简述拉氏变换的微分定理、积分定理和比例定理

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拉普拉斯变换微分定理

拉普拉斯变换微分定理拉普拉斯变换微分定理引言：在数学中，拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，可以将一个函数f(t)转换为另一个函数F(s)，从而方便地求解一些复杂的微积分方程。

在实际应用中，拉普拉斯变换经常被用来解决电路、控制系统、信号处理等领域的问题。

本文将介绍拉普拉斯变换的微分定理，这是应用最广泛的定理之一。

第一部分：定义与性质1.1 定义设f(t)为t≥0上的一个连续函数，则其Laplace变换F(s)定义为：F(s)= L{f(t)}=∫0∞e^(-st)f(t)dt其中s为复数。

1.2 性质（1）线性性：对于任意常数a,b和函数f(t),g(t)，有：L{af(t)+bg(t)}=aL{f(t)}+bL{g(t)}（2）时移性：对于任意常数a和函数f(t)，有：L{e^(at)f(t)}=F(s-a)（3）频移性：对于任意常数a和函数f(t)，有：L{f(at)}=1/aF(s/a)（4）导数定理：设f'(t)为f(t)的导数，则有：L{f'(t)}=sF(s)-f(0)（5）积分定理：设F(s)为f(t)的Laplace变换，则有：L{∫0^tf(u)du}=1/sF(s)第二部分：微分定理2.1 定义设f(t)为t≥0上的一个连续函数，其Laplace变换为F(s)，则有：L{f'(t)}=sF(s)-f(0)这个公式称为拉普拉斯变换的微分定理。

它表明，对于连续可导的函数f(t)，它的导数在Laplace域中可以通过对其Laplace变换进行简单的运算得到。

2.2 推导我们来推导一下这个公式。

设F(s)=L{f(t)}，则有：F'(s)=d/ds L{f(t)}=d/ds ∫0∞e^(-st)f(t)dt=∫0∞d/ds(e^(-st))f(t)dt=-∫0∞te^(-st)f(t)dt注意到这里用到了求导和积分的交换顺序，这是由于假设了函数在一定范围内连续可导。

自动控制理论基础知识拉氏变换

∫ 1 定义：如果以时间 t 为自变量的函数 f(t)当 t≥0 时有定义，且积分 ∞ f (t)e−stdt 在 s 的某 0
∫ 一域内收敛，则由此积分所确定的函数 F (s) = ∞ f (t)e−stdt ，称为函数 f(t)的拉氏变换，记 0
作 F (s) = L[ f (t)] 。
拉氏变换是一种单值变换。f(t)和 F(s)之间具有一一对应关系。
=
b3 (s +1)3
+
b2 (s +1)2
+
b1 + s +1
c4 s
b3
=
1 [ s(s +1)3
(s
+1)3 ]s=−1
=
−1
b2
=
⎧d
⎨ ⎩
ds
[1 s(s +1)3
(s
+
1)3
⎫ ]⎬
⎭s=−1
=
[d ds
(
1 s
)]s
=−1
=
(−s−2 )
s = −1
=
−1
b1
=
1 (2s−3 ) 2!
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
上式表明：原函数 f(t)在 t →∞ 时的数值（稳态值），可以通过将象函数 F(s)乘以 s 后，再
求 s→ 0 的极限求得。
（6）延迟定理： L[ f (t −τ )] = e−sτ F (s)
（7）位移定理： L[e−α t f (t)] = F (s + α )
=
(l
1 {d l−1 −1)! ds
[M (s) D(s)
(s

拉氏变换详细解读

2
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
）式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端趋于零时的f 的值，相当于初始条件。趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0

