高中数学超几何分布知识点总结
《二项分布与超几何分布》知识讲解
二项分布与超几何分布★ 知 识 梳理 ★1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
特别提醒： ①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒：①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k ,其中，k =0,1,2，…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ 0 1… k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．6. 两点分布：X 0 1P 1－p p特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.7. 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n Nk n M N k M ====--Λ其中，N M N n ≤≤,。
超几何分布知识点
超几何分布知识点一、超几何分布的定义。
1. 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品。
从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X =k)=frac{C_M^kC_N - M^n - k}{C_N^n}，k = 0,1,2,·s,m，其中m=min{M,n}，且n≤slant N，M≤slant N，n，M，N∈ N^*，这样的分布列称为超几何分布。
二、超几何分布的特征。
1. 不放回抽样。
- 超几何分布是不放回抽样问题中的一种概率分布模型。
与有放回抽样（二项分布模型的抽样方式）不同，超几何分布每次抽取后，总体中的样本数量会减少，这就导致每次抽取到次品（或符合某种特征的样本）的概率会发生变化。
2. 总体可分为两类。
- 总体中的个体可以明确地分成两类，例如正品和次品、男生和女生等。
我们关心的是从这两类总体中抽取一定数量的样本，其中某一类样本的数量的分布情况。
三、超几何分布的期望与方差。
1. 期望。
- 若X服从超几何分布H(n,M,N)，则E(X)=n(M)/(N)。
- 推导：E(X)=∑_k = 0^m kP(X = k)=∑_k = 0^m kfrac{C_M^kC_N - M^n -k}{C_N^n}，通过组合数的性质和计算可以得到E(X)=n(M)/(N)。
2. 方差。
- 若X服从超几何分布H(n,M,N)，则D(X)=n(M)/(N)(1 - (M)/(N))(N - n)/(N - 1)。
四、超几何分布的应用实例。
1. 产品检验问题。
- 例如，一个工厂生产了N = 100件产品，其中有M = 10件次品。
从这100件产品中随机抽取n = 5件进行检验，设X表示抽取的5件产品中的次品数。
- 则X服从超几何分布H(5,10,100)，P(X = k)=frac{C_10^kC_90^5 -k}{C_100^5}，k = 0,1,2,3,4,5。
高考专题复习 超几何分布(解析版)
第4讲 超几何分布一．离散型随机变量的概率分布(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X (3)离散型随机变量的概率分布的性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 二．两点分布如果随机变量X 的概率分布表为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 三．超几何分布1.概念：一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N(r ＝0,1,2，…，l )．即其中l ＝min(M ，n )，且n 如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X 的概率分布 四．离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：（1）称1122()n n E X x p x p x p =++⋅⋅⋅+为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称21()(())nii i D X x E X p ==-∑为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏X 的标准差． 2．均值与方差的性质若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量， 且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；D (aX ＋b )＝a 2D (X )考向一 分布列性质【例1】（1）设离散型随机变量X 的概率分布为下表，求2X ＋1的概率分布．（2）若（1（3）若（1）中条件不变，求随机变量η＝X2的概率分布．【答案】见解析【解析】（1）由概率分布的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为从而2X＋1的概率分布为（2）由（1）知m＝0.3∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的概率分布为（3）依题意知η的值为列表为从而η＝X 2的概率分布为【举一反三】1．设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为则q ＝________. 【答案】 32－336【解析】 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336.2．设随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝k )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k(k ＝1,2,3)，则m 的值为________．【答案】2738【解析】 由概率分布的性质得P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝m ×23＋m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝38m 27＝1，∴m ＝2738. 考向二 超几何分布【例2-1】 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的概率分布． 【答案】（1）47. （2）见解析【解析】(1)设事件A ：选派的3人中恰有2人会法语，则P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)由题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 34C 37＝435， P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235， P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，∴X 的概率分布为【例2-2】为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下： （1）若甲单位数据的平均数是122，求x ；（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为1ζ， 2ζ，令12=ηζζ+，求η的分布列和期望.