一次函数压轴题(含答案)

一次函数压轴题(含答案)

如图，已知直线 $y=2x+2$ 与 $y$ 轴。$x$ 轴分别交于

$A$。$B$ 两点，以 $B$ 为直角顶点在第二象限作等腰直角三

角形 $\triangle ABC$。

1）求点 $C$ 的坐标，并求出直线 $AC$ 的关系式。

2）如图，在直线 $CB$ 上取一点 $D$，连接 $AD$，若$AD=AC$，求证：$BE=DE$。

3）如图，在（1）的条件下，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于

$M$，$P（，k）$ 是线段 $BC$ 上一点，在线段 $BM$ 上是

否存在一点$N$，使直线$PN$ 平分$\triangle BCM$ 的面积？若存在，请求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

考点：一次函数综合题。

分析：（1）如图，作 $CQ\perp x$ 轴，垂足为 $Q$，利

用等腰直角三角形的性质证明 $\triangle ABO\cong \triangle BCQ$，根据全等三角形的性质求 $OQ$，$CQ$ 的长，确定

$C$ 点坐标；

2）同（1）的方法证明 $\triangle BCH\cong \triangle BDF$，再根据线段的相等关系证明 $\triangle BOE\cong \triangle DGE$，得出结论；

3）依题意确定 $P$ 点坐标，可知 $\triangle BPN$ 中

$BN$ 变上的高，再由 $\frac{1}{2}S_{\triangle

PBN}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCM}$，求 $BN$，进而得出$ON$。

解答：解：（1）如图，作$CQ\perp x$ 轴，垂足为$Q$。

因为 $\angle OBA+\angle OAB=90^\circ$，$\angle

OBA+\angle QBC=90^\circ$，所以$\angle OAB=\angle QBC$。

又因为 $AB=BC$，$\angle AOB=\angle Q=90^\circ$，所

以 $\triangle ABO\cong \triangle BCQ$。

因此 $BQ=AO=2$，$OQ=BQ+BO=3$，$CQ=OB=1$。

所以 $C（-3，1）$。

由 $A（-6，2）$，$C（-3，1）$ 可知，直线 $

2）如图，作 $CH\perp x$ 轴于 $H$，$DF\perp x$ 轴于

$F$，$DG\perp y$ 轴于 $G$。

因为 $AC=AD$，$AB\perp CB$，所以 $BC=BD$。

因此 $\triangle BCH\cong \triangle BDF$。

所以 $BF=BH=2$。

所以 $OF=OB=1$。

所以 $DG=OB$。

因此 $\triangle BOE\cong \triangle DGE$。

所以 $BE=DE$；

3）如图，在直线 $ 的条件下，$P（-5，-8）$。

因为 $y=x+2$，所以 $M（-6，0）$。

因此 $BM=5$，则 $\frac{1}{2}S_{\triangle BCM}=10$。

因为 $ $AC$ 与 $x$ 轴交于点 $(-2，0)$，因此 $BC$ 的斜

率为 $-2$。

假设存在点 $N$ 使直线 $PN$ 平分 $\triangle BCM$ 的面积。

则 $BN\cdot ON=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\cdot

10}{5}=\frac{2}{5}$。

因此$BN=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$ON=-\frac{1}{\sqrt{5}}$。

因为 $BN

因此 $N（-1，\frac{3}{\sqrt{5}}）$。

点评：本题考查了一次函数的综合运用。关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解。

当x=4，y=2；

当x=5，y=1；

所以阴影部分（不包括边界）所含格点的个数为10个．

2）由直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，且AB的中点为（2.5，3.5）。

所以点C关于直线AB的对称点D的坐标为（6，2）．3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB 于点M，交y轴于点N。

则此时△CMN的周长最短．由D、E两点的坐标可知直线DE的解析式为y=﹣x+10。

所以当x=5时，y=5，所以点N的坐标为（0，5）．

已知如图，直线 $y=-x+4$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$，与直线 $y=x$ 相交于点 $P$。

1) 求点 $P$ 的坐标。

点 $P$ 的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标。解得 $P(3,1)$。

2) 求 $\triangle OPA$ 的面积。

把 $OA$ 看作底，$P$ 的纵坐标为高，从而可求出面积。解得面积为 $2$。

3) 动点 $E$ 从原点 $O$ 出发，沿着 $O \to P \to A$ 的路线向点 $A$ 匀速运动（$E$ 不与点 $O$、$A$ 重合），过点$E$ 分别作 $EF \perp x$ 轴于 $F$，$EB \perp y$ 轴于 $B$。设运动 $t$ 秒时，$F$ 的坐标为 $(a,0)$，矩形 $EBOF$ 与

$\triangle OPA$ 重叠部分的面积为 $S$。求：$S$ 与 $a$ 之间的函数关系式。

当 $E$ 点在 $OP$ 上运动时，$F$ 点的横坐标为 $a$，所以纵坐标为 $\frac{4}{2}=2$。从而得到 $S=a^2$。

当点 $E$ 在 $PA$ 上运动时，$F$ 点的纵坐标为 $1$，从而得到 $S=a^2+2a$。

综上所述，$S$ 与 $a$ 的函数关系式为

$S=\begin{cases}a^2.& E \text{在} OP \text{上运动} \\ a^2+2a。& E \text{在} PA \text{上运动}\end{cases}$。