抛物线高考真题精选
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由抛物线定义，．而余弦定理，，再由，得到，所以的最大值为，故选：A．【考点】双曲线的简单性质.2.已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2－x＋y2＝4（2）存在，(1，－2)和(1,2)【解析】(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9．设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得到x2－x＋y2＝4．(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．由方程组，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2．故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．3.动直线l的倾斜角为60°，且与抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．【答案】x2＝y【解析】设直线l的方程为y＝x＋b，联立，消去y，得x2＝2p(x＋b)，即x2－2px－2pb＝0，∴x1＋x2＝2p＝3，∴p＝，则抛物线的方程为x2＝y．4.已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.5.已知抛物线C：的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】由抛物线的方程可知焦点，直线的斜率为，则直线的方程为，设.将直线方程和抛物线方程联立削去并整理可得，解得.所以.故B正确.【考点】1直线与抛物线的位置关系；2数形结合思想.6.设点P是曲线y＝x2上的一个动点，曲线y＝x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为________．【答案】【解析】设P(x0，x2)，又y′＝2x，则直线PQ的方程为y＝－＋＋x2.代入y＝x2得x2＋－－x2＝0，即(x－x)＝0，所以点Q的坐标为.从而PQ2＝2＋2，令t＝4x2，则PQ2＝f(t)＝t＋＋＋3(t>0)，则f′(t)＝，即f(t)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故当t＝2时，PQ有最小值.7.已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A ，B两点．(1)如图所示，若，求直线l的方程；(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．【答案】（1）；（2）长轴长的最小值为.【解析】（1）首先求得抛物线方程为.设直线方程为，并设利用，得到；联立，可得，应用韦达定理得到，从而得到，求得直线方程.（2）可求得对称点，代入抛物线中可得：，直线方程为，考虑到对称性不妨取,椭圆设为联立直线、椭圆方程并消元整理可得，由，可得，即得解.（1）由题知抛物线方程为。
高考数学专题《抛物线》习题含答案解析
专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。
2024高考数学专项一题打天下之抛物线(共25问)
2024高考数学专项一题打天下之抛物线(共25问)一题打天下之抛物线(共25问)题干：已知动圆过定点(4,0)，且在y轴上截得的弦长为8考点1：求标准方程(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；考点2：抛物线的定义(1)已知点F(2,0),若P为轨迹C的点，且PF=4，求P的坐标(注意通径)(2)已知点F(2,0),若P为轨迹C的点，且P到y轴的距离为4，求PF(3)抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，生活中的探照灯就是利用这个原理设计的，已知F是轨迹C的焦点，从F发出的光线经C上的点M反射后经过点(6,42),求FM(4)已知点F(2,0),点P为轨迹C上第一象限内的一点，作PM垂直于直线l：x=-2，交直线l于M，若PF的斜率为3,求MF答案8(5)M为轨迹C上的点，且FM的延长线交y轴于N，若M为FN的中点，求FN的长（答案6）(6)已知P为直线l：x=-2上的一点，作PA⏊PF交y轴负半轴于A点，连接AF交轨迹C于B点，若PB⎳x轴，求FA的长（答案6,斜边上的中线为斜边的一半）(7)已知点F (2,0),直线l 过点F 且与轨迹C 交于P 、Q 两点，且若PF =3FQ ，求直线l的方程（三种方法）(8)若轨迹C 的焦点为F ，准线为l ，M 是l 上一点，N 是直线MF 与C 的一个交点，若FM =4FN ，求|NF |的长考点3：抛物线中的最值问题(1)若点P 是轨迹C 上的一个动点，求点P 到点(3，0)的距离的最小值(2)已知点F (2,0),T (3，4)，P 是轨迹C 上的一动点，求PF +PT 的最小值(3)已知P 是轨迹C 上的一动点,求点P 到直线y =x +4和y 轴的距离之和的最小值(4)若点P 是轨迹C 上的一个动点，点Q 是圆(x -3)2+y 2=1的动点，则求PQ 的最小值(5)点P 是轨迹C 上的一个动点，求点P 到直线y =x +4的距离的最小值考点3：直线与抛物线的位置关系(1)过点(-2，0)的直线与轨迹C 只有一个公共点，求此直线方程(2)已知点F (2,0),直线l 过点F 且与轨迹C 交于P 、Q 两点，且PQ =16，求直线l 的方程(3)已知点F (2,0),直线y =x -1交轨迹C 交于P 、Q 两点，求PQ 的中点坐标(4)已知点F (2,0),斜率为2的直线l 与轨迹C 的交点为A ,B ，与x 轴的交点为P ，若AP =2PB ,求△ABF 的周长和面积(5)已知点F (2,0),求证：命题“如果直线l 过点F 且与轨迹C 交于P 、Q 两点，那么OP •OQ =-12恒成立”是真命题(6)写出(4)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。
2025届高考数学复习：历年高考真题专项(抛物线)阶梯练习(附答案)
2025届高考数学复习：历年高考真题专项（抛物线）阶梯练习[基础强化]一、选择题1．抛物线y＝14x2的焦点到其准线的距离为()A．1 B．2C．12D．182．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为() A．(－1，0) B．(1，0)C．(0，－1) D．(0，1)3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为()A．抛物线B．直线C．线段 D．射线4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x23－y2＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－4B．4 C．－2D．25．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝()A.2 B．22C．3 D．326．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3 C．4D．87.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x8．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA → ꞏOB →等于( ) A ．34 B ．－34 C ．3 D ．－39．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为(3，y 0)时，△AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为( )A ．433B ．3C ．233D ．33 二、填空题10．已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．11．已知点A ()1，5 在抛物线C ：y 2＝2px 上，则A 到C 的准线的距离为________． 12．已知直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．[能力提升]13．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]设O 为坐标原点，直线y ＝－3 (x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形14．(多选)[2024ꞏ新课标Ⅱ卷]抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ，P 为C 上动点，过P 作⊙A ：x 2＋(y －4)2＝1的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B .则( )A ．l 与⊙A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，|PQ |＝15C ．当|PB |＝2时，P A ⊥ABD ．满足|P A |＝|PB |的点P 有且仅有2个15．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM ⊥l ，垂足为M ，若等边△PMF 的面积为43，则p ＝________．16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A ，B两点(点A在x轴上方)，则|AF||BF|＝________.参考答案[基础强化]一、选择题1．抛物线y ＝14 x 2的焦点到其准线的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．12 D ．18 答案：B答案解析：y ＝14 x 2可化为x 2＝4y ，则焦点到准线的距离为12 ×4＝2.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1) D ．(0，1) 答案：B答案解析：∵y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2 ，又准线过点(－1，1)，∴－p2 ＝－1，∴p ＝2，故其焦点坐标为(1，0).3．动点M 到点F (2，1)的距离和到直线l ：3x ＋4y －10＝0的距离相等，则动点M 的轨迹为( )A ．抛物线B ．直线C ．线段D ．射线 答案：B答案解析：∵F (2，1)在直线l ：3x ＋4y －10＝0上，∴动点M 的轨迹为过点F 且与直线l 垂直的直线．4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23 －y 2＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2 答案：B答案解析：∵x 23 －y 2＝1的右焦点为(2，0)，∴p 2 ＝2，p ＝4.5．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( )A.2 B ．22C ．3D ．32 答案：B答案解析：由已知条件，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.又B (3，0)，则|AF |＝|BF |＝2.不妨设点A 在第一象限，则A (x 0，2x 0 ).根据抛物线的定义可知x 0－(－1)＝2，所以x 0＝1，所以A (1，2)，所以|AB |＝（1－3）2＋（2－0）2 ＝22 .故选B.6．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案：D答案解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2 ＝2p ，解得p ＝8，故选D.7.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x 答案：B 答案解析：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43 ，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4 ＝48 ，得p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .故选B.8．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA → ꞏOB →等于( ) A ．34 B ．－34 C ．3 D ．－3 答案：B答案解析：当AB 与x 轴垂直时，A ⎝⎛⎭⎫12，1 ， B ⎝⎛⎭⎫12，－1 ，OA → ꞏOB → ＝12 ×12 ＋1×(－1)＝－34 ； 当AB 与x 轴不垂直时， 设l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12 ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，y 2＝2x ，得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24 ＝0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2＋2k 2 ，x 1x 2＝14 ， ∴OA → ꞏOB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－12 ⎝⎛⎭⎫x 2－12 ＝(1＋k 2)x 1x 2－12 k 2(x 1＋x 2)＋k 24 ＝－34 .9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为(3，y 0)时，△AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为( )A ．433B ．3C ．233D ．33 答案：A答案解析：不妨设点A 在第一象限，如图所示，过点F 作AE 的垂线，垂足为H ，由题知当A 的坐标为(3，y 0)时△AEF 为正三角形，此时H 为AE 的中点，|AE |＝3＋p 2 ，|EH |＝p ，∴2p ＝3＋p2 ，解得p ＝2，∴y 2＝4x ，A (3，23 )，F (1，0)，∴k AF ＝3 ，直线AF 的方程为y ＝3 (x －1)，代入抛物线方程得3(x －1)2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得x 1＝3，x 2＝13 ，此时y 1＝23 ，y 2＝－233 ，∴S △AOB ＝S △OFB ＋S △OF A ＝12 ×1×(233 ＋23 )＝433 ，故选A.二、填空题10．已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．答案：x ＝－32答案解析：抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ， ∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为p2 ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为±p ， 不妨设P (p2 ，p )，因为Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，所以Q 在F 的右侧， 又∵|FQ |＝6，∴Q (6＋p 2 ，0)，∴PQ →＝(6，－p )因为PQ ⊥OP ，所以PQ → ꞏOP →＝p 2 ×6－p 2＝0， ∵p >0，∴p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32 .11．已知点A ()1，5 在抛物线C ：y 2＝2px 上，则A 到C 的准线的距离为________． 答案：94答案解析：将点A 的坐标代入抛物线方程，得5＝2p ，于是y 2＝5x ，则抛物线的准线方程为x ＝－54 ，所以A 到准线的距离为1－⎝⎛⎭⎫－54 ＝94. 12．已知直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________． 答案：0或1答案解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ， 得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0， 若k ＝0，满足题意；若k ≠0，则Δ＝(4k －8)2－4×4k 2＝0，得k ＝1.综上得k ＝0或k ＝1.[能力提升]13．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]设O 为坐标原点，直线y ＝－3 (x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形 答案：AC答案解析：由题意，易知直线y ＝－3 (x －1)过点(1，0).对于A ，因为直线经过抛物线C 的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以p2 ＝1，即p ＝2，所以A 选项正确．对于B ，不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1<x 2，联立方程得⎩⎨⎧y ＝－3（x －1）y 2＝4x，消去y 并整理得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13 ，x 2＝3.所以M (13 ，233 )，N (3，－23 )，所以由两点间距离公式可得|MN |＝（3－13）2－（－23－233）2 ＝163 ，故B 选项错误．对于C ，由以上分析易知，l 的方程为x ＝－1，以MN 为直径的圆的圆心坐标为(53 ，－233)，半径r ＝12 |MN |＝83 ＝53 ＋1，所以以MN 为直径的圆与l 相切，故C 选项正确． 对于D ，由两点间距离公式可得|MN |＝163 ，|OM |＝133 ，|ON |＝21 ，故D 选项错误．综上，选AC.14．(多选)[2024ꞏ新课标Ⅱ卷]抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ，P 为C 上动点，过P 作⊙A ：x 2＋(y －4)2＝1的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B .则( )A ．l 与⊙A 相切B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝15C．当|PB|＝2时，P A⊥ABD．满足|P A|＝|PB|的点P有且仅有2个答案：ABD答案解析：∵y2＝4x，∴准线l为直线x＝－1，∵⊙A圆心为A(0，4)，半径为1，作出抛物线C与⊙A如图所示．∴l与⊙A相切，故A正确．当P，A，B三点共线时，∵A(0，4)，∴P点坐标为(4，4), ∵|P A|＝4，|AQ|＝1，∴|PQ|＝42－1＝15，故B正确．当|PB|＝2时，P点坐标为(1，2)或(1，－2).当P点坐标为(1，2)时，点B坐标为(－1，2)，|P A|＝12＋（4－2）2＝5＝|AB|，而|PB|＝2，|P A|2＋|AB|2≠|PB|2，此时P A与AB不垂直；当P点坐标为(1，－2)时，B点坐标为(－1，－2)，|P A|＝12＋（4＋2）2＝37＝|AB|，而|PB|＝2，则|P A|2＋|AB|2≠|PB|2，此时P A与AB不垂直，故C错误．对于D，设点P的横坐标为m(m>0)，则点P坐标为(m，2m )或(m，－2m )，|PB|＝m＋1.当P点坐标为(m，2m )时，|P A|＝m2＋（2m＋4）2，∵|P A|＝|PB|，∴|P A|2＝|PB|2，即m2＋4m＋16－16m ＝m2＋1＋2m，化简得2m＋15－16m ＝0，解得m1＝492＋434，m2＝492－434，当P点坐标为(m，－2m )时，|P A|＝m2＋（2m＋4）2，同理，由|P A|＝|PB|，得2m＋16m ＋15＝0，解得m ＝－8＋342<0或m ＝－8－342<0，不符合题意，因此满足|P A|＝|PB|的点P有且仅有2个，故D正确．故选ABD.15．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，抛物线C有一点P，过点P作PM⊥l，垂足为M，若等边△PMF的面积为43，则p＝________．答案：2答案解析：设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴，∠PMF＝∠MFN＝60°，由抛物线的定义得到|NF|＝p，故|MF|＝2p，故3(2p)2＝43，∴p＝2.16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在x 轴上方)，则|AF ||BF | ＝________.答案：3 答案解析：如图所示，由题意得准线l ：x ＝－p2 .作AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，BH ⊥AC 于点H ，则|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |，|AH |＝|AC |－|BD |＝|AF |－|BF |，因为在Rt △AHB 中，∠HAB ＝60°，所以cos 60°＝|AH ||AB | ＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |，即12 (|AF |＋|BF |)＝|AF |－|BF |，得|AF ||BF | ＝3.。
