隐函数存在定理几何解释
隐函数存在定理
§16.1
隐函数存在定理
(c) “同号两边伸”
因为 F ( x , y0 ) , F ( x , y0 ) 关于 x 连续，故由
(0 ) , 使得 (b) 的结论，根据保号性，
F ( x , y0 ) 0 , F ( x , y0 ) 0 , x ( x0 , x0 ).
隐函数存在定理
y y0
y0
＋
＋ ＋
+
y0
O x0
x0 x0 x
y0
0 _ _ _
_
O x0
x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y0
y
＋＋＋＋
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0
O
y0 y0
x
U ( P0 )
(b) “正、负上下分 ”
因 Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S , 故 x [ x0 , x0 ], 把 F ( x , y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 , y0 ] 上 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )．
y 特别对于函数 F ( x0 , y ), 由条 0
Γ: F (x,y)=0 y0= f (x0) Γ: y = f (x) F (x0, y0) =0 ( 满足一定 条件或在某 一局部) 图1 隐函数存在性条件分析示意图
2014年5月8日星期四
O O
y
P0(x0,y0)
F (x, f (x)) =0x源自华北科技学院基础部9
《数学分析》(2)
高等数学课件24隐函数
隐函数是曲面的局部表示
隐函数在曲面上的应用，如求 曲面的交点、求曲面的切线等
隐函数与等值线的几何意义
隐函数：通过方程F(x,y)=0定义的函数 等值线：满足F(x,y)=c的曲线 几何意义：隐函数描述了等值线的形状和位置
应用：在物理、工程等领域中，隐函数与等值线常用于描述物理量、工程参数的变化规律和分布情况
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导法则：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
应用范围：参数方程 法适用于求解含有参 数或参数的函数，如 圆锥曲线、旋转体等
注意事项：在求解过 程中，需要注意参数 的取值范围，避免出 现错误或遗漏
反表示法
反表示法是一种求解隐函数的方法 反表示法通过将隐函数转化为显函数，然后求解显函数 反表示法适用于求解具有简单形式的隐函数 反表示法可以应用于求解一元隐函数和多元隐函数
隐函数在微积分中的应用
隐函数求导：通过隐函数求导公式，求解隐函数的导数 隐函数积分：通过隐函数积分公式，求解隐函数的积分 隐函数极值：通过隐函数极值公式，求解隐函数的极值 隐函数方程：通过隐函数方程，求解隐函数的解
隐函数在解决实际问题中的应用
物理问题：如力学、热力学、 电磁学等
工程问题：如结构力学、流体 力学、控制理论等
隐函数的性质
隐函数存在定理：如果f(x,y)=0，且f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则存在一个开区间(x0δ,x0+δ)，使得在(x0-δ,x0+δ)内，f(x,y)的零点y=φ(x)是连续可微的。
数学分析18.1隐函数定理及其应用之隐函数
第十七章 隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E ⊂R 2,函数F:E →R 2.如果存在集合I,J ⊂E,对任何x ∈I, 有惟一确定的y ∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I 上, 值域含于J 的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x ∈I, y ∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x ∈I.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0).要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下， 通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0x x dxdy ==0.当F y (P 0)≠0时，可得0x x dxdy ==-)(P F )(P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得y y dydx==-)(P F )(P F 0x 0y .三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；(2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数F y(x,y)；(4)F y(x0,y0)≠0. 则1、存在点的P0某邻域U(P0)⊂D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)；2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.证：1、由条件(4), 不妨设F y(x0,y0)>0(若F y(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0). 由条件(3)F y在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]⊂D, 使得在其上每一点都有F y(x,y)>0. ∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β],F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续.由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0, F(x0,y0+β)>0. 又由F的连续性条件(1), 知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知，存在0<α≤β, 当x∈(x0-α,x0+α)时，恒有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值，在A’B’边上F取正值.∴对(x0-α,x0+α)上每个固定值x,同样有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.又F(x,y)在[y0-β,y0+β]上严格增且连续,由介值性定理知存在唯一的y∈(y0-β,y0+β), 满足F(x,y)=0.又由x在(x0-α,x0+α)中的任意性，证得存在惟一的隐函数y=f(x),它的定义域为(x0-α,x0+α), 值域含于(y0-β,y0+β), 若记U(P0)=(x0-α,x0+α)×(y0-β,y0+β), 则y=f(x)在U(P0)上即为所求.2、对于(x0-α,x0+α)上的任意点x, y=f(x). 则由上述结论可知,y0-β<y<y0+β. ∀ε>0, 且ε足够小，使得y0-β≤y-ε<y<y+ε≤y0+β.由F(x,y)=0及F(x,y)关于y严格递增，可得F(x,y-ε)<0, F(x,y+ε)>0. 根据保号性，知存在x的某邻域(x-δ,x+δ)⊂(x0-α,x0+α), 使得当x∈(x-δ,x+δ)时，同样有F(x,y-ε)<0, F(y,y+ε)>0, ∴存在惟一的y, 使得F(x,y)=0,即y=f(x), |y-y|<ε, 即当|x-x|<δ时, |f(x)-f(x)|<ε,∴f(x)在x连续. 由x的任意性知，f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.注：1、定理18.1的条件仅充分，非必要；如：方程y3-x3=0, 在点(0,0)不满足条件(4)(F y(0,0)=0),但仍能确定惟一的连续的隐函数y=x.而双纽线F(x,y)=(x2+y2)2-x2+y2=0, 虽然F(0,0)=0, F与F y均连续，满足条件(1),(2),(3),但F y(0,0)=0, 致使其在原点无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一的隐函数.2、条件(3)和(4)可以减弱为“F在P0的某一邻域上关于y严格单调”.3、如果把条件(3),(4)改变F x(x,y)连续，且F x(x0,y0)≠0，则结论是存在惟一的连续隐函数x=g(y).定理18.2：(隐函数可微性定理)设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理的所有条件，又设在D 上还存在连续的偏导数F x (x,y), 则方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在其定义域(x 0-α,x 0+α)上有连续导函数，且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 证：设x,x+△x ∈(x 0-α,x 0+α)；y=f(x)与y+△y=f(x+△x)∈(y 0-β,y 0+β), ∵F(x,y)=0,F(x+△x,y+△y)=0, 由F x ,F y 的连续性及二元函数中值定理有, 0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y)=F x (x+θ△x,y+θ△y)△x+F y (x+θ△x,y+θ△y)△y, 0<θ<1, ∴x y ∆∆=-y)θy x,θ(x F y)θy x,θ(x F y x ∆+∆+∆+∆+, 右端是连续函数F x ,F y ,f 的复合函数,且在U(P 0)上,F y (x,y)≠0，∴f ’(x)=x y lim 0x ∆∆→∆=-y)(x,F y)(x,F y x , 且f ’(x)在(x 0-α,x 0+α)上连续.注：1、若已知F(x,y)=0存在连续可微的隐函数，则可对其应用复合函数求导法得到隐函数的导数. 即把F(x,f(x))看作F(x,y)与y=f(x)的复合函数时，有F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0, 由F y (x,y)≠0可推得f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 2、若函数F 存在相应阶数的连续高阶偏导数，可通过上面同样的方法求得隐函数的高阶导数. 如：对F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0继续应用复合函数求导法则，可得F xx +F xy y ’+(F yx +F yy y ’)y ’+F y (x,y)y ’’=0, 就可以得到隐函数的二阶导数：y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F ； 也可以直接对f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x 求导得到. 继续求导就可以得到隐函数相应阶数的连续导数.隐函数的极值问题：利用隐函数的求导公式：y ’=-y)(x,F y)(x,F y x 及 y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F , 求得由F(x,y)=0确定的隐函数y=f(x)的极值：(1)求y ’为0的点(驻点)A ，即方程组F(x,y)=0, F x (x,y)=0的解； (2)∵在A 处F x =0, ∴y ”|A =-yxxF F |A ； (3)由y ”|A <0(或>0),判断隐函数y=f(x)在x A 处取得极大值(极小值)y A .定理18.3：若(1)函数F(x 1,…,x n ,y)在以点P 0(01x ,…,0n x ,y 0)为内点的区域D ⊂R n+1上连续；(2)F(01x ,…,0n x ,y 0)=0；(3)偏导数1x F ,…,nx F ,F y 在D 上存在且连续；(4)F y (01x ,…,0n x ,y 0)≠0. 则1、存在点P 0的某邻域U(P 0)⊂D ，在U(P 0)上方程F(x 1,…,x n ,y)=0惟一地决定了一个定义在Q 0(01x ,…,0n x )的某邻域U(Q 0)⊂R n 上的n 元连续(隐)函数y=f(x 1,…,x n ),使得当(x 1,…,x n )∈U(Q 0)时,(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))∈U(P 0), 且F(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))≡0, y 0=f(01x ,…,0n x )；2、f(x 1,…,x n )在U(Q 0)上有连续偏导数1x f ,…,nx f ,且1x f =-yx F F 1,…,nx f =-yx F F n .四、隐函数求导举例例1：讨论方程F(x,y)=y-x-21siny=0所确定的隐函数的连续性和可导性. 解：∵F, F x =-1, F y =1-21cosy 在平面上任一点都连续，且F(x,y)=0, F y (x,y)≠0, ∴该方程确定了一个连续可导的隐函数y=f(x), 且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x =cosy 21-11=cosy -22.例2：讨论笛卡儿叶形线x 3+y 3-3axy=0 (a>0)所确定的隐函数y=f(x)的一阶与二阶导数，并求隐函数的极值.解：令F=x 3+y 3-3axy (a>0), 当F y =3y 2-3ax=0时，x=y=0, 或x=34a, y=32a; 即，除了(0,0), (34a,32a)外，方程在其他各点附近都确定隐函数y=f(x).∵F x =3x 2-3ay, ∴y ’=-y x F F =-3ax -3y 3ay -3x 22=ax-y x -ay 22. 又F xx =6x, F xy =-3a, F yy =6y,∴2F x F y F xy =-54a(y 2-ax)(x 2-ay), F y 2F xx =54x(y 2-ax)2, F x 2F yy =54y(x 2-ay)2, ∴y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F =32222222ax)-27(y ay)-54y(x -ax)-54x(y -ay)-ax)(x -54a(y -=3233322ax)-(y )]a y xy(x y 2[-3ax -+++=32322ax)-(y )]a axy 3xy(y 2[-3ax -++=-323ax)-(y xy 2a . 由x 3+y 3-3axy=0和x 2-ay=0得，隐函数y=f(x)的驻点A(32a,34a).∵y ”|A =-323ax)-(y xy 2a |A =-a243<0, ∴y=f(x)在A(32a,34a)取得极大值34a.例3：求由方程F(x,y,z)=xyz 3+x 2+y 3-z=0在原点附近所确定的二元隐函数z=f(x,y)的偏导数及在(0,1,1)处的全微分.解：由F(0,0,0)=0, F z (0,0,0)=-1≠0, F,F x ,F y ,F z 处处连续，知 方程在原点附近能惟一确定连续可微的隐函数z=f(x,y), 且z x =-z x F F =233xyz 1x2yz -+, z y =-z y F F =2233xyz1y 3xz -+. 