高二数学圆的方程练习-(附答案)
高二数学圆的方程练习题
高二数学圆的方程练习题1. 某圆的半径为3，圆心坐标为(2, -1)，求该圆的方程。
解析：设该圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²（a为圆心横坐标，b为圆心纵坐标，r为半径）根据已知条件得到：(x-2)² + (y+1)² = 3²将方程展开得：x² - 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 9整理得：x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0所以该圆的方程为x² + y² - 4x + 2y - 4 = 02. 某圆的直径的两个端点分别为A(1, 2)和B(5, 6)，求该圆的方程。
解析：首先求出圆心坐标：圆心的横坐标为直径的中点的横坐标，纵坐标为直径的中点的纵坐标圆心的横坐标 = (1+5)/2 = 3圆心的纵坐标 = (2+6)/2 = 4所以该圆的圆心为(3, 4)然后求出半径：半径的长度等于直径的长度的一半直径AB的长度= √[(5-1)² + (6-2)²] = 2√2所以半径等于直径的一半：r = (2√2)/2 = √2圆心坐标为(3, 4)，半径为√2，所以该圆的方程为：(x-3)² + (y-4)² = (√2)²展开得：x² + y² - 6x - 8y + 13 = 0所以该圆的方程为：x² + y² - 6x - 8y + 13 = 03. 已知圆的方程为：x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。
解析：根据已知方程可得:(x+1)² + (y-2)² = 9将方程展开得：x² + y² + 2x - 4y + 1 + 4 - 9 = 0整理得：x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0可见，已知的方程与题目中给出的方程相同，所以该圆的圆心坐标为(-1, 2)，半径为3。
高中数学圆的方程 经典例题(含详细解析)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a 解之得：1-=a ，202=r ． 所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ． 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ． 又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=abb a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r 故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2， ∴()22|31|21k k k -+=+-，解得34k =-，∴切线方程为31(3)4y x -=--，即34130x y +-=， 当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2， 故直线3x =也适合题意。
高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)
高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。
以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。
一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
高中数学必修二-圆的标准方程-附答案解析(人教版)
4.1.1圆的标准方程基础巩固1.已知圆()(22:316C x y -+=,则圆心C 的坐标和半径分别为（ ）A .(3,,16B .(3,,4C .(,4-D .(3,,4-2.以原点为圆心,4为半径的圆的方程是（ ）A.x 2+y 2=4B.x 2+y 2=16C.x 2+y 2=2D.(x-4)2+(y-4)2=163.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)（ ）A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外4.圆心坐标为(0,4),且经过点(3,0)的圆的方程为（ ）A.x 2+(y-4)2=25B.x 2+(y+4)2=25C.(x-4)2+y 2=25D.(x+4)2+y 2=255.圆((22:4C x y +=的面积等于（ ）A.πB.2πC.4πD.8π6.若直线y=ax+b 通过第一、二、四象限,则圆(x+a )2+(y+b )2=1的圆心位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.若点P (1,-1)在圆(x+2)2+y 2=m 的外部,则实数m 的取值范围是 .8.已知圆C :x 2+y 2=1,则圆上的点到点(3,4)距离的最大值为 .9.圆C :(x+4)2+(y-3)2=9的圆心C 到直线4x+3y-1=0的距离等于 .10.已知△ABC 的三个顶点分别为A (1,1),B (1,4),C (5,1),求它的外接圆的方程.能力提升1.经过圆(x-2)2+(y+3)2=13和(x-3)2+y 2=9的圆心的直线方程是（ ）A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=02.已知点A (1,-1),B (-1,1),则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A .x 2+y 2=2B .x 2+y 2C .x 2+y 2=1D .x 2+y 2=4★3.在平面直角坐标系xOy 中,动点P 的坐标满足方程(x-1)2+(y-3)2=4,则点P 的轨迹经过（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限4.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .5.若圆C 与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C 的标准方程是 .6.若点(P -在圆x 2+y 2=m 上,点()00,Q x y 在圆x 2+y 2=m 内,则d 为 .7.求经过点A (1,-1),B (-1,1),且圆心C 在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.★8.已知A (0,1),B (2,1),C (3,4),D (-1,2),问这四点能否在同一个圆上?为什么?参考答案基础巩固1.【答案】B2.【答案】B3.【解析】因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,所以点P 在圆内.【答案】C4.【解析】圆的半径5r =,则圆的方程为x 2+(y-4)2=25.【答案】A5.【解析】由题意知圆的半径2r ==,则面积S=πr 2=4π.【答案】C6.【解析】(-a ,-b )为圆的圆心,由直线经过第一、二、四象限,得到a<0,b>0,即-a>0,-b<0,再由各象限内点的坐标的性质得解.【答案】D7.【解析】由题意得(1+2)2+(-1)2>m ,即m<10.因为m>0,所以m 的取值范围是(0,10).【答案】(0,10)8.【解析】因为圆C 的方程为x 2+y 2=1,所以圆心坐标为(0,0),半径r=1.又圆心(0,0)到点(3,4)5,所以圆上的点到点(3,4)的距离的最大值为5+1=6.【答案】69.【解析】由题意知圆心坐标为C (-4,3),则所求的距离85d ==. 【答案】8510.【解析】 （法一）设△ABC 外接圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),则 ()()()()()()222222222111451a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩, 解得 32.52.5a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2.5)2=6.25.（法二）线段AB 的垂直平分线的方程为y=2.5,线段AC 的垂直平分线的方程为x=3,则圆心坐标为(3,2.5),半径2.5r =, 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2.5)2=6.25.能力提升1.【答案】C2.【解析】由已知A ,B 的中点为圆心,则圆心的坐标为(0,0). 又AB =所以半径r =故圆的方程为x 2+y 2=2.【答案】A3.【答案】A4.【解析】由于82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|51055=-=.【答案】55.【解析】圆(x+2)2+(y-1)2=1的圆心为M (-2,1),半径r=1,则点M 关于原点的对称点为C (2,-1),圆C 的半径也为1,则圆C 的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=1.【答案】(x-2)2+(y+1)2=16.【解析】因为点(P -在圆x 2+y 2=m 上,所以221m +=,解得m=4.又因为点Q (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=m 内,所以22004x y+<.故02d ≤=.【答案】[0,2)7.【解析】线段AB 的垂直平分线的方程是x-y=0,解方程组020x y x y -=⎧⎨+-=⎩ 得 11x y =⎧⎨=⎩.即圆心C (1,1),则半径r=|AC|=2. 所以圆的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=4.8.【解析】设经过A ,B ,C 三点的圆的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,则()()()()()22222222212134a b r a b r a b r ⎧+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩ 解此方程组,得2135a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以经过A ,B ,C 三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5.把点D 的坐标(-1,2)代入上面圆的方程的左边,得(-1-1)2+(2-3)2=5.所以点D 在经过A ,B ,C 三点的圆上,所以A ,B ,C ,D 四点在同一个圆上,且圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5.。
圆的方程 习题含答案