拉氏变换微分定理公式

拉氏变换微分定理公式拉氏变换微分定理是拉氏变换中的一个重要定理，它是数学中的一种变换方法，可以将一个函数从时域转换到复频域。

它在信号处理、电路分析、控制系统等领域有着广泛的应用。

拉氏变换微分定理的公式表达为：L{f'(t)} = sF(s) - f(0)其中，L{f'(t)}表示函数f(t)的导数的拉氏变换，F(s)表示函数f(t)的拉氏变换，s表示复频域中的复变量，f(0)表示函数f(t)在t=0时的值。

根据拉氏变换微分定理，我们可以通过对函数f(t)的拉氏变换来求得函数f'(t)的拉氏变换。

这个定理的推导可以通过对函数f(t)在时域进行微分，然后再进行拉氏变换来得到。

在实际应用中，拉氏变换微分定理可以帮助我们简化复杂的微分方程求解过程。

通过将微分方程转化为代数方程，我们可以更加方便地进行分析和计算。

举个例子来说明拉氏变换微分定理的应用。

假设有一个电路，电路中的电流i(t)满足以下微分方程：L{i'(t)} + Ri(t) = V(t)其中，L表示电感的感值，R表示电阻的阻值，V(t)表示电路中的电压。

我们可以通过拉氏变换微分定理将上述微分方程转化为代数方程。

首先对方程两边进行拉氏变换，得到：sLI(s) - Li(0) + RI(s) = V(s)然后，我们可以解出电流i(t)的拉氏变换I(s)：I(s) = (V(s) + Li(0))/(sL + R)通过对I(s)进行拉氏逆变换，我们可以求得电流i(t)的表达式。

这个例子展示了拉氏变换微分定理在电路分析中的应用。

通过将微分方程转化为代数方程，我们可以更加简化电路分析的过程，提高计算的效率。

除了在电路分析中，拉氏变换微分定理还有许多其他的应用。

在信号处理中，我们可以利用拉氏变换微分定理来分析信号的频谱特性。

在控制系统中，我们可以利用拉氏变换微分定理来分析系统的稳定性和响应特性。

总结而言，拉氏变换微分定理是一种重要的数学工具，它可以将函数从时域转换到复频域，简化复杂的微分方程求解过程。

拉氏变换与Z变换的基本公式及性质

拉氏变换与Z变换的基本公式及性质拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的信号分析工具，它将时域函数转换为复域函数，使得分析和处理复杂的差分方程、微分方程、线性时不变系统等问题变得更加简单。

拉氏变换的定义如下：对于一个定义在半轴t≥0上的实值函数f(t)，它的拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中s是一个复变量，e^(-st)是一个复数系数。

拉氏变换的基本公式：1.映射常数L{1}=1/s2. $L{e^{at}}=\frac{1}{s-a}, Re(s)>a$3.时间平移L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)4.频域平移L{e^(as)f(t)} = F(s-a)5.合并函数L{f(t)+g(t)}=F(s)+G(s)6.乘法L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)7.单位冲激函数L{δ(t-a)} = e^(-as)拉氏变换的性质：1.线性性质L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2.积分性质L{∫[0,t]f(τ)dτ}=1/s*F(s)3.拉氏变换的导数性质L{f'(t)}=sF(s)-f(0)4.初始值定理f(0+) = lim(s->∞) sF(s)5.最终值定理lim(t->∞) f(t) = lim(s->0) sF(s)Z变换是一种由离散信号而来的变换，它将离散序列变换到复平面上。

Z变换的定义如下：对于一个离散序列x[n]，它的Z变换X(z)定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑[-∞,∞]x[n]z^(-n)其中z是一个复变量。

Z变换的基本公式：1.映射常数Z{1}=12.单位序列Z{δ[n]}=13.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)4.平移Z{x[n-a]}=z^(-a)X(z)5.单位冲激响应函数Z{h[n]}=H(z)6.时域乘法Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)Z变换的性质：1.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)2.移位性质Z{x[n-k]}=z^(-k)X(z)3.初始值定理x[0] = lim(z->∞) X(z)4.最终值定理lim(n->∞) x[n] = lim(z->1) (1-z^(-1))*X(z)5.时域卷积性质Z{x[n]*y[n]}=X(z)Y(z)6.时域乘法性质Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)总结：拉氏变换和Z变换都是用于信号分析和处理的重要工具。