【答案】(1)8；(2)答案见解析.【解析】（1）由题意()10510711311511912612013213414112210x ++++++++++=，解得8x =．（2）由题意知，随机变量η的所有可能取值有0,1,2,3,4.()227622101070;45C C p C C η=== ()112736221010911;225C C C p C C η===()222211113674736422101012;3C C C C C C C C p C C η++=== ()211112364734221010223;225C C C C C C p C C η+=== ()223422101024;225C C p C C η===η∴的分布列为：η0 1 2 34P745 91225 13 22225 2225∴()012344522532252255E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【举一反三】1．某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[]60,150），按下列分组[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)120,130，[)130,140，[]140,150作出频率分布直方图，如图1；样本中分数在[)70,90内的所有数据的茎叶图如图2：根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表．【套路总结】超几何分布的两个特点①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)；（1）求n 的值及频率分布直方图中的,x y 值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取2人，求此2人都不能录取为专科的概率；（3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3名学生中为自招的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）0.014；（2）616625；（3）见解析 【解析】（1）由图2知分数在[)70,80的学生有4名， 又由图1知，频率为：0.008100.08⨯=，则：4500.08n == 50.015010x ∴==⨯，()10.0420.0820.10.120.160.240.01410y -⨯+⨯++++==（2）能被专科院校录取的人数为：()500.0040.008106⨯+⨯=人抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是：635025= ∴从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为325， 记该校高三年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事件为A则此2人都不能录取为专科的概率：()23616125625P A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为6人成绩能过自招线人数为：()500.0120.0040.0081012⨯++⨯=人， 又随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3∴()363182050816204C P C ξ∴====；()2161231818015181668C C P C ξ====； ()1261231839633281668C C P C ξ====；()03612318220553816204C C P C ξ==== ∴随机变量ξ的分布列为：()012322046868204E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= 【套路运用】1．随机变量X 的概率分布如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝________． 【答案】 23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据概率分布的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.2．若离散型随机变量X的分布列是则常数c的值为_____.【答案】【解析】由随机变量的分布列知，9c2﹣c≥0，3﹣8c≥0，9c2﹣c+3﹣8c＝1，∴c ＝．故答案为：．3．我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：空气污染指数空气质量空气污染指数空气质量0--50 优201--250 中度污染51--100 良251--300 中度重污染101--150 轻微污染>300 重污染151----200 轻度污染我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天，101--200时称作B类天，大于200时称作C类天.下图是某市2018年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本做的茎叶图：（百位为茎，十、个位为叶）（1）从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率；（2）从这18天中任取3天，记X是达到A类或B类天的天数，求X的分布列．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）从这18天中任取3天，取法种数有种，3天中至少有2个A类天的取法种数有种，所以这3天至少有2个A类天的概率；（2）的一切可能的取值是，当时，；当时，；当时，；当时，；的分布列为：X 3 2 1 0P数学期望。
高三数学超几何分布
x P
0
1
2
3
4
5
超几何分布的概率背景
一批产品有 N件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件为正品．现从中取出 n 件． 令 X：取出 n 件产品中的次品数． 则 X 的分 布列为
k n k CM CN M PX k n CN
k 0， 1， ， minM， n
此时，随机变量 X 服从超几何分布
例2:生产方提供50箱的一批产品, 其中有2箱不合格 产品, 采购方接收该批产品的准则是:从该产品 中任取5箱产品进行检测,若至多有1箱不合格 便接收该批产品,问:该批产品被接收的概率是 多少?
4、
5、
这两个问题的求解方法一样吗?
超几何分布：适用于不放回抽取
本小题第二问是二项分布这是我们 后面要研究的内容
C
N
例如从全班任取n个人，取到女生的人数； 从扑克牌中取n张，取到黑桃的张数；买n张彩 票，中奖的张数，等等都可以用超几何分布描 述。
例1:一个口袋中装有10个红球,20个白球, 这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出 5个球,摸到4个红球1个白球的就中一等奖 求中一等奖的概率.
变题：至少摸出4个红球就中一等奖?