又z x (0,1,1)=1, z y (0,1,1)=3, ∴dz|(0,1,1)=dx+3dy.例4：(反函数的存在性及其导数)设y=f(x)在x 0的某邻域上有连续的导函数f ’(x)且，且f(x 0)=y 0,f ’(x 0)≠0. 证明在y 0的某邻域内存在连续可微的隐函数x=g(y)(它是函数y=f(x)的反函数),并求其导函数. 证：记方程F(x,y)=y-f(x)=0. ∵F(x 0,y 0)≡0, F y =1, F x (x 0,y 0)=-f ’(x 0)≠0, ∴该方程在y 0的某邻域内能惟一确定连续可微的隐函数x=g(y),且 g ’(y)=-xy F F =-(x )f 1' (即反函数求导公式).例5：设z=z(x,y)由方程F(x-z,y-z)=0确定，其中F 具有二阶偏导数. 试证：z xx +2z xy +z yy =0.证：记u=x-z,v=y-z, 则F x =F u , F y =F v , F z =-(F u +F v ), ∴z x =v u u F F F +, z y =vu v F F F+, 即有z x +z y =1. 上式两边分别对x,y 求偏导，得z xx +z yx =0, z xy +z yy =0. ∵二阶偏导数连续，∴z yx =z xy ，∴z xx +2z xy +z yy =0.习题1、方程cosx+siny=e xy 能否在原点的某邻域内确定隐函数y=f(x)或x=g(y)?解：令F(x,y)=cosx+siny-e xy , 则有F(0,0)=0. ∵F x =-sinx-ye xy ,F y =cosy-xe xy , 又F,F x ,F y 在原点的某邻域内都连续，且F x (0,0)=0, F y (0,0)=1≠0,∴该方程在原点的某邻域内可确定隐函数y=f(x), 不能确定隐函数x=g(x).2、方程xy+zlny+e xz =1在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的隐函数?解：令F(x,y,z)=xy+zlny+e xz -1, 则有F(0,1,1)=0.∵F,F x =y+ze xz ,F y =x+yz, F z =lny+xe xz 在(0,1,1)的某邻域内都连续, 且F x (0,1,1)=2≠0, F y (0,1,1)=1≠0, F z (0,1,1)=0,∴该方程在点(0,1,1)的某邻域内可确定隐函数x=f(y,z)及y=g(x,z).3、求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1)x 2y+3x 4y 3-4=0, 求dx dy ；(2)ln 22y x +=arctan x y , 求dxdy ； (3)e -xy +2z-e z =0, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (4)a+22y a -=ye u, u=ay -a x 22+(a>0), 求dx dy ,22dx yd ；(5)x 2+y 2+z 2-2x+2y-4z-5=0, 求x z ∂∂,y z ∂∂；(6)z=f(x+y+z,xyz), 求x z ∂∂,y x ∂∂,zy∂∂. 解：(1)解法一：记F=x 2y+3x 4y 3-4,∵F x =2xy+12x 3y 3, F y =x 2+9x 4y 2,∴dx dy =-y x F F =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y . 解法二：方程两边对x 求导得：2xy+x 2dx dy +12x 3y 3+9x 4y 2dxdy=0, ∴dx dy =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y .(2)两边对x 求导得⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅+dx dy y 22x y x 21y x 12222=2222xy dx dyxy x x -⋅+, 化简得：x+ydx dy = x dx dy -y, ∴dx dy =y -x y x +(x ≠y). (3)两边对x 求偏导数得-ye -xy+2x z ∂∂-e z x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=z -xye 2ye -.两边对y 求偏导数得-xe -xy+2y z ∂∂-e z y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-xye2x e -. (4)令F(x,y)=a+22y a --yeay -a x 22+, 由原方程得：e u=y y -a a 22+,则F y =-22y -a y-e u+ye u22y -a a y =-22y-a y-a y -a x 22+(1-222y -a a y ) =2222222222y -a ay )y -a(a -y -a a -y -a y ,F x =-a y e u =-ay -a a 22+,∴dx dy =-y x F F =a y -a a 22+·)y -a(a y -a a -y -a y y -a ay 2222222222-=-22y-a y.∴22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-dx dy y-a 122-dx dy )y -(a y 3222=22y -a y +2223)y -(a y =2222)y -(a ya . (5)两边对x 求关于z 的偏导数得：2x+2z x z ∂∂-2-4x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=2-z x -1. 两边对y 求关于z 的偏导数得：2y+2z y z ∂∂+2-4y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-2y 1+. (6)两边对x 求关于z 的偏导数得：x z ∂∂=f 1(1+x z ∂∂)+f 2(yz+xy x z ∂∂), ∴x z∂∂=2121x yf f 1yzf f --+. 两边对y 求关于x 的偏导数得： 0=f 1(y x ∂∂+1)+f 2(xz+yz y x ∂∂), ∴y x ∂∂=-2121yzf f x zf f ++.两边对z 求关于y 的偏导数得： 1=f 1(z y ∂∂+1)+f 2(xy+xz z y ∂∂), ∴zy ∂∂=2121x zf f x yf f -1+-.4、设z=x 2+y 2,而y=f(x)为由方程x 2-xy+y 2=1确定的隐函数,求dx dz及22dxz d .解：x 2-xy+y 2=1两边对x 求导得：2x-y-xdx dy +2y dx dy =0, ∴dx dy =x-2y 2x-y . dx dz =2x+2y dxdy =x -2y 2x -2y 22;22dxz d =⎪⎭⎫⎝⎛dx dz dx d =222x )-(2y )2x -1)(2y -dx dy(2-x )-4x )(2y -dx dy (4y=x -2y 4x -2y +32x)-(2y 2x)-(y 6x .5、设u=x 2+y 2+z 2, z=f(x,y)为由x 3+y 3+z 3=3xyz 确定的隐函数,求u x 及u xx .解：∵3x 2+3z 2z x =3yz+3xyz x , ∴z x =22z -xy yz -x . ∴u x =2x+2zz x =2x+222z-xy 2yz -z 2x . u xx =2+2222x 2x x 2)z -(xy )2yz -z (2x )2zz -y ()z -xy )(4yzz -z 2x (4xz -+ =32333)z -(xy )z x 3xyz -2xz(y ++.6、设F(x,y,z)可以确定连续可微隐数: x=x(y,z), y=y(z,x), z=z(x,y). 试证：xzz y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-1.(偏导数不再是偏微分的商！) 证：∵y x ∂∂=-x y F F ; z y ∂∂=-y z F F ;xz ∂∂=-z x F F ; ∴x z z y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-z x y z x y F F F F F F ⋅⋅=-1.7、求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：(1)x+y+z=e -(x+y+z), 求z 对于x,y 的一阶与二阶偏导数；(2)F(x,x+y,x+y+z)=0, 求x z∂∂,y z∂∂,22x z∂∂.解：(1)∵1+z x =-(1+z x )e -(x+y+z), ∴z x =-1, z xx =0; 同理z y =-1, z yy =0.(2)∵F 1+F 2+F 3(1+x z ∂∂)=0, ∴x z∂∂=-3321F FF +F +；又F 2+F 3(1+y z∂∂)=0, ∴y z ∂∂=-332F FF +；22x z ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =-3332313323122211211F x z 1)F +F (F +F +F +F F +F +F ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+++ +23333231321F x z 1F +F +F )F +F +(F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ =-3332313321323122211211F )F +F (F F F +F -F +F +F F +F +F ++ +23321333231321F F F +F F -F +F )F +F +(F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =-3333221231332122121123F F )F F ()F (F )F F 2(F -)F 2F +(F F +++++8、证明：设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数，则当F y ≠0时，有F y 3y ”=0F F F F F F F F y x y y y xy xxy xx .证：当F y ≠0时，y ’=-y xF F , y ”=(2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy )F y -3,∴F y -3y ”=2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy =0F F F F F F F F y x y y y xy x xy xx.9、设f 是一元函数，试问应对f 提出什么条件，方程2f(xy)=f(x)+f(y)在点(1,1)的邻域内就能确定出惟一的y 为x 的函数？解：记F(x,y)=f(x)+f(y)-2f(xy)=0, 则F x =f ’(x)-2yf ’(xy), F y =f ’(y)-2xf ’(xy), ∵F y (1,1)=f ’(1)-2f ’(1)=-f ’(1)，又当f ’(x)在x=1的某邻域内连续时， F,F x ,F y 在(1,1)的某邻域内连续. ∴只需添加条件：f ’(x)在x=1的某邻域内连续，且f ’(1)≠0，则方程2f(xy)=f(x)+f(y)就能惟一确定y 为x 的函数.。
隐函数存在定理1几何解释
隐函数存在定理1几何解释考虑一个平面上的曲线，它可以由一个方程表示，即\[F(x,y)=0\]其中，\(F\)是一个多元函数。
我们的目标是将\(y\)表示为\(x\)的函数，即找到一个函数\(y=f(x)\)，使得方程为\(F(x,f(x))=0\)。
为了更具体地解释隐函数存在定理，我们引入一些几何概念。
对于一个点\((a,b)\)在曲线上，从该点出发可以画一条切线，切线的斜率等于曲线在该点的导数。
当且仅当曲线不存在垂直于x轴的切线时，我们说曲线在该点处存在水平切线。
现在考虑一个具体的方程\(F(x,y)=0\)，并且我们已经找到了一个点\((a,b)\)在曲线上。
如果曲线在该点处存在水平切线，那么意味着曲线在该点的斜率等于零。
现在的问题是，是否存在一个函数\(y=f(x)\)，其曲线与\(F(x,y)=0\)的曲线相切于\((a,b)\)。
换句话说，我们是否可以找到一个函数\(y=f(x)\)，它满足\(F(x,f(x))=0\)和\(f(a)=b\)。
隐函数存在定理就回答了这个问题。
该定理的条件是，\(F\) 在点\((a, b)\) 处是可微的（即导数存在）且 \(F_y(a, b) \neq 0\)。
这意味着曲线在点 \((a, b)\) 处不存在垂直于 x 轴的切线，也就是存在水平切线。
隐函数存在定理指出，在这样的条件下，存在一个可微的函数\(y = f(x)\)，满足 \(F(x, f(x)) = 0\) 和 \(f(a) = b\)。
换句话说，我们可以通过隐函数找到曲线上每个点的切线，从而几何上解释了隐函数存在定理。
在几何上，隐函数存在定理可以理解为，对于曲线上的任意一点，都存在一个水平切线，并且这个切线可以用一个函数来表示。
隐函数存在定理提供了一种方法，通过求导来求解这个函数。
总结起来，隐函数存在定理的几何解释在于，对于满足一定条件的方程，我们可以找到一个函数，使得曲线上的每一点都有对应的切线。
§16.1隐函数存在定理
则
x y y 2 2 , Fx ln x y arctan 2 2 x x x y y x y 2 2 , F y ln x y arctan 2 2 x y x y Fx x y dy . y x dx Fy
由于 x的任意性，这就证明了对于O x0 , 中任一x , 总能从 F x , y 0得到唯一的y与x相对应.这就是函数关系, 记为 y f x 。
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§1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
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§1. 隐函数存在定理
考虑一元函数F x, y0 b .
F x, y0 b 0.
由于F x0 , y0 b 0，所以必存在2 0，在邻域O x0 ,2 内,
取＝min 1 ,2 ，于是在邻域O x0 , 内同时有
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§1. 隐函数存在定理
例4. 证明有唯一可导的函数y y( x )满足方程 sin y shy x , 并求出导数y '( x ).
证明 : 令F x , y sin y shy x , 它在整个平面上连续. Fx 1, Fy cos y chy也连续.
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§1. 隐函数存在定理
例 2 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点(0,1) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的隐函 数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在
x 0 的值.
