含参数不等式的解法(含答案)
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含参数不等式的解法
例1:若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立,求x 的范围。
例2:若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的范围。
例3:在∆ABC 中,已知2|)(|,2cos )2
4
(
sin sin 4)(2
<-++
=m B f B B
B B f 且π
恒成立,求实数m 的范围。
例4:(1)求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 如果把上题稍微改一点,那么答案又如何呢?请看下题:
(2)求使不等式)2
,0(4,cos sin π
π
∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
A 档(巩固专练)
1.设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
≥-<<-+-≤+)1(11
)11(22)1()1(2x x
x x x x ,已知f (a )>1,则a 的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪(-21,+∞)
B.(-21,21)
C.(-∞,-2)∪(-21,1)
D.(-2,-2
1
)∪(1,+∞)
2.已知f (x )、g (x )都是奇函数,f (x )>0的解集是(a 2
,b ),g (x )>0的解集是(22a ,2
b
),则f (x )·g (x )
>0的解集是__________.
3.已知关于x 的方程sin 2
x +2cos x +a =0有解,则a 的取值范围是__________.
4. 解不等式)0( 01)1
(2
≠<++
-a x a
a x 5. 解不等式06522>+-a ax x ,0≠a
6.已知函数f (x )=x 2
+px +q ,对于任意θ∈R,有f (sin θ)≤0,且f (sin θ+2)≥2. (1)求p 、q 之间的关系式;(2)求p 的取值范围;
(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14,求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.
7.解不等式log a (1-
x
1
)>1
8.设函数f (x )=a x
满足条件:当x ∈(-∞,0)时,f (x )>1;当x ∈(0,1]时,不等式f (3mx -1)>f (1+mx -x 2
)>f (m +2)恒成立,求实数m 的取值范围.
9.设124()lg
,3
x x
a f x ++=其中a R ∈,如果(.1)x ∈-∞时,()f x 恒有意义,求a 的取值范围。
10.已知当x ∈R 时,不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立,求实数a 的取值范围。
B 档(提升精练)
1.定义在R 上的奇函数f (x )为增函数,偶函数g (x )在区间[0,+∞)的图象与f (x )的图象重合,设a >b >0,给出下列不等式,其中正确不等式的序号是( )
①f (b )-f (-a )>g (a )-g (-b ) ②f (b )-f (-a )<g (a )-g (-b ) ③f (a )-f (-b )>g (b )-g (-a ) ④f (a )-f (-b )<g (b )-g (-a ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 2.下列四个命题中:①a +b ≥2ab ; ②sin 2
x +
x
2sin 4≥4 ; ③设x ,y 都是正数,若
y
x 9
1+=1,则x +y 的最小值是12 ; ④若|x -2|<ε,|y -2|<ε,则|x -y |<2ε,其中所有真命题的序号是__________.
3.某公司租地建仓库,每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站__________公里处.
4.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2
+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
含参不等式的解法参考答案
典题探究
例1【解析】:我们可以用改变主元的办法,将m 视为主变元,即将元不等式化为:0)12()1(2
<---x x
m ,
;令)12()1()(2
---=x x m m f ,则22≤≤-m 时,0)( ⎧<<-0 )2(0 )2(f f 即 ⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0 )12()1(20 )12()1(22 2 x x x x ,所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。 例2【解析】:保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m ,所以要讨论m-1是否是0。 (1)当m-1=0时,元不等式化为2>0恒成立,满足题意; (2)01≠-m 时,只需⎩⎨ ⎧<---=∆>-0 )1(8)1(0 12 m m m ,所以,)9,1[∈m 。 例3【解析】:由]1,0(sin ,0,1sin 22cos )2 4( sin sin 4)(2 ∈∴<<+=++=B B B B B B B f ππ ]3,1()(∈B f ,2|)(|<-m B f 恒成立,2)(2<-<-∴m B f ,即⎩ ⎨ ⎧+<->2)(2 )(B f m B f m 恒成立,]3,1(∈∴m 例4【解析】(1):由于函]4 3,4[4),4sin(2cos sin ππππ -∈-- = ->x x x x a ,显然函数有最大值2, 2>∴a 。 (2) :我们首先要认真对比上面两个例题的区别,主要在于自变量的取值范围的变化,这样使得 x x y cos sin -=的最大值取不到2,即a 取2也满足条件,所以2≥a 。 A 档(巩固专练) 1. 【答案】C 【解析】:由f (x )及f (a )>1可得: ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤1)1(12a a ① 或⎩⎨⎧>+<<-12211a a ② 或⎪⎩ ⎪ ⎨⎧>-≥1111a a ③ 解①得a <-2,解②得- 2 1 <a <1,解③得x ∈∅ ∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪(-2 1 ,1) 2. 【解析】:由已知b >a 2 ∵f (x ),g (x )均为奇函数,∴f (x )<0的解集是(-b ,-a 2 ),g (x )<0的解集是(- 2 ,22a b -).由f (x )·g (x )>0可得: ⎪⎩⎪ ⎨⎧- <<--<<-⎪⎩⎪⎨⎧<<<<⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>2222 ,0)(0)(0)(0)(22 22a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a 2 , 2b )∪(-2b ,-a 2 ) 答案:(a 2 , 2b )∪(-2 b ,-a 2 ) 3. 【答案】:[-2,2]【解析】:原方程可化为cos 2 x -2cos x -a -1=0,令t =cos x ,得t 2 -2t -a -1=0,原问题转化为方程t 2 -2t -a -1=0在[-1,1]上至少有一个实根.令f (t )=t 2 -2t -a -1,对称轴t =1,画图象分析可得⎩ ⎨ ⎧≤≥-0)1(0 )1(f f 解得a ∈[-2,2].