高考文科数学命题热点名师解密专题：圆的解题方法(含答案)

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高考专题复习解析几何中与圆相关的综合问题(含解析)

专题解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22++=，点(2,0):(2)32C x yD，点P是圆C上任意一点，线段PD的垂直平分线交线段CP于点Q．（1）求点Q的轨迹方程．（2）设点(0,2)A，M，N是Q的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN为直径的圆过点A．求证直线MN过定点，并求出该定点的坐标．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-．（Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域；（2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my =+与圆22(1)(1)4x y -+-=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）当1m =时，求||AB ；（2）是否存在实数m ，使得OA OB ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．专题15 解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22:(2)32C x y ++=，点(2,0)D ，点P 是圆C 上任意一点，线段PD 的垂直平分线交线段CP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹方程．（2）设点(0,2)A ，M ，N 是Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN 为直径的圆过点A ．求证直线MN 过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a ，b 即可．（2）当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t 的值，则直线过直线MN 恒过点2(0,)3-．【解答】解：（1）点Q 在线段PD 的垂直平分线上，||||PQ PD ∴=．又||||||CP CQ QP =+=，||||||4CQ QD CD ∴+=>=．Q ∴的轨迹是以坐标原点为中心，(2,0)C -和(2,0)D 为焦点，长轴长为的椭圆．设曲线的方程为222211x y a b+==，(0)a b >>．2c =，a =，2844b ∴=-=．∴点Q 的轨迹的方程为22184x y +=；（2）当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，当直线MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则2228y kx tx y =+⎧⎨+=⎩，整理得：222(12)4280k x ktx t +++-=， 122412ktx x k +=-+，21222812t x x k -=+，由AM AN ⊥，则0AM AN =，即221212(1)(2)()(2)0k x x k t x x t ++-++-=，则22222284(1)(2)()(2)01212t ktk k t t k k-+⨯+--+-=++，整理得：23440t t --=，解得：2t =（舍去）或23t =-，则直线MN 的方程23y kx =-，则直线MN 恒过点2(0,)3-，当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，综上可知：直线MN 过点2(0,)3-．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-．（Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用圆心距与两圆半径和与差的大小关系，即可判断圆1F 与圆2F 有公共点，再利用定义法得到P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆，从而求出公共点P 的轨迹E 的方程；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入2121212212122(1)()2()()x x m x x m k k k k x x m x x m-++++=-++，整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-，所以当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以12||2F F =，因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，又因为13r ，所以|4|2r r --，即12|4||||4|r r F F r r ---+，所以圆1F 与圆2F 有公共点，设两圆公共点为点P ，所以12||||44PF PF r r +=+-=，所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆，所以24a =，1c =，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设1(M x ，2)y ，2(N x ，2)y ，联立方程22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+①，111y k x m =-，222y k x m=-， 22212121212211212122121212121212(1)(1)11(1)()(1)()2(1)()2()()()()()()()y y k x k x x x x x m x x m x x m x x m k k k k k k k k x m x m x m x m x m x m x m x m x x m x x m ------+---+++∴+=+=+=+==---------++，将①式代入整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-0m <，∴当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值，故存在实数2m =-，使得12()k k k +为定值1-．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域；（2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【分析】（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，由0AB >且0BC >求三角不等式得函数定义域；（2）利用导数求木栈道A B C --总长的最短长度．【解答】解：（1）过Q 分别向AO 和1l 作垂线，垂足为H ，M ，由题意可得，QOH θ∠=，20sin QH θ∴=，20cos OH θ=，则3020cos AH MQ θ==-．在直角三角形BMQ 中，3020cos tan tan QM BM θθθ-==． 3020cos 2030cos 20sin tan sin AB AM BM QH BM θθθθθ--∴=-=-=-=．又70sin BC θ=，702030cos 9030cos (0)sin sin sin 2L BC AB θθπθθθθ--∴=+=+=<<． 0AB >且0BC >，∴2cos 3sin 0θθ⎧<⎪⎨⎪>⎩，令02cos 3θ=，则0(,)2πθθ∈．∴定义域为0(,)2πθ；（2）由9030cos ()sin L θθθ-=，得213cos ()30L sin θθθ-'=，0(,)2πθθ∈．令()0L θ'=，得1cos 3θ=，1233<，∴当1cos 3θ=时，[()]min L θ= 故木栈道A B C --总长的最短长度为【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．【分析】（1）利用P 点轨迹以及3PQ MQ =，表示出M 的轨迹方程即可；（2）设出过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用弦长公式求得||AB ，再由点到直线的距离公式求得O 到AB 所在直线的距离，代入三角形面积公式，利用换元法求得OAB ∆的面积最大时的m 值，则直线l 的方程可求【解答】解：（1）设(,)P x y ，则(,0)Q x ，0(M x ，0)y 且0x x =又根据3PQ MQ =．可得(0，00)))y y y -=-=-，则0y =，所以2200)6x +=，整理可得M 的轨迹方程为2236x y +=；（2）设过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+，联立整理得22(3)420m y my ++-=，所以12243m y y m +=-+，1212223233y y y y m m ==-++，则2226||3m ABm ⨯==+，点O 到直线的距离d =，所以111||26222AOBS AB d ∆===⨯，212m+=时取“=”，此时1m=±，故直线方程为2x y=+或2x y=-+．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my=+与圆22(1)(1)4x y-+-=相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当1m=时，求||AB；（2）是否存在实数m，使得OA OB⊥，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用垂径定理直接求解即可；（2）假设存在满足条件的实数m，根据已知条件建立关于m的方程，由方程解的情况即可得出结论．【解答】解：圆22(1)(1)4x y-+-=的圆心为(1,1)，半径为2，（1）当1m=时，直线1x y=+即为10x y--=，圆心(1,1)到直线10x y--=的距离为d==∴||AB=（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，由221(1)(1)4x myx y=+⎧⎨-+-=⎩可得22(1)230m y y+--=，且△0>恒成立，12122223,11y y y ym m-+==++，∴212122221(1)(1)1m mx x my mym-++=++=+，若存在实数m，使得OA OB⊥，则1212OA OB x x y y=+=，即222221m mm-+-=+，亦即210m m-+=，无解，故不存在实数m，使得OA OB⊥．专题强化1．（2020•全国Ⅰ卷模拟）动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4．（1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设(,)P x y ，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ==，PG =PA ==24(0)y x x =≠；（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ，设其方程为11(0)x t y a t =+≠，联立124x t y ay x =+⎧⎨=⎩，利用根与系数关系表示出2QS ，2QT ，进而表示出2211||||QS QT +即可．【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，当P 点不在y 轴上时，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点， 122GB GH ∴==，PG ∴=，又(PA =24(0)y x x =≠；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =，（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ，根据题意可知直线l '的斜率必不为0，设其方程为11(0)x t y a t =+≠，联立124x t y a y x =+⎧⎨=⎩，整理可得21440y t y a --=，1214y y t ∴+=-，124y y a =-，222212112112121()24216x x t y y a t ax x y y a ∴+=++=+==， 222222111111()()4(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222222222()()4(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222221122121212(42)(42)()(42)()22QS QT x a x a x a x a x x a x x x x a ∴+=+-+++-+=++-+-+22212121211()(42)22(42)(44)x x x x a x x a t a t =+++--+=+++， 22222116(1)QS QT a t =+，则22212222221211||||2(1)t a QS QT QS QT QS QT a t +++==+，当2a =时，上式14=与1t 无关为定值，所以存在(2,0)Q 使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值14． 2．（2019秋•武汉期末）已知圆22:()(1)13()C x a y a R -+-=∈，点(3,3)P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为（1）求实数a 的值；（2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程．【分析】（1）直接利用点和圆的位置关系的应用求出a 的值．（2）利用圆的切线和圆的位置关系式的应用求出圆的方程．【解答】解：（1）由圆22:()(1)13()C x ay a R -+-=∈，得到圆心坐标为(,0)a ，点(3,3)P 在圆内，解得06a <<，由圆的弦的性质可知，点P与圆心的连线与弦垂直，即点P为弦的中点时，过点P 的弦长最短．在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为，解得2a =或4，（符合06)a <<．（2）由（1）可知，2a =或4a =时，因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直，所以，点M 的轨迹为(,1)a所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=．3．（2019•全国）已知点1(2,0)A -，2(2,0)A ，动点P 满足1PA 与2PA 的斜率之积等于14-，记P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设过坐标原点的直线l 与C 交于M ，N 两点，且四边形12MA NA 的面积为l 的方程．【分析】（1）设(,)P x y ，运用直线的斜率公式，化简运算可得所求轨迹方程；（2）设直线l 方程为y kx =，代入C 的方程，求得交点，再由四边形的面积公式，解方程可得斜率k ，进而得到所求方程．【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意可得121224PA PA y y k k x x ==-+-，化为221(2)4x y x +=≠±，可得C 的方程为221(2)4x y x +=≠±；（2）当直线l 的斜率不存在，即直线方程为0x =，可得四边形12MA NA 的面积为14242⨯⨯=，不符题意，舍去；设直线l 方程为y kx =，代入方程2214x y +=，可得22414x k=+，222414k y k =+，由M ，N 关于原点对称，可得四边形12MA NA 的面积为2122114||||24222214M N k y y A A k -==+，解得12k =±，即有直线l 的方程为12y x =±．4．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由．【分析】（1）由条件知点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设圆的方程为M 的方程为222()()(0)x a y a R R -+-=>，然后根据圆与直线20x +=相切和圆心到直线0x y +=的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；（2）设M 的坐标为(,)x y ，然后根据条件的到圆心M 的轨迹方程为24y x =，然后根据抛物线的定义即可得到定点．【解答】解：M 过点A ，B 且A 在直线0x y +=上，∴点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设M 的方程为：222()()(0)x a y a R R -+-=>，则圆心(,)M a a 到直线0x y +=的距离d =又||4AB =，∴在Rt OMB ∆中， 2221(||)2d AB R +=，即224R +=①又M 与2x =-相切，|2|a R ∴+=② 由①②解得02a R =⎧⎨=⎩或46a R =⎧⎨=⎩，M ∴的半径为2或6；（2）线段AB 为M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上，设点M 的坐标为(,)x y ，则222||||||OM OA MA +=，M 与直线20x +=相切，|||2|MA x ∴=+， 22222|2|||||4x OM OA x y ∴+=+=++， 24y x ∴=，M ∴的轨迹是以(1,0)F 为焦点1x =-为准线的抛物线，|||||2|||MA MP x MP ∴-=+- |1|||1||||1x MP MF MP =+-+=-+，∴当||||MA MP -为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为(1,0)，∴存在定点(1,0)P 使得当A 运动时，||||MA MP -为定值．5．（2020•4月份模拟）已知点P 在圆22:9O x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ =．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设(3,0)G -，(3,0)H ，过点(1,0)F 的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点．问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．【分析】（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)，则由432PQ MQ =，得0x x =，0y y ，代入圆22:9O x y +=，可得动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12．【解答】解：（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)，则由432PQ MQ =，得4(0，00)y x x -=-，)y -， 0x x ∴=，0y y ，代入圆22:9O x y +=，可得22198x y +=．∴动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=；（2）直线AG 与BH 的斜率之比为定值12．证明如下：设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=．则1221689m y y m -+=+，1226489y y m -=+． 12124()my y y y ∴=+，则121212112121223(2)23(4)4AG BH k y x y my my y y k x y my y my y y ---===+++ 12112122124()22414()4482y y y y y y y y y y +-+===+++．6．（2020•东莞市模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1N x y -+=，圆心(1,0)N ，点E 在直线1x =-上，点P 满足//PE ON ，NP NE EP EN =，点P 的轨迹为曲线M ．（1）求曲线M 的方程．（2）过点N 的直线l 分别交M 和圆N 于点A 、B 、C 、D （自上而下），若||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，求直线l 的方程．【分析】（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -，求出向量的坐标代入NP NE EP EN =，化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，对直线l 的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，||46AB =≠，不符合题意，当斜率存在时，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可求得k 的值，从而得到直线l 的方程．【解答】解：（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -，则(1,)NP x y =-，(2,)NE y =-，(1,0)EP x =+，(2,)EN y =-，由NP NE EP EN =，得(1x -，)(2y -，)(1y x =+，0)(2，)y -，即22222x y x -++=+，化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得||||2||4AC DB CD +==，所以弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，①当斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，交点(1,2)A ，(1,2)B -，此时||46AB =≠，不符合题意， ②当斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，∴12242x x k +=+，121x x =，显然△216(1)0k =+>恒成立，由抛物线的定义可知，12||26AB x x =++=，∴2446k +=，解得：k = ∴直线l的方程为1)y x =-．7．（2020•福建二模）已知(1,0)F ，点P 在第一象限，以PF 为直径的圆与y 轴相切，动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 在点P 处的切线的斜率为1k ，直线PF 的斜率为2k ，求满足123k k +=的点P 的个数．【分析】（1）设(,)P x y ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y ，由以PF 为直径的圆与y 轴相切得11||22x PF +=，化简即可得到曲线C 的方程；（2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，利用导数的几何意义得到102k y =，022044y k y =-，由123k k +=，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，利用导数得到函数()f x 在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，即满足123k k +=的点P 的个数为2个．【解答】解：（1）设(,)P x y ，0x >，0y >，又(1,0)F ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y，因为以PF 为直径的圆与y 轴相切，所以11||22x PF +=，即12x +，整理得C 的方程为：24(0)y x y =>，（2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，设20(4y P ，00)(0)y y >，则102k y ==，002220004414y y k y y -==--，由123k k +=，即02004234y y y +=-，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，由2()912120f x x x '=--=得，23x =-，或2x =，因为当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，又(0)80f=>，f（2）160=-<，f（4）560=>，()f x的图象连续不断，所以()f x在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足123k k+=的点P的个数为2个．。

专题----圆的综合解答题

专题【圆的综合解答题】一、【中考诠释】圆的综合解答题设置在第25小题，分值9分，难度中等偏上，是每一位考生力争满分的题型之一，所考查的知识相对稳定，考查学生对圆、全等、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力。

从题目本身来看，一般采取很标准的两问式，第一问一般证明直线是圆的切线，或利用切线的性质解决其他问题，第二问会给定一条线段长度和一角的三角函数值，求其他线段长或图形的面积等，综合考场圆与三角形、四边形的知识点。

二、【思想方法】数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、转化思想。

三、【重点知识】1、垂径定理：该定理涉及五个元素：“”、“”、“”、“”、“”。

以其中任意两个元素为条件，可以得出其他三个结论（知二推三）。

注意图形的基本特征及常用辅助线。

2、切线的判定与性质：经过且的直线是圆的切线（判定）。

圆的切线经过切点的半径（性质）。

3、切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，则相等，这一点与圆心的连线。

四、【中考题型解析】※考点:1：圆相关定理的基本应用1、（2014.四川巴中）如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是．2、（2014•北京）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．83、如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是弧AB 上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（）A．12 B．6 C．8 D．4※考点2：切线的判定定理运用【例1】（2014德阳）如图，FG、AC是⊙O的直径，AB是弦，FG⊥AB于点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的,5（1）求线段AP、CB的长；（2）若OE=5，求证：DE是⊙O的切线；（3）若tan∠E=32，求DE的长．[对应训练一：]如图，直线PQ与⊙O相交于点A、B，BC是⊙O的直径，BD平分∠CBQ交⊙O于点D，过点D 作DE⊥PQ，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）连结AD，己知BC=10，BE=2，求sin∠BAD的值．※考点:3：运用垂径定理与圆周角定理进行有关计算与证明【例2】已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧AD上到一点E，使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求GE的长．[对应训练二：]如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是的弧AD 中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD ．(1)求证：P 是线段AQ 的中点；(2)若⊙O 的半径为5，AQ =，求弦CE 的长．※考点4：圆的切线的性质基本运用【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，连接DE 并延长DE 交BC的延长线于点F ．（1）求证：BD =BF ；（2）若CF =1，cos B =35，求⊙O 的半径．[对应训练三：]如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连接AC 交⊙O 于点D ，E 为上一点，连结AE ，BE ，BE 交AC 于点F ，且AE 2=EF •EB ．（1）求证：CB =CF ；（2）若点E 到弦AD 的距离为1，cos ∠C =，求⊙O 的半径． 15235【中考真题体验】1、已知，如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若DE =6cm ，AE =3cm ，求⊙O 的半径．2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点N ，点M 在⊙O上，∠1=∠C ．（1）求证：CB ∥MD ；（2）若BC =4，sin M =，求⊙O 的直径．3、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，直线MN 经过点C ，过点A 作直线MN 的垂线，垂足为点D ，且∠BAC =∠DAC ．（1）猜想直线MN 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若CD =6，cos ∠ACD =35，求⊙O 的半径．4、（2013•广安）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线．（2）如果⊙O 的半径为5，sin ∠ADE =45，求BF 的长．5、如图的⊙O 中，AB 为直径，OC ⊥AB ，弦CD 与OB 交于点F ，过点D 、A 分别作⊙O 的切线交于点G ，并与AB 延长线交于点E ．23（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF:OB=1:3，⊙O的半径为3，求AG的长．。

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ．这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ．将55=d 代入方程得1±=b ．又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