解
F ( x, y) x 2 y 2 1 则 Fx 2 x , F y 2 y , 均连续。 x0 0, y0 1. F (0,1) 0, F y (0,1) 2 0,
隐函数存在定理3
隐函数存在定理隐函数存在定理是微分学中的一个重要定理，用于判断一个方程是否存在隐函数。
隐函数存在定理有好几个版本，其中隐函数存在定理3是对多元函数的一个扩展。
该定理在数学分析、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
函数的定义在介绍隐函数存在定理3之前，我们首先来了解一下函数的基本概念。
在数学中，函数可以简单地理解为对于给定的输入，给出一个唯一的输出。
函数可以用公式、图表或者描述性的文字来表示。
以y = f(x)为例，y表示函数的输出，x表示函数的输入，f表示函数的定义域和值域之间的对应关系。
函数的定义域是指所有可能的输入值的集合，值域是指所有可能的输出值的集合。
隐函数则是一种特殊的函数，其定义形式为F(x, y) = 0。
与显式函数不同，隐函数无法通过直接解出y来表示。
例如，对于方程x2+y2-1=0来说，我们无法直接解出y作为x的函数。
因此，我们需要通过隐函数存在定理来判断方程是否存在隐函数，并进一步求解该隐函数。
隐函数存在定理3隐函数存在定理3是对多元函数隐函数存在定理的一个扩展。
它给出了判断一个方程组是否存在隐函数的条件，以及如何求解这个隐函数。
具体而言，隐函数存在定理3可以表述为以下几点：1.假设有一个方程组G(x, y) = 0，其中G是从定义域D到值域R上的函数。
我们需要找到一对点(x0, y0)使得G(x0, y0) = 0，并且在该点的某个领域内，函数G满足一定的可微分条件（偏导数连续）。
这样的点(x0, y0)称为方程组的一个解。
2.假设方程组G(x, y) = 0满足某个可微分条件，函数G的偏导数连续，并且在(x0, y0)附近的一个矩形区域内满足Gx(x, y)≠ 0。
这意味着在该区域内，方程组可以被表示为y = f(x)，其中f是一个函数。
3.如果上述条件满足，并且方程组G(x, y) = 0的任意两条曲线都不相交，那么在(x0, y0)附近存在一个函数f(x)，满足方程组G(x, f(x)) = 0。
可确定隐函数的条件
隐函数存在定理几何解释首先理解关于F(x,y)关于x的偏导数的几何意义：如下图所示：F(x,y)关于X的偏导数的空间几何意义: 首先将F(x,y)中的y固定为一点，通过该点，做平行于XoZ的平面（命名为A），A与空间曲面的交线是一条曲线，自变量是X，因变量是z; F(x,y)对X的偏导数的几何意义就是在一个确定的y上，Z随X的瞬间变化率；（即P点随着平面与曲面相交所形成的曲线向上或向下移动，y值不变，x值会变）然后再来看一下F(x,y)关于Y的偏导数的几何意义；如下图所示：同样和关于X的偏导数一样的操作，使用平行于yOX 的平面去截取空间曲面，会得到一条自变量是Y，因变量是z的曲线，故F(x,y)关于y的偏导数的几何意义是固定一个x 后，z随y的瞬时变化率；（即P点随着平面与曲面相交所形成的曲线向上或向下移动，x值不变，y值会变）首先z = F(x,y)描述的是一个空间曲面，则F(x,y) = 0 描述的是无论x 与y取任何值，z值都为0，因为F(x,y) = 0时，所以导致x与y之间存在某种对应关系y=f(x)，即F(x,f(x))=0，该F(x,f(x))=0函数相当于用平行于XOY平面与z = F(x,y)空间曲面形成的曲线；如下图所示：相当于三维的图形压扁到二维平面里，对于函数 f(x,y)=x^2y-1 与方程 x^2y-1=0 如下图所示：该曲面在点P（蓝色点）处满足 F(x_0，y_0) = 0 ，且该点的关于y的偏导数不等于零(即：在空间曲面的p点的关于y的偏导数不等于零，而不是平行于平面XOY的，高度为0的平面，截取空间曲面形成一个平面图形P点关于y的偏导数不等于零)如果P点关于y的偏导等于零，意味随着y值的变化z值不变化，意味着F(x,y)是一个类似长方形或者是圆柱形这种平顶的三维图形，当y变化时，z值也不变化，才导致关于y的偏导数为零，如下图所示为曲平面上的一个点与平面XOY相切，表示在空间曲面和平面XOY 相交形成的曲线方向上，p点的切线（上图红色的箭头）与Y轴平行，这样使得一个x对应了多个y,不符合函数的定义，也就是不能确定隐函数的存在，如下图所示：严格数学证明引例： x^2+y^2+1=0 是否存在隐函数？因为 x^2+y^2+1≥0所以： y=-\sqrt{-1-x^2}、y=\sqrt{-1-x^2}不成立,因为无解，无解则没有隐函数；对于 x^2+y^2-1=0 ，如下图所示；在A邻域范围内一个X对应唯一一个Y（因为Y的范围和X的范围已经固定了），而在C邻域内，一个X可以对应两个Y，所以在C 邻域范围不存在隐函数；隐函数存在定理是需要在某一邻域范围下面给出隐函数存在条件和证明定理：若函数 F(x,y) 满足①：在 (x_0,y_0) 某一邻域内 F_{y}、F_{x} 连续；②： F(x_0,y_0)=0③： F_y(x_0,y_0)≠0则有：(1).在点(x_0,y_0) 某一邻域内方程F(x,y)确定一个隐函数 y=f(x) 即： F(x,f(x))=0 即： x∈(x_0-α，x_0+α) 时，存在 y_0=f(x_0)(2).函数 F(x,y) 在 U(x_0) 邻域内连续(3).函数 F(x,y) 在 U(x_0) 邻域内有连续导数，且 {dy \over dx}=-{F^{’}_x\over F^{’}_y} 成立根据定理： F(x_0,y_0)=0 ，表示多元函数可以用y表示出来，例如： x^2-xy-1=0 可以表示为： y={{x^2-1}\over x} ，还要证明对于不同的x有唯一的y与之对应才能称为函数隐函数存在与唯一性证明由上图所示，在 P_0(x_0,y_0) 点由条件 F_y(x_0,y_0)≠0 ，不妨设 F_y(x_0,y_0)>0 ，又因为 F_y 在 P_0(x_0,y_0) 邻域内连续，根据极限的局部保号性，故不妨设在此领域中 F_y(x,y)>0 ，可知三维曲面图形曲面与XOY平面随着Y值的增加z值而增加，随着Y值减小而Z值减小；所以函数 F(x,y) 关于Y严格递增；在 P_0(x_0,y_0) 点为 z=F(x,y) 与平面XOY平面的交点，做平行于XOZ 平面与z=F(x,y)相交得到粉红色的曲线，这样可以观察X不变Y在变时Z的值的变化，因为根据条件： F(x_0,y_0)=0 ，并且 F_y(x_0,y_0)>0 所以存在η>0使得： F(x_0,y_0-η)<0,F(x_0,y_0+η)>0 函数值成立（注意： F(x_0,y_0-η) 不是 F_y(x_0,y_0-η)<0 ）因为在P_0(x_0,y_0) 点 F_{y}、F_{x} 连续，所以 F(x_0,y_0±η)在x轴方向上连续因为在定点 x_0 处对于固定的y存在： F(x_0,y_0-η)<0,F(x_0,y_0+η)>0根据连续函数的局部保号性： \exists δ_1>0,\forall x∈(x_0-δ_1,x_0+δ_1),F(x,y_0-η)<0\\ \exists δ_2>0,\forall x∈(x_0-δ_2,x_0+δ_2),F(x,y_0+η)>0\\连续函数的局部保号性：对于连续函数f(x)，若f(a)>0(或f(a)<0),则存在δ>0,使得当x∈(a-δ,,a+δ)时，f(x)>0(或f(x)<0)取：δ=min\{δ_1,δ_2\}则： \exists δ>0,\forall x∈(x_0-δ,x_0+δ),F(x,y_0+η)<0,F(x,y_0+η)>0即在： F(x_0-δ,y_0+η)<0,F(x_0+δ,y_0+η)>0总能找到使得： F(x,y)=0任取： \overline {x}∈(x_0-δ,x_0+δ) 则： F(\overline x,y_0+η)<0,F(\overline x,y_0+η)>0因为： F_y(x,y)>0 ，函数在y轴方向上连续递增，根据零点定理，存在唯一的\overline y∈(y_0-η,y_0+η) 使得 F(\overline x,\overline y)=0上述论证可以表述为：在 (x_0-δ，x_0+δ)\times (y_0-η,y_0+η) 邻域内任取一个X总能根据某种对应关系 y=f(x) 找到一个Y，使得方程F(x,y)=0可以表示成： F(x,f(x))=0如上图所示：该证明所表达的是：在条件满足的情况下能在找到XOY 平面与曲面 z=F(x,y) 相交的所形成的曲线 y=f(x) （黄色曲线）这条曲线可以表示成y=f(x)的形式隐函数 y=f(x) 连续性证明\forall \overline {x}∈(x_0-δ,x_0+δ)，\exists F(\overlinex,f(\overline x))=0\forall ε>0：F(\overline x,f(\overline x)-ε)<0,F(\overlinex,f(\overline x)+ε)>0根据连续函数的局部保号性：∵\exists δ>0,\forall x∈(\overline x-δ,\overline x+δ)∴F(x,\overline y-ε)<0，F(x,\overline y+ε)>0∴\exists y 使得：F(x,y)=0，也就是说 x 根据某种对应规则 y=f(x)可以找唯一的 y 与之对应，记作 y=f(x) ，使得 F(x,f(x))=0又因为： \forall x∈(\overline x-δ_2,\overline x+δ_2) ，并且 F_y(x,y)>0 关于 y 上单调递增，相应的 y=f(x) 函数值满足 \overline y-ε<f(x)<\overline y+ε即 |f(x)-\overline y|=|f(x)-f(\overline x)|<ε所以：y=f(x) 在 x∈(\overline x-δ,\overline x+δ) 连续隐函数可微性•几何解释如下图所示：\theta_1}{tan{\theta_2}}=-\frac{\frac{d_z}{F’_y}}{\frac{d_z}{F’_x}}=-\frac{F’_x}{F’_y}•数学解释dx}=-{F^{’}_x\over F^{’}_y}。
隐函数存在定理概要
在这样的条件下,显然在点( x0 , y0 ,0)的附近,曲面 z F ( x
, y) 必与平面相交,其交线是唯一的,并且又是一条光滑的
曲线 y f ( x) (在 z 0 平面上).
