北京市第四中学2022_2023学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)

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北京市西城区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案

2025届高二第二学期期中数学试题（答案在最后）一、单选题1.在等差数列{}n a 中，若45615aa a ++=，则28a a +=（）A.6B.10C.7D.5【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=，代入可得55a =，而要求的值为52a ，代入可得．【详解】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=所以45615a a a ++=，即5315a =，55a =，故28522510a a a +==⨯=，故选：B ．2.已知数列{}n a 的通项公式为n a ＝n 2－n －50，则－8是该数列的()A.第5项B.第6项C.第7项D.非任何一项【答案】C 【解析】【分析】令8n a =-，解出正整数n 即为数列的第几项.【详解】由题意，令8n a =-，解得7n =或6-（舍），即为数列的第7项.故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的应用，熟练掌握数列的基本性质，n 为数列的项数.3.《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺布，则第2天织的布的尺数为A.16329B.16129C.8115D.8015【答案】A【解析】【详解】设公差为d ,由题意可得：前30项和30S =420=30×5+30292⨯d ,解得d =1829.∴第2天织的布的尺数=5+d =16329.故选A.4.如图，函数y＝f(x)在A，B 两点间的平均变化率等于()A.-1B.1C.-2D.2【答案】A 【解析】【分析】根据平均变化率的概念求解.【详解】易知()13f =，()31f =，因此()()31131f f -=--，故选A【点睛】求平均变化率的一般步骤：①求自变量的增量△x=x 2-x 1，②求函数值的增量△y=f （x 2）-f （x 1），③求函数的平均变化率()()2121f x -f x y =x x -x ∆∆.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若22a =，5646a a a +=，则5(a =)A.4B.10C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程关系求出公比即可．【详解】由6546a a a +=得260q q +-=，解得2q =，从而352216a a =⋅=．故选C ．【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用，建立方程关系求出公比是解决本题的关键．6.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（）A.12B.13C.14D.15【答案】B【解析】【分析】由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.【详解】将5月剩余的30天依次编号为1，2，3⋅⋅⋅30，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；+++=，所以李明需要配送的天数为1050217-=.所以整个5月李明不用去配送的天数是301713故选：B.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.7.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.fB.C. D.【答案】D 【解析】【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.8.已知等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于（）A.1B.12-C.12-或1 D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，代由等比数列的前n 项和公式化简即得所求【详解】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，由等比数列的前n 项和公式有()()()9631112111111a q a q a q q q q---=+---，化简得9632q q q =+，又0q ≠，所以6321q q =+解得312q =-或31q =（舍），故312q =-，故选：B.9.等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则(0)f '=A.62 B.92 C.122 D.152【答案】C 【解析】【分析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果.【详解】()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦⋅()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅又18273645a a a a a a a a ===()()441218082f a a '∴===本题正确选项：C【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是()A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1[,2]2 D.1[,1]2【答案】A 【解析】【分析】根据f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），令x ＝n ，y ＝1，可得数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．【详解】∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），∴令x ＝n ，y ＝1，得f （n ）•f （1）＝f （n +1），即()()11n n f n a a f n ++==f （1）12=，∴数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，∴a n ＝f （n ）＝（12）n ，∴S n 11122112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-1﹣（12）n ∈[12，1）．故选A ．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．二、填空题（共5小题；共10分）11.已知{}n a 是等差数列，若171,13a a ==，则4a =_______.【答案】7【解析】【分析】根据等差数列的性质，直接计算结果.【详解】1742a a a +=，所以17472a a a +==.故答案为：712.已知函数2()42f x x x =-+，且0()2f x '=，那么0x 的值为_____．【答案】3【解析】【分析】求导得()24f x x '=-，进而由0()2f x '=可得结果.【详解】由2()42f x x x =-+得()24f x x '=-，则00()242f x x '=-=，解得03x =.故答案为：3.13.n S 是正项等比数列{}n a 的前n 和，318a =，326S =，则1a =______．公比q =______．【答案】①.2②.3【解析】【分析】讨论公比q 的取值，联立方程组即可解出答案.【详解】当1q =时，333S a ≠，不满足题意，故1q ≠；当1q ≠时，有()2131181261a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123a q =⎧⎨=⎩.故答案为：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题.熟练掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式是解本题的基础.14.将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为_________.【答案】1【解析】【分析】由题可得该方盒的容积()32424+36V x x x x =-，03x <<，利用导数判断其单调性可求出最值.【详解】由题可得03x <<，可知该方盒的底面是一个边长为62x -，则该方盒的容积()()23262424+36V x x x x x x =-⋅=-，03x <<，()()()21248+361213V x x x x x '∴=-=--，则当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 单调递增，当()1,3x ∈时，()0V x '<，()V x 单调递减，∴当1x =时，()()max 116V x V ==，故当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为1.故答案为：1.15.小明用数列{a n }记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k ＝1，当第k 天没下过雨时，记a k ＝﹣1（1≤k ≤31）；他用数列{b n }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b k ＝1，当预报第k 天没有雨时，记b k ＝﹣1（1≤k ≤31）；记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a 2b 2+…+a 31b 31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为_____；若a 1b 1+a 2b 2+…+a k b k＝m ，则气象台预报准确的天数为_____（用m ，k 表示）.【答案】①.28②.2m k +【解析】【分析】根据题意得到a k b k ＝1表示第k 天预报正确，a k b k ＝﹣1表示第k 天预报错误，从而得到2m kx +=，根据25m =得到该月气象台预报准确的的总天数.【详解】依题意，若1k k a b =（131k ≤≤），则表示第k 天预报正确，若1k ka b =-（131k ≤≤），则表示第k 天预报错误，若1122k ka b a b a b m +++=⋯，假设其中有x 天预报正确，即等式的左边有x 个1，()k x -个1-，则()x k x m --=，解得2m kx +=，即气象台预报准确的天数为2m k+；于是若1122313125a b a b a b ++⋯=+，则气象台预报准确的天数为3125282+=.故答案为：28，2m k+.【点睛】本题考查数列的实际应用，考查化归与转化的能力，属于中档题.三、解答题16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =-，424S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值．【答案】（1）211n a n =-（2）25-【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组求解可得；（2）利用通项公式确定数列的负数项，可得5S 最小，然后由求和公式可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由条件得11254624a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得192a d =-⎧⎨=⎩，所以()921211n a n n =-+-=-．【小问2详解】由（1）知211n a n =-，令2110n a n =-≤，得 5.5n ≤，所以数列{}n a 的前5项和5S 是n S 的最小值，即()()51min 5105921025n S S a d ==+=⨯-+⨯=-．17.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，1901BAC AB BB ∠=︒==，，直线1B C 与平面ABC 成30︒的角．（1）求三棱锥11C AB C -的体积；（2）求二面角1B B C A --的余弦值．【答案】（1）6（2）33【解析】【分析】（1）根据侧棱与底面垂直可得130B CB ∠=，由此求得底面三角形各边长；根据线面垂直的判定可证得AB ⊥平面1ACC ，得到三棱锥11B ACC -的高为11A B ；利用等体积法1111C AB C B ACC V V --=，根据三棱锥体积公式求得结果；（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，根据二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1）三棱柱为直三棱柱1BB ∴⊥平面ABC ，1AA ⊥底面ABC 1B C ∴与底面ABC 所成角为1B CB ∠130B CB ∴∠=11AB BB ==BC ∴=AC ∴=1AA ⊥ 底面ABC ，AB ⊂平面ABC 1AB AA ∴⊥又90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，1,AA AC ⊂平面1ACC ，1AA AC A= AB ∴⊥平面1ACC ，又11//AB A B 11A B ∴⊥平面1ACC 1111111111113326C AB C B ACC ACC V V S A B --∆∴==⋅=⨯=（2）以A为原点，可建立如图所示空间直角坐标系则()0,1,0B ，()10,1,1B，)C，()0,0,0A )1,0BC ∴=-，()10,0,1BB = ，()10,1,1AB =，)AC =设平面1BB C 的法向量()1111,,n x y z =11111100BC n y BB n z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令11x =，则1y =，10z=()1n ∴=设平面1AB C 的法向量()2222,,n x y z =12222200AB n y z AC n ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令21y =，则21z =-，20x =()20,1,1n ∴=-121212cos ,3n n n n n n ⋅∴<>==二面角1B B C A --为锐角∴二面角1B B C A --的余弦值为3【点睛】本题考查立体几何中三棱锥体积的求解、空间向量法求解二面角的问题；求解三棱锥体积的常用方法为等体积法，将所求三棱锥转化为高易求的三棱锥，结合三棱锥体积公式求得结果.18.已知函数()3f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切于点()1,3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的递增区间；（3）求函数()()23F x f x x =--在区间[]0,2上的最大值和最小值．【答案】（1）()33f x x x =-+；（2）,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）()F x 的最大值为2，最小值为2-【解析】【分析】（1）将切点坐标代入切线方程可得k ，根据切点处的导数等于切线斜率可得a ，再将切点坐标代入曲线方程即可求得曲线方程；（2）求导，解不等式()0f x '>即可；（3）求导，解方程()0F x '=，然后列表求极值，比较极值和端点函数值大小即可得解.【小问1详解】因为切点为()1,3，所以13k +=，得2k =．因为()23f x x a ='+，所以()132f a ='+=，得1a =-．则()3f x x x b =-+．由()13f =得3b =．所以()33f x x x =-+．【小问2详解】由()33f x x x =-+得()231f x x ='-．令()2310f x x -'=>，解得3x <-或3x >．所以函数()f x的递增区间为,3∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，,3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．【小问3详解】()()323,33F x x x F x x '=-=-，令()2330F x x -'==，得1211x x =-=，．列表：x 0()0,11()1,22()F x '-0+()F x 0递减极小值递增2因为()()()12,00,22F F F =-==，所以当[]0,2x ∈时，()F x 的最大值为2，最小值为2-．19.已知函数()ln f x x x a =--．（1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则121x x <．【答案】（1）(],1∞-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分别解不等式()0f x '>，()0f x '<即可；（2）设12x x <，结合（1）可知1201x x <<<，构造函数()()1g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用导数判断单调性即可得()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合()f x 在()0,1上单调递减即可得证.【小问1详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,∞+，解()10x f x x -'=>得1x >，解()10x f x x-'=<得01x <<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()min 11f x f a ==-，又()0f x ≥，所以10a -≥，解得1a ≤，所以a 的取值范围为(],1∞-．【小问2详解】不妨设12x x <，则由（1）知1201x x <<<，2101x <<，构造函数()()112ln g x f x f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则()()22211210x g x x x x-=+-=≥'，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以当1x >时，()()10g x g >=，即当1x >时，()1f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，又()f x 在()0,1上单调递减，所以12101x x <<<，即121x x <．20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b ω+=>>过点(2,0)A -，且2a b =.（1）求椭圆ω的方程；（2）设O 为原点，过点(1,0)C 的直线l 与椭圆ω交于P ，Q 两点，且直线l 与x 轴不重合，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于M ，N 两点.求证：||||OM ON ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得2a =，进而得出1b =，即可得出椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存在时，可得1||||=3OM ON ⋅，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线AP 的方程，可表示出M 坐标，同理表示出N 的坐标，进而利用韦达定理可求出||||OM ON ⋅.【详解】解：（1）因为椭圆ω过点(2,0)A -，所以2a =.因为2a b =，所以1b =.所以椭圆ω的方程为2214x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =.不妨设此时3(1,2P ，(1,)2Q -，所以直线AP的方程为2)y x =+，即M .直线AQ 的方程为(2)6y x =-+，即(0,)3N -.所以1||||=3OM ON ⋅.当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=.依题意，0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+.又直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令0x =，得点M 的纵坐标为1122M y y x =+，即112(0,)2y M x +.同理，得222(0,)2y N x +.所以||||=OM ON ⋅12124(2)(2)y y x x ++212124(1)(1)(2)(2)k x x x x --=++2121212124[()1]2()4k x x x x x x x x -++=+++2222222224484(1)41414416+44141k k k k k k k k k --+++=-+++22222224(44841)44+16164k k k k k k k --++=-++221236k k =13=.综上，||||OM ON ⋅为定值，定值为13.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.21.约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数()0m m ≠得到的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数．设正整数a 共有k 个正约数，即为1a ，2a ，L ，1k a -，()12k k a a a a <<⋅⋅⋅<．（1）当4k =时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值；（2）当4k ≥时，若21a a -，32a a -，L ，1k k a a --构成等比数列，求正整数a 的所有可能值；（3）记12231k k A a a a a a a -=+++ ，求证：2A a <．【答案】（1）8a =（答案不唯一）；（2）12k a a -=，中2a 为质数；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义得11a =，然后取公比为2即可得8a =；（2）根据约数定义分析其规律，然后化简3212112k k k k a a a a a a a a -----=--可得232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，由2a 是整数a 的最小质因数可得232a a =，进而可得公比，然后可求a ；（3）利用()11i k ia a a i k +-=≤≤变形得22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+，然后利用裂项相消法结合放缩放即可得证.【小问1详解】由题意可知，11a =，当4k =时,正整数a 的4个正约数构成等比数列，取公比为2得：1，2，4，8为8的所有正约数，即8a =．【小问2详解】根据约数定义可知，数列{}n a 中，首尾对称的两项之积等于a ，即()11i k i a a a i k +-=≤≤，所以11a =，k a a =，12k a a a -=，23k a a a -=，因为4k ≥，依题意可知3212112k k k k a a a a a a a a -----=--，所以3222123aa a a a a a a a a a --=--，化简可得()()2232231a a a a -=-，所以232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，因为3a *∈N ，所以3221a a a a *-∈-N ，因此可知3a 是完全平方数．由于2a 是整数a 的最小质因数，3a 是a 的因子，且32a a >，所以232a a =，所以，数列21a a -，32a a -，L ，1k k a a --的公比为2322222121a a a a a a a a --==--，所以2132a a a a --，，L ，1k k a a --为21a -，222a a -，L ，1222k k a a ---，所以()124k a a k -=≥，其中2a 为质数．【小问3详解】由题意知1i k i a a a +-=（1i k ≤≤），所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=+++ ，因为21121212111a a a a a a a a -≤=-，L ，1111111k k k k k k k ka a a a a a a a -----≤=-，所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+212112111k k k k a a a a a a a ---⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭2212231111111111k k k a a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫≤-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为11a =，k a a =，所以1111ka a -<，所以22111k A a a a a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，即2A a <．【点睛】关键点睛：本题关键在于根据约数定义分析其性质，抓住11,k a a k ==，()11i k i a a a i k +-=≤≤，以及2a 为质数即可求解.。