超几何分布
一、复习
1) 随机变量的分布列
设随机变量 X 的所有可能取值为
x1 ， x2 ， ， xn ，
并设 P X x n pn 则称上式或
n 1,
x2 p2
2,
xn
X
x1 p1
，
P
， pn
为随机变量 X 的分布列．
2)随机变量分布列的性质:
⑴ 对任意的自然数 n，有 pn 0;
二、新课：超几何分布
超几何分布列(高二)
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载超几何分布列(高二)地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容离散型随机变量的分布列（一）一．知识点归纳1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母X，Y____,____等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序_______列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量.3. 离散型随机变量的分布列:4. 离散型随机变量分布列的两个性质：①…)；②P1+P2+…=_____。
5．两点分布列：如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从_______________,两点分布又称_________分布，而称p=P(X=1)为________________.6.二项分布:ξ～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)．7.超几何分布：引例：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：取到次品数X的分布列；至少取到1件次品的概率。
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件｛X=k｝发生的概率为：P(X=k)＝——————，k=0,1,2,…..且n≤N, M≤N, n, M, N∈N*. 称下面分布列为超几何分布列。
二．题型讲解例1 某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意连续取出2件，其中次品数的概率分布是例2 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.例3 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.例4 袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用表示分数，求的概率分布。
【方法指导】超几何分布解读
超几何分布解读超几何分布是一类典型的概率分布．解决超几何分布类型题目的关键是根据题意判断随机变量服从超几何分布，然后根据超几何分布概率公式进行求解．下面就超几何分布的定义、注意点及相应的实际应用加以剖析．1．超几何分布的定义一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品数，则事件{X=k}发生的概率为P（X=k）=，k=0，1，2，…，m，其中m=min（M，n），且n≤N，M ≤N．称对应的分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．对应的超几何分布列为：2．超几何分布的解题步骤（1）判断问题是否属于超几何分布问题；（2）若是超几何分布问题，指出随机变量所服从的超几何分布式；（3）计算所要求的事件的概率，并回答．3．超几何分布的注意点（1）超几何分布的模型是不放回抽样．（2）公式P（X=k）=的推导：由于事件{X=k}表示含有M件次品的N件产品中，任取n件其中恰有k件次品这一随机事件，因此它的基本事件为从N件产品中任取n件，由于任一个基本事件是等可能出现的，并且它有个基本事件；而其中恰有k件次品，则必有n－k 件正品，因此事件{X=k}中含有个基本事件，由古典概型公式可知P（X=k）=．（3）在应用超几何分布时，主要注意是把问题中的对应问题转化为什么相当于次品，什么相当于正品，再结合超几何分布的概率公式加以分析求解．（4）在解决问题时要发现实际问题中的随机变量，讨论随机变量是否符合超几何分布的条件，而不能盲目套用．4．超几何分布的应用（1）超几何分布的判断例1．判断下列问题哪些属于超几何分布：（1）一位足球运动员，在有人防守的情况下，射门命中的概率p=0.3，求他一次射门命中次数X的分布列；（2）一批产品共100件，其中有10件次品，为了检验其质量，从中以随机方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数的分布列；（3）在15个村庄中，有5个村庄交通不太方便，现从中任选10个村庄进行考查，求选到5个交通不方便村庄的分布列；（4）在一个袋中，有10个红球，5个黄球，3个黑球，从中无放回地抽取3球，求抽到黄球的分布列．分析：判断一个分布是否为超几何分布，主要在于研究的问题是否直接是“超几何分布模型”，或者通过化归可视为“超几何分布模型”也可以．解析：（1）不属于超几何分布，题设中不存在“正品”与“次品”的问题，更不存在选多选少的问题，实际上，问题（1）属于两点分布；（2）、（3）、（4）都是超几何分布，（2）是标准模型，（3）中5个村庄可视为“次品”，则问题即为超几何分布模型，（4）中5个黄球可视为“次品”，则问题也转化为超几何分布模型．点评：判断一个问题（分布）是否为超几何分布，关键在于问题能否变为其概率模型形式，即能否在问题中找到或“造出”有关的“正品”与“次品”的问题，而且是不放回抽样．（2）超几何分布的求解例2．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，求其中出现次品的概率．