二阶齐次常系数线性微分方程

高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)

三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,

二阶常系数齐次线性微分方程解法

二阶常系数齐次线性微分方程解法简谈二阶常系数齐次线性微分方程解法作为一种常见的数学形式，二阶常系数齐次线性微分方程在许多应用场景和互联网环境中产生不可磨灭的影响。

下文将阐明了二阶常系数齐次线性微分方程，并且阐述其解法的若干核心要素。

如前所述，二阶常系数齐次线性微分方程是一种研究应用于许多领域的常用数学形式。

它具有一般形式\begin{align}\frac{d^2y}{dx^2} + p \frac{dy}{dx}+qy = 0\end{align}。

其中，常数P和Q称为系数，取决于系统。

如果存在某种参数让P和Q都为0，那么上述问题将成为一元高次线性微分方程。

在数分课程研习中，这种方程的解方法可用拉普拉斯变换法求解，然后把结果还原回原变量。

该方程的解可以通过拉普拉斯变换法：在研究通用解阶段，求解变换后形式\begin{align}w'(x) + pw(x) + q = 0\end{align} for W(x) 的解，以及\begin{align}m^2-pq\end{align} 求取通解中的系数M，并将结果还原为\begin{align}y=C_1e^{mx}+C_2xe^{mx} \end{align}。

此外，用于求解非齐次方程的某些技术是很有用的，如变分法和Cauchy-Lipschitz条件，这也适用于具有二阶常系数齐次线性微分方程的研究。

变分法的原理是把要求解的问题变为另一个数学问题，该问题的解存在一系列参数。

而Cauchy-Lipschitz条件是一种定义给定解的条件，考虑这些条件会解决很多问题。

从以上内容可以看出，二阶常系数齐次线性微分方程的解法有许多可用方法，其中最流行的方法包括拉普拉斯变换法、变分法和Cauchy-Lipschitz条件。

这些方法在许多不同的领域中，尤其是互联网领域中得以发挥重要作用，具有很强的针对性和可行性，为数学研究提供了有效的支撑。

二阶常系数齐次线性微分方程

为二阶变系数齐次线性微分方程。把y
= e rx 带入原方程。
二、求解方法： ① 求解其特征3; q = 0
r1、 = 2
−p±
p 2 − 4q 2
p 2 − 4q > 0 ，则 r1 ， r2 是两个不相等的实
根。如果 p 实根：
2
② 分组讨论： i
ii
− 4q = 0 ，则 r1 ， r2 是两个相等的
二阶常系数齐次线性微分方程
一、定义：
在二阶齐次线性微分方程 y′′ +
P ( x ) y′ + Q ( x ) y = 0 中，如 py′ + qy = 0 py′ + qy = 0 称为二阶常系数
果 P（x）和 Q（x）都为常数，即 y′′ + 其中 p、q 均为常数，则 y′′ +
齐次线性微分方程。如果 P（x）和 Q（x）不全为常数，则称
微分方程 y′′ +
py′ + qy = 0 的通解
y = C1er1x + C2er2 x y = (C1 + C2 x)e r1x y = eax (C1 cos β x + C2 sin β x)
= α ± iβ
iii
p 2 2 如果 p − 4q < 0 ，则 r ， r2 是一对共轭复 1 r1 = r2 = −
根。
r1 = α + iβ ， r2 = α − iβ
③ 根据特征方程两个根的不同情形，按照下表写出方程的通
解：
特征方程两个根 r ， r2 1 两个不相等的实根 r ， r2 1 两个相等的实根 r = r2 1 一对共轭复根 r 1.2