2022-2023学年北京市丰台区高二(上)期中数学试卷(B卷)【答案版】

2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（B 卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查．该小区每位居民被抽到的可能性为（） A ．110B ．150C ．1100D ．150002．已知空间向量a →=（1，﹣3，2），若空间向量b →与a →平行，则b →的坐标可能是（） A ．（1，3，3） B ．(−14，34，−12) C ．（﹣1，﹣3，2）D ．(√2，−3，−2√2)3．一个车间里有10名工人装配同种电子产品，现记录他们某天装配电子产品的件数如下： 10，12，9，7，10，12，9，11，9，8若这组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b4．对于空间中的三个向量OA →，OB →，3OA →−2OB →，它们一定是（） A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．无法判断5．已知平面α的法向量为n →=（﹣2，1，1），若平面α外的直线l 的方向向量为a →=（1，0，2），则可以推断（） A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α斜交D ．l ⊂α6．从某地区抽取100户居民进行月用电量调查，发现用电量都在50至350kW •h 之间．将数据分组后得到如表所示的频率分布表，估计此地区月均用电量的第80百分位数是（）A ．230B ．235C ．240D ．2457．已知四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为平行四边形，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与CM →相等的向量是（）A ．12a →−12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．−12a →+12b →+c →8．已知6件产品中有3件正品，其余为次品．现从6件产品中任取2件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（） A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品B ．至少有1件次品和全是次品C ．至少有1件正品和至少有1件次品D ．至少有1件次品和全是正品9．在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如图．以下结论中正确的是（） A ．图中m 的数值为26B ．估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人C ．估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数D ．样本数据的第90百分位数为510．在空间直角坐标系Oxyz 中，若有且只有一个平面α，使点A （2，2，2）到α的距离为1，且点B （m ，0，0）到α的距离为4，则m 的值为（） A ．2B ．1或3C ．2或4D ．2−√17或2+√17二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2022-2023学年北京工业大学附属中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2022-2023学年北京工业大学附属中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线+1=0x 的倾斜角为（） A ．34πB ．4π C ．2π D ．不存在【答案】C【分析】根据倾斜角的定义可得结果【详解】因为直线+1=0x 即直线1x =-垂直于x 轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为2π，故选:C.2．已知(2,1,3),(1,3,9)a x b ==，如果a 与b 为共线向量，则x =（） A ．1 B ．12C ．13D ．16【答案】D【分析】由a 与b 为共线向量则a b λ=求解即可. 【详解】因为a 与b 为共线向量，所以a b λ=，即21339x λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1316x λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故选：D3．圆221:1O x y +=与圆222:(2)9O x y -+=的位置关系为（） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切【答案】D【分析】首先求出两圆的圆心坐标、半径，再求出圆心距，即可判断；【详解】解：圆221:1O x y +=的圆心()10,0O ，半径1r =，圆222:(2)9O x y -+=的圆心()22,0O ，半径3R =，又圆心距122O O R r ==-，所以两圆相内切；故选：D4．若两条直线210ax y +-=与3610x y --=互相垂直，则a 的值为（） A ．4 B ．-4C ．1D ．-1【答案】A【分析】根据两直线垂直的充要条件知：32(6)0a +⨯-=，即可求a 的值. 【详解】由两直线垂直，可知：32(6)0a +⨯-=，即4a =. 故选：A5．直线2y x =-与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，则AB =（） A ．2 B ．22 C ．23 D ．4【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离d ，再根据勾股定理可求出结果. 【详解】圆22:4O x y +=的圆心(0,0)O ，半径为2，圆心到直线2y x =-的距离2211d ==+，所以||24222AB =-=. 故选：B6．在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点.若1,,AB a AD b AA c ===，则AM 等于（）A ．12a b c ++B ．12a b c -+C ．111222a b c ++D ．111222a b c -+【答案】A【分析】根据向量线性运算法则，结合题意即可求解.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点，所以11122AM AC CM AB AD AA a b c =+=++=++，故选：A.7．若方程22153x y k k +=--表示椭圆，则k 的取值范围为（）A ．()3,4B ．()4,5C ．()3,5D ．()()3,44,5【答案】D【分析】由题意可得503053k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解方程即可得出答案.【详解】因为方程22153x y k k +=--表示椭圆，所以505303534k k k k k k k -><⎧⎧⎪⎪->⇒>⎨⎨⎪⎪-≠-≠⎩⎩，解得：35k <<且4k ≠. 故k 的取值范围为：()()3,44,5.故选：D.8．双曲线2214yx -=的离心率等于（）AB ．2 CD ．4【答案】C【分析】求出a 、c 的值，即可得解.【详解】在双曲线2214yx -=中，1a =，2b =，c因此，双曲线2214y x -=的离心率为c e a ==故选：C.9．已知A (-1，0)，B (0，1)两点，点C 到点(1，0)的距离为1，则ABC 面积的最大值为（） A ．1 B ．32C．1D ．2【答案】C【分析】设(),C x y ，根据点C 到点(1，0)的距离为1，得到点C 的轨迹是圆，再求得圆上的点到直线AB 的最大值即可. 【详解】设(),C x y ，因为点C 到点(1，0)的距离为1，所以()2211x y -+=，表示以()1,0为圆心，以1r =为半径的圆，直线:10AB l x y -+=，圆心()1,0到直线AB 的距离为10122d -+==，所以点C 到直线AB 的最大值为21+，所以()()()max112212211222ABC SAB =⨯⨯+=⨯⨯+=+，故选：C10．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：()()22x a y b -+-可以转化为平面上点(),M x y 与点(),N a b 的距离.结合上述观点，可得()221026613f x x x x x =+++++的最小值为（） A ．5 B ．29C ．13D ．213+【答案】C【分析】记点(),0P x 、()5,1A -、()3,2B --，可得出()f x PA PB =+，数形结合可求得()f x 的最小值.【详解】因为()()()()()()()2222225134501302f x x x x x =+++++=++-++++，记点(),0P x 、()5,1A -、()3,2B --，则()()()22531213f x PA PB AB =+≥=-+++=，当且仅当点P 为线段AB 与x 轴的交点时，等号成立，即()f x 的最小值为13.故选：C.二、填空题11．直线()21y k x +=+恒过点______. 【答案】()1,2--【分析】结合点斜式方程的形式即可得出结果.【详解】因为()21y k x +=+，即()()21y k x --=--⎡⎤⎣⎦，因此过定点()1,2--，故答案为：()1,2--.12．已知向量(0,2,1)a =，(1,1,2)b =--，则a 与b 的数量积为______. 【答案】0【分析】根据向量数量积的坐标运算直接求结果. 【详解】()()0121120a b ⋅=⨯-+⨯+⨯-=. 故答案为：0.【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题型.13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为CD 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足平面1AA P ⊥平面1BB E ．给出下列四个结论： ①1AA P 的面积的最大值为5；②满足使1AA P 的面积为2的点P 有且只有两个； ③点P 可以是1CC 的中点； ④线段1A P 的最大值为3．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②④【分析】先找出P 的运动轨迹，再结合图像逐项分析，即可得解.【详解】解：连接AH ,HG ,1GA ,H 、G 分别为11BC B C 、的中点，易得ABH BCE ≅, 从而知AH BE ⊥,又1BE AA ⊥，又1AA AH A =，得平面1AA P ⊥平面1BB E ，故点P 在矩形1A H G A →→→(除线段1AA )上运动,对于①，由图可知，当P 与H 重合时，此时三角形面积最大，最大值为12552⨯=故①对；对于②，由图可知，当1AP =或11A P =时，1AA P 的面积为2，故②对；对于③，由图易知，点P 不可能在线段1CC ,故③错；对于④, 由图易知，当P 与H 重合时，此时1A P 长度最大，最大值为22253⨯=，故④对；故答案为：①②④；三、双空题14．圆222690x y x y +-++=的圆心坐标为___________；半径为___________. 【答案】 (1,3)- 1【分析】配方后可得圆心坐标和半径．【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是22(1)(3)1x y -++=，圆心坐标为(1,3)-，半径为1．故答案为：(1,3)-；1．15．已知双曲线M 的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M 的标准方程.①一个焦点坐标为()2,0；②经过点)3,0；③2.你选择的两个条件是___________，得到的双曲线M 的标准方程是___________.【答案】 ①②或①③或② ③2213x y -=或22122x y -=或22133y x -= 【分析】选①②，根据焦点坐标及顶点坐标直接求解，选①③，根据焦点坐标及离心率求出,a c 即可得解，选 ② ③ ，可由顶点坐标及离心率得出,a c ，即可求解. 【详解】选①②，由题意则2c =，3a =2221b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为2213x y -=，故答案为：①②；2213x y -=，选①③ ，由题意，2,cc e a===a ∴2222b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为22122x y -=，选 ② ③，由题意知ca e a ===c ∴=2223b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为22133y x -=.故答案为：①②；2213x y -=或①③；22122x y -=或② ③ ；22133y x -=.四、解答题16．已知圆心坐标为（2，1）的圆C 与y 轴相切. (1)求圆C 的方程；(2)设直线0l x y m -+=：与圆C 交于A ，B 两点，从条件①，条件②中选择一个作为已知，求m 的值.条件①AB =②：120ACB ∠=. 【答案】(1)()()22214x y -+-=(2)1-【分析】（1）根据题意得出圆心和半径，即可得圆的方程；（2）对于①②均可根据垂径定理分析得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式运算求解.【详解】（1）由题意可得：圆C 的圆心坐标为()2,1C ，半径为2r =，故圆C 的方程为()()22214x y -+-=.（2）若选①：圆心C 到直线0l x y m -+=：的距离1d ==，则2221111m -+=+，解得12m =-±.若选②：圆心C 到直线0l x y m -+=：的距离cos601d r =︒=，则2221111m -+=+，解得12m =-±.17．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点．(1)求证：11A D AC ⊥； (2)求证：//BD 平面1AMC ； (3)求点1A 到平面1AMC 的距离．【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 6【分析】（1）连接1AD ，可证1A D ⊥平面11AD C ，进而得证；（2）连接1B D ，设1B D 中点为O ，连接OM ，结合中位线定理即可证明；（3）采用等体积法转化，由1111A AMC C AA M V V --=即可求解.【详解】（1）证明：连接1AD ，因为几何体为正方体，所以11C D ⊥平面11ADD A ，又1A D ⊂平面11ADD A ，所以111C D A D ⊥，又因为四边形11ADD A 为正方形，所以11A D AD ⊥，又1111AD C D D =，所以1A D ⊥平面11AC D ，又1AC ⊂平面11AC D ，所以11A D AC ⊥；（2）证明：连接1B D ，设1B D 中点为O ，连接OM ，因为O 为1B D 中点，M 为1BB 的中点，所以//OM BD ，又因为OM ⊂平面1AMC ，BD ⊄平面1AMC ，所以//BD 平面1AMC ；（3）由等体积法可知1111A AMC C AA M V V --=，111111326C AA M V AA AB AD -=⋅⋅⋅=，由几何关系知，1155,,322AM C M AC ===，则22OM =，11112632224AMC S AC OM =⋅=⋅⋅=△，设点1A 到平面1AMC 的距离为d ，则11116312A AMC AMC V S d d -=⋅=△，由1111A AMC C AA M V V --=得63d =.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为()0,1P 3(1)求椭圆C 的方程；(2)直线:l y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，且PA PB =，求m 的值. 【答案】(1)2214x y +=(2)53m =-【分析】（1）由题意得2221,,b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩求出,a b ，从而可求得椭圆的方程，（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，整理后利用根与系数的关系，再结合中点坐标公式表示出AB 的中点D 的坐标，由PA PB PD AB =⊥得，从而可得15145mm -=-，进而可求出m 的值【详解】（1）设椭圆的半焦距为c .由题意得2221,,b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2a =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由22,14y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2258410x mx m ++-=. 由()()22Δ845410m m =-⨯⨯->，解得m <.设()11,A x y ，()22,B x y ，则1285mx x +=-. 设线段AB 的中点为D ，则12425D x x m x +==-，5D D my x m =+=. “PA PB =”等价于“PD AB ⊥”.所以15145mm -=-. 解得53m =-，符合题意.所以53m =-. 19．如图1，在MBC 中，24BM BC BM BC ==⊥，，,A D 别为棱,BM MC 的中点，将△MAD 沿AD 折起到PAD 的位置，使90PAB ∠=︒，如图2，连接,PB PC .(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； (2)若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)线段PC 上是否存在一点G ，使二面角G AD P --310PG PC 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析3(3)存在，14PG PC = 【分析】（1）通过证明AB ⊥平面PAD ，即可证明平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴，利用空间向量求解即可；（3）设线段PC 上存在一点G 使二面角G AD P --310，则(01)PG PC λλ=≤≤，利用空间向量求解即可.【详解】（1）因为MBC 中，BM BC ⊥，,A D 别为棱,BM MC 的中点，所以BM AD ⊥，即AB AD ⊥，又因为90PAB ∠=︒，即AB AP ⊥，AP AD A ⋂=，,AP AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（2）由（1）得,,AB AD AP 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴，建立如图所示坐标系，由题意得(0,1,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(1,1,1)D P B C E ，所以(1,0,1)DE =，(2,0,2),(0,1,2)PB PD =-=-，设平面PBD 的法向量(,,)n x y z =，则22020PB n x z PD n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得(1,2,1)n =，设直线DE 与平面PBD 所成角为θ，所以23sin cos ,62n DEn DE n DE θ⋅=<>==⨯ 故直线DE 与平面PBD 3（3）设线段PC 上存在一点G 使二面角G AD P --310，则(01)PG PC λλ=≤≤，由（2）得(2,2,2)PC =-，则(2,2,2)PG λλλ=-，所以G 点坐标为(2,2,22)λλλ-+，所以(2,2,22)AG λλλ=-+，(0,1,0)AD =，设平面GAD 的法向量(,,)a x y z =，平面ADP 的法向量(1,0,0)b =，则22(22)0AG a x y z AD a y λλλ⎧⋅=++-+⎪⎨⋅==⎪⎩，解得(1,0,)a λλ=-，设二面角G AD P --为β，所以21310cos cos ,221a ba b a b λβλλ⋅-=<>===-+14λ=，故线段PC 上存在一点G 使二面角G AD P --31014PG PC =. 20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>2且过点(3.（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）已知点()()2,1,3,0A B --,过点B 的直线l 交椭圆于,P Q 两点,直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ,求证: 12k k +为定值.【答案】(1) 22163x y +=. (2)定值为2，证明见解析.【详解】试题分析：（Ⅰ）由椭圆过点,求得b =e 且222a b c =+,求得a 的值，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）设为k ,直线l 的方程为:(3)y k x =+,联立方程组，求得12x x +和12x x ，进而得到12,k k ，代入化简，即可得到12k k +为定值.试题解析：（Ⅰ）因为椭圆过点(,所以b =因为离心率c e a ==222a b c =+,所以a c ==所以椭圆的方程为22163x y +=. （Ⅱ）因为过点()3,0B -的直线l 与椭圆交于,P Q 两点,所以直线l 的斜率一定存在,设为k , 则直线l 的方程为:()3y k x =+,设()()1122,,,P x y Q x y 由()221633x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 得:()222221121860k x k x k +++-= 所以212221220122118621k x x k k x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩因为()2,1A -,所以12121211,22y y k k x x --==++ 所以()()()()()()122112121212312312112222kx k x kx k x y y k k x x x x +-+++-+--+=+=++++ ()()()()1212121225143124kx x k x x k x x x x +-++-=+++()()()()2222222222186122514314121211861221242121k k k k k k k k k k k k k --⋅+-⋅+--++==---+⋅+++ 2=综上,12k k +为定值2.点睛：本题主要考查椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21．设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【详解】（1）{}2,3,5A =，{}6,10,15B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数大于等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。

