高考文科数学命题热点名师解密专题：圆的解题方法(含答案)

专题26 圆的解题方法

一．【学习目标】

1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.

2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.

3.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.

二．方法规律总结

1.在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元一次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化.如果问题中给出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.

2.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.

3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.

4.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解.

5.求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：

(1)几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出.

(2)代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出.

(以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得).

6.求直线被圆截得的弦长

(1)几何方法：运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2·r2－d2.

(2)代数方法：运用韦达定理.

弦长|AB|＝[（x A＋x B）2－4x A·x B]（1＋k2）.

7.注意利用圆的几何性质解题.如：圆心在弦的垂直平分线上，切线垂直于过切点的半径，切割线定理等，在考查圆的相关问题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题.

三．【典例分析及训练】

例1．圆：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，

若点的坐标为，则点的坐标为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由题意知，，设的坐标为,则,,,

因为，所以，即，又，

联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.

故答案为B.

练习1．已知圆上的动点和定点，则的最小值为（）A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

如图，取点，连接，

，，

，，

，

，

因为,当且仅当三点共线时等号成立,

的最小值为的长，

，

，故选D.

【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用

这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.

练习2．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段

的长度的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得

，设，

，令解得，由于，可知当

时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，

故时，且，所以，函数单调递减.当时，，

，当时，，即单调递增，且

，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时

.故选A.

练习3．直线l是圆C1：（x+1）2+y2=1与圆C2：（x+4）2+y2=4的公切线，并且l分别与x轴正半轴，y轴正半轴相交于A，B两点，则△AOB的面积为

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】如图，

设OA=a，OB=b，由三角形相似可得：，得a=2．

再由三角形相似可得：，解得b=．

∴△AOB的面积为．故选A．

（二）圆的一般方程

例2．若由方程x2－y2＝0和x2＋(y－b)2＝2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是()

A．b≥2或b≤－2B．b≥2或b≤－2 C．－2≤b≤2D．－2≤b≤2

【答案】B

练习1．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

【解析】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.

练习2．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为

A．a=1或a=–2B．a=2或a=–1 C．a=–1D．a=2

【答案】C

【解析】若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，

则，解得a=–1．故答案为：C

（三）点与圆的位置关系

例3．例3．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变

化时，的取值范围是

A．B．C．D．

【答案】B