高考真题与模拟训练 专题23 抛物线(试题版)
专题23 抛物线第一部分 真题分类1．（2021·1的距离为A ．1B ．2CD ．42．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l P 是抛物线上异于O 的一点，过，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A．经过点OBC OP D3．（2019·全国高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >021y p =的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．84．（2021·，点M 为抛物线C 上的点，且M 的横坐标是_______；作MN x ⊥轴于N ．5．（2021·全国高考真题（文））抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l C 于P ，Q OQ ．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2C 3A 均与相切．判断直线23A A 与说明理由．6．（2021·浙江高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的2=，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线,,MA MB AB，x轴依次交于点P，Q，R，N l在x轴上截距的范围.7．（2020·浙江高考真题）如图，已知椭圆221:12xC y+=，抛物线22:2(0)C y px p=>，点A是椭圆1CA的直线l交椭圆1C于点B，交抛物线2C于M（B，M不同于A）．16（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．8．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．第二部分 模拟训练1．已知抛物线24x y=的焦点为F，过F l与抛物线相交于A，B两点，PB AB⊥，则A B．2C D．32．已知抛物线2:10C y x=的焦点为F，若点M在抛物线C M到y轴的距离为（ ）A．2B5C．4D3l的直线交抛物线于A B两点，过点AE，当A OAB的面积为（ ）A3B．C3D3．已知以圆C：22(1)4x y-+=的圆心为焦点的抛物线1C点，B点是抛物线2C：BM与直线2y=-垂直，垂足为MA B2C D4为坐标原点，,A B为抛物线C上两点，||||AO AF=，且AB．2-C．D5()3,0B为ABC的两个顶点，点C在抛物线24x y=上，且到焦点的距离为13，则A．12B．13C．14D．156x__________.7l A、()13,A y828y x=C10A在直线AA F F的周长为______．F关于y轴的对称点为1F，则四边形1192=的准8y x线上，则该双曲线的方程为__．10F为抛物线CC的切线AN（斜率不为0），设切点为N．（1）求抛物线C的标准方程；（2）求证：以FN为直径的圆过点A．11．已知动点M0的距离比到点1.（1所在的曲线（2，A B、C上的两个动点，如果直线的斜率与直线PB的斜率互为相反数，（3A B、是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证.。
专题27 抛物线(解答题)(新高考地区专用)(原卷版)
专题27 抛物线（解答题）1．已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()06,P y ，F 为抛物线的焦点，且||10PF =． （1）求0y 的值；（2）点Q 为抛物线C 上一动点，点M 为线段 FQ 的中点，试求点M 的轨迹方程．2．设抛物线C ：22x py =（0p >）过点()2,1． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线l 交曲线C 于M 、N 两点，分别以点M 、N 为切点作曲线C 的切线相交于点P ，且两条切线垂直，求三角形MNP 面积的最小值．3．已知点F 为曲线2:2(0)C y px p =>的焦点，点M 在曲线C 运动，当点M 运动到x 轴上方且满足MF x ⊥轴时，点M 到直线4l y x p =+:的距离为． （1）求曲线C 的方程；（2）设过点F 的直线与曲线C 交于,A B 两点，则在x 轴上是否存在一点P ，使得直线PA 与直线PB 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()0,2P x 到焦点F 的距离02PF x =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 引圆()(222:30M x y rr -+=<≤的两条切线PA PB 、，切线PA PB、与抛物线C 的另一交点分别为A B 、，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值范围．5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线交抛物线于,P Q 两点，10PQ =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点(3,0)的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，已知(3,0)M -，且以线段AM 为直径的圆与直线3x =-的另一个交点为N ，试问在x 轴上是否存在一定点，使得直线BN 恒过此定点．若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由．6．设点F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，,,A B C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，当B 点到y 轴距离为1时，5BF =．（1）求抛物线的方程；（2）平行四边形ABCF 的对角线AC 所在的直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．7．设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围．8．已知O 是坐标系的原点，F 是抛物线2:4C x y =的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，OAB 的重心为G ．（1）求动点G 的轨迹方程；（2）设（1）中的轨迹与y 轴的交点为D ，当直线AB 与x 轴相交时，令交点为E ，求四边形DEMG 的面积最小时直线AB 的方程． 9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(4,4)D （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标与准线方程；（2）直线l 与抛物线C 交于不同的两点E ，F 过点E 作x 轴的垂线分别与直线OD ，OF 交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点．若A 为线段BE 的中点，求证：直线l 恒过定点． 10．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线E 于A 、B ． （1）若1AA 垂直l 于点1A ，且16AFA π∠=，求AF 的长；（2）O 为坐标原点，求 OAB 的外心C 的轨迹方程．11．已知抛物线2:2(0)T x py p =>的焦点为F ，B ，C 为抛物线C 上两个不同的动点，(B ，C 异于原点)，当B ，C ，F 三点共线时，直线BC 的斜率为1，2BC =．（1）求抛物线T 的标准方程；（2）分别过B ，C 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，N ，若MNPBCFS S=，求BC 中点P 的轨迹方程．12．已知抛物线2:2(0)T x py p =>的焦点为F ，B ､C 为抛物线T 上两个不同的动点，当B ，C 过F 且与x 轴平行时，BC 长为1． （1）求抛物线T 的标准方程；（2）分别过B ，C 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，N ，若2MNFBCFS S=，求BC 中点的轨迹方程．13．已知抛物线()2:20C y px p =>的内接等边三角形AOB 的面积为O 为坐标原点）．（1）试求抛物线C 的方程；（2）已知点()1,1,,M P Q 两点在抛物线C 上，MPQ ∆是以点M 为直角顶点的直角三角形． ①求证：直线PQ 恒过定点；②过点M 作直线PQ 的垂线交PQ 于点N ，试求点N 的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．14．设抛物线E ：()220y px p =>焦点为F ，准线为l ，A 为E 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点．（1）若60BFD ∠=︒，BFD △的面积为3，求p 的值及圆F 的方程； （2）若点A 在第一象限，且A 、B 、F 三点在同一直线1l 上，直线1l 与抛物线E 的另一个交点记为C ，且CF FA λ=，求实数λ的值．15．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）．记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0F ，()2,3M -，动点P 满足12OF MP PF ⋅=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD 的面积是BFD △的面积的2倍，求AB ．17．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点为()1,0F -． （1）求C 的方程；（2）设P 为C 的准线上一点，Q 为直线PF 与C 的一个交点且F 为PQ 的中点，求Q 的坐标及直线PQ 的方程．18．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线2:2(0)C x py p =>，一平行于y 轴的光线从上方射向抛物线上的点P ，经抛物线2次反射后，又沿平行于y 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为8．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线:l y x m =+与抛物线C 交于A ，B 两点，以点A 为顶点作ABN ，使ABN 的外接圆圆心T 的坐标为493,8⎛⎫⎪⎝⎭，求弦AB 的长度． 19．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为12y =，F 为抛物线C 的焦点，点P 为直线123=+y x 上任意一点，以P 为圆心，PF 为半径的圆与抛物线C 的准线交于A 、B 两点，过A 、B 分别作准线的垂线交抛物线C 于点D 、E ．（1）求抛物线C 的方程；（2）证明：直线DE 过定点，并求出定点的坐标． 20．已知动圆过定点(0,2)A ，且在x 轴上截得的弦长为4． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程C ；（2）设不与x 轴垂直的直线l 与轨迹C 交手不同两点()11,P x y ，()22,Q x y ．若12112+=x x ，求证：直线l 过定点．21．已知圆221:(1)4M x y -+=，动圆N 与圆M 相外切，且与直线12x =-相切．（1）求动圆圆心N 的轨迹C 的方程． （2）已知点11(,),(1,2)22P Q --，过点P 的直线l 与曲线C 交于两个不同的点,A B （与Q 点不重合），直线,QA QB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 22．已知抛物线()220y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点()2,M m -在抛物线上，且52MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （1）求抛物线的方程；（2）已知122k k +=-，l ：y kx b =+，求b 的值．23．如图所示，A ，B 是焦点为F 的抛物线24y x =上的两动点，线段AB 的中点M 在定直线34x =上． （1）求FA FB +的值；（2）求AB 的最大值．24．已知直线2y x =-与抛物线22y px =相交于A ，B 两点，满足OA OB ⊥．定点()4,2C ，()4,0D -，M 是抛物线上一动点，设直线CM ，DM 与抛物线的另一个交点分别是E ，F ．（1）求抛物线的方程；（2）求证：当M 点在抛物线上变动时（只要点E 、F 存在且不重合），直线EF 恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．25．已知曲线C 是顶点为坐标原点O ，且开口向右的抛物线，曲线C 上一点A （x 0，2）到准线的距离为52，且焦点到准线的距离小于4． （1）求抛物线C 的方程与点A 的坐标；（2）若MN ，PQ 是过点（1，0）且互相垂直的C 的弦，求四边形MPNQ 的面积的最小值．26．设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，直线:0l x my n --=经过F 且与Γ交于A ､B 两点．（1）若8AB =，求m 的值；（2）设O 为坐标原点，直线AO 与Γ的准线交于点C ，求证：直线BC 平行于x 轴． 27．已知抛物线2:2C y px =的焦点为()1,0F ，斜率为k 的直线1l 过点()()0,0P m m >，直线1l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）直线2l 过点()()0,0P m m >，且倾斜角与1l 互补，直线2l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且FAB 与FMN 的面积相等，求实数m 的取值范围．28．已知曲线C 上每一点到直线l ：32x =-的距离比它到点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离大1． （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 上存在不同的两点P 和Q 关于直线l ：20x y --=对称，求线段PQ 中点的坐标．29．已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为,F 点Р在抛物线E 上，点Р的横坐标为2,且2PF =．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若,A B 为抛物线E 上的两个动点(异于点P )，且AP AB ⊥，求点B 的横坐标的取值范围．30．已知抛物线22x py =(0p >)上点P 处的切线方程为10x y --=． （1）求抛物线的方程；（2）设11()A x y ，和22()B x y ，为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠，且124y y +=，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ，求ABC 面积的最大值．31．已知点P 是抛物线C ：212y x =上的一点，其焦点为点F ，且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆O ：221x y +=于不同的两点A ，B ． （1）若点()2,2P ，求AB 的值；（2）设点M 为弦AB 的中点，焦点F 关于圆心O 的对称点为'F ，求'F M 的取值范围． 32．已知M 是抛物线2:4C y x =上一点，F 是抛物线C 的焦点，4MF =． （1）求直线MF 的斜率；（2）已知动圆E 的圆心E 在抛物线C 上，点()2,0D 在圆E 上，且圆E 与y 轴交于A ，B 两点，令||DA m =，||DB n =，求n mm n+最大值．33．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，Q 是抛物线上的一点，()2FQ =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()0,4P x 的直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，且P 为线段MN 的中点．若线段MN 的中垂线交y 轴于A ，求AMN 面积的最大值．34．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点F 到直线10x y -+=．（1）求抛物线C 的方程；（2）点O 为坐标原点，直线1l 、2l 经过点()1,0M -，斜率为1k 的直线1l 与抛物线C 交于A 、B 两点，斜率为2k 的直线2l 与抛物线C 交于D 、E 两点，记MA MB MD ME λ=⋅⋅⋅，若1212k k =-，求λ的最小值． 35．已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F (1，0)的距离小1， （1）求曲线C 的方程；（2）过F 作弦PQ RS 、，设PQ RS 、的中点分别为A B 、，若0PQ RS ⋅=，求||AB 最小时，弦PQ RS 、所在直线的方程；（3）在（2）条件下，是否存在一定点T ，使得AF TB FT λ=-？若存在，求出T 的坐标，若不存在，试说明理由．36．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到直线:l y x =-的距离为．（1）求抛物线C 的方程； （2）如图，若1,02N ⎛⎫-⎪⎝⎭，直线l '与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线l 相交于点M ，且||||AM MB =，求ABN 面积的取值范围．37．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0P 的直线交抛物线C 于()11,A x y 和()22,B x y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于,C D 两点，记ABF 与CDF 的面积分别为12,S S ，求12S S 的最小值．