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
在几何上,它表示一个单位圆,容易知道,它在 (0,1) 这一点 及其某个邻域内唯一地确定了一个函数
y 1 x2 ,
这个函数在 x 0 的近旁连续,并具有连续导数.同样在
(0,1) 这一点及其某个邻域内也唯一地确立了一个函数
y 1 x2 ,
面,现在的问题是, 在什么条件下这一联立方程有解, 亦
即在什么条件下,曲面 z F ( x, y) 与平面相交,其交线是唯 一的并且又是光滑( x, y) 是光滑曲面, 定 理的条件 (2) 又表明曲面在 z 0 平面上有一个交点( x0 , y0 ,0) 定理的条件 (3) 告诉我们,曲面在交点 ( x0 , y0 ,0) 处沿 y 轴方 向看,曲面是单调的(若 Fx ( x0 , y0 ) 0 则它是单调增加的,若
例 考察方程
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
二、多变量情形
上段所讨论的问题可以推广到多变量情形.其证明 方法与上述相仿,我们只把结论叙述如下: 定理2 若函数 F ( x1 , x2 ,, xn ; y ) 满足以下条件:
(1) 在区域 D : xi xi( 0 ) ai , y y ( 0) b (i 1,2,, n)
1 隐函数存在定理
《隐函数存在定理》课件
结论二
通过证明过程，揭示了隐函数存 在定理与函数极限、连续性、可 导性等基本概念之间的内在联系 。
结论三
证明了隐函数存在定理的应用价 值，为解决与隐函数相关的问题 提供了理论支持。
03
隐函数存在定理的应用
Chapter
在微分方程中的应用
微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，而隐函数存在定理可以用于 证明某些微分方程的解的存在性和唯一性。
应用研究方向
分析了隐函数存在定理在解决实际问 题方面的应用前景，如优化问题、微 分方程求解等。
隐函数存在定理的研究前景
未来发展趋势
预测了隐函数存在定理未来的发展趋势，如与其他数学分支的交叉融合、新方法的出现 等。
潜在应用领域
探讨了隐函数存在定理在解决实际问题中的潜在应用领域，如人工智能、大数据分析等 。
利用多元函数的可导性，推导出 与隐函数存在定理相关的性质和 结论。
对证明过程进行总结和归纳，得 出隐函数存在定理的完整证明。
第一步 第二步 第三步 第四步
利用多元函数的极限和连续性， 推导出与隐函数存在定理相关的 性质和结论。
利用第一步和第二步的结论，证 明隐函数存在定理。
证明的结论
结论一
证明了隐函数存在定理，即对于 某一方程组，如果满足一定条件 ，则该方程组存在唯一确定的隐 函数。
THANKS
感谢观看
对定理的推广结论
推广结论包括
在满足一定条件下，隐函数存在定理 可以推广到多变量、多维度的情形。
推广结论还包括
在一定条件下，隐函数存在定理可以 推广到无穷维空间。
对定理的推广应用
推广应用包括
在微分方程、偏微分方程、积分方程等领域的应用。
推广应用还包括
数学《隐函数定理及其应用》讲义
第十八章 隐函数定理及其应用§1 隐函数一、隐函数概念设X R ⊂,Y R ⊂, 函数:F X Y R ⨯→, 对方程(,)0F x y =,若存在集合I X ⊂,J Y ⊂,使得对任何x I ∈,存在唯一的y J ∈满足方程(,)0F x y =,则称(,)0F x y =确定了一个隐函数:f I J →, 记为()y f x =,x I ∈.此时, (,())0F x f x ≡,x I ∈恒成立. 相对地, 形如()y f x =的函数称为显函数.我们说隐函数的产生也是很自然的, 如函数73()y g x x x x ==++严格增, 因而其有反函数, 但不易求出显函数1()x g y -=, 此时只能说方程730y y y x ++-=能确定隐函数1()()dy g x f x -==. 当然, 显函数也可以写成隐函数的形式(,)()0F x y y f x =-=. 显函数的几何意义就是平面上的曲线. 而方程(,)0F x y =确定的隐函数()y f x =在几何意义上就是曲面(,)z F x y =与平面0z =相交得到一条曲线(()y f x =), 此曲线投影到x 轴, 投影为I , 而对每个x I ∈,有唯一的点(,)x y 在该曲线上.注 并不是每一个方程都可以确定一个隐函数,如2210x y ++=.关于隐函数, 我们主要关心两个问题: 1) 隐函数的存在性;2) 隐函数的性质(如连续和可微性等). 二、隐函数存在的直观分析从几何上看, 方程(,)0F x y =确定函数()y f x =.相当于曲线(,)0F x y =与直线0x x =有且仅有一个交点, 这就要求0(,)0F x y =恰好有一个解, 当然至少要有一个解, 即1︒ 00(,)x y ∃, 使得00(,)0F x y =.其次, 若要求曲线(,)0F x y =连续, 则需要假设2︒ 在00(,)x y 的某邻域内, F 连续.最后, 从隐函数的定义, 对一个x , 只能有一个y 满足(,)0F x y =. 这相当于F 作为y 的函数是单射. 因而我们要求F 关于y 严格单调, 或者条件3︒00(,)0y F x y ≠, 且y F 连续 (此时在00(,)x y 的某邻域内,F 关于y 严格单调).如果要求确定的隐函数可微, 则当F 可微时, 由链式法则有0x y F F y '+⋅=, 此时/x y y F F '=-, 即隐函数()y f x =可微. 而要保证F 可微, 一般需假设4︒x F 连续. 三、一元隐函数定理下面我们给出一元隐函数定理. 定理 若下列条件满足1) 函数(,)F x y 在000(,)P x y 为内点的某一区域2D R ⊂上连续; 2) 00(,)0F x y =(初始条件);3) 在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y , 且00(,)0y F x y ≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内, 方程(,)0F x y =唯一地确定了一个定义在某区间00(,)x x αα-+上的隐函数()y f x =, 满足1︒ 00()f x y =,00(,)x x x αα∈-+时, 0(,())()x f x U P ∈, 且(,())0F x f x =; 2︒ ()f x 在00(,)x x αα-+上连续.进一步, 若F 在D 上还存在连续的偏导数(,)x F x y , 则方程(,)0F x y =所确定的隐函数3︒ ()y f x =在00(,)x x αα-+内有连续导函数, 且(,)()(,)x y F x y f x F x y '=-.注 a) 为证1︒,2︒, 只需条件: 1) 00(,)0F x y =; 2) 在00(,)x y 的某邻域内F 连续; 3) F 关于y 严格单调.b) 定理中的条件充分而不必要. 如330y x -=在(0,0)不满足(0,0)0y F ≠,但仍确定函数y x =.c) 若条件改为00(,)0x F x y ≠, 则可确定函数()x g y =. 又若00(,)0x F x y ≠与00(,)0y F x y ≠同时成立, 则方程(,)0F x y =将同时确定函数()y f x =和()x g y =,使(,())((),)0F x f x F g y y ==,由于,x y 的对应关系唯一,故它们互为反函数, 且x y F dydx F =-将不变号(如果变号,dy dx 将有零点,在该点dx dy 不存在,与g 可微矛盾), 即隐函数严格单调.例1 反函数存在性定理及其导数.例2 设(,)sin 0F x y y y x ε=--=, 01ε<<. 求dy dx , 22d ydx.例3 讨论Descartes 叶形线3330x y axy +-=所确定的隐函数()y f x =的一阶与二阶导数.例4 设2212z y x =-, 其中()y f x =为方程3330x y xy +-=所确定的隐函数. 求dz dx ,22d z dx.例5 证明: 1) 在(0,0)附近方程2sin()0x y xy ++=可确定函数()y f x =;2) 求f 的导数; 3) (0)f 为极大值.四、n 元隐函数定理下面我们来讨论n 元隐函数定理.定理 设1) 函数12(,,,,)n F x x x y ⋅⋅⋅在以点0000012(,,,,)n P x x x y ⋅⋅⋅为内点的区域1n D R +⊂上连续;2) 000012(,,,,)0n F x x x y ⋅⋅⋅=; 3) 偏导数12,,,,n x x x y F F F F ⋅⋅⋅在D 内存在且连续;4) 000012(,,,,)0y n F x x x y ⋅⋅⋅≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内方程12(,,,,)0n F x x x y ⋅⋅⋅=唯一地确定了一个定义在000012(,,,)n Q x x x ⋅⋅⋅的某邻域0()n U Q R ⊂内的n 元连续函数(隐函数) 12(,,,)n y f x x x =⋅⋅⋅,使得1︒.当120(,,,)()n x x x U Q ⋅⋅⋅∈时, 12120(,,,,(,,,))()n n x x x f x x x U P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈; 2︒.12(,,,)n y f x x x =⋅⋅⋅在0()U Q 内有连续偏导数12,,,n x x x f f f ⋅⋅⋅, 且11,x x yF f F =-22,,n n x x x x yyF F f f F F =-⋅⋅⋅=-.即若F 关于某个变量偏导数不等于0, 则存在以之为因变量的隐函数.例6 讨论方程323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=在原点附近所确定的二元隐函数(,)z f x y =及其偏导数.例7 设方程(,,)0F x x y x y z +++=确定(,)z f x y =.求,x y z z .例8 求由方程(,,)0F x y y z z x ---=所确定的函数(,)z z x y =的微分.例9 设(,)u f x ut y ut =+-,求,,x y t u u u .例10 证明: 由方程()()y x z z ϕψ=+所确定的函数(,)z z x y =满足方程2222222()2()0z z z z z z z y x y x y x x y∂∂∂∂∂∂∂⋅-⋅⋅⋅+⋅=∂∂∂∂⋅∂∂∂∂.§2 隐函数组给出线性方程组111122220a xb yc ud v a x b y c u d v +++=⎧⎨+++=⎩ 何时可从中解出(,)u f x y =, (,)v g x y =? 给定一般形式方程组(,,,)0(1)(,,,)0(2)F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩何时可从中解出(,)u f x y =, (,)v g x y =?一、隐函数组定理定理 1 设2,A B R ⊂, ,:F G A B R ⨯→. 00000(,,,)P x y u v =.若1) 00()()0F P G P ==;2) 在0P 的某邻域内, 1,F G C ∈; 3) Jacobi 行列式(,)(,)F G J u v ∂=∂在0P 处值不为0,则存在00(,)x y 的邻域U 及U 上的唯一一组1C 类函数,f g , 使得(,)u f x y =, (,)v g x y =满足1︒ 000(,)u f x y =,000(,)v g x y =,(,,(,),(,))0F x y f x y g x y ≡, (,,(,),(,))0G x y f x y g x y ≡, (,)x y U ∀∈,2︒ 1(,)(,)x F G u J x v ∂=-⋅∂,1(,)(,)y F G u J y v ∂=-⋅∂,1(,)(,)x F G v J u x ∂=-⋅∂,1(,)(,)y F G v J u y ∂=-⋅∂. [()11(,)()(,)xx v xvx v x v x vvF G G F F G u F G G F J J J x v F ψψ+⋅-∂=-==⋅-=-⋅∂]注 若定理条件3) 改为(,)0(,)P F G y v ∂≠∂, 则方程(1), (2)可确定的隐函数组为(,)(,)y y x u v v x u =⎧⎨=⎩. 更一般地, 可先求出,,,x y u v F F F F ,,,,x y u v G G G G , 如0u v uvF FG G ≠, 则可对(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩, 两边关于,x y 求偏导. 如对x 求偏导, 则x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v +⋅+⋅=⎧⎨+⋅+⋅=⎩,从而u x v x xu x v x xF u F v FG u G v G ⋅+⋅=-⎧⎨⋅+⋅=-⎩⇒(,)(,)(,)(,)x u x u x u v u vF F FG G G x v u F G F F u v G G -∂-∂==-∂∂, (,)(,)(,)(,)x F G u x v F G u v ∂∂=-∂∂, 类似可以求出,y y u v .例1 讨论方程组222(,,,)0(,,,)10 F x y u v u v x y G x y u v u v xy ⎧=+--=⎨=-+-+=⎩, 在点0(2,1,1,2)P 附近能确定怎样的隐函数组, 并求其偏导数.例2 1) 已知01xu yv yu xv +=⎧⎨+=⎩, 求x u , y u , x v , y v ;2) 设2(,)(,)u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨=-⎩, 求,u ux y ∂∂∂∂.3) 设函数(,)u u x y =由方程(,,,)(,,)0 (,)0 u f x y z t g y z t h z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩确定. 求,u u x y∂∂∂∂.二、反函数组定理给定(,)(,)u f x y v g x y =⎧⎨=⎩, 何时有(,)(,)x u v y u v ϕψ=⎧⎨=⎩?设(,,,)(,)0(,,,)(,)0 F x y u v f x y u G x y u v g x y v =-=⎧⎨=-=⎩,00000(,,,)P x y u v =, 由隐函数组定理条件为1) 00()()0F P G P ==, 即000(,)u f x y =, 000(,)v g x y =;2) 在0P 的某邻域内, 1,F G C ∈, 由于1u v F G ==-, 0v u F G ==连续, 故条件2)为在00(,)x y 的某邻域内1,f g C ∈.3)0000(,)(,)(,)(,)0(,)(,)x y x yx y x y f f F G u v g g x y x y ∂∂==≠∂∂.因而我们可得到下面的反函数组定理. 定理2 若1) 000(,)u f x y =, 000(,)v g x y =;2) 在00(,)x y 的某邻域内1,f g C ∈; 3)00(,)(,)0(,)x y u v x y ∂≠∂,则存在00(,)u v 的邻域U 及唯一的一组1C 函数(,)x u v ϕ=,(,)y u v ψ=.((,)u v U ∈), 使得1︒ ((,),(,))u f u v u v ϕψ=, ((,),(,))v g u v u v ϕψ=, 000000(,),(,)x u v y u v ϕψ==; 2︒(,)(,)1(,)(,)u v x y x y u v ∂∂⋅=∂∂. [(,)/(,)x v u v u y x y ∂∂∂=∂∂∂, (,)/(,)x u u v vy x y ∂∂∂=-∂∂∂, (,)/(,)y u u v u x x y ∂∂∂=-∂∂∂, (,)/(,)y u u v v x x y ∂∂∂=∂∂∂.]