圆的方程习题（含答案）一、单选题1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝92．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．3．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )A．9πB．πC．2πD．由m的值而定4．圆的半径是（）A．B．2C．D．45．已知圆与圆相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A．B．C．D．6．若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（）A．B．C．D．7．已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）A．2B．C．6D．8．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：的圆心则的最小值为A．B．5C．D．109．若均为任意实数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题10．如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．11．已知x,y满足－4－4＋＝0, 则的最大值为____12．若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______．13．设直线与圆相交于两点，若，则圆的面积为________.14．已知圆的圆心在曲线上，且与直线相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．15．在平面直角坐标系xOy中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为______．16．已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，则圆的标准方程是__________．17．在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形的外接圆方程是__________．18．如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A（-1，0），B（1，0），点P，Q分别从点A ，B 同时出发，圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，的最大值是_______.三、解答题 19．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 20．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点.（1）求圆的圆心坐标和面积； （2）若直线的斜率为，求弦的长；（3）若圆上恰有三点到直线的距离等于，求直线的方程．21．已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程； （2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.22．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线12y x =上。
圆的标准方程(经典练习及答案详解)
2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内.2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29D.(x-1)2+(y+3)2=116A (-4,-5),B (6,-1),所以线段AB 的中点为C (1,-3),所求圆的半径r=12|AB|=12√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C .3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆D.半圆x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D .4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1D.x+322+y 2=12M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02=1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),则x=x 0+32,y=y 0+02,则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .-3) √26.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 .(x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5.2+(y+1)2=57.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 .解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,32为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=254. 答案(x+2)2+y-322=2548.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围.设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0,(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,解得{a =1,b =1,r =2,所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2].关键能力提升练9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-4y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=12,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.10.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.-∞,-4√33∪4√33,+∞D.(-∞,-4)∪(4,+∞)方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A,B两点的直线方程为y=a4x+a2,即ax-4y+2a=0,令d=√a2+16=1,化简后,得3a2=16,解得a=±4√33.再进一步判断便可得到正确答案为C.(方法2)(数形结合法)如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√33,再由图直观判断,故选C.11.(2020四川成都石室中学高二上期中)已知实数x,y满足x2+y2=1,则√3x+y的取值范围是()A.(-2,2)B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-2,+∞)解析因为x2+y2=1,所以设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sinα+π6,所以√3x+y的取值范围是[-2,2].故选C.12.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是()A.110B.113C.-113D.-12P 可作圆的两条切线,说明点P 在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m )2>1,解得m>113或m<-113,对照选项知AD 可能.13.(多选题)设有一组圆C k :(x-k )2+(y-k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是( ) A.不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π(k ,k ),在直线y=x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简得2k 2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k 2-6k+5=0无实数根,故B 正确;由(2-k )2+(2-k )2=4,化简得k 2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD .14.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.15.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C 的标准方程为 .(a ,0),且a>0,则点(a ,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即√32+42=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.x-2)2+y 2=416.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,1),AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T (-1,0)在AD 边所在直线上. (1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.因为AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为-2.又因为点T (-1,0)在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.(2)由{x -2y -4=0,2x +y +2=0,解得{x =0,y =-2,所以点A 的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,1),所以M 为矩形外接圆的圆心.又|AM|=√(2-0)2+(1+2)2=√13,从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.学科素养创新练17.设A(x A,y A),B(x B,y B)为平面直角坐标系内的两点,其中x A,y A,x B,y B∈Z.令Δx=x B-x A,Δy=y B-y A,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个.(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x,y).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上,所求圆的方程为x2+y2=5.。
高二数学圆与方程（有练习,有答案,有讲解,有例题）
⾼⼆数学圆与⽅程（有练习,有答案,有讲解,有例题）【典型例题】例1. 已知点B（1，4），C（16，2），点A在直线x－3y＋3 = 0上，并且使AB C的⾯积等于21，求点A的坐标。
【解析】直线B C⽅程为2x＋5y－22 = 0， |B C| = ，设点A坐标（3y－3，y），则可求A到B C的距离为，∵AB C⾯积为21，∴，∴，故点A坐标为（）或（）.例2. 已知直线l的⽅程为3x+4y－12=0，求直线l′的⽅程，使得：（1）l′与l平⾏，且过点（－1，3） ;（2）l′与l垂直，且l′与两轴围成的三⾓形⾯积为4.【解析】（1）由条件，可设l′的⽅程为 3x+4y+m=0，以x=－1，y=3代⼊，得－3+12+m=0，即得m=－9，∴直线l′的⽅程为 3x+4y－9=0;（2）由条件，可设l′的⽅程为4x－3y+n=0，令y=0，得，令x=0，得，于是由三⾓形⾯积，得n2=96，∴∴直线l′的⽅程是或例3. 过原点的两条直线把直线2x＋3y－12 = 0在坐标轴间的线段分成三等分，求这两条直线的夹⾓。
【解析】设直线2x＋3y－12 = 0与两坐标轴交于A，B两点，则A（0，4），B（6，0），设分点为C，D，设为所求⾓。