分析：实际上，这是一个典型的超几何分布问题，出现次品可分为：1件次品，2件次品两种情况．解析：设抽到次口的件数为X，由题意问题中X服从超几何分布，其中N=50，M=5，n=2，则出现次品的的概率P（X≥1）=P（X=1）+P（X=2）=+=+=．点评：直接根据次品与合格品之间的关系，满足超几何分布的问题，根据对应的概率公式加以求解．例3．15名学生中，有10名男生，5名女生，今各选取3个参加数学兴趣小组，至少1名女生的概率多大？分析：实际上，这是一个典型的超几何分布问题，至少1名女生可分为：1名女生，2名女生，3名女生三种情况．解析：设选取女生的人数为X，由题意问题中X服从超几何分布，其中N=15，M=5，n=3，则至少1名女生的概率P（X≥1）=1－P（X=0）=1－=1－=．点评：在实际问题中，要对问题加以正确分类，明确哪部分相当于正品，哪部分相当于次品，对应超几何分布的问题，求出对应N，M，n的值，再根据对应的概率公式加以求解．变式练习：1．判断下列问题哪些属于超几何分布：（1）从一批含有20件正品，3件次品的产品中，不放回地抽取产品，抽到次品就结束，求抽取次数的分布列；（2）从一批含有20件正品，3件次品的产品中，有放回地任取5件，求抽到的次品数X的分布列；（3）从一批含有20件正品，3件次品的产品中，不放回地任取3件，求抽到的次品数X的分布列．2．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于__________．3．从4个男生，3个女生中，挑选4个人参加智力竞赛，至少有1个女生参加的概率为__________．变式练习答案：1．（3）；2．；3．．。
超几何分布概念
超几何分布概念
《超几何分布概念》
一、什么是超几何分布
超几何分布（hypergeometric distribution）是一种有限性统
计分布，可用来描述研究抽样环境中有限性样品集中的随机抽样问题，是一种古老的概念，最早由保罗·雷克利尔（Paul Reiter）在1900年提出。
超几何分布是用来解释和建模碰撞性现象的重要数学工具，它可以应用于采样实验、抽奖、交叉验证、质量控制等统计分析中。
二、超几何分布的基本概念
在这里，主要介绍三大基本概念：样本容量、抽取比例和抽签环境。
样本容量是指将被抽取样本的全部总量；
抽取比例是指将在样本总量中抽取的单位样本所占比例；
抽签环境是指将样本容量和抽取比例两个参数进行特定取值，产生样本抽签的环境。
三、超几何分布的公式
超几何分布的公式为：
P(x)=CxD/N
其中：
P(x)表示从总体中抽取的样本数为x时，满足抽样要求的样本数占总数的概率；
C表示抽样要求中符合条件的样本总数；
D表示样本总数；
N表示从总体中抽取的样本数。
数学超几何知识点总结
数学超几何知识点总结1. 超几何空间超几何空间是指超越了欧氏几何学的几何学空间。
在超几何学中，空间可以是任意维度的，且不受欧氏几何学的限制，可以采用非欧氏空间、黎曼空间、射影空间等。
这种更一般的空间概念可以更好地描述一些现实世界中的复杂现象，也为数学家和物理学家提供了更多的研究方向。
2. 超曲面和曲率超曲面是超几何学中的一个重要概念，它可以通过超曲面方程来描述。
在欧氏几何学中，曲面是一个二维的对象，而在超几何学中，曲面可以是任意维度的。
对于曲面的曲率也有类似的泛化概念，不再局限于黎曼曲率，还可以引入更高维度的曲率概念。
3. 超曲面的参数化表示在超几何学中，描述超曲面的一种常用方法是通过参数化表示。
这种表示方法可以把超曲面看作是某个参数空间中的一个子集，通过参数方程将其映射到实际的空间中。
参数化表示可以方便地描述曲面的各种几何性质，也为对曲面的计算和分析提供了便利。
4. 超几何测度和积分在超几何学中，测度和积分的概念也得到了泛化。
超测度可以看作是对高维空间中的测度的泛化，它可以用来描述高维曲面的面积、体积等性质。
而超积分则可以看作是对高维曲面上的积分的泛化，它可以用来描述超曲面上的曲线积分、曲面积分等。
5. 超向量场和流形超向量场是一种在超几何学中常见的数学对象，它可以看作是一个向量场在更高维空间上的推广。
超向量场的研究不仅可以帮助我们更好地理解高维空间中的向量场性质，还可以为物理学和工程学等领域提供一些基础理论。
流形是另一个在超几何学中重要的概念，它可以看作是局部类似于欧氏空间的一种空间结构，用来描述高维空间中的形状和流形上的各种数学性质。
6. 超向量和张量代数在超几何学中，向量和张量的代数结构也得到了泛化，引入了超向量和超张量的概念。
超向量可以看作是普通向量的泛化，它可以在更高维空间中描述更复杂的几何性质。
超张量则可以看作是普通张量的推广，它可以描述高维空间中更复杂的物理性质和几何性质。
7. 超几何的应用超几何学不仅仅是一门抽象的数学理论，它还有着丰富的应用。
高中数学超几何分布知识点总结
高中数学超几何分布知识点总结第一篇：高中数学超几何分布知识点总结高中数学超几何分布知识点总结: 超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若件N产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k)=？，此时我们称随机变量X服从超几何分布。
高中数学二项分布知识点总结: 二项分布：就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
高中数学离散型随机变量的方差知识点总结: 离散型随机变量的方差：刻画随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度。
高中数学正态分布知识点总结: 正态分布：是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2)。
高中数学平均数，方差，标准差知识点总结:平均数，方差，标准差：样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
高中数学数学期望知识点总结: 数学期望：离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率P(=xi)之积的和称为的数学期望。