例3 设sin cos u ux e u vy e u v ⎧=+⎨=-⎩, 求,,,x y x y u u v v .例4 求cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩的反函数组.例5 求sin cos sin sin cos x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的反函数组.例6 利用sin cos x r θϕ=, sin sin y r θϕ=, cos z r θ=变换2221u u x u y u z ∆=++.例6 已知经过代换2u x yv x ay =-⎧⎨=+⎩后, 方程60zz xy yy z z z +-=化为方程0uv z =,求a 的值.§3 几何应用一、平面曲线的切线与法线平面曲线()y f x =, 在000(,)P x y 处的切线方程000()()y y f x x x '-=-. 若平面曲线由方程(,)0F x y =给出, (,)F x y 在点000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理条件, 故其在0P 附近可确定连续可微函数()y f x =(或()x g y =). 注意到()y f x =与(,)0F x y =表示的是同一曲线, 故曲线(,)0F x y =在0P 处的切线和法线方程分别为000()()y y f x x x '-=-与0001()()y y x x f x -=--' (或000()()x x g y y y '-=-与0001()()x x y y g y -=--') 又()xy F f x F '=-(或()y xF g y F '=-), 则曲线(,)0F x y =在000(,)P x y 处的切线方程: 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=, 法线方程: 000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ---=.例1 求Descartes 叶形线 332()90x y xy +-= 在(2,1)处的切线与法线方程.二、空间曲线的切线与法平面 1、 曲线由参数方程给出.设 :(),(),()L x x t y y t z z t ===, ()t αβ≤≤. (1) 下面求L 在其上某点0000(,,)P x y z 处的切线与法线方程, 这里00()x x t =,00()y y t =,00()z z t =,0()t αβ≤≤.假设(1)中三个函数均在0t 处可导且222000(())(())(())0x t y t z t '''++≠,在L 上0P 附近任取一点(,,)P x y z =000(,,)P x x y y z z +∆+∆+∆, 从而连接0P 与P 的割线方程为000x x y y z z x y z---==∆∆∆, 其中00()()x x t t x t ∆=+∆-, 00()()y y t t y t ∆=+∆-, 00()()z z t t z t ∆=+∆-, 又000x x y y z z x y z t t t---==∆∆∆∆∆∆, 令0t ∆→, 则0P P →, 且曲线L 在0P 处的切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''. 进而曲线L 在0P 处的法平面方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=.2、曲线由两曲面给出设曲线L 的方程为 (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩ (2)设1,F G C ∈, 且0(,)0(,)P F G J x y ∂=≠∂. 则由隐函数组定理, 在0P 附近能确定唯一的连续可微函数()x z ϕ=, ()y z ψ=使得1)00()x z ϕ=, 00()y z ψ=,2)1(,)(,)dx F G dz J z y ∂=-⋅∂, 1(,)(,)dy F G dz J x z ∂=-⋅∂. 故曲线L 在0P 处的切线方程为000001P P x x y y z z dx dy dz dz ---==, 即 000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂,而L 在0P 处的法平面方程为000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)P P P F G F G F G x x y y z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂.例 2 求曲线22250x y z ++=与锥面222x y z +=所截得的曲线在点(3,4,5)处的 切线与法平面方程.三、曲线的切平面与法线方程设曲面方程由 (,,)0F x y z = (3)给出, 其在0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件. 设000(,,)z F x y z 0≠, 则方程(3)在0P 附近确定唯一1C 函数(,)z f x y =使得000(,)z f x y =且x z F z x F ∂=-∂, y zF zy F ∂=-∂, 从而该曲面在0P 处有切平面与法线其方程分别为000000000000000(,,)(,,)()()(,,)(,,)y x z z F x y z F x y z z z x x y y F x y z F x y z -=----,即 000000()()()()()()0x y z F P x x F P y y F P z z -+-+-= 与000000()()()x y z x x y y z z F P F P F P ---==. 例3 求椭球面222236x y z ++=在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程.例4 =(0)a >的切平面在坐标轴上截距之和为常数.§4 条件极值一、条件极值极值问题↔定义域↔条件的限制例 1 设计一个容量为V 的长方形开口水箱, 试问水箱的长x , 宽y , 高z 分别为多少时其表面积最小.(,,)2()S x y z xz yz xy =++ (0,0,0)x y z >>>满足条件 xyz V = ———— 条件极值问题条件极值问题 求(目标)函数()u f x =, 12(,,,)n n x x x x D R =⋅⋅⋅∈⊂在 (约束)条件()0i g x =, 1,2,,i m =⋅⋅⋅, m n <下的极值.设{,()0,1,2,,}i E x D g x i m =∈==⋅⋅⋅, a E ∈. 若存在开球(,)B a r D ⊂,使(,)x E B a r ∈⋂时,()()f x f a ≥(或()()f x f a ≤), 则称f 在a 达到(满足条件()0i g x =)的条件极小(极大)值.例1的解二、条件极值的必要条件 (3n =,2m ≥来讨论)设3D R ⊂为开域, 12,,:f g g D R →为1C 函数, 123(,,)x x x x D =∈. 若f 在点123(,,)a a a a =处达到条件极值, 且111123222123rank 2ag g g xx x g g g x x x ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪= ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭,(1grad ()g a ,2grad ()g a 线性无关). 则存在12,R λλ∈, 使得1212()()()0j j jg g fa a a x x x λλ∂∂∂++=∂∂∂, 1,2,3j =. 即a 是Lagrange 函数1122L f g g λλ=++的驻点.三、Lagrange 乘法求()u f x =, 1(,,)n n x x x D R =⋅⋅⋅∈⊂在条件()0i g x =, (1,2,,)i m =⋅⋅⋅下的极值.方法为1︒ 作Lagrange 函数1111(,,,,,)()()()n m m m L x x f x g x g x λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+, x D ∈.2︒ 令0 (1,,)iLi n x ∂==⋅⋅⋅∂, 0 (1,,)j L j m λ∂==⋅⋅⋅∂, 求驻点. (m n +个方程, m n +个未知量)3︒ 求D 中使1,,,m f g g ⋅⋅⋅不为1C 的点, 及使1rank(grad ,,grad )m g g m ⋅⋅⋅<的点.(这些点与驻点成为可能的极值点).4︒ 用无条件极值方法判断上述可能点是否为极值点. 例2 重解例1.例3 求抛物面22x y z +=被平面1x y z ++=截成一个椭圆, 求该椭圆到原点的最长和最短距离.例4 求(,,)f x y z xy yz =+在条件222x y +=, 2y z +=下的极值.例5 求平面一点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的最短距离.例6 求(,,)f x y z xyz =在条件1111x y z r++= (,,,)x y z r R +∈下的极小值, 并证明11113()a b c-++≤, ,,a b c R +∀∈.例7 求目标函数222000(,,)()()()f x y z x x y y z z =-+-+-在约束条件Ax By ++0Cz D +=下的最小值.例8 求1212(,,,)n n f x x x x x x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅在12n x x x a ++⋅⋅⋅+=约束条件下的最大值.例9 已知12(,,),(,,),(,)G x y z G x y z f x y 都是可微的,(,)(,,(,))i i g x y G x y f x y =, 1,2i =.求证:121112221(,)(,)x y xy z xyzf fg g G G G x y G G G --∂=∂.例11 183P , 5.例10 183P 11二次型, 特征值问题.例12 183P , 12.例13 184P , 14.若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数, 而(,),(,)x x s t y y s t ==有连续偏导数, 则(,)(,)(,)(,)(,)(,)u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=⋅∂∂∂. [设(),()y f x x t ϕ==, 则dy dy dx dt dx dt=⋅.]Jacobi 行列式的几何意义一元 ()y f x =, 0x , 0x x x =+∆, 00()()y f x x f x ∆=+∆-称||||y x ∆∆为f 在0x 到0x x +∆的平均伸缩系数.若0x ∆→, 极限00000()()||limlim |()|||x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆, 则称0|()|f x '为映射f 在0x 处的伸缩系数. (导数的几何意义)若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==在开区域G 存在连续的偏导数且(,)x y G ∀∈,(,)(,)0(,)u v J x y x y ∂=≠∂. 函数组将xy 平面的开区域G 变换成uv 平面上的开区域1G ,点00(,)x y G ∈映为点10000((,),(,))u x y v x y G ∈, 则包含点00(,)u v 的面积微元d σ'与对应的包含点00(,)x y 的面积微元d σ之比为00|(,)|J x y . 即0000(,)(,)|(,)|(,)x y d u v J x y d x y σσ'∂==∂.。
17隐函数存在性定理
内的隐函数 y f ( x) ，定义在 ( x0 , x0 ) 内满足
F ( x, f ( x)) 0 ,且 y0 f ( x0 )
（2） y f ( x) 在( x0 , x0 ) 上连续 （3） y f ( x) 在( x0 , x0 ) 有连续的导数，且
取 min(1 ,2 )
F ( x, y0 b) 0 F ( x, y0 b) 0
x ( x0 , x0 )
F ( x, y0 b) 0 故对任意 x ( x0 , x0 )， F ( x, y) 关于 y 连续且 F ( x, y0 b) 0
元有一阶连续偏导数；
(ii) (iii) 则 （初始条件）； F (P ) 0, G( P ) 0 0 0
J ( F , G) | p0 0 . (u, v)
(1)在 p0 点的某个邻域 U 内，方程组
F ( x, y, u, v) 0 G( x, y, u, v) 0
确定可微的隐函数 y f ( x)
定理17.2
设函数 F ( x1 , x2 ,, xn , y) 满足下列条件：
(0) | （i）偏导数 Fx (i 1, 2,, n)和Fy 在D：xi xi | ai (i 1, 2,, n)，
i
| y y(0) | b上连续，其中b 0, ai 0(i 1, 2,, n);
sin f ( x, y) xyf ( x, y)
Fx ( x, y, z ) z yz ， x Fz ( x, y, z ) cos z xy
Байду номын сангаас
隐函数存在定理几何解释
隐函数存在定理几何解释
隐函数存在定理是微积分中的一个重要定理，它提供了一种判断隐函数是否存在的方法。
然而，这个定理的几何解释却不是很直观。
隐函数存在定理告诉我们，如果一个函数在某个点处满足一定的条件，那么它就可以被表示为两个变量之间的函数，即隐函数。
这个定理的几何解释需要从曲线的切线和法线入手。
考虑一个曲线y=f(x)，在某个点(x0,y0)处的切线和法线。
如果这个点处的斜率不存在或为0，那么这个曲线就不能被表示为y=f(x)的形式。
但是，如果这个点处的斜率存在且不为0，那么我们就可以通过求解斜率和函数值的关系式，得到一个关于x和y的方程，从而表示曲线为隐函数。
具体来说，如果在点(x0,y0)处曲线的斜率存在且不为0，那么曲线在这个点处的切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。
又因为曲线在点(x0,y0)处的法线垂直于切线，所以法线的斜率为-k/1=-k。
因此，在这个点处曲线的法线方程可以表示为
y-y0=-k(x-x0)。
我们可以将这个法线方程写成y=f(x)，从而得到一个关于x和y 的方程，即f(x)=y0-k(x-x0)。
因此，我们成功地将曲线表示为了一个隐函数。
总之，隐函数存在定理的几何解释可以通过曲线的切线和法线来理解。
如果一个点处的曲线既有切线又有法线，并且斜率存在且不为0，那么这个曲线就可以被表示为一个隐函数。
讨论隐函数的存在性连续性与可微性不仅是出于深刻了
(a) 一点正,一片正
y
+
y0
＋
＋
y0
_＋__ 0
y0
_
O x0 x0 x0 x
(b) 正、负上下分
y
y0
y0
＋＋＋＋
y0
－ － － －
O x0 x0 x0 x
(c) 同号两边伸
y
y0
y0
＋＋＋＋ U (P0 )
y0
y f (x) － － － －
因此 f ( x) 在 x 连续. 由 x 的任意性, 便证得 f ( x) 在 ( x0 , x0 ) 上处处连续．
注1 定理 11.1 的条件 (i) ～ (iv) 既是充分条件, 又
是一组十分重要的条件. 例如： ① F ( x, y) y3 x3 0, Fy (0,0) 0, 在点 (0, 0) 虽 不满足条件 (iv)，但仍能确定惟一的隐函数 y x.
