ,,2,1, =≠,则B A ,可交换的充要条件是B 为对角矩阵.若B A ,均为对角矩阵则，B A ,可交换．若B 与()n a a a diag A ,,,21 =可交换，i 不等于j 时，j i a a ≠，（n j i ,2,1,=），证明设()()()n n ij n n ij n n ij d BA C AB b B ⨯⨯⨯===,,，因为A 为对角矩阵，故()n j i b a d b a c ij j ij ij i ij ,,2,1,, ===由BA AB =,即()n j i d c ij ij ,,2,1, ==得()0=-ij j i b a a而j i ≠时，(),,,2,1,0n j i a a j i =≠⋅故()n j i j i b ij ,,2,1,,0 =≠=所以B 为对角矩阵．五、总结本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，只是针对一些具有代表性的应用例子上进行证明，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.于此同时，通过课题的详细研究，也让我进一步巩固和加深了对可交换矩阵的理解，在今后的探讨中相信也会有所进步．参考文献[1].北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社.2007:181-186.[2].戴立辉，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002(04)[3].阎家灏，赵锡英，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报2002(03)[4].戴笠辉、颜七笙，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002,25(4)[5].李瑞娟、张厚超，《可交换矩阵浅析》，和田师范专科学校学报，2009(4)[6].呙林兵，《与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨》，长沙大学学报，2010,24(5)[7].赵锡英、闫家瀛，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报，2002,9(3)[8].龙兴华、马圣荣、颜世建，《矩阵方程AX+XB=C 的显式解及其应用》， 2002 致谢本文是在老师的细心指导下完成的，导师从我们每一个人的论题出发，给予我们详细的指导，并结合知识点进行讲解，这使我们从开始的茫然变的思路清晰，课题才得以顺利进行，导师在学习上的谆谆教诲和身体力行以及无私的帮助使我受益终身，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表! 课题的顺利进行，还得益于和我同行的两位同学和四年来各位同学的支持和帮助，在此特别感谢在论文的书写和编辑上帮助我的同组同学和在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助的同学们，为论文顺利的进行奠定了基础.感谢我的同学提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.。

可交换矩阵的性质及应用_孟献青

１性质
性质１设矩阵 A，B 可交换，且
λn
n
1
n n
n
n
n n n
λ1
n n n
n
n
A＝
n n
……
n n
n
n
n n
λ
1n n
n
n
n
n
n n
λ
， n
n
则
bn
n n
1
n
n
n
n
B
＝
n n
n
n
n
n
n
n
n
b2 b3 … b1 b2 …
…… b1
bn
n
n n
bn
n－1
n n
n
n
n
n
bn
2
n n
n
b1
。 n
λ I ≠
≠ ≠
1 n1
≠
≠
≠
T－1AT＝
≠ ≠ ≠
≠
≠
≠
≠
≠≠
≠
λ2In2
…
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
λI ≠
s
ns
≠≠ ≠
收稿日期：2012－12－12
基金项目：山西省高等学校科技研究开发项目[20121015]
作者简介：孟献青（1979－），女，山西怀仁人，硕士，讲师，研究方向：图论与高等数学。
组基，在此基下 A，B 对应的线性变换 A，B 的矩
阵分别为
2 2 2 2 λ α
μβ
A1 ＝ 0 Α2 B1 ＝ 0 B2 ，