38．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点()M ,9m 到其焦点下的距离为10． （1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，且抛物线在,A B 两点处的切线分别交x 轴于,P Q 两点，求AP BQ ⋅的取值范围．39．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 作圆C ：229(2)2x y ++=的两条切线1l ，2l 且12l l ⊥． （1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 作直线l 与E 交于A ，B 两点，若A ，B 到直线34200x y ++=的距离分别为1d ，2d ．求12d d +的最小值．40．已知抛物线C 的顶点在原点O ，准线为12x =-．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）点A ，B 在C 上，且OA OB ⊥，⊥OD AB ，垂足为D ，直线OD 另交C 于E ，当四边形OAEB 面积最小时，求直线AB 的方程．。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(抛物线)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（抛物线）练习一. 基础小题练透篇1．已知点P 到点F (0，1)的距离比它到直线l ：y ＋2＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＝－4yB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x2．[2023ꞏ江西省南昌市摸底]设F 为抛物线C ：x 2＝16y 的焦点，直线l ：y ＝－1，点A 为C 上一点且|AF |＝5，过点A 作AP ⊥l 于P ，则|AP |＝( )A.4 B ．3 C ．2 D ．13．已知抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点P 是抛物线上的动点，直线l 1的方程为2x －y ＋3＝0，过点P 分别作PM ⊥l ，垂足为M ，PN ⊥l 1，垂足为N ，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．655 B ．755C ．5D ．2＋3554．已知抛物线y 2＝16x ，过点M (2，0)的直线交抛物线于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|AF |＝12，O 为坐标原点，则四边形OAFB 的面积是( )A.202 B ．102 C ．52 D ．5225．[2023ꞏ湖南省湘潭市一模]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点T 在C 上，且|FT |＝52 ，若点M 的坐标为(0，1)，且MF ⊥MT ，则C 的方程为( )A ．y 2＝2x 或y 2＝8xB ．y 2＝x 或y 2＝8xC ．y 2＝2x 或y 2＝4xD ．y 2＝x 或y 2＝4x6．已知直线l ：y ＝k (x －2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若AF → ＝2FB →，则k 的值是( )A ．13 B ．223 C ．22 D ．247．[2023ꞏ江苏省高三月考]已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，在C 上有一点P ，||PF ＝8，则点P 到x 轴的距离为____________．8．[2023ꞏ广东省深圳市月考]已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，点A 为抛物线C 上横坐标为3的点，过点A 的直线交x 轴的正半轴于点B ，且△ABF 为正三角形，则p ＝________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ广西柳州市摸底考试]已知F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，直线l 是抛物线的准线，则F 到直线l 的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．82．[2023ꞏ陕西省西安市高三模拟]已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 是抛物线E 的准线与坐标轴的交点，点P 在抛物线E 上，若∠P AF ＝30°，则sin ∠PF A ＝( )A ．12B ．33C ．34D ．323．[2023ꞏ四川大学模拟]设点P 是抛物线C 1：x 2＝4y 上的动点，点M 是圆C 2：(x －5)2＋(y ＋4)2＝4上的动点，d 是点P 到直线y ＝－2的距离，则d ＋|PM |的最小值是( )A ．52 －2B ．52 －1C ．52D ．52 ＋14．[2023ꞏ四川省高三模拟]已知△ABC 的三个顶点都在抛物线y 2＝4x 上，点M (2，0)为△ABC 的重心，直线AB 经过该抛物线的焦点，则线段AB 的长为( )A ．8B ．6C ．5D ．45．[2023ꞏ广东省开平市高三检测]已知F 是抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM → ＝2MN →，则||FN ＝__________．6．[2023ꞏ江苏省南京模拟]已知圆C: (x －3)2＋y 2＝4，点M 在抛物线T ：y 2＝4x 上运动，过点M 引直线l 1，l 2与圆C 相切，切点分别为P ，Q ，则|PQ |的取值范围为________．三. 高考小题重现篇1.[2022ꞏ全国乙卷]设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若||AF ＝||BF ，则||AB ＝( )A ．2B ．2 2C ．3D ．322．[2020ꞏ全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．93．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，0B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．(1，0)D ．(2，0)4．[2020ꞏ北京卷]设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP5．[2021ꞏ北京卷]已知抛物线C ：y 2＝4x ，C 的焦点为F ，点M 在C 上，若|FM |＝6，则M 的横坐标是________．6．[2021ꞏ山东卷]已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ湖北省高三联考]记以坐标原点为顶点、F (1，0)为焦点的抛物线为C ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)已知点M 的坐标为(－2，0)，求∠AMB 最大时直线AB 的倾斜角；(2)当l 的斜率为12 时，若平行l 的直线m 与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上．2．[2023ꞏ山西省运城市模拟]已知P (1，2)在抛物线C ：y 2＝2px 上． (1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：B答案解析：由题意，点P 到点F （0，1）的距离等于它到直线y ＝－1的距离，则点P的轨迹是以F 为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，则点P 的轨迹方程为x 2＝4y .2．答案：C答案解析：抛物线方程C ：x 2＝16y ，准线方程为：y ＝－4，因为|AF |＝5，所以点A 到准线的距离为5，且y A ＞0，直线l ：y ＝－1与准线方程的距离为d ＝3，所以|AP |＝5－3＝2 .3．答案：B答案解析：令抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，则F （2，0），连接PF ，如图，因为l 是抛物线y 2＝8x 的准线，点P 是抛物线上的动点，且PM ⊥l 于M ，于是得|PM |＝|PF |，点F （2，0）到直线l 1：2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2×2－0＋3|22＋（－1）2＝755 ，又PN ⊥l 1于N ，显然点P 在点F 与N 之间，于是有|PM |＋|PN |＝|PF |＋|PN |≥d ，当且仅当F ，P ，N三点共线时取“＝”，所以|PM |＋|PN |的最小值为d ＝755.4．答案：A答案解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程为x ＝－4，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线的定义可知，x 1＋4＝12，x 1＝8，y 21 ＝16×8，由抛物线的对称性，不妨令y 1＝82 ，设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝16x ， 得y 2－16my －32＝0，y 1y 2＝－32，∴y 2＝－22 ，四边形OAFB 的面积S ＝12 |OF |·|y 1－y 2|＝12×4×102 ＝202 .5．答案：A答案解析：设T （x 0，y 0），则MT → ＝（x 0，y 0－1），又由F （p 2 ，0），所以MF →＝（p 2，－1），因为MF ⊥MT ，所以MF → ·MT →＝0，可得p 2x 0－y 0＋1＝0，由y 20 ＝2px 0，联立方程组，消去x 0，可得y 20 －4y 0＋4＝0，所以y 0＝2，x 0＝2p，故T（2p，2），又由|FT |＝x 0＋p 2 ＝52 ，所以52 －p 2 ＝2p ，即p 2－5p ＋4＝0，解得p ＝1或p ＝4，所以C 的方程为y 2＝2x 或y 2＝8x .6．答案：C答案解析：直线l ：y ＝k （x －2）（k ＞0）过（2，0），即直线l 过抛物线的焦点F （2，0），画出图象如图所示，过A 作直线垂直于抛物线的准线，垂足为D ；过B 作直线垂直于抛物线的准线，垂足为C ，过B 作BE ⊥AD ，交AD 于E .依题意AF → ＝2FB →，设|AF |＝2|BF |＝2t （t ＞0）， 则|AE |＝|AD |－|BC |＝t ，|AB |＝|AF |＋|BF |＝3t ，|BE |＝（3t ）2－t 2＝22 t ，所以直线l 的斜率k ＝|BE ||AE | ＝22 . 7．答案：43答案解析：由抛物线的定义可知：||PF ＝x p ＋2＝8，所以x p ＝6，代入y 2＝8x 中，得y 2p ＝48，所以||y p ＝43 ，故点P 到x 轴的距离为43 . 8．答案：2答案解析：由题意可知，当B 在焦点F 的右侧时，|AF |＝3＋p 2 ，|FD |＝3－p2，又|FD |＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 2 ，所以12 ⎝⎛⎭⎪⎫3＋p 2 ＝3－p2 ，解得p ＝2；当B 在焦点F 的左侧时，同理可得p ＝18，此时点B 在x 轴的负半轴，不合题意．二 能力小题提升篇1．答案：B答案解析：由y 2＝8x 得p ＝4，所以F 到直线l 的距离为p ＝4. 2．答案：B答案解析：过P 作准线的垂线，垂足为Q ，由∠PAF ＝30°，可得∠APQ ＝30°，由题意如图所示：在Rt△AQP 中，cos ∠APQ ＝|QP ||PA | ＝32， 由抛物线的性质可得|PQ |＝|PF |，所以|PF ||PA | ＝32 ， 在△PAF 中，由正弦定理可得：|PA |sin ∠PFA ＝|PF |sin ∠PAF ，所以sin ∠PFA ＝|AP ||PF | ·sin ∠PAF ＝23·12 ＝33 . 故选B.3．答案：B答案解析：由题知圆C 2：（x －5）2＋（y ＋4）2＝4， ∴C 2()5，－4 ，r ＝2F （0，1）为抛物线焦点，y ＝－1为抛物线准线， 则过点P 向y ＝－1作垂线垂足为D ，如图所示：则d ＝1＋||PD ，根据抛物线定义可知||PD ＝||PF ， ∴d ＝1＋||PF ，∴d ＋|PM |＝1＋||PF ＋||PM ，若求d ＋|PM |的最小值，只需求||PF ＋||PM 的最小值即可， 连接FC 2与抛物线交于点P 1，与圆交于点M 1，如图所示，此时||PF ＋||PM 最小，为||FC 2 －r ，()d ＋||PMmin＝1＋||FC 2 －r ，∵F （0，1），C 2()5，－4 ，∴||FC 2 ＝52 ，∴()d ＋||PM min ＝1＋||FC 2 －r ＝52 －1. 故选B. 4．答案：B答案解析：设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，则F （1，0）.根据题意可知，点M （2，0）为△ABC 的重心，若直线AB 的斜率不存在， 则不妨取A （1，2），B （1，－2），则结合重心可得C 为（4，0），不合题意； 故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k （x －1），k ≠0，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （m ，n ），则有y 21 ＝4x 1，y 22 ＝4x 2，n 2＝4m ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1）， 得ky 2－4y －4k ＝0，Δ＝16（1＋k 2）>0， 则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，因为点M （2，0）为△ABC 的重心，所以n ＋y 1＋y 23＝0， 即n ＝－()y 1＋y 2 ，所以m ＋x 1＋x 23 ＝2，∴m ＋x 1＋x 2＝n 2＋y 21 ＋y 22 4＝2()y 1＋y 22－2y 1y 24 ＝6，即32k2 ＋8＝24，解得k 2＝2，则||AB ＝x 1＋x 2＋p ＝()y 1＋y 22－2y 1y 24＋2＝4k2 ＋4＝6，故线段AB 的长为6，故选B.5．答案：16答案解析：易知焦点F 的坐标为（4，0），准线l 方程为x ＝－4，如图， 抛物线准线与x 轴交点为A ，作MB ⊥l 于B ，NC ⊥l 于C ，AF ∥MB ∥NC ，则||MN ||NF ＝||BM －||CN ||OF ，由3FM → ＝2MN →，得||MN ||NF ＝35，又||CN ＝4，||OF ＝4，所以||BM －44 ＝35 ，||BM ＝325 ，||MF ＝||BM ＝325 ，||MF ||NF ＝25，所以||FN ＝16.6．答案：[22 ，4）答案解析：如图，连接CP ，CQ ，CM ，依题意，CP ⊥MP ，CQ ⊥MQ ，而|CP |＝|CQ |＝2，而|MP |＝|MQ |，则CM 垂直平分线段PQ ，于是得四边形MPCQ 的面积为Rt△CPM 面积的2倍，从而得12 |PQ |·|CM |＝2·12 |CP |·|MP |，即|PQ |＝2|CP |·|MP ||CM | ＝4|CM |2－|CP |2|CM | ＝41－4|CM |2 ，设点M （t ，s ），而C （3，0），s 2＝4t （t ≥0），则|CM |2＝（t －3）2＋s 2＝t 2－2t ＋9＝（t －1）2＋8≥8，当且仅当t ＝1时取“＝”，∀t ≥0，|CM |2∈[8，＋∞），因此得0<4|CM |2 ≤12 ，即12 ≤1－4|CM |2 <1，得22 ≤|PQ |<4， 所以|PQ |的取值范围为[22 ，4）.三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：由题意得，F （1，0），则||AF ＝||BF ＝2，即点A 到准线x ＝－1的距离为2，所以点A 的横坐标为－1＋2＝1， 不妨设点A 在x 轴上方，代入得，A （1，2）， 所以||AB ＝（3－1）2＋()0－22＝22 .故选B.2．答案：C答案解析：设焦点为F ，点A 的坐标为（x 0，y 0），由抛物线定义得|AF |＝x 0＋p2，∵点A 到y 轴距离为9，∴x 0＝9， ∴9＋p2 ＝12，∴p ＝6. 3．答案：B答案解析：由抛物线的对称性不妨设D 在x 轴上方、E 在x 轴下方．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y 2＝2px得D （2，2p ），E （2，－2p ），∵OD ⊥OE ，∴OD → ·OE → ＝4－4p ＝0，∴p ＝1，∴C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 . 4．答案：B 答案解析：不妨设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），P （x 0，y 0）（x 0>0），则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 0 ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为p y 0 ，又线段FQ 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 02 ，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02 ＝py 0 （x －0），即2px －2y 0y ＋y 2＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20 ＝0，又2px 0＝y 20 ，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上．5．答案：5答案解析：设点M 的坐标为（x 0，y 0），则有|FM |＝x 0＋1＝6，解得x 0＝5.6．答案：x ＝－32答案解析：不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋p2，0 ， PQ →＝（6，－p ），因为PQ ⊥OP ，所以p2×6－p 2＝0，∵p >0，∴p ＝3，∴C 的准线方程为x ＝－32.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）设直线的方程为x ＝my ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）()y 1>0，y 2<0 . 记∠AMF ＝α，∠BMF ＝β，则tan α＝y 1x 1＋2＝y 1my 1＋3， tan β＝－y 2x 2＋2 ＝－y 2my 2＋3， 则tan ∠AMB ＝tan ()α＋β ＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3()y 1－y 2()m 2＋1y 1y 2＋3m ()y 1＋y 2＋9. 由题设得抛物线方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1 消去x 得y 2－4my －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0y 1＋y 2＝4m y 1y 2＝－4，y 1－y 2＝4m 2＋1 ，∴tan ∠AMB ＝12m 2＋18m 2＋5，令t ＝m 2＋1 ，则t ≥1，∴tan ∠AMB ＝12t 8t 2－3 ＝128t －3t. 由单调性得当t ＝1时，tan ∠AMB 最大为125，此时m ＝0，直线AB 的倾斜角为90°. （2）设T ()x 0，y 0 ，TM → ＝λTA → ()λ≠1 则由AB ∥MN 得TN → ＝λTB →， ∴⎩⎨⎧y M －y 0＝λ()y A －y 0y N －y 0＝λ()y B －y 0 ，∴y M ＋y N －2y 0＝λ()y A ＋y B －2y 0 . 又∵k AB ＝12，∴y A －y B x A －x B ＝4y A ＋y B ＝12 ⇒y A ＋y B ＝8，同理y M ＋y N ＝8，∴8－2y 0＝λ()8－2y 0 ，又∵λ≠1，∴8－2y 0＝0，∴y 0＝4， ∴点T 在定直线y ＝4上．2．答案解析：（1）将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px 得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ；（2）设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k PA ＝y 1－2x 1－1 ＝y 1－2y 21 4－1 ＝4y 1＋2，同理：k PB ＝4y 2＋2 ， 由题意：4y 1＋2 ＋4y 2＋2＝2，4（y 1＋y 2＋4）＝2（y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4），解得y 1y 2＝4，有－4t ＝4，即t ＝－1， 故直线AB ：x ＝my －1恒过定点（－1，0）.。
