2021北京四中高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年北京四中高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2020-2021学年北京四中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知全集为U ，集合{1,2,3,4,5}A =，{3,2}B =-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{3,2}-C ．{2}D ．{2,3}-【答案】C【分析】根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集，再根据集合交集运算即可. 【详解】解：根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集， 所以{}{1,2,3,4,5}{3,2}2AB =-=.故选：C. 2．不等式021x x ≤-+的解集是 （ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-，C ．(1)[2)-∞-+∞，，D ．(12]-， 【答案】D【分析】将“不等式21x x -+≤0”转化为“不等式组()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩”，由一元二次不等式的解法求解．【详解】依题意，不等式化为()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩，解得﹣1＜x≤2，故选D ．【点睛】本题主要考查不等式的解法，关键是将分式不等式转化为二次不等式来求解 3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（ ）A ．y ＝x 2﹣2xB ．y ＝|x |C ．y ＝2x +1D ．y =【答案】D【分析】求出每一个选项的函数的单调减区间即得解.【详解】A. y ＝x 2﹣2x ,函数的减区间为(,1)-∞，所以选项A 不符； B. y ＝|x |，函数的减区间为(,0)-∞，所以选项B 不符； C.y ＝2x +1,函数是增函数，没有减区间，所以选项C 不符；D. y =0，+∞），所以选项D 符合. 故选D【点睛】本题主要考查函数的单调区间的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知函数()351f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】C【分析】计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】()351f x x x =-+，()32252130f ∴-=-+⨯+=>，()31151150f -=-+⨯+=>，()010f => ()31151130f =-⨯+=-<，()32252110f =-⨯+=-<，根据零点存在性定理可得一定包含()f x 零点的区间是()0,1. 故选：C.5．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（ ） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-【答案】A【分析】由(1)(1)f f -=，结合单调性得出()()1(2)3f f f ->>.【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= 又()f x 在区间[0,3]上单调递减，且123<< 所以(1)(2)(3)f f f ∴>>，即()()1(2)3f f f ->> 故选：A6．已知12,x x 是方程2710x x -+=的两根，则2212x x +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【分析】由韦达定理的127x x +=，121=x x ，再根据()2221212122x x x x x x +=+-即可求出. 【详解】12,x x 是方程2710x x -+=的两根，127x x ∴+=，121=x x ，()2221212122725x x x x x x +=+-=-=故选：D.7．设,a b ∈R ，且a b >，则下列结论中正确的是（ ） A ．1ab> B ．11a b< C ．||||a b >D ．33a b >【答案】D【分析】取特殊值判断ABC ，由幂函数3y x =的单调性判断D. 【详解】当1,1a b ==-时，11ab =-<，11a b>，||||a b = 因为幂函数3y x =在R 当单调递增，a b >，所以33a b > 故选：D8．“2a =”是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：当2a =，则()f x x a=-在[2,)+∞上为增函数，故充分性成立；当函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数，则，故必要性不成立.【解析】充分必要性．9．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f (t )的图象如图所示，则杯子的形状是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是运算增长，所以只有A 满足． 故选A ．10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( )． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】试题分析：由得，由得，∴函数的定义域可以是{02}，{02}，{022，共3个．． 【解析】函数的定义域和值域．11．已知非零实数,,a b c 满足：a b c >>，下列不等式中一定成立的有（ ） ①ab bc >； ②22ac bc ≥； ③a b a bc c+->.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【分析】由不等式的性质结合作差法逐个判断即可得解. 【详解】对于①，若a c >，0b <，则ab bc <，故①错误； 对于②，由()2220ac bc c a b -=-≥可得22ac bc ≥，故②正确；对于③，因为2a b a b b c c c +--=，若20b c <，则a b a bc c+-<，故③错误. 故选：B.12．已知a 、b R ∈，则“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】将代数式322a a b a ab a b +--++因式分解，找出使得3220a a b a ab a b +--++=成立的等价条件，进而可得出结论.【详解】()()()()()322221a a b a ab a b a a b a a b a b a b a a +--++=+-+++=+-+， 对任意的a R ∈，22131024a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以，32200a a b a ab a b a b +--++=⇔+=.因此，“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的充要条件. 故选：C.13．已知{},;min ,,.a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设()f x {}2min 6,246x x x =-+-++，则函数()f x 的最大值是（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】C【分析】画出函数图像求得解析式，再求最大值即可 【详解】根据题目的定义得，{}2()min 6,246f x x x x =-+-++2226,6246246,6246x x x x x x x x x ⎧-+-+≤-++=⎨-++-+>-++⎩，化简得，()256,0,2()5246,,0(,)2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-++∈-∞⋃+∞⎪⎩，可根据该分段函数做出图像，显然在左边的交点处取得最大值，此时，0x =，得(0)6f =即为所求； 故选：C【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义得到()256,0,2()5246,,0(,)2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-++∈-∞⋃+∞⎪⎩，进而作出图像求解，属于基础题二、双空题14．设全集U =R ，集合{|2},A x x =<集合{|1}B x x =<，则集合UA___________，集合()UA B =___________.【答案】[)2,+∞ ()[),12,-∞+∞【分析】利用集合的交集和并集进行求解即可【详解】{|2},A x x =<}{2UA x x =≥[)2,=+∞；{|1}B x x =<，()U A B =()[),12,-∞+∞；故答案为：①[)2,+∞；②()[),12,-∞+∞15．函数1()1f x x x =+-(1)x >的最小值是_____，此时x =_____. 【答案】3 2【分析】由题知10x ->，又由()1111f x x x =-++-，结合基本不等式即可求解． 【详解】∵1x >， ∴10x ->，由基本不等式可得()12111131f x x x =-+++=-≥=， 当且仅当111x x -=-即2x =时，函数取得最小值3． 故答案为：①3；②2．【点睛】关键点点睛：该题主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力．16．若函数()2f x x x a =-+为偶函数，则实数a =________，函数()f x 的单调递增区间是___________. 【答案】0 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由偶函数的定义得出x a x a +=-，等式两边平方可求得实数a 的值，求出函数()f x 在()0,∞+上的增区间和减区间，利用偶函数的基本性质可得出函数()f x 的单调递增区间.【详解】函数()2f x x x a =-+的定义域为R ，且该函数为偶函数，则()()f x f x -=，即()22x x a x x a ---+=-+，所以，x a x a -=+， 等式x a x a -=+两边平方可得222222x ax a x ax a -+=++， 可知0ax =对任意的x ∈R 恒成立，所以，0a =，则()2f x x x =-.当0x >时，()2f x x x =-，则函数()f x 在()0,∞+上的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 由于函数()f x 为偶函数，因此，函数()f x 的单调递增区间为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：0；1,02⎛⎫-⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质.三、填空题 17．命题“11,1x x∀<>”的否定是___________. 【答案】11,1x x∃<≤ 【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可； 【详解】解：命题“11,1x x∀<>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“11,1x x∃<≤” 故答案为：11,1x x∃<≤18．某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______. 【答案】12【分析】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【详解】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解得3x =， 所以1512x -=， 即所求人数为12人，故答案为：12．19．能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.【答案】1,2,3---【解析】试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．20．某学校运动会上，6名选手参加100米决赛.观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1､2､6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4､5､6道的选手都不可能得第一名.比赛后发现并没有并列名次，且甲､乙､丙､丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是___________. 【答案】丁【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对 故答案为：丁【点睛】关键点睛：解题关键在于根据题意，进行合情推理即可，属于基础题 21．已知关于x 的不等式32ax a x+≤在区间0,上有解，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()[),03,-∞+∞【分析】由题意可得，当0x >时，2230ax ax -+能成立，分类讨论a 的范围，利用二次函数的性质，求得实数a 的取值范围． 【详解】关于x 的不等式32ax a x+在区间(0,)+∞上有解， 即当0x >时，不等式32ax a x+能成立，即2230ax ax -+能成立． 当0a =时，不等式不成立，故0a ≠．当0a >时，则1x =时，函数223y ax ax =-+的最小值为2124304a a a a-=-，求得3a ．当0a <时，二次函数223y ax ax =-+的图象开口向下，满足条件． 综上可得，实数a 的范围为3a 或0a <， 故答案为：()[),03,-∞+∞【点睛】易错点睛：解答本题时要注意审题，本题不是恒成立问题，而是能成立问题，所以等价于当0x >时，不等式2230ax ax -+能成立．即函数2()23f x ax ax =-+的最小值大于零，而不是最大值大于零.四、解答题22．已知0a >，记关于x 的不等式()()10-+<x a x 的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .（1）若3a =，求集合P ； （2）若Q P ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）{}13x x -<<；（2）(2)，+∞. 【分析】（1）直接解不等式得解；（2）先化简集合,P Q ,再根据Q P ⊆，得到关于a 的不等式得解. 【详解】（1）由()()310x x -+<，得{}13P x x =-<<； （2）{}{}1102Q x x x x =-≤=≤≤. 由0a >，得{}1P x x a =-<<， 又Q P ⊆， 所以2a >，即a 的取值范围是(2)，+∞. 23．已知定义在R 上的奇函数21()x mf x x =++,m ∈R . （1）求m ；（2）用定义证明：()f x 在区间[)1,+∞上单调递减； （3）若实数a 满足()22225f a a ++<，求a 的取值范围. 【答案】（1）0m =；（2）证明见解析；（3）()(),20,-∞-+∞.【分析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数，得到(0)0f =，即可求解； （2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数()f x 在[)1,+∞单调递减.（3）结合()f x 在[)1,+∞单调递减，转化为2222a a ++>，即可求解实数a 的取值范围.【详解】（1）由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，解得0m =. （2）任取12,[1,)x x ∈+∞且12x x <， 则12221212121122121222222212()(1)()()(),(1)111111()()()(1)x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x +-+-++++--==+-=+ 因211x x >>，故221221121,0,10,10x x x x x x >->+>+>，从而21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <，所以函数()f x 在[)1,+∞单调递减.（3）由()2222111a a a ++=++≥，又由2(2)5f =， 因为()22225f a a ++<，结合()f x 在[)1,+∞单调递减，可得2222a a ++>， 即220a a +>，解得2a <-或0a >，即实数a 的取值范围()(),20,-∞-+∞.【点睛】含有“f ”的不等式的解法：1、首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式；2、根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式（组），此时要注意()g x 和()h x 的取值应再外层函数的定义域内；3、结合不等式（组）的解法，求得不等式（组）的解集，即可得到结论.24．二次函数()f x 满足(0)1f =，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，函数()f x 的图像总在一次函数2y x m =+图像的上方，试确定实数m 的取值范围.条件①：()()12f x f x x +-=；条件②：不等式()4<+f x x 的解集为()1,3-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；（1）2()1f x x x =-+；（2）1m <-.【分析】（1）选择①：设出二次函数的解析式，根据条件①，结合待定系数法求出()f x 的解析式；选择②：根据一元二次不等式与二次函数的关系求出()f x 的解析式；（2）由题意可知231x x m -+>，构造函数2()31g x x x =-+，由min ()g x m >得出m的范围.【详解】解（1）由f (0)=1，可设f (x )=ax 2+bx +1(a ≠0).选择①，则有()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x +-=++++-++=++= 由题意，得22,0,a a b =⎧⎨+=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩故2()1f x x x =-+ 选择②，则()4<+f x x 可化为2(1)30ax b x +--<.由题，方程2(1)3=0ax b x +--的两实根分别为1-和3 所以1132b a --=-+=即21a b +=，及3133a-=-⨯=-即1a =，所以1b =-. 故2()1f x x x =-+（2）由题意，得212x x x m -+>+，即231x x m -+>，对[1,1]x ∈-恒成立.令2()31g x x x =-+，则问题可转化为min ()g x m >又因为g (x )在[1,1]-上递减，所以min ()(1)1g x g ==-，故1m <-【点睛】对于问题（2），在解决不等式的恒成立问题时，可以构造函数，将不等式问题转化为最值问题进行处理.25．区间[],αβ的长度定义为βα-.函数()22()1f x a x ax =+-，其中0a >，区间{}|()0I x f x =≤.（1）求I 的长度；（2）求I 的长度的最大值.【答案】（1）21a a+；（2）12. 【分析】（1）解出()0f x ≤，即可利用区间长度定义求出；（2）利用基本不等式可求出.【详解】解：（1）令2()(1)0f x x a x a ⎡⎤=+-=⎣⎦，解得：10x =，2201a x a=>+， 则{}2|()001a x f x x x a ⎧⎫≤=≤≤⎨⎬+⎩⎭ ，20,1a I a ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦， 则I 的长度为22011a a a a -=++； （2）0a >，I ∴的长度211112a a a a =≤=++，当且仅当1a =时等号成立. ∴当1a =时，I 的长度的最大值为12. 26．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.（1）已知函数()g x x =，函数()2h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由； （2）已知函数()f x x =，且()f x 是区间[4,2]--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：(如果两问都做，按（i ）得分计入总分) （i ）如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；（ii ）如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()g x x =是，()2h x x =不是，理由见解析；（2）9；（3）（i ）不是，理由见解析；（ii ）()1,1-.【分析】（1）()g x x =用新定义证明，()2h x x =举反例否定. （2）由新定义得出x 的一次不等式恒成立问题求解.（3）(i)构造反例,()1,R x x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩说明；(ii)由分段函数逐一讨论即可. 【详解】解：（1）()g x x =是；因为[]1,0x ∀∈-，()3330222g x g x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()2h x x =不是，反例：当1x =-时，()31111=1224h h h ⎛⎫⎛⎫-+==<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意得，x n x +>对[4,2]x ∈--恒成立等价于2222x nx n x ++>，即220nx n +>对[4,2]x ∈--恒成立因为0n >，所以22nx n +是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需280n n -+>， 解得8n >，所以满足题意的最小正整数n 为9.（3）（i ）不是构造,()1,R x x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩，则对任意正有理数q ， 若x Q ∈，则x q Q +∈，因此()()f x q x q x f x +=+>=；若R x Q ∈，则R x q Q +∈，因此()11()f x q x q x f x +=+->-=.因此()f x 是R 上的q -增长函数，但()f x 不是增函数.（ii ）由题意知2222222,(),2,x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩已知任意x ∈R ，(4)()f x f x +≥，因为()f x 在22[,]a a -上递减，所以,4x x +不能同时在区间22[,]a a -上，因此2224()2a a a >--=注意到()f x 在2[2,0]a -上非负，在2[0,2]a 上非正若22244a a <≤，当22x a =-时，24[0,2]x a +∈，此时(4)()f x f x +≤，矛盾因此244a >，即(1,1)a ∈-.当244a >时，下证()f x 为R 上的4-增长函数：①当24x a +≤-，(4)()f x f x +>显然成立②当224a x a -<+<时，2243x a a <-<-，此时2(4)(4)f x x a +=-+>-，22()2f x x a a =+<-，(4)()f x f x +>③当24x a +≥时，22(4)422()f x x a x a f x +=+->+≥因此()f x 为R 上的4-增长函数综上，为使得()f x 为R 上的4-增长函数a 的取值范围是()1,1-.【点睛】此题是新定义题，属于难题；肯定命题时根据所给定义证明，否定结论要举出相应反例，方可获证.。
北京四中高一上学期期中测试数学试题