高考数学专题38圆与方程黄金解题模板

专题38 圆与方程【高考地位】圆的方程是高考中的热点问题之一，解决这类问题主要以方程思想和数形结合的方法来处理，求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，还应注意恰当运用平面几何知识对其进行求解，在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题形式考查，其试题难度属中档题. 【方法点评】类型一求圆的方程使用情景：确定一个圆的方程解题模板：第一步根据已知条件恰当设出圆的方程的形式；第二步结合题意列出方程求出圆的方程对应的参数；第三步得出结论.例1 以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=同时相切的圆的标准方程为（）A ．22(1)(1)5x y -+-= B ．22(1)(1)5x y +++=C ．22(1)5x y -+=D ．22(1)5x y +-= 【答案】A .【变式演练1】已知圆心()2,3-，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（） A ．224680x y x y +-++= B ．224680x y x y +-+-= C ．22460x y x y +--= D ．22460x y x y +-+= 【答案】D 【解析】试题分析：如下图所示，由于直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，=所以圆的方程为()()222313x y -++=，化简得22460x y x y +-+=.考点：圆的方程.【变式演练2】与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是（）A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--= D ．224680x y x y ++-+= 【答案】B考点：1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的.【变式演练3】已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为A ．()()22112x y ++-= B ．()()22112x y -++= C ．()()22112x y -+-= D ．()()22112x y +++= 【答案】B.考点：圆的标准方程．类型二与圆有关的最值问题使用情景：求与圆有关的最值问题解题模板：第一步把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义进行分析；第二步运用数学结合及转化的数学思想进行求解；第三步得出结论.例2 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. 求：(1)yx的最大值和最小值； (2) y x -的最小值；(3）22x y +的最大值和最小值.【答案】（1）max min k k ==（2）2-；（3）2222max min ()7)7x y x y +=++=-【点评】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见，要注意熟记：(1)形如m ＝y －bx －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.【变式演练4】已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心1(1)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心5(4)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故P N P M -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+;5(4)F ，关于x 轴的对称点)5(4F '-，，5PF PE PF PE EF -='-≤'==，故4PF PE -+ 的最大值为549+= ，故选：B ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM+的最小值为1PE -，故P N P M -最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值．【变式演练5】已知圆(()22C :11x y -+-=和两点()()(),0,,00A t B t t ->，若圆C 上存在点P ，使得090APB ∠=，则t 的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D 【解析】试题分析：由090APB ∠=得点P 在圆222x y t +=上，因此由两圆有交点得|t 1|1|t 1|2113OC t t t -≤≤+⇒-≤≤+⇒≤≤，即t 的最小值为1.选D.考点：两圆位置关系【变式演练6】如果圆22()()4x a y a -+-=上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数a 的取值范围为( )A. (-B. (0,C. ((0,-⋃D. (1)(1,--⋃ 【答案】C类型三与圆有关的轨迹问题使用情景：与圆有关的轨迹问题解题模板：第一步结合题意恰当的选择求圆有关的轨迹问题的方法如直接法、定义法、几何法和代入法等；第二步得出结论.例3 点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（） A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y ++-= 【答案】A【变式演练7动点P 与定点()()1010A B -，，，的连线的斜率之积为1-，则点P 的轨迹方程是（） A ．221x y += B ．()2210x y x +=≠ C ．()2211x y x +=≠±D ．y =【答案】C考点：直接法求轨迹．【变式演练8】点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连结的线段的中点的轨迹方程（）A ．()()22211x y -++=B ．()()22214x y -++= C ．()()22424x y ++-= D ．()()22211x y ++-= 【答案】A 【解析】试题分析：设中点坐标为()y x A ,，那么圆上一点设为()y x B '',，满足⎩⎨⎧=-'=+'y y x x 2224，⎩⎨⎧+='-='2242y y x x ，根据条件422='+'y x ，代入后得到()()4224222=++-y x ，化简为：()()11222=++-y x ，故选A.考点：相关点法求轨迹方程【高考再现】1. 【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .【答案】22(1)(1x y ++-=【解析】试题分析：设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-，1cos 21AC AF CAF AC AF⋅∠===-⋅，m =C 与y 轴得正半轴相切，则取m =所求圆得圆心为(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++-=.【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是0120CAF ∠=，会不会用向量的坐标表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为()1,C m -，那么方程就是()()2211x y m ++-=，若能用向量的坐标表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了.2.【2016高考山东文数】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（）（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离【答案】B 【解析】考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3.【2016高考北京文数】圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为（）【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d == C. 考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点),(00y x 到直线b kx y +=(即0=--b kx y )的距离公式2001||kb kx y d +--=记忆容易，对于知d 求k ，b 很方便.4. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知直线l ：60x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________. 【答案】45. 【2016高考浙江文数】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(2,4)--；5．【解析】试题分析：由题意22a a =+，12a =-或，1a =-时方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，2a =时方程为224448100x y x y ++++=，2215()(1)24x y +++=-不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得a 的方程，解得a 的值，一定要注意检验a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误．6. 【2016高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=的距离为5，则圆C 的方程为__________. 【答案】22(2)9.x y -+=考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程． 7. 【2016高考新课标1文数】设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若,则圆C的面积为 . 【答案】4π考点：直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到.【反馈练习】1．【2018重庆市第一中学模拟】若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为（）A. 1±B. 4±C. 【答案】B【解析】圆的圆心为()1,3-，半径2r =，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心到直线的距离为11=，解得a =. 2．【2018重庆第一中学模拟】直线20mx y -+=与圆229x y +=的位置关系是（） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定【答案】A【解析】圆229x y +=的圆心为()0,0 半径为3，直线恒过点A ()0,2，而220249+=<,所以点A 在圆的内部，所以直线20mx y -+=与圆229x y +=相交. 故选A3. 【2018河北衡水第一中学模拟】圆()()221:124C x y ++-=与圆()()222:324C x y -+-=的公切线的条数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C4．【2018四川（大教育联盟）】若无论实数a 取何值时，直线10ax y a +++=与圆22220x y x y b +--+=都相交，则实数b 的取值范围为（）A. ()2-∞，B. ()2+∞，C. ()6-∞-，D. ()6-+∞，【答案】C【解析】∵x 2+y 2﹣2x ﹣2y+b=00，即b ＜2．∵直线ax+y+a+1=0过定点（﹣1，﹣1）．∴点（﹣1，﹣1）在圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y+b=0内部，∴6+b＜0，解得b ＜﹣6． ∴b 的范围是（﹣∞，﹣6）．故选C ．5．【20180y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于( )C. -D. -【答案】D【解析】圆的方程（x-1）2+y2=3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径，所以m m===-故选D6．【2018海南海口市第一中学模拟】设直线y2x a=+与圆22220C x y ay+--=：相交于A、B两点，若AB=则圆C的面积为（）A. 4πB. 2πC. 9πD. 22π【答案】A7．【2018重庆市第一中学模拟2】在平面直角坐标系xOy中，点()0,3A，直线l：24y x=-与直线m：1y x=-的交点为圆C的圆心，设圆C的半径为1．（1）过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）过点A作斜率为12-的直线l交圆于A，B两点，求弦AB的长．8．【2018黑龙江佳木斯市第一中学模拟】圆C 经过()2,4A -、()3,1B -两点，但圆C 不过原点，且它在x 轴上截得的弦长等于6，求圆的方程．【解析】线段AB 的中垂线的方程： 1y x =+，设220x y Dx Ey F ++++=，∴20240,{1030, 1,22D E F D E F E D -++=+-+=-=-+解得22680x y x y +--=（舍）或222480x y x y +---=．9．已知圆C 过两点()3,3M -， ()1,5N -，且圆心C 在直线220x y --=上．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点()2,5-且与圆C 有两个不同的交点A ， B ，若直线l 的斜率k 大于0，求k 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l 使得弦AB 的垂直平分线过点()3,1P -，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】（I ）MN 的垂直平分线方程为：x ﹣2y ﹣1=0与2x ﹣y ﹣2=0联立解得圆心坐标为C （1，0） R 2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25 ∴圆C 的标准方程为：（x ﹣1）2+y 2=25（II ）设直线l 的方程为：y ﹣5=k （x+2）即kx ﹣y+2k+5=0，设C 到直线l 的距离为d ，则d=由题意：d＜5 即：8k2﹣15k＞0∴k＜0或k＞又因为k＞0∴k的取值范围是（，+∞）（III）设符合条件的直线l存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0 ∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k﹣2=0 即k=2∵k=2＞故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y﹣1=0.10．【2018陕西黄陵中学模拟】已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．解得a ＝1-或a ＝1 (舍去)．综上所述，a ＝1. 11.已知点P 在圆2284110x y x y +--+=上，点Q 在圆224210x y x y ++++=上，则PQ 的最小值是__________．【答案】5考点：1、圆的方程及圆的几何性质；2、两点间的距离公式及最值问题. 12. 已知圆222:(0)O x y r r +=>与直线34150x y -+=相切. （1）若直线225l y x =-+与圆O 交于,M N 两点，求MN ；（2）设圆O 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交圆O 于,B C 两点，且12,-3k k =，试证明直线BC 恒过一定点，并求出该定点的坐标.【解析】解：（1）由题意知，圆心O 到直线34150x y -+=的距离3d r ===，所以圆229O x y +=：.又圆心O 到直线:25l y x =-+的距离1d ==所以4MN ==.（2）易知()30A -，,设()()1122,,,B x y C x y ，则直线()1:3AB y k x =+，13. 【2018吉林舒兰市第一高级中学模拟2】已知圆心为C 的圆经过()2,4A 、()3,5B 两点，且圆心C 在直线220x y --=上．（1）求圆心为C 的圆的方程；（2）若直线3y kx =+与圆总有公共点，求实数k 的取值范围．【解析】（1）由于AB 的中点为59,22D ⎛⎫⎪⎝⎭， 1AB k =，则线段AB 的垂直平分线方程为7y x =-+，。

高考数学命题热点名师解密：专题(25)圆的解题方法(文)(含答案)

专题26 圆的解题方法一．【学习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.3.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.二．方法规律总结1.在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元一次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化.如果问题中给出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.2.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.4.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解.5.求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：(1)几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出.(2)代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出.(以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得).6.求直线被圆截得的弦长(1)几何方法：运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2·r2－d2.(2)代数方法：运用韦达定理.弦长|AB|＝[（x A＋x B）2－4x A·x B]（1＋k2）.7.注意利用圆的几何性质解题.如：圆心在弦的垂直平分线上，切线垂直于过切点的半径，切割线定理等，在考查圆的相关问题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题. 三．【典例分析及训练】例1．圆：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，，设的坐标为,则, ,,因为，所以，即，又，联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.故答案为B.练习1．已知圆上的动点和定点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，取点，连接，，，，，，，因为,当且仅当三点共线时等号成立,的最小值为的长，，，故选D.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.练习2．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.练习3．直线l是圆C1：（x+1）2+y2=1与圆C2：（x+4）2+y2=4的公切线，并且l分别与x轴正半轴，y轴正半轴相交于A，B两点，则△AOB的面积为A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设OA=a，OB=b，由三角形相似可得：，得a=2．再由三角形相似可得：，解得b=．∴△AOB的面积为．故选A．（二）圆的一般方程例2．若由方程x2－y2＝0和x2＋(y－b)2＝2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是( )A．b≥2或b≤－2 B．b≥2或b≤－2 C．－2≤b≤2 D．－2≤b≤2【答案】B练习1．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.练习2．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1 C．a=–1 D．a=2【答案】C【解析】若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则，解得a=–1．故答案为：C（三）点与圆的位置关系例3．例3．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是A． B． C． D．【答案】B练习 1.已知点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，四条直线围成的四边形面积，故选A.练习2．设点M（3，4）在圆外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，要使圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上存在点N，使得∠OMN＝，则∠OMN的最大值大于或等于时一定存在点N，使得∠OMN＝，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时OM＝5，ON＝，又点M（3，4）在圆x2+y2＝r2（r＞0）外，∴实数r的取值范围是．故选：C．（四）圆的几何性质例4．如图，在平面直角坐标系内，已知点，，圆C的方程为，点P为圆上的动点．求过点A的圆C的切线方程．求的最大值及此时对应的点P的坐标．【答案】（1）或；（2）最大值为，.【解析】当k存在时，设过点A切线的方程为，圆心坐标为，半径，，解得，所求的切线方程为，当k不存在时方程也满足；综上所述，所求的直线方程为：或；设点，则由两点之间的距离公式知，要取得最大值只要使最大即可，又P为圆上的点，，，此时直线OC：，由，解得舍去或，点P的坐标为练习1．已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线相切，与y轴交于M，N两点，且．Ⅰ求圆C的标准方程；Ⅱ过点的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若时，求直线l的方程；Ⅲ已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得？若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I）；（II）或；（III）存在，或，满足题意.【解析】Ⅰ由题意知圆心，且，由知中，，，则，于是可设圆C的方程为又点C到直线的距离为，所以或舍，故圆C的方程为，Ⅱ设直线l的方程为即，则由题意可知，圆心C到直线l的距离，故，解得，又当时满足题意，因此所求的直线方程为或，Ⅲ方法一：假设在x轴上存在两定点，，设是圆C上任意一点，则即，则，令，解得或，因此存在，，或，满足题意，方法二：设是圆C上任意一点，由得，化简可得，对照圆C的标准方程即，可得，解得解得或，因此存在，或，满足题意．练习2．设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则的最大值为A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，函数y，即（x﹣1）2+y2＝4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下半部分，又由点Q（2a，a﹣3），则Q在直线x﹣2y﹣6＝0上，当|PQ|取得最小值时，PQ与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，此时有2，解可得a＝1，圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+n）2+（y+2）2＝9相外切，则有3+2＝5，变形可得：（m+n）2＝25，则mn，故选：C．练习3．已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵||＝||＝1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．∴的最大值．故选：C．练习4．设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心为M(0,6)，半径为，设，则，即，∴当时，，故的最大值为.故选C.（五）轨迹问题例 5.已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O 为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）令，则当，即时面积最大为2又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令故直线的方程为：（3）设点，由于点则，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以练习1．已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，求以弦GH 为直径的圆的面积最小值及此时直线m的方程.学-科网（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.（O 为坐标原点）【答案】（1）；（2）圆的面积最小值（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）由题意知，原心到直线的距离∴当即当时，弦长最短，此时圆的面积最小，圆的半径，面积又，所以直线斜率，又过点故直线的方程为：（3）设点，由于点法一：所以，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程. 当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以法二：∴从而练习2．四棱锥P-ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．球的一部分 D．抛物线的一部分【答案】A练习3．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点，设点的坐标，若，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P，且l1⊥l2，∴P在线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02＝1，∴1，故A错误，B正确；3x02+2y02＞2x02+2y02＝2（x02+y02）＝2＞1，故C正确；由圆x2+y2＝1在P（x0，y0）的切线方程为：x0x+y0y＝1，如图，∵坐标原点O（0，0）与点（）在直线x0x+y0y＝1的同侧，且x0×0+y0×0＝0＜1，∴，故D正确．∴不正确的选项是A．故选：A．练习4．已知圆C： (为锐角) ,直线l：y=kx,则A．对任意实数k与,直线l和圆C相切 B．对任意实数k与,直线l和圆C有公共点C．对任意实数k与,直线l和圆C相交 D．对任意实数k与,直线l和圆C相离【答案】B【解析】由题意，圆心坐标为：，所以圆心的轨迹方程为：，所以圆心与原点的距离为1，所以圆必过原点.由于直线过原点，所以直线与圆必有交点.故选B.（六）直线与圆的位置关系例6.已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线上一点，圆与轴相切（为圆心），且，关于点对称.（1）求圆和抛物线的标准方程；（2）过的直线交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：.【答案】（1）的标准方程为.的标准方程为（2）见证明【解析】（1）设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为.已知在直线上，故可设因为，关于对称，所以，解得所以的标准方程为.因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为.（2）由（1）知，直线的斜率存在，设为，且方程为则到直线的距离为，所以，由消去并整理得：.设，，则，，.所以因为，，，所以所以，即.练习1．已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）直线的斜率，的中点坐标为直线的方程为（2）设圆心，则由点在上，得．①又直径，，．②由①②解得或，圆心或圆的方程为或练习2．已知直线，曲线，若直线与曲线相交于、两点，则的取值范围是____；的最小值是___.【答案】【解析】直线l：kx﹣y k＝0过定点（1，），曲线C为半圆：（x﹣2）2+y2＝4（y≥0）如图：由图可知：k OP，k PE，∴；要使弦长AB最小，只需CP⊥AB，此时|AB|＝22，故答案为：[，]；．练习3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2＝1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为_____．【答案】【解析】如图所示，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．∵OM＝1，OA＝，OK＝2，∴，∵∠MOK＝∠AOM，∴△MOK∽△AOM，∴，∴MK＝2MA，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|，在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，∵B（1，1），K（﹣2，0），∴|BK|＝.故答案为：．练习4．已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为_____，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为_____．【答案】0或2 ．（七）圆与圆的位置关系例1．在平面直角坐标系中，已知点和直线：，设圆的半径为1，圆心在直线上.（Ⅰ）若圆心也在直线上，过点作圆的切线.（1）求圆的方程；（2）求切线的方程；（Ⅱ）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）(1)或（2）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）(1)由得圆心为，∵圆的半径为1，∴圆的方程为：.（2）由圆方程可知过的切线斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即，∴，解之得：或，∴所求圆的切线方程为：或.即或.（Ⅱ）∵圆的圆心在直线：上，设圆心为，则圆的方程为：，又∵，∴设为，则整理得：，设为圆,∴点应该既在圆上又在圆上∴圆和圆有公共点，∴,即：，解之得：即的取值范围为：.练习1．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，记外接圆为圆.(1)求圆的方程；(2)在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在，且个数为2【解析】(1)设外接圆的方程为,将代入上述方程得：解得则圆的方程为(2)设点的坐标为，因为，所以化简得：.即考查直线与圆的位置关系点到直线的距离为所以直线与圆相交，故满足条件的点有两个。

问题8.1与圆有关的最值问题-最新高三数学专题讲解(解析版)