专题14 抛物线-2023年高考数学真题题源解密(新高考)(解析版)
专题14 抛物线目录一览2023真题展现考向一 直线与抛物线真题考查解读近年真题对比考向一 抛物线的性质考向二 直线与抛物线命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 直线与抛物线1．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第10题）设O 为坐标原点，直线y =x ﹣1）过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与C 交于M 两点，l 为C 的准线，则（ ）A ．p ＝2B ．|MN |=83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形【答案】AC解：直线y =x ﹣1）过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，可得p2=1，所以p ＝2，所以A 正确；抛物线方程为：y 2＝4x ，与C 交于M ，N 两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x 2﹣10x +3＝0，x M +x N =103，所以|MN |＝x M +x N +p =163，所以B 不正确；M ，N 的中点的横坐标：53，中点到抛物线的准线的距离为：1+53=83，所以以MN 为直径的圆与l 相切，所以C 正确；3x 2﹣10x +3＝0，不妨可得x M ＝3，x N =13，y M ＝﹣x N =|OM ||ON |=|MN |=163，所以△OMN 不是等腰三角形，所以D 不正确．【命题意图】考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】抛物线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l 不经过点F ”，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点F 在直线l 上，点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线．②定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M ；一个定点F (抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F 的距离二、抛物线的方程及简单几何性质(p)(p )(p)(p)设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程k 2x 2＋2(km －p )x ＋m 2＝0.(1)若k ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．四、弦长问题过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么线段AB 叫做焦点弦，如图：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .注：(1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)．（5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB |x 1－x 2|，或|AB |y 1－y 2|.②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .考向一 抛物线的性质2．（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M （p ，0）．若|AF |＝|AM |，则（ ）A．直线AB的斜率为2B．|OB|＝|OF|C．|AB|＞4|OF|D．∠OAM+∠OBM＜180°【解答】解：如图，∵F（，0），M（p，0），且|AF|＝|AM|，∴A（，），由抛物线焦点弦的性质可得，则，则B（，﹣），∴，故A正确；，|OF|＝，|OB|≠|OF|，故B错误；|AB|＝＞2p＝4|OF|，故C正确；，，，，|OM|＝p，∵|OA|2+|AM|2＞|OM|2，|OB|2+|BM|2＞|OM|2，∴∠OAM，∠OBM均为锐角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正确．故选：ACD．3．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为，则p＝（ ）A．1B．2C．2D．4【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点（，0）到直线y＝x+1的距离为，可得，解得p＝2．故选：B．4．（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF 与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为 ．【解答】解：法一：由题意，不妨设P在第一象限，则P（，p），k OP＝2，PQ⊥OP．所以k PQ＝﹣，所以PQ的方程为：y﹣p＝﹣（x﹣），y＝0时，x＝，|FQ|＝6，所以，解得p＝3，所以抛物线的准线方程为：x＝﹣．法二：根据射影定理，可得|PF|2＝|FO||FQ|，可得p2＝，解得p＝3，因此，抛物线的准线方程为：x＝﹣．故答案为：x＝﹣．考向二直线与抛物线5.（多选）（2022•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（ ）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为，选项A错误；由于A（1，1），B（0，﹣1），则，直线AB的方程为y＝2x﹣1，联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，则x1+x2＝k，x1x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y1＝y2＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；＝，选项D正确．故选：BCD．根据近几年考题推测考查内容抛物线的定义、方程、性质，以小题出现，常规题，难度中等．一．抛物线的标准方程（共1小题）1．（2023•道里区校级二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），则此抛物线的标准方程为 ．【解答】解：抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），设抛物线y2＝﹣2px，可得9＝6p，所以2p＝3，所以抛物线的标准方程y2＝﹣3x．故答案为：y2＝﹣3x．二．抛物线的性质（共39小题）2．（2023•海淀区一模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则|PF|＝（ ）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵抛物线方程为2＝4x，∴，又点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，∴|PF|＝＝5．故选：D．3．（2023•润州区校级二模）图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点P到该抛物线焦点F的距离为（ ）A．225m B．275m C．300m D．350m【解答】解：令抛物线方程为x2＝2py且p＞0，由题设，（250，156.25）在抛物线上，则312.5p＝2502，解得，又P（x P，y P）且y P＝125，则P到该抛物线焦点F的距离为米．故选：A．4．（2023•郑州模拟）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），一条平行于y轴的光线，经过点A（1，4），射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|+|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是（ ）A．B．y1C．y＝﹣2D．y＝﹣4【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以，得p＝2，所以抛物线的准线方程为y＝﹣1．故选：B．5．（2023•红山区模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，点M（x1，y1），N （x2，y2）在抛物线C上，若（y1﹣2y2）（y1+2y2）＝48，则＝（ ）A．4B．2C．D．【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，则p＝4，C：y2＝8x，依题意，，而，，故8x1﹣32x2＝48，即8x1+16＝32x2+64，则x1+2＝4（x2+2），故．故选：A．6．（2023•河南模拟）设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足PQ∥x轴．若|PQ|＝|QF|，则|PF|＝（ ）A．2B．C．3D．【解答】解：依题意有|PQ|＝|QF|＝|PF|，则△PQF为等边三角形，又PQ∥x轴，所以|PF|＝|PQ|＝4|OF|＝2．故选：A．7．（2023•四川模拟）抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线x﹣y+3＝0与C交于A，B两点，则△ABF的面积为（ ）A．4B．8C．12D．16【解答】解：∵抛物线C：x2＝4y的焦点F为（0，1），又易知直线x﹣y+3＝0与y轴交点P为（0，3），联立，可得x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴△ABF的面积为＝＝8，故选：B．8．（2023•乌鲁木齐三模）“米”是象形字．数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝﹣2px（p＞0）和C2：y2＝2px（p＞0）构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若PF1＝3PQ＝6，则p＝（ ）A．4B．6C．8D．10【解答】解：因为3PQ＝6，即PQ＝2，由抛物线的对称性知x P＝﹣1，由抛物线定义可知，，即，解得p＝10，故选：D．9．（2023•平罗县校级模拟）已知抛物线C：y2＝20x的焦点为F，抛物线C上有一动点P，Q（6，5），则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）A．10B．16C．11D．26【解答】解：设抛物线C的准线为l，作PT⊥l于T，由抛物线的定义知|PF|＝|PT|，所以，当P，Q，T三点共线时，|PF|+|PQ|有最小值，最小值为．故选：C．10．（2023•新疆模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x【解答】解：抛物线的准线方程为x＝−，根据抛物线的定义可知，抛物线C上任意一点到准线的距离比到y轴的距离大1，则＝1，所以，p＝2，因此，抛物线C的方程为y2＝4x．故选：C．11．（2023•河南模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，且点A（4，4）在抛物线上，则点A到准线l的距离为（ ）A．5B．4C．3D．2【解答】解：由题意知16＝8p，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，则抛物线的准线l为x＝﹣1，所以点A到抛物线准线的距离为4﹣（﹣1）＝5．故选：A．12．（2023•海淀区校级三模）已知抛物线y＝ax2（a＞0），焦点F到准线的距离为1，若点M在抛物线上，且|MF|＝5，则点M的纵坐标为 ．【解答】解：抛物线的标准方程为，其焦点为，准线方程为，由抛物线的焦点F到准线的距离为1，得，可得，所以，抛物线的标准方程为x2＝2y，其准线方程为，设点M（x0，y0），由抛物线的定义可得，解得．故答案为：．13．（2023•3月份模拟）已知点M为抛物线y2＝8x上的动点，点N为圆x2+（y﹣4）2＝5上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为 ．【解答】解：已知点M为抛物线y2＝8x上的动点，点N为圆x2+（y﹣4）2＝5上的动点，由题意可得圆x2+（y﹣4）2＝5的圆心坐标为（0，4），半径为，抛物线y2＝8x的焦点坐标为F（2，0），过M作MQ垂直y轴交y轴于点Q，由抛物线的定义可得|MQ|+|MN|＝|MF|+|MN|﹣2＝＝，当且仅当A、M、N、F共线时取等号，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为．故答案为：．14．（2023•兴国县模拟）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0）的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若，O 为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）A．B．C．D．4【解答】解：依题意，＝1，可得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．依题意可知DE与抛物线的准线x＝﹣1垂直，在直角三角形ABD中，|AD|＝|BD|，则∠BAD＝，∠ABD＝∠DEB＝∠AFx＝，所以直线AB的方程为y＝（x﹣1），由，消去y并化简得3x2﹣10x+3＝0，易得Δ＞0，x A+x B＝，则|AB|＝x A+x B+p＝+2＝，原点（0，0）到直线x﹣y﹣＝0的距离d＝，所以S＝|AB|•d＝××＝．△AOB故选：B．15．（2023•重庆模拟）已知点P为抛物线y2＝2px（p＞0）上一动点，点Q为圆C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若|PQ|+d的最小值为2，则p＝（ ）A．B．p＝1C．p＝2D．p＝4【解答】解：画出图形，如图所示：易知圆C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（﹣1，4），半径r＝1，由抛物线的定义可知：点P到y轴的距离d＝|PF|﹣，所以|PQ|+d＝|PQ|+|PF|﹣，由图可知：当C，Q，P，F共线，且P，Q在线段CF之间时，PQ+PF最短，而|CF|＝，故有|PQ|+|PF|﹣＝|CF|﹣r﹣＝2，即，解得：p＝4．故选：D．16．（2023•武昌区校级模拟）已知抛物线和，若C1和C2有且仅有两条公切线l1和l2，l1和C1、C2分别相切于M，N点，l2与C1、C2分别相切于P，Q两点，则线段PQ与MN （ ）A．总是互相垂直B．总是互相平分C．总是互相垂直且平分D．上述说法均不正确【解答】解：抛物线＝（x+1）2﹣1，，两曲线分别是y＝x2经过平移、对称变换得到的，则两曲线的大小与形状相同，且具有中心对称性，∵l1和l2是它们的公切线，l1和C1、C2分别相切于M，N两点，l2和C1、C2分别相切于P，Q两点，∴M，N关于对称中心对称，P，Q关于对称中心对称，线段PQ与MN互相平分．故选：B．17．（2023•武汉模拟）设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P 作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝（ ）A．3B．6C．9D．12【解答】解：设准线与x轴的交点为M，由题意可知，F（，0），准线l方程为x＝﹣，在Rt△QMF中，∠QFM＝60°，|MF|＝3，∴|QF|＝6，∵PQ垂直于准线l，∴∠PQF＝∠QFM＝60°，由抛物线的性质可知，|PQ|＝|PF，∴△PQF为等边三角形，∴|PF|＝|QF|＝6．故选：B．18．（2023•晋中二模）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若|NF|＝|MN|，则|MF|＝（ ）A．B．1C．D．4【解答】解：根据题意可得p＝2，∴抛物线焦点F为（1，0），准线l为x＝﹣1，设准线l与x轴的交点为E，如图所示，由题知MN⊥l，由抛物线的定义可知|MN|＝|MF|，因为|NF|＝|MN|，所以△MNF是正三角形，则在Rt△NEF中，因为MN∥EF，所以∠EFN＝∠MNF＝60°，所以|MF|＝|NF|＝2|EF|＝2p＝4．故选：D．19．（2023•湖北模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A，B是其准线上的两个动点，且FA⊥FB，线段FA，FB分别与抛物线C交于P，Q两点，记△PQF的面积为S1，△ABF 的面积为S2，当时，|AB|＝ ．【解答】解：设l PQ：x＝ky+m，P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立直线PQ与抛物线方程得y2﹣4ky﹣4m＝0，则y1+y2＝4k，y1⋅y2＝﹣4m由FA⊥FB可得：，即（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣y1y2，化简得m2﹣6m+1＝4k2，又，则，同理，可得y A y B＝＝﹣4，而，即，所以m＝，k2＝所以|AB|＝|y A﹣y B|＝|+|＝||＝||＝．故答案为：．20．（2023•包河区模拟）已知F为抛物线C：y2＝4x的交点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 ．【解答】解：如图所示，l1⊥l2，直线l1与C交于点A，B，直线l2与C交于点D，E，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为：y＝x﹣1，联立方程组，整理可得：y2﹣4y﹣4＝0，设D（x1，y1），E（x2，y2），所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，则|DE|＝＝，所以|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，故答案为：16．21．（2023•天山区校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，若|AF|﹣|BF|＝，则|＝ ．【解答】解：由对称性，不妨设A在第一象限，设θ＝∠AFx，由由角平分线定理．故答案为：2．22．（2023•龙岗区校级一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，PF交C于M，N两点，且满足，则|NF|＝ ．【解答】解：抛物线C：y2＝4x，则，准线方程为x＝﹣1，由于，所以F是MP的中点，设P（﹣1，t），而F（1，0），所以M（3，﹣t），将M点坐标代入抛物线方程得t2＝12，不妨设，则．设，由于M，N，F三点共线，所以，整理得，解得舍去），所以，所以．故答案为：．23．