第二篇：高中数学知识点总结高中数学难度更大，难度在于它的深度和广度，但如果能理清思路，抓住重点，多实践，变渣滓为暴君并非不可能。
高中数学知识点总结有哪些你知道吗?一起来看看高中数学知识点总结，欢迎查阅!高中数学知识点汇总1.必修课程由5个模块组成：必修1：集合，函数概念与基本初等函数(指数函数，幂函数，对数函数)必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
以上所有的知识点是所有高中生必须掌握的，而且要懂得运用。
选修课程分为4个系列：系列1：2个模块选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2:3个模块选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数选修2-3：计数原理、随机变量及其分布列、统计案例选修4-1：几何证明选讲选修4-4：坐标系与参数方程选修4-5：不等式选讲2.重难点及其考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数，圆锥曲线高考相关考点：1.集合与逻辑：集合的逻辑与运算(一般出现在高考卷的第一道选择题)、简易逻辑、充要条件2.函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数函数、对数函数、函数的应用3.数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求通项、求和4.三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和差倍半公式、求值、化简、证明、三角函数的图像及其性质、应用5.平面向量:初等运算、坐标运算、数量积及其应用6.不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式(经常出现在大题的选做题里)、不等式的应用7.直线与圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系8.圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用9.直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量10.排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用11.概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布12.导数：导数的概念、求导、导数的应用13.复数：复数的概念与运算高中数学学习要注意的方法1.用心感受数学，欣赏数学，掌握数学思想。
高中数学知识点精讲精析 超几何分布
2.2超几何分布
超几何分布
重复进行独立试验，每次试验只有成功、失败两种可能，如果每次试验成功的概率为p ，重复试验直到出现一次成功为止，则需要的试验次数是一个随机变量，用ξ表示，因此事件{ξ＝n}表示“第n 次试验成功且前n －1次试验均失败”。
所以()()1n p 1p n P --⨯==ξ，其分布列为：
1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
【解析】
由题意可见此问题归结为超几何分布模型。
其中N = 30. M = 10. n = 5.
P(一等奖) = P(X=4 or 5) = P(X=4) + P(X=5)
由公式P(X=k)=C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0,1,2,...得：
P(X=4) = C(4,10)*C(1,20)/C(5,30)
P(X=5) = C(5,10)*C(0,20)/C(5,30)
P(一等奖) = 106/3393。
7.4.2超几何分布 高二数学知识点总结与题型专练
0
1
P
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.记作
判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有 N 个)内含有两种不同 的事物个)、个)，任取 个，其中恰有 X 个 符合该条件的即可断定是超几何分布。如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布.
(3)超几何分布的均值若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率
知识点2：二项布与超几何布的区别和联系
(1)区别由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道 “成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.
A.取出的最小号码服从超几何分布B.取出的白球个数服从超几何分布C.取出2个黑球的概率为 D.若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则总得分最小的概率为
【分析】根据超几何分布的概念判断A，B；利用超几何分布的概率计算求解可判断
√
√
【详解】对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故A错误；对于B，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故B正确；对于C，取出2个黑球的概率为，故C正确；对于D，若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则取出三个白球的总得分最小，总得分最大的概率为，故D不正确. 故选：BC.