高一数学 期中测试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I ）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，则A B =A ．{2}B ．{1,2,4}C ． {1,2,4,6}D ．{2,4}2．函数y =A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞3．43662log 2log 98+-=A ．14B ．14-C ．12D ． 12-4．若函数2312()325x x f x x x ⎧--≤≤=⎨-<≤⎩，则方程()1f x =的解是A 2B 或3C 或4D 或45．若函数3()f x x =，则函数)2(x f y -=在其定义域上是 A ．单调递增的偶函数 B ．单调递增的奇函数 C ．单调递减的偶函数 D ．单调递减的奇函数6．若432a =，254b =，3log 0.2c =，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<7．函数2343x x y -+-=的单调递增区间是A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[1,2]D ．[1,3]8．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s （千米）与行进时间x （秒）的函数图象的示意图，你认为正确的是9．已知(10)xf x =，则(5)f =A ．510B ．105C ．5log 10D ．lg 510．某同学在研究函数()||1xf x x =+()x ∈R 时，分别给出下面几个结论：①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 的值域为()1 1-，； ③函数()f x 在R 上是增函数； 其中正确结论的序号是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．若集合[0,2]A =，集合[1,5]B =，则A B = ．12．函数24xy =-的零点是 ．13．函数3()log (21)f x x =-（[1,2]x ∈）的值域为 ．14．函数()31f x x =-，若[()]23f g x x =+，则一次函数()g x = ． 15．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠的反函数的图象过点)1,2(-，则a = ．16．若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值范围是 ．三．解答题（本大题共3小题，共26分） 17．（本小题满分6分）已知：函数()(2)()f x x x a =-+（a ∈R ），()f x 的图象关于直线1x =对称． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,3]上的最小值．18．（本小题满分10分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：（Ⅰ）分别写出两类产品的收益y （万元）与投资额x （万元）的函数关系；（Ⅱ）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？19．（本小题满分10分）已知：函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--（0a >且1a ≠）. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明； （Ⅲ）设12a =，解不等式()0f x >.卷（II ）1．设集合2{|0}A x x x =-=，{|20}B x x =-=，则2{|()(2)0}x x x x --≠=A ．()AB R ð B ．()A B R ð C ．()A B R ð D ．()AB R ð2．已知函数21311()log [()2()2]33xx f x =-⋅-，则满足()0f x <的x 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞-D ．(1,)-+∞3．下表是某次测量中两个变量x ，y 的一组数据，若将y 表示为关于x 的函数，则最可能的函数模型是A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型 4．用二分法求方程21x +=已经确定有根区间为(0,1)，则下一步可确定这个根所在的区间为 ．5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，如果函数()()g x f x m =-恰有4个零点，则实数m 的取值范围是 ．6．函数()log (1)xa f x a x =++（0a >且1a ≠）在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值是 ．7．已知函数c bx x x f +-=2)(，若(1)(1)f x f x -=+，且3)0(=f ． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）试比较()mf b 与()mf c （m ∈R ）的大小．8．集合A 是由满足以下性质的函数()f x 组成的：对于任意0x ≥，()[2,4]f x ∈-且()f x 在[0,)+∞上是增函数．（Ⅰ）试判断1()2f x 与21()46()2x f x =-⋅（0x ≥）是否属于集合A ，并说明理由；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中你认为属于集合A 的函数()f x ，证明：对于任意的0x ≥，都有()(2)2(1)f x f x f x ++<+．答题纸班级姓名成绩卷（I）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）三．解答题（本大题共3小题，共26分）17．（本小题满分6分）18．（本小题满分10分）19．（本小题满分10分）班级姓名成绩卷（II）一．选填题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）二．解答题：（本大题共2小题，共20分）7．（本小题满分10分）8．（本小题满分10分）参考答案卷（I）C A B CD B AC D D11．[1,2]；12．2；13．[0,1]；14．3432+x ；15．12；16．(0,1)； 17．解： 2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=---，（Ⅰ）函数()f x 图象的对称轴为212ax -==，则0a =； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得22()2(1)1f x x x x =-=--，因为1[0,3]x =∈，所以min ()(1)1f x f ==-． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分18．解：（Ⅰ）投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y kx =（0x >），由题知，当1x =时，0.125y =，则0.125k =，即0.125y x =， ┈┈┈┈┈┈2分投资股票类风险型产品的收益满足函数：y k =0x >），由题知，当1x =时，0.5y =，则0.5k =，即y = ┈┈┈┈┈┈┈4分（Ⅱ）设投资债券类稳健型产品x 万元（020x ≤≤），则投资股票类风险型产品20x -万元，由题知总收益0.125y x =+020x ≤≤）， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分令t =0t ≤≤，则220x t =-，22211510.125(20)0.5(2)38228y t t t t t =-+=-++=--+，当2t =，即16x =时，max 3y =（万元） ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分19．解：（Ⅰ）由题知：1010x x +>⎧⎨->⎩， 解得：11x -<<，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-；┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（Ⅱ）奇函数，证明：因为函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以对任意(1,1)x ∈-，()log (1)log (1())[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+---=-+--=-所以函数()f x 是奇函数； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分（Ⅲ）由题知：1122log (1)log (1)x x +>-，即有101011x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得：10x -<<，所以不等式()0f x >的解集为{|10}x x -<<． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分卷（II ）D C D 4．1(0,)2；5．10m -<<；6．12； 7．解：（Ⅰ）由已知，二次函数的对称轴12bx ==，解得2b =， 又(0)3f c ==，综上，2b =，3c =； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()23f x x x =-+，所以，()f x 在区间(,1)-∞单调递减，在区间(1,)+∞单调递增.当0m >时，321m m>>，所以(2)(3)m mf f <.当0m =时，321m m==，所以(2)(3)m mf f =.当0m <时，321m m<<，所以(2)(3)m mf f > ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分8．解：（Ⅰ）1()f x A ∉，2()f x A ∈，理由如下：由于1(49)54f =>，1(49)[2,4]f ∉-，所以1()f x A ∉. 对于21()46()2x f x =-⋅（0x ≥）， 因为1()2x y =在[0,)+∞上是减函数，且其值域为(0,1]， 所以21()46()2x f x =-⋅在区间[0,)+∞上是增函数. 所以2()(0)2f x f =-≥，且21()46()42x f x =-⋅<， 所以对于任意0x ≥，()[2,4]f x ∈-.所以2()f x A ∈ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，2131(2)46()4()222x x f x ++=-⋅=-⋅，111(1)46()43()22x x f x ++=-⋅=-⋅， 所以2(1)[()(2)]f x f x f x +-++11312[43()][46()4()]2222x x x =-⋅--⋅+-⋅31()022x =⋅>， 所以对于任意的0x ≥，都有()(2)2(1)f x f x f x ++<+. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分。
北京四中高一数学上学期期中考试试卷
北京四中高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 如果A ＝{}1->x x ，那么正确的结论是A ． 0⊆A B. {0}∈A C. {0}⊂≠ A D. φ∈A 2. 函数f （x ）＝22-x ，则f （21）＝ A. 0 B. －2 C. 22 D. －22 3. 设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A. {1}B. {1，2}C. {2} D{0，1，2}4. 与函数y ＝10)1lg(-x 的定义域相同的函数是A. y ＝x －1B. y ＝1-xC. y ＝11-x D. y ＝1-x 5. 若函数f （x ）＝3x ＋3x -与g （x ）＝3x －3x -的定义域均为Ｒ，则A. f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数C. f （x ）与g （x ）均为奇函数D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6. 设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，则A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a7. 设函数y ＝x 3与y ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是 A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）8. 已知函数f （x ）是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，则f （x ）<0的解集是A. （－1，0）B. （0，1）C. （－1，1）D. ()()∞+-∞-，，119. 某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A. 不亏不盈B. 盈利37.2元C. 盈利14元D. 亏损14元10. 设函数f （x ）在()∞+∞-，上是减函数，则A. f （a ）>f （2a ）B. f （a 2）<f （a ）C. f （a 2＋a ）<f （a ）D. f （a 2＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11. log 64＋ log 69－832＝____.12. 已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （3）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－3）＝____。
核心素养练-北京四中高一数学上学期期中考试试卷
北京四中-高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1Q如果A ＝，那么正确的结论是A Q0 A B Q{0} A C Q{0}A D QA2Q函数f （x ）＝2，则f （）＝ A Q0 B Q－ C QD Q－ зQ设全集I ＝，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A Q{1} B Q{1，2} C Q{2} D{0，1，2}4Q与函数y ＝10的定义域相同的函数是A Qy ＝x －1 B Qy ＝ C Qy ＝D Qy ＝5Q若函数f （x ）＝з＋з与g （x ）＝з－з的定义域均为Ｒ，则AQf （x ）与g （x ）均为偶函数B Qf （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C Qf （x ）与g （x ）均为奇函数DQf （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6Q设a ＝log 2，b ＝ln2，c ＝5，则A Qa<b<c B Qb<c<a C Qc<a<b D Qc<b<a7Q设函数y ＝x 与y ＝的图象的交点为（x ，y ），则x 所在的区间是A Q（0，1） B Q（1，2） C Q（2，з） D Q（з，4）8Q已知函数f （x ）是Ｒ上的偶函数，当x 0时，则f （x ）<0的解集是A Q（－1，0） B Q（0，1） C Q（－1，1） D Q9Q某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店{}1->x x ⊆∈⊂≠φ∈2-x2122222{}33<<-∈x Z x )1lg(-x 1-x 11-x 1-x xx-xx-3213x⎪⎭⎫ ⎝⎛21000≥1)(-=x x f ()()∞+-∞-，，11A Q不亏不盈 B Q盈利з7Q2元 C Q盈利14元 D Q亏损14元10Q设函数f （x ）在上是减函数，则A Qf （a ）>f （2a ）B Qf （a ）<f （a ）C Qf （a ＋a ）<f （a ）D Qf （a ＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11Qlog 4＋ log 9－8＝____Q12Q已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （з）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－з）＝____Q1зQ若函数f （x ）＝－2x ＋з在[0，m]有最大值з，最小值1，则m 的取值范围是____Q14Q已知函数f （x ）＝，若函数g （x ）＝f （x ）－m 有з个零点，则实数m 的取值范围是____Q三、解答题（本大题共з小题，每小题10分，共з0分）15Q已知：函数f （x ）＝＋lg （з－9）的定义域为A ，集合B ＝，（1）求：集合A ； （2）求：A B Q16Q已知：函数f （x ）＝x －bx ＋з，且f （0）＝f （4）Q（1）求函数y ＝f （x ）的零点，写出满足条件f （x ）<0的x 的集合； （2）求函数y ＝f （x ）在区间[0，з]上的最大值和最小值Q17Q已知：函数f （x ）＝，x ，（1）当a ＝－1时，判断并证明函数的单调性并求f （x ）的最小值； （2）若对任意x ，f （x ）>0都成立，试求实数a 的取值范围Q卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共з小题，每小题5分，共15分1Q下列函数中，满足“对任意x ，x ，当x <x 时，都有f （x ）>f （x ）”的是A Qf （x ）＝（x －1）()∞+∞-，2226632221x ⎩⎨⎧>≤--)0()0(22x x x x x x -4x{}Ｒa a x x ∈<-,0 2xax x ++22[)+∞∈,1[)+∞∈,112()+∞∈,012122B Qf （x ）＝C Qf （x ）＝eD Qf （x ）＝ln x2Q设二次函数f （x ）＝x ＋2x ＋з， x ，x R ，x x ，且f （x ）＝f （x ），则f（x ＋x ）＝A Q 1B Q 2C Q зD Q4зQ若函数f （x ）＝x ＋x ， x ，x R ，且x ＋x >0，则f （x ）＋f （x ）的值A Q一定大于0 B Q一定小于0 C Q一定等于0 D Q正负都有可能二、填空题：本大题共з小题，每小题5分，共15分 4Q函数y ＝的定义域为____，值域为____Q5Q已知函数f （x ）＝ax ＋（1－зa ）x ＋a 在区间上递增，则实数a 的取值范围是____Q6Q若0<a<b<1，则在a ，b ，log b ，log a 这四个数中最大的一个是____Q三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分 7Q已知：函数f （x ）＝a x （0<a<1），（Ⅰ）若f （x ）＝2，求f （зx ）；（Ⅱ）若f （2x －зx ＋1）f （x ＋2x －5），求x 的取值范围Q8Q已知：集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体：在定义域内存在x ，使得f （x ＋1）＝f （x ）＋f （1）成立Q（1）函数f （x ）＝是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数f （x ）＝lg，求实数a 的取值范围； （з）证明：函数f （x ）＝2＋x M Qx1x212∈1≠21212312∈121222321x x -+⎪⎭⎫ ⎝⎛2[)+∞,1b aa b 002≤2000x1M x a∈+12x 2∈【试题答案】卷Ⅰ 1Q C 2Q A зQ D 4QC 5QB6QA7Q B8Q C9Q D10QD11Q－2 12Q11зQ[2，4] 14Q（0，1）15Q解：（1），定义域A ＝； 4分 （2）B ＝＝（－，a ） Q 当a ， 6分②当2<a ， 8分 ③当a>4时，Q10分 16Q解：（1）由f （0）＝f （4），得b ＝4， 2分所以，f （x ）＝x －4x ＋з，函数的零点为1，з， 4分 依函数图象，所求集合为Q6分（2）由于函数f （x ）的对称轴为x ＝2，开口向上，所以，f （x ）的最小值为f （2）＝－1， 8分 f （x ）的最大值为f （0）＝з 10分17Q解：（1）当a ＝－1时f （x ）＝， 1分 对任意，з分∵，∴ ∴∴f （x ）－f （x ）<0，f （x ）<f （x ）42334093042≤<⇒⎩⎨⎧>≤⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x (]4,2{}Ｒa a x x ∈<-,0∞φ=≤B ，A 时2a ）（B ，A ,24=≤ 时(]42，B A = 2{}31<<x x 21122+-=-+xx x x x 211x x <≤212121212121221121)1)(()(2121)()(x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f +-=-+-=-+-+-=-211x x <≤,1,02121><-x x x x ,0121>+x x 1212所以f （x ）在上单调递增 5分所以x ＝1时f （x ）取最小值，最小值为2 6分（2）若对任意x ，f （x ）>0恒成立，则>0对任意x 恒成立，所以x ＋2x ＋a>0对任意x 恒成立，令g （x ）＝x ＋2x ＋a ， x因为g （x ）＝ x ＋2x ＋a 在上单调递增，所以x ＝1时g （x ）取最小值，最小值为з＋a ，∵ з＋a>0，∴ a>－зQ10分卷Ⅱ 1QB2Q CзQA4Q Ｒ，； 5Q[0，1] 6Qlog a7Q解：（Ⅰ）f （зx ）＝a＝（a）＝8； 4分（Ⅱ）因为0<a<1，所以f （x ）＝a 单调递减；所以2x －зx ＋1≥x ＋2x －5，解得x≤2或x≥з； 10分8Q解：（Ⅰ）f （x ）＝的定义域为， 令，整理得x ＋x ＋1＝0，△＝－з<0， 因此，不存在x 使得f （x ＋1）＝f （x ）＋f （1）成立，所以f （x ）＝； з分 （Ⅱ）f （x ）＝lg的定义域为Ｒ，f （1）＝lg ，a>0，若f （x ）＝ lgM ，则存在x Ｒ使得lg ＝lg ＋lg ，整理得存在x Ｒ使得（a －2a ）x ＋2a x ＋（2a －2a ）＝0Q[)+∞,1[)+∞∈,1xax x ++22[)+∞∈,12[)+∞∈,12[)+∞∈,12[)+∞,1⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,161b 003x 0x 3x22x1()()∞+∞-，，00 1111+=+xx 2∈()()∞+∞-，，00 M x∉112+x a 2a12+x a ∈∈1)1(2++x a12+x a 2a ∈2222（1）若a －2a ＝0即a ＝2时，方程化为8x ＋4＝0，解得x ＝－，满足条件： （2）若a －2a 0即a 时，令△≥0，解得a ，综上，a [з－，з＋]； 7分（Ⅲ）f （x ）＝2＋x 的定义域为Ｒ， 令２＋（x ＋1）＝（2＋x ）＋（2＋1），整理得2＋2x －2＝0，令g （x ）＝2＋2x －2，所以g （0）·g （1）＝－2<0， 即存在x （0，1）使得g （x ）＝2＋2x －2＝0， 亦即存在x Ｒ使得2＋（x ＋1）＝（2＋x ）＋（2＋1），故f （x ）＝2＋x M Q10分2212≠∈()()∞+，，220 ∈[)(]532253+-，， ∈55x21+x 2x 2xx0∈x0∈1+x 2x 2x 2∈。
2020-2021学年北京四中高三(上)期中数学试卷【答案版】
第4页（共18页）
19．（x ．
（Ⅰ）求 f ( ) ；
（Ⅱ）求证：当 x (0, ) 时， f (x) 1 x3 ；
2
3
（Ⅲ）若 f (x) kx − x cos x 对 x (0, ) 恒成立，求实数 k 的最大值． 2
C．{x | 0 x 2}
D．{x | x 2}
2．下列命题中的假命题是 ( )
A． x R ， sin x = 2
B． x R ， lnx = 2
C． x R ， x2 0
D． x R ， 2x 0
3．已知向量 a = (5, m) ， b = (2, −2) ，若 a − b 与 b 共线，则实数 m = ( )
第2页（共18页）
17．（14 分）已知函数 f (x) = x3 − x ， g(x) = 2x − 3 ． （Ⅰ）求曲线 y = f (x) 在点 (1 ， f （1） ) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f (x) 在 [0 ， 2] 上的最大值； （Ⅲ）求证：存在唯一的 x0 ，使得 f (x0 ) = g(x0 ) ．
7．已知三角形 ABC ，那么“ | AB + AC || AB − AC | ”是“三角形 ABC 为锐角三角形”的 ( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．声音的等级
f (x) （单位： dB) 与声音强度 x （单位：W
/ m2)
满足
x f (x) = 10 lg 110−12
．喷气式飞机起
飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为 60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为
北京四中2020-2021高一上学期期中考试
北京四中2020-2021高一上学期期中考试一．选择题1.已知全集U ，集合{1,2,3,4,5},{3,2}A B ==-，则图中阴影部分表示的集合为A．{3} B.{3,2}- C.{2} D.{2,3}-2.不等式201x x -≤+的解集是A．(,1)(1,2]-∞-⋃- B.[1,2]- C.(,1)[2,)-∞-⋃+∞ D.(1,2]-3.下列函数中，在区间(0,)+∞上为减函数的是A．22y x x =- B.||y x = C.21y x =+ D.y =4.已知函数2()51f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是A．(2,1)-- B.(1,0)- C.(0,1) D.(1,2)5.若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递增，则A．(1)(2)(3)f f f ->> B.(3)(1)(2)f f f >->C.(2)(1)(3)f f f >-> D.(3)(2)(1)f f f >>-6.已知12,x x 是方程220x -+=的两根，则2212x x +=A．2 B.3 C.4 D.57.已知,,a b R ∈且,a b >则下列结论中正确的是A．1a b > B.11a b< C.||||a b > D.33a b >8.“2a =”是“函数()||f x x a =-在区间上[2,)+∞为增函数”的A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.向某容器中匀速注水时容器水面高度h 随时间t 变化的函数()t f h =的图像如右图所示，则容器的形状可以是A B C D10.若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.函数解析式为()12+=x x f ，值域为{}3,1的同族函数有A.1个B.2个C.3个D.4个二．填空题11.设全集R U =，集合{}2|<=x x A ，集合{}1|<=x x B ，则集合=A C U ____________集合()B A C U ⋃=____________.12.命题“1<∀x ，11>x”的否定是_____________.13.某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________.14.函数()()111>-+=x x x x f 的最小值是________，此时=x ________.15.能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若c b a >>，则c b a >+”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为____________.三．解答题16.已知0>a ，记关于x 的不等式()()01<+-x a x 的解集为P ，不等式11≤-x 的解集为Q .（1）若3=a ，求集合P ；（2）若P Q ⊆，求a 的取值范围.17.（本小题9分）已知定义在R 上的奇函数()21x m f x x +=+，m R ∈。