拉斯变换解微分方程

拉斯变换解微分⽅程§2-3拉普拉斯变换及其应⽤时域的函数可以通过线性变换的⽅法在变换域中表⽰，变换域的表⽰有时更为简捷、⽅便。

例如控制理论中常⽤的拉普拉斯变换，简称拉⽒变换，就是其中的⼀种.⼀、拉⽒变换的定义已知时域函数，如果满⾜相应的收敛条件，可以定义其拉⽒变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表⽰为(2-46)因为是复⾃变量的函数，所以是复变函数。

有时，拉⽒变换还经常写为(2-47)拉⽒变换有其逆运算，称为拉⽒反变换，表⽰为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。

⼆、常⽤信号的拉⽒变换系统分析中常⽤的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。

现复习⼀些基本时域信号拉⽒变换的求取。

(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49) 且(2-50)所以(2-51) 说明：单位脉冲函数可以通过极限⽅法得到。

设单个⽅波脉冲如图2-13所⽰，脉冲的宽度为，脉冲的⾼度为，⾯积为1。

当保持⾯积不变，⽅波脉冲的宽度趋于⽆穷⼩时，⾼度趋于⽆穷⼤，单个⽅波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。

在坐标图上经常将单位脉冲函数表⽰成单位⾼度的带有箭头的线段。

由单位脉冲函数的定义可知，其⾯积积分的上下限是从到的。

因此在求它的拉⽒变换时，拉⽒变换的积分下限也必须是。

由此，特别指明拉⽒变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。

所以，关于拉⽒变换的积分下限根据应⽤的实际情况有，，三种情况。

为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。

(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表⽰为(2-52)⼜经常写为 (2-53)由拉⽒变换的定义式，求得拉⽒变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉⽒变换，其积分下限规定为。

(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表⽰为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表⽰信号的起始时刻，有时也经常写为 ( 2-56) 为了得到单位斜坡信号的拉⽒变换，利⽤分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表⽰为(2-58) 拉⽒变换为 (2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉⽒变换可以利⽤指数信号的拉⽒变换求得。

拉氏变换

2.二阶非齐次方程求解二阶非齐次方程求解
机械工程控制基础
y ′′ + p y ′ + qy = f ( x ) → y *
拉氏变换
1 . f ( x ) is k n x n + k n 1 x n 1 + + k 1 x + k 0 isn ' t root y * → y * = x 2 R n ( x ) → 0 is single root y * → y * = xR n ( x ) * * 2 0 is double root y → y = x R n ( x ) a isn ' t root y * → y * = β xe ax 2 . f ( x ) is Ae ax → a is single root y * → y * = β xe ax a is double root y * → y * = β x 2 e ax a isn ' t root y * → y * = Pn ( x ) e ax 3 . f ( x ) is Pn ( x ) e ax → a is single root y * → y * = xP n ( x ) e ax a is double root y * → y * = x 2 Pn ( x ) e ax ω isn ' t single root y * → y * = M cos ω x + N sin ω x 4 . f ( x ) is A sin ω x → ω is single root y * → y * = x ( M cos ω x + N sin ω x ) α ± β j isn ' t root y * → y * = e α x ( M cos β x + N sin β x ) 5 . f ( x ) is Ae ax sin β x → ω is single root y * → y * = xe α x ( M cos ω x + N sin ω x )

拉氏变换常用公式

拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。

本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。

1. 拉氏变换公式拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。

以下是一些常用的拉氏变换公式：（1）常数信号的拉氏变换：如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。

（2）指数信号的拉氏变换：指数信号的拉氏变换公式为：f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。

（3）单位冲激信号的拉氏变换：单位冲激信号的拉氏变换公式为：f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，其中δ(t)表示单位冲激函数。