北京市丰台区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

北京市丰台区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知(2,1,1)a =- ，(42)b x =- ,,，且//a b，则x =（）A ．10-B ．2-C ．2D ．102．若直线l 过两点(0,0)和，则直线l 的倾斜角为（）A ．2π3B ．π3C ．5π6D ．π63．过点(1,4)A ，且横、纵截距相等的直线方程为（）A ．4y x =或y x=B ．50x y ++=或4y x =C ．30x y -+=或50x y +-=D ．50x y +-=或4y x=4．已知以点()0,1为圆心，2为半径的圆C ，则点()1,2M 与圆C 的位置关系是（）A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断5．如图，在平行六面体ABCD EFGH -中，AD AB a b AE c ===,,，I 为线段CH 的中点，则AI可表示为（）A ．1122-++ a b cB ．1122a b c++C ．1122a b c--+ D ．1122a b c-+ 6．在空间直角坐标系Oxyz 中，若点()1,2,3B -关于y 轴的对称点为点B '，点()1,1,2C -关于Oyz 平面的对称点为点C '，则B C ''=（）A ．()2,1,1--B ．()0,3,5-C ．()2,1,1-D ．()0,3,5-7．过原点且倾斜角为30︒的直线被圆22(2)4x y +-=所截得的弦长为（）A ．1B ．2CD ．8．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且||||PA PB =，若直线P A 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为（）A ．270x y +-=B ．240x y --=C ．50x y +-=D ．10x y +-=9．在棱长为4的正方体内有一点P ，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O ，则OP =（）AB C ．2D 10．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足AM =x AB +y AC-(x +y -1)AD ，点N 满足BN =λBA +(1-λ)BC ，当AM 、BN 最短时，AM ·MN=（）A ．-43B ．43C ．-13D ．13二、填空题11．圆222690x y x y +-++=的圆心坐标为；半径为.12．已知直线l α∥，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)，则m =.13．已知两平行直线1:230l x y +-=，21:20l x my +-=，则1l 与2l 间的距离是.14．已知(2,1,3)AB =- ，(112)AC =--,,，(21)AD λ=- ,,，若,,,A B C D 四点共面，则实数λ=.15．在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,),A x y 22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l .已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则(,)d P l =；若定点00(,)C x y ，动点(,)P x y 满足()(0)d C P r r =>,，则点P 所在的曲线所围成图形的面积是.三、解答题16．已知直线1l 过点(2,2)，直线2l ：y x =．(1)若12l l ⊥，求直线1l 的方程；(2)若直线1l 与x 轴和直线2l 围成的三角形的面积为2，求直线1l 的方程．17．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1,,CA a CB b CC c ===，1=2CA CB CC ==，12π3ACB ACC ∠=∠=，1π2BCC ∠=，点N 是棱AB 的中点，点M 在棱11C B 上，且112C M MB =.(1)用,,a b c 表示向量AM；(2)求AM ；(3)求证：1AM A N ⊥.18．已知圆22:2440C x y x y +-+-=，圆221:(3)(1)4C x y -+-=及点(3,1)P .(1)判断圆C 和圆1C 的位置关系，并说明理由；(2)若斜率为k 的直线l 经过点P 且与圆C 相切，求直线l 的方程.19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，12AD AA ==，点E 在AB 上，且1AE =.(1)求直线1BC 与直线CE 所成角的大小；(2)求直线1BC 与平面1A EC 所成角的正弦值；(3)若点P 在侧面11A ABB 上，且点P 到直线1BB 和CD 的距离相等，求点P 到直线1AD 距离的最小值．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，PAD △为等腰三角形，PA PD =，AD BC ∥，22AD CD BC ===，点,E F 分别为棱,PD PB 的中点．(1)求证：直线//BD 平面AEF ；(2)求直线BD 到平面AEF 的距离；(3)试判断棱PC 上是否存在一点G ，使平面AEF 与平面ADG 若存在，求出PGPC的值；若不存在，请说明理由.21．已知圆M 的圆心在y 轴上，半径为2，且经过点(2,2)A -.(1)求圆M 的标准方程；(2)设点(0,1)D ，过点D 作直线1l ，交圆M 于P ，Q 两点（P ，Q 不在y 轴上），过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于E ，F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值.。

北京市房山区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含答案

房山区2023-2024学年度第一学期期中学业水平调研高二数学（答案在最后）第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知()1,3A -，()3,5B ，则线段AB 的中点坐标为（）A.（1，4）B.（2，1）C.（2，8）D.（4，2）【答案】A 【解析】【分析】用中点坐标公式即可求解.【详解】设线段AB 的中点坐标为(),M a b ，则132352a b -+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即14a b =⎧⎨=⎩，则线段AB 的中点坐标为()1,4M .故选：A.2.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点．设AB a =，AD b =，1AA c = ，用基底{},,a b c 表示向量AE，则AE = （）A.a b c ++r r rB.12a b c++ C.12a b c++ D.12a b c ++ 【答案】B【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.【详解】11122AE AC CE AB AD AA a b c =+=++=++.故选：B3.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C 【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解【详解】连接1A D ，DB ，如图，因为正方体中11//A D B C ，所以1BA D ∠就是1A B 与1B C 所成的角，在1BA D 中，11A D A B BD ==.∴160BA D ∠=︒.故选：C4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11AA BC ⋅=（）A. B. C.2D.4【解析】【分析】根据向量数量积定义计算即可.【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,易知12AA =，1BC = 因为11AA BB = ，1BB 与1BC 的夹角为π4，所以1AA 与1BC 的夹角为π4，1111π2cos 2442AA BC AA BC ⋅=⋅=⨯= .故选：D5.如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，则下列叙述中错误的是（）A.ACD ∠是直线AC 与平面BCD 所成角B.ABD ∠是二面角A BC D --的一个平面角C.线段AC 的长是点A 到直线BC 的距离D.线段AD 的长是点A 到平面BCD 的距离【答案】B 【解析】【分析】根据线面垂直即可求解AD ，根据BC ⊥平面ACD ，即可得BC AC ⊥，进而判断C ，结合二面角的定义即可判断B.【详解】对于AD ，由于AD ⊥平面BCD ，所以ACD ∠是直线AC 与平面BCD 所成角，线段AD 的长是点A 到平面BCD 的距离，故AD 正确，对于B ，AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ,所以BC AD ⊥,又BC CD ⊥，,,AD CD D AD CD =⊂ 平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD ，CA ⊂平面ACD ,故BC AC ⊥,又BC CD ⊥，AC ⊂平面ABC ,CD ⊂平面BCD ,故ACD ∠是二面角A BC D --的一个平面角，故B 错误，对于C ，由于BC AC ⊥，所以线段AC 的长是点A 到直线BC 的距离，C 正确,故选：B6.已知直线1l ：()210x a y a +-+=与直线2l ：20ax y ++=平行，则a 的值为（）A.1-或2B.13C.2D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据两直线平行，即可列式求解.【详解】因为12l l //，所以2112a a a -=≠，解得：1a =-.故选：D7.在同一平面直角坐标中，表示1l ：y ax b =+与2l ：y bx a =-的直线可能正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合各选项分析直线的斜率与在y 轴上的截距，即可判断.【详解】对于A ：由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故A 错误．对于B ：由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故B 错误．对于C ：由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b >，在y 轴上的截距0a ->，即a<0，故C 正确．对于D ：由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b >，矛盾，故D 错误．故选：C ．8.长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，M 为AB 的中点，1D M MC ⊥，则AD =（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】连接1CD ，设AD a =()0a >，表示出CM ，1CD ，1MD ，利用勾股定理计算可得.【详解】如图连接1CD ，设AD a =()0a >，则CM =1==CD ，1MD ==因为1D M MC ⊥，所以22211MC MD CD +=，即22158a a +++=，解得1a =（负值舍去）.故选：A9.设P 为直线1y =-上的动点，过点P 作圆C ：()()22324x y ++-=的切线，则切线长的最小值为（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可.【详解】圆心为()3,2C -，半径为2r =，设切点为Q ，要使得切线长PQ 最小，则CP 最小，此时CP l ⊥，所以3CP =，所以PQ ==故选：B10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()()221:204C x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB =，则实数m 的取值范围是（）A.22⎣⎦B.521,42⎡⎢⎣⎦C.212⎛ ⎝⎦D.521,22⎢⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设(),P x y ，因为点()1,0A -，()2,0B ，2PA PB =，=22650x y x +-+=，所以()2234x y -+=，可得圆心()3,0，半径2R =，由圆()()221:24C x y m -+-=可得圆心()2,C m ，半径12r =，因为在圆C 上存在点P 满足2PA PB =，所以圆()2234x y -+=与圆()()221:24C x y m -+-=有公共点，所以112222-≤≤+，整理可得：2925144m ≤+≤，解得：52122m ≤≤，所以实数m的取值范围是22⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D.第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.已知()2,1A ，()0,3B -，则直线AB 的斜率AB k =__________．【答案】2【解析】【分析】根据直线斜率公式进行计算即可.【详解】根据题意，1(3)220AB k --==-，故答案为：2.12.已知()0,0A ，()2,2B ，()4,2C ，则ABC 外接圆的方程为____________．【答案】22620x y x y +-+=【解析】【分析】首先设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，从而得到044220164420F D E F D E F =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，再解方程组即可.【详解】设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则064422021644200F D D E F E D E F F ==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩，所以ABC 外接圆的方程为：22620x y x y +-+=.故答案为：22620x y x y +-+=13.已知直线l 与平面α所成角为45︒，A ，B 是直线l 上两点，且6AB =，则线段AB 在平面α内的射影的长等于____________．【答案】【解析】【分析】依题意可得线段AB 在平面α内的射影的长等于45cos AB ︒.【详解】因为直线l 与平面α所成角为45︒，A ，B 是直线l 上两点，且6AB =，则线段AB 在平面α内的射影的长等于456s 2co AB ︒=⨯=故答案为：14.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，则点1D 到点B 的距离等于____________；点1D 到直线AC 的距离等于____________．【答案】①.②.5【解析】【分析】以向量DA ，DC ，1DD所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，根据两点间的距离公式可求点1D 到点B 的距离；连接1D A ，作1D E 垂直AC ，垂足为E ，求出向量1AD uuu r 在向量AC上的投影，由勾股定理即可求点1D 到直线AC 的距离.【详解】如图，以向量DA ，DC ，1DD所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由11AA AD ==，2AB =，则()10,0,1D ，()1,2,0B ，所以1D B ==，所以点1D 到点B .连接1D A ，作1D E 垂直AC ，垂足为E ，由()1,0,0A ，()0,2,0C ，所以()11,0,1AD =- ，()1,2,0AC =-，所以15AD AC AE AC⋅===，又1AD =，所以点1D 到直线AC 的距离5d ==.；5.15.已知圆O ：()2220x y rr +=>和直线l ：40x y -+=，则圆心O 到直线l 的距离等于_____________；若圆O 上有且仅有两个点到直线l ，写出一个符合要求的实数r 的值，r =______________．【答案】①.②.2（答案不唯一）.【解析】【分析】根据点到直线距离公式计算；将圆O 上有且仅有两个点到直线l 转化为半径与圆心O 到直线l 的距离之间的关系即可求解.【详解】圆心O 到直线l 的距离为d ==；因为圆O 上有且仅有两个点到直线l ，所以d r <-<r <<.故答案为：2（答案不唯一）.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PAB 是等边三角形，O 为AB 的中点，且PO ⊥底面ABCD ，点F 为棱PC 上一点．给出下面四个结论：①对任意点F ，都有CD OF ⊥；②存在点F ，使//OF 平面PAD ；③二面角P AC B --；④平面PAB ⊥平面ABCD ．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】根据题意，利用空间直线与直线，直线与平面位置关系，依次进行判断即可.【详解】对于①，若点F 与点C 重合，显然不满足CD OF ⊥，所以①错；对于②，若点F 为线段PC 中点，取线段PD 中点E ，连接EF ，则//EF CD 且12EF CD =，所以//EF AO 且EF AO =，则四边形AOFE 为平行四边形，得//OF AE ，因为OF ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以//OF 平面PAD ，所以②正确；对于③，因为O 为AB 的中点，且PO ⊥底面ABCD ，过O 作OH AC ⊥于H ，则PHO ∠即为二面角P AC B --的平面角，根据边长可求得32PO =，4OH =，所以32tan 24PHO ∠==，所以③正确；对于④，因为PO ⊥底面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ，所以④正确；故答案为：②③④三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知三条直线1l ：20x y +-=，2l ：3100x y -+=，3l ：3450x y -+=．（1）求直线1l ，2l 的交点M 的坐标；（2）求过点M 且与直线3l 平行的直线方程；（3）求过点M 且与直线3l 垂直的直线方程．【答案】（1）()1,3M -（2）34150x y -+=（3）4350x y +-=【解析】【分析】（1）联立直线方程，即可求解；（2）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；（3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解；【小问1详解】联立203100x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩，故交点M 坐标为()1,3M -；【小问2详解】所求直线与直线3l 平行，则所求直线可设3405x y C C -+=≠（），所求直线过点()1,3M -，则()31430C ⨯--⨯+=，解得15C =，故所求直线方程为34150x y -+=；【小问3详解】所求直线与直线3l 垂直，则所求直线可设430x y D ++=，所求直线过点()1,3M -，则()41330D ⨯-+⨯+=，解得5D =-，故所求直线方程为4350x y +-=．18.已知圆C 的圆心为点()1,3C -，半径为2．（1）写出圆C 的标准方程；（2）若直线l ：20x y --=与圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）()()22134x y -++=（2）【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程定义可得解；（2）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得.【小问1详解】因为圆心()1,3C -，半径2r =，所以圆C 的标准方程为()()22134x y -++=.【小问2详解】圆心C 到直线l 的距离d ==2AB∴===AB ∴=19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，1==PA AB ，M 为PB 的中点．（1）求证：AM ⊥平面PBC ；（2）求直线PD 与平面PBC 所成角的大小；（3）求点D 到平面PBC 的距离．【答案】（1）见解析（2）π6（3）2【解析】【分析】（1）根据线线，线面的垂直关系的转化，即可证明线面垂直；（2）首先建立空间直角坐标系，由（1）可知向量AM是平面PBC 的法向量，利用向量法求线面角的大小；（3）根据（2）的结果，结合点到平面的距离的定义，即可求解.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，所以BC AM ⊥，因为PA AB =，且点M 是PB 的中点，所以AM PB ⊥，且BC PB B = ，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AM ⊥平面PBC ；【小问2详解】以点A 为原点，以向量,,AB AD AP 为,,x y z 轴的方向向量，建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，11,0,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1,1PD =- ，由（1）可知，向量AM是平面PBC 的法向量，设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，所以1sin cos ,2PD AM θ== ,则π6θ=，所以直线PD 与平面PBC 所成角的大小为π6；【小问3详解】因为1PA AD ==，则PD =由（2）可知，直线PD 与平面PBC 所成角的大小为π6，所以点D 到平面PBCπ62=.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，D 是BC的中点，BC =11A A AB AC ===．（1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）求二面角1D AC C --的余弦值；（3）判断直线11A B 与平面1ADC 是否相交，如果相交，求出A 到交点H 的距离；如果不相交，求直线11A B 到平面1ADC 的距离．【答案】（1）见解析（2）3（3）相交，AH =【解析】【分析】（1）构造中位线，利用线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值；（3）利用平面的性质，即可判断直线11A B 与平面1ADC 的位置关系，并利用图形求解.【小问1详解】连结1AC 交1AC 于点E ，连结DE，因为点,D E 分别是1,BC A C 的中点，所以1//DE A B ，且DE ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC ；【小问2详解】因为1AB AC ==，BC =，所以AB AC ⊥，且1A A ⊥平面ABC ，所以如图，以点A 为原点，以向量1,,AB AC AA 为,,x y z轴的方向向量建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，11,,022D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,1,1C ，11,,022AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10,1,1AC =uuu r ，设平面1ADC 的法向量为(),,m x y z=，则1110220AD m x y AC m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，令1x =，则1y =-，1z =，所以平面1ADC 的法向量为()1,1,1m =-，平面1ACC 的法向量()1,0,0n =，设二面角1D AC C --的平面角为θ，则13cos cos ,33m n m n m n θ⋅==== ，所以二面角1D AC C --的余弦值为33；【小问3详解】如图，延长1C D 交1B B 于点G ，连结GA 并延长，交11B A 的延长线于点H ，因为点D 是BC 的中点，所以11GB BB ==，所以112BA B H =，即111A H AA ==，则22112AH =+=21.已知圆M ：22420x y x y +--=和直线l ：1y kx =-．（1）写出圆M 的圆心和半径；（2）若在圆M 上存在两点A ，B 关于直线l 对称，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线AB 的方程．【答案】（1）圆心为()2,1，半径为5（2）30x y +-=或0x y +=【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径；（2）推出直线l 即为AB 的垂直平分线，过圆心()2,1M ，从而得到1k =，直线AB 的斜率为1-，再结合图形，得到当AB 过点M 和过原点时，满足要求，得到答案.【小问1详解】22420x y x y +--=变形为()()22215x y -+-=，故圆M 的圆心为()2,1【小问2详解】由垂径定理可知，线段AB 的垂直平分线一定过圆心()2,1M ，又A ，B 关于直线l 对称，故直线l 即为AB 的垂直平分线，所以直线l 过点()2,1M ，将其代入1y kx =-中得，211k -=，解得1k =，故直线AB 的斜率为1-，又以线段AB 为直径的圆经过原点，圆M 也经过原点，故当AB 过点M 时满足要求，此时直线AB 的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，当当AB 过原点时，也满足要求，此时直线AB 的方程为()00y x -=--，即0x y +=，综上，直线AB 的方程为30x y +-=或0x y +=.。