10.6二阶常系数齐次线性微分方程

y" + py+qy = f (X)
微积分
二阶常系数齐次微分方程
―、特征方程法
二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法
y" + py' + qy = 0
设y = /x,将其代入上方程，
(r2 + pr + q )erx = 0
得
故有 r °+ pr + q = 0
主・.・e’x 特征0方, 程
特征根％ =~P2 -4q, 2
微积分
例2求微分方程y" -2y -8y=0
解特征方程为
r2 一 2r 一 8 = (r 一 4)(r + 2) = 0
解得 “=4g=_2
故所求通解为
一 y = c1 e4 x + c 2 e
2x
经济数学
微积分
例， 3求方程y" + 2y + 5y = 0的通
解. 解特征方程为r2 + 2r + 5 = 0 ,
3)有一对共轭复根(A< 0)
伊特征根为 r = a + ip, r2 = a- ，
( 伊 ) y1 = e a+ )% y2 = e(a-ip x,
1
重新组合yi = 2顷1 + y 2) =e" * p,
_i
y2 =
(yi - y2) =e"sin p，
2i
(注：利用欧拉公式eliC = cosx + isinx.)
二阶常系数齐次线性微分方
第6节二阶常系数齐次线性微分方程第十章微分方程与差分方程
主讲韩华

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明来源：文都教育在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。

一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C eC e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C eC xe λλ=+； ~3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++=212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dxλλλ'-=⇒=⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ (1)1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为21212()121212[]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112c C λλ=-，12C C 和为任意常数。

4.6 二阶常系数齐次线性微分方程

r1
(二重根）二重根）, 则通解为
r1,2 = α ± iβ ,
则通解为
③根据特征方程的两个根的不同形式,按照下列规则写出微分方程的通解:
y=e
αx
( C1 cos β x + C2 sin β x ) .
3
例1 求解微分方程解特征方程为
y′′ + y′ − 6 y = 0.
例2 求解微分方程 y′′ + 4 y′ + 4 y 解特征方程为
x
x x 容易验证 y1 =e 和 y2 = 2e
都是方程的解. 但函数
探索一下原因:
x
y = C1e + C2 2e ,
虽是该方程的解，虽是该方程的解，却不是通解。却不是通解。因为上面的函数中虽形式上包含两个任意常数，虽形式上包含两个任意常数，而由于
函数
ex
和
2e x 是成比例的, 因此它们的线性组合
即
y = ( C1 + C2 x ) er1x .
u′′ + ( 2r1 + p ) u′ + ( r12 + pr1 + q ) u = 0.
r12 + pr1 + q = 0, 且 2 r1 + p = 0,
因r 是特征方程的二重根，故 1 是特征方程的二重根，
㈢ p − 4q < 0. 特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根 r 1 , r2 ,
αx
( cos β x + i sin β x ) , ( cos β x − i sin β x ) .
y = eα x ( C1 cos β x + C2 sin β x ) .

二阶常系数齐次线性微分方程的通解

二阶常系数齐次线性微分方程的通解这类方程很特殊，前缀多，范围小，但在物理中经常见到，所以单独讨论。

我们先从二阶线性微分方程入手，y''+P(x)y'+Q(x)y+R(x)=0，若R(x)=0，则为二阶线性齐次微分方程。

进一步地，若系数和x无关，都为常数，即为常系数二阶线性齐次微分方程y''+py'+qy=0.求解这个方程，可以先求出它的两个线性独立的特解，然后通过解的叠加原理得到通解。

设解的形式为y=e^{rx}代入方程即得到(r^2+pr+q)e^{rx}=0 \Rightarrow r^2+pr+q=0.这个等式称为微分方程的特征方程，可见特征方程是一个一元二次代数方程，其解可由求根公式得到。

需要分三种情况讨论：1）特征方程有两个不等实根r_1 \ne r_2则两个特解为y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}，而\frac{y_1}{y_2} \ne C，故通解为y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.2）特征方程有一对共轭复根r_1=a+bi,r_2=a-bi,b\ne0则两个特解为y_1=e^{ax+bxi},y_2=e^{ax-bxi}，由欧拉公式有y_1=e^{ax}[cos(bx)+isin(bx)],y_2=e^{ax}[cos(bx)-isin(bx)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，运用解的叠加原理，可以凑出新的两个特解y_{11}=\frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{ax}cos(bx),y_{12}=\frac{1}{2}(y_1-y_2)=e^{ax}sin(bx).它们也线性无关，因此通解为y=e^{ax}[C_1cos(bx)+C_2sin(bx)].3）特征方程具有两个相等实根r_1=r_2只能得到一个特解y_1=e^{r_1x}.设\frac{y_2}{y_1}=u(x) \Rightarrow y_2=y_1u(x),代入原微分方程可得到u''=0.不放取u=x作为第二个特解。