（4）正弦信号的拉氏变换：正弦信号的拉氏变换公式为：f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。

其中ω为正弦信号的频率。

2. 拉氏反变换公式拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些常用的拉氏反变换公式：（1）常数信号的拉氏反变换：对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。

（2）指数信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。

（3）单位冲激信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。

（4）正弦信号的拉氏反变换：对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。

3. 拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，其中包括线性性质、时间平移性质、频率平移性质、频率缩放性质、卷积定理等，这些性质对于信号处理和系统分析非常有用。

（1）线性性质：拉氏变换具有线性性质，即对于输入信号f1(t)和f2(t)，以及相应的拉氏变换F1(s)和F2(s)，有以下性质成立：a1*f1(t) + a2*f2(t) -> a1*F1(s) + a2*F2(s)。

拉氏变换微分定理

拉氏变换微分定理
拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。

时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。

变量s又称“复频率”。

拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。

s=jw，当中的j是复数单位，所以使用的是复频域。

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。

拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。

拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。

拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t≥0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。

f(t)表示实变量t 的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s＝σ＋j\\u0026owega;的一个函数，其中σ和\\u0026owega; 均为实变数,j2＝-1。

F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定：拉普拉斯变换。

拉氏变换的作用：求解方程得到简化。

且初始条件自动包含在变换式里。

拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。

即将微分方程变成代数方程。

拉氏变
换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。

利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。

复习拉氏变换知识

s+3 2+ j = s → −1 + j (s + 1 − j)(s + 1 + j) 2j s+3 2− i C 2 = lim (s + 1 + j) = s → −1− j (s + 1 − j)(s + 1 + j) − 2 j
2 + j ( −1+ j ) t 2 − j ( −1− j ) t = 1 e − t ( 2 + j )e jt − ( 2 − j )e − jt f(t) = e e − 2j 2j 2j 1 −t e ⋅ j[2 cos t + 4 sin t ] = e − t ⋅ [cos t + 2 sin t ] = 2j s+1 1 s +1+ 2 s+3 = +2 = F(s) = 解二：解二： 2 2 (s + 1 )2 + 12 (s + 1 )2 + 12 (s + 1 )2 + 12 (s + 1 ) + 1
11）复习拉普拉斯变换有关内容（11）
用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y′′( t ) + a1 ⋅ y′( t ) + a2 ⋅ y( t ) = 1( t )
y(0) = y′(0) = 0
L变换变换
1 Y ( s) = s( s 2 + a1 s + a 2 )
L-1变换
1 ( s + a1 s + a 2 ) ⋅ Y ( s ) = s
2 常见函数的拉氏变换
1 t ≥ 0 （1）阶跃函数 f ( t ) = 0 t < 0 ∞ − 1 − st ∞ − 1 (0 − 1) = 1 L[1(t )] = ∫ 1 ⋅ e − st dt = e 0 = s s s 0

第三章拉氏变换(2)

k11 − 6k12 = 1
− 6 k 11 = − 4
{
1 18 2 k11 = 3 k1 =
k12 = −
1 18
1 1 2 1 1 1 F ( s) = ⋅ + ⋅ 2 − ⋅ 18 s − 6 3 s 18 s
1 e 6t 2 f (t ) = + t− 18 3 18
⑵ 留数法求解
对于单极点对应的系数有 k i = F ( s )( s − si )
F (s) = ∑
n
(s − sk )n +1− p p =1
k1 p
s−4 k1 k11 k12 k1 s 2 + k11 s − 6k11 + k12 s 2 − 6k12 s F ( s) = 2 = = + 2 + s ( s − 6) s − 6 s s 2 ( s − 6) s
{
k1 + k12 = 0
求函数 f1(t)=t 和 f2(t)=sint 的卷积，即求 )=sin t * sint
解，依卷积的定义得 t ∗ sin t =
t
∫ τ sin(t − τ )dτ
0
t
t
利用分部积分可得 = τ cos(t − τ ) 0 − ∫0 cos(t − τ )dτ 卷积的交换性质：g(t)*h(t)=h(t)*g(t) 2. 卷积定理
用微分定理求常数k的拉氏变换
k l[kt ] = 2 s
6. 积分定理
k k l[k ] = s ⋅ 2 = s s
— 函数积分的拉氏变换设函数 f (t)及其各重积分均符合拉氏变换定义，且ℓ[ f (t)]=F(s)，则函数一重积分的拉氏变换：，