三大分布--超几何分布
(3)从含有5件次品的10件产品中，任取6件 其中恰有X件次品.X是否服从超几何分布？
析：若 X 服从超几何分布 其中N＝10, n＝6 ,M＝5
则
由 k＝0?,1, 2,, m ;m ＝min{M，n} 得 应有 k＝ 0,1,2,3,4,5 但显然有 k≠0 即 k＝1,2,3,4,5 哪如何处理呢？ 且看高考真题如何处理！
随机变量有范围 (高仿只用莫声张)
若
X
~ H(n
,M
,N)
,则
P( X
k ) C C k nk M NM CNn
( k＝0?,1, 2,, m ; m＝min{M，n} )
若随机变量 X 符合超几何分布的条件 但 k ∈ {0,1,2,…,m } ,则 ①虽然 X 不是“正品”的超几何分布
②但概率公式，期望公式，仍然适用 即表象上；按照求一般分布列来处理 骨子里；按照超几何分布列来处理
⑧若 ⑨若
~ ~
H(n , G( p)
M , N) ,则
,则 E( )
E(
1 p
) nM , D( )
,
N
D(
)
1
p p2
nM
(N n)(N nN(N 1)
M
)
⑩ E( ) E( ) E()
〇11 若ξ,η相互独立，则 E() E( )E()
随机变量期望与方差的求法
(1).定义法： (2).性质公式法： (3).图象估算法： (4).作用估算法：
(k＝0,1, 2,, m)
m ＝min{M，n}
从而X的分布列为
X
0
p
C C 0 n0 M NM
CNn
1
C C 1 n1 M NM CNn
超几何分布-高中数学知识点讲解
超几何分布1．超几何分布【知识点的知识】一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则M N n X称超几何分布列．（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是，，上述超几何分布记作．N M n X～H（N，M，n）【典型例题分析】典例 1：有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是（）푀푀푀A．n B．(푛―1)푁C．푛푁D．(푛+1)푁分析：先由超几何分布的意义，确定本题中抽到次品数服从超几何分布，再由超几何分布的性质：若随机变量푛푀X～H（n，M，N），则其数学期望为，计算抽到的次品数的数学期望值即可푁解答：设抽到的次品数为，X则有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的次品数服从超几何分布N M n X即，X～H（n，M，N）∴抽到的次品数的数学期望值EX =푛푀푁故选C．1/ 3题型一：抽样次品数的分布规律问题典例 1：某批产品共件，已知从该批产品中任取件，则取到的是次品的概率为．若从该批产品中任意10 1 P＝0.2抽取件，3（1）求取出的件产品中恰好有一件次品的概率；3（2）求取出的件产品中次品的件数的概率分布列与期望．3 X푥解：设该批产品中次品有件，由已知x10=0.2，∴x＝2…（2 分）（1）设取出的 3 件产品中次品的件数为X ，3 件产品中恰好有一件次品的概率为푃(푋=1)=퐶21퐶28퐶310=715⋯（4 分）（2）∵X 可能为0 ，1 ，2∴푃(푋=0)=퐶38퐶310=715푃(푋=1)=715푃(푋=2)=퐶2퐶81퐶310=115⋯（10 分）∴的分布为：XX 0 1 277 1P151515则퐸푋=0×715+1×715+2×115=35⋯（13 分）题型二：不放回摸球游戏问题典例 2：甲有一个箱子，里面放有个红球，个白球（，且）；乙有一个箱子，里面放有x y x，y 0 x y＝42 1 1 2 1 3个红球，个白球，个黄球．现在甲从箱子任取个球，乙从箱子里在取个球，若取出的个球颜色全不相同，则甲获胜．（1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？（2）在（1）的条件下，求取出的个球中红球个数的数学期望．3解：（1）由题意，푃=퐶푥1퐶푦1퐶1퐶42퐶14=푥푦24；2/ 3푥푦∴24≤(푥+푦2242)=16，当且仅当时“＝”成立x＝y＝2所以当红球与白球各个时甲获胜的概率最大2（2）取出的个球中红球个数3 ＝0，1，2，3푃(휉=0)=퐶2퐶12퐶14퐶24=112；푃(휉=1)=퐶12퐶21퐶21+퐶2퐶21퐶41퐶24=512푃(휉=2)=퐶2퐶12+퐶12퐶12퐶21퐶14퐶24=5，푃(휉=3)=12퐶2퐶21퐶41퐶24=112所以퐸휉=0×112+1×512+2×512+3×112=32【解题方法点拨】超几何分布的求解步骤：（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．3/ 3。
专题13 超几何分布(解析版)
专题13 超几何分布(解析版)超几何分布（解析版）超几何分布是概率论中的一种离散概率分布，它描述了从有限总体中抽取固定数量样本的事件发生的概率。
与二项分布不同，超几何分布不是独立试验的结果，因为抽取每个样本都会影响下一次抽样的结果。
本文将介绍超几何分布的定义、性质以及应用。
一、超几何分布的定义超几何分布由三个参数确定：总体容量N、成功事件数量M以及抽取样本的数量n。
它表示在总体容量中，如果成功事件的数量为M，那么从中随机抽取出n个样本，成功事件发生的次数即符合超几何分布。
由于每次抽样后总体容量和成功事件的数量都会变化，超几何分布的概率质量函数较为复杂。
超几何分布的概率质量函数为：P(X=k) = (C(M,k) * C(N-M,n-k)) / C(N,n)其中，C(a,b)代表从a个元素中选取b个元素的组合数。
二、超几何分布的性质超几何分布具有以下几个特点：1. 期望值和方差超几何分布的期望值为E(X) = (n * M) / N，方差为Var(X) = (n * M * (N-M) * (N-n)) / (N^2 * (N-1))2. 范围限制超几何分布的随机变量X的取值范围为max(0, n-(N-M)) <= X <= min(n, M)。
这意味着超几何分布的取值范围是有限的。