可交换矩阵的一些性质_阿拉坦仓

Ｅ（Ａ）＝Ｅ（ＡＨ）Ｅ（ＡＡＨ）． λ λ λ Ａ，Ａ，Ａλ Ａ，证明由推论５知结论成立．
推论７若方阵Ａ为正规矩阵，则
ＨＨ（ＡＡＨ）Ａ）且λ ＝λ λ λ ＡＡＡ ∈σ ＡＡＡλ Ａ． ∈σ（证明由推论５知结论成立．
）ＡＢ（ＢｘＡＢｘＢｘｉ＝１，２… ｓ．＝Ｂ（ｉ）ｉ＝λ ＡＢ（ｉ） …， …，所以Ｂ或Ｂ故向量组Ｂ由推ｘＡＢ）ｘ．ｘ１，Ｂｘ２，Ｂｘｘ λ ｉ ∈ Ｅ（ＡＢ，ｉ＝０ｓ可由向量组ｘ１，ｓ线性表出．论２知存在常数ｋ和非０向量ｘ满足ＡＢｘ＝λ ｘ，Ｂｘ＝ｋｘ．于是ＡＢ
４５０
内蒙古大学学报（自然科学版）
２０１４年
ｓ
ｓ
ｓ
ｋ∑ ｋｘｉｉ＝
ｉ＝１ｓｓ
ｉ＝１
ｋｘｉ）ｉｊｊ ∑（ ∑ｋ
ｊ＝１
（）１
则有Ａ
ｉ＝１
此时结论成立．ｘｘｉｉ＝ｋｉｉ， ∑ｋ ∑ｋ
ｉ＝１
）式的ｋ及ｋ …， …，）下面证明满足（因为ｘ所以（式中ｘ１ｋｘ１１，ｓ是存在的．１，ｓ线性无关，ｉ在等式两边的系数对应相等，即
ｋ１１１熿燄熿ｋｋｋ１２２（）１ｋ＝ｋｓ１－
ｋ２１ｋ２２
… …
ｋｓ１１－ｋｓ１２－
ｋｋｓ１１燄熿燄ｋｋｓ２２ｋｓ１－
（）２

矩阵可交换的充要条件

矩阵可交换的充要条件以《矩阵可交换的充要条件》为标题，写一篇3000字的中文文章数学中的“矩阵可交换充要条件”是一个重要的概念，也是许多数学相关理论和方法的基础。

本文将详细介绍矩阵可交换的充要条件，主要内容包括定义、性质和正负条件等。

首先介绍矩阵可交换的定义。

矩阵可交换是指给定的两个矩阵A 和B，如果存在一个可逆的矩阵P，使得A.P=B或者B.P=A，那么A和B可以互换，即A可交换B或者B可交换A。

显然，可交换性是一个可辨识的性质，即此时此刻的矩阵是否是可交换的。

从可辨识的性质可以看出，矩阵可交换性具有可继承性，也就是说矩阵可以通过矩阵变换来保持其可交换性。

而且具有可交换性的矩阵可以转化为一个特殊的方阵，称为交换矩阵。

定义了矩阵可交换的定义以后，接下来介绍矩阵可交换的充要条件。

矩阵可交换的充要条件是指A和B是可交换的充要条件，即使A 和B是可交换的，但只要不满足以下充要条件中的任何一个，那么A 和B也不可交换，或者说A和B只有满足以下条件时才可交换：1.A和B具有相同的行列式；2.A和B具有相同的特征值和特征向量；3.A和B具有相同的保守因子；4.A和B具有相同的条件数；5.A和B具有相同的决策方程系数。

矩阵可交换的充要条件在实际的数学应用中也有重要的作用，主要是用来测试给定的矩阵是否可交换，尤其是在数值计算和矩阵分析中发挥了重要作用。

此外，矩阵可交换充要条件也可以表述为反向形式，即正负条件。

正负条件是指，如果矩阵A和B不满足以上所述的充要条件之一，那么就可以认为A和B不可交换，即A不可交换B或B不可交换A。

综上所述，矩阵可交换性是指给定的两个矩阵A和B能否通过一个可逆的矩阵P互换，而矩阵可交换的充要条件是指矩阵A和B是可交换的充要条件，即只有满足以上条件时矩阵A和B才可以互换，否则就不可交换。

在实际中，矩阵可交换的充要条件可以用来测试给定的矩阵是否可以互换，对数值计算和矩阵分析有着重要的作用。