精选问题一与圆有关的最值问题经过对近几年的高考试题的剖析比较发现, 高考对直线与圆的考察, 体现逐年加重的趋向, 与圆有关的最值问题 , 更是高考的热门问题. 因为圆既能与平面几何相联系, 又能与圆锥曲线相联合, 命题方式比较灵巧, 故与圆有关的最值问题备授命题者的喜爱. 本文就此问题从内容和办理方法长进行概括, 以帮助同学们攻陷这个难点 .一、与圆有关的最值问题的联系点与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式 k ＝ tan ( ≠90°) 将直线的斜率与倾斜角密切联系到一同, 经过正切函数的图象能够解决已知斜率的范围探究倾斜角的最值, 或许已经倾斜角的范围探究斜率的最值.办理方法：直线倾斜角的范围是[0, π), 而这个区间不是正切函数的单一区间, 所以依据斜率求倾斜角的范π与π, 当α∈ 0，π＋围时,要分 0，，π 两种状况议论．由正切函数图象能够看出时 , 斜率k∈[0,2 2 2ππ，π时 , 斜率k∈( －∞ ,0)∞) ；当α＝2时 , 斜率不存在；当α∈2 ．【例 1】坐标平面内有相异两点A(cos ,sin 2 ), B(0,1) ,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A．, B．0, 3 , C．0, 3 , D ．, 34 4 4 4 4 4 4 4【答案】 C【评论】由斜率取值范围确立直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要擅长利用数形联合的思想, 要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时 , 需依照正切函数y＝ tan x的单一性求k的范围．【小试牛刀】【2017 届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若过点P 23， 2 的直线与圆 x2 y2 4 有公共点 , 则该直线的倾斜角的取值范围是（）A． 0， B ． 0 ，6 3C. 0， D ． 0 ，6 3【答案】 B【分析】当过点P(23, 2) 的直线与圆 x2 y2 4 相切时,设斜率为k,则此直线方程为y+2=k( x 2 3) ,即 kx y 2 3k 2 0 . 由圆心到直线的距离等于半径可得| 2 3k 2 |, 求得k 221k 0或k 3 ,故直线的倾斜角的取值范围是[0, ] ,所以B选项是正确的.3与距离有关的最值问题在运动变化中 , 动点到直线、圆的距离会发生变化, 在变化过程中 , 就会出现一些最值问题, 如距离最小 , 最大等 . 这些问题经常联系到平面几何知识, 利用数形联合思想可直接获得有关结论, 解题时即可利用这些结论直接确立最值问题. 常有的结论有：（ 1）圆外一点A到圆上距离近来为AO r ,最远为 AO r ；（ 2）过圆内一点的弦最长为圆的直径, 最短为该点为中点的弦；（ 3）直线与圆相离 , 则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离 d r ,近来为 d r ；（ 4）过两定点的全部圆中, 面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.（ 5）直线外一点与直线上的点的距离中, 最短的是点到直线的距离；（ 6）两个动点分别在两条平行线上运动, 这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例 2】过点M2y225 交于A,B两点, C为圆心,当ACB 最小时 , 1,2 的直线l与圆C：x 3 4直线 l 的方程是．答案 : x y 3 0分析：要使ACB 最小 , 由余弦定理可知 , 需弦长AB 最短 . 要使得弦长最短 , 借助结论可知当M 1,2 为弦的中点时最短 . 因圆心和M 1,24 21,则所求的直线斜率为1,由点斜式可得所在直线的 k13y 1 (x 2) x y 3 0 .【评论】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般依据长度或距离的几何意义, 利用圆的几何性质数形联合求解．本题经过两次转变, 最后转变为求过定点的弦长最短的问题.【例 3】【 2016-2017 学年湖北大冶市实验中学高二上学期月考】若圆 C ： x2 y 2 2x 4 y 3 0 对于直线 2ax by 6 0 对称,则由点 ( a,b) 向圆C所作的切线长的最小值是（）A．2 B ． 3 C．4 D．6【答案】 C【评论】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题, 解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直, 从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【 2016 届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系x y 中,圆C1 : x 1 2 225 ,圆 C 2 : x2y 302上存在一点 P ,使得过点 P 可作一y 6 17 r 2．若圆 C2条射线与圆C1挨次交于点, , 知足 2 , 则半径r的取值范围是（）A．5,55 B ． 5,50 C ． 10,50 D ． 10,55【答案】 A【分析】由题 , 知圆C 的圆心为 ( 1,6) ,半径为5,圆 C 的圆心为(17,30) , 半径为r , 两圆圆心距为1 2(17 1)2 (30 6)2 30 ,如图,可知当 AB 为圆 C1的直径时获得最大值, 所以当点P位于点P1所在地点时 r 获得最小值,当点 P 位于点 P2所在地点时 r 获得最大值．因为| AB |max 10 ,|PA| 2|AB|, 所以r min 5 , r max55 ,应选A．[根源: ZXXK]与面积有关的最值问题与圆的面积的最值问题 , 一般转变为追求圆的半径有关的函数关系或许几何图形的关系, 借助函数求最值的方法 , 如配方法 , 基本不等式法等求解, 有时能够经过转变思想 , 利用数形联合思想求解 .【例 4】在平面直角坐标系中, A, B分别是x轴和y轴上的动点 , 若以AB为直径的圆C与直线2x y 4 0 相切,则圆C面积的最小值为（）A. 4B. 3C. (6 2 5)D. 55 4 4【答案】 A【分析】设直线l ：2 x y 4 0.因为|OC| 1| AB | d C l , 所以圆心 C 的轨迹为以 O为焦点 , l为准线的2抛物线 . 圆 C 半径最小值为1d O l 1 4 2 , 圆C面积的最小值为( 2 ) 2 4 .选 A.2 2 5 5 5 5【例 5】动圆 C经过点F (1,0) , 而且与直线x 1 相切 , 若动圆 C 与直线y x 2 2 1总有公共点,则圆C 的面积（）A．有最大值8 B ．有最小值 2 C ．有最小值3 D ．有最小值 4【答案】 D【分析】设圆心为(a,b) ,半径为 r , r |CF | | a 1| ,即 (a 1)2 b2 ( a 1)2,即 a 1b2,∴圆心为4(1b2 , b) , r 1 b2 1,圆心到直线 y x 2 2 1的距离为4 4b2| 4 b 2 2 1| b21,∴ b 2(2 2 3) 或b 2 ,当 b 2d 2 4时 , r min 1 4 1 2 ,∴ S min r 2 4 .4【小试牛刀】【 2016-2017 学年广东潮阳黄图盛中学高二上期中】已知点A( 2,0) ,B (0, 2), 点 P是圆(x 1)2 y2 1 上随意一点 , 则PAB 面积的最大值是（）B. 3 2C.3 2【答案】 B二、与圆有关的最值问题的常用的办理方法数形联合法办理与圆有关的最值问题, 应充足考虑圆的几何性质, 并依据代数式的几何意义, 借助数形联合思想求解.2 2【例 6】已知实数x, y 知足方程 x ＋ y －4x＋1＝0,求：y(1)x的最大值和最小值；(2)y－ x 的最大值和最小值；(3)x2＋ y2的最大值和最小值．【剖析】 (1) 利用斜率模型； (2) 利用截距模型； (3) 利用距离模型【分析】原方程变形为( x－ 2) 2＋y2＝ 3, 表示以 (2,0) 为圆心 , 半径r＝3的圆．y(1) 设x＝ k,即 y＝kx,由题知,直线 y＝kx 与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径 3.|2 k－ 0| 2 y∴k2＋1 ≤ 3. ∴k ≤3, 即－3≤k≤ 3, ∴x的最大值为3, 最小值为－ 3.(2) 设 y－x＝ b,则当直线 y－ x＝ b 与圆相切时, b 取最值,由|2 － 0＋b|＝3, 得b＝－ 2±6, 2∴y－ x 的最大值为6－2,最小值为－2－ 6.(3) 令d＝x2＋y2表示原点与点 ( x, y) 的距离 ,∵原点与圆心(2,0) 的距离为2, ∴d max＝ 2＋3, d min＝ 2－ 3.∴ x2＋ y2的最大值为(2＋3) 2＝ 7＋ 4 3, 最小值为 (2 －3) 2＝ 7－ 4 3.【评论】研究与圆有关的最值问题时, 可借助图形的性质, 利用数形联合求解．常有的最值问题有以下几种y－ b种类：①形如μ＝x－a形式的最值问题, 可转变为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题 , 可转变为动直线截距的最值问题；③形如 ( x－a) 2＋( y－b) 2形式的最值问题 , 可转变为动点到定点的距离的平方的最值问题．【小试牛刀】【 2017 届河北武邑中学高三周考】已知直线l : x y 6 0 和曲线M : x2 y 2 2x 2 y 2 0 ,点 A 在直线l上,若直线AC与曲线 M 起码有一个公共点 C ,且MAC 300,则点 A 的横坐标的取值范围是（）A．0,5 B ．1,5C．1,3 D ．0,3【答案】 B【分析】设 A x0 ,6 x0 d AM sin30 2 2, 依题意有圆心到直线的距离 2 ,即x0 1 5 x016 ,解得 x0 1,5 .成立函数关系求最值依据题目条件列出对于所求目标函数的关系式, 而后依据关系的特色采用参数法、配方法、鉴别式法等进行求解 .【例 7】设P,Q分别为x2 y 6 2 2 和椭圆x2y2 1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是（）10A.52B.462C. 7 2D.6 2【答案】 D[ 根源:]【分析】依题意P, Q 两点间的最大距离能够转变为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上; 圆的半径 2 .设Q( x, y) . 圆心到椭圆的最大距离dx 2( y 6)29 y 2 12 y 469( x 2 )2 50 5 2.所3以 P,Q 两点间的最大距离是 6 2.应选 D.2.3 利用基本不等式求解最值假如所求的表达式是知足基本不等式的构造特色 , 如 a b 或许 a b 的表达式求最值 , 经常利用题设条件建立两个变量的等量关系 , 从而求解最值 . 同时需要注意 , “一正二定三相等”的考证.【例 8】设 mR , 过定点 A 的动直线 x my0 和过定点 B 的动直线 mx y m 3 0交于点 P( x,y) ,则 |PA | |PB |的最大值是.【剖析】依据 | PA |2 | PB |2 | AB |2 10 , 可用均值不等式求最值【分析】易得 A(0,0), B(1,3) . 设 P( x, y) , 则消去 m 得： x 2y 2x 3 y 0 , 所以点 P 在以 AB 为直径的圆上, PAPB , 所以 | PA|2|PB|2| AB|210, |PA| |PB ||AB |25 .2【小试牛刀】【 2017 届河北武邑中学高三周考】设 m, nR ,若直线 m 1 xn 1 y2 0 与圆221相切 , 则 m n 的取值范围是（x 1y 1）A ． 1 3,13B． ,1 31 3,C ． 22 2,2 2 2D．,22 22 2 2,【答案】 D【分析】直线与圆相切, 圆心到直线的距离等于半径 , 即m n1, 化简得 mn m n 2 ,m 1 2n 21m n2由基本不等式得m n2 mn, 令 tm n , 则 t 24t 8 0,解得2t ,2 2 2 2 2 2,.【迁徙运用】1．【 2017 河北优秀结盟上学期月考】由直线 y ＝ x ＋ 1 上的一点向圆 (x －3) 2＋ y 2＝ 1 引切线 , 则切线长的最小值为（）B. 2 2C.7【答案】 C3,0 ，r=1 ,圆心到直线x y 1 0 3 1【分析】圆的圆心为的距离为 d 2 2 ,所以由勾股定理可22 212 7知切线长的最小值为 22【． 2017 福建福州外国语上期末模】已知平面上两点 A a,0 , B a,0 a 0 ,若圆2 2x 3 y 44上存在点 P ,使得APB 90 , 则a的取值范围是（）A．3,6 B ．3,7C. 4,6 D ． 0,7【答案】 C3．【 2017 届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】假如直线ax by 7 a 0 ，b 0 和函数f x 1 log m x m 0 ，m 1 的图象恒过同一个定点 , 且该定点一直落在圆x b2y a 121 25 的内部或圆上 , 那么b的取值范围是（）aA．3，4B ． 0，34 ， C. 4 ， D ． 0，3 4 3 4 3 3 4【答案】 A【分析】依据指数函数的性质, 可知函数f x1 log m x ， m 0 ，m 1 恒过定点 1 ，1 , 将点1，1 代入a b 7ax by 7,可得 a b 7 ,因为1，1一直落在所给圆的内部或圆上,所以 a 2 b 2 25 ,由a2 b2 25,解a 3 a 4 b得b4 或 b3, 这说明点 a ，b 在以 3 ，4 和 4，3 为端点的线段上运动, 所以 a 的取值范围是3 ， 443.选A.4．【 2017 届湖南师大附中高三上学期月考四】设直线l ： 3x 4 y a 0 , 圆 C ： ( x 2)2y 22,若在圆C 上存在两点 P , Q , 在直线 l 上存在一点 M , 使得PMQ90 , 则 a 的取值范围是（）A ．C ．18,616,4B ． 6 5 2,6 5 2D．6 5 2, 6 5 2【答案】 C【分析】圆 C 半径为 2 , 从直线上的点向圆上的点连线成角 , 当且仅当两条线均为切线时 , 所成的角最大 ,此时四边形 MPOQ 为正方形 , 边长为2 , 所以对角线 OM2 , 故圆心 C 到直线 l 的距离 d 2 , 所以有3 2 a6 a4,选 C.32422 , 求出 16 a55．【 2017 湖北宜昌葛洲坝中学上期中】若圆 C ：x 2＋ y 2－ 2 2 x － 2 2 y － 12＝ 0 上有四个不一样的点到直线 l ：x － y ＋ c ＝0 的距离为 2, 则 c 的取值范围是（）[ 根源: ]A ． [ － 2,2]B ．[ －2 2,2 2 ]C ．（－ 2,2 ） D．（－ 22,2 2）【答案】 D【分析】圆 C ： x 2＋ y 2－ 2 2 x － 2 2 y － 12＝ 0, 配方为：22x2y216 , [根源:]∵圆上有四个不一样的点到直线l ： x-y+c=0 的距离为 2,∴圆心到直线 l 的距离 dc2 ,2解得2 2 c 2 26．【 2017 届重庆市一中高三上学期期中】设A, B在圆x 2y 21 上运动 , 且AB3, 点 P在直线3x 4 y12 0PA PB上运动,则的最小值为（）． 3B．4C． 17D． 19A55【答案】 D7．【 2017 届四川省高三高考适应性测试】已知圆的方程为x 2 y 26x 0 , 过点 1 ，2 的该圆的全部弦中 , 最短的弦长为（）A.1B.12【答案】 C【分析】 x2y 2 6x 0 ( x 3) 2 y 29, 最短的弦长为29 (3 1)2222,选 C.8．【 2017 重庆万州二中上期中】已知圆C : x 2 y 2 8x 150, 直线 y kx 2 上起码存在一点P ,使得以点 P 为圆心 , 半径为 1的圆与圆 C 有公共点 , 则 k 的最小值是（）A.4B.534C.3D.553【答案】 A【分析】因为圆 C 的方程为 x 2 y 28x 15 0 , 整理得 ( x4) 2 y 2 1 , 所以圆心为 C (4,0) , 半径为r 1, 又因为直线 y kx 2 上起码存在一点 P , 使得以点 P 为圆心 , 半径为 1的圆与圆 C 有公共点 , 所以点C 到直线 y kx 2 的距离小于或等于4k 0 22 , 化简 3k2 4k4 k0,所以2,所以 k 2 10,解得3k 的最小值是4,应选 A.39．【 2016 学年四川省雅安中学期中】已知点P （ t,t ）,t∈R,点 m 是圆 x 2 ( y1)21 上的动点 , 点 N 是圆14(x 2) 2 y 2上的动点 , 则 PNPM 的最大值是（）4B．2 C ．3 D ．【答案】 B【分析】如图：圆 x 2( y 1)21 的圆心 E （0,1 ） , 圆的圆心 F （ 2,0 ） , 这两个圆的半径都是 1 4 2要使 |PN||-|PM| 最大 , 需 |PN| 最大 , 且 |PM| 最小 , 由图可得 ,|PN| 最大值为 |PF|+ 1 ,12 PM|的最小值为 |PE|-2PN PM =|PF|-|PE|+1, 点 P （ t,t ）在直线 y=x 上 ,E （ 0,1 ）对于 y=x 的对称点 E ′（ 1,0 ） , 直线 FE ′与 y=x 的交点为原点 O,则|PF|-|PE|=|PF|- |PE ′| ≤|E ′F|=1, 故 |PF|-|PE|+1的最大值为 1+1=2, 故答案为B ．10．【 2016 届浙江省临海市台州中学高三上第三次统练】已知 P( x, y) 是直线 kx y 4 0(k 0) 上一动点 ,PA 、 PB 是圆 C ： x 2 y 22 y A B 是切点 , 若四边形 PACB 的最小面积是 2, 则 k的0 的两条切线 , 、值为（）A．3B．21C．22D．2 2【答案】 D【分析】圆 C 的方程可化为x2 ( y 1)2 1 ,因为四边形PACB的最小面积是 2 ,且此时切线长为 2 ,故圆心0,1 到直线kx y 4 0 的距离为 5 ,即 5 5 ,解得k 2 ,又 k 0 ,所以 k 2 ．k 2111．【 2016 湖北宜昌一中高二上学期期中】．直线3ax by 1(a, b R) 与圆O1: x2 y2 2 订交于A,B 两点 , 且△ AOB是直角三角形（ O是坐标原点） , 则点 P（a,b ）与点（ 0,1 ）之间距离的最大值是A．错误！未找到引用源。

2022年高考数学(文科)二轮复习名师导学案：专题五第1讲直线与圆 Word版含答案

第1讲直线与圆高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系推断、简洁的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真题感悟1.(2022·全国Ⅱ卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A.－43B.－34C. 3D.2解析圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1，4). 由题意得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43. 答案 A2.(2022·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切D.相离解析圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，d ＝a2，所以有a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距为2，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交. 答案 B3.(2022·全国Ⅰ卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.解析圆C 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，点C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.答案 4π4.(2021·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________.解析由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a ). 又F (1，0)，所以AC → ＝(－1，0)，AF →＝(1，－a ).由题意知AC → 与AF → 的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a2＝－12，解得a ＝ 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1 考点整合1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F 2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离. (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来争辩位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.热点一直线的方程【例1】 (1)设a ∈R ，则“a ＝－2”是直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2021·山东省试验中学二模)过点P (2，3)的直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB 的最小值为________.解析 (1)当a ＝－2时，l 1：－2x ＋2y －1＝0，l 2：x －y ＋4＝0，明显l 1∥l 2. 当l 1∥l 2时，由a (a ＋1)＝2且a ＋1≠－8得a ＝1或a ＝－2，所以a ＝－2是l 1∥l 2的充分不必要条件.(2)依题意，设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0). ∵点P (2，3)在直线l 上.∴2a ＋3b＝1，则ab ＝3a ＋2b ≥26ab ，故ab ≥24，当且仅当3a ＝2b (即a ＝4，b ＝6)时取等号. 因此S △AOB ＝12ab ≥12，即S △AOB 的最小值为12.答案 (1)A (2)12探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要留意代入检验，排解两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应依据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的状况是否符合题意.【训练1】 (1)(2021·贵阳质检)已知直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析 (1)“l 1⊥l 2”的充要条件是“m (m －3)＋1×2＝0⇔m ＝1或m ＝2”，因此“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件.(2)当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大. ∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12 (x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案 (1)A (2)x ＋2y －3＝0 热点二圆的方程【例2－1】 (1)(2022·天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.(2)(2021·全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.解析 (1)∵圆C 的圆心在x 的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0. 则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2.∴圆C 的半径r ＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0). 设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254探究提高 1.直接法求圆的方程，依据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值. 温馨提示解答圆的方程问题，应留意数形结合，充分运用圆的几何性质.【训练2】 (1)(2021·河南部分重点中学联考)圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则该圆的标准方程为________________.(2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.解析 (1)易知圆心的纵坐标为－4＋（－2）2＝－3，所以圆心坐标为(2，－3).则半径r ＝（2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝5，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. (2)设圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2(a >0)，半径为a .由勾股定理得(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝a 2，解得a ＝2.所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案 (1)(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 (2)(x －2)2＋(y －1)2＝4. 热点三直线与圆的位置关系命题角度1 圆的切线问题【例3－1】 (2021·郑州调研)在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为________.解析直线mx －y －2m －1＝0恒过定点P (2，－1)，当AP 与直线mx －y －2m －1＝0垂直，即点P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案 (x －1)2＋y 2＝2命题角度2 圆的弦长相关计算【例3－2】 (2021·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否消灭AC ⊥BC 的状况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解不能消灭AC ⊥BC 的状况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能消灭AC ⊥BC 的状况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.争辩直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练3】 (1)(2021·泉州质检)过点P (－3，1)，Q (a ，0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为______.(2)(2022·全国Ⅲ卷) 已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析 (1)点P (－3，1)关于x 轴的对称点为P ′(－3，－1)，所以直线P ′Q 的方程为x －(a ＋3)y －a ＝0. 依题意，直线P ′Q 与圆x 2＋y 2＝1相切. ∴|－a |12＋（a ＋3）2＝1，解得a ＝－53. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝23， ∴圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. ∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，∴直线l 的倾斜角∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°，因此|CD |＝|CE |sin 60°＝23sin 60°＝4.答案 (1)－53(2)41.解决直线方程问题应留意：(1)要留意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. (2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要留意代入检验，排解两条直线重合的可能性.2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程. 3.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d ). 4.直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)争辩直线与圆及圆与圆的位置关系时，要留意数形结合，充分利用圆的几何性质查找解题途径，削减运算量.争辩直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离与半径的比较来实现，两个圆的位置关系的推断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较.(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理计算.一、选择题1.(2021·昆明诊断)已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0相互垂直”，则命题p 是命题q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要解析 “直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0相互垂直”的充要条件是1×1＋ (－1)·m 2＝0⇔m ＝±1.∴命题p 是命题q 的充分不必要条件. 答案 A2.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0解析依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点. ∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 答案 B3.(2021·济南调研)若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A.1 B.－3 C.1或－3D.2解析 ∵圆(x －1)2＋y 2＝5的圆心C (1，0)，半径r ＝ 5. 又直线x －y ＋m ＝0被圆截得的弦长为2 3. ∴圆心C 到直线的距离d ＝r 2－（3）2＝2，因此|1－0＋m |12＋（－1）2＝2，∴m ＝1或m ＝－3.答案 C4.(2021·全国Ⅱ卷)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43解析设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，因此圆心到原点的距离d ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.答案 B5.(2021·衡水中学模拟)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的全部弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A.1031B.921C.1023D.911解析易知最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223，故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.答案 C 二、填空题6.(2021·广安调研)过点(1，1)的直线l 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，当|AB |＝4时，直线l 的方程为________.解析易知点(1，1)在圆内，且直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.又|AB |＝4，r ＝3，∴圆心(2，3)到l 的距离d ＝32－22＝ 5. 因此|k －2|k 2＋（－1）2＝5，解得k ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝07.(2021·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO → ·AP →的最大值为________. 解析法一由题意知，AO → ＝(2，0)，令P (cos α，sin α)，则AP →＝(cos α＋2， sin α).AO → ·AP → ＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO → ·AP →的最大值为6. 法二由题意知，AO →＝(2，0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO → ·AP → ＝(2，0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO → ·AP →的最大值为6. 答案 68.(2021·菏泽二模)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________.解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9， ∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短. 因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1.故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.答案 x ＋y －3＝0 三、解答题9.已知点A (3， 3)，B (5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程.解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1，2).①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10.(2021·全国Ⅰ卷)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM → ·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由于l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM → ·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.11.(2022·江苏卷节选)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程. 解 (1)圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5，(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0). 由于圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)由于直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 由于|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。