3. 性态趋于二项分布当总体容量N很大，而成功事件数量M相对较小，超几何分布的概率质量函数接近于二项分布的概率质量函数。
这时可以使用二项分布来近似计算超几何分布的概率。
三、超几何分布的应用超几何分布在实际问题中有广泛的应用，下面介绍两个常见的应用场景。
1. 抽样调查超几何分布可以用来描述抽样调查中的样本选择问题。
假设有一个总体容量为N的群体，其中有M个成功事件。
如果我们从中抽取n个样本，那么超几何分布可以帮助我们计算出抽样中成功事件的概率。
这对于调查研究的设计和分析非常重要。
2. 不合格品抽查在质量控制领域，超几何分布可以应用于不合格品的抽查。
高二数学人选择性必修件超几何分布
在实际应用中，往往需要根据观测数据对总体参数进行估计或假设检验。因此，掌握统计推断方法如参 数估计、假设检验等对于应用超几何分布和负二项分布具有重要意义。
06
总结回顾与课堂互动环节
重点知识点总结回顾
超几何分布的定义
超几何分布是一种离散型概率分布，描述了在不放回抽样的条件下，成功抽取指定数量 样本的概率分布。
在生物学、医学等领域中，经常需要研究某种罕见事件发生的概率，这时可以利用泊松分 布进行建模和分析。
其他相关拓展知识点
组合数学基础
超几如排列数、组合数、二项式定理等。因此，掌握组 合数学基础知识对于深入理解这些概率分布具有重要意义。
概率论基础
在学习超几何分布和负二项分布之前，需要掌握概率论中的基本概念和公式，如概率空间、随机变量、概率质量函数 、期望、方差等。这些基础知识对于理解和应用这些概率分布具有重要作用。
适用范围及条件
• 适用范围：超几何分布适用于从有限总体中不放回地抽取样本 ，并计算成功抽取指定数量样本的概率。例如，在质量检测、 彩票抽奖、基因测序等领域都有广泛应用。
适用范围及条件
适用条件：使用超几 何分布需要满足以下 条件
2. 抽取的样本量 n 小于等于总体容量 N ；
1. 总体容量 N 是有 限的；
04
超几何分布与二项分布比较
两者联系与区别
联系
超几何分布和二项分布都是描述随机试验中成功次数概率分布的模型，其中二项分布是超几何分布在 总体容量趋于无穷大时的极限情况。
区别
超几何分布描述的是不放回抽样，而二项分布描述的是放回抽样；超几何分布中每次试验成功的概率 不同，而二项分布中每次试验成功的概率相同。
与二项分布关系
高中数学同步讲义(新教材)：第18讲 超几何分布 (学生版)
（3）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几发布的特征是：
①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的概率分布
超几何分布主要用于抽检产品，摸不同类别的小球概率模型，其实质是古典概型. 【即学即练 1】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是 6 的骰子的个数记为 X，求 X 的分布列； (2)有一批种子的发芽率为 70%，任取 10 颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为 X，求 X 的分 布列； (3)盒子中有红球 3 只，黄球 4 只，蓝球 5 只，任取 3 只球，把不是红色的球的个数记为 X，求 X 的分布列； (4)某班级有男生 25 人，女生 20 人．选派 4 名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记 为 X，求 X 的分布列； (5)现有 100 台平板电脑未经检测，抽取 10 台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为 X，求 X 的 分布列．
考点一 对超几何分布的理解
解题方略：
判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点 (1)总体是否可分为两类明确的对象． (2)是否为不放回抽样． (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 【例 1-1】【多选】下列随机变量中，服从超几何分布的有( ) A．在 10 件产品中有 3 件次品，一件一件地不放回地任意取出 4 件，记取到的次品数为 X B．从 3 台甲型彩电和 2 台乙型彩电中任取 2 台，记 X 表示所取的 2 台彩电中甲型彩电的台数 C．一名学生骑自行车上学，途中有 6 个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量 X D．从 10 名男生，5 名女生中选 3 人参加植树活动，其中男生人数记为 X 变式 1：下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是 6 的骰子的个数记为 X，求 X 的概率分布； （2）有一批种子的发芽率为 70%，任取 10 颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 X，求 X 的概率分布； （3）盒子中有红球 3 只，黄球 4 只，蓝球 5 只．任取 3 只球，把不是红色的球的个数记为 X，求 X 的概率 分布； （4）某班级有男生 25 人，女生 20 人．选派 4 名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数
超几何分布超几何分布
第二章 概 率
X
＝
0
10 11 15 20 10 20 50 60
0 00 0
k
P(
X 161 7 7 14 1 79 1 1 1 ＝ 330 33 330 99 33 990 66 99 495
k)
栏目 导引
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∴P(5≤X≤120)＝P(X＝10)＋P(X＝20)＋P(X＝50)＋P(X＝60) ＋P(X＝100)＋P(X＝110) ＝ 7 ＋ 7 ＋14＋ 1 ＋ 79 ＋ 1 ＝1.