拉氏变换微分定理n阶

拉氏变换微分定理n阶拉氏变换是一种数学工具，通过将函数从时间域转换到频域，可以使复杂的微分方程问题转化为代数方程问题来求解。

在拉氏变换中，微分定理是一种非常重要的工具，它可以帮助我们简化计算和分析。

首先，我们来了解一下拉氏变换的基本概念。

拉氏变换可以将我们在时间域中的函数表示成一个复杂频率域中的函数。

通过这种变换，我们可以得到函数的频率特性，包括振幅和相位信息。

在实际应用中，拉氏变换广泛应用于电路分析、信号处理、控制系统等领域。

接下来，我们介绍一下拉氏变换的微分定理。

微分定理是拉氏变换中的一项基本性质，它可以帮助我们进行微分运算。

具体而言，如果我们将时间域中的函数f(t)进行拉氏变换得到F(s)，那么这个变换满足以下微分定理：L{f'(t)} = sF(s) - f(0)其中，f'(t)表示函数f(t)的导数，s表示频域中的变量。

微分定理的具体含义是，当我们对时间域中的函数进行导数运算时，它对应于频域中的函数乘以变量s。

另外，微分定理的公式中有一个项f(0)，它表示函数f(t)在t=0时刻的值。

这个项的存在是非常重要的，它可以修正由于拉氏变换导致的初始值的丢失。

通过微分定理，我们可以更加灵活地进行拉氏变换的计算。

例如，当我们需要计算函数f'(t)的拉氏变换时，我们可以根据微分定理得到：L{f'(t)} = sF(s) - f(0)通过已知函数f(t)的拉氏变换F(s)，我们可以直接求得f'(t)的拉氏变换。

微分定理不仅仅在求解微分方程的过程中起到了重要的作用，还在其他领域中有广泛的应用。

例如，在信号处理中，我们经常需要对信号进行滤波操作，通过微分定理，我们可以将滤波过程转化为频域中的乘法操作来实现。

这样可以大大简化滤波器的设计和分析过程。

总之，微分定理是拉氏变换中的一项重要工具，它可以帮助我们进行微分运算，并在各个领域中发挥重要的作用。

了解和掌握微分定理对于理解拉氏变换的原理和应用具有指导意义。

第二节拉氏变换公式

解：（1）
cos(t)
1

d sin(t)
dt
L[sin(t)]
s2
2
L[cos(t )]

L
1

d
sin(t)
dt

1

s
s2
2
0

s2
s
2
机械工程控制基础第二章拉普拉斯变换的数学方法（2） f(t)=δ(t)
由于 δ(t)=dε(t)/dt
L

f
(t) t

F (s)ds
s

F (s)ds

f (t)estdtds
s
s0

f (t)dt
est ds
0
s
f (t)dt [1est ]
0
t
s
f (t) estdt L[ f (t)]
0t
t
（2－29）
机械工程控制基础第二章拉普拉斯变换的数学方法
练习2-7：求如下函数的拉氏变换
（欧拉公式）
（2－19）（2－20）
机械工程控制基础例2-2：求解函数
第二章拉普拉斯变换的数学方法的拉氏变换
机械工程控制基础第二章拉普拉斯变换的数学方法典型函数的拉氏变换小结
指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数
L[tn ]
机械工程控制基础第二章拉普拉斯变换的数学方法
第二节拉氏变换
机械工程控制基础第二章拉普拉斯变换的数学方法
一、拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：