2020-2021学年北京四十四中高一(上)期中数学试卷-附答案详解
2020-2021学年北京四十四中高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共15小题，共60.0分）1.已知a=3，A={x|x≥√2}，则()A. a∈AB. a∉AC. {a}=AD. a∉{a}2.设集合A={0,2,4,6,8,10}，B={4,8}，则∁A B=()A. {4,8}B. {0,2,6}C. {0,2,6,10}D. {0,2,4,6,8,10}3.对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是()A. “ac>bc”是“a>b”的必要条件B. “ac=bc”是“a=b”的必要条件C. “ac>bc”是“a>b”的充分条件D. “ac=bc”是“a=b”的充分条件4.设命题p：∀x∈R，x2+1>0，则¬p为()A. ∃x0∈R，x02+1≤0B. ∃x0∈R，x02+1>0C. ∀x0∈R，x02+1<0D. ∀x0∈R，x02+1≤05.函数y=√1−x+√x的定义域为()A. {x|x≤1}B. {x|x≥0}C. {x|x≥1或x≤0}D. {x|0≤x≤1}6.设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A. a<b<√ab<a+b2B. a<√ab<a+b2<bC. a<√ab<b<a+b2D. √ab<a<a+b2<b7.不等式x2>2x的解集为()A. {x|x>2}B. {x|x<0}C. {x|0<x<2}D. {x|x<0，或x>2}8.若函数y=(x+1)(x−a)为偶函数，则a=()A. −2B. −1C. 1D. 29.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()A. B.C. D.10.若a>b>0，c<d<0，则一定有()A. ac >bdB. ac<bdC. ad>bcD. ad<bc11.函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x−2)≤1的x的取值范围是()A. B. C. [0,4] D. [1,3]12.函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是()A. b≥0B. b≤0C. b>0D. b<013.若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14.已知函数y=f(x)满足f(x+1)=2f(x)，且f(5)=3f(3)+4，则f(4)=()A. 16B. 8C. 4D. 215.设集合P={m|−1<m<0}，Q={m∈R|mx2+4mx−4<0，对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是()A. P⊊QB. Q⊊PC. P=QD. P∩Q=⌀二、单空题（本大题共10小题，共40.0分）16.若x>0，则x+2x的最小值为______ ．17.函数y=x2+1的一个单调递增区间为______．18.设x∈R，则不等式|x−3|<1的解集为．19.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表：x−3−2−101234y60−4−6−6−406则不等式ax2+bx+c>0的解集是________________________．20.定义集合运算：A∗B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2}，B={0,2}，则集合A∗B的所有元素之和为______ ．21.奇函数f(x)的定义域为(−5,5)，若x∈[0,5)时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为______．22.已知函数f(x)是定义在上的奇函数，当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，则f(2)=．23.f(x)=ax2+bx，(ab≠0)，若f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，则f(x1+x2)=______．24.已知函数f(x)是定义在R上的减函数，如果f(a)>f(x+1)在x∈[1,2]上恒成立，那么实数a的取值范围是______．25.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有______人．三、解答题（本大题共5小题，共58.0分）26.已知集合A={6,8,10,12}，B={1,6,8}，(1)求A∪B；(2)写出集合A∩B的所有子集．27.已知函数f(x)=x−x−1．(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(Ⅱ)证明函数f(x)在(0,+∞)上为增函数．28.设a∈R，函数f(x)=x2+ax+4．(1)解不等式f(x)+f(−x)<10x；(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值g(a)．29.对于函数f(x)，若f(x0)=x0，则称x0为f(x)的“不动点”；若f[f(x0)]=x0，则称x0为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B，即A={x|f(x)=x}，B={x|f[f(x)]=x}．(1)设函数f(x)=3x+4，求集合A和B；(2)求证：A⊆B；(3)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且A=⌀，求证：B=⌀．30.已知数集A={a1,a2,…,a n}(1≤a1<a2<⋯a n，n≥2)具有性质P；对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a i a j与a j两数中至少有一个属于A．a i(1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由；=a n；(2)证明：a1=1，且a1+a2+⋯+a na1−1+a2−1+⋯+a n−1(3)当n=5时，若a2=2，求集合A．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵a=3，A={x|x≥√2}，∴a∈A，{a}⊆A，故选：A．由元素与集合，集合与集合的关系判断即可．本题考查了元素与集合，集合与集合的关系应用，属于基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合的基本运算，主要考查了补集的运算，属于基础题．根据全集A求出B的补集即可．【解答】解：∵集合A={0,2,4,6,8,10}，B={4,8}，则∁A B={0,2,6,10}．故选C．3.【答案】B【解析】解：A、C当c<0时，“ac>bc”即不是“a>b”的必要条件也不是充分条件，故A，C不成立；B、∵当a=b时∴一定有ac=bc．但ac=bc时，且c=0时，a，b可以不相等．即“ac=bc”是“a=b”的必要条件．D、当c=0时，“ac=bc”是“a=b”的充分条件不成立；故选B．当a=b时，一定有ac=bc.但ac=bc时，且c=0时，a，b可以不相等．即“ac=bc”是“a =b ”的必要条件．注意必要条件、充分条件与充要条件的判断．4.【答案】A【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题得到命题p 的否定¬p ：∃x 0∈R ，x 02+1≤0，故选：A ．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5.【答案】D【解析】解：要使原函数有意义，则需{1−x ≥0x ≥0，解得0≤x ≤1，所以，原函数定义域为[0,1]． 故选：D ．保证两个根式都有意义的自变量x 的集合为函数的定义域．本题考查了函数定义域的求法，求解函数的定义域，是求使的构成函数解析式的各个部分都有意义的自变量x 的取值集合．6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查特值法比较式子的大小，属基础题． 举特值计算，排除选项可得 【解答】解：取a =1且b =4，计算可得√ab =2，a+b 2=52，选项A 、B 、D 均矛盾，B 符合题意， 故选：B ． ．7.【答案】D【解析】解：不等式x2>2x化为x(x−2)>0，解得x>2或x<0．∴不等式x2>2x的解集为{x|x>2或x<0}．故选：D．利用一元二次不等式的解法即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查偶函数的定义，对于函数的奇偶性问题要注意恰当的使用特殊值法.属于基础题．本小题主要考查函数的奇偶性的定义：f(x)的定义域为I，∀x∈I都有，f(−x)=f(x).根据定义列出方程，即可求解．【解答]解：f(1)=2(1−a)，f(−1)=0，∵f(x)是偶函数∴2(1−a)=0，∴a=1，故选C．9.【答案】A【解析】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选：A．由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S(路程)与自变量t(时间)之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式比较大小，特值法有效，倒数计算正确．利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=−3，d=−1，则ac =−1，bd=−1，∴A、B不正确；a d =−3，bc=−13，∴C不正确，D正确．解法二：∵c<d<0，∴−c>−d>0，∵a>b>0，∴−ac>−bd，∴−accd >−bdcd，∴ad <bc．故选：D．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于中档题．由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式−1≤f(x−2)≤1化为−1≤x−2≤1，即可解得答案．【解答】解：∵函数f(x)为奇函数，若f(1)=−1，则f(−1)=−f(1)=1，又∵函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，−1≤f(x−2)≤1，∴f(1)≤f(x−2)≤f(−1)，∴−1≤x−2≤1，解得：1≤x≤3，所以x的取值范围是[1,3]．故选D．12.【答案】A【解析】解：∵函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上为单调函数∴x=−b2≤0，即b≥0．故选：A．先用配方法将函数变形，求出其对称轴，因为函数是单调函数，所以对称轴要在区间的左侧求解．本题主要考查二次函数的单调性，研究时要注意两点：一是对称轴与区间的位置关系，二是开口方向．13.【答案】A【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件的判断和基本不等式，属于中档题．利用基本不等式，由a+b≤4结合基本不等式得ab≤4，当且仅当a=b时等号成立，可得充分性成立;通过取特殊值，得到必要性不成立，即可得出结论．【解答】解：因为a>0，b>0，所以a+b≥2√ab，当且仅当a=b时等号成立，由a+b≤4可得2√ab≤4，解得ab≤4，当且仅当a=b时等号成立，所以充分性成立;，满足ab≤4，但a+b>4，所以必要性不成立．当ab≤4时，取a=8，b=13所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．14.【答案】B【解析】解：因为函数y=f(x)满足f(x+1)=2f(x)，所以：f(4)=2f(3)且f(5)=2f(4)，又f(5)=3f(3)+4，f(4)+4；即2f(4)=3×12则f(4)=8；故选：B．根据关系式得到f(4)=2f(3)且f(5)=2f(4)，进而求得结论．本题考查了抽象函数的性质的应用，属于基础题目．15.【答案】A【解析】解：Q={m∈R|mx2+4mx−4<0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m=0时，−4<0恒成立；②m<0时，需△=(4m)2−4×m×(−4)<0，解得−1<m<0．综合①②知m≤0，∴Q={m∈R|−1<m≤0}．P={m|−1<m<0}，故选：A．首先化简集合Q，mx2+4mx−4<0对任意实数x恒成立，则分两种情况：①m=0时，易知结论是否成立②m<0时mx2+4mx−4=0无根，则由△=<0求得m的范围．本题通过集合关系来考查函数中的恒成立问题，容易忽略对m=0的讨论，应引起足够的重视．16.【答案】2√2【解析】解：∵x>0，∴x+2x ≥2√x⋅2x=2√2，当且仅当x=√2时取等号．∴x+2x的最小值为2√2．故答案为：2√2．利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．17.【答案】(0,+∞)【解析】解：由y=x2+1的对称轴为x=0，所以函数的增区间为(0,+∞)，故答案为：(0,+∞)．由二次函数解析式得函数的对称轴，从而求得增区间．本题考查二次函数的增区间，属于容易题．18.【答案】{x|2<x<4}【解析】【分析】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题．由含绝对值的性质得−1<x−3<1，由此能求出不等式|x−3|<1的解集．解：∵x∈R，不等式|x−3|<1，∴−1<x−3<1，解得：2<x<4．∴不等式|x−3|<1的解集为：{x|2<x<4}．故答案为：{x|2<x<4}．19.【答案】{x|x>3或x<−2}【解析】解：由表可设y=a(x+2)(x−3)，又∵x=0，y=−6，代入知a=1．∴y=(x+2)(x−3)∴ax2+bx+c=(x+2)(x−3)>0得x>3或x<−2．故答案为：{x|x>3或x<−2}由表可得二次函数的零点，可设其两根式，然后代入一点求得解析式，即可得到不等式ax2+bx+c>0的解集．本题为基础题，考查了一元二次不等式与二次函数的关系，在解题时注意题目要求不等式的解集．20.【答案】6【解析】解：∵A∗B={z|z=xy,x∈A,y∈B}．又A={1,2}，B={0,2}，∴A∗B={0,2,4}所以集合A∗B的所有元素之和为0+2+4=6故答案为：6利用题中定义A∗B，求出A∗B中包含的元素，求出集合A∗B的所有元素之和．本题考查理解题中的新定义；并利用新定义求集合．新定义题型是近几年高考常考的题型．21.【答案】(−2,0)∪(2,5)【分析】本题考查奇函数的概念，函数图象的对称性，由函数图象解不等式f(x)<0的方法．由奇函数的图象关于原点对称便可得出f(x)在(−5,0]上的图象，这样根据f(x)在(−5,5)上的图象便可得出f(x)<0的解集．【解答】解：根据奇函数的图象关于原点对称得出f(x)在(−5,0]上的图象如下所示：∴f(x)<0的解集为(−2,0)∪(2,5)．故答案为：(−2,0)∪(2,5)．22.【答案】12【解析】【分析】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，属于基础题．由已知当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，先求出f(−2)，进而根据奇函数的性质，可得答案．【解答】解：∵当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，∴f(−2)=−12，又∵函数f(x)是定义在上的奇函数，∴f(2)=−f(−2)=12，故答案为：12．23.【答案】0【解析】解：根据f(x1)=f(x2)知f(x)的对称轴x=−b2a =x1+x22；∴x1+x2=−ba；∴f(x1+x2)=f(−ba )=a⋅b2a2+b(−ba)=0．故答案为：0．根据条件知f(x)为二次函数，并且对称轴x=x1+x22，从而−b2a=x1+x22，这样即可求出x1+x2，带入f(x)便可得出答案．考查二次函数的一般形式，二次函数的对称轴，以及二次函数对称轴的求法，已知函数求值．24.【答案】a<2【解析】解：f(a)>f(x+1)在x∈[1,2]上恒成立，∵函数f(x)是定义在R上的减函数，∴a<x+1在x∈[1,2]上恒成立，∴a<2．故答案为a<2．根据函数的单调性可得a<x+1在x∈[1,2]上恒成立，只需求出x+1的最小值即可．本题考查了恒成立问题的转化和单调性的利用，属于常规题型，应熟练掌握．25.【答案】3【解析】解：用A，B，C分别表示优秀、合格和不合格，语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B的学生也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，则(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故学生最多有3个．故答案为：3．用A，B，C分别表示优秀、合格和不合格，根据题意，确定语文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，从而推出答案．本题考查了合情推理的理解与应用，解题的关键是找到题干中的关键词，培养了推理论证能力，属于基础题．26.【答案】解：(1)A∪B={6,8,10,12}∪{1,6,8}={1,6,8,10,12}；(2)因为A∩B={6,8}；所以集合A∩B的所有子集为⌀，{6}，{8}，{6,8}．【解析】(1)按照并集的运算法则直接解答；(2)根据交集的运算法则求出A∩B，并确定其子集．本题考查了交集，并集的基本运算，并能够写出集合的子集，属于基础题型．27.【答案】解：(I)f(x)=x−x−1的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=−x+x−1=−f(x)∴函数f(x)为奇函数(II)任取x1，x2∈(0,+∞)，不妨设x1<x2，则有f(x1)−f(x2)=x1−1x1−(x2−1x2)=(x1−x2)+(1x2−1x1)=(x1−x2)+(x1−x2x1x2)=(x1−x2)(1+1x1x2)=(x1−x2)(x1x2+1)x1x2∵x1，x2∈(0,+∞)且x1<x2∴x1−x2<0，x1x2+1>0，x1x2>0∴f(x1)−f(x2)<0即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数．【解析】(I)先求出函数的定义域，并且判断是否关于原点对称，再验证f(x)和f(−x)的关系，根据函数的奇偶性的定义进行判定即可；(II)利用函数单调性的定义进行证明，即取值−作差−变形−判断符号−下结论，从而得到单调性．本题主要考查了函数的奇偶性，单调性的证明，同时考查了计算能力，属于中档题．28.【答案】解：(1)f(x)+f(−x)<10x ，即2x 2+8<10x ，…(2分)化简整理得x 2−5x +4<0，解得1<x <4.…(4分) (2)函数f(x)=x 2+ax +4图象的对称轴方程是x =−a2．①当−a2≤1，即a ≥−2时，f(x)在区间[1,2]上单调递增，所以f(x)min =f(1)=a +5； …(6分)②当1<−a2<2，即−4<a <−2时，f(x)在区间[1, −a2]上单调递减，在[−a2, 2]上单调递增所以，f(x)min =f(−a2)=4−a 24； …(8分)③当−a2≥2，即a ≤−4时，f(x)在区间[1,2]上单调递减，所以f(x)min =f(2)=2a +8． 综上，g(a)={a +5,a ≥−24−a 24,−4<a <−22a +8,a ≤−4.…(10分)【解析】(1)将自变量代入函数关系式，建立一元二次不等式，解之即可；(2)函数的对称轴为x =−a2，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[1,2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值．函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论．29.【答案】解：(1)令f(x)=3x +4=x ，解得x =−2，故有A ={−2}由于f[f(x)]=3(3x +4)+4=9x +16， 令9x +16=x ，得x =−2，故有B ={−2} (2)若A =⌀，则A ⊆B 显然成立；若A ≠⌀， 设t ∈A ，则f(t)=t ，f(f(t))=f(t)=t ， ∴t ∈B ，故A ⊆B ．(3)若B ≠⌀.则f[f(x)]=x 有解， 故f(x)=x 有解，即A ≠⌀，这与A =⌀矛盾， 故B =⌀．【解析】(1)函数f(x)=3x +4，要求集合A 和B ，解出两个方程f(x)=x 与f[f(x)]=x 的根，此两方程的解集即为集合A 和B ；(2)分A =⌀和A ≠⌀的情况，然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明； (3)A =⌀，说明f(x)=x 无解，由“不动点”和“稳定点”的定义证明f[f(x)]=x 无解即可得出B =⌀．本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想30.【答案】解：(1)由于3×4，与34或43均不属于数集{1,3,4}，∴该数集不具有性质P ．由于1×2，1×3，1×6，2×3，62，63，11，22，33，都属于数集{1,2,3,6}， ∴该数集具有性质P ．(2)证明：∵A ={a 1,a 2,…,a n }具有性质P ， ∴a n a n 与a na n 中至少有一个属于A ， 由于1≤a 1<a 2<⋯<a n ，∴a n a n >a n 故a n a n ∉A ．从而1=ana n ∈A ，a 1=1．∵1=a 1<a 2<⋯a n ，n ≥2，∴a k a n >a n (k =2,3,4,…,n)， 故a k a n ∉A(k =2,3,4,…,n)．由A 具有性质P 可知ana k ∈A(k =2,3,4,…,n)．又∵a n a n <a n a n−1<⋯<a n a 2<a n a 1，a n a n =1，a n a n−1=a 2，…，ana 2=a n−1， 从而a n a n +a n a n−1+⋯+a n a 2+ana 1=a 1+a 2+⋯+a n ， ∴a 1+a 2+⋯+ana 1−1+a 2−1+⋯+a n−1=a n ； (3)由(2)知，当n =5时，有a 5a 4=a 2，a5a 3=a 3，即a 5=a 2⋅a 4=a 32，∵1=a 1<a 2<⋯<a 5，∴a 3a 4>a 2a 4=a 5，∴a 3a 4∉A ，由A 具有性质P 可知a4a 3∈A ． 由a 2⋅a 4=a 32，得a 3a 2=a4a 3∈A ， 且1<a 3a 2=a 2，∴a 3a 2=a4a 3=a 2，∴a 5a 4=a 4a 3=a 3a 2=a 2a 1=a 2 即a 1，a 2，a 3，a 4，a 5 是首项为1，公比为a 2等比数列， 即有集合A ={1,2,4,8,16}．【解析】(1)根据性质P ；对任意的i ，j(1≤i ≤j ≤n)，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，验证给的集合集{1,3,4}与{1,2,3,6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；(2)由性质P ，知a n a n >a n ，故a n a n ∉A ，从而1=a n a n ∈A ，a 1=1.再验证又由于an a n <a n a n−1<⋯<a n a 2<a na 1，a na n =1，a n a n−1=a 2，…，a n a 2=a n−1，从而a n a n +a n a n−1+⋯+a n a 2+an a 1=a 1+a 2+⋯+a n ，命题得证；(3)根据(2)，只要证明a 5a 4=a 4a 3=a 3a 2=a2a 1=a 2即可求得集合A ．本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．。
练习-北京四中高一数学上学期期中考试试卷