二阶线性常系数齐次微分方程的解

有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解微分方程的特征方பைடு நூலகம்为
r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x)
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解
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铃
❖特征方程的根与通解的关系
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铃
❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例2 求方程y2yy0的通解
中p、q均为常数 ❖特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
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铃
❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i

二阶常系数齐次线性微分方程

例3 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解特征方程为 r 2 2r 3 0 ,
解得 r1 1 , r2 3 故所求通解为
y C1e x C2e3 x .
例4 求微分方程 y 4 y 4 y 0 满足初始条件
y x 0 1, y x 0 4的特解
有一对共轭复根特征根为
( 0)
r2 i ,
rx
,
重新组合
1 y1 ( y1 y2 ) ex cos x, 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x , 2i
y2 e( i ) x ,
( D1 D2 x Dk x k 1 )sin x].
例求微分方程 y (4) 2 y ''' 5 y '' 0 的通解解特征方程为
r 4 2r 3 5r 2 0 ,
r 2 (r 2 2r 5) 0 ,
解得 r1 r2 0, r3,4 1 2i. 故所求通解为
作业(P103)：28(2)(3)
n阶常系数齐次线性微分方程解法： y ( n ) p1 y ( n1) pn1 y pn y 0.
其特征方程为
r n p1r n1 pn1r pn 0,
在复数范围内它有 n 个根。方程通解分三种情况：（1）有 n 个不同实特征根时，通解为 y C1er1x C2er2 x Cnern x ; （2）若 r 为 k 重实特征根时，通解中包含 (C1 C2 x Ck x k 1 )e rx ; （3）若 r i 为 k 重共轭复特征根时，通解中包含 e x [(C1 C2 x Ck x k 1 )cos x

微分方程-二阶常系数齐次线性微分方程

y ( n) + p1 y ( n1) + L + pn1 y′ + pn y = 0
其中 pi ( i = 1, 2 ,L , n )均为实常数 .
特征方程为
r n + p1r n1 + L + pn1r + pn = 0
特征方程的根
若是 k 重根 r
通解中的对应项
(C0 + C1 x + L + Ck 1 x k 1 )e rx
而 y ′ = 5C1 sin 5 x + 5C 2 cos 5 x 再由 y ′ | x = 0 = 5,
得 C 2 = 1, 故所求方程特解为
y = 2 cos 5 x + sin 5 x
d2 x 3. 求微分方程 + λ x = 0 (λ 为常数 ) 2 dt 的通解
解特征方程为 r 2 + λ = 0, 特征根 r1, 2 = ± λ .
2. 当 Δ = p 2 4q = 0 时，
L[ y2 ] =
r1 x L[ue ]
= 2( r r1 )
0
r1 x = e [u′′ + (2r1 +
p)u′ + (r12 + pr1 + q)u] = 0,
0 Q r是特征根，且是重根
∴ F ( r1 ) = r12 + pr1 + q = 0
下面分三种情况讨论
(1) 若λ < 0,
则 r1, 2 = ± λ 为两个不相等的实根
方程的通解为
λt
x = C1e
+ C 2e
λt
( 2) 若 λ = 0,

二阶常系数齐次线性微分方程解读

t
于是所求初值问题的解为
例3 求微分方程 y 2 y 5 y 0的通解.
2 解：所给方程的特征方程为 r 2r 5 0
其根为 r1,2 1 2i , 故所求通解为
y e (C1 cos2 x C2 sin2 x )
x
习题6-5 (p358) 全部做于书上, 1(5), 2(5)交作业.
2
设r1, r2是特征方程的两个根. 2 (1) 当 p 4 q 0 时, 方程有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 y C1 e
2பைடு நூலகம்
r1 x
C2 e
r2 x
(2) 当 p 4 q 0 时, 特征方程有两相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解为
例2 求解初值问题
d s ds 2 s0 2 dt dt
2
s t 0 4 ,
ds 2 dt t 0
解: 特征方程 r 2 r 1 0 , 特征根为 r1 r2 1 , 因此原方程的通解为
2
s (C1 C2 t ) e 由初始条件得 C1 4, C 2 2
(3) 根据特征方程根的不同情况, 写出微分方程的通解. 特征根通解实根
y C1e
r1 x
C 2e
r2 x
r1 x
y ( C1 C 2 x ) e x y e (C1 cos x C2 sin x )
例1 求微分方程y2y3y0的通解
解: 微分方程的特征方程为 r22r30 即(r1)(r3)0 特征方程有两个不等的实根r11 r23 因此微分方程的通解为yC1exC2e3x