（2023•江西模拟）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2＝8x，平行于x轴的光线从点M（12，2）射出，经过C 上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则|MB|＝（ ）A．6B．8C．D．29【解答】解：由M（12，2），可得A的纵坐标为2，设A（m，2），则4＝8m，解得，由题意反射光线经过抛物线y2＝8x的焦点（2，0），所以直线AB的方程为，整理可得，由，消去y整理得2x2﹣17x+8＝0，解得，x2＝8，则，所以B（8，﹣8），所以．故选：C．24．（2023•平江县校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0的垂线，垂足为P，则|MF|+|MP|的最小值为（ ）A．B．C．5D．3【解答】解：∵抛物线C的方程为y2＝4x，∴F（1，0），抛物线C的准线方程为x＝﹣1，∵方程（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0可化为y﹣1＝（1﹣a）（x﹣2），∴（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0过定点B（2，1），设P（x，y），设F，B的中点为A，则，因为FP⊥BP，P为垂足，∴，所以，即点P的轨迹为以A为圆心，半径为的圆，过点M作准线x＝﹣1的垂线，垂足为M1，则|MM1|＝|MF|，∴|MF|+|MP|＝|MM1|+|MP|，又，当且仅当M，P，A三点共线且P在M，A之间时等号成立，∴，过点A作准线x＝﹣1的垂线，垂足为A1，则，当且仅当A1，M，A三点共线时等号成立，∴，当且仅当A1，M，P，A四点共线且P在M，A之间时等号成立，所以|MF|+|MP|的最小值为，故选：A．25．（2023•张家口三模）已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝λ|BF|＝λ，则λ＝（ ）A．1B．C．3D．4【解答】解：如图，过A作AA1准线于A1，过B作BB1准线于B1，由抛物线C：y2＝3x的焦点，准线方程为，由抛物线的定义可得，所以，代入抛物线方程得，若，直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即，联立，得16x2﹣40x+9＝0，则，所以，则；若，直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即，联立，得16x2﹣40x+9＝0，则，所以，则；综上，λ＝3．故选：C．26．（2023•商丘三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣1，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，点P在l上的射影为P1，则下列结论错误的是（ ）A．若x1+x2＝5，则|PQ|＝7B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥D．过点M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣1，所以，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，焦点F（1，0），若直线的斜率存在，设y＝k（x﹣1），由，消去y，整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以，x1x2＝1，对于A选项：若x1+x2＝5，则|PQ|＝x1+x2+2＝7，故A选项正确；对于B选项：取PQ的中点N，N在l上的投影为N′，Q在l的投影为Q′，根据抛物线的性质|PP1|＝|PF|，|QQ′|＝|QF|，NN′为梯形的中位线，故，故B选项正确；对于C选项：M（0，1），，故C选项正确；对于D选项：过M（0，1）且与抛物线相切的直线有两条，过M（0，1）且与x轴平行的直线与抛物线相交有且有一个交点，所以至多有三条，故D选项错误．故选：D．27．（2023•徐汇区校级三模）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长|AB|＝（ ）A．16B．26C．14D．24【解答】解：由题意可得，F（0，﹣2），则p＝4，抛物线C的方程为x2＝﹣8y．设直线AB的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝﹣，y2＝﹣，由y＝﹣，得y′＝﹣．∴在点A处的切线方程为y﹣y1＝﹣（x﹣x1），化简得y＝﹣x+，①同理可得在点B处的切线为y＝﹣x+，②联立①②得x M＝，由M的横坐标为4，得x1+x2＝8．将AB的方程代入抛物线方程，可得x2+8kx﹣16＝0．∴x1+x2＝﹣8k＝8，得k＝﹣1．∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝﹣1×8﹣4＝﹣12．得|AB|＝p﹣（y1+y2）＝4﹣（﹣12）＝16．故选：A．28．（2023•琼海校级模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到其焦点的距离为4，则p＝（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为点在y2＝2px（p＞0）上，所以4p＝2pm，得到m＝2，又点到其焦点的距离为4，根据抛物线定义知，得到p＝4，故选：D．29．（2023•沙坪坝区校级二模）已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线的左焦点，点P为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若P到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．x2﹣y2＝2D．2x2﹣2y2＝1【解答】解：由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以双曲线的左焦点坐标为（﹣1，0），所以双曲线的c＝1．又因为点P为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若P到抛物线焦点的距离为5，所以x P+1＝5，所以x P＝4，代入抛物线方程即可得P（4，4）．因为P（4，4）在双曲线的渐近线方程上，所以a＝b，又因为双曲线中，c2＝a2+b2，所以，所以双曲线的方程为：2x2﹣2y2＝1．故选：D．30．（2023•浙江模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的斜率为（ ）A．B．±1C．±2D．【解答】解：设|AB|＝2r（2r≥4），AB的中点为M，MN⊥y轴于点N，过A，B作准线x＝﹣1的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示．由抛物线的定义知2（|MN|+1）＝|AA1|+|BB1|＝|AF|+|BF|＝|AB|＝2r，则|MN|＝r﹣1，所以，即16r2﹣50r+25＝0，解得或（舍去），故M的横坐标为．设直线l：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝k（x﹣1）代人y2＝4x，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，则，解得k＝±2．故选：C．31．（2023•香洲区校级模拟）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧组成，如图所示．假设圆弧所在圆的方程为C：（x+25）2+（y﹣2）2＝162，若某运动员在起跳点M以倾斜角为45o且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）A．y2＝﹣32（x﹣1）B．C．x2＝﹣32（y﹣1）D．x2＝﹣36y+4【解答】解：∵某运动员在起跳点M以倾斜角为45o且与圆C相切的直线方向起跳，∴k CM＝﹣1，∴直线CM所在的方程为：y﹣2＝﹣（x+25），代入（x+25）2+（y﹣2）2＝162，解得或（舍），∴点M的坐标为（﹣16，﹣7）．设抛物线方程为：y＝ax2+c，则y′＝2ax|x＝﹣16＝﹣32a＝1，∴，又，解得c＝1，∴该抛物线的轨迹方程为．故选：C．32．（2023•武功县校级模拟）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，若|FA|•|FB|＝3，则p＝ ．【解答】解：由题意知F（，0），AB的方程为y＝（x﹣），代入C的方程，得3x2﹣5px+＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝；因为|FA|＝+x1，|FB|＝+x2，且|FA|⋅|FB|＝3，所以（+x1）（+x2）＝3，整理得以+•（x1+x2）+x1x2＝3，所以+•+＝3，结合p＞0，解得p＝．故答案为：．33．（2023•招远市模拟）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过点F的直线交C 于M，N两点，直线MD垂直x轴，|MF|＝3，则|NF|＝ ．【解答】解：由题意得，因为直线MD垂直于x轴，D（p，0），准线方程为，所以M点的横坐标为p，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据抛物线的定义知，解得p＝2，则C：y2＝4x，则F（1，0），可设直线MN的方程为x﹣1＝my，联立抛物线方程有可得y2﹣4my﹣4＝0，Δ＝16m2+16＞0，y1y2＝﹣4，则，则32x2＝16，解得，则．故答案为：．34．（2023•武昌区校级模拟）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点（与坐标原点O均不重合），且OA⊥OB，抛物线的焦点为F，记△AOB、△AOF、△BOF的面积分别为S1，S2，S3，若满足S1＝6S2+3S3，则直线l的方程为 ．【解答】解：由已知可设直线OA方程为y＝kx，又OA⊥OB，OB方程为，由，解得，由，解得B（4k2，﹣4k），，，令y＝0，得x＝4，∴直线l与x轴交点M（4，0），，．，∵S1＝6S2+3S3，∴，解得，，∴直线l的方程，即或．35．（2023•保定三模）设O为坐标原点，点A（2，4），B在抛物线y2＝2px（p＞0）上，F为焦点，M是线段BF上的点，且，则当直线OM的斜率最大时，点F到OM的距离为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵A（2，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，∴p＝2，则抛物线方程为y2＝8x，求得F（2，0），设M（x0，y0），当y0＜0时，k OM＜0，当y0＞0时，k OM＞0．则要求直线OM的斜率的最大值，有y0＞0．设B（m，n），∵，∴（x0﹣m，y0﹣n）＝2（2﹣x0，﹣y0），则，∵B在抛物线上，∴n2＝8m，得9＝8（3x0﹣4），即，∵y0＞0，∴＝，当且仅当，即时等号成立，故直线OM的斜率的最大值为，此时直线OM的方程为，则点F到OM的距离为．故选：D．36．（2023•湖北模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，的中点纵坐标为，则p＝ ．【解答】解：设过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，AB 的中点纵坐标为y0＝，抛物线的焦点为F（，0），直线l的斜率不为零，可设直线l的方程：x＝my+，由，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝2p（x1﹣x2），所以＝＝＝＝，所以直线l的方程为x＝y+，所以AB中点的横坐标为x0＝×+＝，所以|AB|＝x1+x2+p＝2x0+p＝2×+p＝5，2p2﹣5p+4＝0，解得p＝2或p＝．故答案为：2或．37．（多选）（2023•道里区校级四模）已知A，B是抛物线C：y2＝6x上的两动点，F是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）A．直线AB过焦点F时，以AB为直径的圆与C的准线相切B．直线AB过焦点F时，|AB|的最小值为6C．若坐标原点为O，且OA⊥OB，则直线AB过定点（3，0）D．若直线AB过焦点F，AB中点为P，过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q，则直线AQ与抛物线相切【解答】解：∵抛物线C方程为：y2＝6x，∴2p＝6，∴p＝3，∴＝，∴焦点F（，P），准线l为：x＝，对A，B，D选项，∵直线AB过焦点F，∴设直线AB方程为x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点P为（x0，y0），联立，可得y2﹣6my﹣9＝0，∴，∴，∴|AB|＝x1+x2+p＝6m2+3+3＝6（m2+1）≥6，（当且仅当m＝0时取等），∴B选项正确；又P到准线l的距离d＝＝＝3（m2+1）＝|AB|，∴以AB为直径的圆与C的准线相切，∴A选项正确；若直线AB过焦点F，AB中点为P，过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q，则Q（，3m），∴＝，又，∴3m＝，∴＝，对y2＝6x两边关于x求导可得：2yy′＝6，∴，抛物线C：y2＝6x在A（x1，y1）处的切线斜率为＝k AQ，∴直线AQ与抛物线相切，∴D选项正确；对C选项，设AB直线为x＝my+t，（t≠0），联立，可得y2﹣6my﹣6t＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴，又OA⊥OB，∴，即（x1，y1）•（x2，y2）＝0，∴x1x2+y1y2＝0，∴t2﹣6t＝0，又t≠0，∴t＝6，∴AB直线为x＝my+6，∴直线AB过定点（6，0），∴C选项错误．故选：ABD．38．（2023•河南模拟）已知点P（1，a）（a＞1）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，过P作圆（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为﹣1，若F为C的焦点，点M（x，y）为C上的动点，点N是C的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）A．B．2C．D．【解答】解：由题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线x＝1对称，所以k PA+k PB＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x P，y P），则，同理可得，，则，得，所以y1+y2＝﹣2y P，由，得y P＝p．将（1，p）代入抛物线C的方程，得p2＝2p，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x．设∠MNF＝θ，作MM1垂直准线于M1，由抛物线的性质可得|MM1|＝|MF|，所以，当cosθ最小时，的值最大，所以当直线MN与抛物线C相切时，θ最大，即cosθ最小．由题意可得N（﹣1，0），设切线MN的方程为x＝my﹣1，联立方程组消去x，得y2﹣4my+4＝0，由Δ＝16m2﹣16＝0，可得m＝±1，将m＝±1代入y2﹣4my+4＝0，可得y＝±2，所以x＝1，即M的坐标为（1，±2），所以，|MM1|＝1﹣（﹣1）＝2，所以的最大值为．故选：A．39．（2023•达州模拟）点A（x0，y0）（x0＞1，y0＜0），B，C均在抛物线y2＝4x上，若直线AB，AC分别经过两定点（﹣1，0），M（1，4），则BC经过定点N．直线BC，MN分别交x轴于D，E，O为原点，记|OD|＝a，|DE|＝b，则的最小值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题易知直线AB，AC斜率均存在，设直线AB方程为，由，消x得，即，由韦达定理得，所以，代入y2＝4x，得到，所以，设直线方程为，由，消x得，即，由韦达定理得，所以，又因为，所以，代入y2＝4x，得到，所以，所以直线BC的斜率为，所以BC的方程为，即所以，即，故直线BC过定点N（1，1），令y＝0，得到，所以，所以，又因为x0＞1，y0＜0，所以，所以，又|OD|＝a，|DE|＝b，所以，又由柯西不等式知，当且仅当，即时，取等号，所以，即．故选：D．40．（2023•鲤城区校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则sin∠PMN的最小值为 ．【解答】解：由y2＝4x得F（1，0），由题意知直线l的斜率不为0，所以设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x得y2﹣4my﹣4＝0，则由韦达定理得，所以，所以|AB|＝x1+x2+p＝4m2+4，所以|PM|＝＝2m2+2，又P点到y轴的距离d＝＝2m2+1，所以sin∠PMN＝＝＝1﹣，所以当m＝0时，sin∠PMN取得最小值．故答案为：．三．直线与抛物线的综合（共20小题）41．（2023•遂宁模拟）已知定点D（2，0），直线l：y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线y2＝4x交于两点A，B，若∠ADB＝90°，则|AB|＝（ ）A．4B．6C．8D．10【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，由题意得Δ＞0，故，则，又，则x1x2﹣2（x1+x2）+y1y2+4＝0，即，解得，则，则．故选：C．42．（2023•贵州模拟）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若A （1，2），则|AB|＝（ ）A．9B．7C．6D．5【解答】解：由题意直线l的斜率必存在，抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），设直线l：y＝k（x﹣2），则，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝4，又A（1，2），则x1＝1，x24，k2＝8，|AB|＝•＝3×3＝9．故选：A．43．（2023•黄州区校级三模）抛物线C：y2＝2px的准线与x轴交于点M，过C的焦点F作斜率为2的直线交C于A、B两点，则tan∠AMB＝（ ）A．B．C．D．不存在【解答】解：抛物线C：y2＝2px的焦点F（，0），M（﹣，0），可知AB方程y＝2（x﹣），AB的方程与y2＝2px联立，消去y可得4x2﹣6px+p2＝0，可得x＝或，∴A（，），B（，），∴k AM＝＝，k BM＝﹣，∴tan∠AMB＝＝＝4．故选：C．44．（2023•深圳模拟）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k（x+1）与C交于A，B两点（A 在B的左边），则4|AF|+|BF|的最小值是（ ）A．10B．9C．8D．5【解答】解：由题知C的焦点，F（1，0），准线为x＝﹣1，如图，作AM⊥准线，BN⊥准线，l：y＝k （x+1）过定点（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得k2（x2+2x+1）﹣4x＝0，即k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，∴，又∵|AF|＝|AM|＝x1+1，|BF|＝|BN|＝x2+1，∴，当且仅当4x1＝x2时取等，故选：B．45．（2023•万州区校级模拟）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，作倾斜角为的直线l交C于A，B两点，交C的准线于点M，若（O为坐标原点），则线段AB的长度为（ ）A．8B．16C．24D．32【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），作倾斜角为的直线l：y＝（x﹣），抛物线的准线方程为x＝﹣，可得M（﹣，），又，可得＝，解得p＝4，，消去y可得x2﹣28x+4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝28，所以|AB|＝x1+x2+p＝28+4＝32．故选：D．46．（2023•茂名二模）已知抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若且，则λ＝ ．【解答】解：设准线与x轴的交点为K，作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，则BB1∥FK∥AA1．根据抛物线定义知|BB1|＝|BF|，|AA1|＝|AF|，又若，且，因为BB1∥FK∥AA1，设|BF|＝m，则，∴，又p＝3，解得m＝2，∴|AF|＝λ|FB|＝2λ，所以|BA|＝2+2λ，因为BB1∥FK∥AA1，所以，∴，解得λ＝3．故答案为：3．47．（2023•昆明一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，经过抛物线上一点P，作斜率为的直线交C 的准线于点Q，R为准线上异于Q的一点，当∠PQR＝∠PQF时，|PF|＝ ．【解答】解：不妨令R为过P点垂直于准线的垂足，又∠PQR＝∠PQF，即QF为∠FQR角平分线，Q是斜率为的直线与抛物线准线的交点，则P在第一象限内，而PR⊥QR，且|PR|＝|PF|，根据角平分线性质知：PF⊥QF，如上图示，令且m＞0，则直线PQ为，令x＝﹣1，则，由，整理可得3m3﹣8m2+12m﹣32＝（m2+4）（3m﹣8）＝0，则，故故答案为：．48．（2023•江西二模）2022北京冬奥会顺利召开，滑雪健将谷爱凌以2金1银的优秀成绩书写了自己的传奇，现在她从某斜坡上滑下，滑过一高度不计的滑板后落在另一斜坡上，若滑板与水平地面夹角的正切值为，斜坡与水平地面夹角的正切值为，那么她最后落在斜坡上速度与水平地面夹角的正切值为（ ）（不计空气阻力和摩擦力）A．3B．C．D．4。