∵，∴，∴C（2，）.⼜，∴，∴D（4，），∴.∴，∴.例4. 圆x2＋y2＋x－6y＋c = 0与直线x＋2y－3 = 0相交于P，Q两点，求c为何值时，OP OQ（O为原点）.【解析】解⽅程组消x得5y2－20y＋12＋c = 0，，消y得5x2＋10x＋4c－27 = 0，，∵OP OQ，∴，∴，解得c = 3.例5. 已知直线y =－2x＋b与圆x2＋y2－4x＋2y－15 = 0相切，求b的值和切点的坐标.【解析】把y =－2x＋b代⼊x2＋y2－4x＋2y－15 = 0，整理得5x2－4（b＋2）x＋b2＋2b－15 = 0，令= 0得b =－7或b =13，∵⽅程有等根，，得x =－2或x = 6，代⼊y = －2x－7与y = －2x＋13得y =－3或y = 1，∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）.例6. 已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：abc+2＞a+b+c.【证明】设线段的⽅程为y=f （x）=（bc－1）x+2－b－c，其中|b|＜1，|c|＜1，|x|＜1，且－1＜b＜1.∵f（－1）=1－bc+2－b－c=（1－bc）+（1－b）+（1－c）＞0f（1）=bc－1+2－b－c=（1－b）（1－c）＞0∴线段y=（bc－1）x+2－b－c（－1＜x＜1＝在x轴上⽅，这就是说，当|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1时，恒有abc+2＞a+b+c.例7. 某校⼀年级为配合素质教育，利⽤⼀间教室作为学⽣绘画成果展览室，为节约经费，他们利⽤课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌⾯的倾斜⾓为（90°≤＜180°），镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m，b m，（a＞b）.问学⽣距离镜框下缘多远看画的效果最佳？【解析】建⽴如图所⽰的直⾓坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的⼀点，在x轴的正半轴上找⼀点C（x，0）（x＞0），欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最⼤值.由三⾓函数的定义知：A、B两点坐标分别为（a cos，a sin）、（b cos，b sin），于是直线AC、BC的斜率分别为：k AC = t a n xCA=，于是t a n ACB=由于∠ACB为锐⾓，且x＞0，则t a n ACB≤，当且仅当=x，即x=时，等号成⽴，此时∠ACB取最⼤值，对应的点为C（，0），因此，学⽣距离镜框下缘cm处时，视⾓最⼤，即看画效果最佳.例8. 预算⽤2000元购买单件为50元的桌⼦和20元的椅⼦，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅⼦不少于桌⼦数，且不多于桌⼦数的1.5倍，问桌、椅各买多少才⾏？【解析】设桌椅分别买x，y张，把所给的条件表⽰成不等式组，即约束条件为由∴A点的坐标为（，）由∴B点的坐标为（25，）所以满⾜约束条件的可⾏域是以A（，），B（25，），O（0，0）为顶点的三⾓形区域（如上图）由图形直观可知，⽬标函数z=x+y在可⾏域内的最优解为（25，），但注意到x∈N，y∈N*，故取y=37.故有买桌⼦25张，椅⼦37张是最好选择.例9. 已知甲、⼄、丙三种⾷物的维⽣素A、B含量及成本如下表，若⽤甲、⼄、丙三种⾷物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合⾷物，并使混合⾷物内⾄少含有56000单位维⽣素A和甲⼄丙维⽣素A（单位/千克）600700400维⽣素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194（Ⅰ）⽤x，y表⽰混合⾷物成本c元；（Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低.【解析】（Ⅰ）由题，，⼜，所以，.（Ⅱ）由得，，所以，所以，当且仅当时等号成⽴.所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元.点评：本题为线性规划问题，⽤解析⼏何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域上使得最⼤的点. 不难发现，应在点M（50，20）处取得.例10. 如果实数满⾜，求的最⼤值、2x－y的最⼩值。
高二数学圆的标准方程试题(有详细解答)
高二数学圆的标准方程试题一．选择题（共16小题）1．（2011重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程；两点间的距离公式．811365专题：数形结合．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E 最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2 ，MB= ，ME= = ，所以BD=2BE=2 =2 ，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S= ACoBD= ×2 ×2 =10 ．故选B点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．2．（2009辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．811365分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．3．（2001江西）过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4考点：圆的标准方程．811365分析：先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．解答：解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选C．点评：本题解答灵活，符合选择题的解法，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．4．（2012吉安县模拟）若方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）的任意一组解（x，y）都满足不等式x≤y，则θ的取值范围是（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域．811365专题：综合题．分析：方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切），由此可建立不等式，利用三角函数知识，即可求得θ的取值范围．解答：解：由题意，方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切），则，∴sin（θ﹣）≥∵0≤θ≤2π，∴∴∴∴θ的取值范围是故选B．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数知识的运用，解题的关键是将问题转化为方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切）．5．（2010宁德模拟）已知A（3，3），点B是圆x2+y2=1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程．811365分析：通过定比分点坐标公式，把M的坐标转移到B上，把B的坐标代入圆的方程，整理可得点M的轨迹方程．解答：解：设M点的坐标（x，y），B（a，b），因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a=3x﹣6，b=3y﹣6，又点B是圆x2+y2=1上的动点，所以B的坐标适合圆的方程，即故选A．点评：本题考查线段的定比分点坐标公式，相关点法求轨迹方程的方法，是中档题．6．圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=2考点：圆的标准方程．811365专题：计算题；数形结合；分类讨论．分析：根据题意画出圆的方程，使圆A满足题意中的条件，分两种情况考虑，当点A在第一象限时，根据垂径定理即可得到OC的长度，根据直线y=x上点的横纵坐标相等，得到圆心A的坐标，根据勾股定理求出OA的长度即为圆A的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的标准方程；当点A′在第三象限时，同理可得圆心坐标和半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．解答：解：画出圆A满足题中的条件，有两个位置，当圆心A在第一象限时，过A作AC⊥x轴，又|OB|=2，根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，得到圆心A的坐标为（1，1），且半径|OA|= ，则圆A的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；当圆心A′在第三象限时，过A′作A′C′⊥x轴，又|OB′|=2，根据垂径定理得到点C′为弦OB′的中点，则|OC′|=1，由点A′在直线y=x上，得到圆心A′的坐标为（﹣1，﹣1），且半径|OA′|= ，则圆A′的标准方程为：（x+1）2+（y+1）2=2，综上，满足题意的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2．故选C点评：此题考查学生灵活运用垂径定理化简求值，考查了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道中档题．需注意的事项是应注意此题有两解，不要遗漏．7．如果圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1的圆心在第三象限，那么直线ax+by﹣1=0一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：圆的标准方程；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．811365专题：计算题．分析：根据圆的标准方程找出圆心坐标，由圆心在第三象限，得到a与b都小于0，然后把所求直线的方程化为点斜式方程y=kx+m，由a与b都小于0判断得到k与m的正负，即可得出直线一定不经过的象限，得出正确的选项．解答：解：由圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，得到圆心坐标为（a，b），∵圆心在第三象限，∴a＜0，b＜0，∵直线方程可化为y=﹣x+ ，∴﹣＜0，＜0，则直线一定不经过第一象限．故选A点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，要求学生掌握象限点坐标的特点，其中直线y=kx+b的斜率，截距与图象的关系为：当k＞0，b＞0时，直线不经过第四象限；当k＞0，b＜0时，直线不经过第二象限；当k＜0，b＞0时，直线不经过第三象限；当k＜0，b＜0时，图象不经过第一象限，掌握此规律是解本题的关键．8．圆M的圆心在直线y=﹣2x上，经过点A（2，﹣1），且与直线x+y=1相切，则圆M的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y+2）2=2 C．（x﹣1）2+（y+2）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=2考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：根据圆心在一条直线上，设出圆心的坐标，根据圆心的坐标看出只有A，C两个选项符合题意，根据圆过一个点，把这个点代入圆的方程，A不合题意，得到结果．解答：解：∵圆M的圆心在直线y=﹣2x上，∴圆心的坐标设成（a，﹣2a）∴在所给的四个选项中只有A，C符合题意，∵经过点A（2，﹣1），∴把（2，﹣1）代入圆的方程方程能够成立，代入A中，32+32≠2，∴A选项不合题意，故选C．点评：本题考查圆的标准方程，本题解题的关键是根据所给的条件设出圆的方程，可以是一般式方程也可以是标准方程，在根据其他的条件解出方程．9．已知圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0）与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，则直线ax+by+c=0与直线x+y+1=0的交点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：圆的标准方程；两条直线的交点坐标．811365专题：计算题．