拉氏变换

控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。

一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。

f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。

2)当时，，M，a为实常数。

2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。

—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。

二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。

注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。

2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。

证：同理可推广到n阶：当初始条件为0时，即则有4、积分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则，其中时的值。

拉普拉斯变换积分定理

拉普拉斯变换积分定理拉普拉斯变换积分定理是微积分学中的一个重要定理，它在求解常微分方程和偏微分方程等数学问题中发挥着重要作用。

该定理将一个函数在实数轴上的积分转化为在复数平面上对该函数的拉普拉斯变换的积分，从而简化了复杂函数的计算过程。

本文将对拉普拉斯变换积分定理进行详细介绍和解释。

拉普拉斯变换积分定理是以法国数学家拉普拉斯的名字命名的，他在研究变分法和微分方程时首次引入了这一变换。

拉普拉斯变换的定义是一个积分变换，它将一个函数f(t)映射为另一个函数F(s)，其中s是一个复数变量。

通过对f(t)进行拉普拉斯变换，我们可以将一个在时间域上的函数转换为在频率域上的函数，从而更方便地进行分析和计算。

拉普拉斯变换积分定理的表述是：如果一个函数f(t)在区间[0,∞)上是绝对可积的，即其积分收敛，那么该函数的拉普拉斯变换F(s)在复平面的Re(s)>a的区域内是解析的。

这意味着我们可以通过对f(t)进行拉普拉斯变换，将其转化为一个在复平面上解析的函数，从而可以利用复变函数论的工具来研究该函数的性质。

拉普拉斯变换积分定理的证明涉及到复变函数论和积分学的知识，需要对复数的性质和积分的收敛性有深入的理解。

通过对f(t)在区间[0,∞)上的绝对可积性进行分析，我们可以得出F(s)在Re(s)>a的区域内是解析的结论。

这为我们在复平面上对F(s)的性质和行为进行研究提供了理论基础。

拉普拉斯变换积分定理在控制理论、信号处理、电路分析等领域有着广泛的应用。

通过将微分方程转化为代数方程，我们可以更容易地求解复杂的动态系统，并分析系统的稳定性和性能。

在信号处理中，拉普拉斯变换可以将时域信号转化为频域信号，从而方便地对信号进行滤波和分析。

在电路分析中，我们可以利用拉普拉斯变换简化电路的分析过程，从而更好地理解电路的行为和性能。

拉普拉斯变换积分定理是微积分学中的重要定理，它将函数在实数轴上的积分转化为在复数平面上对函数的拉普拉斯变换的积分，从而简化了复杂函数的计算过程。

机械工程控制基础(拉氏变换)

控制工程基础
Fundamentals of Control Engineering
拉普拉斯变换
一.拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换是 f(t)从时域到复频域F(S)的积分变换。设f(t)在t>=0上有定义,则
S j
称为函数f(t)的拉普拉斯变换,简称拉氏变换.
S为复平面上某一收敛范围.
四. 拉氏变换的性质
2、微分定理
L f t F S
四. 拉氏变换的性质
对于微分定理有以下推论:
四. 拉氏变换的性质
3、积分定理
四. 拉氏变换的性质
四. 拉氏变换的性质
四. 拉氏变换的性质
四. 拉氏变换的性质
卷积定理:
五. 拉氏反变换
由已知的像函数F(s),求它的像原函数f(t),这就是拉普拉斯反变化.
式中的f(t)：像原函数；F(S)：f(t)在S域中的像函数。
Hale Waihona Puke 二.拉氏变换存在定理必须满足2个条件 (1) t<0时, f(t)=0. t>=0时, f(t)至少分段连续. (2) 当t→+∞时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数. 即存在常数M>0, c0>0,使 | f(t)|<=Mec0t. 其中: c0称为增长指数. 由上可知, 物理学和工程技术中常见的函数大都能满足这两个条件.
五. 拉氏反变换
方法一. 利用定义
五. 拉氏反变换
方法二. 利用卷积定理
五. 拉氏反变换
方法三. 用部分分式法
设
F (S ) N (S ) D(S ) a0 S m a1 S m 1 a m b0 S n b1 S n 1 bn