2022-2023学年北京市首都师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题

2022-2023学年北京市首都师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题1.直线的倾斜角为A ．B．C．D ．2.圆心，半径为的圆的方程是（）A．B ．C．D．3.已知直线方程的一个法向量可以是（）A．B．C．D．4.点(3，0)到直线x+y－4=0的距离等于（）A．4 B．C．1 D．5.已知在四面体中，分别是的中点，设，，则（）A．B．C．D．6.已知直线与平行，则系数（）A．B．C．D．7.直线与圆的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交且直线过圆心D．相离8.已知向量，是平面内的两个不共线的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件9.点在圆上，点在直线上，则的最小值是（）A．B．C．D．10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（）A．B．C．D．11.圆的圆心坐标为______，半径为_______12.过点且方向向量为的直线方程是__________．13.已知两条直线，，若，则的值为___________.14.已知向量，，则在方向上的投影为________．15.如图，已知长方体中，，，则点到平面的距离为__________．16.已知矩形，沿将折起成，若点在平面上的射影落在的内部（包括边界），则四面体的体积的最大值为__________，最小值为__________.17.已知△ABC三个顶点是A（3，3），，．(1)求边中线所在直线方程；(2)求边的垂直平分线的方程；(3)求的面积18.如图，在直三棱柱中，，，，点是中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成角的余弦值.19.（1）求过点（2，0）且圆心为（1，0）的圆的方程：（2）过点(2，5)作（1）中圆的切线，求出切线方程.20.在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB∥DC ，AB ⊥AD ，DC=AD=1，AB=2，∠PAD=45°，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足=0.(1)求证:DE∥平面PBC.(2)求二面角F-PC-B的余弦值.(3)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是? 若存在，求出AQ的长;若不存在，请说明理由.21.如图，的边边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足．(1)求边所在直线的方程；(2)求的外接圆的方程；(3)若点的坐标为，其中为正整数．试讨论在的外接圆上是否存在点，使得成立?说明理由．。

2022-2023学年北京市第四中学初三上学期期中数学试卷

数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）BCBC ADBC二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. y=x2−1(答案不唯一) 10. 43π11. y1<y212. m>413. (2,1) 14. 1 15. 12000(x+1)2=2700016.三、解答题（本题共68分）17. (6分)(1) x1=0,x2=5(2) x1=1,x2=−1218. (5分)(1)图略(2)直径所对的圆周角是直角(3)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.19.(5分)(1) y=−(x−1)2+4(3) 0≤y≤420. (5分)(3) 521. (5分)(1) ∆=b2−4ac=(k+2)2≥0∴方程总有实数根(2) x1=2k，x2=−1∴k=1,-1,222.(5分)解：连接OC，设OC=x=OB，则OE=x-2∵OE⊥CD ∴CE=ED=4.在Rt△COE中，(x−2)2+42=x2，x=523.(5分)解：设BC=x，则AB=26−x2，∴x∙26−x2=80，x2−26x+160=0(x-16)(x-10)=0x1=16（舍），x2=10∴BC=10米.C2B2C1B1A1Q 24.(6分)(1) 连接OC ，∵PE=PC ∴∠PCE=∠PEC∵∠PCE=∠ACP+∠ACD ，∠PEC=∠B+∠BCD∴∠ACP=∠B=∠BCO∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB=90°∴∠OCP=90°.(2)连接AD ，BD ，作AM ⊥CD ，CD=7√2.25.(6分)(1) y =x 2−6x +9(2) 当x>3时，y 随x 的增大而增大；或图象关于(2,1)对称(答案不唯一) 0<m<2(3)(0,0),(1,0),(1,1)26.(6分)(1)x=1 (2) 2 (3) -1≤m ≤0或 m ≤-2 27.（7分）(1) 45° 补全图形如图证△ABE ≌△ENF(AAS)(2) 中位线(3)√22CF +√2BM =AD28. (7分)(1) 如图 Q(3,4) √5+1 (2) 4。

2022-2023学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期中练习数学试题

2022-2023学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期中练习数学试题1.已知，，如果与为共线向量，则（）A．B．C．D．2.在四面体中，等于（）A．B．C．D．3.直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（）A．B．C．D．4.若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题①若，则斜率；②若斜率，则；③若，则倾斜角；④若倾斜角，则，其中正确命题的个数是（）.A．1 B．2 C．3 D．45.设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（）A．B．C．D．6.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则下列四组向量中能使的是（）A．B．C．D．7.已知直线：与直线：垂直，则实数的值为（）A．B．C．或D．不存在8.已知两个不同的平面，两条不同的直线，，，则“，”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．要不充分也不必要条性9.已知复数z满是，则|z|=（）A．5 B．2 C．D．10.已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（）A．B．C．D．11.已知点，则点到原点的距离是___________，点关于轴的对称点的坐标为______.12.复数的虚部是___________，它的共轭复数在第___________象限.13.已知A（1，2），B（3，1），C（2，0），则点C到直线AB的距离为___________.14.已知是方程的一个虚根，则实数的值为___________.15.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种成两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，这个正多面体的表面积为___________.若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为___________.16.已知复数z=m（m+2）+（m2+m-2）i．(1)若z是纯虚数，求实数m的值；(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．17.在平面直角坐标系xOy，已知的三个顶点A(m，n)，B(2，1)，，且的面积为4.(1)求BC边所在直线的一般式方程；(2)请写出n与m的关系式；(用m表示n)(3)BC边上中线AD的方程为，求点A的坐标.18.如图，平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.19.已知、、、为空间中不共面的四点，且，若、、、四点共面，则实数的值是（）A．B．C．D．20.已知直线，直线l2是直线l1绕点逆时针旋转45°得到的直线．则直线l2的方程是（）A．B．C．D．21.如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（）A．B．C．D．22.已知，则的最小值为（）A．B．C．D．23.设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为_________.24.唐代诗人李颀的诗《古从军行》并头两句为“白日登山望锋火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为___________25.如图1，等腰直角三角形ABC，，D为AC中点，l为平面ABC内过D点的一条动直线，沿直线l作如图2的翻折，点C在翻折过程中记为点，在直线l上的射影为C1，在平面ABC上的射影C2落在直线AB上，则取得最小值时，C1到直线AB 的距离为___________．26.已知正方体ABCD—A1B1C1D1．(1)若正方体的棱长为1，求点A到平面A1BD的距离；(2)在一个棱长为10的密封正方体盒子中，放一个半径为2的小球，任意摇动盒子，求小球在盒子中不能达到的空间的体积；(3)在空间里，是否存在一个正方体，它的顶点A、B、C、D、A1、B1、C1、D1到某个平面的距离恰好为0，1、2、3、4、5、6、7，若存在，求出正方体的棱长，并说明位置：或者不存在，说明理由．。

北京市第四中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

北京市第四中学 2023-2024 学年高一上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 A x x 1 ， B x 1 x 2 ，则 A B （）
A．x x 1 B．x x 1
④设 g x f x kx k ,k R ，则存在实数 k，使得函数 g(x) 没有零点．
其中，所有正确结论的序号有
．
五、解答题
16．设关于 x 的不等式 x a x 1 0 的解集为 P，不等式 x 1 1的解集为 Q．
(1)若 a 1 ，求集合 ðR P Q ；
(2)若 a 0 ，且 P Q ，求实数 a 的取值范围．
a
b
”是“
1 a
1 b
”的（
）
D．1
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知 f x 为奇函数，其局部图象如图所示，那么（）
试卷第 1页，共 5页
A． f 2 2
B． f 2 2
C． f 2 2
D． f 2 2
8．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学
校读书社共有 100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为 90，阅读过
《红楼梦》的人数为 80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为 60，则这 100
名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（）
A．80
B．70
C．60
D．50
9．已知函数
f
x
x2 4x 3, x 0 2x2 4x 1, x

2022-2023学年北京市第四中学九年级上学期数学期中考试卷带讲解

∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
，（舍），
则 ,
故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂经定理，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
15.为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为，根据题意，可列方程为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由抛物线与轴没有公共点，可得再解不等式可得答案．【详解】解：∵抛物线与轴没有公共点，
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点问题，掌握“当时，抛物线与轴没有交点”是解本题的关键．
13.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．
A.4mB.7mC.8mD.10m
【答案】C
【解析】
【分析】将点分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【详解】解：根据题意知，抛物线经过点，
则，
解得：
∴抛物线为
所以，该运动员起跳后飞行到最高点．
即该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，根据题意建立二次函数的模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键．
【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，

北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)