《二阶常系数齐次线性微分方程》教学设计——以智慧平台为依托

《二阶常系数齐次线性微分方程》教学设计——以智慧平台为依托摘要：从教学目标设定、教学对象分析、教学内容选取、教学保障、教学实施等方面，以《二阶常系数齐次线性微分方程》为例，着重针对学员的常见问题给出相应的对策，重点突出“学为中心、能力为本”的设计理念。

1.教学目标设定知识目标：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求法；能力目标：提升学员观察、分析以及解决实际问题的能力；素质目标：体验特征根法所蕴含的数学思想，培养从猜想到验证的思维品质。

2.教学对象分析教学对象是本科一年级学员。

知识储备：前期已经学习过不定积分的相关知识，对微分方程的通解和特解有了一定的认识；认知特点：在上大学之前，学员形成了以常量数学为对象的思维定势。

对方程有直观的认识，但对于如何求解微分方程有一定的障碍；学习态度：有进一步探究知识的求知欲，但部分学员有畏难情绪，缺乏学习积极性和主动性。

3.教学内容选取内容取自同济大学第七版教材《高等数学》第七章第七节。

高阶微分方程的求解通常都很难，除了第五节利用降阶法求解三类高阶微分方程，第六节对于高阶线性微分方程解的结构给我们二阶常系数齐次线性微分方程提供了方法指导。

本节课的教学重点是二阶常系数齐次线性微分方程的定义、解法、应用，二阶常系数齐次线性微分方程的解法与应用为教学难点。

4.教法设计以问题为导向，通过数形结合、合作探究、互动与启发引导相结合多措并举，引导学员找到微分方程的解法，同时鼓励学员运用所学知识解决实际问题，达到学以致用的目的。

5.教学保障智慧教室1间6.常见问题及解决方法具体实施中，着重介绍针对学员出现的常见错误，给出相应的解决办法。

常见问题1：学员学习积极性不高解决方法：（1）开篇以某次海上游泳训练引入，几名学员为称得一直径为的圆柱形浮标的质量，设计了如下实验：首先,一名学员将浮标铅直地放入水中，稍向下压后突然放开，浮标在水中开始上下振动；同时，另一名学员在一旁用秒表进行计时，测得浮标的振动周期为。

大学数学_6_6 二阶常系数齐次线性微分方程

当系数 P( x), Q( x) 分别为常数 p , q 时，方程 y py qy 0 （3）称为二阶常系数齐次线性微分方程. 类似的，方程 y py qy f ( x) ( f ( x) 0) （4）称为二阶常系数非齐次线性微分方程. 为了求解二阶常系数齐次线性微分方程，我们先对二阶齐次线性微分方程解的性质和通解结构作一些讨论.
1 x
1 x
1 x
所以 y2 e 2 x , y3 e1 x 也是原微分方程的解.
由定理 1 可得，C1 y1 C2 y2 （C1 , C2 是任意常数）是原方程的解.又因两个任意常数C1 , C2 不可能合并为一个任意常数，而所给方程是二阶的，因此 C1 y1 C2 y2 是 y y 2 y 0 的通解. 而 C1 y1 C3 y3 e x (C1 C3e) Cy1 ( 其中C C1 C3e) 实质上只含有一个任意常数 , 故C1 y1 C3 y3 是原微分方程的解，但不是原微分方程的通解. y1 e x 由例 1 可见， 2 x e 3 x 常数（称 y1 e x , y2 e 2 x y2 e 是线性无关的），所以 C1 y1 C2 y2 是 y y 2 y 0 的通解. y3 e1 x 而 x e 常数（称 y1 e x , y3 e1 x 是线性相关的）， y1 e 这就使得 C1 y1 C3 y3 中的常数可以合并成一个常数，从而它不能构成原方程的通解.
ds 满足初始条件 s t 0 1, t 0 3 的特解. dt 2 2 解特征方程 4r 4r 1 0 ，即 2r 1 0 , 1 特征根为 r1 r2 ，因此，所给方程的通解为 2