高考数学一轮复习热点难点精讲精析82直线与圆.doc

2014年高考一轮复习热点难点精精：8.2直线与圆一、圆的方程(-)圆的方程的求法※和关链接※a、b、r的方程组，求1. 确定圆的方程的主要方法是待定系数法。

如果选择标准方程，即剔关于a、b、r或直接求出圆心(a,b )和半径r.2. 如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。

圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。

设庚圆的方程为：2+2+ + + =0( 2+ 2 一4 > 0),x y Dx Ey F D E F 由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D E、F的值。

3•以A(x ,y ),B(x ,y )为直径的两端点的圆的方程为(x xi)(x x2) (y yi)(y y2) 01 12 24.确定圆心位置的方法(1) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2) 圆心在任意一弦的垂直平分线上；(3) 两圆相切吋，切点与两圆圆心线注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂直上；(3)两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点线。

※例题解析※K例23(1)过点A(-2,4) >B(3,-1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程___________________(2)求经过点A(-2,-4),且与直线丨:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程・【方法诠昭)可设圆的方程的一般形式，刑A(-2,4) > B(3,-1)两点在圆上及圆在x轴上截得的弦长等于6,得出三个方程，解方程组即可确定圆的方程；(2)可先设圆心坐标为C(a,b),由圆心与切点连线与切线垂直及圆心到圆上点的距离相等得出关于a、b的两个方程，解方程组即可得到圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程；也可直接求出圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程・- 3F +8)+( +)=(2 2a 2(b 4=—< 11 a = 一解得：i 2x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A 、B 两点的坐标代入得2D-4E_F = 20 3D_E + F = JO '再令y=O,得 x2+Dx+F 二0,设 x1> x2 是方程的两根，由 |x 1-x 2|=6 得，D2-4F=36,2D-4E - F = 20 I 由 < 3D — E + F =—40_，解得♦ 2D 4F 36D =-6=* 0因此，所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0或 x2+y2-6x-8y=0.答案：x2+y2-2x-4y-8=0或 x2+y2-6x-8y=0(2)方法一：设圆心坐标为C(a,b),依题意得:半径r112(63"— 5、0+ 一 =2)2 2[D=-2 I , > E = -4 或=—解析：(1)设圆的方程为分线方程为；x+y-4=0；又因为圆心WB 且与直线丨垂直的思路解析：由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，侃鸞鑛11125因此, 所求圆的方程为:方法二依醪盛得一，If 心敢B 的垂專平分线上，而AB 的垂直平直线上，而此直线方程为:x y 4 0 f解方程组侍:3x y 18 011孑，以下同方法一 •II 例23求与x 轴相切，圆心査线3爲上，且被直线5截得的弦"7的圆的方程。

高考数学专题04 直线与圆的解题技巧(解析版)

专题04 直线与圆的解题技巧一．【学习目标】1.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系2.能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；3.体会用代数法处理几何问题的思想. 二．【知识要点】1．直线和圆的位置关系有三种：_______________．2．直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系的判断方法有： (1)几何方法：圆心(a ，b )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝_______________和圆的半径r 的大小关系： d ______r ⇔直线与圆相交； d ______r ⇔直线与圆相切； d ______r ⇔直线与圆相离． (2)代数方法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则 Δ______0⇔直线与圆相交； Δ______0⇔直线与圆相切； Δ______0⇔直线与圆相离．3．圆与圆的位置关系有__________________________________________． 4．根据圆的方程，判断两圆位置关系的方法有： (1)几何方法：两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 12(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)的圆心距为d ，则 d >r 1＋r 2⇔两圆________； d ＝r 1＋r 2⇔两圆__________； |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆__________； d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆___________；0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆__________(d ＝0时为同心圆)． (2)代数方法：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0有两组不同的实数解⇔两圆___________；有两组相同的实数解⇔两圆___________；无实数解⇔两圆___________或___________． 5．直线被圆截得的弦长(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程是__________________．(2)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (3)代数方法：运用根与系数关系及弦长公式|AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝（1＋k 2）[（x A ＋x B ）2－4x A x B ]. 三．【题型规律】（一）两圆的公切线（二）圆与圆的位置关系（三）复数与圆（四）动圆问题（五）圆与圆锥曲线综合（六）向量与圆的综合（七）定点问题（八）圆与函数的综合四【题型方法类型】（一）两圆的公切线例1.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：222440x y x y +-+-=，圆2C ：222220x y x y ++--=，则两圆的公切线的条数是（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】B【解析】圆221:2440C x y x y +-+-=的圆心坐标为(1,2)-,半径为3, 圆222:2220C x y x y ++--=的圆心坐标为(1,1)-,半径为2,则圆心距为(32,32)=-+, 故两圆相交,两圆的公切线的条数是2条, 故选B.练习1.若存在直线l 与曲线C 1和曲线C 2都相切，则称曲线C 1和曲线C 2为“相关曲线”，有下列四个命题：①有且只有两条直线l 使得曲线C 1：224x y +=和曲线C 2：224240x y x y +-++=为“相关曲线”；②曲线C 1：y =C 2：y =“相关曲线”； ③当b>a >0时，曲线C 1：24y ax =和曲线C 2：222()x b y a -+=一定不是“相关曲线”；④必存在正数a 使得曲线C 1：222y ax x =++和曲线C 2：2212x y +=为“相关曲线”.其中正确命题的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】对于①，由题意得曲线C 1是以(0,0)为圆心，2为半径的圆；曲线C 2是以(2,−1)为圆心，半径为1的圆．两圆的圆心距为115C C =，由于1113C C <<，故两圆相交，因此有两条外公切线，故①正确．对于②，由题意得曲线C 1，C 2是共轭双曲线（它们各自在x 轴上方的部分），具有相同的渐近线，因此两曲线没有公切线，故②不正确．对于③，因为b >a >0，在同一坐标系内画出两曲线，如下图中的图形．由图可得圆在抛物线的内部，所以两曲线不会有公切线，故③正确．对于④，当a =1时，曲线C 1：2222(1)1y x x x =++=++，此时直线1y =与曲线C 1和曲线C 2都相切，故④正确．综上可得有三个命题正确．故选C ．（二）圆与圆的位置关系例2. 设集合()(){}()()(){}2222,41,,21A x y x y B x y x t y at =-+==-+-+=，如果命题“,t R A B ∃∈⋂≠∅”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．()4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U B ．403⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．403⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U【答案】C【解析】由“,t R A B ∃∈⋂≠∅”是真命题，即存在实数t 使得圆22(4)1x y -+=与圆22()(2)1x t y at -+-+=有交点，则存在实数t 使得22(4)(02)2t at -+-+≤，即关于实数t 的不等式22(1)4(2)160a t a t +-++≤有解，即2216(2)4(1)160a a +-⨯+⨯≥，解得403a ≤≤，故选C. 练习1. 已知曲线C 的方程为x 2+y 2＝2（x+|y|），直线x ＝my+4与曲线C 有两个交点，则m 的取值范围是（） A ．m ＞1或m ＜﹣1 B ．m ＞7或m ＜﹣7 C ．m ＞7或m ＜﹣1 D ．m ＞1或m ＜﹣7【答案】A【解析】如图所示，曲线C 的图象是两个圆的一部分，由图可知：当直线4x my =+与曲线C 相切时，只有一个交点，此时1m =±，结合图象可得1m >或1m <-．故选：A ．练习2. 在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ，由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r，即1212121x x y y x x +=+-，由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，所以12MN AB =,则2222222121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+222211221212120()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=-又由12MN AB =，则224AB MN =，可得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得220019()24x y -+=， ∴点00(,)N x y 的轨迹是以1(,0)2为圆心、半径等于32的圆C 3， ∵M 在圆C 3内，∴ MN 的最小值即是半径减去M 到圆心1(,0)2的距离，即min 31122MN r d =-=-=，故选A ．（三）复数与圆例3. 复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是（） A ．7 B ．49 C ．9 D ．81【答案】B【解析】设z x yi =+，则()()34342z i x y i ++=+++==，()()22344x y ∴+++=，则复数z 在复平面内所对应的点的轨迹是以()3,4--为圆心，以2为半径的圆，22z z x y ⋅=+，其几何意义是原点到圆()()22344x y +++=上一点距离的平方，原点到圆心的距离为5=，因此，z z ⋅的最大值为()22549+=，故选：B.（四）动圆问题例4. ．已知圆221(2)4C x y -+=：，()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：，过圆2C 上一点P 作圆1C 的两条切线，切点分别是E 、F ，则PE PF ⋅u u u r u u u r的最小值是( ) A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：可得：圆2C 的圆心在圆22(2)25x y -+=的圆周上运动，设()20A ，，则[]46PA d =∈，，由图可知：()()222cos2412sin PE PF PE d θθ⋅==--u u u r u u u r u u u r ，()22228324112d d d d ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，由()2223212f dd d =+-在[]1636，上为增函数可知，当216d =时，PE PF ⋅u u u r u u u r取最小值6，故选A 。

圆的最值问题求解四法

２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀圆的最值问题求解四法◉云南省普洱市孟连县第一中学㊀孙宝恩㊀㊀摘要:与圆有关的最值问题是近年来高考数学的热点之一,它着重考查数形结合与转化思想．求圆的最值问题四化法的基本思路是,利用平面几何知识,或利用圆的参数方程,或设圆上点的坐标,将其转化为函数的最值问题．关键词:化为斜率法;化为截距法;化为距离法;化为三角函数法㊀㊀与圆有关的最值问题,因为其代数式具有明显的几何意义,所以应优先考虑数形结合法．运用数形结合法求最值,既可以借助图形直观获得简捷解法,又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误,还有利于沟通数学各个分支,深化思维,全面提高学生数学综合素质[１]．涉及与圆有关的最值问题,可借助圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想来求解．一般情况下,求形如t ＝y －bx －a的最值问题,可转化为动直线的斜率问题;求形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值问题,可转化为动直线的截距问题;求形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可转化为动点到定点的距离问题．另外,还可以通过建立目标函数求最值．与圆有关的最值问题,既是高中数学中的难点问题,又是近年来高考中的热点题型,因此有必要熟悉和掌握其常用的解题思路与方法．１化为斜率法例１㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求yx的最大值和最小值．解:原方程可化为(x －２)２＋y ２＝３,表示以(２,０)为圆心,３为半径的圆．yx 的几何意义是该圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx＝k ,即y ＝k x ．图１当直线y ＝k x 与圆相切时,如图１,斜率k 取最大值或最小值,此时２k －０k ２＋１＝３,解得k ＝ʃ３所以yx的最大值为３,最小值为－３．思路与方法:本题中yx 的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率,两切线的斜率为其最值,可由２k －０k ２＋１＝３求切线的斜率,也可将y ＝k x 代入圆的方程,由Δȡ０,求解k 的范围．例２㊀求y ＝１＋s i n x２＋c o s x 的最值．图２解:将原函数式变形为y ＝s i n x －(－１)c o s x －(－２),其几何意义是在直角坐标系中,动点(c o s x ,s i n x )与定点P (－２,－１)连线的斜率．动点P 的轨迹为单位圆(如图２),由图可知,k P B 最小,k P C 最大．显然,k P B ＝０．由t a n θ＝O B P B ＝１２,得t a n øB P C ＝t a n２θ＝２t a n θ１－t a n ２θ＝４３,即k P C ＝４３．故y 的最小值为０,最大值为４３．思路与方法:从本题的解题思路可以归纳形如f (x )－ag (x )－b 的函数式,可以将其看作点(g (x ),f (x ))与点(b ,a )连线的斜率,这也是最常见的解题方法．２化为截距法例３㊀在圆O :x ２＋y ２＝１上求一点P ,使得过点P 的切线与两条坐标轴所围成的三角形面积最小．解法１:设P (x １,y １),则切线l 为x １x ＋y １y ＝１,即x １x １＋y １y １＝１,截距a ＝１x １,b ＝１y １．所以,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a９７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀b ＝１２１x １１y １＝１２x １y １ȡ１x ２１＋y ２１＝１１＝１,当且仅当x １＝y １＝２２时,取等号,S 的最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．解法２:因为点P 在圆x ２＋y ２＝１上,可设P (c o s φ,s i n φ),所以切线l :x c o s φ＋y s i n φ＝１,其截距a ＝１c o s φ,b ＝１s i n φ．因此,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a b ＝１２１c o s φ １s i n φ＝１s i n ２φȡ１．当s i n ２φ＝ʃ１,即φ＝ʃπ４,ʃ３４π时,S 取最小值,且最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．思路与方法:本题的两种解法都是将与圆有关的求三角形的最值问题转化为直线与圆相切的截距型问题．通过设点P 的坐标,先求出截距,然后再根据三角形面积公式推出S әȡ１,最后确定点P 的位置．例４㊀设x ,y 满足y ＝－x ２－２x ,求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．图３解:y ＝－x ２－２x ＝１－(x ＋１)２,其图象为如图３所示的半圆O ᶄ,S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距的最大值与最小值．由A (－２,０),k A D ＝－１,得D (０,－２),即S m i n ＝－２．又O ᶄB ＝B C ＝１,所以O ᶄC ＝２,得O C ＝２－１＝O D ᶄ,则点D ᶄ的坐标为(０,２－１),即S m a x ＝２－１．故S 的最大值与最小值分别为２－１,－２．思路与方法:本题是将其转化㊁变形为截距型最值问题,并对半圆㊁直线截距的几何意义进行了由隐到显的挖掘,其中紧扣 S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距S的最大值与最小值是关键．３化为距离法例５㊀在әA B C 中,øA ,øB ,øC 所对的边分别为a ,b ,c ,且c ＝１０,c o s A c o s B ＝b a ＝４３,P 为әA B C的内切圆上的动点,求点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和的最大值与最小值．解法１:由c o s A c o s B ＝b a ,得c o s A c o s B ＝s i n Bs i n A ,即s i n ２A ＝s i n２B ．在әA B C 中,因为A ʂB ,所以２A ＋２B ＝π,则A ＋B ＝π２,故әA B C 为直角三角形．图４由c ＝１０,b a ＝４３,可得a ＝６,b ＝８．建立如图４所示的平面直角坐标系,设әA B C 的内切圆圆心为O ᶄ,切点分别为D ,E ,F ,则|A D |＋|D B |＋|E C |＝１２(１０＋８＋６)＝１２,内切圆的半径r ＝|E C |＝１２－１０＝２,则内切圆O ᶄ方程为(x －２)２＋(y －２)２＝４．设圆O ᶄ上动点P 的坐标为(x ,y ),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(x －８)２＋y ２＋x ２＋(y －６)２＋x ２＋y ２＝３[(x －２)２＋(y －２)２]－４x ＋７６＝８８－４x ．由点P 在圆上,可知,０ɤx ɤ４,于是S 的最大值为８８,最小值为８８－４ˑ４＝７２．解法２:同解法１,得әA B C 是直角三角形,其内切圆半径r ＝２．设圆上动点P 的坐标为(２＋２c o s α,２＋２s i n α)(０ɤαɤ２π),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(２c o s α－６)２＋(２＋２s i n α)２＋(２＋２c o s α)２＋(２s i n α－４)２＋(２＋２c o s α)２＋(２＋２s i n α)２＝８０－８c o s α．因为０ɤαɤ２π,所以S 的最大值为＝８０＋８＝８８,最小值为＝８０－８＝７２．思路与方法:本题可转化为点到直线的距离型最值问题．解法１是由三角形的边㊁角关系推证出әA B C 为直角三角形,然后建立平角直角坐标系,通过设三角形内切圆,求三角形三边的长度获解;解法２在已知әA B C 为直角三角形的基础上,通过设动点坐标,利用三角函数求出最值．０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀例６㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求x ２＋y ２的最大值和最小值．图５解:x ２＋y ２－４x ＋１＝０可化为(x －２)２＋y ２＝３,它表示以C (２,０)为圆心,３为半径的圆．如图５所示,x ２＋y ２表示圆上的一点与坐标原点距离的平方．由平面几何知识可知,在坐标原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又因为圆心C 到原点的距离为２,所以x ２＋y ２的最大值是(２＋３)２＝７＋４３,x ２＋y ２的最小值是(２－３)２＝７－４３．思路与方法:本题中的x ２＋y ２可看作是圆上的点与原点距离的平方,所以可以借助平面几何知识,利用数形结合法快速求解．４化为三角函数法例７㊀已知圆C :(x －３)２＋(y －４)２＝１和两点A (－m ,０),B (m ,０)(m ＞０)．若圆C 上存在点P ,使得øA P B ＝９０ʎ,则m 的最大值为(㊀㊀)．A．７㊀㊀㊀㊀B ．６㊀㊀㊀㊀C ．５㊀㊀㊀㊀D．４解:设点P (x ０,y ０),则x ０＝３＋c o s θ,y ０＝４＋s i n θ{(θ为参数)．由øA P B ＝９０ʎ,得A P ң B P ң＝０,即(x ０＋m )(x ０－m )＋y ２０＝０,则m ２＝x ２０＋y ２０＝２６＋６c o s θ＋８s i n θ＝２６＋１０s i n (θ＋φ)ɤ３６(其中t a n φ＝３４)．所以０＜m ɤ６,即m 的最大值为６．故选答案:B ．思路与方法:本题是通过建立目标函数来求最值．由于øA P B ＝９０ʎ,则点P 也在以A B 为直径的圆上,因此问题还可转化为两圆有公共点,求m 的最大值,即两圆内切时,m 有最大值６．例８㊀半圆O 的直径为２,A 为直径延长线上一点,O A ＝２,B 为半圆上任意一点,以A B 为一边作等边三角形A B C ．问点B 在什么位置时,四边形O A C B的面积最大,并求这个最大值．图６解:如图６,设øA O B ＝α(０＜α＜π),在әA O B 中,又O B ＝１,O A ＝２,由余弦定理,得A B ２＝O A ２＋O B ２－２O A O B c o s α＝５－４c o s α．设四边形O A C B 的面积为S ,则㊀㊀㊀S ＝１２O A O B s i n α＋３４A B ２＝s i n α＋３４(５－４c o s α)＝５３４＋(s i n α－３c o s α)＝５３４＋２s i n (α－π３),当且仅当s i n (α－π３)＝１,即α＝５π６时,四边形O A C B的面积最大,且最大值为５３４＋２．思路与方法:本题通过运用余弦定理,将与圆有关的四边形面积的最值问题,转化为三角函数问题来求解．从解题过程不难看出,对y ＝a s i n x ＋b c o s x (a ,b ʂ０)引入辅角θ,则y ＝a ２＋b ２s i n (x ＋θ)(其中t a n θ＝ba),其最值一目了然．根据以上典例及四化法的运用情况,可以把与圆有关的最值问题大致归纳总结为以下几种类型:①定点与圆上的点的距离的最值题型,可将其转化为定点到圆心的距离ʃ半径 ;②定直线与圆上点的距离的最值题型,可将其转化为圆心到直线的距离ʃ半径 ;③形如t ＝y －bx －a 的最值题型,可将其转化为动直线的斜率问题(切线处取得最值);④形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值题型,可将其转化为动直线的截距问题(切线处取得最值);⑤形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可将其转化为定点到圆上动点的最值问题．圆是一种很规则的图形,解答与圆有关的最值问题很适合采用数形结合法．运用四化法解题的关键,是在准确理解题意的基础上进行合理联想和类比,将代数式通过转化㊁变形㊁给予几何解释[２]．上述典型例题的解析可以帮助学生学会从形中觅数的思路与方法,掌握如何根据图形去寻求数量关系的技巧,能够娴熟地将几何问题代数化,通过不断加强这类题型的解题训练,最终达到触类旁通㊁举一反三㊁开阔思路㊁运用自如㊁综合提高的目的．参考文献:[１]杜超．例谈与圆有关的最值问题[J ]．理科考试研究,２０２１(９):１６Ｇ１８．[２]程会海．与圆有关的最值问题的解题策略例说[J ]．中学数学,２０２２(５):６４Ｇ６５．Z １８Copyright ©博看网. 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高中数学解题技巧之解析几何中的圆问题求解