北京四中-高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1O如果A ＝{}1->x x ，那么正确的结论是A O0⊆A B O{0}∈A C O{0}⊂≠A D Oφ∈A2O函数f （x ）＝22-x，则f （21）＝ A O0 B O－2 C O22 D O－22 3O设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A O{1} B O{1，2} C O{2} D{0，1，2}4O与函数y ＝10)1lg(-x 的定义域相同的函数是A Oy ＝x －1 B Oy ＝1-x C Oy ＝11-x D Oy ＝1-x5O若函数f （x ）＝3x ＋3x-与g （x ）＝3x－3x-的定义域均为Ｒ，则AOf （x ）与g （x ）均为偶函数B Of （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C Of （x ）与g （x ）均为奇函数DOf （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6O设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，则A Oa<b<c B Ob<c<a C Oc<a<b D Oc<b<a7O设函数y ＝x 3与y ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是A O（0，1） B O（1，2） C O（2，3） D O（3，4）8O已知函数f （x ）是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，则f （x ）<0的解集是A O（－1，0） B O（0，1） C O（－1，1） D O()()∞+-∞-，，11 9O某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A O不亏不盈 B O盈利37O2元 C O盈利14元 D O亏损14元10O设函数f （x ）在()∞+∞-，上是减函数，则A Of （a ）>f （2a ）B Of （a 2）<f （a ）C Of （a 2＋a ）<f （a ）D Of （a 2＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11Olog 64＋ log 69－832＝____O12O已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （3）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－3）＝____O13O若函数f （x ）＝221x －2x ＋3在[0，m]有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是____O14O已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧>≤--)0()0(22x x x x x ，若函数g （x ）＝f （x ）－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是____O三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15O已知：函数f （x ）＝x -4＋lg （3x－9）的定义域为A ，集合B ＝{}Ｒa a x x ∈<-,0，（1）求：集合A ； （2）求：A B O16O已知：函数f （x ）＝x 2－bx ＋3，且f （0）＝f （4）O（1）求函数y ＝f （x ）的零点，写出满足条件f （x ）<0的x 的集合； （2）求函数y ＝f （x ）在区间[0，3]上的最大值和最小值O17O已知：函数f （x ）＝xax x ++22，x [)+∞∈,1，（1）当a ＝－1时，判断并证明函数的单调性并求f （x ）的最小值； （2）若对任意x [)+∞∈,1，f （x ）>0都成立，试求实数a 的取值范围O卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1O下列函数中，满足“对任意x 1，x 2()+∞∈,0，当x 1<x 2时，都有f （x 1）>f （x 2）”的是A Of （x ）＝（x －1）2B Of （x ）＝x1 C Of （x ）＝e xD Of （x ）＝ln x2O设二次函数f （x ）＝x 2＋2x ＋3， x 1，x 2∈ R ，x 1≠x 2，且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1＋x 2）＝A O1B O 2C O 3D O43O若函数f （x ）＝x ＋x 3， x 1，x 2∈ R ，且x 1＋x 2>0，则f （x 1）＋f （x 2）的值A O一定大于0 B O一定小于0 C O一定等于0 D O正负都有可能二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 4O函数y ＝22321x x -+⎪⎭⎫⎝⎛的定义域为____，值域为____O5O已知函数f （x ）＝ax 2＋（1－3a ）x ＋a 在区间[)+∞,1上递增，则实数a 的取值范围是____O6O若0<a<b<1，则在a b ，b a，log a b ，log b a 这四个数中最大的一个是____O三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分 7O已知：函数f （x ）＝a x （0<a<1），（Ⅰ）若f （x 0）＝2，求f （3x 0）；（Ⅱ）若f （2x 2－3x ＋1）≤f （x 2＋2x －5），求x 的取值范围O8O已知：集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体：在定义域内存在x 0，使得f （x 0＋1）＝f （x 0）＋f （1）成立O（1）函数f （x ）＝x1是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数f （x ）＝lg M x a∈+12，求实数a 的取值范围； （3）证明：函数f （x ）＝2x ＋x 2∈M O【试题答案】卷Ⅰ 1O C 2O A 3O D 4OC 5OB6OA7O B8O C9O D10OD11O－2 12O113O[2，4] 14O（0，1）15O解：（1）42334093042≤<⇒⎩⎨⎧>≤⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x ，定义域A ＝(]4,2； 4分 （2）B ＝{}Ｒa a x x ∈<-,0＝（－∞，a ） O 当a φ=≤B ，A 时2， 6分②当2<a a ）（B ，A ,24=≤ 时， 8分 ③当a>4时，(]42，B A = O10分 16O解：（1）由f （0）＝f （4），得b ＝4， 2分所以，f （x ）＝x 2－4x ＋3，函数的零点为1，3， 4分 依函数图象，所求集合为{}31<<x x O6分（2）由于函数f （x ）的对称轴为x ＝2，开口向上，所以，f （x ）的最小值为f （2）＝－1， 8分 f （x ）的最大值为f （0）＝3 10分17O解：（1）当a ＝－1时f （x ）＝21122+-=-+xx x x x ， 1分 对任意211x x <≤，212121212121221121)1)(()(2121)()(x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f +-=-+-=-+-+-=- 3分∵211x x <≤，∴,1,02121><-x x x x ∴,0121>+x x∴f （x 1）－f （x 2）<0，f （x 1）<f （x 2）所以f （x ）在[)+∞,1上单调递增 5分所以x ＝1时f （x ）取最小值，最小值为2 6分（2）若对任意x [)+∞∈,1，f （x ）>0恒成立，则xax x ++22>0对任意x [)+∞∈,1恒成立，所以x 2＋2x ＋a>0对任意x [)+∞∈,1恒成立，令g （x ）＝x 2＋2x ＋a ， x [)+∞∈,1因为g （x ）＝ x 2＋2x ＋a 在[)+∞,1上单调递增，所以x ＝1时g （x ）取最小值，最小值为3＋a ，∵ 3＋a>0，∴ a>－3O10分卷Ⅱ 1OB2O C3OA4O Ｒ，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,161； 5O[0，1] 6Olog b a7O解：（Ⅰ）f （3x 0）＝a3x ＝（ax ）3＝8； 4分（Ⅱ）因为0<a<1，所以f （x ）＝a x单调递减；所以2x 2－3x ＋1≥x 2＋2x －5，解得x≤2或x≥3； 10分 8O解：（Ⅰ）f （x ）＝x1的定义域为()()∞+∞-，，00 ， 令1111+=+xx ，整理得x 2＋x ＋1＝0，△＝－3<0， 因此，不存在x ∈()()∞+∞-，，00 使得f （x ＋1）＝f （x ）＋f （1）成立，所以f （x ）＝M x∉1； 3分 （Ⅱ）f （x ）＝lg12+x a 的定义域为Ｒ，f （1）＝lg 2a，a>0，若f （x ）＝ lg12+x a ∈M ，则存在x ∈Ｒ使得lg 1)1(2++x a＝lg 12+x a ＋lg 2a ， 整理得存在x ∈Ｒ使得（a 2－2a ）x 2＋2a 2x ＋（2a 2－2a ）＝0O（1）若a 2－2a ＝0即a ＝2时，方程化为8x ＋4＝0，解得x ＝－21，满足条件：（2）若a 2－2a ≠0即a ∈()()∞+，，220 时，令△≥0，解得a ∈[)(]532253+-，， ，综上，a ∈[3－5，3＋5]； 7分（Ⅲ）f （x ）＝2x＋x 2的定义域为Ｒ， 令２1+x ＋（x ＋1）2＝（2x ＋x 2）＋（2＋1），整理得2x＋2x －2＝0，令g （x ）＝2x＋2x －2，所以g （0）·g （1）＝－2<0， 即存在x 0∈（0，1）使得g （x ）＝2x＋2x －2＝0， 亦即存在x 0∈Ｒ使得21+x ＋（x ＋1）2＝（2x ＋x 2）＋（2＋1），故f （x ）＝2x ＋x 2∈M O10分。
北京四中2021届高三数学上学期期中考试试题 文 旧人教版
北京四中高三数学期中测试卷(文)试卷总分值共计150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分1．集合，，那么〔〕A．B．C．D．2．复数〔〕A．B．C．D．3．曲线在点处的切线方程为〔〕A．B．C．D．4．等比数列中，，前3项之和，那么数列的公比为〔〕A．1 B．C．1或D．或5．假设向量，，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．B．C．D．与垂直6．函数，下面结论错误的选项是〔〕A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数C．函数的图象关于直线对称D．函数是奇函数7．如果是定义在的增函数，且，那么一定是〔〕A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数8．设，假设，且，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分9．设点是线段的中点，点在直线外，假设，，那么__________。
10．函数的图象与函数的图象关于直线对称，那么__________。
11．函数的单调减区间是__________，极小值是___________。
12．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是___。
13．假设二次函数满足且，那么实数的取值范围是____。
14．假设、是等腰直角斜边上的三等分点，那么__________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分15．〔本小题总分值13分〕：函数〔其中〕的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为。
〔1〕求：的解析式；〔2〕当，求：函数的值域。
16．〔本小题总分值13分〕：假设是公差不为0的等差数列的前项和，且、、成等比数列。
〔1〕求：数列、、的公比；〔2〕假设，求：数列的通项公式。
17．〔本小题总分值13分〕：定义在R上的函数，其中a为常数。
〔1〕假设，求：的图象在点处的切线方程；〔2〕假设是函数的一个极值点，求：实数a的值；〔3〕假设函数在区间上是增函数，求：实数a的取值范围。
北京四中2021届高三第一学期期中考试数学试题及答案
北京四中2021届高三第一学期期中考试数学试卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知全集U =R ，集合{}12<=xx A ，{}20B x x =-<，则()UA B =A ． {|2}x x >B ． {}02x x ≤<C ． {|02}x x <≤D ． {|2}x x ≤2.下列命题中的假命题．．．是A. ,sin R x x ∃∈=B. ,ln R x x ∃∈=C. 2,0R ∀∈≥x xD. ,20R ∀∈>x x3.已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若a b -与b 共线，则实数m =A. 1-B. 1C. 2D. 5-4.已知()f x 是R 上的奇函数，当0>x 时,()12log =f x x ,则()0>f x 的解集是A ．()1,0-B ．()0,1C ．()(),10,1-∞-D ．()()1,00,1-5.将函数()sin(2)6π=-f x x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()=g xA ．sin(2)6x π+B ．2sin(2)3x π+C ．cos2xD ．cos2x -6.若,R ∈a b ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b aa b+≥ 7.已知三角形ABC ，那么“+>-AB AC AB AC ”是“三角形ABC 为锐角三角形”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8.声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2/W m ）满足12()10lg110-=⨯⨯x f x . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 A ．105倍B ．108倍C. 1010倍D ．1012倍9.函数2sin =-y x x ，,22∈⎡⎤-⎢⎥⎣ππ⎦x 的大致图象是10.已知函数1,0,()|ln |,0.⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ax x f x x x 给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0≠a ，则b ∃∈R ，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-. 其中，所有正确结论的个数是 A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.函数=y _________．12.已知2α∈⎛,ππ⎫⎪⎝⎭，且3sin 5α=. 则cos α=_________，tan 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________．13.已知非零向量a ，b 满足||=||-a a b ，则12a b -与b 的夹角等于_________．14.圆2220+-+=x y ax 与直线l 相切于点(3,1)A ，则圆的半径为_________，直线l 的方程为_________． 15.关于x 的方程()()g x t t =∈R 的实根个数记为()f t ．若()ln g x x =，则()f t =_________；若2,0,()2,0,≤⎧=⎨-++>⎩x x g x x ax a x ()a ∈R ，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16．（本小题满分14分）在ABC 中，=3a ，-=2b c ，cos =-12B ．（Ⅰ）求,b c 的值； （Ⅱ）求()sin -B C 的值．已知函数()()32,3-=-=x x g x x x f .（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,2上的最大值； （Ⅲ）求证：存在唯一的0x ，使得()()00x g x f =.18．（本小题满分14分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11=ω，22ω=；②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件， 求函数()f x 在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期.19．（本小题满分14分）已知：函数()sin cos =-f x x x x ． （Ⅰ）求()'πf ；（Ⅱ）求证：当(0,)2π∈x 时，31()3f x x <； （Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0,)2π∈x 恒成立，求实数k 的最大值．20．（本小题满分14分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(20)M -，的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点． （Ⅰ）若12⋅=-OP OQ ，求直线l 的方程； （Ⅱ）若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率．对于集合M ，定义函数1,,()1,.-∈⎧=⎨∉⎩M x M f x x M 对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A ，{1,2,4,8,16}B.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值； （Ⅲ）有多少个集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将答案填涂在答题卡上三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16.解：（Ⅰ）13,2,cos 2=-==-a b c B ，∴由余弦定理2222cos =+-b a c ac B ，∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5； （Ⅱ）在ABC 中，1cos 2=-B ，3sin 2∴=B ，由正弦定理有：sin sin =c bC B，∴53sin 14=C ，∵>b c ，∴>B C ，∴C 为锐角，∴11cos 14=C ，∴()sin -B C =sin cos cos sin -B C B C 7=． 17.解：（Ⅰ）由3()f x x x =-，得13)(2-='x x f , 所以(1)2f '=，又(1)0f =所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：()120-=-x y ， 即：022=--y x . （Ⅱ）令()0='x f ，得33±=x . ()f x 与()f x '在区间[0,2]的情况如下：因为()00,f =()26,f =所以函数)(x f 在区间[]2，0上的最大值为6. （Ⅲ）证明：设()()()x g x f x h -==333+-x x ，则()()1132+-=-='x x x x h 33)(，令()0h x '=，得1x =±.()h x 与()h x '随x 的变化情况如下：则()x h 的增区间为()1,-∞-，()+∞,1，减区间为()1,1-.又()110h =>，()()011>>h h -，所以函数)(x h 在()+∞,1-没有零点， 又()03<=-15-h ，所以函数)(x h 在()1,-∞-上有唯一零点0x .综上，在()+∞∞-,上存在唯一的0x ，使得)()(00x g x f =. 18.解：（Ⅰ）2(0)2cos 0sin 02f =+=.（Ⅱ）选择条件①.()f x 的一个周期为π.2()2cos sin 2f x x x =+(cos21)sin 2x x =++22)1x x =++2)14x π=++（.因为[,]26x ππ∈-,所以372+[,]4412x πππ∈-.所以1sin 2)14x π-≤+≤（.所以1()1f x ≤≤当2=42x ππ+-时，即3π=8x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值1选择条件②.()f x 的一个周期为2π.2()2cos sin f x x x =+22(1sin )sin x x =-+21172(sin )48x =--+.因为[,]26x ππ∈-,所以1sin [1,]2x ∈-.所以当sin =1x -时，即π=2x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值1-.19.解：()cos (cos sin )sin f x x x x x x x '=--=（Ⅰ）()0f 'π= （Ⅱ）令31()()3g x f x x =-，则2()sin (sin )g x x x x x x x '=-=-， 当(0)2x π∈，时，设()sin t x x x =-，则()cos 10t x x '=-< 所以()t x 在(0)2x π∈，单调递减，()sin (0)0t x x x t =-<= 即sin x x <，所以()0g x '<所以()g x 在(0)2π，上单调递减，所以()(0)0g x g <=， 所以31()3f x x <． （Ⅲ）原题等价于sin x kx >对(0)2x ∈，π恒成立，即sin x k x <对(0)2x π∈，恒成立， 令sin ()x h x x =，则22cos sin ()()x x x f x h x x x -'==-． 易知()sin 0f x x x '=>，即()f x 在(0)2π，单调递增， 所以()(0)0f x f >=，所以()0h x '<， 故()h x 在(0)2π，单调递减，所以2()2k h π≤=π． 综上所述，k 的最大值为2π．20.解：（Ⅰ）依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点(2,0)M -，可设直线l ：(2)y k x =+． 因为P Q 、两点在圆221x y +=上，所以1OP OQ ==， 因为12OP OQ ⋅=-，所以1cos 2OP OQ OP OQ POQ ⋅=⋅⋅∠=- 所以120POQ ︒∠=所以O 到直线l 的距离等于12． 12=， 得15k =±， 所以直线l 的方程为20x +=或20x +=．（Ⅱ）（解法一）因为OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，所以2MQ MP =， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，所以22(2,)MQ x y =+，11(2,)MP x y =+．所以212122(2)2x x y y +=+⎧⎨=⎩即21212(1)2x x y y =+⎧⎨=⎩ （*）；因为 P ，Q 两点在圆上，所以2211222211x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩把（*）代入，得2211221114(1)41x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，所以11788x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以直线l的斜率9MP k k ==±，即9k =±． （解法二）因为OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，所以2MQ MP =， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，所以22(2,)MQ x y =+，11(2,)MP x y =+． 所以2122(2)x x +=+，即1222x x -=- ①；联立22(2)1y k x x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y 得2222(1)4(41)0k x k x k +++-=． 由韦达定理知21224,1k x x k +=-+ ②2122411k x x k -⋅=+ ③由①②可知，212623(1)k x k +=-+，222623(1)k x k -=-+，带入③得42222364419(1)1k k k k --=++，所以k =．21.解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ，①若a C 且a X ，则(({}))()1Card C X a Card C X ∆=∆-；②若aC 且a X ，则(({}))()1Card C X a Card C X ∆=∆+.所以要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ∆+∆的值；集合X 不能含有A B 之外的元素.所以当X 为{1,6,10,16}的子集与{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4.…8分 （Ⅲ）因为{()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-， 所以A B B A ∆=∆.由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ∆=⋅.所以对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅.所以()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=. 所以()()A B C A B C ∆∆=∆∆.由()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知：()()P Q A B A B ∆∆∆=∆. 所以()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆. 所以P Q ∆∆∅=∅.∆=∅，即P Q.所以P Q⊆，因为,P Q A B=. 所以满足题意的集合对（P，Q）的个数为72128。