延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学2024.11本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量且，那么（）A. B.6C.9D.183.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（）A. B. C. D.4.设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（）A. B. C. D.5.过和两点的直线的倾斜角是（）A. B.1 C. D.6.“”是“直线与平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平行六面体中，，点在上，且，则（）1i +()()1,2,1,3,,a b x y =-= a ∥b b = ()1,2,3P xOy ()1,2,3-()1,2,3-()1,2,3--()1,2,3-()()120,1,1,1,0,1v v ==- 12,l l 12,l l π65π6π32π3()2,0-()0,21-3π4π41a =1:20l ax y +-=()2:2120l x a y +++=1111ABCD A B C D -1,,AA a AB b AD c === P 1AC 1:1:2A P PC =AP =A. B.C. D.8.已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（）9.在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（）A. B.10.已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（）211333a b c ++ 122333a b c ++ 112333a b c -++ 122333a b c -- 1111ABCD A B C D -2,E 1BB 1B 11A D E 1111ABCD A B C D -E 11A C AE ABCD 1323()()0,1,0,1A B -:2l y kx =-l M MAB V lA. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数，则__________.12.已知点，点在线段上，且，则点坐标为__________.13.若平面，平面的法向量为，平面的法向量为，写出平面的一个法向量__________.14.已知点，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为__________；的取值范围是__________.15.如图：在直三棱柱中，，.记，给出下列四个结论：①存在，使得任意，都有；②对于任意点，都不存在点，使得平面平面；③的最小值为3；④当取最小时，过点作三棱柱的截面，则截面周长为.其中，所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题13分）已知的顶点坐标为.π5π0,,π66⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦5i 12iz =-z =()()1,1,4,1,4,2A B -C AB 2AC CB =C αβ⊥α()11,2,3n = β()2,,0n x y = β()()1,3,1,4A B -:2l y ax =-AB l y a 111ABC A B C -13,90AB BB BC ABC ∠==== 1,(01,01)CH xCB CP yCB x y ==<≤≤≤ (),f x y AH HP =+H P AH HP ⊥H P AHP ⊥11A B C (),f x y (),f x y ,,A H P 5ABC V ()()()1,52,14,3A B C ---､､（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程；（3）求边上的高所在直线的方程.17.（本小题14分）如图，在三棱柱中，底面是的中点，且.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，求平面与平面所成角的余弦值.18.（本小题14分）设的内角对应的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分.19.（本小题14分）已知函数，且的图像过点.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数在上与直线有交点，求实数的取值范围；（3）设函数，记函数在上的最大值为，求的最小B AC BC AB 111ABC A B C -1CC ⊥,ABC D 11A C 12AC BC CC ===1BC ∥1AB D AC BC ⊥1CC 1AB D AC BC ⊥1AB D 11ACC A ABC V ,,A B C ,,a bc sin cos b A B =B ABC V ABC V 3,sin 2sin b C A ==5b a ==b C ==ABC V ()22sin cos 2cos f x a x x x =+()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =m ()()()g x f x t t =-∈R ()g x π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()M t ()M t值及此时的值.20.（本小题15分）如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在点，使得三棱锥的值；若不存在，说明理由.21.（本小题15分）给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质.（1）判断集合是否具有性质，集合是否具有性质；（直接写出答案，结论不需要证明）（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；（3）若集合具有性质，证明：.t P ABCD -ABCD CD ⊥,PAD PAD V ,,,E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD A EFG PC M M EFG -PM PC 2n ≥(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k M t t t t k n αα==∈= ∣M ()12,,,n x x x β= ()12,,,n y y y γ= 1122n n x y x y x y βγ⋅=+++ A M ⊆(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣A ,i j αα,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩A (),T n p ()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =()3,2T ()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1B =()4,2T ()4,T p A A (),T n p ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==延庆区2024-2025学年第一学期期中考试高二数学参考答案及评分标准2024.11一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.D2.A3.B4.C5.D6.C7.A8.B9.A 10.B二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）12. 13.（不唯一，共线即可）14.，（注：第一问3分，第二问2分）15.①③④（注：对一个2分，两个3分，有选错0分）三､解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（1）直线的斜率过点且与直线平行的直线的斜率为过点且与直线平行的直线方程为（2）设边的中点为，因为，所以点的坐标为，即，所以边的中线所在直线方程为()1,3,0()2,1,0-2-()6,5-AC 532145AC k -==---B AC 25-B AC ()21225905y x x y +=-+⇒++=BC D ()()2,14,3B C --､D 2413,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1D 51211AD k -==---BC ()121230y x x y -=--⇒+-=（3）因为，所以边的高线所在直线的斜率为，因此边的高线所在直线方程为.17.（共14分）（1）证明：连接，设，连接，由为三棱柱，得.又是的中点，所以是的中位线，.平面平面，平面；（2）解：底面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为由，得；15621AB k --==-+AB 16-AB ()13462206y x x y -=--⇒+-=1A B 11A B AB E ⋂=DE 111ABC A B C -1A E BE =D 11A C DE 11ΔA BC 1BC ∴∥DE 1BC ⊄ 1,AB D DE ⊂1AB D 1BC ∴∥1AB D 1CC ⊥ ,ABC AC BC ⊥C 1,,CA CB CC ,,x y z ()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B ()()()()1112,0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,2A B C D ()()()110,0,2,2,2,2,1,0,2CC AB AD ==-=- 1AB D (),,n x y z =12220220n AB x y z n AD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ()2,1,1n =设直线与平面所成角为.则.直线与平面.（3）设平面与平面所成角为为锐角，平面的法向量为，，平面与平面.18.（共14分）解：（1），由正弦定理得，在中，，，.（2）若选①，由余弦定理，得，解得若选③，1CC 1AB Dθ111sin cos ,n CC n CC n CC θ⋅=<>== ∴1CC 1AB D 1AB D 11ACC A ,αα11ACC A ()0,1,0m =cos cos ,n m n m n m α⋅=<>== 1AB D 11ACC A sin cos b A B =sin sin a b A B =sin sin cos B A A B =ABC V sin 0,tan A B ≠=()0,πB ∈ π3B ∴=sin 2sin ,2C A c a== 2222cos b a c ac B =+-222944cos a a a B =+-a c ==1sin 2S ac B ∴==b C == ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=由正弦定理可得：选择②，面积公式2分；余弦定理2分.不超过4分.19.（共14分）解：（1）由题意，，解得，，，的最小正周期；的单调减区间为（2）函数在区间上与直线有交点所以，函数在区间上的最大值为3，又因为所以，解得.实数的取值范围是.（3）当时，取最大值4c =1sin 2S bc A ==2πππ3sin 2cos 206364f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =()22cos f x x x ∴=+cos21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ==()f x π2ππ,π,63k k k z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦ππ262m +≥π6m ≥∴m π,6∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭()()ππ11πππ2sin 21,,,2,2π661262g x f x t x t x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=++-∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ262x +=()f x t -3t -当时，取最小值所以，当时，当时，所以，当时，20.（共15分）（1）证明：因为是正三角形，是的中点，所以.又因为平面平面，平面，所以面；解：（2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，设平面的法向量为，由，得，点到平面的距离π3π262x +=()f x t -1t --1t ≤()3M t t=-1t >()1M t t =+1t =min ()2M t =PAD V O AD PO AD ⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PADCD PO ⊥,,AD CD D CD AD ⋂=⊂ABCD PO ⊥ABCD ,,OA OG OP O ,,OA OG OP,,x y z ()()()()()(0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0,2,0,0,0,0,O A B C D P --((()1,,,0,4,0,E F G --()((0,2,0,1,2,,1,4,EF EG FG =-==EFG (),,n x y z =2020n EF y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ )n = (3,AE =- A EFG AE n d n ⋅==（3）设所以点到面的距离为定值解得：或.21.（共15分）（1）集合具有性质，集合B 不具有性质.（2）当时，集合A 中的元素个数为4.由题设.假设集合A 具有性质，则①当时，，矛盾.②当时，，不具有性质，矛盾.③当时，.因为和至多一个在A 中；和至多一个在A 中；和至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾.④当时，，不具有性质，矛盾.⑤当时，，矛盾.综上，不存在具有性质的集合.11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦()()2,4,,12,4M EM λλλλ-=-- M EFG 2PF n d nλ⋅== cos ,||||EF EG EF EG EF EG ⋅<>=== 1sin ,22EFG S EF EG EF EG =<>=V 11sin ,36M EFGEFG V S h EF EG EF EG h -==<>=V 14PM PC λ==34A ()3,2T ()4,2T 4n ={}0,1,2,3,4p ∈()4,T p 0p =(){}0,0,0,0A =1p =()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1A =()4,1T 2p =()()()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1A ⊆()1,1,0,0()0,0,1,1()1,0,1,0()0,1,0,1()1,0,0,1()0,1,1,03p =()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1A =()4,3T 4p =(){}1,1,1,1A =()4,T p A（3）记，则.若，则，矛盾.若，则，矛盾.故.假设存在使得，不妨设，即.当时，有或成立.所以中分量为1的个数至多有.当时，不妨设.因为，所以的各分量有个1，不妨设.由时，可知，中至多有1个1，即的前个分量中，至多含有个1.又，则的前个分量中，含有个1，矛盾.所以.因为，所以.所以.()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= 12n c c c np +++= 0p =(){}0,0,,0A = 1p =(){}1,0,0,,0A = 2p ≥j 1j c p +…1j =11c p +…1c n =0j c =()12,3,,j c j n == 12,,,n ααα ()1212n n n n np +-=-<…11p c n +<…11211,111,0p n t t t t +===== n n p αα⋅=n αp 23,11n n n p t t t +==== i j ≠1i j αα⋅={}121,2,3,,1,,,,q q p q q p t t t +∀∈+ 121,,,p ααα+ 1p +121p p p ++=+()11,2,,1i n i p αα⋅==+ 121,,,p ααα+ 1p +()()1122p p p +++=+()1,2,,j c p j n = …12n c c c np +++= ()1,2,,j c p j n == ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==。

2022-2023学年北京市通州区高二上学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市通州区高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（）．A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3-【答案】B【分析】利用空间向量的坐标运算求得B 的坐标.【详解】设O 为空间坐标原点，()()()3,1,02,5,35,4,3OB OA AB =+=-+-=-.故选：B2．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为1-且倾斜角为3π4的直线方程为．A ．10x y ++=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．10x y --=【答案】A【详解】由题意可得，直线的斜率1k =-，再根据直线的截距得到直线过点（0，-1）根据直线方程的斜截式可知所求的直线方程为=1y x --，即10x y ++=，故选：A ．3．过两直线30,20x y x y +-=-=的交点，且与直线13y x =平行的直线方程为（）A ．350x y ++=B ．350x y +-=C ．350x y -+=D ．350x y --=【答案】C【分析】先求出两直线交点，再由与直线13y x =平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.【详解】由3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，则直线30,20x y x y +-=-=的交点()1,2，又直线13y x =的斜率为13，则所求直线方程为()1213y x -=-，整理得350x y -+=.故选：C.4．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则BD等于（）A ．a b c -+-B ．a b c-+C ．1122a b c-+ D ．1122a b c--- 【答案】C【分析】根据向量的线性运算法则，数形结合，即可得答案.【详解】由题意得：()111222BD BO OD OB OA OC a b c =+=-++=-+.故选：C5．若2220x y x y m +-+-=是一个圆的方程，则实数m 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据22D 4F 0E +->即可求出结果.【详解】据题意，得()()2211420m -+-⨯->，所以14m >-.【点睛】本题考查圆的一般方程，属于基础题型.6．设直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（）A ．π2π0,,π43⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C ．π2π,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π3π,34⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.【详解】因为直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，3tan 1α∴-<≤，因为[0,π)α∈，2ππ,π0,34α⎛⎫⎡⎤∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：A.7．已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11AD AA ==，则直线1BD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A ．33B ．22C ．63D ．12【答案】C【分析】根据11D C ⊥平面11BCC B 找到线面角，进而求出答案.【详解】如图，根据题意，11D C ⊥平面11BCC B ，所以11D BC ∠是1BD 与平面11BCC B 所成的角，由勾股定理易得：()222211112,226BC BD =+==+=，所以111112636sin D C BC D D B ===∠.