高中数学解题技巧之解析几何中的圆问题求解解析几何是高中数学中的一门重要学科，其中圆问题是解析几何的基础和核心。

在解析几何中，我们经常会遇到求解圆的问题，如圆的方程、圆与直线的关系、圆与圆的关系等。

本文将通过具体的题目，来说明解析几何中圆问题的求解技巧，并给出一些解题思路和方法。

一、圆的方程圆的方程是解析几何中最基本的问题之一。

对于给定圆心坐标为(h, k)和半径为r的圆，我们可以得到圆的方程为：(x-h)² + (y-k)² = r²。

其中，(x, y)为圆上任意一点的坐标。

举个例子来说明，假设有一个圆心坐标为(2, -3)，半径为5的圆，求其方程。

解题思路：根据圆的方程(x-h)²+ (y-k)²= r²，将给定的圆心坐标和半径代入，得到方程为：(x-2)² + (y+3)² = 25。

通过这个例子，我们可以看出，求解圆的方程需要根据已知条件进行代入运算，最终得到圆的方程。

二、圆与直线的关系圆与直线的关系也是解析几何中常见的问题。

常见的问题有：判断直线与圆的位置关系、求直线与圆的交点等。

举个例子来说明，假设有一个圆的方程为(x-2)² + (y+3)² = 25，直线的方程为2x - 3y + 4 = 0，求直线与圆的交点。

解题思路：首先，将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程：(x-2)² + (-3/2x-3)² = 25。

然后，解这个二次方程，求出x的值。

将求得的x的值代入直线的方程，求出对应的y的值，即可得到直线与圆的交点坐标。

通过这个例子，我们可以看出，求解直线与圆的交点需要将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程，并进行解方程运算，最终求得交点的坐标。

三、圆与圆的关系圆与圆的关系也是解析几何中常见的问题。

常见的问题有：判断两个圆的位置关系、求两个圆的交点等。

2025高考数学必刷题第59讲、圆的方程(教师版)