2021-2022学年北京四中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年北京四中高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A ＝{x ∈Z ||2x ﹣3|＜5}，B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣4，1} B ．{1，5} C ．{3，5} D ．{1，3}2．下列命题中的假命题是（ ） A ．∃x ＞0，x 2＞x 3 B ．∀x ∈R ，lnx ＞0C ．∃x ∈R ，sin x ＞﹣1D ．∀x ∈R ，2x ＞03．若tan α＞0，则（ ） A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin2α＞0 D ．cos2α＞04．为了得到函数y ＝e 2x +1的图像，只需把函数y ＝e 2x 的图像（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度5．若1a ＜1b＜0，则下列不等式中，正确的是（ ）A ．a ＜bB ．a 2＞b 2C ．a +b ＜abD ．a −1a ＜b −1b6．y ＝（sin x ﹣1）2﹣cos 2x 的（ ） A ．最大值为4，最小正周期为2π B ．最大值为4，最小正周期为π C ．最小值为0，最小正周期为2πD ．最小值为0，最小正周期为π7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +1）＝﹣f （x ），且在[﹣1，0]上单调递增，a ＝f （3），b ＝f （√2），c ＝f （2），则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞c ＞a D ．c ＞b ＞a8．已知平面向量a →，b →满足|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14，则|b →|＝（ ） A ．1 B ．2 C ．54D ．529．在△ABC 中，“cos A ＜cos B ”是“sin A ＞sin B ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．对于定义在R 上的函数y ＝f （x ），若存在非零实数x 0，使y ＝f （x ）在（﹣∞，x 0）和（x 0，+∞）上均有零点，则称x 0为y ＝f （x ）的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（ ） A ．f （x ）＝3|x ﹣1|+2B ．f(x)=lg(|x|+3)−12C ．f(x)=x 33−x −1D ．f(x)=x+1x 2+4二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．函数f(x)=log 3(x+2)x的定义域是 ．12．已知向量a →=（﹣4，5），b →=（6，m ），且（a →+b →）∥a →，则m ＝ ．13．已知α为第三象限角，且tan α＝3，则sin （α﹣π）＝ ；cos(α+π4)= ．14．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮船航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子的半径为3m ，他以1rad /s 的角速度逆时针旋转，轮子外边沿有一点P ，点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）．当t ＝0时，点P 在轮子的最高处．（1）当点P 第一次入水时，t ＝ ． （2）当t =134π时，H ＝ ．15．已知函数y＝f（x），任取t∈R，定义集合At＝{y|y＝f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤√2}．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）＝M t﹣m t，给出以下四个结论：①若函数f（x）＝x2，则h（0）＝1；②若函数f（x）＝x2，则h（t）的最大值为2√2；③若函数f(x)=sin π2x，则h（t）在（1，2）上单调递增；④若函数f(x)=sin π2x，则h（t）的最小正周期为2．其中所有正确结论的序号为．三、解答题（共6小题，共85分解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．）16．（14分）已知集合A＝{x|﹣x2+7x﹣10≥0}，B={x|12＜2x+1＜4a}．（1）若a＝2，求A∪B；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．17．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos B=√33．（1）求AC的长；（2）若_____，求△ABC的面积．从①∠BCA=π3，②BC=√6，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．18．（14分）已知函数f(x)=12x2−3x+4ln(x+2)．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）若方程f（x）＝k恰有三个不同的解，求实数k的取值范围．19．（14分）已知函数f(x)=(sinx +√3cosx)2−2cos2x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值是4，求m 的取值范围；（Ⅲ）令g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），如果曲线y ＝g （x ）与直线y ＝3相邻两个交点间的距离为π9，求ω的所有可能取值（直接写出结论）．20．（15分）设函数f（x）＝（x﹣1）e x+ax2，其中a∈R．（Ⅰ）若x＝1是函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＝0时，设函数g（x）＝lnx+x﹣e x+1，证明：f（x）﹣g（x）≥0．21．（14分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．2021-2022学年北京四中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A ＝{x ∈Z ||2x ﹣3|＜5}，B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣4，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3}解：∵集合A ＝{x ∈Z ||2x ﹣3|＜5}＝{x ∈Z |﹣1＜x ＜4}＝{0，1，2，3}， B ＝{﹣4，1，3，5}， ∴A ∩B ＝{1，3}． 故选：D ．2．下列命题中的假命题是（ ） A ．∃x ＞0，x 2＞x 3 B ．∀x ∈R ，lnx ＞0C ．∃x ∈R ，sin x ＞﹣1D ．∀x ∈R ，2x ＞0解：对于A ，当x =12时，（12）2＞（12）3，所以∃x ＞0，x 2＞x 3，故A 正确；对于B ，由y ＝lnx 的单调性可知，当x ＞1时，lnx ＞0，当0＜x ＜1时，lnx ＜0，当x ＝1时，lnx ＝0，故B 错误；对于C ，由y ＝sin x 的值域为[﹣1，1]可知C 正确； 对于D ，由y ＝2x 的值域为（0，+∞）可知D 正确； 故选：B ．3．若tan α＞0，则（ ） A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin2α＞0 D ．cos2α＞0解：∵tan α＞0， ∴sinαcosα＞0，则sin2α＝2sin αcos α＞0． 故选：C ．4．为了得到函数y ＝e 2x +1的图像，只需把函数y ＝e 2x 的图像（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度解：y ＝e2x +1=e2(x+12)，即只需把函数y ＝e 2x 的图像向左平移12个单位即可，故选：C ． 5．若1a ＜1b＜0，则下列不等式中，正确的是（ ）A ．a ＜bB ．a 2＞b 2C ．a +b ＜abD ．a −1a ＜b −1b解：∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，所以A 不正确；|b |＞|a |，所以a 2＜b 2，所以B 不正确； ∴a +b ＜0＜ab ，所以C 正确； ∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，−1b ＜−1a ，所以a −1a＞b −1b，所以D 不正确； 故选：C ．6．y ＝（sin x ﹣1）2﹣cos 2x 的（ ） A ．最大值为4，最小正周期为2πB ．最大值为4，最小正周期为πC ．最小值为0，最小正周期为2πD ．最小值为0，最小正周期为π解：y ＝（sin x ﹣1）2﹣cos 2x ＝sin 2x ﹣2sin x +1﹣cos 2x ＝2sin 2x ﹣2sin x ， 可得函数的最小正周期为2π，且y ＝2（sin x −12）2﹣2×14=2（sin x −12）2−12， 当sin x =12时，函数取到最小值−12，当sin x ＝﹣1时，函数由最大值2×（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝4， 故选：A ．7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +1）＝﹣f （x ），且在[﹣1，0]上单调递增，a ＝f （3），b ＝f （√2），c ＝f （2），则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a解：由条件f （x +1）＝﹣f （x ），可以得：f （x +2）＝f （（x +1）+1）＝﹣f （x +1）＝f （x ），所以f （x ）是个周期函数．周期为2． 又因为f （x ）是偶函数，所以图象在[0，1]上是减函数． a ＝f （3）＝f （1+2）＝f （1），b ＝f （√2）＝f （√2−2）＝f （2−√2）c ＝f （2）＝f （0） 0＜2−√2＜1 所以a ＜b ＜c 故选：D ．8．已知平面向量a →，b →满足|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14，则|b →|＝（ ） A ．1B ．2C ．54D ．52解：∵|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14， ∴a →2−4a →•b →+4b →2=9﹣4×3|b →|×14+4|b →|2=19， 解得：|b →|＝2或|b →|=−54（舍去）， 故选：B ．9．在△ABC 中，“cos A ＜cos B ”是“sin A ＞sin B ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：在△ABC 中，cos A ＜cos B ⇔A ＞B ⇔sin A ＞sin B ， 故“cos A ＜cos B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件， 故选：C ．10．对于定义在R 上的函数y ＝f （x ），若存在非零实数x 0，使y ＝f （x ）在（﹣∞，x 0）和（x 0，+∞）上均有零点，则称x 0为y ＝f （x ）的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（ ） A ．f （x ）＝3|x ﹣1|+2B ．f(x)=lg(|x|+3)−12C ．f(x)=x 33−x −1 D ．f(x)=x+1x 2+4解：对于A ，f （x ）＝3|x﹣1|+2≥30+2＝3，所以函数f （x ）没有零点，故A 错误；对于B ，当x ＞0时，f （x ）＝lg （x +3）−12，此时f （x ）为单调递增函数，当x =√10−3时，f （x ）＝0，即（0，+∞）时f （x ）有零点，因为f （x ）定义域为R ，f （﹣x ）＝f （x ），所以函数为偶函数，根据偶函数的对称性可知，在（﹣∞，0）上也有零点，故B 正确；对于C ，因为f （x ）=x 33−x ﹣1，f ′（x ）＝x 2﹣1，当﹣1＜x ＜1时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ＞1时，f （x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值f （﹣1）=−13， 在x ＝1处取得极小值f （1）=−53＜0， 其图象为，而f （3）＝5＞0，所以f （x ）在R 上有且只有一个零点，从而f （x ）没有“折点”故C 不符合题意； 对于D ，f （x ）=x+1x 2+4， 定义域为R ， f ′（x ）=−(x 2+2x+4)(x 2+4)2=−(x+1)2+3(x 2+4)2＜0，所以f （x ）在R 上单调递减，所以函数f （x ）至多有一个零点，不符合题意，故D 错误； 故选：B ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．函数f(x)=log 3(x+2)x的定义域是 （﹣2，0）∪（0，+∞） ． 解：由题意得：{x +2＞0x ≠0，解得：x ＞﹣2且x ≠0， 故函数的定义域是（﹣2，0）∪（0，+∞）， 故答案为：（﹣2，0）∪（0，+∞）．12．已知向量a →=（﹣4，5），b →=（6，m ），且（a →+b →）∥a →，则m ＝ −152 ． 解：根据题意，向量a →=（﹣4，5），b →=（6，m ），则a →+b →=（2，m +5）， 若（a →+b →）∥a →，则2m ＝6（m +5）， 解可得：m =−152，故答案为：−152． 13．已知α为第三象限角，且tan α＝3，则sin （α﹣π）＝ 3√1010 ；cos(α+π4)= √55．解：已知α为第三象限角，且tan α＝3， 所以sin α=10，cos α=10； 故sin （α﹣π）＝﹣sin α=3√1010，cos （α+π4）=cosαcos π4−sinαsin π4=−√1010×√22+3√1010×√22=4√520=√55．故答案为：3√1010；√55． 14．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮船航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子的半径为3m ，他以1rad /s 的角速度逆时针旋转，轮子外边沿有一点P ，点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）．当t ＝0时，点P 在轮子的最高处． （1）当点P 第一次入水时，t ＝ 2π3．（2）当t =134π时，H ＝ 4−3√22．解：（1）如图所示，当P 第一次入水时到达A 点，由几何关系知|OB |=32， 又圆的半径为3，故∠AOB =π3，此时轮子旋转的圆心角为：π−π3=2π3，故t =θω=2π31=2π3，（2）由题可知H （t ）＝4+3cos θ，θ＝ωt ，即H （t ）＝4+3cos t ， 当t =13π4时，H （13π4）＝4+3cos 13π4=4+3×cos 5π4=4﹣3×√22=4−3√22． 故答案为：2π3，4−3√22．15．已知函数y ＝f （x ），任取t ∈R ，定义集合At ＝{y |y ＝f （x ），点P （t ，f （t ）），Q （x ，f （x ））满足|PQ |≤√2}．设M t ，m t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记h （t ）＝M t ﹣m t ，给出以下四个结论： ①若函数f （x ）＝x 2，则h （0）＝1；②若函数f （x ）＝x 2，则h （t ）的最大值为2√2；③若函数f(x)=sin π2x ，则h （t ）在（1，2）上单调递增； ④若函数f(x)=sin π2x ，则h （t ）的最小正周期为2． 其中所有正确结论的序号为 ①②③④． ． 解：对于①，∵函数f （x ）＝x 2，当t ＝0时，P （0，0），Q （x ，x 2），且√(x −0)2+(x 2−0)2≤√2，即x 2+x 4≤2， 令x 2＝m ，即m 2+m ≤2，解得0≤m ≤1， ∴M t ＝1，m t ＝0，h （0）＝1﹣0＝1，故①正确，由题意可得，Q 的轨迹是以P 为圆心，√2为半径的圆及其内部．当点P 在曲线上运动，h （t ）的最大值与最小值的差一定小于等于圆的直径2√2，故②正确， 对于③和④，如图所示，若函数f （x ）=sin π2x ，此时函数的最小正周期为2ππ2=4，点P （t ，sinπt 2），Q （x ，sinπx 2），当P 在A 点时，点O 在曲线OAB 上，M t ＝1，m t ＝0，h （t ）＝M t ﹣m t ＝1，当点P 在曲线从A 接近B 时，h （t ）逐渐增大，当点P 在B 点时，M t ＝1，m t ＝﹣1，h （t ）＝M t ﹣m t ＝2，当点P 在曲线从B 接近C 时，h （t ）逐渐减小，当点P 在C 点时，M t ＝1，m t ＝0，h （t ）＝M t ﹣m t ＝1，当点P 在曲线从C 接近D 时，h （t ）逐渐增大，当点P 在D 点时，M t ＝1，m t ＝﹣1，h （t ）＝M t ﹣m t ＝2，当点P 在曲线从D 接近E 时，h （t ）逐渐减小，当点P 在E 点时，M t ＝1，m t ＝0，h （t ）＝M t ﹣m t ＝1，依次类推，发现h （t ）的最小正周期为2，同时h （t ）在（1，2）上单调递增． 故答案为：①②③④．三、解答题（共6小题，共85分解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16．（14分）已知集合A ＝{x |﹣x 2+7x ﹣10≥0}，B ={x|12＜2x+1＜4a }． （1）若a ＝2，求A ∪B ；（2）若A ∩B ≠∅，求a 的取值范围．解：（1）A ＝{x |﹣x 2+7x ﹣10≥0}＝{x |2≤x ≤5}，a ＝2时，B ={x|12＜2x+1＜4a }={x |2﹣1＜2x +1＜24}＝{x |﹣1＜x +1＜4}＝{x |﹣2＜x ＜3}，故A ∪B ＝{x |﹣2＜x ≤5}；（2）B ={x|12＜2x+1＜4a }={x |2﹣1＜2x +1＜22a }＝{x |﹣1＜x +1＜2a }＝{x |﹣2＜x ＜2a ﹣1}，若A ∩B ≠∅，则2a ﹣1＞2，解得：a ＞32， 故a 的取值范围是（32，+∞）．17．（14分）如图，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B =√33． （1）求AC 的长；（2）若_____，求△ABC 的面积．从①∠BCA =π3，②BC =√6，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解：（1）∵∠D ＝2∠B ，cos B =√33， ∴cos D ＝cos2B ＝2cos 2B ﹣1=−13， 在三角形ADC 中，AD ＝1，CD ＝3，∴AC =√AD 2+DC 2−2AD ×DC ×cosD =√1+9−2×1×3×(−13)=2√3； （2）选①：∠BCA =π3，由（1）知AC ＝2√3， 由cos B =√33，可得sin B =√63，所以sin ∠BAC ＝sin （B +∠BCA ）＝sin B cos ∠BCA +sin ∠BCA cos B =3+√66，在△ABC 中，由正弦定理，得ACsinB=ABsin∠BCA，则AB =3√62，所以S △ABC =12AB •AC •sin ∠BAC =12×3√62×2√3×3+√66=9√2+6√34． 选②：BC =√6，由（1）知AC ＝2√3，由cos B =√33，得sin B =√63，在△ABC 中，由余弦定理，得cos B =BC 2+AB 2−AC22BC⋅AB ，即√33=22√6AB，解得AB ＝3√2， 所以S △ABC =12AB •BC •sin ∠B =12×3√2×√6×√63=3√2． 18．（14分）已知函数f(x)=12x 2−3x +4ln(x +2)． （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线方程；（Ⅱ）若方程f （x ）＝k 恰有三个不同的解，求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）f ′（x ）＝x ﹣3+4x+2⇒f ′（0）＝﹣1， 又f （0）＝4ln 2，所以y ＝f （x ）在x ＝0处的切线方程为：y ﹣4ln 2＝﹣x ，即x +y ﹣4ln 2＝0；（Ⅱ）方程f （x ）＝k 恰有三个不同的解⇔直线y ＝k 与曲线f(x)=12x 2−3x +4ln(x +2)（x ＞﹣2）有三个不同的交点，因为f ′（x ）＝x ﹣3+4x+2=(x+1)(x−2)x+2（x ＞﹣2）， 所以①当﹣2＜x ＜﹣1或x ＞2时，f '（x ）＞0， ②当﹣1＜x ＜2时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在（﹣2，﹣1），（2，+∞）上为增函数，在（﹣1，2）上为减函数，所以当x ＝﹣1时，f （x ）取得极大值f （﹣1）=72，当x ＝2时，f （x ）取得极小值f （2）＝4ln 4﹣4； 又当x →（﹣2）+时，f （x ）→﹣∞；x →+∞时，f （x ）→+∞， 所以若f （x ）＝k 恰有三个不同的解， 则4ln 4﹣4＝8ln 2﹣4＜k ＜72，所以实数k 的取值范围为（8ln 2﹣4，72）．19．（14分）已知函数f(x)=(sinx +√3cosx)2−2cos2x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值是4，求m 的取值范围；（Ⅲ）令g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），如果曲线y ＝g （x ）与直线y ＝3相邻两个交点间的距离为π9，求ω的所有可能取值（直接写出结论）．解：（Ⅰ）因为f(x)=(sinx +√3cosx)2−2cos2x ＝sin 2x +3cos 2x +2√3sin x cos x ﹣2cos2x =1−cos2x2+3•1+cos2x 2+√3sin2x ﹣2cos2x=√3sin2x ﹣cos2x +2 ＝2sin （2x −π6）+2，令−π2+2k π≤2x −π6≤π2+2k π，k ∈Z ， 可得：−π6+k π≤x ≤π3+k π，k ∈Z ，所以f （x ）的单调递增区间为[−π6+k π，π3+k π]，k ∈Z ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）＝2sin （2x −π6）+2， 若f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值是4， 则y ＝sin （2x −π6）在[0，m ]（m ＞0）上的最大值是1， 由0≤x ≤m ，可得−π6≤2x −π6≤2m −π6， 所以2m −π6≥π2，可得：m ≥π3， 所以m 的取值范围为[π3，+∞）．（Ⅲ）令g （x ）＝f （ωx ）＝2in （2ωx −π6）+2＝3，可得sin （2ωx −π6）=12， 所以2ωx −π6=π6+2k π，（k ∈Z ），或2ωx −π6=5π6+2k π，（k ∈Z ）， 可得x =π6ω+kπω，k ∈Z ，或x =π2ω+kπω，k ∈Z ，因为曲线y ＝g （x ）与直线y ＝3相邻两个交点间的距离为π9，所以π2ω+kπω−（π6ω+kπω）=π9，可得ω＝3，或π6ω+(k+1)πω−（π2ω+kπω）=π9，可得ω＝6，所以ω的所有可能取值为3或6．20．（15分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）e x +ax 2，其中a ∈R ． （Ⅰ）若x ＝1是函数f （x ）的极值点，求a 的值；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＝0时，设函数g（x）＝lnx+x﹣e x+1，证明：f（x）﹣g（x）≥0．解：（Ⅰ）f′（x）＝e x+（x﹣1）e x+2ax＝xe x+2ax，因为x＝1是函数f（x）的极值点，所以f′（1）＝0，即e+2a＝0，所以a=−e2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）＝xe x+2ax＝x（e x+2a），a＜0，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝ln（﹣2a），当−12＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得x＜ln（﹣2a）或x＞0，令f'（x）＜0，解得ln（﹣2a）＜x＜0，当a=−12时，f'（x）≥0恒成立，当a＜−12时，f'（x）＞0，解得x＞ln（﹣2a）或x＜0，令f'（x）＜0，解得0＜x＜ln（﹣2a），综上所述，当−12＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））和（0，+∞）单调递增，f（x）在（ln（﹣2a），0）上单调递减，当a=−12时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a＜−12时，f（x）在（﹣∞，0）和（ln（﹣2a），+∞）单调递增，在（0，ln（﹣2a））上单调递减．（Ⅲ）证明：当a＝0时，f（x）﹣g（x）＝（x﹣1）e x+e x﹣lnx﹣x﹣1，设h（x）＝xe x﹣lnx﹣x﹣1，定义域为（0，+∞），则证明h（x）＞0即可，因为h′（x）＝（x+1）e x−x+1 x，所以h′（0.1）＜0，h′（1）＞0，又因为h″（x）＝（x+2）e x+1x2＞0，所以函数h′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以h′（x）＝0有唯一的实根x0∈（0，1），且e x0=1x，当0＜x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以函数h（x）的最小值h（x0）所以h（x）≥h（x0）＝x0e x0−lnx0﹣x0﹣1＝1+x0﹣x0﹣1＝0，所以f（x）﹣g（x）≥0．21．（14分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．解：（1）由题可知，数列A n必满足：a1＝l，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1，对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t．i，j，s，t∈{1.2...…．n}且两两不相等，对①，a1+a2＝2，不满足a i+a j＝a s+a t，故①不符合；对②，当a i+a j＝2时，存在a s+a t＝2，同理当a i+a j＝4时，存在a s+a t＝4，当a i+a j＝3时，存在a s+a t＝3，故②符合；同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③；（2）证明：当m＝3时，设数列A n中1，2，3出现的频次为q1，q2，q3，由题意知，q i≥1，假设q1＜4时，a1+a2＜a s+a t（对任意s＞t＞2），与已知矛盾，故q1≥4，同理可证q3≥4，假设q2＝1，数列A n可表示为：1，l，l，1，2，3，3，3，3，显然，a4+a5≠a s+a t，故q2≥2，经验证q2＝2时，显然符合a i+a j＝a s+a t，所以q1≥4，q2≥2，q3≥4，数列A的最短数列可表示为：1，1，1，1，2，2，3，3，3，3，故S＝4+4+12＝20；解：（3）由（2）知，数列A n首尾应该满足B n：1，1，1，1，2，2，3，•，998，999，999，1000，1000，1000，1000，假设中间3.4.5，•，998各出现一次，此时n＝1008，显然满足a k+1﹣a k＝0或l，对a i＝a j＝1或a i＝a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q1000＝4）；对a i＝1，a j＝2或a i＝999，a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q2＝2，q999＝2，q1000＝4）；对a i＝1，a j＞2时，则可选取a s＝2，a k＝a j﹣1，满足a i+a j＝a s+a t，同理若a i＝1000，a j＜999，则可选取a s＝999，a i＝a j+1，满足a i+a j＝a s+a t；如果1＜a i≤a j＜1000，则可取a d＝a i﹣1，a t＝a j+1，这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2..…．n}且两两不相等，故n的最小值为1008．。