分析：由圆C的方程表示出圆心的坐标和半径r，由圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，可得出b大于a，a大于c，a，b及c都大于0，进而确定出b﹣a 与a﹣c都大于0，然后将两方程联立组成方程组，消去x后得到关于y的一元一次方程，求出方程的解表示出y，根据b﹣a与a﹣c都大于0及两数相除同号得正的取符号法则可得y大于0，由y大于0判断出x小于0，可得出交点在第二象限．解答：解：由圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0），得到圆心坐标为（b，c），半径r=a，∵圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，∴b＞a＞0，0＜c＜a，即b﹣a＞0，a﹣c＞0，联立两直线方程得：，由②得：x=﹣y﹣1，代入①得：a（﹣y﹣1）+by+c=0，整理得：（b﹣a）y=a﹣c，解得：y= ，∵﹣a＞0，a﹣c＞0，∴＞0，即y＞0，∴x=﹣y﹣1＜0，则两直线的交点在第二象限．故选B点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：直线与圆的位置关系，点的坐标，两数相除的取符号法则，以及两直线的交点坐标，其中根据圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限得到b﹣a＞0，a﹣c＞0是解本题的关键．10．（2012泉州模拟）圆心在曲线上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：= |3a+ +3|=r，|3a+ +3|=5r，由a＞0，知3a+ +3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，由此能求出面积最小的圆的方程．解答：解：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：= |3a+ +3|=r，（圆半径）∴|3a+ +3|=5r，∵a＞0，∴3a+ +3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，∵5r=3a+ +3≥2 +3=15，∴r≥3，当3a= ，即a=2时，取等号，∴面积最小的圆的半径r=3，圆心为（2，）所以面积最小的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣）2=9．故选A．点评：本题考查圆的标准方程的求法，考查点到直线的距离公式和圆的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．11．（2009山东模拟）已知实数x，y满足x2+y2=9（y≥0），则的取值范围是（）A． m≤或m≥ B．≤m≤ C． m≤﹣3或m≥D．﹣3≤m≤考点：圆的标准方程；直线的斜率．811365专题：计算题；数形结合．分析：考查题意，可知的几何意义是：圆上的点与（﹣1，﹣3）连线的斜率，作出图形，求出直线的斜率即可．解答：解：由题意可知的几何意义是：圆上的点与（﹣1，﹣3）连线的斜率，作出图形，所以m的范围是：m = ．或m =﹣．故所求m的范围是：m≤或m≥．故选A．点评：本题是中档题，考查圆的方程与直线的斜率的关系，考查数形结合，注意圆的方程的范围，考查计算能力．12．（2008深圳二模）过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别A，B，O是坐标原点，则△AOB外接圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x+4）2+（y+2）2=20 D．（x+2）2+（y+1）2=5考点：圆的标准方程．811365专题：计算题；转化思想．分析：由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆．解答：解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，OP的中点为（2，1），OP=2 ，∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，∴△AOB外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，故选B．点评：本题考查圆的标准方程的求法，把求△AOB外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想．13．已知P（x，y）为圆（x﹣2）2+y2=1上任意一点，则的最小值为（）A． . B． .﹣ C．）D．）﹣考点：圆的标准方程；斜率的计算公式．811365专题：计算题；数形结合．分析：根据题意画出图形，所求的式子刚好为直线OP的斜率，由P为圆A上任一点，根据图形得出直线OP斜率的取值范围，即可得到斜率的最小值，即为所求式子的最小值．解答：解：根据题意画出图形，连接AP，如图所示：由圆A的方程（x﹣2）2+y2=1，得到A（2，0），半径r=1，∵直线OP为圆A的切线，∴AP⊥OP，即∠APO=90°，又|AP|=1，|OA|=2，∴∠AOP=30°，∵P（x，y）为圆A上任一点，且表示直线OP的斜率，∴﹣≤≤，则的最小值为﹣．故选D点评：此题考查了圆的标准方程，直线斜率的计算，以及直角三角形的性质，利用了转化及数形结合的数学思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．14．过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A． x2+（y﹣1）2=2 B． x2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=1考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：根据切线的性质可知PA垂直于CA，PB垂直于CB，所以过A、B、C三点的圆即为四边形PACB的外接圆，且线段AC为外接圆的直径，所以根据中点坐标公式求出外接圆的圆心，根据两点间的距离公式即可求出圆的半径，根据求出的圆心坐标与圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，得到圆心C（1，2），又P（﹣1，0）则所求圆的圆心坐标为（，）即为（0，1），圆的半径r= = ，所以过A、B、C的圆方程为：x2+（y﹣1）2=2．故选A点评：此题考查学生掌握直线与圆相切的性质，掌握90°的圆周角所对的弦为直径，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．15．（2007上海）圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线2x﹣y+3=0对称的圆的方程是（）A．B．C．（x+3）2+（y﹣2）2=2 D．（x﹣3）2+（y+2）2=2考点：关于点、直线对称的圆的方程．811365分析：先求圆心和半径，再去求对称点坐标，可得到圆的标准方程．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣1=0?（x﹣1）2+y2=2，圆心（1，0），半径，关于直线2x﹣y+3=0对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线2x﹣y+3=0上，C中圆（x+3）2+（y﹣2）2=2的圆心为（﹣3，2），验证适合，故选C点评：本题是选择题，采用计算、排除、验证相结合的方法解答，起到事半功倍的效果．16．（理）若圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0关于直线ax+2by﹣4=0对称，则ab的最大值是（）A． 1 B．C． 2 D． 4考点：关于点、直线对称的圆的方程；基本不等式．811365专题：计算题．分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线ax+2by﹣4=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由b表示出a，将表示出的b代入ab中，得到m关于b的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．解答：解：圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0 即（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，表示以C（2，1）为圆心，以3为半径的圆．再由此圆关于直线ax+2by﹣4=0对称，可得直线过圆心，即2a+2b﹣4=0，即a+b=2．故a=2﹣b，则ab=（2﹣b）b，故函数ab 是关于b的二次函数，故当b=1时，函数ab 取得最大值等于1．故选A．点评：本题主要考查直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质，根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键，属于中档题．二．填空题（共7小题）17．（2010宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：压轴题．分析：设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．解答：解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．点评：命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．18．（2010天津）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为（x+1）2+y2=2．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可．解答：解：令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1，0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2；故答案为（x+1）2+y2=2点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．19．（2013江门二模）已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2），且圆心C在直线y=x上，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．811365专题：直线与圆．分析：设圆心坐标为C（a，a），则由题意可得半径r= = ，解得a的值，即可求得圆C 的方程．解答：解：设圆心坐标为C（a，a），则由题意可得半径r= = ，解得a=1，故圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程，属于中档题．20．（2012许昌县一模）圆心在直线x+2y﹣3=0上且与直线x﹣y﹣1=0切于点B（2，3）的圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．考点：圆的标准方程；点到直线的距离公式．811365专题：计算题；直线与圆．分析：设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线x+2y﹣3=0上得出一个方程；再由圆心到直线x+y﹣1=0的距离即半径得出另一个方程．解答：解：设圆心坐标为（a，b），则，解得a=3，b=0，所以r= ，所以要求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．点评：本题主要考查方程思想及点到线的距离公式，圆的方程的求法，考查计算能力．21．设，，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是[2，4]．考点：圆的标准方程；交集及其运算．811365专题：直线与圆．分析：根据A∩B≠?，可得当圆B和圆A从内切到外切时，a有最大值、最小值，由此可得结论．解答：解：由题意，A为以原点O为圆心，a为半径，在x轴上方的半圆，B为以O′（2，）为圆心，以1半径的圆．