高考数学抛物线试题汇编
第三节 抛物线高考试题考点一 抛物线的定义和标准方程1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线与圆x 2+y 2-6x-7=0相切,则p 的值为( )(A)12(B)1 (C)2(D)4 解析:圆x 2+y 2-6x-7=0化为标准方程为(x-3)2+y 2=16,∴圆心为(3,0),半径是4,抛物线y 2=2px(p>0)的准线是x=-2p , ∴3+2p=4, 又p>0,解得p=2.故选C. 答案:C2.(2011年辽宁卷,理3)已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )(A)34 (B)1 (C)54 (D)74解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12=3, ∴x A +x B =52. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2A Bx x =54.故选C. 故选C. 答案:C3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( )(A)22 (B)23(C)4 (D)25解析:由题意设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则M 到焦点的距离为x M +2p =2+2p=3,∴p=2,∴y 2=4x.∴20y =4×2,∴|OM|=204y +=48+=23.故选B.答案:B4.(2010年上海卷,理3)动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程是.解析:由抛物线的定义知,点P 的轨迹是以F 为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y 2=8x. 答案:y 2=8x5.(2012年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 1 m 后,水面宽m.解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x 2=-2py(p>0),则A(2,-2),将其坐标代入 x 2=-2py,得p=1.∴x 2=-2y.当水面下降1 m,得D(x 0,-3)(x 0>0),将其坐标代入x 2=-2y 得20x =6,∴x 06,∴水面宽6 m. 答案66.(2010年浙江卷,理13)设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到抛物线准线的距离为.解析:由已知得B 点的纵坐标为1,横坐标为4p ,即B ,14p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,将其代入y 2=2px 得1=2p ×4p ,解得则B点到准线的距离为2p +4p =34答案考点二 抛物线的几何性质及其应用1.(2011年四川卷,理10)在抛物线y=x 2+ax-5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4,x 2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2+5y 2=36相切,则抛物线顶点的坐标为( )(A)(-2,-9)(B)(0,-5) (C)(2,-9) (D)(1,-6)解析:当x 1=-4时,y 1=11-4a;当x 2=2时,y 2=2a-1,所以割线的斜率k=1142142a a --+--=a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0,由y ′=2x+a 得切线斜率为2x 0+a,∴2x 0+a=a-2,∴x 0=-1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1), 即(a-2)x-y-6=0.圆5x 2+5y 2=36的圆心到切线的距离.=,即(a-2)2+1=5.又a ≠0,∴a=4,此时y=x 2+4x-5=(x+2)2-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A.答案:A2.(2009年四川卷,理9)已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )(A)2 (B)3(C)115(D)3716解析:如图所示,动点P 到l 2:x=-1的距离可转化为点P 到点F 的距离.由图可知,距离和的最小值即F 到直线l 1的距离=2.故选A.答案:A3.(2009年福建卷,理13)过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p=.解析:∵F 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,∴设AB:y=x-2p ,与y 2=2px 联立,得x 2-3px+24p =0.∴x A +x B =3p.∴|AB|=x A +x B +p=4p=8,得p=2. 答案:24.(2010年大纲全国卷Ⅱ,理15)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A,与C 的一个交点为B,若AM =MB ,则p=.解析:如图所示,由AB 的斜率为3,知∠α=60°, 又AM =MB , ∴M 为AB 的中点.过点B 作BP 垂直准线l 于点P, 则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°.∴|BP|=12|AB|=|BM|, ∴M 为焦点,即2p=1,∴p=2. 答案:2考点三直线与抛物线位置关系1.(2013年大纲全国卷,理11)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若MA·MB=0,则k等于( )(A)12(B)22(C)2 (D)2解析:法一设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由()22,8,y k xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,∴x1+x2=()2242kk+,x1x2=4,由MA·MB=0,得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,连接MF,MP,由MA ·MB =0, 知MA ⊥MB,则|MP|=12|AB|=12(|AG|+|BH|), 所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线, 所以MP ∥AG ∥BH, 所以∠GAM=∠AMP=∠MAP, 又|AG|=|AF|, |AM|=|AM|, 所以△AMG ≌△AMF, 所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF ⊥AB,所以k=-1MFk =2.答案:D2.(2010年辽宁卷,理7)设抛物线y 2=8x 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF|等于( )(A)43(B)8 (C)83(D)16解析:如图所示,直线AF 的方程为y=-3(x-2),与准线方程x=-2联立得A(-2,43).设P(x 03),代入抛物线y 2=8x,得8x0=48,∴x0=6,∴|PF|=x0+2=8,选B.答案:B3.(2012年安徽卷,理9)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为( )(A)2(B)2(C)32(D)22解析:如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知:点A到准线x=-1的距离为3,∴点A的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标2∴2∴直线AF的方程为2联立直线与抛物线的方程) 2221,4,y xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩解之得1,22xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩或2,2 2.xy=⎧⎪⎨=⎪⎩由图知B1,22⎛-⎝,∴S△AOB=12|OF|·|y A-y B|=12×1×22322故选C.答案:C4.(2009年天津卷,理9)设抛物线y 2=2x 的焦点为F,过点M(3,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比BCFCFS S △△A 等于( ) (A)45(B)23(C)47(D)12解析:如图所示,设过点M(3,0)的直线方程为y=k(x-3),代入y 2=2x 并整理,得k 2x 2-(23k 2+2)x+3k 2=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 22232k +,x 1x 2=3,因为|BF|=2,所以|BB ′|=2,∴x 2=2-12=32, 从而x 1=23x =2. 设点F 到直线AC 的距离为d,则BCF CF S S △△A =1212BC d AC d ⋅⋅=BC BB ACAA '='=2122+=45. 故选A. 答案:A5.(2009年大纲全国卷Ⅱ,理9)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k 等于( )(A)13(B)23 (C)23(D)223解析:将y=k(x+2)代入y 2=8x,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B ,则x A +x B =28k -4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2, |FA|=2|FB|, ∴2x B +4=x A +2. ∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =2163k -4+2=2163k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4. 解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D.答案:D6.(2013年安徽卷,理13)已知直线y=a 交抛物线y=x 2于A,B 两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB 为直角,则a 的取值范围为.解析:设直线y=a 与y 轴交于点M,抛物线y=x 2上要存在C 点,使得∠ACB 为直角,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x 2有交点即可,也就是使|AM|≤|MO|,a(a>0),所以a ≥1.答案:[1,+∞)7.(2012年重庆卷,理14)过抛物线y 2=2x 的焦点F 作直线交抛物线于A,B 两点,若|AB|=2512,|AF|<|BF|,则|AF|=.解析:由于y 2=2x 的焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,设AB 所在直线的方程为y=k 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1<x 2,将y=k 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入y 2=2x,得k 2212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2x,∴k 2x 2-(k 2+2)x+24k =0.∴x 1x 2=14. 而x 1+x 2+p=x 1+x 2+1=2512, ∴x 1+x 2=1312. ∴x 1=13,x 2=34.∴|AF|=x 1+2p =13+12=56. 答案:568.(2010年重庆卷,理14)已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB ,则弦AB 的中点到准线的距离为.解析:F 的坐标为(1,0). 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), ∵AF =3FB ,∴(1-x 1,-y 1)=3(x 2-1,y 2), ∴1-x 1=3x 2-3, 且-y 1=3y 2, 即x 1+3x 2=4,y 1=-3y 2. 设直线AB 的方程为y=k(x-1), AB 中点为P(x 0,y 0).由()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得ky 2-4y-4k=0. ∴y 1y 2=-4.∴21y =12,22y =43. ∴x 1=3,x 2=13.∴x 0=122x x +=53. ∴中点P 到准线x=-1的距离d=53-(-1)=83. 答案:839.(2012年辽宁卷,理15)已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A 的纵坐标为.解析:y=12x 2,y ′=x, 由题意P(4,8),k 1=y ′|x=4=4, 切线为y=4x-8, Q(-2,2),k 2=y ′|x=-2=-2, 切线为y=-2x-2.由48,22y x y x =-⎧⎨=--⎩得A(1,-4). 答案:-410.(2012年北京卷,理12)在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F,且与该抛物线相交于A,B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为.解析:∵抛物线y 2=4x,∴焦点F 的坐标为(1,0). 又∵直线l 倾斜角为60°,∴直线方程为(x-1).联立方程)21,4,y x y x ⎧-⎪⎨=⎪⎩解得111,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或223,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩由已知得A 的坐标为),∴S △OAF =12|OF|·|y A |=12×1×答案11.(2012年新课标全国卷,理20)设抛物线C:x 2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B,D 两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为求p 的值及圆F 的方程;(2)若A,B,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m,n 距离的比值.解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F 的半径又点A 到l 的距离而S △ABD∴12|BD|·即12×2p∴p=-2(舍去)或p=2, ∴圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8.(2)∵A 、B 、F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°.又由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|, ∴∠ABD=30°,m 的斜率为,当m ,可设n 方程为x+b.代入x 2=2py 得x 2px-2pb=0, 由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb=0 ∴b=-6p , 又∵m 的截距b 1=2p ,1b b=3, ∴坐标原点到m 、n 距离的比值为3.当m 的斜率为,由图形对称性知,坐标原点到m 、n 的距离之比仍为3. 12.(2013年广东卷,理20)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点. (1)求抛物线C 的方程;(2)当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3)当点P 在直线l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 解:(1)依题意,设抛物线C 的方程为x 2=4cy,结合c>0,解得c=1.所以抛物线C 的方程为x 2=4y. (2)抛物线C 的方程为x 2=4y,即y=14x 2,求导得y ′=12x. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)（其中y 1=214x ,y 2=224x ）,则切线PA,PB 的斜率分别为12x 1,12x 2. 所以切线PA 的方程为y-y 1=12x (x-x 1),即y=12x x-212x +y 1,即x 1x-2y-2y 1=0. 同理,可得切线PB 的方程为x 2x-2y-2y 2=0. 因为切线PA,PB 均过点P(x 0,y 0), 所以x 1x 0-2y 0-2y 1=0,x 2x 0-2y 0-2y 2=0.所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程x 0x-2y 0-2y=0的两组解. 所以直线AB 的方程为x 0x-2y 0-2y=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y 1+1,|BF|=y 2+1, 所以|AF|·|BF|=(y 1+1)(y 2+1)=y 1y 2+(y 1+y 2)+1.联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 整理得y 2+(2y 0-20x )y+20y =0,由根与系数的关系可得y 1+y 2=20x -2y 0,y 1y 2=20y ,所以|AF|·|BF|=y 1y 2+(y 1+y 2)+1=20y +20x -2y 0+1.又点P(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=y 0+2.所以20y +20x -2y 0+1=220y +2y 0+5=2（y 0+12）2+92. 所以当y 0=-12时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为92. 13.