(完整版)最全拉氏变换计算公式

最全拉氏变换计算公式1.拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定理一般形式初始条件为0 时一般形式3积分定理初始条件为0 时4延缓定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[ af (t )] aF ( s)L[ f1 (t) f 2 (t)] F1 ( s) F2 (s)df (t )] sF (s) f ( 0)L[dt2d f (t ) 2L[] s F ( s) sf (0) f （0）d n f (t )nnn k ( k 1)k 1sL dt n s F ( s) f (0)f ( k 1 ) (t) d k 1 f (t )dt k 1L[d n f (t )] s n F (s)dt nL[ f (t)dt]F (s) [ f (t )dt]t 0s sL[ f (t)(dt)2]F (s) [ f (t)dt]t 0 [ f (t )(dt)2 ]t 0s2 s2 s共 n个n共 n个nF (s) 1 nL[ f (t)(dt) ] [ f (t )(dt) ]t 0s n k 1 s n k 1共n个L[ f (t )(dt) n ] F( s)s nL[ f ( t T )1(t T )] e Ts F (s)L[ f (t) e at ] F ( s a)lim f (t) lim sF (s)t s 0lim f (t) lim sF (s)t 0 st) f2 ( )d ]t)d ] F1( s) F2 (s) L[ f1(t L[ f1(t) f2 (t0 012．常用函数的拉氏变换和序号拉氏变换E(s) 1 112 1 e Ts13s4 1 s25 1 s361 s n 17 1s a8 1 2( s a)9 as(s a)10 b a(s a)(s b) 11 s 2 212ss2 213( s2 2a)14 s a 2 2(s a)1 z变换表时间函数e(t)δ(t)T (t )(t nT )n 01(t )tt 22t nn!e atte at1 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos tZ 变换 E(z)1zz 1zz 1Tz(z 1) 2T 2 z( z 1)2(z 1)3lim(1)n nzn ( aT)a 0 n! a z ezaTz eTze aT( z e aT ) 2(1 e aT )z( z 1)(z e aT )z zz e aT z e bTzsin Tz2 2z cos T 1z2z( z cos T )2 zcos T 1ze aT sin Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz2 ze aT cos Tz2 2ze aT cos T e 2aTz15 s (1/ T ) ln a a t / T z a23．用表法行拉氏反用表法行拉氏反的关在于将式行部分分式张开，尔后逐表行反。