二、隐函数存在性条件分析
要讨论的问题是：当函数 F ( x, y) 满足怎样一些 条件时，由方程 (1) 能确定隐函数 y f ( x), 并使 该隐函数具有连续、可微等良好性质? (a) 把上述 y f ( x) 看作曲面 z F( x, y) 与坐标 平面 z 0 的交线，故至少要求该交集非空，即 P0( x0 , y0 )，满足 F ( x0 , y0 ) 0 , y0 f ( x0 ) . (b) 为使 y f ( x) 在 x0 连续，故要求 F ( x, y) 在点 P0 连续是合理的．
2 f ( x) 在 ( x0 , x0 ) 上连续． 证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图11－1 )：
11.4隐函数存在定理在几何方面的应用
z = z[u ( x, y ), v ( x, y )].
求曲面S上点 M ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面方程.首先 求曲面S在点M的法向量 ( z ′ ( x0 , y0 ), z ′y ( x0 , y0 ), −1) x 由隐函数的求导法则（注意，z是x，y的 函数，而x，y又是u，v的函数），有
(9)
由(6)式得曲线在 P0 处的法平面方程为 ∂( F , G) ∂( F , G) ( X − x0 ) + (Y − y0 ) ∂ ( y, z ) P0 ∂ ( z , x) P0
∂( F , G) + ( Z − z0 ) = 0. ∂ ( x, y ) P0
(10)
∂( F , G) ∂( F , G) 同样可推出：当 或 在P0 处不为 ∂ ( z, y ) ∂ ( z ,) 零时, 曲线在P0 处的切线与法平面方程仍然分别取
它们也可分别写成如下形式：
Fx ( x0 , y0 , z0 )( X − x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )(Y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( Z − z0 ) = 0
与
(12)
X − x0 Y − y0 Z − z0 = = . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
1.设曲面由方程为 设曲面由方程为 (11) F ( x, y , z ) = 0 它在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内满足隐函数定理的 条件(这里不妨设 Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 ).于是方程(11)在 点 P0 附近确定唯一连续可微的隐函数 z = f ( x, y ) 使得 z0 = f ( x0 , y0 ), 且
数学分析18.3隐函数定理及其应用之几何应用
第十八章 隐函数定理及其定理3几何应用一、平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程F(x,y)=0给出，它在点P 0(x 0,y 0)的某邻域上满足隐函数定理条件，于是在点P 0附近所确定的连续可微隐函数y=f(x)(或x=g(y))和F(x,y)=0在点P 0附近表示同一曲线，从而该曲线在P 0存在切线和法线，其方程分别为：y-y 0=f ’(x 0)(x-x 0) 或(x-x 0=g ’(y 0)(y-y 0)) 与y-y 0=-)(x f 10'(x-x 0) 或(x-x 0=-)(y g 10'(y-y 0)). ∵f ’(x)=-y x F F (或g ’(y)=-xy F F ),∴F(x,y)=0在点P 0的切线与法线方程为：F x (x 0,y 0)(x-x 0)+F y (x 0,y 0)(y-y 0)=0与F y (x 0,y 0)(x-x 0)-F x (x 0,y 0)(y-y 0)=0.例1：求笛卡儿叶形线2(x 3+y 3)-9xy=0在点(2,1)的切线与法线. 解：记F=2(x 3+y 3)-9xy, 则F x =6x 2-9y, F y =6y 2-9x 在R 2连续，且 F x (2,1)=15≠0, F y (2,1)=-12≠0, ∴曲线在(2,1)的切线与法线分别为： 15(x-2)-12(y-1)=0, 即5x-4y-6=0，与-12(x-2)-15(y-1)=0, 即4x+5y-13=0.二、空间曲线的切线与法平面由参数方程x=x(t), y=y(t), z=z(t), α≤t ≤β确定的空间曲线L 上一点P 0(x 0,y 0,z 0)，有x 0=x(t 0),y 0=y(t 0),z 0=z(t 0), α≤t 0≤β，假定它们都在t 0处可导，且[x ’(t 0)]2+[y ’(t 0)]2+[z ’(t 0)]2≠0. 在L 上点P 0附近选取一点 P(x,y,z)=P(x 0+△x,y 0+△y,z 0+△z), 割线P 0P 为：x x -x 0∆=y y -y 0∆=zz -z 0∆，其中△x=x(t 0+△t)-x(t 0), △y=y(t 0+△t)-y(t 0), △z=z(t 0+△t)-y(t 0), 又t x/x -x 0∆∆=t y/y -y 0∆∆=t z/z -z 0∆∆，当△t →0时, P →P 0,且t x ∆∆→x ’(t 0), ty∆∆→y ’(t 0), tz∆∆→z ’(t 0), 即得曲线L 在P 0处的切线方程为：)t (x x -x 00'=)t (y y -y 00'=)t (z z -z 00'.可知，当x ’(t 0), y ’(t 0), z ’(t 0)不全为0时，它们组成了该切线的方向数. 过P 0与切线l 垂直的平面称为曲线L 在点P 0的法平面, 其方程为： x ’(t 0)(x-x 0)+y ’(t 0)(y-y 0)+z ’(t 0)(z-z 0)=0.当空间曲线L 由方程组⎩⎨⎧==0z)y,G(x,0z)y,F(x,给出时，若它在点P 0(x 0,y 0,z 0)的某邻域上满足隐函数组定理的条件(不妨设条件(4)为P y),x ()G (F,∂∂≠0)，则该方程组在点P 0附近能确定惟一连续可微的隐函数组x=φ(z),y=ψ(z),使 x 0=φ(z 0),y 0=ψ(z 0),且zx ∂∂=-y),z ()G (F,∂∂/y),x ()G (F,∂∂, z y ∂∂=-z),x ()G (F,∂∂/y),x ()G (F,∂∂. 又在点P 0附近，原方程组和由其确定的隐函数组表示同一空间曲线， ∴以z 为参量时，可得点P 0附近曲线L 的参量方程：x=φ(z),y=ψ(z),z=z. ∴曲线L 在P 0处的切线方程为：)P (x x -x 0z 0=)P (y y -y 0z 0=1z -z 0，即0P 0z),y ()G (F,x -x ∂∂=0P 0x),z ()G (F,y -y ∂∂=0P 0y),x ()G (F,z -z ∂∂.曲线L 在P 0处的法平面方程为：0P z),y ()G (F,∂∂(x-x 0)+0P x),z ()G (F,∂∂(y-y 0)+0P y),x ()G (F,∂∂(z-z 0)=0.同理可推得，当0P z),y ()G (F,∂∂≠0或0P x),z ()G (F,∂∂≠0时，结论相同.可见，当0P y),x ()G (F,∂∂,0P z),y ()G (F,∂∂,0P x),z ()G (F,∂∂不全为0时，它们是L 在P 0处的切线的方向数.例2：求球面x 2+y 2+z 2=50与锥面x 2+y 2=z 2所截出的曲线在(3,4,5)处的切线与法平面方程.解：记F=x 2+y 2+z 2-50, G=x 2+y 2-z 2,∵F x =G x =2x, F y =G y =2y, F z =2z, G z =-2z 在(3,4,5)都连续, 又y),x ()G (F,∂∂=0, 0P z),y ()G (F,∂∂=-160, 0P x),z ()G (F,∂∂=120, ∴曲线在P 0处的切线方程为：1603-x -=1204-y =05-z , 即⎩⎨⎧==+5z 04)-4(y 3)-3(x ;法平面方程为：-4(x-3)+3(y-4)+0(z-5)=0, 即4x-3y=0.三、曲面的切平面与法线设曲面由方程F(x,y,z)=0给出，它在点以P 0(x 0,y 0,z 0)的某邻域内满足隐函数定理条件(不妨设F z (x 0,y 0,z 0)≠0)，则该方程在点P 0附近确定惟一连续可微的隐函数z=f(x,y)，使得z 0=f(x 0,y 0), 且z x ∂∂=-)z y,(x ,F )z y,(x ,F zx , z y ∂∂=-)z y,(x,F )z y,(x,F z y .由于在点P 0附近F(x,y,z)=0与z=f(x,y)表示同一曲面， 从而该曲面在P 0处有切平面方程为：z-z 0=-)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F 000z 000x (x-x 0)-)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F 000z 000y (y-y 0)或F x (x 0,y 0,z 0)(x-x 0)+F y (x 0,y 0,z 0)(y-y 0)+F z (x 0,y 0,z 0)(z-z 0)=0. 法线方程为：)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F x -x 000z 000x 0-=)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F y -y 000z 000y 0-=1z -z 0- 或)z ,y ,(x F x -x 000x 0=)z ,y ,(x F y -y 000y 0=)z ,y ,(x F z -z 000z 0.其中，两方程的第二种形式对F x (x 0,y 0,z 0)≠0或F y (x 0,y 0,z 0)≠0也适合.注：1、函数F(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度gradF(P)就是等值面F(x,y,z)=c 在点P 的法向量n=(F x (P),F y (P),F z (P)). 2、将曲线L ：⎩⎨⎧==0z)y,G(x,0z)y,F(x,看成两个曲面F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0的交线，则L 在点P 0的切线与两个曲面在P 0的法线都垂直，这两个法向量为n 1=(F x ,F y ,F z )|0P 与n 2=(G x ,G y ,G z )|0P ,即 L 在P 0的切向量可取n 1与n 2的向量积τ=n 1×n 2=)()()()()()(000000P G P G P G P F P F P F kj i z y x z y x =i P 0)z (y,)G (F,∂∂+j P 0)x (z,)G (F,∂∂+k P 0)y (x,)G (F,∂∂.例3：求椭球面x 2+2y 2+3z 2=6在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程. 解：设F(x,y,z)=x 2+2y 2+3z 2-6, F x =2x, F y =4y, F z =6z 在全空间上处处连续, 在(1,1,1)处，F x =2, F y =4, F z =6，∴切平面方程为2(x-1)+4(y-1)+6(z-1)=0, 法线方程为：11-x =21-y =31-z .例4：证明：曲面f ⎪⎭⎫⎝⎛c -z b -y ,c -z a -x =0的任一切平面都过某个定点，其中f 是连续可微函数. 解：令F(x,y,z)=f ⎪⎭⎫⎝⎛c -z b -y ,c -z a -x ,∵(F x ,F y ,F z )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-22121c)-(z b)f -(y a)f -(x ,c -z f ,c -z f , ∴曲面在其上任意一点P 0(x 0,y 0,z 0)的法向量可取为： n=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-c -z )(b)f -(y )(a)f -(x ),(f ),(f 00200100201P P P P , 由此可得切平面方程： f 1(P 0)(x-x 0)+f 2(P 0)(y-y 0)-c-z )(b)f -(y )(a)f -(x 0020010P P +(z-z 0)=0.以(x,y,z)=(a,b,c)代入切平面方程，可得：f 1(P 0)(a-x 0)+f 2(P 0)(b-y 0)-c-z )(b)f -(y )(a)f -(x 0020010P P +(c-z 0)≡0，即定点(a,b,c)在曲面的任一切平面上.习题1、求平面曲线32x +32y =32a (a>0)上任一点处的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长. 解：记F(x,y)=32x +32y -32a , 则F x =3x32, F y =3y32,∴曲线上任一点(x 0,y 0)处的切线方程为：3x 1(x-x 0)+3y 1(y-y 0)=0, 即3x x+3y y=32a . 切线与在坐标轴上的截距分别为320a x 与320a y ,∴切线被坐标轴所截取的线段为()()23202320a y a x +=a, 得证!2、求下列曲线在所示点处的切线与法平面： (1)x=asin 2t, y=bsintcost, z=ccos 2t, 在点t=4π； (2)2x 2+3y 2+z 2=9,z 2=3x 2+y 2, 在点(1,-1,2). 