故选：C.8．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C．D．【答案】D【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理、面面平行的性质可确定正确选项.MN EF AC，MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，【详解】对于A，由正方体的性质可得////MN平面ABC，能满足；所以直线//MN AD，MN⊄平面ABC，AD⊂平面对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得//MN平面ABC，能满足；ABC，所以直线//MN，MN⊄平面ABC，BD⊂平面ABC，对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得//BD所以直线//MN 平面ABC ，能满足；对于D ，作出完整的截面，如下图ABNMHC ，可得MN 在平面ABC 内，不能得出平行，不能满足.故选：D .9．已知直线20x my m ++=与曲线24y x =-的图像有公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．[)(]1,00,1- C ．(][),11,-∞-+∞ D ．(),-∞+∞【答案】A【分析】首先得到直线过定点，曲线是半个圆，数形结合得到两种临界情况，根据直线斜率变化情况，解不等式，即可得到结果.【详解】直线20x my m ++=可变形为()20x m y ++=，可得到直线过定点()0,2-，曲线24y x =-为以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，若两个图像有公共点，则只需要直线和圆相交即可，如下图是两种临界情况，当直线过点()2,0得到1m =-；当直线过点()2,0-时得到1m =，直线的斜率为1m-，由图像可得直线斜率的范围是(][),11,-∞-+∞ 即(][)1,11,m-∈-∞-+∞ 解得[)(]1,00,1m ∈-⋃当0m =时，直线为0x =符合题意.故得到m 范围是[]1,1-.故选：A.10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B【分析】将问题转化为动点P 到直线MN 的距离最小时，确定点P 的位置，建立空间直角坐标系，取MN 的中点Q ，通过坐标运算可知PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，再由空间两点间的距离公式求出||PQ 后，利用二次函数配方可解决问题.【详解】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-，设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---，由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为2221||(1)(10)(0)2PM z z z =--+--+- 25334z z =-+，2221||(11)(10)()2PN z z z =--+--+- 25334z z =-+，所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得22231||(1)(10)()44PQ z z z =--+--+-29338z z =-+2133()28z =-+，所以当12c =时，||PQ 取得最小值64，此时P 为线段1CA 的中点，由于2||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点.故选：B【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.二、填空题11．已知()1,2,3a = ，()1,3,0b =- ，则a b b ⋅+=.【答案】123+/231+【分析】根据所给的两个向量的坐标，先求出两个向量的数量积，再求出向量的模长，从而即可求解.【详解】∵()1,2,3a = ，()1,3,0b =-，∴123a b ⋅=-+，132b =+= ，∴123a b b ⋅+=+ .故答案为：123+.12．若圆()()221:111C x y -+-=与()()2222:23x C y r ++=+外切，则正数r 的值是．【答案】4【分析】由圆心距等于半径之和求解．【详解】因为两圆外切，则2212(12)(13)1C C r =+++=+，4r =．故答案为：4．三、双空题13．如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为1，底面ABC 为直角三角形，1AB AC ==，90BAC ∠=︒．则二面角1B AC B --的大小为；点A 到平面11BCC B 的距离等于．【答案】45︒/4π22/122【分析】先证明CA ⊥平面11ABB A ，得到1B AB ∠就是二面角1B AC B --的平面角，由边角关系求得1tan B AB ∠，即得1B AB ∠的值，取等腰直角三角形ABC 的斜边BC 的中点D ，则AD ⊥平面11BCC B ，故AD 即为所求，根据12AD BC =求出结果．【详解】直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥AC ，90BAC ∠=︒ ，CA ∴⊥AB ，又因为1,AB AA 是平面11ABB A 内的两条相交直线，CA ∴⊥平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，CA ∴⊥1AB 1B AB ∴∠就是二面角1B AC B --的平面角．Rt △1B AB 中，111tan 11B B B AB AB ∠===，1B AB 45∴∠=︒．取等腰直角三角形ABC 的斜边BC 的中点D ，则AD BC ⊥，因为1BB ⊥平面ABC ，因为AD ⊂平面ABC ，所以1BB ⊥AD ，又因为1C,B BB 是平面11BCC B 内的两条相交直线，则AD ⊥平面11BCC B ，故AD 即为A 到平面11BCC B 的距离．故22112222AD BC AB AC ==+=，故答案为：45︒；22．四、填空题14．(,)P x y 是22(4)4x y -+=上的点，则yx的范围是．【答案】33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】将问题转化为斜率问题，结合圆的图像即可求解.【详解】因为yx表示22(4)4x y -+=上一点与原点O 连线的斜率，故作图如下：由圆的方程22(4)4x y -+=可知其圆心(4,0)C ，半径为2，当yx达到最大时，此时CP OP ⊥，且||2||OC CP =，故30COP ∠= ，从而max 3()tan 3y COP x =∠=，同理可知，()min 3tan 1803y COQ x ⎛⎫=-∠=-⎪⎝⎭，从而yx 的范围是33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15．给定两个不共线的空间向量a 与b ，定义叉乘运算：a b ⨯.规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a ，b垂直的向量；（ii ）a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯=；②AB AD AD AB ⨯=⨯ ；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅ .其中，正确结论的序号是.【答案】①③④【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin 902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯= ，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯= ，故②错误； AB AD AC += ，∴11|()|||224182AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯⨯= ，且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向，1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB 共线同向，11||82AB AA AD AA ∴⨯+⨯= ，且11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB 共线同向，故③正确；11()||||||sin 90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯= ，故④成立．故答案为：①③④．五、解答题16．在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；(1)求过M 点和直线BC 平行的直线方程；(2)求BC 边的高线所在直线方程；(3)求ABC 的面积【答案】(1)3170x y -+=(2)30x y +=(3)13【分析】（1）先求得M 点坐标，再求得直线BC 的斜率，代入点斜式方程，化简整理即可得答案.（2）先求得与BC 垂直的直线的斜率，根据BC 边的高线过点A ，代入点斜式方程，化简整理即可得答案.（3）先求得直线BC 的方程，根据点到直线距离公式，可求得点A 到直线BC 的距离，再求得B 、C 两点间距离，代入公式，即可得答案.【详解】（1）因为(3,9),(5,3)A C -，所以AC 的中点坐标(1,6)M ，又直线BC 的斜率321523k -==-，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为16(1)3y x -=-，即3170x y -+=.（2）由（1）可知BC 的斜率321523k -==-，所以与BC 垂直的直线的斜率13k k -'==-，所以BC 边的高线所在直线方程为93(3)y x -=-+，即30x y +=.（3）直线BC 的方程为12(2)3y x -=-，即340x y -+=，所以点A 到直线BC 的距离2233941310513d --⨯+==+，又B 、C 两点间距离22(52)(32)10BC =-+-=，所以ABC 的面积1113101013225S BC d =⨯⨯=⨯⨯=17．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，1PD AB ==，E 是PB 的中点.(1)求直线BD 与直线PC 所成角的余弦值；(2)求证：PC ⊥平面ADE(3)求点B 到平面ADE 的距离.【答案】(1)12(2)证明见解析(3)22【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值；（2）利用数量积坐标运算得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；（3）利用点到平面距离向量公式直接计算即可.【详解】（1）以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系.由题意()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1P ，111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线BD 与直线PC 所成的角为θ，因为(1,1,0)BD =-- ，(0,1,1)PC =- ，所以11cos 222BD PC BD PCθ⋅===⨯⋅ ，所以直线BD 与直线PC 所成角的余弦值为12；（2）因为(1,0,0)DA = ，(0,1,1)PC =- ，111(,,)222DE = ，所以10010(1)0DA PC ⋅=⨯+⨯+⨯-= ，11101(1)0222DE PC ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以,PC DA PC DE ⊥⊥，又,,DA DE D DA DE ⋂=⊂平面ADE ，所以PC ⊥平面ADE ；（3）由（2）知，(0,1,1)PC =- 为平面ADE 的一个法向量，设点B 到平面ADE 的距离为d ，则d 为向量DB 在向量(0,1,1)PC =- 上的投影的绝对值，由(1,1,0)DB = ，得1222DB PC d PC⋅=== ，所以点B 到平面ADE 的距离为22.18．已知圆1C 圆心为原点，且与直线34100x y +-=相切，直线l 过点(1,2)M ．(1)求圆1C 的标准方程；(2)若直线l 被圆1C 所截得的弦长为23，求直线l 的方程．【答案】(1)224x y +=；(2)1x =或3450x y -+=【分析】（1）直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；（2）先由弦长公式求出1d =，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由1d =解出直线斜率，即可求解.【详解】（1）设圆的半径为r ，则2210234r -==+，故圆1C 的标准方程为224x y +=；（2）设圆心到直线到l 的距离为d ，则2223r d -=，解得1d =；当直线l 斜率不存在时，易得:1l x =，此时圆心到l 的距离1d =，符合题意；当直线l 斜率存在时，设:2(1)l y k x -=-，即20kx y k -+-=，则2211kd k -==+，解得34k =，即:3450l x y -+=，故直线l 的方程为1x =或3450x y -+=.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，PA AD ⊥，//BE CD ，BE AD ⊥，2PA AE BE ===，1CD =．(1)求证：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)求二面角C PB E --的余弦值；(3)在线段PE 上是否存在点M ，使得//DM 平面PBC ？若存在，求出点M 的位置：若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)277(3)存在，点M 为PE 中点.【分析】（1）只需证明PA CD ⊥，CD AD ⊥．得到CD ⊥平面PAD ，即可证得平面PAD ⊥平面PCD ；（2）以E 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和平面PBE 的法向量，即可得二面角C PB E --的余弦值；（3）设()()022,0,,,1PM PE λλλλ==-∈ ，利用DM 与平面PBC 的法向量垂直，求出λ即可.【详解】（1）证明：由已知平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD ，所以PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥．又因为BE AD ⊥，//BE CD ，所以CD AD ⊥．,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ．因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD .（2）作⊥Ez 平面ABCD ，以E 为原点，以,EB ED 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则点000,0,2,2,0,2,0,2,0,0,1,2,0,0,2,0E P A B C D --（,,）（）（）（）（）（），所以(2,2,2),(1,2,0),(0,2,2)PB BC EP =-=-=- ，设平面PBC 的法向量为,,n x y z = （），所以222020n PB x y z n BC x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1y =，解得2,1,3n = （），设平面PBE 的法向量为,,m a b c =（），所以22200m PB a b c m EP b c ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1b =，解得011m = （,,），20113127c ,os 7142m n m n m n ⨯+⨯+⨯===⨯⋅ ，由图可知，二面角C PB E --的余弦值为277.（3）因为()0,2,2PE =- ，设()0,2.2,01PM PE λλλλ==-∈ （,）则02222M λλ--（,,），)2422(0DM λλ=-- ,,由（2）知平面PBC 的法向量为2,1,3n =（）若//DM 平面PBC ，则有24660DM n λλ⋅=-+-= ，解得12λ=，所以线段PE 上存在点M ，使得//DM 平面PBC ，点M 即PE 中点.20．已知直线l ：3410x y ++=，一个圆与x 轴正半轴与y 轴正半轴都相切，且圆心C 到直线l 的距离为3.(1)求圆C 的方程；(2)Р是直线l 上的动点，PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点.求四边形PECF 面积的最小值；(3)圆与x 轴交点记作A ，过A 作一直线1l 与圆交于A ，B 两点，AB 中点为M ，求OM 最大值.【答案】(1)()()22224x y -+-=；(2)25；(3)51+.【分析】(1)根据题意设出圆的方程，利用点到直线的距离公式列出等式，解之即可；(2)根据圆的切线的定义可得224CEP CFP PECF S S S PC =+=- 四边形，结合min 3PC =即可求解；(3)设点M 坐标，根据中点坐标公式求出点B 的坐标，进而求出点M 的轨迹方程为一个圆N ，进而OM 的最大值为N ON r +.【详解】（1）由题意知，设圆的标准方程为222()()x a y a a -+-=，因为圆心(,)a a 到直线l 的距离为3，所以22341334a a d ++==+，解得2a =或167a =-(舍去).所以圆的方程为22(2)(2)4x y -+-=；（2）由题意知，CE PE CF PF ⊥⊥，，PE PF =，2CE CF ==，所以2122242CEP CFP PECF S S S PE CE PE PC =+=⨯⨯==- 四边形，又min 3PC =，所以四边形PECF 面积的最小值为min ()29425PECF S =-=四边形；（3）设(,)M x y ，则(2,0),(22,2)A B x y -，因为点B 在圆22(2)(2)4x y -+-=上，所以22(24)(22)4x y -+-=，即22(2)(1)1x y -+-=，所以点M 在以(2,1)为圆心，1为半径的圆N 上，故()()22max 2010151N OM ON r =+=-+-+=+.21．设()2n n ≥为正整数，若()12,,,n x x x α=⋅⋅⋅满足：①{}0,1,,1i x n ∈⋅⋅⋅-，1,2,,i n =⋅⋅⋅；②对于1i j n ≤<≤，均有i j x x ≠.则称α具有性质()E n .对于()12,,,n x x x α=⋅⋅⋅和()12,,,n y y y β=⋅⋅⋅，定义集合(){},,1,2,,i i T t t x y i n αβ==-=⋅⋅⋅.(1)设()0,1,2α=，若β具有性质()3E ，请写出一个β及相应的(),T αβ；(2)设()0,1,2,3,4α=，请写出一个具有性质()5E 的β，满足(){},0,1,2,3,4T αβ=；(3)设()0,1,2,3,4,5,6α=，是否存在具有性质()7E 的β，使得(){},0,1,2,3,4,5,6T αβ=？若存在，判断满足条件的β个数的奇偶；若不存在，请说明理由.【答案】(1)()0,1,2β=时(){},0T αβ=（答案不唯一，正确写出任意一个β并求得对应(),T αβ的值即可.(2){}2,4,1,3,0β=(不唯一)．(3)不存在，证明见解析.【分析】(1)本题属于新定义类型题，可根据题意举例进行直接进行求解；(2)利用反证法进行求解，并举例即可；(3)利用反证法和合情推理进行求解．【详解】（1）令()0,1,2β=，即10y =，21y =，32y =，则()|01,2,3i i t x y i =-==，则(){},0T αβ=；（2）当{}0,1,2,3,4α=，∵4∈(){},0,1,2,3,4T αβ=，∴()152,,,y y y β=⋅⋅⋅中的14y =或者50y =,不妨设50y =,接下来，3∈T ,∴可能13y =或24y =,不妨取24,y α=中的剩余数0，2，3可以分别对应2，1，3，如此β=（2，4，1，3，0）(不唯一)．（3）不存在证明：不妨设()0,1,2,3,4,5,6α=，()127,,,y y y β=⋅⋅⋅，并将其看做数列.假设(),{0T αβ=，1，2，3⋯⋯，6}成立，∵集合{0，1，2，3，4}中有3个奇数，4个偶数.设数列α中有x 个奇数与有序数组β中x 个偶数对应作差的绝对值，α中y 个偶数与β中的y 个奇数对应作差的绝对值，共得到得到x +y =3个奇数；则α中剩余3x -个奇数，4y -个奇数，β中剩余4x -个偶数，3y -个奇数，要对应作差的绝对值恰好为4个偶数，则,αβ的剩余数中奇数与奇数相配对，偶数与偶数相配对，故33,44,x y y x -=--=-即x y =,但是3x y +=,矛盾，故满足条件的β不存在.。

