北京市第四中学2022_2023学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)

高二数学

（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）

Ⅰ卷（满分100分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.） 1.直线1y x =-+的倾斜角是（ ） A.45°

B.135°

C.120°

D.90°

2.已知()2,1,3a =-，()4,2,b x =-，且a b ⊥，则x =（ ） A.

103

B.6-

C.6

D.1

3.已知点()1,2A ，()3,1B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A.425x y +=

B.425x y -=

C.25x y +=

D.25x y -=

4.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为正方形1111A B C D 的中心，1AE AA xAB yAD =++，则x ，y 的值是（ ） A.1x =，1y =

B.1x =，1

2

y =

C.12x =

，12

y = D.1

2

x =

，1y = 5.“1a =”是“直线()110ax a y +--=与直线()110a x ay -++=垂直”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

6.若点()1,1M 为圆2

2

:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A.20x y --=

B.20x y -+=

C.0x y -=

D.0x y +=

7.已知()2,3A -，()3,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A.4k ≤-或3

4

k ≥

B.344

k -≤≤

C.14k ≤-

或43

k ≥ D.3

44

k -

≤≤ 8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱11A B ，11A D 的中点，则直线AM 和CN 所成角的余弦值是（ ）

A.

3

B.

3

C.15

-

D.

15

9.如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误．．

的为（ ）

A.O ABC -是正三棱锥

B.直线OB ∥平面ACD

C.直线AD 与OB 所成的角是45°

D.二面角D OB A --为45°

10.过直线0x y m --=上一点P 作圆()()2

2

:231M x y -+-=的两条切线，切线分别为A ，B ，若使得四

边形PAMB 的点P 有两个，则实数m 的取值范围为（ ） A.53m -<<

B.35m -<<

C.5m <-或3m >

D.3m <-或5m >

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11.直线10x y --=和直线10x y -+=之间的距离是______.

12.若直线()31230a x y -++=与直线()

2110a x ay -++=平行，则a =______. 13.与直线260x y ++=平行，且与圆2

2

240x y x y ++-=相切的直线方程为______.

14.在四面体ABCD 中，所有棱长都是1，P ，Q 分别为棱BC ，AB 的中点，则DP CQ ⋅=______. 15.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，且3

DAB π

∠=

，PD AD =，PD ⊥平面ABCD ，

F ，O 分别是PA ，BD 的中点，E 是线段PB 上的动点，给出下列四个结论：

①AC OE ⊥；②FC PO =；

③直线PO 与底面ABCD

④AEC △面积的取值范围是2⎣.

其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题（本题共2个小题，共25分，需要写出详细的演算过程和推理过程.） 16.（本题满分12分）

如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.

（Ⅰ）求证：1BD ∥平面ACE ；

（Ⅱ）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值. 17.（本小题满分13分）

已知点()1,3A ，()3,1B ，()1,0C -，求： （Ⅰ）直线BC 的方程；

（Ⅱ）BC 边上的中线所在直线的方程； （Ⅲ）ABC △的面积.

Ⅱ卷（满分50分）

四、解答题（本题共4个小题，共50分，需要写出详细的演算过程和推理过程.） 18.（本题满分12分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，11AB AC AA ===，M 为线段11A C 上的一点.

（Ⅰ）求证：1BM AB ⊥；

（Ⅱ）若直线1AB 与平面BCM 所成角为4

π

，求点1A 到平面BCM 的距离. 19.（本题满分12分）

已知圆()()2

2

:6725M x y -+-=及其上一点()2,4A .

（Ⅰ）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （Ⅱ）平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程. 20.（本题满分13分）