解：(1)∵x ’(4π)=a, y ’(4π)=0, z ’(4π)=-c,∴切线方程为：a 2a -x =02b -y =c 2c -z -, 即⎪⎩⎪⎨⎧==+2b y 1c z a x .法平面方程为：a(2a -x )-c(2c -z )=0, 即ax-cz=21(a 2-c 2).(2)记F(x,y,z)=2x 2+3y 2+z 2-9, G(x,y,z)=3x 2+y 2-z 2, 则 F x =4x,F y =6y,F z =2z; G x =6x,G y =2y,G z =-2z; ∴(1,-1,2)y),x ()G (F,∂∂=28; (1,-1,2)z),y ()G (F,∂∂=32;(1,-1,2)x),z ()G (F,∂∂=40;∴切线方程为：81-x =101y +=72-z . 法平面方程为：8(x-1)+10(y+1)+7(z-2)=0.3、求下列曲面在所示点处的切平面与法线： (1)y-e2x-z=0, 在点(1,1,2)；(2)222222c z b y a x ++=1, 在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛3c ,3b ,3a . 解：(1)记F=y-e 2x-z , 则F x (1,1,2)=-2, F y (1,1,2)=1, F z (1,1,2)=1, ∴切平面方程为：-2(x-1)+(y-1)+(z-2)=0; 法线方程为：2-1-x =y-1=z-2. (2)记F=222222c z b y a x ++-1, 则在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛3c ,3b ,3a , F x =a 32, F y =b 32, F z =c 32. ∴切平面方程为：a1(x-3a )+b 1(y-3b )+c 1(z-3c )=0, 即a x +b y +c z=3;法线方程为：a(x-3a )=b(y-3b )=c(z-3c ).4、证明对任意常数ρ,φ,球面x 2+y 2+z 2=ρ2与锥面x 2+y 2=z 2tan 2φ正交. 证：设(x,y,z)是球面与锥面交线上的任一点，则 球面上该点的法向量为1n =(2x,2y,2z), 锥面上该点的法向量为2n =(2x,2y,-2ztan 2φ),∵21n n =4x 2+4y 2-4z 2tan 2φ=0, ∴对任意常数ρ,φ,球面与锥面正交.5、求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0. 解：记F(x,y,z)=x 2+2y 2+3z 2-21, 在曲面上的任一点(x 0,y 0,z 0)有， F x (x 0,y 0,z 0)=2x 0, F y (x 0,y 0,z 0)=4y 0, F z (x 0,y 0,z 0)=6z 0,∴曲面在该点的切平面方程为：2x 0(x-x 0)+4y 0(y-y 0)+6z 0(z-z 0)=0, 即 x 0x+2y 0y+3z 0z-21=0. ∵2x 0=y 0=z 0, 代入曲面方程得：x 02+8x 02+4x 02=21， 解得：x 0=±1，∴曲平面在(1,2,2)和(-1,-2,-2)处有符合条件的切平面：x+4y+6z=±21.6、在曲线x=t, y=t 2, z=t 3上求出一点，使曲线在此点的切线平行于平面x+2y+z=4.解：∵x t =1, y t =2t, z=3t 2, 设在t=t 0处切线平行于平面x+2y+z=4， 则(1,2t 0,3t 02)(1,2,1)=0, 即1+4t 0+3t 02=0，解得t 0=-1或t 0=-31. ∴所求的点为(-1,1,-1)或(-31,91,-271).7、求函数u=222z y x x ++在点M(1,2,-2)沿曲线x=t, y=2t 2, z=-2t 4在该点切线的方向导数.解 ：∵曲线过点(1,2,-2), ∴t 0=1; ∵x t (t 0)=1, y t (t 0)=4, z t (t 0)=-8. ∴曲线在点M 的切线的方向余弦为：91, 94, -98. 又 u x (M)=278, u y (M)=-272, u z (M)=272； ∴所f 求方向导数为： 91278⋅+94272⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅98272=-24316.8、试证明：函数F(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的梯度恰好是F 的等值线在点P 0的法向量(设F 有连续一阶偏导数).证： F 的等值线为F(x,y)=c, 它在点P 0的切线方程为： F x (x 0,y 0)(x-x 0)+F y (x 0,y 0)(y-x 0)=0. ∴等值线在点P 0的法向量为: (F x (x 0,y 0),F y (x 0,y 0)), 恰为函数F 在点P 0梯度，得证！9、确定正数λ, 使曲面xyz=λ与椭球面22a x +22b y +22cz =1在某一点相切(即在该点有公共切平面).解：设两曲面在点P 0(x 0,y 0,z 0)相切，则曲面xyz=λ在点P 0的切平面： y 0z 0(x-x 0)+x 0z 0(y-y 0)+x 0y 0(z-z 0)=0与椭球面在点P 0的切平面：20a x (x-x 0)+20b y (y-y 0)+2c z (z-z 0)=0是同一平面,∴0020z y a x =0020z x b y =0020y x c z , 即220a x =220b y =220c z , 又220a x +220b y +220c z =1, ∴220a x =220b y =220cz =31,∴x 02y 02z 02=271a 2b 2c 2,∴λ=x 0y 0z 0=33|abc |.10、求x 2+y 2+z 2=x 的切平面, 使其垂直于平面x-y-21z=2和x-y-z=2. 解：设曲面在点P 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面垂直于所给两平面，由 曲面在P 0处切平面方程：(2x 0-1)(x-x 0)+2y 0(y-y 0)+2z 0(z-z 0)=0知P 0应满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=--⋅-=--⋅-0202020000000xz y x 0)1,1,1()z 2,y 2,1x 2(0)21,1,1()z 2,y 2,1x 2(, 解得：x 0=422±, y 0=42±, z 0=0, ∴所求切平面为：x+y=221±.11、求双曲面F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0的交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程.解：对方程组F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0关于z 求导得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00z y x z y x G dz dy G dzdx G F dz dy F dz dx F , 解得：dz dx =),(),(z y G F ∂∂/),(),(y x G F ∂∂,dz dy =),(),(x z G F ∂∂/),(),(y x G F ∂∂, ∴交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程为： (x-x 0)/0P dz dx =(y-y 0)/0P dzdy ,即(x-x 0)/),(),(P z y G F ∂∂=(y-y 0)/),(),(P x z G F ∂∂.。
多元函数的隐函数与隐函数定理
多元函数的隐函数与隐函数定理随着数学的发展和应用的广泛，多元函数的研究逐渐成为数学领域的一个重要分支。
在多元函数中，隐函数是一种特殊的函数形式，它在研究中起着重要的作用。
本文将介绍多元函数的隐函数以及隐函数定理，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、多元函数的隐函数多元函数是指具有多个自变量的函数。
一般而言，我们所熟悉的函数都是显式函数，即自变量和函数之间的关系可以通过直接的公式表示。
然而，有些函数的自变量和函数之间的关系并不能通过显式的公式直接表示，而是需要借助隐函数的概念来描述。
在二元函数中，隐函数通常是指含有一个隐含变量（通常是y）的方程。
例如，考虑一个二元函数f(x, y)，如果存在一个方程g(x, y) = 0，使得对于任意一个x，都存在唯一的y满足方程g(x, y) = 0，那么我们称函数f(x, y)为一个隐函数。
在三元及更高维的函数中，隐函数的定义和二元函数类似，只是需要有相应的方程来描述隐式关系。
通过求解这些隐式方程，我们可以确定多元函数的隐函数形式。
二、隐函数定理隐函数定理是多元函数中的一个重要定理，它给出了隐函数存在的条件以及求解隐函数的方法。
隐函数定理的关键是雅可比矩阵的非奇异性。
对于一个具有n个变量（x1, x2, ..., xn）的函数系统，我们将这个函数系统写成向量形式，即F(x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x))。
如果这个函数系统满足一定的条件，即F(x0) = 0，并且雅可比矩阵J(x0) = (∂f1/∂x1, ∂f1/∂x2, ..., ∂fn/∂xn)在点x0处非奇异（行列式不为零），那么存在一个邻域V和函数g(x1, x2, ..., xn)存在于这个邻域内，使得F(x) = 0等价于x = (x1, x2, ..., xn)关于g的方程。
隐函数定理的证明较为复杂，这里不做详细展开。
但是我们可以通过一个简单的例子来了解隐函数的求解过程。
第十八章 隐函数存在定理
第十八章 隐函数存在定理§1 隐函数存在定理引例：221x y y +=⇒=(1,0)U ∀±的点，不能显化，是使0y F =的点。
定理1 （一元隐函数存在定理）若(,)F x y 满足1）00(,)0F x y =；2）00{(,)|||,||}D x y x x a y y b =-≤-≤内(,)F x y 连续且连续偏导,y x F F ； 3）00(,)0y F x y ≠，则有i) 在00(,)x y 附近由(,)0F x y =唯一确定隐函数0(),(,)y f x x O x ρ=∈满足(,())0F x f x =，00()y f x =；ii) ()y f x =在0(,)x O x ρ∈连续； iii) ()y f x =在0(,)x O x ρ∈连续导数，且(,)(,)x y F x y dydx F x y =-。
证明 设0y F >1）存在性 由连续函数y F 保号性，在00{(,)|||,||}D x y x x a y y b =-≤-≤上(,)0y F x y >，在固定的0x ，0(,)F x y 在00[,]y y ββ-+↑（严格），又00(,)0F x y =，从而0000(,)0,(,)0F x y F x y ββ-<+>，由(,)F x y 连续，0ρ∃>，在00,x x x ρρ-<<+ 0y y β=+上0(,)0F x y β+>；在00,x x x ρρ-<<+0y y β=-上0(,)0F x y β-<。
对00(,)x x x ρρ∀∈-+，(,)F x y 是y 在00[,]y y ββ-+上连续函数，则0(,)0F x y β-<0(,)0F x y β+>，由零点定理，00(,)y y y ββ∃∈-+，使得(,)0F x y =，由0y F >知唯一，从而有0(),(,)y f x x O x ρ=∈满足(,())0F x f x =，00()y f x =； 2）连续性 设00(,)x x x ρρ∀∈-+，对0ε∀>，由(,)0(())F x y y f x ==知(,)0F x y ε-<，(,)0F x y ε+>，则由前面讨论可知，0(,)x O x ρ∈时相应的隐函数满足()(),f x y y εε∈-+，即|()()|f x f x ε-<，连续。
隐函数存在定理在几何方面的应用