北京市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题含答案

北京2024-2025学年（上）高三期中考试数学试卷（答案在最后）班级：________姓名：________学号：________考生须知1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效.3．考试结束后，考生应将答题卡交回.一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N = （）A.{21}x x -≤<∣B.{21}x x -<≤∣C.{2}xx ≥-∣ D.{1}xx <∣【答案】A 【解析】【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A2.设ln 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（）A.b c a <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c<<【答案】C 【解析】【分析】利用“0,1分段法”来确定正确答案.【详解】ln1ln 2ln e,01a <<<<，0.20221c =>=，π2π,cos 202b <<=<，所以b ac <<.故选：C3.设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件.故选：A.4.将y =cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A.sin 2y x =B.cos 2y x= C.cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数平移变换结论求解.【详解】将cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到cos 2cos 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故选：D ．5.已知函数()21x f x =-，则不等式()f x x ≤的解集为（）A.(],2-∞ B.[]0,1 C.[)1,+∞ D.[]1,2【答案】B 【解析】【分析】将不等式()f x x ≤转化为两个函数12y y ，，在同一坐标系下作出两个函数的图象，由图像可得结果.【详解】因为()21xf x =-，所以()f x x ≤，即21x x ≤+，令122,1xy y x ==+，且均为增函数，则不等式为12y y ≤，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，又当0x =时01221,011y y ===+=，当1x =时，11222,112y y ===+=，所以由图像可知：12y y ≤的解集为： im ，故选：B.6.设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2 D.()2,4【答案】B 【解析】【分析】利用导数以及零点存在性定理来判断出正确答案.【详解】()f x 的定义域是 i 9∞，()1e xf x x='-，在区间 i 9∞上单调递增，()120,1e 102f f ⎛⎫=''=- ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在区间()00,x 上()()0,f x f x '<在()00,x 单调递减，在区间()0,x ∞+上()()0,f x f x '>在()0,x +∞单调递增，所以0x 是()f x 的极小值点，所以1,12M ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B7.在ABC V 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（）A.94B.4C.92D.6【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得；【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则()4,0A ，()0,3B ，()0,0C ，32,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()0,3CB = ，32,2CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3902322CB CP ⋅=⨯+⨯=故选：C8.已知{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为*(N )n S n ∈，满足26a =，326S =，若2024n n S a +>，则n 的最小值是（）A.6B.7C.9D.10【答案】B 【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的首项和公比，由此化简2024n n S a +>并求得正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，12111626a q a a q a q =⎧⎨++=⎩，123a q =⎧⎨=⎩或11813a q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去），所以()121323,3113n n nn na S --=⋅==--.由1123123024531nn n n n S a --+>=-+⋅=⋅-，13405n ->，5632434057293=<<=，所以n 的最小值为7.故选：B9.设R c ∈，函数(),0,22,0.xx c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（）A.()0,1 B.{}[)01,+∞ C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.{}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将(),02,0x x x g x x ≥⎧=⎨<⎩图象平移，以及对参数c 进行分类讨论即可得出其取值范围.【详解】画出函数(),02,0xx x g x x ≥⎧=⎨<⎩的图象如下图所示：函数,0,()22,0.x x c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩可由,0,()2,0.xx x g x x ≥⎧=⎨<⎩分段平移得到，易知当0c =时，函数()f x 恰有一个零点，满足题意；当0c <时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当0c >时，图象往下平移，当021c <<时，函数有两个零点；当21c ≥时，()f x 恰有一个零点，满足题意，即12c ≥；综上可得c 的取值范围是{}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D10.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有(1)(1)a b ++个小球，第三层有(2)(2)a b ++个小球……依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为[(2)(2)()]6n b d a d b c c a ++++-．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】转化题给条件为27725ab a b ++=，再由,a b 皆为正整数分类讨论即可求解.【详解】由题意知，8n =，于是得最底层小球的数量为(7)(7)cd a b =++，即7c a =+，7d b =+.从而有8[(27)(214)(7)7]2406b b a b b a ⋅+++++++=，整理得(27)(214)(7)7180b b a b b a +++++++=，(37)(314)(7)173b a b a ++++=，373142198173ab a ab a b +++++=，6212175ab a b ++=，27725ab a b ++=，由于,a b 皆为正整数，所以（i ）当1,1a b ==时，21171711625⋅⋅+⋅+⋅=<，当1,2a b ==时，212717225⋅⋅+⋅+⋅=，（iii ）当1,3a b ==时，21371733425⋅⋅+⋅+⋅=>，（iv ）当2,2a b ==时，22272723625⋅⋅+⋅+⋅=>只有1,2a b ==符合题意，即ab 的值为2.故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定27725ab a b ++=是解决本题的关键.分类讨论与验证的严谨性：在分类讨论中，每一个可能的a 值都需要进行仔细的验证，确保没有遗漏任何符合条件的解.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若复数4i1iz =-，则复数z 的模z =________．【答案】【解析】【分析】根据复数运算求得正确答案.【详解】()()()()4i 1i 4i 2i 1i 22i 1i 1i 1i z +===+=-+--+，z ==故答案为：12.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，260a a +=，则8S =________．【答案】8-【解析】【分析】求得等差数列{}n a 的公差，进而求得8S .【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则261261260,2a a a d d d +=+=+==-，所以8182848568S a d =+=-=-.故答案为：8-13.在ABC V 中，222a c b +=．则B ∠的值是________；cos y A C =+的最大值是________．【答案】①.π4##45︒②.1【解析】【分析】利用余弦定理求得cos B ，从而求得B ；利用三角恒等变换的知识求得cos y A C =+的最大值.【详解】由222a cb +=+，得2222cos 22a cb B ac +-==，所以B 为锐角，且π4B =.πcos cos4y A C A A ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭πsin cos sin 224A A A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，3π04A <<，πππ44A <+<，所以当ππ42A +=，即π4A =时，cos y A C =+取得最大值为1.故答案为：π4；114.设函数()()()11,1,lg 1.x a x x f x x a x ⎧-++<=⎨-≥⎩①当0a =时，((10))f f =________；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是________．【答案】①.0②.(][),02,-∞⋃+∞【解析】【分析】①根据函数解析式求得((10))f f .②对a 进行分类讨论，根据()f x 零点的个数求得a 的取值范围.【详解】①，0a =时，()()21,1lg ,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，所以()10lg101f ==，所以()((10))1lg10f f f ===.②，令()0f x =，可得:当1x <时，()()110x a x -++=，所以1x =-或1x a =-，当0a =或2a ≥时，方程()()110x a x -++=在(),1-∞上有唯一解1x =-，当0a <或02a <<时，方程()()110x a x -++=在(),1-∞上的解为1x =-或1x a =-，当1x ≥时，lg 0x a -=，所以当0a ≥时，10a x =，当0a <时，方程lg 0x a -=在[)1+∞，上无解，综上，当0a <时，函数()f x 有两个零点1,1a --，当0a =时，函数()f x 有两个零点1,1-，当02a <<时，函数()f x 有三个零点1,1,10a a --，当2a ≥时，函数()f x 有两个零点1,10a -，因为()f x 恰有2个零点，所以2a ≥或0a ≤，所以a 的取值范围是(][),02,-∞⋃+∞.故答案为：0；(][),02,-∞⋃+∞15.已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0t =时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①②④【解析】【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取1t =-，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误.【详解】对于①，当0t =时，()()()22e xy f x g x x x ==-，则()22e xy x '=-，由0'<y 可得x <<，由0y >' 可得x <或x >，此时，函数()22e xy x x =-的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为(，当0x <或2x >时，()22e 0xy x x =->，当02x <<时，()22e 0xy x x =-<，故函数()22e xy x x =-在x =处取得最小值，①对；对于②，()()()()()2222e 22e 2e 2e 1xxxxy x t x x t x t x '=--+-+=-+-+，令()e 1xh x x =-+，其中1x ≥，则()e 10xh x '=->，所以，函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以，()()e 11e 0xh x x h =-+≥=>，则e 1e 0x x -≤-<，由()()22e 2e 10xxy x t x '=-+-+≥可得()22e2e 1xxx t x -≥-+，构造函数()()22e e 1xxx p x x -=-+，其中1x ≥，则()()()()23224e 42e 442e e e 1e 1x x xxx x x x x x x x p x x x ⎛⎫-+- ⎪-+-⎝⎭'==-+-+，令()2442e x q x x x =-+-，其中1x ≥，则()()242e 0x q x x x'=--<，所以，函数()qx 在[)1,+∞上单调递减，故当1x ≥时，()()112e 0q x q ≤=-<，则()0p x '<，即()p x 在[)1,+∞上单调递减，()()max 11p x p ∴==，则21≥t ，解得12t ≥，②对；对于③，()()22e xy f x g x x x t =+=-++，22e x y x '=-+，因为函数22e x y x '=-+在R 上单调递增，10x y ==-'< ，1e 0x y ='=>，所以，存在()00,1x ∈，使得0y '=，当0x x <时，0'<y ，此时函数22e x y x x t =-++单调递减，当0x x >时，0y >' ，此时函数22e x y x x t =-++单调递增，所以，对任意的实数t ，函数22e x y x x t =-++有最小值，③错；对于④，令()22e xu x x x t =-++，不妨令()010u t =+=，即取1t =-，由③可知，函数()22e 1xu x x x =-+-在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，因为()00,1x ∈，则()()000u x u <=，()22e 10u =->，所以，存在()10,2x x ∈，使得()10u x =，此时函数()u x 的零点之和为1102x x +=<，④对.故答案为：①②④.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在ABC V 中，2π3A ∠=，AC =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，CD =（1）求ADC ∠的值；（2）求BC 的长度；（3）求BCD △的面积．【答案】（1）π4（2（3）3(31)4-【解析】【分析】（1）在ADC △中，利用正弦定理即可得解；（2）由（1）可求出ACD BCD ∠=∠，判断出ABC V 为等腰三角形，进而求得BC .（3）根据三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC A=∠∠，所以2πsin 3sin 2AC A ADC CD⋅∠∠===，因为π03ADC ∠<<，所以π4ADC ∠=；【小问2详解】由（1）得2ππππ3412ACD BCD ∠=∠=--=，由题设，π6B ACB ∠=∠=，即ABC V 为等腰三角形，所以π2cos6BC AC =⨯⨯.【小问3详解】ππ321262sin 3422224⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭，所以BCD △的面积11πsin 2212BCD S BC CD BCD =⋅⋅∠=⨯=V .17.已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎝⎭的最小正周期为π．（1）若2A =，(0)1f =，求ϕ的值；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定()f x 的解析式，并求函数()()2cos 2h x f x x =-的单调递增区间．条件①：()f x 的最大值为2；条件②：()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称；条件③：()f x 的图象经过点π12⎛ ⎝．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6ϕ=（2）()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，单调递增区间πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【解析】【分析】（1）根据条件，代入()2,01A f ==，即可求解；（2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，利用三角恒等变换，代入函数单调递增区间，即可求解.【小问1详解】因为2A =，()01f =，则12sin 1,sin 2ϕϕ==，且π02ϕ<<，则π6ϕ=.【小问2详解】因为函数()f x 的最小正周期为π，则2ω=，若选①②，则2A =，且5π5π2sin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π02ϕ<<，则5π5π4π663ϕ<+<，则5ππ6ϕ+=，则π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；若选择①③，则2A =，且ππ2sin 126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 62ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π02ϕ<<，则ππ2π663ϕ<+<，则ππ63ϕ+=，则π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；若选择②③，由②可知，π6ϕ=，由③可知，πππsin 12662f A A ⎛⎫⎛⎫=+=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2A =，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.()π2sin 22cos 22cos 26h x x x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，得ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间是πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .18.为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023-年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份201520162017201820192020202120222023产量万台3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量万台 6.98.713.815.414.015.627.129.731.6记20152023-年工业机器人产量的中位数为a ，销量的中位数为b ．定义产销率为“100%=⨯销量产销率产量”．（1）从20152023-年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；（2）从20202318-年这6年中随机取2年，这2年中有X 年工业机器人的产量不小于a ，有Y 年工业机器人的销量不小于b ．记Z X Y =+，求Z 的分布列和数学期望()E Z ；（3）从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明【答案】（1）49（2）分布列见解析；()103E Z =（3）2018年和2019年【解析】【分析】（1）按古典概型的概率计算求解.（2）先根据中位数的概念确定a ，b 的值，在确定X ，Y 的所有可能值，进一步得Z 的所有可能的取值，再求Z 的分布列.（3）计算产销率，可直接得到结论.【小问1详解】记事件A 为“工业机器人的产销率大于100%”．由表中数据，工业机器人的产销率大于100%的年份为2015年，2016年，2017年，2018年，共4年．所以()49P A =．【小问2详解】因为18.7a =，15.4b =，所以X 的所有可能的取值为1,2；Y 的所有可能的取值为1,2．所以Z 的所有可能的取值为234,,．2226C 1(2)C 15===P Z ，112426C C 8(3)C 15===P Z ，2426C 2(4)C 5===P Z ．所以Z 的分布列为：Z234P 11581525故Z 的数学期望()18210234151553E Z =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】2018年和2019年．19.已知椭圆2222:1x y E a b +=过点()2,1P -和()Q .（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()0,2G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点,A B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程.【答案】（1）22182x y +=（2）2y x =+或0x =【解析】【分析】（1）两个点()()2,1,P Q -代入解方程即可.(2)斜率不存在单独算出2GM GN ⋅=是否成立；斜率存在时把l 设出来与椭圆联立，韦达定理求出两根之和与两根之积用斜率k 来表示，然后GM GN ⋅用两个根表示，化简求值即可.【小问1详解】将点()()2,1,P Q -坐标代入椭圆E 的方程，得222411,81,a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得228,2a b ==,所以椭圆E 的方程为：22182x y +=【小问2详解】若直线l 的斜率不存在，即直线l 为0x =时，A 和M 重合，B 和N点重合，分别为椭圆的上下顶点(0,，此时((222GM GN ⋅=-⨯+=，符合题意.若直线l 斜率存在，设直线AB 的方程为2y kx =+，()()(11221,,2A x y B x y x ≠-且)22x ≠-，联立方程222182y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()22411680k x kx +++=，()()()2222116324132410,,4k k k k ∆=-+=->∴>即12k >或12k <-11212221216841411PA y k x x x x k k k x --+=⋅==+++，所以直线PA 的方程为()111212y y x x -=+++，取0x =得()11210,12y M x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理可得()22210,12y N x ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭由2GM GN ⋅=得()()121221*********y y x x --+-⋅+-=++，即()()1212212111222y y x x ---⋅-=++，所以()2121221222x x k x x -⋅=++，即()()212121221224x x k x x x x -=+++，即()222284121283244141k k k k k +-=-++++即()22211483k k k -=-+，因为12k >，所以得21123k k -=-，即1k =，经检验符合题意，此时直线l 为2y x =+综上所述，直线l 的方程为2y x =+或0x =.20.已知函数()ln ()x a f x x -=．（1）若1a =，求函数()f x 的零点：（2）若1a =-，证明：函数()f x 是 i 9∞上的减函数；（3）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值．【答案】（1）2（2）证明见解析.（3）0.【解析】【分析】（1）直接解方程即可求出零点；（2）利用导数证明函数的单调性；（3）先由()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，得到()ln 11a a a-=-，用图像法求出a =0.【小问1详解】当1a =时，()ln 1()x f x x -=.令()ln 1()0x f x x -==，解得：x =2.即函数()f x 的零点是2.【小问2详解】当1a =-时，()ln 1()x f x x +=定义域为()()1,00,-+∞ .所以()()()21ln 1()1x x x f x x x -++'=+.令()()()1ln 1g x x x x =-++，则()()ln 1g x x '=-+当 i 9∞时，()0g x '<恒成立，所以()g x 在 i 9∞上单调递减，所以当0x >时，都有()()00g x g <=.所以()0f x '<在 i 9∞上恒成立，所以函数()f x 是 i 9∞上的减函数.【小问3详解】()()()2ln ()x x a x a f x x x a ---'=-.所以()()11ln 1(1)1a a k f a ---'==-.因为()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，所以()()11ln 1(1)11a a k f a ---'===-.即()ln 11a a a-=-.记()()()ln 111a h a a a a=--<-，则()()21a h a a '=-.当0a <时，()()201ah a a '=<-，所以()h a 单调递减；当01a <<时，()0h a '>，所以()h a 单调递增.而()0ln100h =-=，所以a =0是方程()ln 11a a a -=-的唯一解.故a =0.21.已知()12:,,,4n n A a a a n ≥ 为有穷数列．若对任意的{}0,1,,1i n ∈- ,都有11i i a a +-≤（规定0n a a =）,则称n A 具有性质P ．设()(){},1,22,1,2,,n i j T i j a a j i n i j n =-≤≤-≤-= ．（1）判断数列45:1,0.1,1.2,0.5,:1,2,2.5,1.5,2A A --是否具有性质P ？若具有性质P ,写出对应的集合n T ;（2）若4A 具有性质P ,证明:4T ≠∅;（3）给定正整数n ,对所有具有性质P 的数列n A ,求n T 中元素个数的最小值．【答案】（1）4A 不具有性质P ,5A 具有性质P ,()()()(){}51,4,2,4,2,5,3,5T =（2）证明见解析（3）3n -【解析】【分析】(1)根据性质P 的定义,观察到32 1.31a a -=>,可得4A 不具有性质P ,根据5:1,2,2.5,1.5,2A ,可以发现5A 中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故5A 具有性质P ,根据5T 定义代入求值,即可得出5T ;(2)“4T ≠∅”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T 中”,利用反证法假设()()1,3,2,4两个元素都不在4T 中,通过范围推出矛盾即可.(3)设n T 中元素个数最小值为n d ,根据新定义可得11n n d d -≥+,以此类推可得44n d d n ≥+-,由(2)中的结论可得41d ≥,即可得3n d n ≥-,再进行验证即可.【小问1详解】解:由题知4:1,0.1,1.2,0.5A --,即12341,0.1, 1.2,0.5,a a a a ===-=-因为32 1.31a a -=>,所以4A 不具有性质P ,由于5:1,2,2.5,1.5,2A ,即123451,2, 2.5, 1.5,2,a a a a a =====因为21324311,0.51,11,a a a a a a -=≤-=≤-=≤54510.51,11,a a a a -=≤-=≤故5A 具有性质P ,因为41420.51,0.51,a a a a -=≤-=≤523501,0.51,a a a a -=≤-=≤故()()()(){}51,4,2,4,2,5,3,5T =;【小问2详解】“4T ≠∅”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T 中”,假设()()1,3,2,4两个元素均不在4T 中,则有31421,1,a a a a ->->不妨设12a a ≤,若23a a >,则由()()313221a a a a a a -=-+-,可得3111a a -≤-<,与311a a ->矛盾,故23a a ≤,同理34a a ≤,从而1234a a a a ≤≤≤,所以()()01414221421a a a a a a a a a a -=-=-+-≥->,与4A 具有性质P 矛盾,所以假设不成立,即4T ≠∅;【小问3详解】设{}()123min ,,,,21,k n a a a a a k n =≤≤- 规定1k =时,1k n a a -=,k n =时,11k a a +=,则[]11,,1k k k k a a a a -+∈+,所以111k k a a +--≤,考虑数列311:,,k k k B a a a -+,112311:,,,,,,,n k k n C a a a a a a --+ ,由题设可知,他们均具有性质P ,设n T 中元素个数最小值为n d ,所以11n n d d -≥+,所以124124n n n d d d d n --≥+≥+≥≥+- ,由(2)知41d ≥,从而3n d n ≥-,当21n m =+时,令()()31,2,,,1,2,,12i m i a i i m a m i i m +===+-=+ ,当2n m =时,令()()11,2,,,1,2,,2i m i a i i m a m i i m +===+-= ,此时均有3n d n =-,所以n T 中元素个数的最小值为3n -.【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有:(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思;(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言;(3)将已知条件代入新定义的要素中;(4)结合数学知识进行解答.。