2020-2021北京市北京四中高一数学上期中模拟试题(带答案)
2020-2021北京市北京四中高一数学上期中模拟试题(带答案)一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数()log a x xf x x =（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤5．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 6．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð7．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,332 8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞9．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（）A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．()1,3 D ．()2,311．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b 12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．a b c << D ．b c a <<二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.14．给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =；（2）函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥； （4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.15．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___ 18．设，则________19．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______. 20．已知函数(12)(1)()4(1)xa x f x a x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________三、解答题 21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足426P a =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 23．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.24．已知函数()1ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x t y -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）：（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大.26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43x f x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．A解析：A【解析】【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定.【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D又因为2x = 时()0f x >，排除B故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．D解析：D【解析】【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值.要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增， 所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.5．B解析：B【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算6．C解析：C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S).故选C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．B解析：B【解析】【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【详解】因为()a f x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.8．D解析：D【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.9．D解析：D【解析】【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减， 因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--，故选D.本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 11．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 12．B解析：B【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数，∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确 解析：（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确.【详解】解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确.故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.15．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2【解析】【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））.【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000,当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．19．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值.【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.20．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.三、解答题21．（1）()1364f x x =-+，30130x ≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元 【解析】 【分析】() 1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；()()12364f x x =-+，30130x ≤≤，令t =，则t ∈，转化为求函数2,6143y t t ∈=-++最值，即可得出结论．【详解】()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，所以()()11616023644f x x x =+-+=-+， 依题意得3016030x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得30130x ≤≤，故()1364f x x =-+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元，所以总收益()136664f x x =-+=． ()()12364f x x =-+，30130x ≤≤令t =t ∈．2,6143y t t ∈=-++当t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元， 故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时， 总收益最大，且最大收益为68万元． 【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型. 23．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <． 【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<，∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <. 考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题． 24．（1）[1,0]- ;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-， 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0-（2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．（1）()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）4x = 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】（1）当06x ≤<时，由题意，设()2f x ax bx c =++（0a ≠），由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪⎪=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以，当06x ≤<时，()2124f x x x =-+， 当6x ≥时，()13x tf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由表格数据可得()911939tf -⎛⎫==⎪⎝⎭， 解得7t =，所以当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当06x ≤<时，()()221124444f x x x x =-+=--+， 可知4x =时，()()max 44f x f ==，当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单凋递减，可知6x =时，()()67max1633f x f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象 26．（1）1.70/min km ；（2）466；（3）9 【解析】试题分析：（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出1x 、2x ，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得129x x =． 试题解析：（1）将02x =，8100x =代入函数式可得：31log 81lg 22lg 220.30 1.702v =-=-=-= 故此时候鸟飞行速度为1.70/min km ． （2）将05x =，0v =代入函数式可得：310log lg 52100x =-即3log 2lg52(1lg 2)20.70 1.40100x ==⋅-=⨯= 1.43 4.66100x∴==于是466x =． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，依题意可得：13023012.5log lg 2100{11.5log lg 2100x x x x =-=-两式相减可得：13211log 2x x =，于是129x x =． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．考点：1．函数代入求值；2．解方程；3．对数运算．。
北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数 学试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知集合，，则集合A. B. C. D.2. 函数的定义域是A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4. 如果，那么下列不等式中正确的是A ． BC ． D．5. 下列函数中，在区间上为减函数的是A ． B. C. D. 6. 函数的图像关于A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y轴对称 D ．点对称 7. 已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数在区间内的零点个数是A ．0 B ．1 C ．2 D ．39. 下列函数中，满足的是A ． B ． C ． D ．10. 两个不同的函数，满足，，则可能的情况是0a b >>0c >a b a c b c >++{0,1,2,3}A ={1,3,5,7}B =A B ={1,2,3}{3}{1,3}{0,1,2,3,5,7}()f x =[2,1]-(,2][1,)-∞-+∞ (,2)(1,)-∞-+∞ [2,)-+∞R x ∀∈3210x x -+≤R x ∃∉3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+≥R x ∀∈3210x x -+>0b a >>2ab b -<<22a b <11a b <()0,+∞22y x x =-y =31x y x +=+21y x =+()|1||1|f x x x =+--(1,0)31()2f x x x=--(0,)+∞(2)2()f x f x =2()(2)f x x =+()1f x x =+4()f x x=()f x x x =-()f x ()g x R x ∀∈()()0f x g x ⋅>A ．是一次函数，是二次函数B ．在上递增，在上递减C ．，都是奇函数D ．是奇函数，是偶函数二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若，则实数x 的值为 .12. 不等式的解集为，则 ， .13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．14. 函数，则的减区间为 ，的值域是 .15. 已知函数.①当时，在定义域内单调递减；②当时，一定有；③若存在实数，使得函数没有零点，则一定有；④若存在实数，使得函数恰有三个零点，则一定有；以上结论中，所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共3小题，共35分16. （12分）设集合，，. （I ）求；（II ）求；（III ）若，求实数k 的取值范围.17. （11分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0 ~ 24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如下图所示）：（I ）求的值；（II ）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工.请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：()f x ()g x ()f x R ()g x R ()f x ()g x ()f x ()g x {21,3,5}x x ∈-210ax bx +-≥1(,1][,)4-∞-+∞U a =b =()f x R 0x >2()3f x x x =-((1))f f =231, 02()2, 20x x f x x x x +≤≤⎧=⎨+-≤<⎩()f x ()f x 2()(,4)2R x a f x a a x +=∈≠--1a =()f x 4a <-(3)(4)(1)f f f <<k ()y f x x k =-+4a <-k 2()1y f x kx =-+4a >-{||1|2}A x x =->4{|0}23x B x x +=≤-{|2121}C x k x k =-<<+()U A B ðA B C A B ⊆ 2118,08264,824at t y t t b t +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩y t ,a b①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？18. （12分）已知函数.（I ）判断在上的单调性，并用定义证明；（II ）若是偶函数，求的值.卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1. 已知集合，，，则A ．B ．C ．D ．2. 当时，恒成立，则的最大值为 A ．6 B ．10 C ．12 D ．133. 设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为A ．14 B ．15 C ．16 D ．18二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4. ________.5. 若二次函数的图像关于对称，且，则实数的取值范围是 .6. 设函数. 当时，的最小值是________；若是的最小值，则a 的取值范围是________.三、解答题：本大题共2小题，共20分 7. （10分）已知函数.（I ）求方程组的解集；（II ）在答题纸的坐标系中，画出函数的图像；（III ）若在上具有单调性，求实数a 的取值范围.1()(2)f x x x =-)(x f (1,2)()()g x f x a =+a {1,1}A =-{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈{|,,}C z z x y x A y A ==-∈∈B C =B CÞB C =∅I B C A =U 2x >142x a x +≥-a A M m A A X M m =-01A 2A 3A n A *N 123120nA A A A X X X X ++++= n 13213410.125()25627--+---=()f x 2x =()()()01f a f f <<a 2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩12a =()f x (0)f ()f x ()(2)1f x x x =-+()20y f x x y =⎧⎨-=⎩()f x ()f x (,1)a a +8. （10分）如果正整数集的子集满足：①；②，，使得，则称为集.（I ）分别判断与是否为集（直接写出结论）；（II ）当时，对于集，设，求证：；（III ）当时，若，求集中所有元素的和的最小值.{}*12,,,(,2)N n A a a a n n =∈≥ 121n a a a =<<< ()2k a A k n ∀∈≤≤(),1i j a a A i j n ∃∈≤≤≤k i j a a a =+A ψ{}1,3,5A ={}1,2,3,6B =ψ5n =ψ{}12345,,,,A a a a a a =15S a a =++ 521a S +≤7n ≥36n a =ψA参考答案I 卷一、单项选择题（每题4分，共40分）题号12345678910答案C B B D C A A B DB 二、填空题（每题5分，共25分）11. 1或5 12. 4，3 13. 214. ， 15. ②③注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分.三、解答题（共35分）16. 由题意，，，(I) ；(II) ；(III) 显然，，解得，因此的取值范围是.17. (I) ，解得(II) ①是. .②时，，解得；时，，解得；,所以可以连续施工的最长时间为12小时.18. (I)在上单调递减.124⎛⎫-- ⎪⎝⎭，178⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()13A =-∞-+∞ ，，A R ð[]1,3=34,2B ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭31,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭R ð()3,3,2A B ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭ 2121,k k C -<+≠∅3212132k k +≤-≥或124k k ≤≥或k [)124⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，，8118206264648206a b +=⎧⎨⨯-⨯+=⎩11590a b =⎧⎨=⎩711118195150⨯+=>08t ≤≤11118150t +≤32011t ≤≤824t ≤≤2264590150t t -+≤1022t ≤≤3222101211-=>)(x f ()1,2定义域为，任取且，所以在上单调递减.(II)，是偶函数，则定义域关于原点对称，，则，此时，定义域，，符合题意，所以.II 卷一、单项选择题（每题5分，共15分）1. A2. C3. C二、填空题（每题5分，共15分）4. 5. 6. ，注：6题第一空3分，第二空2分.三、解答题（共20分）7. ，(I) ，()()()00,22-∞+∞ ，，()12,1,2x x ∈12x x <()()()()1211221122f x f x x x x x -=---()()()22221112122222x x x x x x x x ---=--()()()()211212122220x x x x x x x x -+-=-->)(x f ()1,2()()1(2)g x x a x a =++-()g x ()(2)0a a -+-=1a =()()11(1)g x x x =+-()()()11,11-∞--+∞ ，，()()()()111(1)1(1)g x g x x x x x -===-+--+-1a =15-()(),04,-∞+∞ 14⎡⎣()()()()()21,121,1x x x f x x x x -+≥-⎧⎪=⎨---<-⎪⎩()2()0202y f x xf x x y y x =-=⎧⎧⇔⎨⎨-==⎩⎩当，，，解得或；当， ，即，解得或（舍）；综上，方程组的解集是.(II)（作图过程略）(III) 在递增，在递减，所以或或，因此实数a 的取值范围是.8. (I) 注意到：，因此数集不是集.注意到：，因此数集是集.(II) 由于集合是集，即对任意的，存在，使得成立。