∵A∩B≠?，∴当圆B和圆A从内切到外切时，a有最大值、最小值当A、B内切时，即|OO'|=a﹣1=3，∴a=4当A、B外切时，即|OO'|=a+1=3，∴a=2所以2≤a≤4故答案为：[2，4]．点评：本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．22．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．考点：圆的标准方程；二元一次不等式（组）与平面区域．811365专题：数形结合；转化思想．分析：根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．解答：解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．23．设a＞0，b＞0，4a+b=ab，则在以（a，b）为圆心，a+b为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：要求面积最小的圆的即要半径最小，就要a+b最小，求出a+b的最小值即可得到圆的半径及a、b的值，写出圆的标准方程即可．解答：解：因为4a+b=ab，当a＞1时得：b= ，所以a+b=a+ =a﹣1+ +5≥4+5=9，当且仅当a﹣1= 即a=3时取等号，所以半径最小值为9，此时a=3，b=6，所以面积最小的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．故答案为（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．点评：考查学生会利用基本不等式求最小值的能力，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．三．解答题（共7小题）24．（2007嘉定区一模）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．考点：圆的标准方程；等比数列的性质；圆方程的综合应用．811365专题：计算题；压轴题．分析：首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．解答：解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，即x2﹣y2=2. =x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．点评：此题主要考查圆的标准方程的求法，以及圆与直线交点问题，属于综合性试题，有一定的计算量，难易中等．25．（2012北京模拟）如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交y轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．（1）若A（0，1），求点C的坐标；（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆的位置关系．811365专题：综合题；直线与圆．分析：（1）先求l1的方程，进而可求l2的方程，即可得到点C的坐标；（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径，分类讨论，确定A、C的坐标，表示出AC，即可求得结论．解答：解：（1）由直线l1经过两点A（0，1），B（1，2），得l1的方程为x﹣y+1=0．由直线l2⊥l1，且直线l2经过点B，得l2的方程为x+y﹣3=0．所以，点C的坐标为（3，0）．（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径．①若l1⊥y轴，则l2∥y轴，此时四边形OABC为矩形，．②若l1与y轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为．所以直线l1的方程为y﹣2=k（x﹣1），从而A（0，2﹣k）；直线l2的方程为，从而C（2k+1，0）．令解得，注意到k≠0，所以．此时|AC|2=（2﹣k）2+（2k+1）2=5k2+5＞5，，所以半径的最小值为．此时圆的方程为．点评：本题考查确定直线位置的几何要素，直线的倾斜角和斜率，过两点的直线斜率的计算公式，直线方程的点斜式，两条直线平行或垂直的判定，圆的标准方程，属于中档题．26．已知圆心在直线y=2x上的圆C经过点M（﹣1，1），且该圆被x轴截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）是否存在过圆心C的两条互相垂直的直线，使得点M到这两条直线的距离之积为，若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：直线与圆．分析：（1）由圆心在直线y=2x上，设圆心坐标为（a，2a），半径为r，表示出圆的方程，将M坐标代入得到关于a与r的关系式，再有弦长为2，利用垂径定理及勾股定理列出关系式，联立求出a与r的值，即可确定出圆C的方程；（2）由（1）得到圆C的圆心坐标与半径，假设存在互相垂直的两条直线满足条件，当一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0时，经检验不合题意；故两直线斜率都存在，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，设一个斜率为k，另一个为﹣，由C坐标表示出直线方程，利用点到直线的距离公式求出M到两直线的距离，根据距离之积列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出满足条件的直线方程．解答：解：（1）∵圆心在直线y=2x上，∴设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2，…①又∵圆C经过点（﹣1，1），∴（﹣1﹣a）2+（1﹣2a）2=r2，…②又∵圆C被x轴截得的弦长为2，∴1+（2a）2=r2，…③由①②③解得a=1，r2=5，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；（2）由（1）知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，圆心C（1，2），假设存在互相垂直的两条直线满足条件，当一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0时，点（﹣1，1）到两条垂直直线的距离之积为2≠，不符合题意；当它们的斜率均存在时，分别设为y﹣2=k（x﹣1），y﹣2=﹣（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，x+ky﹣2k﹣1=0，∴o = ，即= ，当= 时，即k2+6k﹣7=0，解得：k=1或k=﹣7；当=﹣时，即7k2+6k﹣1=0，解得：k=﹣1或k= ，则存在互相垂直的两条直线方程分别为x﹣y+1=0，x+y﹣3=0或x﹣7y+13=0，7x+y﹣9=0．点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．27．设直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx，圆P是圆心在x轴的正半轴上，半径为3的圆．（Ⅰ）当k= 时，圆P恰与两直线l1、l2相切，试求圆P的方程；（Ⅱ）设直线l1与圆P交于A、B，l2与圆P交于C、D．（1）当k= 时，求四边形ABDC的面积；（2）当k∈（0，）时，求证四边形ABDC的对角线交点位置与k的取值无关．考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质．811365专题：综合题．分析：直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx 关于x轴对称．（Ⅰ）设圆心P（a，0），a＞0．利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，列方程求a．（Ⅱ）设A（x1，y1）B（x2，y2），（1）等腰梯形ABDC的面积= （AC+BD）×h，AC，BD，h用x1，y1，x2，y2，表示．代入求解．（2）根据图形的对称性，四边形ABDC的对角线交点在x轴上．能证明此点是定点即可．解答：解：直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx 关于x轴对称（Ⅰ）设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=9，利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，∴=3，解得a=5∴圆的标准方程为（x﹣5）2+y2=9（Ⅱ）（1）设A （x1，y1）B（x2，y2），则C（x1，﹣y1）D（x2，﹣y2），直线l1：y= x 与圆P方程联立，消去x得5y2﹣20y+16=0，得A（，），B（，）．等腰梯形ABDC的面积= （AC+BD）×h= （2y1+2y2）（x2﹣x1）= ×8×= ．（2）当k∈（0，）时，y=kx与圆P方程联立，并整理得：（1+k2）x2﹣10x+16=0，△=﹣64k2+36＞0．x1= ，x2=y1= ，y2= ，AC的斜率为k= = ．AC的方程为y﹣y1=k（x﹣x1），将x1，y1，k代入并化简整理得：y= ．与x 轴交与定点（，0）与k的值无关．点评：本题考查直线与圆的位置关系：相切，相交．联立方程组是最基本的解题方法，考查圆心到直线的距离公式，考查题目的理解能力计算能力．28．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设出圆的一般式方程，利用曲线y=x2﹣6x+1与方程的对应关系，根据同一性求出参数，即可得到圆C的方程；（II）设斜率为1的直线方程为x﹣y+a=0，圆C与直线x﹣y+a=0的交点于A（x1，y1）、B （x2，y2）．将直线与圆C方程消去y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理结合OA⊥OB建立关于x1、x2、a的方程组，解出a=﹣1即可得到存在斜率为1的直线满足题中的条件．解答：解：（I）设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．在曲线y=x2﹣6x+1中令x=0，得y=1，则点（0，1）在圆C上，可得1+E+F=0（*）再令y=0，可得方程x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，得D=﹣6，F=1，代入（*）解出E=﹣2，∴圆C方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=9（Ⅱ）设斜率为1的直线方程为x﹣y+a=0设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组由消去y，得方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，∴△=56﹣16a﹣4a2＞0．利用根与系数的关系，得到x1+x2=4﹣a，x1x2= （a2﹣2a+1）①，若OA⊥OB，则可得x1x2+y1y2=0，结合y1=x1+a，y2=x2+a，代入可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②联解可得a=﹣1，此时△=56﹣16a﹣4a268＞0．∴a=﹣1，得存在斜率为1的直线x﹣y﹣1=0，使其与圆C交于A、B两点满足OA⊥OB．点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法和函数方程思想，以及直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查解析几何中垂直问题的一般解题思路，属于中档题．29．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．（1）求直线BC的斜率及点C的坐标；（2）求BC边所在直线方程；（3）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程．考点：圆的标准方程；直线的斜率；直线的一般式方程．811365专题：计算题；直线与圆．分析：（1）由经过两点的斜率公式，可算出直线Ab的斜率，从而得出与AB垂直的直线BC的斜率为．由两点间距离公式算出AB= ，进而在Rt△ABC利用相似三角形算出且OC=4，由此可得点C的坐标；（2）根据B、C两点的坐标，运用直线方程的点斜式列式，再化简即可得到直线BC方程为y= x﹣2 ；（3）根据A、C两点的坐标算出AC中点M坐标为（1，0），而圆M的半径R= |AC|=3，利用圆方程的标准形式即可写出圆M的方程为（x﹣1）2+y2=9．解答：解：（1）∵A（﹣2，0），B（0，），∴直线Ab的斜率为，又∵AB⊥BC，∴（3分）由两点间距离公式，得，∵△OAB∽△OBC，得，∴，可得，∴Rt△OBC中，BC2=AC×OC，。