2022-2023学年北京市第二十二中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2022-2023学年北京市第二十二中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线10x y -+=的倾斜角为（） A ．45- B ．30- C ．45 D ．135【答案】C【分析】求出直线的斜率，利用直线的倾斜角与斜率的关系可求得该直线的倾斜角.【详解】设直线10x y -+=的倾斜角为α，直线10x y -+=的方程即为1y x =+，则tan 1α=， 0180α≤<，因此，45α=.故选：C.2．双曲线2214x y -=的渐近线方程为（）A ．12y x =± B ．2y x =± C ．1y x=±D ．y x =±【答案】A【分析】根据双曲线方程写出其渐近线方程即可. 【详解】由双曲线方程，可知：其渐近线方程为2xy =±.故选：A3．已知直线1:210l x ay a ++-=，2:10l ax y ++=，若12l l ∥，则实数a 等于（） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1或1-【答案】C【分析】由题意可得0a ≠，则由12l l ∥得12111a a a -=≠，从而可求出a 的值【详解】由题意可得0a ≠，因为12l l ∥， 1:210l x ay a ++-=，2:10l ax y ++=，所以12111a a a -=≠，解得1a =-，故选：C4．已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为（）A ．12 B C ．2D 【答案】D【分析】由题意b a =【详解】解：由题意b a =2222222222443,3(),43,,,33c a b a c a a c e e a ∴=∴=-∴=∴=∴=∴故选：D ．5．以x 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（） A ．28y x = B ．28y x =- C ．28y x =或28y x =- D ．28x y =或28x y【答案】C【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.【详解】依题意设抛物线方程为()220y px p =±>．因为焦点到准线的距离为4，所以4p =，所以28p =，所以抛物线方程为28y x =或28y x =-．故选：C ．6．如果方程221x ky +=表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围（） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．()0,1 D ．()(),01,-∞⋃+∞【答案】B【分析】由椭圆的标准方程，明确,a b 的取值，根据焦点的位置，设不等式，可得答案. 【详解】由方程221x ky +=，则=1a，b 101k <<，可得1k .故选：B.7．双曲线2212x y a -=与椭圆22214x y a +=的焦点相同，则a 等于（）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．2【答案】A【分析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数. 【详解】因为双曲线2212x y a -=的焦点在x 轴上，所以椭圆22214x y a+=的焦点在x 轴上，依题意得220,04,42,a a a a >⎧⎪<<⎨⎪-=+⎩ 解得1a =.故选：A8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交y 轴于点Q ，若3PF FQ =，则点P 到准线l 的距离为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】求出焦点F 的坐标，过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ，由OF PN ∥可得||||1||||4OF FQ PN QP ==，求出||PN ，结合抛物线的定义，即可得解．【详解】解：由抛物线2:4C y x =，可知(1,0)F ，准线l 的方程为=1x -，过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ，因为OF PN ∥，所以||||1||||4OF FQ PN QP ==，所以||4||4PN FO ==，所以点P 到准线l 的距离为415+=．故选：C ．9．已知点()13,1A --， ()3,0B ，若点(),M x y 在线段AB 上，则21y x -+的取值范围（） A ．)1,3,2⎛⎤⎡-∞-+∞ ⎥⎣⎝⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．3⎡-⎣D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】设()1,2Q -，分别求出QA k ，QB k ，根据21y x -+表示直线QM 的斜率即可得到结果. 【详解】设()1,2Q -，则()3113QA k ==----201132QBk -==---因为点(),M x y 在线段AB 上，所以21y x -+的取值范围是)1,3,2⎛⎤⎡-∞-+∞ ⎥⎣⎝⎦故选:A.10．椭圆1C ：22143x y +=与双曲线2C ：22221x y a b-=的离心率之积为1，则双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为（）A ．π6，π6-B ．π3，π3-C ．π6，5π6D ．π3，2π3【答案】D【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式，结合双曲线的渐近线方程进行求解即可. 【详解】因为椭圆1C ：22143x y +=与双曲线2C ：22221x y a b -=的离心率之积为1，2213b a b =⇒=⇒=，因此双曲线2C 的两条渐近线方程为：by x y a=±⇒=，所以双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为π3，2π3，故选：D11．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，定点()3,1A ，M 为抛物线上一点，则|MA |+|MF |的最小值为（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】作出图象，过点M 作准线=1x -的垂线，垂足为H ，结合图形可得当且仅当三点M ，A ，H 共线时|MA |+|MH |最小，求解即可．【详解】过点M 作准线=1x -的垂线，垂足为H ，由抛物线的定义可知|MF |＝|MH |，则问题转化为|MA |+|MH |的最小值，结合图形可得当且仅当三点M ，A ，H 共线时|MA |+|MH |最小，其最小值为()314AH =--=. 故选：B ．12．已知圆C ：224x y +=，直线L ：y kx m =+，则当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 的取值为（） A ．2± B ．2±C ．3±D ．3±【答案】C【分析】由直线L 过定点(0,)M m ，结合圆的对称性以及勾股定理得出m 的取值.【详解】直线L ：y kx m =+恒过点(0,)M m ，由于直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，即当直线L与直线OM 垂直时（O 为原点），弦长取得最小值，于是2222122||12OM m ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭，解得3m =±.故选：C13．如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm ，灯深10cm ，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（）A ．10cmB ．7.2cmC ．3.6cmD ．2.4cm【答案】C【分析】先建立直角坐标系，设出抛物线的方程，根据题设条件得点(10,12)代入抛物线方程求得p ，进而求得2p，即灯泡与反光镜的顶点的距离. 【详解】解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x 轴，以反射镜的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示：因为灯口直径为24cm ，灯深10cm ，所以点(10,12)在抛物线上.由题意设抛物线的方程为()220y px p =>，由于点(10,12)在抛物线上，得212210p =⨯. ∴214.4p =∴焦点坐标为()3.6,0F∴灯泡与反射镜顶点的距离为3.6cm 故选：C14．已知曲线C ：221mx ny +=，则下列说法不正确的是（） A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为m y x n=- C ．若0m n =>，则C n D ．若0,0m n =>，则C 是两条直线【答案】C【分析】把221mx ny +=化成椭圆的标准方程并求其焦点所在轴，判断选项A 的正误；把221mx ny +=化成双曲线的标准方程并求其渐近线，判断选项B 的正误；把221mx ny +=化成圆的标准方程并求其半径，判断选项C 的正误；把221mx ny +=化成直线的方程，判断选项D 的正误.【详解】选项A: 0m n >>时，221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时110n m>>，C 是椭圆，其焦点在y 轴上，判断正确；选项B: 0mn <时分为两种情况：① 00m n ><，时，221mx ny +=可化为22111x y m n-=- 此时1100m n >->，，C是双曲线，其渐近线方程为y =，判断正确； ② 00m n <>，时，221mx ny +=可化为22111y x n m-=- 此时1100n m >->，，C是双曲线，其渐近线方程为y =，判断正确；选项C: 0m n =>时，221mx ny +=可化为221x y n+=此时C，判断错误；选项D: 0,0m n =>时，221mx ny +=可化为21ny =即y =或y =，此时C 是两条直线，判断正确. 故选：C15．设点(A，B ，M 为动点，已知直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值13，点M 的轨迹是（） A ．()22109x y y -=≠B ．()22109y x y -=≠C ．()22103x y y -=≠D ．()22103y x y -=≠【答案】C【分析】设动点(),M x y ，根据已知条件，结合斜率公式，即可求解. 【详解】解：设动点(),M x y，则x ≠则MA k =，MB k，(x ≠，直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值13，13=，化简可得，()22103x y y -=≠，故点M 的轨迹方程为()22103x y y -=≠.故选：C.16．已知曲线C 的方程为244x y +=，则下列说法正确的是（）①曲线C 关于坐标原点对称； ②曲线C 是一个椭圆；③曲线C 围成区域的面积小于椭圆22:14x E y +=围成区域的面积.A ．①B ．①②C ．③D ．①③【答案】D【分析】对于①在方程中x 换为x -，y 换为y -可判断；对于②分析曲线C 的图形是两个抛物线的部分组成的可判断；对于③在第一象限内，分析椭圆的图形与曲线C 图形的位置关系可判断.【详解】在曲线C 的方程244x y +=中，x 换为x -，y 换为y -，方程不变，故曲线C 关于坐标原点对称所以①正确,当0y ≥时，曲线C 的方程化为214x y =-，此时22x -≤≤当0y <时，曲线C 的方程化为2x y 14=-，此时22x -≤≤ 所以曲线C 的图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故②不正确.当0y ≥，02x ≤≤时，设2114x y =-，2y =设214x t =-，则01t ≤≤，2110y y t -==≥（当且仅当0=t 或1t =时等号成立）所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线C 的上方.根据曲线C 和椭圆的的对称性可得椭圆的图形在曲线C 的外部（四个顶点在曲线C 上）所以曲线C 围成区域的面积小于椭圆22:14x E y +=围成区域的面积，故③正确.故选：D二、填空题17．已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 坐标为______．【答案】()2,0【分析】根据抛物线的方程求得焦点坐标. 【详解】抛物线方程为28y x =，开口向右，28,22pp ==，所以焦点坐标为()2,0. 故答案为：()2,018．已知点()0,1P ，点Q 是直线210x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为______．【答案】0【分析】判断出P 点的位置，从而求得正确答案. 【详解】由于()0,1P 满足直线方程210x y -+=，所以P 在直线210x y -+=上，所以PQ 的最小值为0. 故答案为：019．已知椭圆2212y x +=的两个焦点1F ，2F ，点P 在椭圆上，且12PF PF ⊥，则2PF =__．【分析】由给定椭圆求出半焦距，再由对称性写出1F 坐标，结合12PF PF ⊥，利用勾股定理和椭圆的定义可列出方程，即可求出21PF PF =，进而可得答案.【详解】由椭圆2212y x +=知，椭圆的长半轴长a =1b =，则半焦距=1c ，由椭圆对称性不妨令焦点1(0,1)F -，因点P 在椭圆C 上，且12PF PF ⊥，设11PF r =，22PF r =，则由122212++=4r r r r ⎧⎪⎨⎪⎩12r r =即有21P P F F == 所以2PF20．已知点F （c ，0）为双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的右焦点，点B 为双曲线虚轴的一个端点，直线BF 与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为__________．【分析】设出(),0F c ，()0,B b ，双曲线C 的一条渐近线by x a=，运用两点的斜率公式和两直线垂直的条件是斜率之积为1-，结合双曲线的,,a b c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】由对称性知，选取双曲线C 的一条渐近线方程为by x a=，相应直线BF 方程为1x y c b+=，知BF bk c =-，从而1b b a c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，即2ac b =，则22ac c a =-，两边同时除以2a ，得2e e 10--=，因为e 1>所以双曲线的离心率e =. 21．关于曲线C ：22111x y +=，有如下结论： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线0x y ±=对称； ③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π； ④曲线C 不是封闭图形，且它与圆222x y +=无公共点；其中所有正确结论的序号为_________. 【答案】①②④【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确. 【详解】对于①，将方程中的x 换为x -，y 换为y -，得()()222211111x yx y +=+=--，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x 换为y 或y -，y 换为x 或x -，得()()2222221111111y x x y y x +=+=+=--，所以曲线C 关于直线0x y ±=对称，故②正确；对于③，由22111x y +=得221110y x=-≥，即21x ≥，同理21y ≥，显然曲线C 不是封闭图形，故③错误；对于④，由③知曲线C 不是封闭图形，联立22221112x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去2y ，得42220x x -+=，令2t x =，则上式转化为2220t t -+=，由()2Δ24240=--⨯=-<可知方程无解，因此曲线C 与圆222x y +=无公共点，故④正确.故答案为：①②④.三、双空题22．光线从点()3,4A -射到x 轴上，经反射后经过点()4,10B ，则反射光线所在直线的方程为___________，光线从A 到B 的路线长度为___________.【答案】 220x y -+=【分析】由题设，反射光线过()3,4--和()4,10，应用点斜式写出方程，再由从A 到B 的路线长度为()3,4--与()4,10的距离，两点式求路线长度.【详解】由题设，反射光线过()3,4--和()4,10，故斜率为10(4)24(3)k --==--，所以反射光线为42(3)y x +=+，整理得220x y -+=，光线从A 到B 的路线长度，即为()3,4--与()4,10的距离，=故答案为：220x y -+=，四、解答题23．已知点()1,3A ，()3,1B ，()1,0C -.求：(1)BC 边上的中线所在直线的方程；(2)三角形ABC 的面积.【答案】(1)1x =(2)5【分析】（1）根据()1,3A ，()3,1B ，()1,0C -，求得线段BC 的中点坐标求解；（2）写出直线BC 的方程，求得点A 到直线BC 的距离d ，和BC ，再利用三角形面积公式求解.【详解】（1）解：因为()1,3A ，()3,1B ，()1,0C -，所以线段BC 的中点坐标为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以BC 边上的中线所在的直线的斜率不存在，则BC 边上的中线所在的直线方程为1x =（2）直线BC 的方程为011031y x -+=-+，即410x y -+=，则点A 到直线BC 的距离d =又BC =故 152ABC S ==△. 24．已知圆C 的方程为2222230x y x y +---=．(1)求圆C 的圆心及半径；(2)是否存在直线l 满足：经过点(2,1)A -，且_________________ ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：被圆C 所截得的弦长最长；条件②：被圆C 所截得的弦长最短；条件③：被圆C 所截得的弦长为8．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】(1)圆心为(1,1)，半径为5；(2)答案见解析.【分析】（1）写出圆的标准方程即得解；（2）选择条件①：直线l 应过圆心即直线l 过点(2,1)A -和(1,1)C ，即得解；选择条件②：直线l 应与CA 垂直，求出直线的方程即得解；选择条件③：不存在满足条件的直线.【详解】（1）解：由圆的方程整理可得22(1)(1)25x y -+-=，所以圆心为(1,1)，半径为5.（2）选择条件①：若直线l 被圆C 所截得的弦长最长，则直线l 应过圆心即直线l 过点(2,1)A -和(1,1)C ，所以直线的斜率为1(1)212l k --==--，则直线l 的方程为23y x =-+. 选择条件②：若直线l 过点(2,1)A -被圆C 所截得的弦长最短，则直线l 应与CA 垂直. 又2CA k =-，所以12l k =.故直线l 方程为122y x =-.选择条件③：经过点(2,1)A -的直线l 被圆C 所截得的最短弦长=，由于8，所以不存在满足条件的直线.25．在直线坐标系xOy 中，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，A 为抛物线上一点，若直线FA 的倾斜角为60°，且A 到抛物线准线的距离为4．(1)求p 的值和抛物线的方程；(2)求OA 的值．【答案】(1)2p =时，抛物线方程为24y x =；6p 时，抛物线方程为212y x =(2)2p =时OA 6p 时OA =【分析】（1）根据A 在第一或第四象限进行分类讨论，结合抛物线的定义求得p ，进而求得抛物线的方程.（2）通过A 点坐标求得OA 的值.【详解】（1）依题意，直线FA 的倾斜角为60°，且A 到抛物线准线的距离为4，当A 在第一象限时，A 点的坐标为4,4sin 602p ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭，即4,2p ⎛- ⎝，,0,22AF p F k p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，抛物线方程为24y x =.当A 在第四象限时，A 点的坐标为4,4sin 602p ⎛⎫--︒ ⎪⎝⎭，即4,2p ⎛-- ⎝，,0,62AF p F k p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，抛物线方程为212y x =.（2）由（1）得，当2p =时，(,A OA =当6p 时，(1,,A OA -=26．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点()0,1B ，且点B 到其两个焦点距离之和为4． (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为原点，点A 为椭圆E 的左顶点，过点()1,0C 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，且直线l 与x 轴不重合，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于M ，N 两点．求证：OM ON ⋅为定值．【答案】(1)2214x y += (2)证明详见解析【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，由此求得椭圆E 的方程.（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过直线AP 和直线AQ 的方程求得,P Q 两点的纵坐标，进而求得OM ON ⋅.【详解】（1）依题意，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>过点()0,1B ，且点B 到其两个焦点距离之和为4，所以12241b a a b ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，所以椭圆方程为2214x y +=. （2）依题意，设直线l 的方程为1x my =+，由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 并化简得()224230m y my ++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122223,44m y y y y m m --+=⋅=++. ()2,0A -，直线AP 的方程为()1122y y x x =++，令0x =得1122M y y x =+，同理可求得2222N y y x =+，所以()()()()12121212442233y y y y OM ON x x my my ⋅==++++ ()212222212122221241436936393444y y m m m m m y y m y y m m m -+===--+++++++++为定值.。