七年级数学上册知识讲义-3 线段的比较与中点-人教版

初中数学线段的比较与中点

精讲精练

1. 线段的比较

（1）叠合法（图形的比较），把要比较的两条线段的一个端点重合，然后把两条线段在重合点的同侧叠合在一起，由另一个端点的位置关系可以得出两条线段的长短关系。

（2）度量法（数量的比较），用刻度尺测量出线段的长度（单位相同），再根据长度的大小判断线段的长短关系。

2. 线段的中点

把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点，如图所示，如果M是线段AB 的中点，则有AM=BM=AB。

3. 等分线段

（1）把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点，如图，M、N是线段AB的三等分点，则有AM=MN=NB=AB。

（2）把一条线段分成四条相等的线段的点叫做线段的四等分点，如图，M、N、P是线段AB的四等分点，则有AM=MN=NP=PB=AB。

4. 线段的性质

两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。

例题1 平原上有A、E、C、D四个村庄，如图所示，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池。不考虑其他因素，请画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。

思路分析：由“两点之间，线段最短”可知，到A、D两点的距离之和最小的点在线段AD上，到E、C两点的距离之和最小的点在线段EC上，所以AD、CE的公共点就是到四点的距离之和最小的点。

答案：

例题2 （1）如图所示，线段AB=4，点O是线段AB上一点，C，D分别是线段OA，OB的中点，小明据此很轻松地求得CD=2.你知道小明是怎样求出来的吗？

（2）小明在反思过程中突发奇想：当点O运动到AB的延长线上时，原有的结论“CD=2”是否仍然成立？

思路分析：（1）把线段CD看成OC+OD，把线段AB看成OA+OB，再根据线段的中点定义可知OC=OA，OD=OB，可得CD=AB。

（2）与（1）的思路类似，只不过（1）中把CD看成OC+OD，而（2）中把CD看成OC-OD。

答案：（1）因为点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA，OB的中点，

所以OC=OA，OD=OB。

因为OA+OB=AB=4，所以CD=AB=×4=2。

（2）当点O运动到线段AB的延长线上时，原有的结论“CD=2”仍然成立。

因为C、D分别是线段OA、OB的中点，所以OC=OA，OD=OB。

因为CD=OC-OD，所以OC=OA-OB=（OA-OB）。

因为OA-OB=AB=4，所以CD=AB=×4=2。

例题3 在同一个学校上学的小明、小伟、小红三位同学分别住在A、B、C三个住宅区，如图所示，A、B、C三点共线，且AB=60米，BC=100米，他们打算合租一辆车去上学。由于车位紧张，他们准备在三个住宅区之间只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在何处？

思路分析：车的停靠点有5种可能情况，①停靠点设在A住宅区；②停靠点设在A住宅区与B住宅区之间；③停靠点设在B住宅区；④停靠点设在B住宅区与C住宅区之间；

⑤停靠点设在C住宅区。要求出符合要求的停靠点的位置，我们需要分情况讨论。

答案：①停靠点设在A住宅区，则他们的路程总和为220米；

②停靠点设在A住宅区与B住宅区之间，则他们的路程总和大于160米而小于220米；

③停靠点设在B住宅区，则他们的路程总和为160米；

④停靠点设在B住宅区与C住宅区之间，则他们的路程总和大于160米而小于260米；

⑤停靠点设在C住宅区，则他们的路程总和为260米。

综上所述，停靠点应设在B住宅区。

分类讨论法

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

同步练习

（答题时间：20分钟）

1. 如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米。为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）

A. 点A

B. 点B

C. A，B之间

D. B，C之间

2. 线段AB=5cm，BC=4cm，那么A、C两点的距离是（）

A. 1cm

B. 9cm

C. 1cm或9cm

D. 以上答案都不对

3. D点在线段EF上，在等式①DE=DF，②DE=EF，③EF=2DF，④DF=DE中，能表示D 点是线段EF的中点的有（）个

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4. 景区大楼AB段上有四处居民小区A，B，C，D，且有AC=CD=DB，为改善居民购物的环境，要在AB路建一家超市，每个小区的居民各执一词，难以确定超市的位置，如果由你出任超市负责人，以便民、获利的角度考虑，你将把超市建在哪儿？

5. 如图，已知定长线段AD=m，B、C为线段AD上的两个动点，B在C点的左侧，当B、C运动到某一位置时，AC+BD=11，AB+CD=5，求AD的长。

6. 如图，在直线a上求一点O，使它到点M、N的距离最小。

答案

1. A 解析：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×100+10×300=4500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×100+10×200=5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+15×200=12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100-m）+10（300-m）=4500+5m＞4500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200-n）=5000+35n＞4500。

∴该停靠点的位置应设在点A，故选A。

2. D 解析：（1）当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论。①点B在A、C之间时，AC=AB+BC=5+4=9cm；②点C在A、B之间时，AC=AB-BC=5-4=1cm，所以A、C两点间的距离是9cm或1cm。

（2）当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能，故选D。

3. B 解析：假设点D是线段EF的中点，则DE=DF，故①正确；

当DE=EF时，DE=2DF，故此时点D不是线段EF的中点；

当EF=2DF时，因为EF=DE+DF，所以，DE=DF，故此时点D是EF的中点。

当DE=DF时，点D才是EF的中点，所以当DF=DE时，D不是线段EF的中点。

综上所述，在①③条件下点D是EF的中点，故选B。

4. 建在线段CD上的任意一点。

解析：在线段CD上任取一点M，在线段AC上任取一点N，

∵AC=CD=BD，

∴当超市的位置在M点时，各居民区到超市的路程和

=AM+CM+DM+BM=AB+CD=4CD，

当超市的位置在N点时，各居民区到超市的路程和

=AN+CN+DN+BN=AB+CD+2CN=4CD+ 2CN，

∵4CD＜4CD+2CN，

∴以便民、获利的角度考虑，将把超市的位置建在线段CD上的任意一点。

5. 8 解析：∵AC+BD=AD+BC=11，AB+CD=5，

∴AD+BC+AB+CD=16，

∴2AD=16，

∴AD=8。

6. 解析：∵两点之间线段最短，

∴所求的点与M、N两点同线时，它到点M、N的距离最小，

∴连接MN，MN与a的交点O即为所求。