§11.4. 隐函数存在定理在几何方面的应用一、空间曲线的切线与法平面1. 设空间曲线C 的参数方程是(),(),(),x x t y y t z z t t I ===∈（区间）.它们在区间I 可导，且222,()()()0t I x t y t z t ''''''∀∈++≠有（即x (t),y (t),z (t)不同时为0）.取定0t I ∈，对应曲线C 上一点00000000(,,)[(),(),()].P x y z P x t y t z t =任取改变量0t ∆≠，使0t t I +∆∈，对应曲线C 上另一点10001000(,,)[(),(),()].P x x y y z z P x t t y t t z t t +∆+∆+∆=+∆+∆+∆由空间解析几何知，过曲线C 上两点01P P 与割线方程是 000,x x y y z z x y z---==∆∆∆ 或000.x x y y z z x y z t t t---==∆∆∆∆∆∆ 当点1P 沿曲线C 无限趋近于点0P 时，即0t ∆→，割线01P P 的极限位置就是曲线C 上点0P 的切线.于是，曲线C 上点0P 的切线方程是000000()()().()()()x x t y y t z z t x t y t z t ---==''' 切线的方向向量T 000[(),(),()]x t y t z t '''称为曲线C 在点0P 的切向量.一个平面通过空间曲线C 上一点0000(,)P x y z ，且与过点0P 的切线垂直，称此平面是空间曲线C 在点0P 的法平面.如图11.4.于是切线的切向量就是法平面的法向量.若在法平面上任取一点(,,)P x y z ，则向量0000(,,)P P x x y y z z =---与切线的切向量T 000[(),(),()]x t y t z t '''垂直，即000000((),(),())(,,)0.x t y t z t x x y y z z '''⋅---= 由向量的内积（向量的数量积）公式，法平面的方程是000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-= 或 000000()[()]()[()]()[()]0.x t x x t y t y y t z t z z t '''-+-+-=例 1. 求螺旋线0cos ,sin ,3x a t y a t z bt π====在t 处的切线方程与法线方程.解： sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 切线方程是cossin 333.sincos33x a y a z b ba a πππππ---==-即32.2a z bx y a b π---== 法线方程是0.223a a x y b z b π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2. 设三维欧氏空间3R 的曲线C 是由函数方程组1(,,)0F x y z =，2(,,)0F x y z =上所确定，即曲线C 是这两个曲面的交线.在空间曲线C 上任取一个定点000(,,)P x y z ，即1000(,,)0F x y z =与2000(,,)0F x y z =.设1(,,)F x y z 与2(,,)F x y z 对,,x y z 的偏导数在点P 的邻域内都连续，且12(,),(,)P F F x y ∂∂12(,),(,)P F F y z ∂∂12(,)(,)PF F z x ∂∂不同时为零，不防设12(,)0(,)PF F y z ∂≠∂.根据§11.1定理4，在点0x 某邻域，空间曲线C可表为 ()y y x = 与 ()z z x =. 于是，空间曲线C 可表为以x 为参数的参数方程 ,(),().x x y y x z z x ===从而，空间曲线C 在点P 的切线向量是T (1,,)dy dz dx dx ，下面求,dy dz dx dx. 由隐函数的求导公式，有1112220,0.F F F dy dz x y dx z dx F F F dy dz xy dx z dx ∂∂∂⎧++=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪++=⎪∂∂∂⎩解得 1212(,)(,)(,)(,)F F dy z x F F dx y z ∂∂=∂∂， 1212(,)(,)(,)(,)F F dz x y F F dx y z ∂∂=∂∂. 由切线方程的公式，三维欧氏空间3R 曲线C 在点000(,,)P x y z 的切线方程是000121212121(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)P PPPx x y y z z F F F F z x x y F F F F y z y z ---==∂∂∂∂∂∂∂∂ 或000121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P Px x y y z z F F F F F F y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂. （1） 三维欧氏空间3R 曲线C 在点000(,,)P x y z 的法平面方程是121212000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)P P PF F F F F F x x y y z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂. （2）例2. 求曲线2226,0x y z x y z ++=++=在点(1,2,1)P -的切线方程与法平面方程.解： 222126,.F x y z F x y z =++-=++1112,2,2,F F F x y z x y z ∂∂∂===∂∂∂2221,1, 1.F F F xyz∂∂∂===∂∂∂ p z y F F ),(),(21∂∂=6- p x z F F ),(),(21∂∂=0 py x F F ),(),(21∂∂=6由公式（1）与（2），曲线在点(1,2,1)P -的切线方程与法平面方程分别是121.606x y z -+-==- 与 6(1)6(1)0x z --+-= 或 0.x z -= 二、曲面的切平面与法线1. 设三维欧氏空间3R 曲面S 的方程是(,),(,)z f xy x y D =∈（区域）由§10.3定理3知，若二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y D ∈可微，则曲面S 上点00000(,,)((,))M x y z z f x y =的切平面方程是0000000(,)()(,)()()0,x y f x y x x f x y y y z z ''-+---=即切平面的法向量是n ()0000(,),(,),1x y f x y f x y ''-.于是，法线方程是0000000.(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==''-2. 设曲面S 的方程是(,,)0.F x y z =在曲面S 上任取一点000(,,)M x y z ，即000(,,)0F x y z =.若三元函数(,,)F x y z 所有的偏导数在点M 的邻域连续，且,,F F Fx y z∂∂∂∂∂∂在点M 不同时为零.设0MF z ∂≠∂.根据§11.1定理2，在点00(,)x y 的某邻域，曲面S 可表为00(,),(,).z f xy z f x y ==求曲面S 上点000(,,)M x y z 的切平面方程.首先求曲面S 在点M 的法向量 n ()0000(,),(,),1x y f x y f x y ''-.由隐函数求导数公式，有0,0.F F zF F zx z xy z y∂∂∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂∂∂ 解得(,),(,).x y FFzz y x f x y f x y F F xyzz∂∂∂∂∂∂''==-==-∂∂∂∂∂∂由切平面方程公式，曲面S 上点000(,,)M x y z 的切平面方程是00()()()0,MMF Fyxx x y y zz F F z z∂∂∂∂------=∂∂∂∂ 或000()()()0.MMMFF Fx x y y z z xyz∂∂∂-+-+-=∂∂∂ （3）曲面S 上点000(,,)M x y z 的法线方程是000M M Mx x y y z z F F F x z y ---==∂∂∂∂∂∂ （4） 例3. 求曲面22223333x y z a ++=上在点000(,,)P x y z 的切平面方程与法线方程.解： 22223333(,,).F x y z x y z a =++- 132,3x F x -'= 132,3y F y -'= 132.3z F z -'=于是，曲面在点000(,,)P x y z 的切平面方程与法线方程分别是1113330000()()()0x x x y yy z zz ----+-+-= 与00011133300x x y yz z x y z ------== 或 1113330000()()().x x x y yy z z z -=-=- 3. 设曲面S 是参数方程(,),(,),(,)(,)x x u v y y u v z z u v u v D ===∈（区域）.取定一点00(,)Q u v D ∈，对应曲面S 上一点000(,,)M x y z ，即00000000(,),(,),(,).x x u v y y u v z z u v === 若上述函数组的所有偏导数在点00(,)Q u v 的邻域都连续，且(,)(,),,(,)(,)Q Qx y y z u v u v ∂∂∂∂(,)(,)Q z x u v ∂∂不同时为0.不妨设(,)0(,)Qx y u v ∂≠∂.根据§11.1定理3的推论，函数组(,),x x u v =(,)y y u v =在点00(,)x y 邻域存在有连续偏导数的反函数组(,)u u x y =，(,)v v x y =.将它们代入(,)z z u v =之中，有[(,),(,)z z u x y v x y = 求曲面S 上点000(,,)M x y z 的切平面方程.首先求曲面S 在点M 的法向量n 0000((,),(,),1)x y z x y z x y ''-. 由隐函数的求导法则（注意，z 是x ，y 的函数，而x ，y 又是u ，v 的函数），有,.zz x z y u x u y v z z x z y v x v y v∂∂∂∂∂⎧=+⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=+⎪∂∂∂∂∂⎩ 解得(,)(,)(,)(,),.(,)(,)(,)(,)y z z x z z u v u v x y x y xyu v u v ∂∂--∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂ 由切平面方程公式，曲面S 在点000(,,)M x y z 的切平面方程是000(,)(,)(,)(,)()()(,)(,)(,)(,)QQ Q Q y z z x u v u v z z y y y y x y x y u v u v ∂∂--∂∂-=-+-∂∂∂∂ 或000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)QQ Q y z z x x y x x y y z z u v u v u v ∂∂∂-+-+-=∂∂∂ （5） 曲面S 在点000(,,)M x y z 的法线方程是00.(,)(,)(,)(,)(,)(,)Q Q Q x x y y z zy z z x x y u v u v u v ---==∂∂∂∂∂∂ （6） 例 4. 求曲面2233,,x u v y u v z u v =+=+=+在点(0,2)Q 对应曲面上的点的切平面方程与法线方程.解：点(0,2)Q 对应曲面上的点(2,4,8)P .221,1,2,2,3,3.xx yyzzu v u v u v u v u v∂∂∂∂∂∂======∂∂∂∂∂∂0),(),(=∂∂Q v u z y ， 12),(),(-=∂∂Q v u x z ， 4),(),(=∂∂Qv u y x .由公式（5）与（6），曲面在点(2,4,8)P 的切平面方程与法线方程分别是 12(4)4(8)y z --+-= 或 34y z -= 与2480124x y z ---==- 或 248031x y z ---==-.。
用链式图理解隐函数存在定理
用链式图理解隐函数存在定理
隐函数存在定理是数学中一个功能的定义，它可以通过图表的形式来帮助计算复杂结构的参数。
图表表示一个函数，它被称为链式图，链式图可以清楚地揭示函数之间的关系，以及链式图中函数如何影响它们之间的值。
隐函数存在定理使用链式图来证明其正确性，原理非常简单：从一个开始节点沿着链接及到达最后一个结束节点，这证明各个函数在链式图中存在且其路径可达。
隐函数存在定理在计算机科学中也有广泛的应用，例如用树的方式可以作为算法的框架，用于数据库查询，其中多个节点之间的关系由树的父子节点组成，所有节点相连可以形成一个链式图，当数据库中有某个搜索条件时，有关节点链接的链式图可以帮助数据比较，以查找准确结果。
此外，还可以用链式图进行网络的数据传输，将数据从一个节点传递给另一个节点，它可以帮助准确无误地传输数据，从而改善交互体验。
隐函数存在定理的链式图为计算机领域的计算提供了完美的框架，可以将复杂的数据结构进行精确处理，从而提高性能，为用户提供更好的服务体验。
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隐函数存在定理几何解释
隐函数存在定理是微积分学中的一个重要定理，它告诉我们，如果给定一组方程，其中至少有一个方程无法表示成 y=f(x) 的形式，但是这组方程在一定条件下仍然能够确定一个函数 y=f(x)，那么这
个函数就是隐函数存在的。
这个定理在数学上有着重要的应用，但是它的几何解释也非常有趣。
我们可以将隐函数存在定理的几何解释简单地描述为以下三步：
1. 给定一个曲面 S，它的方程可以用 f(x,y,z)=0 来表示。
2. 假设我们想要在曲面 S 上找到一个函数 z=f(x,y)。
3. 如果在曲面 S 上每个点 (x,y,z) 的某个邻域内，存在唯一
的 z=f(x,y) 与 f(x,y,z)=0 同时成立，那么 z=f(x,y) 就是隐函数存在的。
这个几何解释告诉我们，如果一个曲面在某些点上不是 y=f(x) 的形式，但是在这些点的某个邻域内，曲面上的每个点都可以用
y=f(x) 的形式表示，那么这个曲面就存在一个隐函数 y=f(x)。
这个隐函数与曲面的几何形状密切相关，它可以帮助我们理解曲面的特征。
隐函数存在定理的几何解释提供了一种直观、有趣的方法来理解这个重要的数学定理。
它让我们看到了数学与几何之间的紧密联系，同时也让我们认识到了数学的实用性。
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