高中数学圆的方程典型例题(含答案)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点 A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线 y 0上的圆的标准方程并判断点 P(2,4)与圆的关系． 分析： 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 P 与圆的位置关系，只须看点 心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径， 则点在圆内．解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为 (x a)2 (y b)2 r 2 ． ∵圆心在 y 0 上，故 b 0． ∴圆的方程为 (x a)2 y 2 r 2．又∵该圆过 A(1,4)、 B(3,2)两点．22(1 a)216 r 2 22(3 a)24 r 2解之得： a 1， r 2 20．所以所求圆的方程为 (x 1)2 y 2 20 ． 解法二：(直接求出圆心坐标和半径)42 因为圆过 A(1,4) 、 B(3 , 2)两点，所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又因为 k AB 4 21AB1 3 斜率为1，又 AB 的中点为 (2,3)，故 AB 的垂直平分线 l 的方程为： y 3 x 2即 x y 1 0．又知圆心在直线 y 0上，故圆心坐标为 C( 1,0) ∴半径 r AC (1 1)2 42 20 ． 故所求圆的方程为 (x 1)2 y 2 20 ． 又点 P(2 ,4) 到圆心 C( 1,0)的距离为d PC (2 1)2 4225 r ．∴点 P 在圆外．例2 求半径为 4，与圆 x 2 y 2 4x 2y 4 0相切，且和直线 y 0相切的圆的方程． 分析： 根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆 C ：(x a)2 (y b)2 r 2．圆C 与直线 y 0相切，且半径为 4，则圆心 C 的坐标为 C 1(a, 4)或C 2(a, 4)． 又已知圆 x 2 y 2 4x 2y 4 0的圆心 A 的坐标为 (2 ,1) ，半径为 3．P 与圆，故 l 的52t 3tt 2 (3t 5)2 ．若两圆相切，则 CA 4 3 7或 CA 4 3 1．2 2 2 2 2 2(1)当C 1(a , 4)时， (a 2)2 (4 1)2 72，或 (a 2)2 (4 1)2 12 (无解)，故可得 a 2 2 10．∴所求圆方程为 (x 2 2 10)2 (y 4)2 42，或 (x 2 2 10)2 (y 4)2 42．(2)当C 2 (a , 4)时， (a 2)2 ( 4 1)2 72，或(a 2)2 ( 4 1)2 12 (无解)，故 a 2 2 6．∴所求圆的方程为 (x 2 2 6)2 (y 4)2 42 ，或 (x 2 2 6)2 (y 4)2 42． 说明： 对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线 y 0相切且半径为 4，则圆心坐标为 C(a,4) ，且方程形如 (x a)2 (y 4)2 42．又 2 2 2 2 2圆x 2 y 2 4x 2y 4 0，即(x 2)2 (y 1)2 3 2 ，其圆心为 A(2 , 1) ，半径为 3．若两圆相切，则 CA 4 3．故 (a 2)2 (4 1)2 72 ， 解 之 得 a 2 2 10 ． 所 以 欲 求 圆 的 方 程 为 (x 2 2 10)2 (y 4)2 42 ， 或 2 2 2 (x 2 2 10)2 (y 4)2 42 ．上述误解只考虑了圆心在直线 y 0 上方的情形，而疏漏了圆心在直线 y 0下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆 内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点 A(0 , 5) ，且与直线 x 2y 0和2x y 0都相切的圆的方程．分析： 欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直 线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解： ∵圆和直线 x 2y 0与 2x y 0相切， ∴圆心 C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线 x 2y 0和 2x y 0 的距离相等．∴x 2y x 2y ．∴ 5 5 ．∴两直线交角的平分线方程是 x 3y 0或 3x y 0． 又∵圆过点 A(0 ,5) ，∴圆心 C 只能在直线 3x y 0 上． 设圆心 C(t ,3t)∵ C 到直线 2x y 0 的距离等于 AC化简整理得 t 2 6t 5 0 ．解得： t 1或 t 5∴圆心是 (1 , 3) ，半径为 5 或圆心是 (5 ,15) ，半径为 5 5 ． ∴所求圆的方程为 (x 1)2 (y 3)2 5或 (x 5)2 (y 15)2 125．说明： 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过 定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例 4、 设圆满足： (1)截 y 轴所得弦长为 2； (2)被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为 3:1，在满足条件 (1)(2)的所有圆中， 求圆心到直线 l ：x 2y 0 的距离最小的圆的方程．分析： 要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个， 其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到 符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一： 设圆心为 P(a ,b) ，半径为 r ． 则P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a由题设知：圆截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为 90 ，故圆截 x 轴所得弦长为 2r ． 2∴r 2b 2又圆截 y 轴所得弦长为 2．2∴r a 2 1 ．又∵ P(a ,b) 到直线 x 2y 0的距离为22a 2 4b 24ab2 2 2 2a 2 4b 2 2(a 2 b 2 )2b当且仅当 a b 时取“ =”号，此时 d mina b这时有2b 2 a 2 1a 1 a1或b 1b1又r22b 22∴ 5d 22a 2b2故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 解法二：同解法一，得a 2bd．5∴ a 2b 5d ．2 2 2∴ a2 4b2 4 5bd 5d2．将a2 2b2 1代入上式得：222b2 4 5bd 5d2 1 0 ．上述方程有实根，故28(5d 2 1) 0，∴d 5．5将d 5代入方程得b 1．5又2b2 a2 1 ∴ a 1．由a 2b 1 知a 、b 同号．故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5 已知圆O：x2 y2 4，求过点P 2，4 与圆O相切的切线．解：∵点P 2，4 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为y k x 2 4根据d r∴2k 4 221 k3解得k343所以y 3 x 2 44即3x 4y 10 0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解决(也要注意漏解) ．还可以运用2x0x y0y r 2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆C 1：x 2 y 2 D 1x E 1y F 1 0与C 2：x 2 y 2 D 2x E 2yF 2 0相交于 A 、 B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析： 首先求 A 、 B 两点的坐标，再用两点式求直线 AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求，可以采用“设而不求”的技巧．解： 设两圆 C 1、C 2 的任一 交点坐标为 (x 0 , y 0) ，则有：22 x 0 y 0 D 1xE 1y 0F 1 0①22 x 0 yD 2x0 E 2 yF 2 0②①－②得： (D 1 D 2)x 0 (E 1 E 2)y 0 F 1F 2 0 ．∵ A 、 B 的坐标满足方程(D 1 D 2)x(E 1 E 2)yF 1F 2 0 ．∴方程 (D 1 D 2 )x (E 1E 2)yF 1 F 2是过 A 、 B 两点的直线方程又过 A 、 B 两点的直线是唯一的．∴两圆C 1、 C 2的公共弦 AB 所在直线的方程为 (D 1 D 2)x (E 1 E 2)yF 1 F 2 0．说明： 上述解法中，巧妙地避开了求 A 、 B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲 线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了 对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例 7、过圆 x 2 y 2 1外一点 M(2,3) ，作这个圆的两条切线 MA 、 MB ，切点分别是 A 、B ，求直线 AB 的方程。
必修2圆的方程测试题有答案
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）
13．若圆 = 关于直线 = 对称,过点 作圆的切线,则切线长的最小值是________.
14．已知圆 = 与圆 = 相外切,则 的最大值为_______.
（1）当点 在大圆上运动时，求垂足 的轨迹方程；
（2）过点 的直线 交垂足 的轨迹于 两点，若以 为直径的圆与 轴相切，求直线 的方程.
21．（12分）在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ： 与直线 ： 的交点为圆 的圆心，设圆 的半径为1．
（1）过点 作圆 交圆于 ， 两点，求弦 的长．
10．已知圆C过点M(1,1)，N(5,1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的方程为( )
A.x2＋y2－6x－2y＋6＝0B.x2＋y2＋6x－2y＋6＝0
C.x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0D.x2＋y2－2x－6y＋6＝0
11．若圆 有且仅有三个点到直线 的距离为1，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
19．（12分）已知圆 和点 .
（1）若过点 有且只有一条直线与圆 相切，求实数 的值，并求出切线方程；
（2）若 ，过点 的圆的两条弦 互相垂直，求 的最大值.