北京市2020-2021高一上学期期中考试数学试题(含答案)
北京市高一上学期期中考试数学试题含答案考试范围：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX题号----- --- 总分得分第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2,请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1.设集合/= {见。
2,0}, B = {2,4},若4nB = {2},则实数a的值为( □A. 2B. ±2C. A/2D. ±A/22.计算log2V访的结果是O3 「「4 c _3A 4DA. §B・％ C. 一5 D. *3.下列函数中，是偶函数的是(□A. /(%) = -B. /(%) = IgxC. /(%) = e x - e^xD. /(%) = |x| X4.函数/•(%)=婕+% — 4的零点所在的区间是()A. (0Z1)B. (1 匚 2)C. (213)D. (3 二 4)5.已知f(x + l) =疝，则函数f(x)的大致图像是( 口6. g 6rZlog25nbZlog35Dc01og32,则。
二的大小关系为()A. aucZbB. aJbZcC. b% 二 cD. c二。
二b7.已知XC[1,2]二/—恒成立，则实数。
的取值范围是()A. [1^ + 00)B. (1,+8)C. (—8,1]D. (—8,1)8.设函数f(x) = 1 + [划一％,其中国表示不超过x的最大整数，若函数y = loga”的图象与函数/• (%)的图象恰有3个交点，则实数a的取值范闱是()A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4) O O ••■■••••■■••••■■••••■■••然••■■••••■■••••■■••••■■••O O••■•■••■•■••■■•■■••■•■•O•■••■••■••■•摒•■••■••■••■•O•■••■••■••■•O•■••■••■••■••■••■••■••■•O•■••■••■••■••■••■••■••■•O•■•■••■••■••■•O•■第n卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题9.计算：e lnl Z10.已知集合/= {x|x > 1}, B = {x\x > d］,若A之B,则实数a的取值范围是.11.函数/1 (x) = log a(a - a x) (0 < a < 1)的定义域为.12.己知/(')匚，则/丁(—切= ______________________________ ；若/(、)= —1,则I一X十1, X > 1X =二13.已知函数f(x) = a/ —2% —2在区间［1,+8)上不单调，则实数。
2023-2024学年北京四中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京四中高一（上）期中数学试卷一、选择题。
（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x≥1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1≤x＜2}2．已知下列表格表示的是函数y＝f（x），则f（﹣1）+f（2）的值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．13．函数f(x)=13x3−2x−2一定存在零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．函数f(x)=√3x+61−x的定义域为（）A．[﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）5．关于x，y的方程组{x 2+y2−1=0y−x−m=0有唯一的一组解，则实数m的值是（）A．√2B．−√2C．±√2D．16．已知a，b为非零实数，则“a＞b”是“1a ＜1b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）为奇函数，其局部图象如图所示，那么（）A．f（2）＝2B．f（2）＝﹣2C．f（2）＞﹣2D．f（2）＜﹣28．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（）A．80B．70C．60D．509．已知函数f（x）={x2+4x+3，x≤0−2x2+4x−1，x＞0，若关于x的方程f（x）﹣a＝0有两个不同的实数根，那么实数a的取值范围是（）A．（1，3]∪{﹣1}B．（1，3）∪{﹣1}C．（1，3）D．（1，3]10．已知函数f(x)=√x+1+k，若存在区间[a，b]，使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a+1，b+1]，则实数k的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0]C．[−14，+∞)D．(−14，0]二、填空题。
2021-2022学年北京市西城区高一年级上册学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年北京市海淀区高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合，则（ ）{}{}1,2,3,12,A B x x x Z ==-<<∈A B ⋃=A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}【答案】C【分析】首先用列举法表示集合，再根据并集的定义计算可得；B 【详解】解：因为，，所以{}{}12,0,1B x x x Z =-<<∈={}1,2,3A ={}0,1,2,3A B ⋃=故选：C2．命题“”的否定是（）∀2R,0x x x ∈+≥ A ．B ．∀2R,0x x x ∈+< ∀2R,0x x x ∈+≤ C ．D ．∃2000R,0x x x ∈+≥ ∃2000R,0x x x ∈+< 【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以命题“”的否定是，∀2R,0x x x ∈+≥ ∃2000R,0x x x ∈+< 故选：D3．在下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）(0,)+∞ A ．B ．()3f x =()23f x x x =-C ．D ．()221x f x x -=+()f x x=-【答案】C【分析】根据函数的单调性确定正确答案.【详解】A 选项，是常数函数，不符合题意.()3f x =B 选项，的开口向上，对称轴为，()23f x x x=-32x =所以在上递减，不符合题意.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C 选项，，在上为增函数，符合题意.()()2142242111x x f x x x x +--===-+++(0,)+∞ D 选项，当时，，在上递减，不符合题意.0x >()f x x x=-=-(0,)+∞ 故选：C4．若函数()，则函数在其定义域上是3()f x x =x R ∈()y f x =-A ．单调递减的偶函数B ．单调递减的奇函数C ．单调递增的偶函数D ．单调递增的奇函数【答案】B【详解】本题考查函数的奇偶性和单调性.,定义域为因为记则33()()f x x x -=-=-;R 3()(),g x f x x =-=-，所以函数是奇函数；设33()()()g x x x g x -=--==-33()()f x x x -=-=-1212,,;x R x R x x ∈∈<333322131221212121()()()()()g x g x x x x x x x x x x x -=---=-=-++，又所以则函数22112123()[(+)]24x x x x x =-+1221,0,x x x x ∴- 221123(+)024x x x +>12()(),g x g x >在定义域R 上是减函数.故选B 33()()f x x x -=-=-5．下列命题中，正确的是（ ）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若ac ＞bc ，则a ＞bC ．若，则a ＜bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d22a bc c ＜【答案】C【分析】通过举反例判断选项A,D ，利用不等式的性质判断选项B,C 的真假.【详解】解：令a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣1，d ＝﹣5，显然A 、D 不成立，对于B ：若c ＜0，显然不成立，对于C ：由c 2＞0，得a ＜b ，故C 正确，故选：C ．6．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）250ax x b -+>{}32x x -<<-250bx x a -+>A ．B ．或1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭1|2x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>-⎬⎭C ．D ．或{}32x x -<<{|3x x <-}2x >【答案】A【分析】根据不等式的解集求得，进而求得正确答案.,a b 【详解】由于不等式的解集为，250ax x b -+>{}32x x -<<-所以，解得，()()053232a a ba ⎧⎪<⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-⨯-⎪⎩1,6a b =-=-所以不等式，即，250bx x a -+>226510,6510x x x x --->++<，解得，()()31210x x ++<1123x -<<-所以不等式的解集为.250bx x a -+>1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭故选：A7．若，则“”是 “”的0,0a b >>4a b +≤4ab ≤A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能,a b 力的考查.【详解】当时，，则当时，有，解得，充分0, 0a >b >a b +≥4a b +≤4a b ≤+≤4ab ≤性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“=1, =4a b 4ab ≤=5>4a+b 4a b +≤”的充分不必要条件.4ab ≤【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.,a b 8．某人从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（ ）a b ()0a b <<vA ．B ．2a bv +=v =C ．Da v <2a b v +<<【答案】C【分析】根据平均速度的知识求得，结合基本不等式求得正确答案.v 【详解】设甲乙两地距离为，S 则，其中，22S ab v S S a ba b==++0a b <<所以，22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫ ⎪+⎝⎭=<=++，，所以2ab v a b =<=+2a b +>v <由于，22ab ab v aa b b b =>=++综上所述，a v <<故选：C9．设函数，若，则实数的取值范围是（ ）()22,2,2x x f x x x <⎧=⎨≥⎩()()121f a f a +≥-a A ．B ．(,1]-∞ (,2]-∞C ．D ．[]2, 6[2,)+∞【答案】B 【分析】判断出的单调性，由此化简不等式，从而求得的取值范围.()f x ()()121f a f a +≥-a 【详解】画出的图象如下图所示，结合图象可知在上递增，()f x ()f x R由得，解得.()()121f a f a +≥-121a a +≥-2a ≤故选：B10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ，∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误；对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确故选D ．【解析】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.二、填空题11．函数的定义域是___________.y =【答案】(,0][2,)-∞+∞ 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数，y =220x x -≥即，解得或，即函数的定义域为.(2)0x x -≥0x ≤2x ≥(,0][2,)-∞+∞ 故答案为：.(,0][2,)-∞+∞ 12．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围为________．2()23=++f x x ax []4,6- a 【答案】或6a ≤-4a ≥【分析】根据二次函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.a 【详解】二次函数的开口向上，对称轴为，2()23=++f x x ax x a =-由于在区间上是单调函数，()f x []4,6- 所以或，4a -≤-6a -≥解得或.6a ≤-4a ≥故答案为：或6a ≤-4a ≥13．设，，则，的大小关系为___________．()21M a a =-()()13N a a =+-M N 【答案】M N>【分析】利用差比较法确定正确答案.【详解】，()222222330M N a a a a a -=----=+>所以.M N >故答案为：M N>14．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元，一年x 总的库存费用为万元，为了使总运费与总库存费用之和最小，则的值是________．4x x 【答案】20【分析】利用基本不等式研究总运费与总库存费用之和，由此确定正确答案.【详解】总运费与总库存费用之和，4001600444160x x x x ⨯+=+≥=当且仅当时等号成立.16004,20x x x ==故答案为：20三、双空题15．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．【答案】 6 12【详解】试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为，则.a b c 、、*2,,,c a b c a b c >>>∈N ①，max 846a b b >>>⇒=②min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.四、解答题16．已知集合，.{}2230,RA x x x x =--≤∈()(){}330,RB x x m x m x ⎡⎤⎡⎤=---+≥∈⎣⎦⎣⎦(1)求集合，A B (2)若，求实数的值；[]1,3A B = m (3)若，求实数的取值范围.()R A B ⊆ m 【答案】(1)，[]1,3A =-(][),33,B m m =-∞-⋃++∞(2)2m =-(3)02m <<【分析】（1）解不等式求得集合.,A B （2）根据求得.A B ⋂m （3）根据列不等式，由此求得的取值范围.()R A B ⊆ m 【详解】（1），解得，所以.()()223310x x x x --=-+≤13x -≤≤[]1,3A =-，解得或，()()330x m x m ---+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦3x m ≤-3x m ≥+所以.(][),33,B m m =-∞-⋃++∞（2）若，则.[]1,3A B = 31312m m m -<-+=⇒=-，（3），()R 3,3B m m =-+ 若，()R A B ⊆ 则，解得.3133m m -<-⎧⎨+>⎩02m <<17．已知函数是奇函数，且.()223mx f x x n +=+()523f =(1)求实数和的值；m n (2)用单调性定义证明函数在区间上是增函数；()f x (],1-∞-(3)求函数在区间上的最值，并指出最值点.()f x []2,1--【答案】(1)2,0m n ==(2)证明详见解析(3)最小值点为，最小值为；最大值点为，最大值为2-53-1-43-【分析】（1）根据函数的奇偶性以及求得.()523f =,m n （2）根据函数单调性的定义进行证明.（3）根据函数的单调性求得函数在区间上的最值.()f x []2,1--【详解】（1）依题意，函数是奇函数，()223mx f x x n +=+由得，奇函数的定义域关于原点对称，所以.30x n +≠3n x ≠-0n =，由得.()223mx f x x +=()523f =42215,2633m m m ++===则，，是奇函数，符合题意.()2223x f x x +=()()2223x f x f x x +-=-=-()f x （2）由（1）得，()2223x f x x +=任取()()221212121222221,33x x x x f x f x x x ++<≤--=-，()()121212123x x x x x x --=⨯其中，所以，12121210,0,0x x x x x x ->-<>()()()()12120,f x f x f x f x -<<所以在区间上是增函数.()f x (],1-∞-（3）由（2）可知，函数在区间上递增，()f x []2,1--所以，最小值点为，最小值为；2-()825263f +-==--最大值点为，最大值为.1-()224133f +-==--18．某工厂生产某种产品的固定成本为3万元，该工厂每生产100台该产品的生产成本为1万元，设该产品的产量为（单位：百台），其总成本为（单位：万元）（总成本=固定成本+生产成x ()g x 本），并且销售收入（单位：万元）满足.设工厂利润为()r x ()20.5710.5,0713.5,7x x x r x x ⎧-+-≤≤=⎨>⎩（利润=销售收入-总成本），假定该产品产销平衡，根据上述信息求下列问题：()f x (1)求的解析式()f x (2)要使工厂有盈利，产量应控制在什么范围内？x (3)工厂生产多少台产品时，盈利最大？【答案】(1)()f x 20.5613.5,0710.5,7x x x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩(2)()3,10.5(3)当生产百台时，盈利最大6【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求得正确答案.（2）由求得的范围.()0f x >x （3）结合二次函数的性质、函数的单调性求得正确答案.【详解】（1），()3g x x=+.()f x ()()20.5613.5,0710.5,7x x x r x g x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨->⎩（2）当时，由，07x ≤≤20.5613.50x x -+->得，解得.()()21227390x x x x -+=--<37x <≤当时，由，解得.7x >10.50x ->710.5x <<所以应控制的范围是.x ()3,10.5（3）当时，，开口向下，对称轴为，07x ≤≤()20.5613.5f x x x =-+-6x =所以当时，取得最大值为.6x =()f x ()6183613.5 4.5f =-+-=当时，，7x >10.5 3.5x -<所以当生产百台时，盈利最大.619．已知函数（a ，b 为实数）.2()1f x ax bx =++x ∈R （1）若，且函数的值域为，求的解析式；(1)0f -=()f x [)0,∞+()f x （2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数k 的取值范围；[]2,2x ∈-()()g x f x kx =-（3）若为偶函数，且，设，，，判断()f x 0a >(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩0mn <0m n +>是否大于零，请说明理由.()()F m F n +【答案】（1）;（2）; （3）证明见解析2()(1)f x x =+(,2][6,)-∞-+∞ 【解析】（1）由题得①，②，解方程即得解；10a b -+=240a b -=（2）由题得或,解不等式得解；222k -- 222k - （3）先求出的解析式，再求出即得证.()F x ()22()()F m F n a m n +=-【详解】解:(1),①(1)0f -= 10a b ∴-+=又函数的值域为,.由,知,()f x [0,)+∞0a ∴≠22424b a b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2404a b a -=即②.解①②,得,.240a b -=1a =2b =.22()21(1)f x x x x ∴=++=+(2)由(1)得.22222(2)()()21(2)1124k k g x f x kx x x kx x k x x --⎛⎫=-=++-=+-+=++-⎪⎝⎭∵当时,是单调函数,[2,2]x ∈-()()g x f x kx =-或,即或,222k -∴- 222k - 2k - 6k 故实数k 的取值范围为.(,2][6,)-∞-+∞ (3)大于零.理由如下:为偶函数,()()F m F n +()f x ,2()1f x ax =+()221,0,()1,0.ax x F x ax x ⎧+>⎪∴=⎨-+<⎪⎩不妨设,则.由,得,.又,m n >0n <0m n +>0m n >->||||m n ∴>-0a >,()()()2222()()()()110F m F n f m f n an an a m n ∴+=-=+-+=->大于零.()()F m F n ∴+【点睛】关键点睛：第（1）题，利用值域的性质列方程求解；第（2）题利用二次函数的性质进行求解；第（3）题的解题的关键在于利用函数的奇偶性进行转化，得出进()()()()F m F n f m f n +=-而求解；本题难度属于中档题20．设集合，若集合S 中的元素同时满足以下条件：{}12,,...,n S A A A =①，恰好都含有3个元素；{}1,2,...,i n ∀∈i A ②，，为单元素集合；{},1,2,...,i j n ∀∈i j ≠i j A A ③12...n A A A =∅则称集合S 为“优选集”．(1)判断集合，是否为“优选集”；()(){}1,2,3,2,4,5P =()()(){}1,2,3,1,4,5,2,5,7Q =(2)证明：若集合S 为“优选集”，则，至多属于S 中的三个集合；1x A ∀∈x (3)若集合S 为“优选集”，求集合S 的元素个数的最大值．【答案】(1)不是“优选集”， 是“优选集”；P Q (2)证明过程见详解；(3)7【分析】（1）根据“优选集”的定义判断即可；（2）先取，其中，，，{}1234567,,,,,,S A A A A A A A =()1,,A x y z =()2,,A x a b =()3,,A x c d =，，，，可得，可以属于S 中的三个集()4,,A y a c =()5,,A y b d =()6,,A z a d =()7,,A z b c =1x A ∀∈x合，再用反证法证明不存在，使得可以属于S 中的四个集合即可；1x A ∈x （3）结合（2）可知S 中的元素个数可以为7，再用反证法证明不存在即可．8A S ∈【详解】（1）对于集合，()(){}1,2,3,2,4,5P =满足条件①：和恰好都含有3个元素；()1,2,3()2,4,5满足条件②：为单元素集合；()()1,2,32,4,5⋂但不满足条件③：，则不是“优选集”；()()1,2,32,4,5⋂≠∅P 对于集合，()()(){}1,2,3,1,4,5,2,5,7Q =满足条件①：，和恰好都含有3个元素；()1,2,3()1,4,5()2,5,7满足条件②：，，为单元素集合；()()1,2,31,4,5⋂()()1,4,52,5,7⋂()()1,2,32,5,7⋂满足条件③：．所以集合是“优选集”．()()()1,2,31,4,52,5,7=⋂⋂∅Q （2）由集合S 为“优选集”，结合（1）显然，可以属于S 中的零个集合，一个集合，两个集合，1x A ∀∈x 取集合，其中，，，，{}1234567,,,,,,S A A A A A A A =()1,,A x y z =()2,,A x a b =()3,,A x c d =()4,,A y a c =，，，()5,,A y b d =()6,,A z a d =()7,,A z b c =此时，可以属于S 中的两个集合，三个集合，1x A ∀∈x 假设存在，使得可以属于S 中的四个集合，即，其中，1x A ∈x 1234x A A A B ∈⋂⋂⋂{}4,,B x e f =为了满足条件③，显然还存在，5B S ∈为了满足条件②，中的元素必须在，，，中除外的另外两个元素中各选一个，5B 1A 2A 3A 4B x 此时中有4个元素，显然不满足条件①，5B 因此假设不成立，故若集合S 为“优选集”，则，至多属于S 中的三个集合；1x A ∀∈x （3）结合（2）有集合，其中，{}1234567,,,,,,S A A A A A A A =()1,,A x y z =，，，，，，此时S 的()2,,A x a b =()3,,A x c d =()4,,A y a c =()5,,A y b d =()6,,A z a d =()7,,A z b c =元素个数为7，假设存在，则可得中必有元素或，8A S ∈8A y z 不妨令，要使，，都为单元素集合，8y A ∈81A A ⋂82A A ⋂83A A ⋂则或或或，()8,,A y a c =()8,,A y a d =()8,,A y b c =()8,,A y b d =当时，，舍去；()8,,A y a c =()4,,y a c A =当时，不是单元素集合，舍去；()8,,A y a d =()6,,y a d A ⋂当时，不是单元素集合，舍去；()8,,A y b c =()7,,y b c A ⋂当时，不是单元素集合，舍去，()8,,A y b d =()5,,y b d A ⋂因此假设不成立，故集合S 的元素个数的最大值为7．【点睛】小问（2）的关键是先举例得到，可以属于S 中的三个集合，再用反证法证明不存1x A ∀∈x 在，使得可以属于S 中的四个集合；小问（3）的关键先得到S 中的元素个数可以为7，再1x A ∈x 用反证法证明不存在．8A S ∈。