栏目 导引
1.袋中有 7 个球，其中 3 个黑球、4 个红球，从袋中任取 3 个球，求取出的红球数 X 的分布列，并求至少有一个红球 的概率． 解：X＝0，1，2，3，X＝0 表示取出的三个球全是黑球， P(X＝0)＝CC7333＝315.
第二章 概 率
同理 P(X＝1)＝CC14C37 32＝1325， P(X＝2)＝CC24C37 31＝1385，P(X＝3)＝CC7343＝345. ∴X 的分布列为：
第二章 概 率
学法指 导
2．许多不放回抽样的实际问题，可 以 通 过化归为超几何分布，并运用 它简捷求 解．凡类似于“在含有次 品 的产 品中取部分产品,问所取出的 产品中次品件数”的问 题，都属于超 几何分布的模型.
超几何分布
一般地，设有 N 件产品，其中有 M(M≤N)件次品．从中 任取 n(n≤超N几)件何产分品布，用CkMXC表nN－－示kM 取出的 n 件产品中次品的 件数，那么 P(X＝k)＝____C_nN_______．(其中 k 为非负整数) 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X 服从参数 为 N，M，n 的_______________．
7.4.2超几何分布
r= min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变 量X服从超几何分布.
概念辨析：下列问题那些属于超几何分布？
1.一批种子的发芽率为70％，任取10颗做发芽实验，把实验中发 芽种子的个数记为X;
2.有10张奖券，其中8张一元，2张五元，从中任取3张，把取到 五元的数量记为X;
一般地，假设一批产品共有N件产品，其中有M件次品，从N件产品
中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分
布列为
P(X
=
k)
=
C C k n-k M N-M CnN
(k = m，m+1，m+2，，r，)
其中n ， N，M∈ N*， M≤N，n≤N ，m=max{0，n-N+M}，
3.有10张奖券，其中8张一元，2张五元，从中任取3张，把所得 金额记为Y;
4.从50名学生中随机选出5名学生代表,选出的5名学生中含甲的 人数为X;
小结：超几何分布的注意问题 1.总体中含有两类不同的个体； 2.不放回抽样，且为一次性抽取（无序）； 3.随机变量的取值是样本中某类个体的数量。
例 一个袋子中有10个大小相同的球,其中有4个黄球、6个白 球，从中随机地摸出2个球作为样本.用X表示样本中黄球的个 数.（1）有放回摸球，求X的分布列（列表法）及其数学期望;
（2）不放回摸球，求X的分布列（列表法）及其数学期望;
要点二 超几何分布的均值 （证明见课本P79）
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件 次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．设 p是N件产品的次品率，即p＝_____;则E(X）＝________．
变式 一个袋子中有100个大小相同的球,其中有40个黄球、60 个白球，从中随机地摸出2个球作为样本.用X表示样本中黄球 的个数.
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高中数学超几何分布知识点总结:
超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若件N产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则
P(X=k)=？，此时我们称随机变量X服从超几何分布。
高中数学二项分布知识点总结:
二项分布：就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
高中数学离散型随机变量的方差知识点总结:
离散型随机变量的方差：刻画随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度。
高中数学正态分布知识点总结:
正态分布：是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。
高中数学平均数，方差，标准差知识点总结:
平均数，方差，标准差：样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
高中数学数学期望知识点总结:
数学期望：离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率P(=xi)之积的和称为的数学期望。