第59讲圆的方程知识梳理知识点一：基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．知识点二：基本性质、定理与公式1、圆的四种方程（1）圆的标准方程：222()()-+-=x a y b r ，圆心坐标为（a ，b ），半径为(0)>r r （2）圆的一般方程：22220(40)++++=+->x y Dx Ey F D E F ，圆心坐标为,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D E ，半径2=D E Fr （3）圆的直径式方程：若1122(,),(,)A x y B x y ，则以线段AB 为直径的圆的方程是1212()()()()0--+--=x x x x y y y y （4）圆的参数方程：①222(0)+=>x y r r 的参数方程为cos sin =⎧⎨=⎩x r y r θθ（θ为参数）；②222()()(0)-+-=>x a y b r r 的参数方程为cos sin =+⎧⎨=+⎩x a r y b r θθ（θ为参数）．注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(cos ,sin )++a r b r θθ（θ为参数，,（）a b 为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．2、点与圆的位置关系判断（1）点00(,)P x y 与圆222()()-+-=x a y b r 的位置关系：①222()()-+->⇔x a y b r 点P 在圆外；②222()()-+-=⇔x a y b r 点P 在圆上；③222()()-+-<⇔x a y b r 点P 在圆内．（2）点00(,)P x y 与圆220++++=x y Dx Ey F 的位置关系：①2200000++++>⇔x y Dx Ey F 点P 在圆外；②2200000++++=⇔x y Dx Ey F 点P 在圆上；③2200000++++<⇔x y Dx Ey F 点P 在圆内．必考题型全归纳题型一：求圆多种方程的形式例1．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）过()0,1A 、()0,3B 两点，且与直线1y x =-相切的圆的方程可以是（）A ．()()22122x y ++-=B ．()()22225x y -+-=C ．()()22122x y -+-=D ．()()22225x y ++-=【答案】C【解析】因为()0,1A 、()0,3B ，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为2y =，设圆心为(),2C t ，则圆C 的半径为r ==，又因为r AC ====整理可得2670t t +-=，解得1t =或7t =-，当1t =时，r AC ==()()22122x y -+-=；当7t =-时，r AC ==，此时圆的方程为()()227250x y ++-=.综上所述，满足条件的圆的方程为()()22122x y -+-=或()()227250x y ++-=.故选：C.例2．（2024·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为(21)-，，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A ．22420x y x y ++-=B ．224250x y x y +-+-=C ．224250x y x y ++--=D ．22420x y x y +-+=【答案】A【解析】设直径的两个端点分别()(),0,0,A a B b ，圆心C 为点(2,1),-由中点坐标公式，得002,122a b++=-=，解得4, 2.a b =-=∴半径r =∴圆的方程是22(2)(1)5,x y ++-=即22420.x y x y ++-=故选：A.例3．（2024·全国·高三专题练习）已知圆心为(2,3)-的圆与直线10x y -+=相切，则该圆的标准方程是（）A ．22(2)(3)8x y ++-=B ．22(2)(3)8x y -++=C ．22(2)(3)18x y ++-=D ．22(2)3)1(8x y ++=-【答案】A【解析】因为圆心为(2,3)-的圆与直线10x y -+=相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r d ===所以该圆的标准方程是22(2)(3)8x y ++-=．故选：A变式1．（2024·河北邢台·高三统考期末）已知圆22:25C x y +=与直线():3400l x y m m -+=>相切，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为（）A ．22(3)(4)16x y ++-=B ．22(3)(4)25x y ++-=C ．22(6)(8)16x y ++-=D ．22(6)(8)25x y ++-=【答案】D【解析】由圆22:25C x y +=的圆心为原点O ，半径为5，又圆C 与直线l 相切，则O 到直线l 的距离为5d =，则5d =，解得25m =，设过O 且与l 垂直的直线为0l ，则0l ：430x y +=，联立4303342504x y x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，得直线l 与0l 的交点为()3,4-，设圆心(0,0)O 关于点()3,4-的对称点为(),p n ，由中点公式有03620842p p nn +⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩所以圆心(0,0)O 关于点()3,4-的对称点为()6,8-，因此圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：22(6)(8)25x y ++-=，故选：D.变式2．（2024·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为11,A B 两点，以线段11A B 为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(2)2x y ++-=B ．22(1)(1)5x y ++-=C ．22(1)(1)17x y +++=D ．22(1)(2)26x y +++=【答案】B【解析】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线11A B ：=1x -，设1122(,),(,)A x y B x y ，令弦AB 的中点为E，而圆心C 是线段11A B 的中点，又111111,AA A B BB A B ⊥⊥，即有11////EC AA BB ，11EC A B ⊥，显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线:1AB x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得：2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，12||y y -==点E 的纵坐标为1222y y t +=，于是得圆C 的半径111211||||22r A B y y ==-=(1,2)C t -，而圆C 过点(2,3)M -，则有||MC r ==，解得12t =，因此圆C 的圆心(1,1)C -，半径r =，圆C 的方程为22(1)(1)5x y ++-=.故选：B变式3．（2024·全国·高三专题练习）求过两点()()0,4,4,6A B ，且圆心在直线220x y --=上的圆的标准方程是（）A ．22(1(4)25)y x +++=B ．22(4)(1)25x y ++-=C ．22(4)(1)25x y -++=D ．22(4)(1)25x y -+-=【答案】D【解析】设圆心坐标为C （2b +2，b ），由圆过两点A （0，4），B （4，6），可得|AC |=|BC |，即()()()()222222042246b b b b =+-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得1b =，可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为22(4)(1)25x y -+-=．故选：D ．变式4．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线(32)(32)50x y λλλ+-+-=＋恒过定点P ，则与圆C ：22(2)(3)16x y -++=有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为（）A ．22(2)3)3(6x y ++=-B ．22(2)(3)25x y -++=C ．22(2)3)1(8x y ++=-D ．22(2)(3)9x y -++=【答案】B【解析】直线(32)(32)50x y λλλ+-+-=＋，即(231)(325)0x y x y λ+-+-+=，由23103250x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得11x y =-⎧⎨=⎩，即(1,1)P -，圆C ：22(2)(3)16x y -++=的圆心(2,3)C -，||5PC =，所以所求圆的标准方程为22(2)(3)25x y -++=.故选：B变式5．（2024·全国·高三专题练习）圆C ：()()22122x y -+-=关于直线0x y -=对称的圆的方程是（）A ．22(1)(2)2x y -++=B ．22(1)(2)2x y +++=C ．22(2)(1)2x y -+-=D ．22(2)(1)2x y +++=【答案】C【解析】由圆C ：()()22122x y -+-=，可知圆心坐标：(1,2)因为点(1,2)关于直线y x =的对称点为(2,1)，所以圆C ：()()22122x y -+-=关于直线0x y -=对称的圆的方程是22(2)(1)2x y -+-=，故选：C变式6．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点,A B 是MON ∠的OM 边上的两个定点，C 是ON 边上的一个动点，当且仅当ABC 的外接圆与边ON 相切于点C 时，ACB ∠最大．在平面直角坐标系中，已知点()2,0D ，()4,0E ，点F 是y 轴负半轴的一个动点，当DFE ∠最大时，DEF 的外接圆的方程是（）．A ．()(2239x y -++=B ．()(2239x y -+-=C ．(()2238x y ++-=D ．(()2238x y -+-=【答案】A【解析】由米勒定理知当DFE ∠最大时，DEF 的外接圆与y 轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，因为点()2,0D ，()4,0E ，所以圆心在直线3x =上，又圆与y 轴负半轴相切，所以圆的半径为3，设圆心为(3,)P b ，0b <，则||3PD ，解得b =±，又0b <，所以b =-所以DEF 的外接圆的方程是22(3)(9x y -++=，故选：A ．变式7．（2024·陕西西安·高三校考阶段练习）过点()4,2P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则PAB 的外接圆方程是（）A ．()()22215x y -+-=B ．()()224220x y -+-=C ．()()22215x y +++=D ．()()224220x y +++=【答案】A【解析】由圆224x y +=，得到圆心()0,0O ，由题意知O 、A 、B 、P 四点共圆，PAB 的外接圆即四边形OAPB 的外接圆，又()4,2P ，从而OP 的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，1||2OP =22(2)(1)5x y -+-=.故选：A变式8．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为（）A ．22(1)2x y -+=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)2x y +-=D ．22(1)4x y +-=【答案】D【解析】设ABC 外接圆的方程为()222()x a y b r -+-=则有()()()222222222()0)0(0)3a b r a b r a b r ⎧+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解之得012a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则ABC 外接圆的方程为22(1)4x y +-=故选：D【解题方法总结】（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a ，b ）和半径r ；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．题型二：直线系方程和圆系方程例4．（2024·全国·高三专题练习）圆心在直线x -y -4＝0上，且经过两圆x 2+y 2+6x -4＝0和x 2+y 2+6y -28＝0的交点的圆的方程为（）A ．x 2+y 2-x +7y -32＝0B ．x 2+y 2-x +7y -16＝0C ．x 2+y 2-4x +4y +9＝0D ．x 2+y 2-4x +4y -8＝0【答案】A【解析】根据题意知，所求圆经过圆x 2+y 2+6x -4＝0和圆x 2+y 2+6y -28＝0的交点，设其方程为(x 2+y 2+6x -4)+λ(x 2+y 2+6y -28)＝0，即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x +6λy -4-28λ＝0，其圆心坐标为31λ-⎛ +⎝，31λλ-⎫⎪+⎭，又由圆心在直线x -y -4＝0上，所以31λ-+-31λλ-⎛⎫⎪+⎝⎭-4＝0，解得λ＝-7，所以所求圆的方程为：(-6)x 2+(-6)y 2+6x -42y +192＝0，即x 2+y 2-x +7y -32＝0，故选：A ．例5．（2024·高二课时练习）过圆22240x y y +--=与22420x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程是．【答案】22310x y x y +-+-=【解析】设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=，即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++，所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫⎪++⎝⎭，把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫⎪++⎝⎭代入2410x y +-=，可得13λ=，所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=．故答案为：22310x y x y +-+-=.例6．（2024·江苏·高二专题练习）曲线2233x y -=与228y x x =--的四个交点所在圆的方程是．【答案】22(4)(2)49x y -+-=【解析】根据题意得到：()222342483x y y x x -=----，化简得到答案.2233x y -=，228y x x =--，故()222342483x y y x x -=----，化简整理得到：2284290x y x y +---=，即22(4)(2)49x y -+-=.故答案为：22(4)(2)49x y -+-=.变式9．（2024·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线20x y -=与圆224240x y x y +-+-=的交点，且过点()1,0的圆的方程为.【答案】2231240x y x y ++--=【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：()2242420x y x y x y λ+-+-+-=∵所求圆过点()1,0∴70λ-+=解得7λ=所以圆的方程为()22424720x y x y x y +-+-+-=，化简得2231240x y x y ++--=.故答案为：2231240x y x y ++--=.变式10．（2024·高二校考课时练习）过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点()3,1的圆的方程是.【答案】2213203x y x y +-++=【解析】设所求圆的方程为：(()22222)4480x y x y x y x y λ+---+++--=将()3,1代入得：25λ=-∴所求圆的方程为：2213203x y x y +-++=本题正确结果：2213203x y x y +-++=变式11．（2024·浙江杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线:240l x y ++=与圆22:240C x y x y ++-=的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为.【答案】222612320555x y x y ++-+=【解析】可设圆的方程为2224(240)0x y x y x y λ++-+++==,即222(1)(4)40x y x y λλλ++++-+=,此时圆心坐标为41,2λλ-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,当圆心在直线240x y ++=上时，圆的半径最小，从而面积最小，42(1)402λλ-∴--++=,解得85λ=,则所求圆的方程为222612320555x y x y ++-+=，故答案为222612320555x y x y ++-+=.变式12．（2024·江西九江·高一统考期中）经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，且圆心在直线40x y --=上的圆的方程为【答案】227320x y x y +-+-=【解析】由题可先设出圆系方程；222264(628)0x y x x y y λ++-+++-=，则圆心坐标为；33(,11λλλ--++，又圆心在直线40x y --=上，可得；3340,11λλλ-+-=++解得7λ=-.所以圆的方程为：227320x y x y +-+-=.故答案为：227320x y x y +-+-=.变式13．（2024·浙江绍兴·高二统考期中）已知圆C 过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且原点在圆C 上．则圆C 的方程为．【答案】22317024x y x y ++-=【解析】根据题意可设圆C 的方程为：()22241240x y x y x y λ++-++++=，因为原点在圆C 上，故14λ=-.所以所求圆的方程为22317024x y x y ++-=.考点：直线与圆的位置关系，圆的标准方程.【解题方法总结】求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．（1）直线系方程：若直线1111:0++=l A x B y C 与直线2222:0++=l A x B y C 相交于点P ，则过点P 的直线系方程为：11112222()()0+++++=A x B y C A x B y C λλ2212(0)+≠λλ简记为：221122120(0)+=+≠l l λλλλ当10≠λ时，简记为：120+=l l λ（不含2l ）（2）圆系方程：若圆221111:0++++=C x y D x E y F 与圆222222:0++++=C x y D x E y F 相交于A ，B两点，则过A ，B两点的圆系方程为：2222111222()0(1)+++++++++=≠-x y D x E y F x y D x E y F λλ简记为：120(1)+=≠-C C λλ，不含2C 当1=-λ时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）121212:()()0-+-+-=l D D x E E y F F 注意：与圆C 共根轴l 的圆系:0+=C C l λλ题型三：与圆有关的轨迹问题例7．（2024·全国·高三专题练习）点()1,0P ，点Q 是圆224x y +=上的一个动点，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是（）A ．22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭B ．22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭C ．22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．22142x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】设点M 的坐标为(),M x y ，因为M 点是线段PQ 的中点，可得()21,2Q x y -，点Q 在圆上，则22(21)(2)4x y -+=，即22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.故选：A.例8．（2024·湖南郴州·统考模拟预测）已知A ，B 是C ：()()222425x y -+-=上的两个动点，P 是线段AB 的中点，若6AB =，则点P 的轨迹方程为（）A ．()()224216x y -+-=B ．()()222411x y -+-=C ．()()222416x y -+-=D ．()()224211x y -+-=【答案】C【解析】因为AB 中点为P ，所以CP AB ⊥，又6AB =，所以4CP ==，所以点P 在以C 为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为()()222416x y -+-=.故选：C.例9．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数(0,1)λλλ>≠的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P 到(2,0)A -的距离是点P 到(1,0)B 的距离的2倍．求点P 的轨迹方程；【解析】设点(),P x y ，点P 到(2,0)A -的距离是点P 到(1,0)B 的距离的2倍，可得2PA PB =，=()2224x y -+=，所以点P 的轨迹方程为()2224x y -+=；变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知(4,0)P 是圆2236x y +=内的一点,,A B 是圆上两动点，且满足90APB ︒∠=，求矩形APBQ 顶点Q 的轨迹方程．【解析】连接AB ，PQ ，设AB 与PQ 交于点M ，如图所示．因为四边形APBQ 为矩形，所以M 为AB ，PQ 的中点，连接OM .由垂径定理可知,OM AB ⊥设(,),M M M x y 由此可得22222||||36().M M AMOA OM x y =-=-+①又在Rt APB 中，有||AM PM ==②由①②得224100,MM M x y x +--=故点M 的轨迹是圆．因为点M 是PQ 的中点，设(,),Q x y 则4,,22M M x y x y +==代入点M 的轨迹方程中得，2244()()4100,222x y x +++-⨯-=整理得2256x y +=，即为所求点Q 的轨迹方程．变式15．（1977·福建·高考真题）动点(),P x y 到两定点()30A -,和()3,0B 的距离的比等于2，求动点P 的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．【解析】由题意可知：2PA PB=，又(),P x y ，()30A -,和()3,0B ，2=，化简得221090x x y -++=即()22516x y -+=，所以动点P 的轨迹是以()5,0为圆心，半径是4的圆变式16．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知圆C ：222430x y x y ++-+=.(1)若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的一般式方程；(2)从圆C 外一点(,)P x y 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM PO =，求点P 的轨迹方程.【解析】（1）由222430x y x y ++-+=配方得22(1)(2)2x y ++-=，所以圆C 的圆心(1,2)C -，因为直线l 在x 轴，y 轴上的截距相等，所以设直线l 为x y b +=，即0x y b +-=，则由直线l 与圆C =1b =-或3b =，∴直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=.（2）由圆上切点的性质知222PM PC r =-，又因为PM PO =，所以222PO PC r =-，所以2222(1)(2)2x y x y +=++--，整理得2430x y -+=，故点P 的轨迹方程为2430x y -+=.变式17．（2024·全国·高三专题练习）由圆229x y +=外一点(5,12)P 引圆的割线交圆于A B ，两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.【解析】［方法一］：【通性通法】【最优解】直接法设弦A B 的中点M 的坐标为(,)M x y ,连接O P 、OM ,则OM AB ⊥．在OM P 中,由勾股定理有2222(5)(12)169x y x y ++-+-=，而(,)M x y 在圆内，所以弦AB 的中点M 的轨迹方程为225120(33)x y x y x +--=-<<.［方法2］：定义法因为M 是A B 的中点,所以OM AB ⊥,所以点M 的轨迹是以O P 为直径的圆,圆心为5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为||1322OP =，所以该圆的方程为:222513(6)22x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得225120(33)x y x y x +--=-<<［方法3］：交轨法易知过P 点的割线的斜率必然存在，设过P 点的割线的斜率为k ,则过P 点的割线方程为:12(5)y k x -=-.∵OM AB ⊥且过原点,∴OM 的方程为1=-y x k这两条直线的交点就是M 点的轨迹.两方程相乘消去k ,化简,得:225120x y x y +--=，其中33x -<<.［方法4］：参数法设过P 点的割线方程为:12(5)y k x -=-,它与圆229x y +=的两个交点为A 、,B A B 的中点为M ，设()()1122(,),,,,M x y Ax y B x y .由22(5)129y k x x y =-+⎧⎨+=⎩可得，()()()2221212512590k x k k x k ++-+--=，所以，()12221251k k x x k -+=-+，即有()21251k k x k-=-+，21251ky k -=+，消去k ，可求得M 点的轨迹方程为：225120x y x y +--=，33x -<<．［方法5］：点差法设()()1122(,),,,,M x y A x y B x y ,则12122,2x x x y y y +=+=.∵222211229,9x y x y +=+=.两式相减,整理,得()()()()212121120x x x x y y y y -+--+=.所以21122112y y x x xx x y y y-+=-=--+,即为A B 的斜率，而A B 的斜率又可表示为1212,55y y xx x y--∴=---,化简并整理,得225120x y x y +--=.其中33x -<<.【整体点评】方法一：直接根据轨迹的求法，建系、设点、列式、化简、检验即可解出，是该类型题的常规方法，也是最优解；方法二：根据题设条件,判断并确定轨迹的曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程；方法三：将问题转化为求两直线的交点轨迹问题；方法四：将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数；方法五：根据曲线和方程的对应关系，点在曲线上则点的坐标满足方程，用点差法思想，设而不求．变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知圆22:40G x y x +-=，平面上一动点P 满足：226PM PN +=且(1,0)M -，(1,0)N ．求动点P 的轨迹方程；【解析】设(,)P x y ，由226PM PN +=，所以2222(1)(1)6x y x y +++-+=，整理得222x y +=，即动点P 的轨迹方程222x y +=．变式19．（2024·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形ABCD 中，边AB 、BC 上分别有一个动点Q 、R ，且BQ CR =．求直线AR 与DQ 的交点P 的轨迹方程．【解析】分别以AB ，AD 边所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系．如图所示，则点(0,0)A 、(1,0)B 、(1,1)C 、(0,1)D ，设动点(,)P x y ，(,0)Q t (01)t ≤≤，由BQ CR =知：AQ BR =，则(1,)R t ．当0t ≠时，直线AR ：y tx =①，直线DQ ：1x y t +=，则1xy t-=②，①×②得：(1)xy y tx t-=⋅，化简得220x y y +-=．当0=t 时，点P 与原点重合，坐标(0,0)也满足上述方程．故点P 的轨迹方程为221100,022x y y x y ⎛⎫+-=≤≤≤≤ ⎪⎝⎭．变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知R t ABC 的斜边为A B ，且(1,0),(3,0)A B -.求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边B C 的中点M 的轨迹方程.【解析】（1）设(,)C x y ，因为,,A B C 三点不共线，所以0y ≠，因为A C B C ⊥，所以1AC BC k k ⋅=-，又因为,13AC BC y y k k x x ==+-，所以113y yx x ⋅=-+-，整理得22230x y x +--=，即22(1)4x y -+=，所以直角顶点C 的轨迹方程为22(1)4(0)x y y -+=≠.（2）设00(,),(,)M x y C x y ，因为(3,0)B ，M 是线段B C 的中点，由中点坐标公式得0030,22x y x y ++==，所以0023,2x x y y =-=，由（1）知，点C 的轨迹方程为22(1)4(0)x y y -+=≠，将0023,2x x y y =-=代入得22(24)(2)4x y -+=，即22(2)1x y -+=所以动点M 的轨迹方程为()()22210x y y -+=≠.变式21．（2024·高二课时练习）如图，已知点A (-1，0)与点B (1，0)，C 是圆x 2+y 2=1上异于A ，B 两点的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD|=|BC|，求线段AC 与OD 的交点P 的轨迹方程.【解析】设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心，由A (-1，0)，B (1，0)，令动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0-1，2y 0)，由重心坐标公式得001121323x x y y -++-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()000312302x x y y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=≠⎪⎩代入221x y +=，整理得()2214039x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭故所求轨迹方程为()2214039x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.变式22．（2024·高二课时练习）已知点()2,0A 是圆224x y +=上的定点，点()1,1B 是圆内一点，P 、Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程．(2)若90PBQ ∠=︒，求线段P Q 中点N 的轨迹方程．【解析】（1）设AP 中点为(,)M x y ，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(22,2)x y -∵P 点在圆224x y +=上，∴22(22)(2)4x y -+=．故线段AP 中点的轨迹方程为22(1)1x y -+=．（2）设P Q 的中点为(,)N x y ，在Rt PBQ △中，||||PN BN =，设O 为坐标原点，则ON PQ ⊥，所以22222||||||||||OP ON PN ON BN =+=+，所以2222(1)(1)4x y x y ++-+-=．故线段P Q 中点的轨迹方程为2210x y x y +---=．【解题方法总结】要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x ，y 的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件例10．（2024·河南·高三阶段练习）“1a <”是“方程22222650x y ax y a ++++=表示圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为方程22222650x y ax y a ++++=，即225302ax y ax y ++++=表示圆，等价于2910a a +->0，解得9a >或1a <.故“1a <”是“方程22222650x y ax y a ++++=表示圆”的充分不必要条件.故选：A例11．（2024·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知：圆C 的方程为0(),f x y =，点00(,)P x y 不在圆C 上，也不在圆C 的圆心上，方程00:(,(0,))C f x y f x y '-=，则下面判断正确的是（）A ．方程C '表示的曲线不存在B ．方程C '表示与C 同心且半径不同的圆C ．方程C '表示与C 相交的圆D ．当点P 在圆C 外时，方程C '表示与C 相离的圆【答案】B【解析】因为C 为圆，设22(,)10f x y x y =+-=，点(1,1)P ，其圆心为(0,0)，半径为1，而C '的方程为00(,)(,)0f x y f x y -=，即22110x y +--=，2220x y +-=因此上述方程中，圆心亦为(0,0)C 与圆C '是同心且半径不同的圆.故选：B.例12．（2024·高三课时练习）关于x 、y 的方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示一个圆的充要条件是（）.A ．0B =，且0A C =≠B ．1B =，且2240D E A F +->C ．0B =，且0A C =≠，2240D E AF +-≥D ．0B =，且0A C =≠，2240D E A F +->【答案】D【解析】关于x 、y 的方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示一个圆的充要条件是220040B A C D E F A A A ⎧⎪=⎪⎪=≠⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，即0B =，且0A C =≠，2240D E A F +->.故选：D变式23．（2024·全国·高三专题练习）若方程22220x y ax y ++++=表示圆，则实数a 的取值范围是（）A ．2a ≤-B ．2a ≥C ．2a <-或2a >D ．2a ≤-或2a ≥【答案】C【解析】若方程22220x y ax y ++++=表示圆，则222420a +-⨯>，解得：2a >或2a <-.故选：C变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知方程22220x y y ++++=表示圆，则实数m 的取值范围为（）A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(3,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】因为方程22220x y y ++++=表示圆，所以222420+-⨯>，解得4m >.故选：D变式25．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆C ：()()22221212640x y m x m y m m +--+-+-+=过坐标原点，则实数m 的值为（）A ．2或1B ．-2或-1C ．2D ．-1【答案】C【解析】∵()()22221212640x y m x m y m m +--+-+-+=表示圆，∴()()()222212142640m m m m ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣--+---+>⎦∴1m >.又圆C 过原点，∴22640m m -+=，∴2m =或1m =（舍去）；∴2m =.故选:C.变式26．（2024·全国·高三专题练习）若方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（）A ．(1，＋∞)B ．1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1，＋∞)∪1(,)5-∞D ．R【答案】A【解析】因为方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D 2＋E 2―4F ＞0，即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选：A.变式27．（2024·高二课时练习）若()0,2απ∈，使曲线22cos sin cos sin 10x y x y αααα++++=是圆，则（）A ．54πα=B ．4πα=C ．4πα=或54πα=D ．2πα=【答案】A【解析】由题意，cos sin αα=，因为()0,2απ∈，所以4πα=或54πα=，当4πα=时，方程为22102222x y x y ++++=，化简得220x y x y ++++=，此时22420D E F -=+-<，不表示圆；当54πα=时，方程为22102222x y x y ---+=-，化简得220x y x y +++-=，此时22420D E F +=+->，表示圆.所以54πα=.故选：A【解题方法总结】方程220++++=x y Dx Ey F 表示圆的充要条件是2240+->D E F ，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D E ，半径=r 题型五：点与圆的位置关系判断例13．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】依题意，方程220x y x y a +-++=可以表示圆，则22(1)140a -+->，得12a <；由点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部可知：2221210a +-++>，得4a >-.故142a -<<.故选：C例14．（2024·全国·高三专题练习）已知点()1,2P -在圆C ：222410x y kx y k +++++=的外部，则k 的取值范围是（）A ．21k -<<B ．12k <<C ．2k <-D ．2<<2k -【答案】B【解析】由222410x y kx y k +++++=，得()22232324k x y k ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭，则23304k ->，解得：2<<2k -①，又∵点()1,2P -在圆C 的外部，∴214810k k ++-++>，即220k k +->，解得2k <-或1k >②，由①②得12k <<，故选：B ．例15．（2024·四川自贡·高一统考期中）点P 在单位圆⊙O 上（O 为坐标原点），点()()1,1,0,1A B ---，AP AO AB μλ=+，则μλ+的最大值为（）A ．32B ．C ．2D ．3【答案】C【解析】如图所示：设(),P x y ，因为AP AO AB μλ=+，所以()()()1,11,11,0x y μλ++=+，则11x y μλμ+=+⎧⎨+=⎩，即11x y μλμ=+-⎧⎨=-⎩，因为点P 在圆221x y +=上，所以()()22111μλμ+-+-=，令t μλ=+，得222210t t μμ-+-+=，()()2224210t t ∆=---+≥，即220t t -≤，解得02t ≤≤，所以μλ+的最大值为2，故选：C变式28．（2024·全国·高二专题练习）点()5,P m 与圆2224x y +=的位置关系是（）A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不确定【答案】C【解析】因为22252524m m +=+>，所以点在圆外，故选：C变式29．（2024·全国·高二专题练习）若点()1,1a a +-在圆22240x y ay +--=的内部，则a 的取值范围是（）.A ．1a >B ．01a <<C ．115a -<<D ．1a <【答案】D【解析】由题可知，半径r =a ∈R ，把点()1,1a a +-代入方程，则()()()22112140a a a a ++----<，解得1a <，所以故a 的取值范围是1a <.故选：D变式30．（2024·全国·高二专题练习）已知圆222:O x y r +=，直线l ：234x y r +=，若l 与圆O 相交，则（）．A ．点()3,4P 在l 上B ．点()3,4P 在圆O 上C ．点()3,4P 在圆O 内D ．点()3,4P 在圆O 外【答案】D【解析】由已知l 与圆O 相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，225r r =<，故5r <，把()3,4P 代入23491625x y r +=+=>，所以点不在直线l 上，故A 错误；又5OP r =>，则点(2,3)P 在圆O 外，故D 正确.故选：D ．【解题方法总结】在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．题型六：数形结合思想的应用例16．（2024·高二校考单元测试）若直线:20l kx y --=与曲线1C x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．442,,233⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，曲线1C x =-表示以点(1,1)为圆心，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆（包括点(1,2)，(1,0)）．当直线l 经过点(1,0)时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时2k =，直线记为1l ；当l1=，得43k =，切线记为2l ．分析可知当423k <≤时，l 与曲线C 有两个不同的交点，故选：A ．例17．（2024·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线y10kx y k -+-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】曲线y 整理得22(2)1(0)x y y -+=≥，则该曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的圆的上半部分，直线10kx y k -+-=，即()110k x y +--=，则令1010x y +=⎧⎨--=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，则其过定点(1,1)--，如图，当[)12,k k k ∈时，曲线与直线有两个不同的交点，1=，得34k =或0k=，所以234k =，1101112k --==--，所以实数k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C ．例18．（2024·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考开学考试）直线y x b =+与曲线1y =有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是（）A ．(1-+B ．(11⎤--⎦C ．1,1⎡-+⎣D ．3,1⎡+⎣【答案】B【解析】由11y =≤可得1y -=，整理可得()2214x y +-=，其中1y ≤，所以，曲线1y =()2214x y +-=的下半圆，如下图所示：当直线y x b =+与曲线1y =-0b <，2=，解得1b =-当直线y x b =+过点()0,1-时，则有1b =-，由图可知，当11b -<≤-时，直线y x b =+与曲线1y =-故选：B.变式31．（2024·全国·高二专题练习）直线220x y +-=与曲线(10x y +-=的交点个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】因为曲线(10x y +-=就是10x y +-=或224x y +=，表示一条直线与一个圆，联立22010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，即直线220x y +-=与直线10x y +-=有一个交点()1,0；.联立222204x y x y +-=⎧⎨+=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或8565x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线220x y +-=与224x y +=有两个交点.所以直线220x y +-=与曲线(10x y +-=的交点个数为2个.故选：B变式32．（2024·高二单元测试）若两条直线1l ：y x m =+，2l ：y x n =+与圆22220x y x y t +--+=的四个交点能构成矩形，则m n +=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】由题意直线12,l l 平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，由圆22220x y x y t +--+=的圆心为：()1,1，圆心到1:l y x m =+的距离为：1d =圆心到2:l y x n =+的距离为：2d ==，m n ==，由题意m n ≠，所以0m n m n =-⇒+=，故选：A.变式33．（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线22:1033x y ⎛Γ--= ⎝，要使直线()y m m =∈R 与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A ．(()3,- B ．()3,- C ．()3,3D ．(【答案】B【解析】由题意得：2290x y +-≥，即229x y +≥，即曲线Γ上的点(),x y 为圆229x y +=上或圆229x y +=外的点，由221033x y ⎛--= ⎝得：22133y x -=或229x y +=，由22221339x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩得：x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩由此可得曲线Γ的图象如下图所示，由图象可知：当()3,m ∈-时，直线y m =与曲线Γ有四个不同交点；∴实数m的取值范围为()3,-.故选：B.变式34．（2024·吉林白山·统考二模）若过点(2,4)P 且斜率为k 的直线l与曲线y =有且只有一个交点，则实数k 的值不可能是()A ．34B ．45C ．43D ．2【答案】B【解析】如图，曲线y =即()2204y x y +=≥表示以O 为圆心，2为半径的上半圆，因为直线l y k x 24()=-+：即240kx y k --+=与半圆相切，2=，解得34k =．因为P 24A 20()()-,，,，所以()40122-==--PA k ，又直线l与曲线y =有且只有一个交点，所以PA k k >或34k =，所以实数k 的取值范围是3()41⎧⎫⎨⎬⎩⎭+∞⋃,故选：B变式35．（2024·全国·高三专题练习）若直线():40l x m y +-=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（）A ．m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤【答案】B【解析】x =表示的曲线是圆心为()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +-=必过定点()0,4，当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得3m =，当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点，所以要使直线和曲线有两个交点，则03m ≤<.故选：B.变式36．（2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点()2,0对称，当[]0,2x ∈时，()f x =()()20f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是（）A ．,⎛⋃-∞ ⎪⎪⎩⎭⎝⎭B ．2,4⎛⋃-∞- ⎪⎪⎩⎭⎝⎭C ．,412⎧⎛⎫⎪-⋃+∞ ⎪⎨⎪⎪⎩⎭⎝⎭D ．412⎧⎛⎫⎪⋃+∞ ⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭【答案】A【解析】方程()()20f x k x --=的根转化为()y f x =和()2y k x =-的图象的公共点的横坐标，因为两个图象均关于点()2,0对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．因为[]0,2x ∈时，()f x =所以22(1)1x y -+=，所以图象为圆的一部分，作出()y f x =和()2y k x =-的图象如图所示．当0k >时，只需直线()2y k x =-与圆()2251x y -+=相切，1=，可得k =当0k <时，只需直线()2y k x =-与圆22(3)1x y ++=相离，1>，解得得k <k >．故k 的取值范围是,412⎛⎫⋃-∞ ⎪ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭．故选：A ．变式37．（2024·湖北·高三校联考期末）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域224x y +≤．其中黑色阴影区域在y 轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则当224x y +≤时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A ．()22(sgn())10x x y x +--≤B ．()22(sgn())10y x y y -+-≤C ．()22(sgn())10x x y x +--≥D ．()22(sgn())10y x y y -+-≥【答案】C【解析】对于A 选项，当0x >时，()2222(sgn())1110x y x x y +--=+--≤，即表示圆()2211x y +-=内部及边界，显然不满足，故错误；对于C 选项，当0x >时，()2222(sgn())1110x y x x y +--=+--≥，即表示圆()2211x y +-=外部及边界，满足；当0x <时，()2222(sgn())1110x y x x y +--=++-≤，即表示圆()2211x y ++=的内部及边界，满足，故正确；对于B 选项，当0y >时，()2222(sgn())1110x y y x y -+-=-+-≤，即表示圆()2211x y -+=内部及边界，显然不满足，故错误；对于D 选项，当0y >时，()2222(sgn())1110x y y x y -+-=-+-≥，即表示圆()2211x y -+=外部及边界，显然不满足，故错误；故选：C【解题方法总结】研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．题型七：与圆有关的对称问题例19．（2024·高二单元测试）圆222410x y x y ++-+=关于直线10ax y ++=对称，则=a ．【答案】3【解析】由222410x y x y ++-+=可得圆的标准方程为：()()22124x y ++-=，则由题意得直线10ax y ++=过圆心()1,2-，代入直线方程有210a -++=，解得3a =，故答案为：3.例20．（2024·西藏日喀则·统考一模）已知圆22:4230C x y x ay +-++=关于直线260x y +-=对称，圆C 交y 于A 、B 两点，则AB =【答案】2【解析】圆22:4230C x y x ay +-++=，即()()22221x y a a -++=+，圆心()2,C a -，半径r =因为圆C 关于直线260x y +-=对称，所以()2260a +⨯--=，解得2a =-，所以()()22225x y -+-=，圆心()2,2C ，半径r =，则圆心()2,2C 到y 轴的距离2d =，所以2AB ==.故答案为：2例21．（2024·全国·高三专题练习）已知圆()()22129x y ++-=上存在两点关于直线()200,0ax by a b -+=>>对称，则224a b +的最小值是．【答案】2【解析】圆()()22129x y ++-=上存在两点关于直线()200,0ax by a b -+=>>对称，所以直线过圆心，有220a b --+=，即22a b +=.()222224422a b ab a b a b +=⋅⋅=+≥，当且仅当2a b =，即11,2a b ==时等号成立.∴()2222222424444a a a b b a b b b a =+++++=+≤，即2242a b +≥，所以11,2a b ==时，224a b +的最小值为2.故答案为：2变式38．（2024·北京·高三人大附中校考阶段练习）已知圆C 与圆D ：224230x y x y +--+=关于直线4250x y +-=对称，则圆C 的方程为．【答案】222x y +=【解析】因为22224230(2)(1)2x y x y x y +--+=⇒-+-=，设圆C 的圆心为(),C a b ，又因为圆C 与圆D 关于直线4250x y +-=对称，即圆心(2,1)D 与(,)a b 关于直线4250x y +-=对称，所以1(2)1221425022b a a b -⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，所以，圆C 的方程为222x y +=变式39．（2024·全国·高三专题练习）已知圆()()22139x y ++-=上存在两点关于直线()100,0ax by a b -+=>>对称，则13a b+的最小值是．【答案】16【解析】由圆的对称性可得，直线10ax by -+=必过圆心()1,3-，所以31a b +=，所以()1313333101016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当33b a a b =，即14a b ==时取等号，则13a b+的最小值是16故答案为：16变式40．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()2f x =的图像上有且仅有两个不同的点关于直线1y =的对称点在1y kx =+的图像上，则实数k 的取值范围是．【答案】4,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】由21(2)0x --≥，解得13x ≤≤，又1y kx =+关于直线1y =的对称直线为1y kx =-+，则题设等价于函数()2f x =的图像和1y kx =-+的图象有两个交点.易得()2y f x =等价于()222(2)1(13)x y x -+-=≤≤，画出()y f x =和1y kx =-+的图象，设直线1y kx =-+和()y f x =相切，1=，解得43k =-或0k =（舍），又当直线1y kx =-+过点()1,2时，1k =-，结合图象可知，当4,13k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，函数()2f x =的图像和1y kx =-+的图象有两个交点.故答案为：4,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦.变式41．（2024·全国·高三专题练习）已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x +=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为．【答案】相交【解析】由圆1C 的方程知其圆心()14,4C ，半径15r =；由圆2C 的方程知其圆心22,2C m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径2r =圆2C 关于直线10x +=对称，。