20．（12分）已知：如图，两同心圆： 和 . 为大圆上一动点，连结 （ 为坐标原点）交小圆于点 ，过点 作 轴垂线 （垂足为 ），再过点 作直线 的垂线 ，垂足为 .
（ ）求圆 的标准方程．
（ ）求直线 与圆 相交的弦长．
18．（12分）已知曲线 的方程为 （ ， 为常数）.
（1）判断曲线 的形状；
高二圆的方程练习题
高二圆的方程练习题在高二数学中，圆是一个重要的几何形状。
了解圆的方程和性质是解决与圆相关问题的基础。
下面是一些高二圆的方程练习题，帮助你巩固和应用这方面的知识。
1. 已知圆C的半径为r，圆心坐标为(h, k)。
写出圆C的标准方程和一般方程。
解答：圆C的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²圆C的一般方程为：x² + y² - 2hx -2ky + h² + k² - r² = 02. 试写出过坐标原点的圆，半径为r的标准方程和一般方程。
解答：过坐标原点的圆的圆心坐标为(0, 0)。
标准方程为：x² + y² = r²一般方程为：x² + y² - r² = 03. 已知圆C过点A(2, 3)和B(4, 1)，且圆心在y轴上。
写出圆C的方程。
解答：设圆C的圆心坐标为(0, k)。
由于圆心在y轴上，所以圆C的方程为x² + (y - k)² = r²。
将点A(2, 3)代入方程得：2² + (3 - k)² = r²。
将点B(4, 1)代入方程得：4² + (1 - k)² = r²。
由此可求得圆C的方程。
4. 已知圆C的直径的两个端点分别为A(3, 5)和B(-1, -2)，写出圆C的方程。
解答：直径的中点坐标为[(3 + (-1))/2, (5 + (-2))/2] = (1, 1)。
由于直径的中点即为圆心，所以圆C的圆心坐标为(1, 1)。
圆C的半径为AB的一半，即√[(3 - (-1))² + (5 - (-2))²] / 2。
将圆心坐标和半径代入圆的标准方程可求得圆C的方程。
5. 已知圆C的方程为2x² + 2y² + 4x - 6y + 9 = 0，写出圆C的圆心坐标和半径。
圆的方程习题附答案
圆的方程习题附答案方程y=1-x^2表示的曲线是圆x^2+y^2=1的上半圆。
以M(1,0)为圆心，且与直线x-y+3=0相切的圆的方程是(x-1)^2+y^2=8.已知圆C1：(x+1)^2+(y-1)^2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为(x-2)^2+(y+2)^2=1.已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切，圆心在直线y=-x 上，则圆C的方程为(x-1)^2+(y+1)^2=2.在平面直角坐标系xOy中，已知A(-1,0)，B(0,1)，则满足|PA|^2-|PB|^2=4且在圆x^2+y^2=4上的点P的个数为2.6．已知动点M(x，y)到点O(0，0)与点A(6，0)的距离之比为2，则动点M的轨迹所围成的区域的面积是多少？解析：设点P为M到OA上的垂足，则有OP = 2AP。
根据勾股定理，可得到PM 的长度为 $\sqrt{5} \times 2$。
因此，M 的轨迹是以点 A 为圆心，以 $\sqrt{5} \times 2$ 为半径的圆。
其面积为 $S = \pi \times (\sqrt{5} \times 2)^2 = 20\pi$。
因此，答案为 $20\pi$。
7．当方程 $x^2 + y^2 + kx + 2y + k^2 = 0$ 所表示的圆的面积取最大值时，直线 $y = (k - 1)x + 2$ 的倾斜角 $\alpha$ 是多少？解析：将方程化简，可得到 $(x + \frac{k}{2})^2 + (y +1)^2 = (\frac{k}{2})^2 + 1$。
因此，圆的半径为 $r =\sqrt{(\frac{k}{2})^2 + 1} - \frac{k}{2}$。
为了使圆的面积最大，需要求出 $r$ 的最大值。
对 $r$ 求导，可得到 $\frac{dr}{dk} = \frac{-3k}{4\sqrt{(\frac{k}{2})^2 + 1}} + \frac{1}{2}$。
高中数学圆与方程精选题目(附答案)
高中数学圆与方程精选题目（附答案）1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为()A．(－3,4,5)B．(－3，－4,5)C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)解析：选A纵、竖坐标相同．故点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为(－3,4,5)．2．已知圆O以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是() A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．无法判断解析：选B点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝(5－2)2＋(－7＋3)2＝5，故点M 在圆O上．3．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于()A. 2 B．2C．2 2 D．4解析：选B由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝3，弦心距d＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r2－d2＝2，选B.4．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为() A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0解析：选D由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝1－01－3＝－12，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.5．已知圆M：x2＋y2＝2与圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3，那么两圆的位置关系是() A．内切B．相交C．外切D．外离解析：选B∵圆M：x2＋y2＝2的圆心为M(0,0)，半径为r1＝2；圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3的圆心为N(1,2)，半径为r2＝3；|MN|＝12＋22＝5，且3－2＜5＜2＋3，∴两圆的位置关系是相交．6．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C. 3 D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.7．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.8．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.9．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|(－3)2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 10.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.51米D ．251米解析：选D 如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ， 则由已知可得A (6，－2)， 设圆的半径长为r ，则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， ∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．11．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1B.2 C ．2 D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.13．已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为____________________．解析：由圆心在y ＝－x ＋2上，设圆心为(a,2－a )， ∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离， 即|2a －2|2＝|2a ＋2|2，解得a ＝0， ∴圆心坐标为(0,2)，r ＝|2a －2|2＝2，∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案：x 2＋(y －2)2＝214．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)． 答案：(5,4,1)15．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4.答案：416．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 答案：4π17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3， ∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝⎛⎭⎫－1，－1，12 ∴|BG |＝32＋32＋14＝732.18．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心为(2,1)，若圆C 与圆O ：x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C 的方程．解：设圆C 的半径长为r ，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，即x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝r 2，圆C 与圆O 的方程相减得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r 2＝4，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.19．(本小题满分12分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B.(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)， 半径为12|OP |＝ 12(4－0)2＋(6－0)2＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y－3)2＝13.(2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，(x －2)2＋(y －3)2＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0. 20．(本小题满分12分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小， 即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10. (2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－(－2)－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20. ∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－2－b )2＝R 2，(－1－a )2＋(4－b )2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.21．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0， 此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2， 即2＋5(a －2)2＝5a 2， 解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|， 即|5(a －2)2－2|＝5a 2， 解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)． 综上所述，a ＝1±55.22．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。
高中数学圆的方程典型例题(含答案)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
圆解方程练习题带答案
圆解方程练习题带答案解方程是数学中重要的内容之一，帮助我们理解数学概念并解决实际问题。
在解方程的学习过程中，练习题是不可或缺的一部分。
本文将提供一些圆解方程的练习题及其答案，帮助读者加深对圆解方程的理解。
练习题1：已知圆的半径为3，求圆的面积。
解答：圆的面积公式为：S = π * r^2将半径r代入公式中，得到：S = π * 3^2S = π * 9S = 9π练习题2：已知圆心坐标为(2, 4)，半径为5，求圆的方程。
解答：圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，(a, b)为圆心坐标，r为半径。
将已知数据代入方程中，得到：(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 5^2x^2 - 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 25x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0练习题3：已知圆心坐标为(-1, 2)，过点(4, 1)的直线与圆交于两个点，求这两个点的坐标。
解答：设圆心为C(-1, 2)，过点(4, 1)的直线为l。
首先求直线l的方程：设直线l的斜率为k。
k = (1 - 2) / (4 - (-1)) = -1/5直线l的方程为：y = -1/5 * x + b将过圆心C的直线l带入圆的方程中，求得交点：(-1)^2 + (2 - (-1)/5 * x + b)^2 = r^2x^2 - 2/5x + 2 - 2/5b + b^2 = r^2将直线l的方程代入上式中，得到：x^2 - 2/5x + 2 - 2/5(-1/5 * x + b) + b^2 = r^2x^2 - 2/5x + 2 + 2/25x - 2/25b + b^2 = r^2整理得：(1 + 2/25)x^2 + (-2/5 + 2/25b - 2/25x)x + (2 + b^2) - r^2 = 0令A = 1 + 2/25，B = -2/5 + 2/25b - 2/25x，C = 2 + b^2 - r^2则上式可化为：Ax^2 + Bx + C = 0由已知直线l与圆交于两个点可得到两个解，即求二次方程Ax^2 + Bx + C = 0的解。
高中数学-圆与方程试题含答案
高中数学-圆与方程试题含答案1.圆(x+2)^2+y=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。
(x-2)^2+y=5B。
x+(y-2)^2=5C。
(x+2)^2+(y+2)^2=5D。
x+(y+2)^2=52.若P(2,-1)为圆(x-1)^2+y=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=03.圆x+y-2x-2y+1=1的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1+2√2D。
1+24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x^2+y^2+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。
-3或7B。
-2或8C。
0或10D。
1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
1条B。
2条C。
3条D。
4条6.圆x+y-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。
x+3y-2=0B。
x+3y-4=0C。
x-3y+4=0D。
x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x^2+y^2+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是 _________.2.由动点P向圆x^2+y^2=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为 _________.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为 _________.4.已知圆(x-3)^2+y^2=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为 _________.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x^2+y^2-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 _________.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a^2+b^2-2a-2b+2的最小值。
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高二数学圆的方程练习
【同步达纲练习】
A 级
一、选择题
1.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2
-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )
A.-3＜a ＜7
B.-6＜a ＜4
C.-7＜a ＜3
D.-21＜a ＜19
2.圆(x-3)2+(y-3)2
=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.使圆(x-2)2+(y+3)2
=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2)
C.(4，1)
D.(2 +2，2-3)
4.若直线x+y=r 与圆x 2
+y 2
=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.