(2013年湖南卷,理21)过抛物线E:x 2=2py(p>0)的焦点F 作斜率分别为k 1,k 2的两条不同直线l 1,l 2,且k 1+k 2=2,l 1与E 相交于点A,B,l 2与E 相交于点C,D,以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k 1>0,k 2>0,证明:FM ·FN <2p 2;(2)若点M 到直线l ,求抛物线E 的方程. 解:(1)由题意知,抛物线E 的焦点为F 02p ⎛⎫⎪⎝⎭，,直线l 1的方程为y=k 1x+2p .由12,22p Y k x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得x 2-2pk 1x-p 2=0.设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则x 1,x 2是上述方程的两个实数根, 从而x 1+x 2=2pk 1, y 1+y 2=k 1(x 1+x 2)+p=2p 21k +p.所以点M 的坐标为（pk 1,p 21k +2p）, FM =(pk 1,p 21k ).同理可得点N 的坐标为(pk 2,p 22k +2p ), FN =(pk 2,p 22k ),于是FM ·FN =p 2(k 1k 2+21k 22k ).因为k 1+k 2=2,k 1>0,k 2>0,k 1≠k 2, 所以0<k 1k 2<122k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭2=1.故FM ·FN <p 2(1+12)=2p 2.(2)由抛物线的定义得|FA|=y 1+2p , |FB|=y 2+2p , 所以|AB|=y 1+y 2+p=2p 21k +2p, 从而圆M 的半径r 1=p 21k +p.故圆M 的方程为(x-pk 1)2+(y-p 21k -2p )2=(p 21k +p)2,化简得x 2+y 2-2pk 1x-p(221k +1)y-34p 2=0. 同理可得圆N 的方程为x 2+y 2-2pk 2x-p(222k +1)y-34p 2=0. 于是圆M,圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2-k 1)x+(22k -21k )y=0. 又k 2-k 1≠0,k 1+k 2=2, 则l 的方程为x+2y=0. 因为p>0,所以点M 到直线l 的距离为2117248p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎪故当k 1=-14时, d由题设解得p=8.故所求的抛物线E 的方程为x 2=16y.14.(2013年陕西卷,理20)已知动圆过定点A(4,0),且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P,Q,若x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明直线l 过定点.(1)解:如图所示,设动圆圆心O 1(x,y),由题意,|O 1A|=|O 1M|, 当O 1不在y 轴上时, 过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H, 则H 是MN 的中点, ∴|O 1M|=224x +,又|O 1A|=()224x y -+,∴()224x y -+=224x +,化简得y 2=8x(x ≠0).又当O 1在y 轴上时,O 1与O 重合,点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2=8x,∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2=8x.(2)证明:由题意,设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0), P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将y=kx+b 代入y 2=8x 中,得k 2x 2+(2bk-8)x+b 2=0,其中Δ=-32kb+64>0.由根与系数的关系得,x 1+x 2=282bkk -,① x 1x 2=22b k ,②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线,所以111y x +=-221yx +, 即y 1(x 2+1)+y 2(x 1+1)=0, (kx 1+b)(x 2+1)+(kx 2+b)(x 1+1)=0, 2kx 1x 2+(b+k)(x 1+x 2)+2b=0,③ 将①②代入③,得2kb 2+(k+b)(8-2bk)+2k 2b=0,∴k=-b,此时Δ>0, ∴直线l 的方程为y=k(x-1), ∴直线l 过定点(1,0).15. (2013年辽宁卷,理20)如图,抛物线C 1:x 2=4y,C 2:x 2=-2py(p>0).点M(x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点A,B(M 为原点O 时,A,B 重合于O).当x 0=1-2时,切线MA 的斜率为-12.(1)求p 的值;(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O).解:(1)因为抛物线C 1:x 2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为y ′=2x ,且切线MA 的斜率为-12,所以A 点坐标为(-1,14),故切线MA 的方程为y=-12(x+1)+14. 因为点20)在切线MA 及抛物线C 2上,于是y 0=-12214322-,① y 0=-(2122p322-.②由①②得p=2.(2)设N(x,y),A(x 1,214x ),B(x 2,224x ),x 1≠x 2,由N 为线段AB 中点知x=122x x +,③y=22128x x +.④ 切线MA,MB 的方程为 y=12x (x-x 1)+214x .⑤y=22x (x-x 2)+224x .⑥由⑤⑥得MA,MB 的交点M(x 0,y 0)的坐标为 x 0=122x x +,y 0=124x x . 因为点M(x 0,y 0)在C 2上,即20x =-4y 0,所以x 1x 2=-22126x x +.⑦ 由③④⑦得x 2=43y,x ≠0. 当x 1=x 2时,A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O,坐标满足x 2=43y. 因此线段AB 中点N 的轨迹方程为x 2=43y. 模拟试题考点一 抛物线的定义和标准方程及其应用1.(2013福建厦门高三上质检)已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点,P 是圆x 2+y 2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是( ) (A)3(B)4(C)5(D)6解析:圆x 2+y 2-8x-8y+31=0的圆心C 坐标为(4,4),半径为1,∵|PF|≥|CF|-1,∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,由y2=4x知F(1,0),∴|PF|min故选B.答案:B2.(2013山东潍坊一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线24x-25y=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AF|,则A点的横坐标为( )(D)4解析:由24x-25y=1得c2=4+5=9.∴双曲线右焦点为(3,0),∴抛物线焦点坐标为(3,0),抛物线方程为y2=12x.设d为点A(x0,y0)到准线的距离,由抛物线定义知d=|AF|=x0+3,由题意得|y0|=x0+3,代入抛物线方程得(x0+3)2=12x0,解得x0=3.故选B.答案:B考点二抛物线几何性质的应用1.(2013云南师大附中高三高考适应性月考卷)在直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是.解析:线段OA的斜率k=12,中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭.所以线段OA 的垂直平分线的方程是y-12=-2(x-1), 令y=0得到x=54. 即抛物线的焦点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭. 所以该抛物线的准线方程为x=-54. 答案:x=-542.(2013云南省昆明一中高三第二次高中新课程双基检测)已知点A(4,4)在抛物线y 2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A 作直线l:x=-4p 的垂线,垂足为M,则∠MAF 的平分线所在直线的方程为. 解析:点A 在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF 的平分线所在的直线就是线段MF 的垂直平分线,k MF =4011---=-2,所以∠MAF 的平分线所在的直线方程为y-4=12(x-4),即x-2y+4=0. 答案:x-2y+4=0考点三 直线与抛物线的位置关系1.(2013河南郑州高三第一次质量预测)已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB,则AB 中点到x 轴的最短距离为( ) (A)34(B)32(C)1 (D)2 解析:易知,AB 的斜率存在,设AB 方程为y=kx+b.由2,4y kx b x y =+⎧⎨=⎩得x 2-4kx-4b=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个根,∴x 1+x 2=4k,x 1·x 2=-4b,又|AB|=6, 化简得b=()2941k +-k 2, 设AB 中点为M(x 0,y 0),则y 0=122y y +=122kx b kx b +++=()122k x x ++b =2k 2+()2941k +-k 2=k 2+()2941k +=(k 2+1)+()2941k +-1 ≥2×32-1=2. 当且仅当k 2+1=()2941k +, 即k 2=12时,y 0取到最小值2.故选D. 答案:D2.(2013北京市东城区高三上学期期末)已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为K,点A 在抛物线上且则△AFK 的面积为( ) (A)4(B)8(C)16(D)32解析:双曲线的右焦点为(4,0),抛物线的焦点为02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，, 所以2p =4,即p=8. 所以抛物线方程为y 2=16x,焦点F(4,0),准线方程为x=-4,即K(-4,0),设A(x,y),由于|AK|=2|AF|,∴|y|=x+4,又y2=16x,∴(x+4)2=16x,即x=4.∴A(4,±8),S△AFK=12×8×|y|=32.故选D.答案:D3.(2013北京海淀高三上期末)已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.(1)求抛物线方程及其焦点坐标;(2)已知O为原点,求证:∠MON为定值.解:(1)∵点E(2,2)在抛物线y2=2px上,∴4=2p×2,∴p=1.∴抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为1,0 2⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)显然,直线l斜率存在,且不为0.设l斜率为k,则l方程为y=k(x-2).由()22,2.y k xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得ky 2-2y-4k=0, 设A 211,2y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 222,2y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.则y 1+y 2=2k ,y 1·y 2=-4. ∵k EA =121222y y --=121242y y --=122y +. ∴EA 方程为y-2=122y +(x-2). 令x=-2,得y=2-182y +=11242y y -+. ∴M 11242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. 同理可求得N 22242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ∴OM ·ON =11242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭·22242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭=4+()()()()1212242422y y y y --++ =4+()()12121212481624y y y y y y y y -+++++ =0∴OM ⊥ON .即∠MON=90°,∴∠MON 为定值.综合检测1.(2012东北三校第二次联考)若抛物线y 2=2px(p>0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p 的值为( )(A)2 (B)18(C)2或18(D)4或16 解析:设P(x 0,y 0),则0020010,26,2,p x y y px ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴36=2p 102p ⎛⎫- ⎪⎝⎭,即p 2-20p+36=0. 解得p=2或18.故选C.答案:C2.(2012洛阳二模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过F 的直线与该抛物线相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点,则21y +22y 的最小值是( )(A)4(B)8(C)12(D)16解析:抛物线的准线方程为x=-1,∴|AF|=x 1+1,|BF|=x 2+1,∴21y +22y =4x 1+4x 2=4(|AF|+|BF|)-8=4|AB|-8. ∵|AB|的最小值为4(当AB ⊥x 轴时取得),∴21y +22y 的最小值为8.故选B. 答案:B3.(2012陕西五校联考)设动点P(x,y)(x ≥0)到定点F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到y 轴的距离大12.记点P 的轨迹为曲线C.(1)求点P 的轨迹方程; (2)设圆M 过A(1,0),且圆心M 在P 的轨迹上,BD 是圆M 在y 轴上截得的弦,当M 运动时弦长BD 是否为定值?说明理由;(3)过F 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作互相垂直的两直线交曲线C 于G 、H 、R 、S,求四边形GRHS 面积的最小值. 解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭为焦点,直线l:x=-12为准线的抛物线,其方程为y 2=2x. (2)是定值.解法如下:设圆心M 2,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径圆的方程为222a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(y-a)2=a 2+2212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),∴BD=2,即弦长BD 为定值.(3)设过F 的直线GH 的方程为y=k 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,G(x 1,y 1),H(x 2,y 2), 由21,22,y k x y x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得k 2x 2-(k 2+2)x+24k =0,∴x 1+x 2=1+22k ,x 1x 2=14,∴=2+22k , 同理得|RS|=2+2k 2.S 四边形GRHS =21222k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2+2k 2)=22212k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥8(当且仅当k=±1时取等号). ∴四边形GRHS 面积的最小值为8.。
高中数学抛物线-高考经典例题
1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。
所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。
所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。
，py x py x 2222-==4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。
③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中5一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征y 2=kxk>0时开口向右(k/4,0) x= ─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离k<0时开口向左 x 2=kyk>0时开口向上(0,k/4) y= ─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离k<0时开口向下抛物线的定义：例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程．C NM 1QM 2K FPoM 1QM 2KF Poyx分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．答案：y 2=－16x例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
高中数学抛物线经典例题(含解析)
抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。
抛物线-考点测试
目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
解析
对于 C，设 MN 的中点为 A，M，N，A 到直线 l 的距离分别为 d1，d2，d，
因为 d＝12(d1＋d2)＝12(|MF|＋|NF|)＝12|MN|，即 A 到直线 l 的距离等于|MN|
答案
解析 由题意知点 A 为抛物线 C 的准线与 x 轴的交
点，如图，过点 M 作 MN 垂直于准线于点 N，令|FM|＝
2a，则|AM|＝ 5a，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|＝2a，
所以 cos∠AMN＝||MAMN||＝255，所以 sin∠AMN＝ 55.又
MN∥AF，所以∠MAF＝∠AMN，所以
解析
7．已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，点
A－p2，0，若|AM|＝ 25|FM|，则 cos∠MFA＝(
)
A．±
2 2
B．±
3 2
C．±
3 3
D．±12
目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
＝x1＋p2＝x1＋1，|BF|＝x2＋p2＝x2＋1，所以|AP|＋4|BQ|
＝x1＋4x2，设直线 l：x＝my＋1，由yx2＝＝m4yx＋，1，得 x2－(2＋4m2)x＋1＝0，
所以 x1x2＝1，所以|AP|＋4|BQ|＝x1＋4x2≥2 4x1x2＝4，当且仅当 x1＝4x2，
即 x1＝2，x2＝12时取等号，所以|AP|＋4|BQ|的最小值为 4.