高考文科数学命题热点名师解密专题：圆的解题方法(含答案)

专题26 圆的解题方法一．【学习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.3.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.二．方法规律总结1.在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元一次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化.如果问题中给出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.2.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.4.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解.5.求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：(1)几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出.(2)代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出.(以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得).6.求直线被圆截得的弦长(1)几何方法：运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2·r2－d2.(2)代数方法：运用韦达定理.弦长|AB|＝[（x A＋x B）2－4x A·x B]（1＋k2）.7.注意利用圆的几何性质解题.如：圆心在弦的垂直平分线上，切线垂直于过切点的半径，切割线定理等，在考查圆的相关问题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题.三．【典例分析及训练】例1．圆：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，，设的坐标为,则,,,因为，所以，即，又，联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.故答案为B.练习1．已知圆上的动点和定点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，取点，连接，，，，，，，因为,当且仅当三点共线时等号成立,的最小值为的长，，，故选D.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.练习2．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.练习3．直线l是圆C1：（x+1）2+y2=1与圆C2：（x+4）2+y2=4的公切线，并且l分别与x轴正半轴，y轴正半轴相交于A，B两点，则△AOB的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，设OA=a，OB=b，由三角形相似可得：，得a=2．再由三角形相似可得：，解得b=．∴△AOB的面积为．故选A．（二）圆的一般方程例2．若由方程x2－y2＝0和x2＋(y－b)2＝2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是()A．b≥2或b≤－2B．b≥2或b≤－2 C．－2≤b≤2D．－2≤b≤2【答案】B练习1．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.练习2．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为A．a=1或a=–2B．a=2或a=–1 C．a=–1D．a=2【答案】C【解析】若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则，解得a=–1．故答案为：C（三）点与圆的位置关系例3．例3．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是A．B．C．D．【答案】B练习1.已知点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，四条直线围成的四边形面积，故选A.练习2．设点M（3，4）在圆外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，要使圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上存在点N，使得∠OMN＝，则∠OMN的最大值大于或等于时一定存在点N，使得∠OMN＝，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时OM＝5，ON＝，又点M（3，4）在圆x2+y2＝r2（r＞0）外，∴实数r的取值范围是．故选：C．（四）圆的几何性质例4．如图，在平面直角坐标系内，已知点，，圆C的方程为，点P为圆上的动点．求过点A的圆C的切线方程．求的最大值及此时对应的点P的坐标．【答案】（1）或；（2）最大值为，.【解析】当k存在时，设过点A切线的方程为，圆心坐标为，半径，，解得，所求的切线方程为，当k不存在时方程也满足；综上所述，所求的直线方程为：或；设点，则由两点之间的距离公式知，要取得最大值只要使最大即可，又P为圆上的点，，，此时直线OC：，由，解得舍去或，点P的坐标为练习1．已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线相切，与y轴交于M，N两点，且Ⅰ求圆C的标准方程；Ⅱ过点的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若时，求直线l的方程；Ⅲ已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得？若存在，求出A，B 两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I）；（II）或；（III）存在，或，满足题意.【解析】Ⅰ由题意知圆心，且，由知中，，，则，于是可设圆C的方程为又点C到直线的距离为，所以或舍，故圆C的方程为，Ⅱ设直线l的方程为即，则由题意可知，圆心C到直线l的距离，故，解得，又当时满足题意，因此所求的直线方程为或，Ⅲ方法一：假设在x轴上存在两定点，，设是圆C上任意一点，则即则，令，解得或，因此存在，，或，满足题意，方法二：设是圆C上任意一点，由得，化简可得，对照圆C的标准方程即，可得，解得解得或，因此存在，或，满足题意．练习2．设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，函数y，即（x﹣1）2+y2＝4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下半部分，又由点Q（2a，a﹣3），则Q在直线x﹣2y﹣6＝0上，当|PQ|取得最小值时，PQ与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，此时有2，解可得a＝1，圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+n）2+（y+2）2＝9相外切，则有3+2＝5，变形可得：（m+n）2＝25，则mn，故选：C．练习3．已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵||＝||＝1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．∴的最大值．故选：C．练习4．设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是() A．B．C．D．【答案】C【解析】圆的圆心为M(0,6)，半径为，设，则，即，∴当时，，故的最大值为.故选C.（五）轨迹问题例5.已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）令，则当，即时面积最大为2又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令故直线的方程为：（3）设点，由于点则，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以练习1．已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，求以弦GH为直径的圆的面积最小值及此时直线m的方程.学-科网（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.（O为坐标原点）【答案】（1）；（2）圆的面积最小值（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）由题意知，原心到直线的距离∴当即当时，弦长最短，此时圆的面积最小，圆的半径，面积又，所以直线斜率，又过点故直线的方程为：（3）设点，由于点法一：所以，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以法二：∴从而练习2．四棱锥P-ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．球的一部分D．抛物线的一部分【答案】A练习3．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点，设点的坐标，若，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P，且l1⊥l2，∴P在线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02＝1，∴1，故A错误，B正确；3x02+2y02＞2x02+2y02＝2（x02+y02）＝2＞1，故C正确；由圆x2+y2＝1在P（x0，y0）的切线方程为：x0x+y0y＝1，如图，∵坐标原点O（0，0）与点（）在直线x0x+y0y＝1的同侧，且x0×0+y0×0＝0＜1，∴，故D正确．∴不正确的选项是A．故选：A．练习4．已知圆C：(为锐角) ,直线l：y=kx,则A．对任意实数k与,直线l和圆C相切B．对任意实数k与,直线l和圆C有公共点C．对任意实数k与,直线l和圆C相交D．对任意实数k与,直线l和圆C相离【答案】B【解析】由题意，圆心坐标为：，所以圆心的轨迹方程为：，所以圆心与原点的距离为1，所以圆必过原点.由于直线过原点，所以直线与圆必有交点.故选B.（六）直线与圆的位置关系例6.已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线上一点，圆与轴相切（为圆心），且，关于点对称.（1）求圆和抛物线的标准方程；（2）过的直线交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：.【答案】（1）的标准方程为.的标准方程为（2）见证明【解析】（1）设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为.已知在直线上，故可设因为，关于对称，所以，解得所以的标准方程为.因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为.（2）由（1）知，直线的斜率存在，设为，且方程为则到直线的距离为，所以，由消去并整理得：.设，，则，，.所以因为，，，所以所以，即.练习1．已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）直线的斜率，的中点坐标为直线的方程为（2）设圆心，则由点在上，得．①又直径，，．②由①②解得或，圆心或圆的方程为或练习2．已知直线，曲线，若直线与曲线相交于、两点，则的取值范围是____；的最小值是___.【答案】【解析】直线l：kx﹣y k＝0过定点（1，），曲线C为半圆：（x﹣2）2+y2＝4（y≥0）如图：由图可知：k OP，k PE，∴；要使弦长AB最小，只需CP⊥AB，此时|AB|＝22，故答案为：[，]；．练习3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2＝1和点，点B（1，1），M 为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为_____．【答案】【解析】如图所示，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．∵OM＝1，OA＝，OK＝2，∴，∵∠MOK＝∠AOM，∴△MOK∽△AOM，∴，∴MK＝2MA，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|，在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，∵B（1，1），K（﹣2，0），∴|BK|＝.故答案为：．练习4．已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为_____，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为_____．【答案】0或2．（七）圆与圆的位置关系例1．在平面直角坐标系中，已知点和直线：，设圆的半径为1，圆心在直线上.（Ⅰ）若圆心也在直线上，过点作圆的切线.（1）求圆的方程；（2）求切线的方程；（Ⅱ）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）(1)或（2）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）(1)由得圆心为，∵圆的半径为1，∴圆的方程为：.（2）由圆方程可知过的切线斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即，∴，解之得：或，∴所求圆的切线方程为：或.即或.（Ⅱ）∵圆的圆心在直线：上，设圆心为，则圆的方程为：，又∵，∴设为，则整理得：，设为圆,∴点应该既在圆上又在圆上∴圆和圆有公共点，∴,即：，解之得：即的取值范围为：.练习1．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，记外接圆为圆.(1)求圆的方程；(2)在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在，且个数为2【解析】(1)设外接圆的方程为,将代入上述方程得：解得则圆的方程为(2)设点的坐标为，因为，所以化简得：.即考查直线与圆的位置关系点到直线的距离为所以直线与圆相交，故满足条件的点有两个。