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2021北京四中高一（上）期中数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．） 1．（4分）设集合{1M =-，0，1}，2{|}N x x x ==，则(M N = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1}D ．{0}2．（4分）设命题:p x N ∃∈，236n n >+，则p 的否定为( ) A ．x N ∃∈，236n n + B ．x N ∀∈，236n n +C ．x N ∀∈，236n n >+D ．x N ∀∈，236n n <+3．（4分）在下面四个等式运算中，正确的是( ) A ．22133a a-=B．2133a a ÷=C．342D8=-4．（4分）函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(-∞，4]上是单调递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．3a -B ．3a -C ．5aD ．5a5．（4分）若221(1)1x f x x --=+，则(0)(f = )A ．0B ．12C ．1D ．1-6．（4分）已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，若()3f x =，则x 的值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或D7．（4分）设a ，b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b<D ．b a a b< 8．（4分）已知函数()f x 是R 上的偶函数，当0x 时，()1f x x =-，则不等式()0xf x <的解集是( ) A ．(1-，0)(1⋃，)+∞ B ．(-∞，1)(0-⋃，1)C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(1,1)-9．（4分）若0a >，0b >，则“1ab ”是“2a b +”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为21y x =+，值域为{1，3}的同族函数有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．（5分）计算：2327-= ．12．（5分）不等式220x x -的解集为 ．13．（5分）2()f x ax bx =+，(0)ab ≠，若12()()f x f x =，且12x x ≠，则12()f x x += ． 14．（5分）设全集为S ，集合A ，B S ⊆，有下列四个命题： ①AB B =；②S SB A ⊆； ③()S B A =∅； ④()S A B =∅．其中是命题A B ⊆的充要条件的命题序号是 ． 三、解答题（本大题共3小题，共40分．）15．（13分）已知集合2{|40}A x R x =∈-<，{||1|3}B x R x =∈-，求：A B ，AB ，R B ．16．（13分）已知函数1()4f x x x=+． （Ⅰ）应用函数单调性的定义证明：函数()f x 在区间1[2，)+∞上单调递增；（Ⅰ）求()f x 在区间[1，3]上的最大值与最小值．17．（14分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x （单位：平方米）之间的函数关系是()(020100kC x x x =+，k 为常数）．记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释(0)C 的实际意义，并建立F 关于x 的函数关系式； （2）当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？一、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．） 18．（4分）函数1()1(1)f x x x =--的最大值是( )A ．45B ．54C ．34D ．4319．（4分）设函数246,0()6,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩，则不等式()f x f >（1）的解集是( )A ．(3-，1)(3⋃，)+∞B ．(3-，1)(2⋃，)+∞C ．(1-，1)(3⋃，)+∞D ．(-∞，1)(1-⋃，3)20．（4分）函数2()()ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．）21．（4分）函数y =的定义域为 ．22．（4分）若二次函数()f x 的图象关于2x =对称，且f （a ）(0)f f <（1），则实数a 的取值范围是 ． 23．（4分）对实数a ，b 定义运算“⊗”： ,1,1a ab a b b a b -⎧=⎨->⎩⊗，设函数2()(2)(1)f x x x =--⊗，x R ∈，若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共2小题，共26分．）24．（13分）已知函数2()(2)f x x a x b =+++，其中a ，b R ∈． （Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点； （Ⅰ）当2b a =时，解关于x 的不等式()0f x ；（Ⅰ）如果()22f x x >+对任意实数x 恒成立，证明：2b >．25．（13分）已知集合1{A a =，2a ，⋯，}n a ，i a R ∈，1i =，2，⋯，n ，并且2n ．定义1()||j i i j nT A a a <=-∑（例如：21313213||||||||)j i i j a a a a a a a a <-=-+-+-∑．（Ⅰ）若{1A =，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，{1M =，2，3，4，5}，集合A 的子集N 满足：N M ≠，且()()T M T N =，求出一个符合条件的N ；（Ⅰ）对于任意给定的常数C 以及给定的集合1{A a =，2a ，⋯，}n a ，求证：存在集合1{B b =，2b ，⋯，}n b ，使得T （B ）T =（A ），且1ni i b C ==∑．（Ⅰ）已知集合1{A a =，2a ，⋯，2}m a 满足：1i i a a +<，1i =，2，⋯，21m -，2m ，1a a =，2m a b =，其中a ，b R ∈为给定的常数，求T （A ）的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．） 1．【分析】集合M 与集合N 的公共元素，构成集合MN ，由此利用集合{1M =-，0，1}，2{|}{0N x x x ===，1}，能求出MN ．【解答】解：集合{1M =-，0，1}，2{|}{0N x x x ===，1}， {0MN ∴=，1}，故选：B ．【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2．【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可． 【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题:p x N ∃∈，236n n >+，则p 的否定为：x N ∀∈，236n n +． 故选：B ．【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题． 3．【分析】利用有理数指数幂和根式的运算性质求解． 【解答】解：对于选项22213:33A a a a -=⋅=，故选项A 错误，对于选项2121133333:B a a aa -÷==B 正确，对于选项34:2C =C 错误，对于选项8D =，故选项D 错误， 故选：B ．【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了根式的化简计算，是基础题． 4．【分析】若22(1)2y x a x =+-+在区间(-∞，4]上单调递减，则14a -，解得答案．【解答】解：函数22(1)2y x a x =+-+的图象是开口朝上，且以直线1x a =-为对称轴的抛物线， 若22(1)2y x a x =+-+在区间(-∞，4]上单调递减， 则14a -， 解得：3a -， 故选：A ．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴和区间的关系是解答的关键． 5．【分析】化简(0)(11)f f =-，代入函数解析式即可． 【解答】解：221(1)1x f x x --=+， 2211(0)(11)011f f -∴=-==+，故选：A ．【点评】本题考查了函数的值求法，属于基础题．6．【分析】利用分段函数的解析式，根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母x 的方程，通过求解相应的方程得出所求的字母x 的值．或者求出该分段函数在每一段的值域，根据所给的函数值可能属于哪一段确定出字母x 的值．【解答】解：该分段函数的三段各自的值域为(-∞，1]，[0，4)．[4，)+∞， 而3[0∈，4)，故所求的字母x 只能位于第二段．∴2()3,f x x x ===12x -<<，∴x =故选：D ．【点评】本题考查分段函数的理解和认识，考查已知函数值求自变量的思想，考查学生的分类讨论思想和方程思想．7．【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a ，b 为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】解：A 选项不正确，因为2a =-，1b =时，不等式就不成立；B 选项不正确，因为1a =，2b =时，不等式就不成立；C 选项正确，因为2211a b ab a b <⇔<，故当a b <时一定有2211ab a b<； D 选项不正确，因为1a =，2b =时，不等式就不成立；故选：C ．【点评】本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．8．【分析】由偶函数的定义和已知解析式，可得(1)f f -=（1）0=，()f x 在[0，)+∞递增，在(,0)-∞递减．对x 的符号讨论可得x 的不等式组，解不等式可得所求解集．【解答】解：函数()f x 是R 上的偶函数，当0x 时，()1f x x =-， 可得f （1）0=，(1)f f -=（1）0=， ()f x 在[0，)+∞递增，在(,0)-∞递减．不等式()0xf x <等价为0()0(1)x f x f >⎧⎨<=⎩或0()0(1)x f x f <⎧⎨>=-⎩，解得01x <<或1x <-， 故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．9．【分析】0a >，0b >，利用基本不等式的性质可得：2a b ab +，可由1ab ，得出2a b +．反之不成立． 【解答】解：0a >，0b >，2a b ab ∴+， 若1ab ，则2a b +． 反之不成立，例如取5a =，110b =．∴ “1ab ”是“2a b +”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．【分析】由函数21y x =+的值域求出它可能的定义域是什么， 从而得出它的同族函数有多少．【解答】解：根据题意，当211x +=时，求得0x =；当213x +=时，求得x =∴函数21y x =+的定义域可以是{0，{0，，{0，共3个；∴它的同族函数有3个．故选：C ．【点评】本题考查了新定义的函数性质的应用问题，是基础题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答】解：223()233127339-⨯--===．故答案为：19．【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题． 12．【分析】把不等式化为(21)0x x -，求出不等式对应方程的实数根，写出不等式的解集． 【解答】解：不等式220x x -化为(21)0x x -， 且不等式对应方程的两个实数根为0x =或12x =， 所以该不等式的解集为1{|0}2x x ． 故答案为：1{|0}2x x． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题． 13．【分析】根据条件知()f x 为二次函数，并且对称轴122x x x +=，从而1222x x b a +-=，这样即可求出12x x +，带入()f x 便可得出答案．【解答】解：根据12()()f x f x =知()f x 的对称轴1222x x b x a +=-=； ∴12bx x a+=-； ∴2122()()()0b b bf x x f a b a a a+=-=+-=．故答案为：0．【点评】考查二次函数的一般形式，二次函数的对称轴，以及二次函数对称轴的求法，已知函数求值． 14．【分析】根据集合的补集，交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件． 【解答】解：由A B B =，可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得A B B =，故①A B B =是命题A B ⊆的充要条件，故①满足条件， 由S SB A ⊆，可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S SB A ⊆，故S SB A ⊆是命题A B ⊆的充要条件，故 ②满足条件，由()S B A =∅，可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S B A =∅，故S BA =∅是命题AB ⊆的充要条件，故③满足条件， 由()S A B =∅，可得B A ⊆，不能推出A B ⊆，故()S A B =∅不是命题A B ⊆的充要条件，故④不满足条件．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查集合的表示方法，集合的补集，交集、并集的定义，充要条件的定义，属于中档题． 三、解答题（本大题共3小题，共40分．）15．【分析】集合2{|40}(2,2)A x R x =∈-<=-，{||1|3}[2B x R x =∈-=-，4]，然后可求AB ，A B ，RB ．【解答】解：集合2{|40}(2,2)A x R x =∈-<=-，{||1|3}[2B x R x =∈-=-，4]， (2,2)A B ∴=-； [2AB =-，4]；(RB =-∞，2)(4-⋃，)+∞．【点评】本题考查集合运算，考查数学运算能力，属于基础题．16．【分析】（Ⅰ）任取1x ，21[2x ∈，)+∞，且12x x <，再作差12()()f x f x -，确定1()f x ，2()f x 的大小，即可得出答案．（Ⅰ）由（Ⅰ）知()f x 在[1，3]上的最大值为f （1），最小值为f （3）． 【解答】解：（Ⅰ）证明：任取1x ，21[2x ∈，)+∞，且12x x <，所以12121212121111()()(4)(4)4()()f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+- 21121212121212124114()()(4)()x x x x x x x x x x x x x x x x --=-+=--=-， 因为12x x <， 所以120x x -<，又因为1x ，21[2x ∈，)+∞，所以12410x x -<， 所以12()()f x f x >，所以()f x 在1[2，)+∞上单调递减．（Ⅰ）由（Ⅰ）知()f x 在[1，3]上的最大值为f （1）5=， ()f x 的最小值为f （3）110333=+=． 【点评】本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．17．【分析】（1）(0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，依题意，(0)24100kC ==，可求得k ，从而得到F 关于x 的函数关系式；（2）利用基本不等式即可求得F 取得的最小值及F 取得最小值时x 的值．【解答】解：（1）(0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用， 即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费⋯（2分） 由(0)24100kC ==，得2400k =⋯（3分） 所以24001800150.50.5201005F x x x x =⨯+=+++，0x ⋯（7分）（2）因为18000.5(5) 2.521800 2.557.55x x ++-⨯=+，⋯（10分） 当且仅当18000.5(5)5x x =++，即55x =时取等号⋯（13分） 所以当x 为55平方米时，F 取得最小值为57.5万元⋯（14分）【点评】本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于难题． 一、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．） 18．【分析】把分母整理成213()24x =-+进而根据二次函数的性质求得其最小值，则函数()f x 的最大值可求．【解答】解：221331(1)1()244x x x x x --=-+=-+， 14()1(1)3f x x x ∴=--，4()3max f x =． 故选：D ．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，二次函数的性质．解题的关键把分母配方成一元二次函数的形式． 19．【分析】求出函数值，利用分段函数求解不等式的解集即可． 【解答】解：函数246,0()6,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩，则f （1）3=，不等式()f x f >（1）等价于：20463x x x ⎧⎨-+>⎩或063x x <⎧⎨+>⎩，解得：(3x ∈-，1)(3⋃，)+∞． 故选：A ．【点评】本题考查分段函数的应用，不等式组的解法，考查计算能力．20．【分析】分别根据函数的定义域，函数零点以及(0)f 的取值进行判断即可． 【解答】解：函数在P 处无意义，由图象看P 在y 轴右边，所以0c ->，得0c <， 2(0)0bf c =>，0b ∴>， 由()0f x =得0ax b +=，即bx a=-，即函数的零点0bx a=->， 0a ∴<，综上0a <，0b >，0c <， 故选：C ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及(0)f 的符号是解决本题的关键．二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．） 21．【分析】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零求解． 【解答】解：由题意得23400x x x ⎧--+⎨≠⎩41x ∴-且0x ≠．∴定义域是：[4-，0)(0⋃，1]故答案为：[4-，0)(0⋃，1]【点评】本题主要考查给出解析式的函数的定义域及其求法，这里主要涉及到分式函数，则分母不能为零；还有根式函数，则负数不能开偶次方根．22．【分析】由已知条件可分析出二次函数()f x 的对称轴和开口方向，画出图象，有图象可得出a 的取值范围． 【解答】解：由题意可知二次函数()f x 的对称轴为2x =， 因为(0)f f <（1），所以()f x 在(,2)-∞上单调递增，所以二次函数()f x 开口向下，在(,2)-∞上单调递增，在(2,)+∞上单调递减． ①当(,2)a ∈-∞时：20a a <⎧⎨⎩，解得0a ．②当(2,)a ∈+∞时：因为f （4）(0)f =， 所以24a a >⎧⎨⎩，解得4a ．综上所求：0a 或4a ． 故答案为：0a 或4a【点评】考察了二次函数的图象和性质，培养学生的数形结合的数学思想．23．【分析】根据定义的运算法则化简函数2()(2)(1)f x x x =--⊗，并画出()f x 的图象，函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点转化为()y f x =与y c =图象的交点问题，结合图象求得实数c 的取值范围．【解答】解：,1,1a a b a b b a b -⎧=⎨->⎩⊗，∴函数()()()222,12211,12x x f x x x x x x ⎧--⎪=-⊗-=⎨--⎪⎩或． 画出图形，如图；由图知，当(2c ∈-，1](1-⋃，2]，函数()f x 与y c =的图象有两个公共点， c ∴的取值范围是(2-，1](1-⋃，2]，故答案为：(2-，1](1-⋃，2]．【点评】本题考查了方程的根的存在性及个数的判断以及二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用问题，是中档题．三、解答题（本大题共2小题，共26分．）24．【分析】（Ⅰ）求出()f x 的表达式，利用零点的定义，令()0f x =，求出x 的值，即可得到答案；（Ⅰ）求出()0f x =的两个根，分2a -=-，2a -<-，2a ->-三种情况，由一元二次不等式的解法求解即可； （Ⅰ）利用二次函数的图象与性质，列出△0<，求解即可． 【解答】（Ⅰ）解：函数2()(2)f x x a x b =+++， 当1a =，4b =-时，2()34f x x x =+-，令()0f x =，即2340x x +-=，解得4x =-或1x =， 故函数()f x 的零点为4-或1；（Ⅰ）解：当2b a =时，2()(2)2f x x a x a =+++， 令()0f x =，解得x a =-或2x =-，①当2a -=-，即2a =时，()0f x 的解集为{|2}x x =-； ②当2a -<-，即2a >时，()0f x 的解集为[a -，2]-； ③当2a ->-，即2a <时，()0f x 的解集为[2-，]a -． 综上所述，当2a =时，()0f x 的解集为{|2}x x =-； 当2a >时，()0f x 的解集为[a -，2]-；当2a <时，()0f x 的解集为[2-，]a -．（Ⅰ）证明：因为()22f x x >+对任意实数x 恒成立，即220x ax b --->对任意实数x 恒成立，所以△24(2)0a b =--<，即224a b ->， 因为204a ， 所以20b ->，即2b >．【点评】本题考查了函数零点的求解，函数零点定义的理解与应用，含有参数的一元二次不等式的求解，不等式恒成立的求解，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．25．【分析】（Ⅰ）根据新定义即可求出答案，（Ⅰ）够造新数列1{B d a =+，2d a +，⋯，}n d a +，根据新定义可得取1n ii c a d n =-=∑即可证明．（Ⅰ）利用数学归纳法即可证明．【解答】解：(){6I N =，7，8，9，10}．()II 证明：令1{B d a =+，2d a +，⋯，}n d a +，(d 为待定参数）． T （B ）11|()()|||i j j i i j n i j n d a d a a a T <<=+-+=-=∑∑（A ），11n ni i i i b nd a c ===+=∑∑， 取1n ii c a d n =-=∑即可．（3）下面利用数学归纳法证明21211||(212)()m j i m k k i j n k a a m k a a +-<=-=+--∑∑， 当2m =时，43322142314141321||||||||||||||3()(|)j i i j n a a a a a a a a a a a a a a a a a a <-=-+-+-+-+-+-=-+-∑．成立． 假设结论对m 时成立，下面证明1m +时的情形．221212211111|||||()()m m j i j i m i m i i j m i j n i i a a a a a a a a +++<+<==-=-+-+-∑∑∑∑221212122111(212)()()()m m m m k k m i m i k i i m k a a a a a a ++-++====+--+-+-∑∑∑ 221212211(212)()(21)(21)2m mm k k m m i k i m k a a m a m a a +-++===+--+-++-∑∑，1231(232)()m m k k k m k a a ++-==+--∑，即T （A ）2221(212)()()mm k k k m k a a m b a -=<+--=-∑【点评】本题考查了数列在新定义中的应用，以及数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。