2
2
B.1
C.2
D.2
5.直线x-y+4=0被圆x 2
+y 2
+4x-4y+6=0截得的弦长等于( ) A.8
B.4
C.22
D.42
二、填空题
6.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2
-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .
7.设集合m={(x,y)x 2+y 2≤25,N={(x,y)｜(x-a)2+y 2
≤9}，若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是 .
8.已知P(3，0)是圆x 2+y 2
-8x-2y+12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是 ，过点P 的最长弦所在直线方程是 .
三、解答题
9.已知圆x 2+y 2
+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ(O 是原点)，求m 的值.
10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C ：y=1+24x 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围.
AA 级
一、选择题
1.圆(x-3)2+(y+4)2
=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( )
A.(x+3)2+(y-4)2=2
B.(x-4)2+(y+3)2
=2
C.(x+4)2+(y-3)=2
D.(x-3)2+(y-4)2
=2
2.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2
=1的内部，则实数a 的取值范围是( )
A.｜a ｜＜1
B.｜a ｜＜
51 C.｜a ｜＜
12
1
D.｜a ｜＜13
1
3.关于x,y 的方程Ax 2
+Bxy+Cy 2
+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )
A.B=0，且A=C ≠0
B.B=1且D 2+E 2
-4AF ＞0
C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0
D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2
-4AF ＞0 4.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(
3
14
，5) B.(5，1) C.(0，0)
D.(5，-1)
5.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+2
=4的内部，则k 的范围是( )
A.-
51
＜k ＜-1 B.-
5
1
＜k ＜1 C.- 3
1
＜k ＜1
D.-2＜k ＜2
二、填空题
6.圆x 2+y 2
+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分别是 .
7.若方程a 2x 2+(2a+3)y 2
+2ax+a+1=0表示圆，则实数a 的值等于 .
8.直线y=3x+1与曲线x 2+y 2
=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是 . 三、解答题
9.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.
10.光线l 从点P(1，-1)射出，经过y 轴反射后与圆C ：(x-4)2+(y-4)2
=1相切，试求直线l 所在的直线方程.
【素质优化训练】
一、选择题
1.直线3x+y-23=0截圆x 2+y 2
=4得的劣弧所对的圆心角为(全国高考题)( )
A.
6
π
B.
4
π C.
3
π D.
2
π 2.对于满足x 2
+(y-1)2
=1的任意x,y ，不等式x+y+d ≥0恒成立，则实数d 的取值范围是( )
A.［2-1，+∞］
B.(-∞，2-1)
C.［2 +1,+∞］
D.(-∞, 2 +1)
3.若实数x ，y 满足x 2
+y 2
=1,则
1
2
--y y 的最小值等于( )
A.
4
1 B.
4
3
C.
2
3 D.2
4.过点P(1，2)的直线l 将圆x 2+2
-4x-5=0分成两个弓形，当大、小两个弓形的面积之差最大时，直线l 的方程是( )
A.x=1
B.y=2
C.x-y+1=0
D.x-2y+3=0
5.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )
A.1.8米
B.3米
C.3.6米
D.4米 二、填空题
6.若实数x,y 满足x 2+y 2
-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是 .
7.若集合A={(x 、y)｜y=-｜x ｜-2}，B={(x,y)｜(x-a)2+y 2=a 2
}满足A ∩B= ，则实数a 的取值范围是 .
8.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2
=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).
三、解答题
9.令圆x 2+y 2
-4x-6y+12=0外一点P(x,y)向圆引切线，切点为M ，有｜PM ｜=｜PO ｜,求使｜PM ｜最小的P 点坐标.
10.已知圆C ：(x+4)2+y 2
=4和点A(-23，0)，圆D 的圆心在y 轴上移动，且恒与圆C
外切，设圆D 与y 轴交于点M 、N ，求证：∠MAN 为定值.
11.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2
=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
12.自点A(-3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆x 2+y 2
-4x-4y+7=0相切，求光线l 与m 所在直线方程.
13.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜=2a,M 是圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜=｜MN ｜，求点P 的轨迹.
参考答案：
【同步达纲练习】
A 级
1.B
2.C
3.B
4.D
5.C
6.x=2或3x-4y-2=0
7.-2≤a ≤2
8.x+y-3=0，x-y-3=0
9.m=3 10.(
125,4
3) AA 级
1.B
2.D
3.D
4.D
5.B
6.(- 2a ,0), 2a
7.-1
8.(- 103，10
1
)
9.(x-2)2
+(y-1)2
=10 10.3x+4y+1=0或4x+3y-1=0
【素质优化训练】
1.C
2.A
3.B
4.D
5.C
6.10
7.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)
8.θ=arccot22 或π-arccot22, 8
9.P(
1312,13
18) 10.60° 11.M 的轨迹方程为(λ2
-1)(x 2
+y 2
)-4λ2
x+(1+4x 2
)=0，当λ=1时，方程为直线x=
4
5. 当λ≠1时，方程为(x-1222-λλ)2+y 2=2
22)
1(31-+λλ它表示圆，该圆圆心坐标为(1222
-λλ,0)半径为
1
312
2
-+λλ
12.l 的方程为：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 M 的方程为3x-4y-3＝0或4x-3y+3＝0 13.x 2
+(y ±
2a )2=(2
a )2
轨迹是分别以CO ，CD 为直径的两个圆.。