★圆的解题方法-(讲稿) 【完整版】

专题---圆的解题方法【考点1】圆的方程综合应用1．过点P （1,1）的直线，将圆形区域{（x ，y ）|x 2+y 2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）+y-2===+3y-4=0【答案】A2．已知圆C ：2221()()64x a y a -+-=(a ∈R)，则下列命题：①圆C 上的点到()1,0的最短距离的②已知圆O :225x y +=,直线l :cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<).设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则k =（）.【解析】圆心到直线的距离为220011cos sin d θθ+-==+.圆225x y +=的半径5r =，12r >，结合图形可知，在直线l 的两侧圆O 上各有两个点到直线l 的距离等于1，所以4k =，选D .3．【最新高考湖北，理14】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=；②2NB MA NAMB-=；③22NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）①②③（Ⅱ）联立方程组⎩⎨⎧=-+-=2)2()1(022y x x ，解得⎩⎨⎧-==120y x 或⎩⎨⎧+==120y x ，因为B 在A 的上方，所以)12,0(-A ，)12,0(+B ，令直线MN 的方程为0=x ，此时M)1,0(-M ，)1,0(N ，所以2||=MA ，22||+=MB ，22||-=NA ，2||=NB 因为221222||||-=-=NB NA ，12222||||-=+=MB MA ，所以NA MA NBMB=.所以2221(21)22222NB MA NA MB -==-=-+，22212122222NB MA NAMB+=+=-+.4．已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程； (2)当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积（2）由（1）可知M 的轨迹是以点(1,3)N 2为半径的圆.由于||||OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥. 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-，故l 的方程为1833y x =-+.又||||2OP OM ==O 到l 的距离为105，410||5PM =，所以POM ∆的面积为165.5．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．6．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. 求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点；6.已知平面区域恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为______________．答案 (x －2)2＋(y －1)2＝5解析由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆． ∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝＝，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 7.已知圆C ：2221()()64x a y a -+-=(a ∈R)，则下列命题：①圆C 上的点到()1,0的最短距离的最小值为78；②圆C 上有且只有一点P 到点1,08⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到直线38x =-的距离相等；③已知3,08A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在圆C 上有且只有一点P ，使得以AP 为直径的圆与直线18x =相切.真命题的个数为（） A ．0123【答案】D【解析】已知动圆C 的圆心的轨迹方程为：2y x =，所以动圆C 构成的轨迹为夹在抛物线218y x =-和抛物线218y x =+之间的部分（包括边界），所以①②③都满足题意，选D . 【类型2】直线与圆位置关系8．直线l 过点()0,2且圆2220x y x +-=相切，则直线的l 的方程为（）3480x y +-=.3420x y ++=C.3480x y +-=或0x =D.3420x y ++=或0x =【解析】当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，而圆心为()1,0，半径为1，所以1d ==，解得34k =-；当直线l 的斜率不存在，即直线l 为0x =时，直线l 与圆2220x y x +-=相切，所以直线l 的方程为3480x y +-=或0x =，故选：C ．9．在ABC ∆中，若sin sin sin 0a A b B c C +-=，则圆22:1C x y +=与直线:0l ax by c ++=的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定【答案】A10．已知不等式22x x ax a -+≤+恒成立，则a 的取值范围是．解析：由题意直线(1)y a x =+恒在半圆22(1)1(0)x y y -+=≥上方（可相切），当3a =时，直线(1)y a x =+与半圆22(1)1(0)x y y -+=≥，所以a 的取值范围是3[,)+∞ 11．已知圆,圆,则两圆公切线的方程为__________．【答案】10x +=【解析】圆221:1C x y +=，圆心为(0,0)，半径为1；圆()222:425C x y -+=，圆心为(4,0)，半径为5. 圆心距为4=5-1，故两圆内切.切点为(-1,0)，圆心连线为x 轴，所以两圆公切线的方程为1x =-，即10x +=. 故答案为：10x +=.12．已知直线()():21440l m x m y m ++-+-=上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：222430x y x y ++-+=的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是（）A.1-≤≤2m≤-或8m≥m≤≤210m≤或2m≥28m【答案】C13．如图，已知圆的圆心为C，此圆和直线在轴上方有两个不同交点A、B，（1）求的取值范围；（2）求面积的最大值及此时a的值.【答案】（1）（2）时取得最大值【解析】试题分析：（1）由圆心到直线距离与半径关系确定交点个数,再根据直线斜率得交点位置,求交集得的取值范围；（2）由垂径定理得,再根据三角形面积公式以及基本不等式求最值试题解析：(1)由得解得或，又,即a 的取值范围是(2),当且仅当即即时取得最大值.(或利用二次函数的最值也可以).14．已知圆C 与直线2x —y +5=0及2x -y -5=0都相切,圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为A.(x +1)2+(y -1)2=+y 2=5C.(x -1)2+(y 5y25【答案】B【解析】因为两条直线2x －y ＋5＝0与2x －y －5＝0平行，故它们之间的距离为圆的直径，即225522521r +==+r 5设圆心坐标为P (a ，－a )，则满足点P 3535555a a +-==，解得a＝0，故圆心为(0，0)，所以圆的标准方程为x 2＋y 2＝5，故选B.15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为_________. 【答案】32【解析】由射影定理得2224OD OM OP OM OP =⋅∴⋅== 设()()222222222111111121,,,4,4y y y M x y P x y x yx y x y x x x x x++==∴++=2214x y x x+∴=因为11144x y +=-，所以11x 1,44x y x +⋅=-14x x y x =- 所以2222221114400,+-222x y y x x y y x x y y x+⎛⎫⎛⎫∴=->∴+-+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因此线段AM 长的最大值为22111432222⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【类型3】与圆有关的最值和范围问题16．已知圆()()221:21C x a y ++-=与圆()()222:24C x b y -+-=相外切，,a b 为正实数，则ab 的最大值为（）94233262【答案】A【解析】由题意()()22223a b --+-=，又0,0a b >>，∴3a b +=，则2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当32a b ==时取等号，故选A ．17．已知点3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2B -，且点C 是圆2220x y y +-=上的动点，则ABC ∆面积的最大值为（）5272154【答案】B故选B.18．已知圆22:210250M x y x y +--+=，圆22:146540N x y x y +--+=，点,P Q 分别在圆M 和圆N 上，点S 在x 轴上，则SP SQ +的最小值为（）利用对称性求最值【答案】A【解析】圆M 的圆心为()1,5M ，半径1M R =，圆N的圆心为()7,3，半径2NR =.M关于x轴的对称点为()1,5M '-，所以()()22713510M N =-++='，故127SP SQ M N -'+=-=为其最小值.19．如果圆()()22229x t y t -+-=上总存在两个点到点(1,1)的距离为2,则实数t 的取值范围是2225,44⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭.252222225,,4444⎛⎫⎛⎫--++⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22232,44⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭.2322222232,,4444⎛⎫⎛⎫--++⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】B20．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为______．建立目标函数求最值问题【解析】M 在()()22221x y -+-=，∴可设()2cos ,2M sin θθ++，可得()2cos ,2N sin θθ+--，将N 的坐标代入30kx y ++=，可得cos 21sin k k θθ-=+，2211k k +≤+，化为得24340,03k k k +≤-≤≤，k 的最小值为43-21．设点P 是函数()241y x =---的图象上的任意一点，点()()2,3Q a a a R -∈，则PQ 的最大值为（）．752+52+7555【解析】函数()241y x =---的图象为半圆()()22140x y y -+=≤Q 在直线3,2602xy x y =---=上,所以PQ 的最大值为圆心到直线距离加半径,即162525-+=+,选B22．已知点()4,2(0,0)a b a b >>在圆22:4C x y +=和圆()()22:224M x y -+-=的公共弦上，则12a b+的最小值为（）．1248【解析】圆22:4C x y +=和圆()()22:224M x y -+-=的公共弦方程为44440+y=24a+2b=2,2a+b=1x y x -+-=∴∴()1212442442448b a b aa b a b a b a b a b⎛⎫∴+=++=++≥+⨯=+= ⎪⎝⎭选D 【方法总结】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.23.已知直线:10l x y +-=截圆222:(0)x y r r Ω+=>所得的弦长为，点,M N 在圆Ω上，且直线()()':12130l m x m y m ++--=过定点P ，若PM PN ⊥，则MN的取值范围为（）22,23⎡⎤+⎣⎦.22,22⎡⎣62,63⎡⎤-+⎣⎦.62,62⎡⎤-+⎣⎦【解析】圆心到直线的距离为2=21+1，可得21214,2r -=解得2r =，因为直线()():12130l m x m y m -'++-=，可化为()230x y m x y -++-=，由0{230x y x y -=+-=可得1{ 1x y ==，所以()():12130l m x m y m -'++-=过定点()11，，故()11P ，；设MN 的中点为(),Q x y ，则222OM OQ MQ =+22OQ PQ =+,即()()2222411x y x y =++-+-，化简可得22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点Q 的轨迹是以11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，6为半径的圆，P 到圆心的距离为22，所以PQ 的取值范围为6262,⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，所以MN 的取值范围为62,62⎡⎤-+⎣⎦，故选D ．【类型4】与圆有关的轨迹问题24．动点P 与定点()()1010A B -，，，的连线的斜率之积为1-，则点P 的轨迹方程是（）A ．221x y +=B ．()2210xy x +=≠ C ．()2211x y x +=≠±D ．21y x =-考点：直接法求轨迹．26．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（）A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C ．22(4)(2)4x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-=【答案】A27．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为，线段MN 的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝.从而又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点和(点P 在直线OM 上的情况)．【提高型训练】28．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.29．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，又k AC＝，k BC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y 代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．30．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．(2)设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.31．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2，在y 轴上截得的线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r，则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P点的坐标为(x0，y0)，则＝，即|x0－y0|＝1.∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y －x ＝1，得(x 0＋1)2－x ＝1.∴∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y －x ＝1，得(x 0－1)2－x ＝1.∴∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.32．如图，在棱长为2的正四面体A BCD -中，E F 、分别为直线AB CD 、上的动点，且3EF =.若记EF 中点P 的轨迹为L ，则L 等于____________.（注：L 表示L 的测度，在本题，L 为曲线、平面图形、空间几何体时，L 分别对应长度、面积、体积.）【答案】π【解析】为了便于计算，将正四面体放置于如图的正方体中，可知，正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，设())()11220,,,2,2,,,E y y F y y P x y z ，()()()2221212223EF y y y y =+-+-+=即()(22121221y y y y -++=，又121222{222x y y y y y z =+==，即12122{222x y y y y y z =+==，代入上式得()()2222221z y -+-=，即222214y z ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即P 的轨迹为半径为12的圆，周长为2L r ππ==.【方法总结】本题考查了立体几何中的解析几何问题，属于难题，立体几何中的轨迹问题，既考查了空间想象能力，同时又将空间几何的轨迹问题转化为平面几何的轨迹，一般会有两种方法，一种题设更趋向于空间几何，根据几何关系与圆锥曲线的定义建立联系，得到轨迹，另一种需建立坐标系，得到动点的轨迹方程，根据方程形式判断轨迹.【类型5】两圆的位置关系33．过点()1,1P --向圆()()22:111C x y -+-=作两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为_______________________．34．若圆()2221:240C x y ax a a R +++-=∈与圆()2222:210C x y by b b R +--+=∈恰有三条公切线，则a b +的最大值为__________．【答案】6【解析】由题意得两圆相外切,即1212C C r r =+()()220021a b --+-=+22229,262a b a b a b +∴+=+≤=。

高考数学复习点拨巧用圆心妙解题.doc

巧用圆心妙解题圆是解析几何的基本图形之一，它既是中心对称图形，也是轴对称图形．在解决与圆有关的问题时，善于抓住圆心，可使问题迅速得到解决．1．最值问题例1 已知2264120x y x y +--+=，求22x y +的最大值与最小值．解：将已知方程配方，得22(3)(2)1x y -+-=，圆心(32)C ，，半径1r =．22(03)(02)1-+->，∴原点在圆外．OC ∴．又22x y +表示圆上动点到坐标原点距离的平方，22x y ∴+的最大值为22()1)14OC r +==+22x y +的最小值为22()1)14OC r -==-点评：若点P 是圆C 外一点，则该点与圆上点的最大距离为PC r +，最小距离为PC r -；若点P 在圆内，则该点与圆上点的最大距离为PC r +，最小距离为r PC -．例2 已知圆2264120C x y x y +-++=：，点P 在圆上，求点P 到直线50l x y +-=：的最大距离和最小距离，并求最近点的坐标．解：将已知方程配方，得22(3)(2)1x y -++=， ①圆心(32)C -，，半径1r =，圆心C 到直线l的距离1d =，∴直线与已知圆相离，点P 到直线l最大距离为1，到直线l最小距离为1．过(32)-，与l 垂直的直线方程是50x y --=， ②联立①，②，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）则点⎝⎭为圆上与直线50x y +-=最近的点．点评：当直线与圆相离时，圆上的点到直线最大距离为d r +，最小距离为d r -；当直线与圆相交时，圆上的点到直线最大距离为d r +，最小距离为0（其中d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径）．2．对称问题例3 求与圆224240x y x y +-++=关于直线30x y -+=成轴对称的圆的方程．分析：圆关于直线对称的曲线仍是圆，且两圆大小相等，只是两圆圆心位置不同，因此，此类问题可化归为点关于直线的对称点问题来解决．解：将已知圆的方程配方，得22(2)(1)1x y -++=，圆心(21)C -，，半径1r =．设(21)C -，关于直线30x y -+=的对称点为00()C x y '，，则 00001112213022y x x y +⎧⨯=-⎪-⎪⎨+-+⎪-+=⎪⎩，，解得0045x y =-⎧⎨=⎩，， ∴所求圆的方程为22(4)(5)1x y ++-=，即22810400x y x y ++-+=．点评：求解点（或曲线）关于直线y x b =±+的对称问题时，还可利用代换法，比如本例，由30x y -+=，得33x y y x =-⎧⎨=+⎩，，代入已知圆的方程224240x y x y +-++=，得22(3)(3)4(3)2(3)40y x y x -++--+++=，化简即得所求对称圆的方程，即22810400x y x y ++-+=，该方法适合于求解客观题型．3．判断位置关系例4 已知点00()M x y ，是圆222x y r +=内异于圆心的点，则直线200x x y y r +=与此圆的交点的个数为（）Ａ．2个Ｂ．1个Ｃ．0个Ｄ．不能确定解析：点00()M x y ，是圆222x y r +=内异于圆心的点，22200(0)(0)x y r ∴-+-<，即22200x y r +<，圆心到直线200x x y y r +=的距离2r d r r=>=，故直线与圆没有交点，选（Ｃ）．点评：判断点（或直线）与圆的位置关系时，常利用圆心到点（或直线）的距离与半径大小进行比较，该方法简捷方便．4．求参数的大小例5 已知圆22()(2)4(0)C x a y a -+-=>：及直线30l x y -+=：，当直线l 被圆C 截得的弦长为a =（）Ｂ．2 1 1解析：如右图，依题意，圆心(2)a ，到直线l 的距离应等于1，1=，1a ∴=-0a >，1a ∴=，选（Ｃ）．点评：在解与弦长有关的问题时，从圆的几何性质入手，运用垂径定理可得弦长=（r 为圆的半径，d 为弦心距），从而使问题得以迅速解决．。

答案--圆的解题方法归纳

- -OCBAOCBA 圆的解题方法归纳1．遇到弦时〔解决有关弦的问题时〕常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径〔或直径〕或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

1、AB 是的直径，CD 是的一条弦，且CE ⊥AB 于E ，连结AC ，BC 。

假设BE=2，CD=8，求AB 和AC 的长。

解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ∴CE=ED=4 设⊙O 的半径为r ，OE=OB-BE=r-2 在Rt △OEC 中，r=5 ∴AB=10又CD=8，∴CE=DE=4，∴AE=8∴AC=2、圆O 的直径AB 和弦CD 交于E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30求CD 。

答案2．遇到有直径时常常添加〔画〕直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。

1、如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=2、如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠BAC=50°，那么∠ADC=3．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

1、如图，AB 、AC 是⊙O 的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O 的半径是ACFOEB D--2、如图，在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D；求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线解：〔1〕作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆〔2〕证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°∴AD是⊙O的直径连结OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A =30°∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线.4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

2022年高考数学必刷压轴题专题38与圆相关的张角问题含解析

专题38 与圆相关的张角问题【方法点拨】 1. 圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大. 2. 圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.【典型题示例】例1 设点(),1M m ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=，则m 的取值范围是（） A. 3,3⎡⎤-⎣⎦ B. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. []2,2- D. 33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由圆的性质可知：圆上一点T ，与,M O 所组成的角OMT ∠，当M T 与圆相切时，OMT ∠最大.所以若圆上存在点N ，使得30OMN ∠=，则30OMT ∠≥.由(),1M m 和221x y +=可知过M 且与圆相切的一条直线为1y =，切点()0,1T ，所以在直角三角形OMT 中，3tan 3OT OMT TM =≥，从而333TM m ≤⇒-≤≤ . 例2 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，动圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22 【解析】由题意得圆心M (a ，a －4)在直线x －y －4＝0上运动，所以动圆M 是圆心在直线x －y －4＝0上，半径为1的圆．又因为圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使∠APB ＝60°，所以OP ＝2，即点P 也在x 2＋y 2＝4上，于是2－1≤a 2＋a －42≤2＋1，即1≤a 2＋a －42≤3，解得2－22≤a ≤2＋22，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22. 例3 已知圆C ：()()22232x y -+-=．若直线l ：0x y m ++=上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则m 的取值范围是（）A ．(),9-∞-B ．(][),91,-∞⋃-+∞C ．()1,-+∞D ．[]9,1--【答案】D 【分析】由60APB ∠=︒，可求得2PC r =，求出圆心到直线的距离，只要这个距离不大于2r 即可得．【解析】根据题意，圆C ：()()22232x y -+-=的圆心为()2,3，半径r = 过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，连接PC ，若60APB ∠=︒，则30APC ∠=︒，又由CA PA ⊥，则||2||2PC CA r ===若直线l ：0x y m ++=上存在点P ，满足60APB ∠=︒，则有C 到直线l 的距离d =≤解可得：91m -≤≤-，即m 的取值范围为[]9,1--，故选：D ．【巩固训练】1.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.2.已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 .3.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(2)()3C x y m ++-=．若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围是．4.已知圆222:(0)O x y r r +=>与圆22:(4)(3)8C x y -++=，圆O 上至少存在一点P ，使得圆C 上总存在两点A B 、，使得APB ∠为钝角，则r 的取值范围是 .5. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30︒，则a 的取值范围为．6.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA ―→·PB ―→≤0，则线段EF 长度的最大值是________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于,M N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动．若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是．【答案与提示】 1.【答案】【提示】由2OM ≤解得. 2.【答案】 [1,5]【提示】设00(,6)A x x -，由4AM ≤解得.3.【答案】【提示】即90AOB ∠=，故只需26OC r ≤=4.【答案】【提示】易知，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.5.【答案】[－65，0] 【提示】【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将Q 固定不动，则点P 在圆O 运动时，当PQ 为圆O 的切线时，∠OQP 最大，故满足题意，需∠OQP ≥30︒，再将角的范围转化为O 、Q 间的距离问题，即需OQ ≤2.再固定P 不动，易得只需OM ≤3即可，利用两点间距离公式(a ＋3)2＋(2a )2≤9，解得－65 ≤a ≤ 0. 6.【答案】14【解析】由PA ―→·PB ―→≤0得∠APB ≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB 才是最大的角，不妨设切线为PM ，PN ，当∠APB ≥90°时， ∠MPN ≥90°，sin ∠MPC ＝2PC ≥sin 45°＝22，所以PC ≤2 2.另当过点P ，C 的直线与直线l ：y ＝x ＋1垂直时，PC min ＝322，以C 为圆心，CP ＝22为半径作圆交直线l 于E ，F 两点，这时的线段长即为线段EF 长度的最大值，所以EF max ＝22r(22－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222)＝14.7.【答案】【错解】考虑若为直角,则动圆与以为直径的圆相外切，故两圆相离时，满足.[]1,1-[2,2]-2AB GO =OA OB ⊥(,4)(71,)-∞--+∞MPN ∠,M N 2(1)+122a +>7171a a ><-或【错因】当动圆在左侧时，此时，圆与已知直线相交，圆上存在点与两点连线构成的角为零角，需排除.还需动圆与直线相离.2y x =+,M N 2y x =+。

高考数学(文)热点题型和提分秘籍：专题36圆的方程(含答案解析)

1．掌握确立圆的几何因素，掌握圆的标准方程与一般方程。

2．初步认识用代数方法办理几何问题的思想。

热门题型一求圆的方程例 1、(1)若圆心在x 轴上、半径为5的圆O′位于y 轴左边，且与直线x＋2y＝ 0 相切，则圆O′的方程是()A ． (x－ 5)2＋ y2＝ 5 或 (x＋ 5)2＋ y2＝ 5B． (x＋5)2＋ y2＝5C． (x－ 5)2＋ y2＝ 5D． (x＋ 5)2＋ y2＝ 5(2)假如一个三角形的三边所在的直线方程分别为x＋ 2y－5＝ 0，y－ 2＝0，x＋ y－ 4＝ 0，则该三角形的外接圆方程为________。

由于 AB 的垂直均分线方程为x＝3， BC 的垂直均分线方程为：x－ y－1＝ 0，233x＝2解方程组x＝2得1x－ y－ 1＝ 0，y＝2，即圆心坐标为3，1 ，22半径 r＝3 2 1 2101－2＋2－2＝2，3 2125所以，所求圆的方程为x－2＋y－2＝2。

即 x2＋ y2－ 3x－ y＝ 0。

【提分秘笈】1．求圆的方程的两种方法(1)直接法：依据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，从而写出方程。

(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 相关，则设圆的标准方程，依照已知条件列出对于a， b， r 的方程组，从而求出a，b， r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依照已知条件列出关于 D， E， F 的方程组，从而求出D， E，F 的值。

2．确立圆心地点的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上。

(2)圆心在圆的随意弦的垂直均分线上。

(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线。

提示：解答圆的相关问题，应注意数形联合，充足运用圆的几何性质。

【贯通融会】若圆 C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－ 3y＝ 0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ()A． ( x－ 2)2＋(y－ 1)2＝ 1B．( x－ 2)2＋ (y＋1) 2＝ 1C．( x＋ 2)2＋ (y－1) 2＝ 1D． ( x－ 3)2＋(y－ 1)2＝ 1【答案】 A热门题型二与圆相关的最值问题例 2、已知实数x， y 知足 x2＋ y2－ 4x＋ 1＝0，求：y(1) 的最大值；(2)y－ x 的最小值；(3)x2＋ y2的最值。

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