函数的最大值与最小值

第08课时-函数的最大值与最小值

教学目的：使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间[a,b]上所有点（包括端点a,b处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.

教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.

教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.

教学过程：

一、复习

1.极大(小)值：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜(>)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大(小)值=f(x0)，x0是极大(小)值点.

2.极大值与极小值统称为极值:在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

3.求可导函数f(x)的极值的步骤:

二、函数的最大值和最小值

观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)的图象．最大值是f(x

一般地，在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.

说明：

(1)在开区间(a ,b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小

值．如函数f (x )=x 1

在(0,+∞)内连续，但没有最大值与最小值；

(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；

函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.

(3)函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，是f (x )在闭区间[a ,b ]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.

(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.

三、例题选讲： 利用导数求函数的最值

例1：求下列函数在相应区间上的最大值与最小值. (1) y =x 4-2x 2+5，x ∈[-2,2]；

(2)x x x f sin 21

)(+=，x ∈]2,0[π

(1)解：先求导数，得x x y 443/-=

令/

y ＝0即0443

=-x x 解得1,0,1321==-=x x x

导数/

y 的正负以及)2(-f ，)2(f 如下表

从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4 .

小结：

利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数f (x )的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.

设函数f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内可导，则求f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求f (x )在(a ,b )内的极值；

(2)将f (x )的各极值与f (a )、f (b )比较得出函数f (x )在[a ,b ]上的最值.

练习：

求下列函数的值域：

（1）

]4,0[,)2()1(2

2∈--=x x x y ； （2）]4,2[,2122-∈-+=x x x

y ；

（3）

)10(3)(3

≤≤+-=x ax x x f （a 为常数）.

例2：已知动点M 在抛物线y 2=2px (p >0)上，问M 在何位置时到定点P (p ,p )的距离最短.

练习：

动点P(x,y)是抛物线y=x2-2x-1上的点，O为原点，设S=|OP|2，求S的最小值.

例3：已知x,y为正实数，且满足关系式x2-2x+4y2=0，求x⋅y 的最大值.

例4：已知抛物线y= -x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程.

小结：

⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：

导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；

⑵函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；

⑶闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.

例5：设a ∈R ，函数f (x )=x 2e 1-x -a (x -1)．

(1)当a =1时，求f (x )在⎝

⎛⎭

⎪⎪⎫34，2内的极大值； (2)设函数g (x )=f (x )+a (x -1-e 1－x )，当g (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1

[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2e 1－

x －(x －1)，

则f '(x )＝(2x －x 2)e 1－x

－1＝(2x －x 2)－e x －

1e x －

1

， 令h (x )＝(2x －x 2)－e x －

1，则h '(x )＝2－2x －e x －

1，

显然h '(x )在⎝⎛⎭⎫34，2内是减函数，又h ′⎝⎛⎭⎫34＝12－14e

<0，故x ∈⎝⎛⎭⎫34，2时，总有h '(x )<0，所以h (x )在⎝⎛⎭

⎫34，2内是减函数．又h (1)＝0，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫

34，1时，h (x )>0，从而f '(x )>0，这时f (x )单调递增，当x ∈(1,2)时，

h (x )<0，从而f '(x )<0，这时f (x )单调递减，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫

34，2内的极大值是f (1)＝1.

(2)由题可知g (x )＝(x 2－a )e 1－

x ，

则g '(x )＝(2x －x 2＋a )e 1－

x ＝(－x 2＋2x ＋a )e 1－

x .

根据题意，方程－x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实根x 1，x 2(x 10，即a >－1，且x 1＋x 2＝2， 因为x 1

由x 2g (x 1)≤λf ′(x 1)，其中f ′(x )＝(2x －x 2)e 1－

x －a ，

可得(2－x 1)(x 21－a )e1－x 1≤λ[(2x 1－x 21

)e 1－x 1－a ]，

注意到－x 21＋2x 1＋a ＝0，

所以上式化为(2－x 1)(2x 1)e 1－x 1≤λ[(2x 1－x 21)e 1－x 1＋(2x 1－x 21)]，

即不等式x 1

[2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)]≤0对任意的x 1

∈(－∞，1)恒成立．

①当x 1＝0时，不等式x 1[2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)]≤0恒成立，λ∈R ；

②当x 1∈(0,1)时，2e 1－x 1－λ(e 1－x 1

＋1)≤0恒成立，即λ≥2e 1－x 1e 1－x 1＋1

，

令函数k (x )＝2e 1－x e 1－x ＋1＝2－2

e 1－x ＋1

，显然，k (x )是R 上的减函数，

所以当x ∈(0,1)时，k (x )

e ＋1

；

③当x 1∈(－∞，0)时，2e 1－x 1－λ(e 1－x 1

＋1)≥0恒成立，即λ≤2e 1－x 1e 1－x 1＋1

，

由②，当x ∈(－∞，0)时，k (x )>k (0)＝2e e ＋1，所以λ≤2e

e ＋1

.

综上所述，λ＝2e

e ＋1

.