二阶常系数齐次线性微分方程

因r 是特征方程(2)的二重根故 1 是特征方程( )的二重根,
r + pr + q = 0, 且 2r + p = 0, 1 1
2 1
′ 于是有 u′ = 0. 故取
即得方程( ) u = x, 即得方程(1)的另一根 rx y2 = xe .
1
从而得到方程( ) 从而得到方程(1)的通解为
y = ( C1 + C2 x) e .
y = (C1 + C 2 x )e 2 x . 故所求通解为
内容小结
y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q 为数) 常特征根: 特征根 r1 , r2
(1) 当 r1 ≠ r2 时, 通解为 y = C1 e
r1 x
+ C2 e
r2 x
(2) 当 r1 = r2 时, 通解为 y = (C1 + C 2 x ) e (3) 当 r1,2 = α ± β i 时, 通解为
y = C1 y1 + C2 y2
也是方程( )的解. 也是方程(1)的解
是方程( )的解, 证因 y1, y2 是方程(1)的解即有及从而
′′ ′ y1 + py1 + qy1 = 0,
′′ ′ y2 + py2 + qy2 = 0,
( C1 y1 + C2 y2 )′′ + p( C1 y1 + C2 y2 )′ + q( C1 y1 + C2 y2 )
为此令 y2 = u( x) er1x , 对 y2 求导得
( u′′ + 2ru′ + r2u) + p( u′ + ru) + qu = 0, e 1 1 1 即 u′′ + ( 2r + p) u′ + ( r2 + pr + q) u = 0. 1 1 1

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明来源：文都教育在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。

一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C eC e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112xx y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++=212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dxλλλ'-=⇒=⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为21212()121212[]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112c C λλ=-，12C C 和为任意常数。

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明要证明二阶常系数齐次线性微分方程的通解，我们需要先了解什么是齐次线性微分方程以及常系数线性微分方程。

一阶齐次线性微分方程可以表示为dy/dx + P(x)y = 0，其中P(x)是一个关于x的函数。

对于这个方程，我们可以使用分离变量法来解得通解。

二阶常系数线性微分方程可以表示为d²y/dx² + a dy/dx + by = 0，其中a和b是常数。

对于这个方程，我们可以假设一个特解y=e^(rx)来解方程。

将这个特解代入方程，我们可以得到一个特征方程r² + ar + b = 0。

解这个特征方程，我们可以得到两个不同的根r₁和r₂，也就是说特征方程有两个解。

现在我们来证明二阶常系数齐次线性微分方程的通解。

假设我们有一个二阶常系数齐次线性微分方程d²y/dx² + a dy/dx + by = 0，其中a和b是常数。

我们假设这个方程的通解为y = e^(rx)，其中r是一个常数。

将这个通解代入方程，我们可以得到一个特征方程r² + ar + b = 0。

解这个特征方程，我们可以得到两个不同的根r₁和r₂。

因此，我们可以得到两个特解y₁ = e^(r₁x)和y₂ = e^(r₂x)。

根据线性微分方程的性质，我们知道齐次线性微分方程的通解是两个特解的线性组合。

因此，我们可以将通解表示为y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)，其中C₁和C₂是任意常数。

这就是二阶常系数齐次线性微分方程的通解。

举一个具体的例子来说明。

假设我们有一个二阶常系数齐次线性微分方程d²y/dx² - 2 dy/dx + y = 0。

我们可以解特征方程r² - 2r + 1 = 0，得到一个重根r=1、因此，我们可以得到一个特解y₁ = e^(x)。

根据通解的表达式，我们可以得到这个方程的通解为y = C₁e^(x) + C₂xe^(x)，其中C₁和C₂是任意常数。