拉普拉斯变换的基本定理

拉普拉斯变换的基本定理
拉普拉斯变换的基本定理
本节介绍拉普拉斯变换（也称为拉⽒变换）的基本性质，了解掌握了这些性质，可以更加⽅便地求解各种拉普拉斯正反变换。

⼀、线性定理
设则：
（式9-2-1）
式中为常系数。

例9-2-1 求、和的拉⽒变换。

解：
同理：
⼆、微分定理
设，则：
（式9-2-1）
同理可推⼴得到的⾼阶导数的拉⽒变换式：
例9-2-2：
已知，求。

解：由于，由（式9-2-2）得：
同理：
三、积分定理
设，则：
求。

解：斜坡函数是单位阶跃函数的积分，由（式
设，则：
（式
所⽰函数的拉普拉斯变换式。

设，则：
求：和的拉普拉斯反变换。

设，则：
（式9-2-6）
例9-2-6．求的拉普拉斯反变换式。

解：已知，利⽤卷积定理得：
同理可推得：
七、初值定理
设，则
例9-2-7．设，验证初值定理。

解：
⼜：
，所以，得证！
⼋、终值定理：
设，则
例9-2-8．仍设，验证终值定理。

解：
，⼜
所以，得证!
注意：利⽤终值定理求的前提条件是必须存在，且是唯⼀确定的值。

拉氏变换重要公式

拉氏变换重要公式1 拉氏变换定义()()[]()dt e t f t f L s F st 0-∞⋅==⎰2 常用公式()[]1t L =δ/()[]s1t 1L =/as 1]e[L at-=/2at a)(s 1]e [L -=t /[]22s t sin L ωωω+=[]22ss t cos L ωω+=/[]2s1t L =/[]1n nsn!t L +=/[]22at -a)(s t sin e L ωωω++=/[]22at -a)(s a s t cos e L ωω+++=3 拉氏变换的几个重要定理（1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L -⋅=' （3）积分定理：()[]()()()0fs 1s F s 1dt t f L 1-+⋅=⎰零初始条件下有：()[]()s F s1dt t f L ⋅=⎰进一步有： ()()()()()()()()0f s 10f s 10f s 1s F s1dt t f L n 21n 1n n nn ----++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰⎰⎰（4）位移定理实位移定理：()[]()s F e -t f L s ⋅=-ττ 虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =⋅（5）终值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim f t f lim0s t ⋅=∞=→∞→ （6）初值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim 0f t f lims 0t ⋅==∞→→ 4 拉氏反变换 (1) 反变换公式：⎰∞+∞-=j j stdse ).s (F j 21)t (f σσπ(2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) 设 )m n (a s a s a s a s b s b sb sb )s (A )s (B )s (F n1-n 2-n 21-n 1nm1-m 1m 1m0>+++++++++==-其中分母多项式可以分解因式为： )p s ()p s )(p s ()s (A n 21---=)s (A p i 为的根(特征根)，分两种情形讨论：I ：0)s (A =无重根时：(依代数定理可以把)s (F 表示为：)∑=-=-++-+-+-=n1i iinn 332211p s c p s c p s c p s c p s c )s (F而i c 计算公式：)s (F ).p s (lim c i p s i i-=→(1) ip s 'i)s (A )s (B c ==(1′)II ：0)s (A =有重根时：设1p 为m 阶重根，n 1m s ,s +为单根 .则)s (F 可表示为：nn 1m 1m 111-m 11-m m1m p -s c p -s c p -s c )p -(s c )p -(s c )s (F ++++++=++其中单根n 1m c ,c +的计算仍由I 中公式(1) (1′)来计算. 重根项系数的计算公式：[][][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=→→→→)s (F .)p s (ds d lim 1)!-(m 1c )s (F .)p s (dsd lim j!1c (2) )s (F .)p s (ds d lim c )s (F .)p s (lim c m1p s 1-m 1)-(m 1m1p s j (j)j-m m 1p s 1-m m 1p s m 1111Ⅲ：0)s (A =含有共扼复数根时：则)s (F 可表示为：nn p s c p s c p s p s c s c s F ++⋅⋅⋅++++++=332121))(()(c1和c2的求法公式如下，利用等式两边实部和实部相等，虚部和虚部相等得c1和c2。

简述拉氏变换的微分定理、积分定理和比例定理

拉普拉斯变换微分定理

自动控制理论基础知识拉氏变换

拉氏变换详细解读

拉氏变换微分定理公式

拉氏变换与Z变换的基本公式及性质

拉斯变换解微分方程

拉氏变换

拉氏变换常用公式

拉氏变换微分定理

复习拉氏变换知识

第三章 拉氏变换(2)

拉氏变换微分定理n阶

第二节 拉氏变换公式

拉氏变换

拉普拉斯变换积分定理

机械工程控制基础(拉氏变换)

(完整版)最全拉氏变换计算公式

拉普拉斯变换的基本定理

拉氏变换重要公式

第三章拉氏变换(2)

第二节拉氏变换公式