抛物线
抛物线【九大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（ ）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为 抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴 上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（ ）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（ ）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（ ）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（ ）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（ ）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（ ）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（ ）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（ ）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（ ）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（ ）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（ ）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（ ）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。
抛物线高考题精选
抛物线专题1.. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是A. 4B. 6C. 8D. 12 2.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF斜率为PF =（A ）（B ） 8 （C ） （D ） 163.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足．如果直线AF 的斜率为,那么|PF|= (A) (B)8 (C) (D) 164.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 （A ）1x= (B)1x =- (C)2x = (D)2x =-5.过抛物线24y x =的焦点F的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =；则AOB ∆的面积为（ ）()A 2()B ()C2()D 6.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM=（ ）A 、 B 、 C 、4 D 、7.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 88.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45 B ．35 C ．35-D ．45-9.将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n≥310.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =11.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版
目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11抛物线大题专练（一）1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．3．如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．5．已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．6．已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．7．已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．8．抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．抛物线大题专练（二）10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．11．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．12．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．13．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．14．如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）当直线过点M（p，0）时，证明y1．y2为定值；（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l′交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．16．（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．17．（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．19．（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．20．（2014•江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．抛物线大题专练（三）21．（2014•杭州二模）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．22．（2014•包头一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．23．（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．24．（2014•长沙二模）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．25．（2015•上海模拟）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．26．（2014•乌鲁木齐三模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点过F，过H（﹣，0）引直线l交此抛物线于A，B两点．（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；（2）若p=2，点M在抛物线上，且+=t，求t的取值范围．27．（2014•太原二模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l1与抛物线交于不同的两点A、B，直线l2与抛物线交于不同的两点C、D．（Ⅰ）当l1过F时，在l1上取不同于F的点P，使得=，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若l1与l2相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|•|QB|=a|QC|•|QD|，求实数a的值．28．（2014•合肥一模）已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny﹣m=0（m，n为常数且m≠0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）O为抛物线的顶点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：为定值．29．（2014•呼和浩特一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当圆E的面积最小时，求E的方程．30．（2014•普陀区一模）已知点P（2，0），点Q在曲线C：y2=2x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．抛物线大题专练参考答案与试题解析1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1，与抛物线方程联立，求出k的范围，利用，即可求出点A的纵坐标y1的取值范围．解答：解：（1）由定义得，则抛物线C的方程：x2=y（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1联立方程得x2﹣kx+k﹣1=0，A（k﹣1，（k﹣1）2），△1＞0即k≠2同理B（﹣k﹣1，（﹣k﹣1）2），△2＞0即k≠﹣2，令，则所以k＞2或，所以点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（2015•淮安一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．解答：解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．所以，故的为定值2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．（2014•九江三模）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）利用•+•=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线l1、l2的方程．解答：解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．4．（2014•浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=，可得b=﹣2p﹣2mp，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，∴直线x=2p与抛物线y2=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，﹣2p），∴三角形ABO是Rt△，∴过A，B，O三点的圆方程是：（x﹣2p）2+y2=4p2；（Ⅱ）设点，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，由方程组消去x可得y2﹣2mpy﹣2pb=0，故y1+y2=2mp，y1y2=﹣2pb，这样，tan==即1=，所以b=﹣2p﹣2mp，∴直线AB的方程可以写成为：x=my﹣2p﹣2mp，即x+2p=m（y﹣2p），∴直线AB过定点（﹣2p，2p）．点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．5．（2014•广州二模）已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，可求a的值；（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定S，T的坐标，根据|ST|=2，即可求直线l1的方程；（3）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标．解答：解：（1）∵点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，∴a=4．…（1分）（2）由（1）得抛物线E的方程为x2=4y．设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，，y=kx+1代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4=0，解得．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．…（2分）直线AB的斜率，故直线AB的方程为．…（3分）令y=﹣1，得，∴点S的坐标为．…（4分）同理可得点T的坐标为．…（5分）∴=．…（6分）∵，∴．由，得20k2=16k2+16，解得k=2，或k=﹣2，…（7分）∴直线l1的方程为y=2x+1，或y=﹣2x+1．…（9分）（3）设线段ST的中点坐标为（x0，﹣1），则=．…（10分）而|ST|2=，…（11分）∴以线段ST为直径的圆的方程为=．展开得．…（12分）令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=﹣3．…（13分）∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，﹣3）．…（14分）点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2015•兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．解答：解：①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴又得，∴所以依题意，∴p=4∴抛物线方程为y2=8x﹣﹣﹣﹣（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y2=8x②当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：∴=﹣﹣﹣﹣（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为∵，∴△ABS面积的最大值为．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（2015•路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得﹣1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=，得S△AOB=|AB|d=4．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）联立得：y2+8y﹣8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0==﹣4．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y1|=4，又|AB|==．所以|AB|=2r，即=8，解得b=﹣．所以x0==2b+8=，所以圆心为（，﹣4）．故所求圆的方程为（x﹣）2+（y+4）2=16．．（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，∴b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞﹣2，∴﹣2＜b＜0，直线l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，g′（b）=3b2+4b=3b（b+），∴g（b）在（﹣2，﹣）增函数，在（﹣，0）是减函数，∴g（b）的最大值为g（﹣）=．∴当b=﹣时，△AOB的面积取得最大值．点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．8．（2015•大庆二模）抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；（Ⅱ）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线CD的斜率．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆N：+y2=1，∴c2=a2﹣b2=﹣1=，∴椭圆的左焦点为F1（﹣，0），∴﹣=﹣，则p=1．故M：y2=2x；（Ⅱ）由题意知，A（a，2a），∵|OA|=t，∴a2+2a=t2．由于t＞0，故有t=①由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为+=1．又∵A在直线BC上，故有+=1．将①代入上式，得：+=1，解得c=a+2+．又∵D（a+2，2），∴直线CD的斜率为：k CD====﹣1．点评：本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题．9．（2015•黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1．设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），通过换元，令t=∈[，]，即可得出|+|2的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆C过点（1，），∴，又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2．故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1…（5分）（Ⅱ）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky﹣1=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将①2÷②得+2=﹣⇒λ++2=…（8分）由λ∈[﹣2，﹣1]得﹣≤λ++2≤0⇒﹣≤≤0，0≤k2≤…（9分）=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），+=（x1+x2﹣4，y1+y2）x1+x2﹣4=k（y1+y2）﹣2=﹣，|+|=+==16﹣+令t=∈[，]，|+|2=8t2﹣28t+16∴t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2，进而求出x1x2，根据向量数量积运算公式，可得•的值与k1无关；（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=﹣4，同理可得y2y4=﹣4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．解答：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2（m≠0）．…（1分）将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4my﹣8=0．…（2分）从而y1y2=﹣8，于是，…（3分）∴与k 1无关．…（5分）（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4）．则．…（8分）设直线AM的方程为x=ny+1（n≠0），将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4ny﹣4=0∴y1y3=﹣4．同理可得y2y4=﹣4．…（10分）故，…（11分）由（Ⅰ）知，y1y2=﹣8，∴为定值．…（12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．11．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x 1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9．由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=．则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．12．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由（1）得，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=16（1+m2），|AB|2=（y1﹣y2）2+（x1﹣x2）2=（y1﹣y2）2+（）2=y1﹣y2）2[1+（）2]=16（1+m2）2，即有|AB|=4（1+m2），由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|﹣|CD|=|AB|﹣|CD|，又CD为圆x2+y2﹣2x=0的直径，即有|CD|=2，则4（1+m2）=6，解得，m=，则直线l的方程是x+y﹣=0或x﹣y﹣=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•衡水模拟）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．（2015•郴州二模）如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r====|O1O2|，即可证明；（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4=0，可得根与系数的关系，由x2=4y，可得．可得k MA•k MB==﹣1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3﹣（﹣1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程．（3）假设存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，设=λ，可得，，设C（x3，y3），D （x4，y4）．利用向量的坐标运算可得x1=﹣λx2，x4=﹣λx3．把x1=﹣λx2代入根与系数的关系可得．把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k2+6）x2+6kx﹣1=0，把根与系数的关系与x4=﹣λx3联立可得，联立解得即可．解答：（1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．则r====|O1O2|，∴r=|O1O2|，∴以AF为直径的圆与x轴相切；（2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．。
高考数学抛物线专题训练试题
高考数学抛物线专题训练试题1.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，|AF|=2,则|BF|=________2.抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点P(−3,m)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为()A．y2=4xB．y2=8xC．y2=−4xD．y2=−8x3.已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C:(x+1)2+(y−5)2=1上，则|MA|+ |MF|的最小值是________4.抛物线x2=y的焦点为F，其准线与y轴的交点为P．若该抛物线上的点M满足|MP|=√2|MF|，则点M的纵坐标是________ ．5.抛物线y=4x2的准线方程是()A．x=1B．x=−1C．y=116D．y=−1166.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|=3，则ΔAOB的面积为()A．√22B．√2C．3√22D．2√27.抛物线y 2=ax(a >0)上的点P(32,y 0)，到焦点F 的距离为2，则a =________；ΔPOF 的面积为________8.已知抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点为 F ，抛物线上一点 M(2,m) 满足 |MF|=6，则抛物线 C 的方程为________ ．9.已知 P 是抛物线 y 2=4x 上任意一点，点 Q(3,0) 是 x 轴上的定点，则 |PQ| 的最小值为________．10.已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若PF →=3QF →，则 |QF| =( ) A ．52 B ．83 C ．3 D ．611.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为−√3，那么|PF|=________．12.点M(20,40)，抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，|PM|+|PF|的最小值为41，则p 的值等于________13.已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A(x 0,y 0)是C 上一点，|AF|=54x 0，则x 0= ( )A ．1B ．2C ．4D ．814.已知点P 时抛物线y 2=−4x 上的动点，设点P 到此抛物线的准线的距离为d 1，到直线x +y −4=0的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值是( )A ．2B ．√2C ．52D ．5√22。
高考抛物线部分真题
1. 抛物线2x y =的准线方程是 。
2. 已知抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ，点111(,)P x y ，222(,)P x y ，333(,)P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有 。
A.123||||||FP FP FP +=B. 222123||||||FP FP FP +=C. 2132||||||FP FP FP =+D. 2213||||||FP FP FP =3. 设双曲线22221x y a b-=(0a b >>的离心且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为 。
4. 设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，则|||F A FB F ++＝ 。
5. 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ^，垂足为K ，则△AKF 的面积是 。
6. 双曲线C 1：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左准线为l ,左焦点和右焦点分别为F 1和F 2；抛物线C 2的准线为l ，焦点为F 2.C 1与C 2的一个交点为M ，则12112||||||||F F MF MF MF -等于 。
7. 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60°，则||OA 为 。
8. 连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M(1，0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为 。
9. 已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则||AB 等于 。
10. 在平面直角坐标系中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于A 、B 两点。
高中数学抛物线大题精选30道（含答案）
抛物线大题30题1 ．已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆224520x y +=的一个焦点相同,(1)求椭圆的焦点坐标与离心率;(2)求抛物线方程.2 ．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线AB 交抛物线于 A ．B,求AB 中点M 的轨迹方程｡3 ．已知直线l 过定点()0,4A ,且与抛物线2:2(0)C ypx p = >交于P 、Q 两点,若以PQ 为直径的圆经过原点O ,求抛物线的方程.4 ．已知p ：方程2212x y m m+=-表示椭圆；q ：抛物线y =221x mx ++与 x 轴无公共点,若p 是真命题且q 是假命题,求实数m 的取值范围．5 ．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。
（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D ．E 两点，ME=2DM ， 记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式。
6 ．直线y=2x 与抛物线y=-x 2-2x+m 相交于不同的两点 A ．B ，求（1）实数m 的取值范围；（2）∣AB ∣的值(用含m 的代数式表示).7 ．已知抛物线1C :24(0)y px p =>,焦点为2F ,其准线与x 轴交于点1F ;椭圆2C :分别以12F F 、为左、右焦点,其离心率12e =;且抛物线1C 和椭圆2C 的一个交点记为M .(1)当1p =时,求椭圆2C 的标准方程;(2)在(1)的条件下,若直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ,且与抛物线1C 相交于,A B 两点,若弦长||AB 等于12MF F ∆的周长,求直线l 的方程.8 ．如图,已知直线l :2y kx =-与抛物线C :22(0)x py p =->交于A ,B 两点,O 为坐标原点,(4,12)OA OB +=--｡(Ⅰ)求直线l 和抛物线C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时, 求△ABP 面积最大值.9．设圆Q 过点P (0,2), 且在x 轴上截得的弦RG 的长为4.(Ⅰ)求圆心Q 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)过点F (0,1),作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB ,CD ,设AB 、CD 的中点分别为M ,N ,试判断直线MN 是否过定点?并说明理由. 10.已知抛物线2:2C y px =的准线方程14x =-,C 与直线1:y x =在第一象限相交于点1P ,过1P 作C的切线1m ,过1P 作1m 的垂线1g 交x 轴正半轴于点1A ,过1A 作1的平行线2交抛物线C 于第一象限内的点2P ,过2P 作抛物线1C 的切线2m ,过2P 作2m 的垂线2g 交x 轴正半轴于点2A ,…,依此类推,在x 轴上形成一点列1A ,2A ,3A ,…,(*)n A n N ∈,设点n A 的坐标为(,0).n a(Ⅰ)试探求1n a +关于n a 的递推关系式; (Ⅱ)求证:13322n n a -≤⋅-; (Ⅲ)求证:()()1234211(23)2(23)6(23)13321n n n a a a n n n ++++≥-+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+. 11．已知直线1:++=k kx y l ,抛物线x y C 4:2=,定点M(1,1)｡(I)当直线l 经过抛物线焦点F 时,求点M 关于直线l 的对称点N 的坐标,并判断点N 是否在抛物线C 上;(II)当)0(≠k k 变化且直线l 与抛物线C 有公共点时,设点P(a,1)关于直线l 的对称点为Q(x 0,y 0),求x 0关于k 的函数关系式)(0k f x =;若P 与M 重合时,求0x 的取值范围｡12．位于函数4133+=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标;(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*N 第n 条抛物线n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k ,求证:10111113221<+++-n n k k k k k k . 13．已知抛物线24y x =的焦点为F , A ．B 为抛物线上的两个动点.(Ⅰ)如果直线AB 过抛物线焦点,判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系, 并给出证明;(Ⅱ)如果4OA OB ⋅=-(O 为坐标原点),证明直线AB 必过一定点,并求出该定点.14．已知点F(2 ,0) ,直线:1l x =-,动点N 到点F 距离比到直线l 的距离大1;(1)求动点N 的轨迹C 的方程; (2)直线2y x =-与轨迹C 交于点A,B,求ABO ∆的面积.15．(本小题共13分)已知抛物线C :2y x =,过定点()0,0A x 01()8x ≥,作直线l 交抛物线于,P Q (点P 在第一象限). (Ⅰ)当点A 是抛物线C 的焦点,且弦长2PQ =时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设点Q 关于x 轴的对称点为M ,直线PM 交x 轴于点B ,且BQ BP ⊥.求证:点B 的坐标是0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.16．抛物线()2:20C ypx p=上横坐标为32的点到焦点F 的距离为2（I ）求p 的值；（II ）过抛物线C 的焦点F.,作相互垂直的两条弦AB 和CD ， 求AB CD +的最小值。
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抛物线精选高考真题赏析
一、单选题
1．2020年全国（Ⅰ）已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
2．2020年全国（Ⅲ）设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：
22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）
A ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1
,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．(1,0) D ．(2,0)
3．2018年全国（I 卷）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2
3的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
4．2017年全国（1卷）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10.
5．2016年全国（1卷）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=，|DE|=，则C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
6．2014年全国（Ⅰ）已知抛物线C ：
的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若4FP FQ =，则
（ ） A ． B ． C ． D ．
7．2014年全国（Ⅱ卷）设F 为抛物线
2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（ ） A ．303 B ．6
C ．12
D ．3二、解答题 8．2018年全国（II ）设抛物线
24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
9．2019年全国（Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-
上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为
试卷第2页，总2页 A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：
（2）若以E (0，
52
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
10．2018年全国（I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；
（2）证明：ABM ABN ∠=∠．
11．2017年全国（1卷）设A 、B 为曲线C ：
2
4x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4． （1）求直线AB 的斜率；
（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．
12．（2016新课标全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON
；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.
13．2019年全国（Ⅲ）已知曲线2
:,2x C y D =，为直线12y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别
为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.。