2023北师大实验中学新高一分班考试数学真题

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2023-2024学年北京北师大实验中学高一(上)期中数学试卷和答案

2023北京北师大实验中学高一（上）期中数学2023年11月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{},Z |21A x x k k ==+∈，{}24B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B. {}1,3 C. {}1,1,3- D. {}0,2,42. 函数()f x = ）A. ()1,1- B. []1,1-C. ()(),11,-∞-⋃+∞ D. ][(),11,-∞-⋃+∞3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A.2y x = B. 1y x =+ C. 1y x=-D. 3y x =4. 已知0x >，则9x x+的最小值为（）A. 3- B. 3C. 6D. 105. 已知函数()21,12,1x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，若()3f a =，则=a （）A. 2± B. 2C. 2- D. 56. 已知函数()f x 是定义在[]6,6-上的偶函数，且在[]0,6上单调递增.以下结论正确的是（）A.()()()5π2f f f ->>- B. ()()()π25f f f >->-C. ()()()π52f f f >->- D. ()()()52πf f f ->->7. 已知函数()y f x =图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表x 1234y0.24- 1.213.7910.28以下说法中错误的是（）A. ()00f < B. 当2x >时，()0f x >C. 函数()f x 有且仅有一个零点D. 函数()()g x f x x =+可能无零点8. 已知()f x 是定义在R 上的函数，那么“存在实数M ，使得对任意R x ∈总有()f x M ≤”是“函数()f x 存在最大值”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形ABCD 为矩形，BCE为等腰直角三角形，设AB =)0BC b a =≥>，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（）A.2a b+≥B.2aba b≤+C. 22a b +≥D. 2a b +≤10. 将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第k 行的所有数的和为k r （1k =，2，3，4，5），m 为1r ，2r ，3r ，4r ，5r 中的最小值，则m 的最大值为（）A. 8B. 9C. 10D. 11第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知命题p ：x ∃∈R ，210x x -+<，则p ⌝：______.12. 已知a ，b ，c 为实数，能说明“若a b c >>，则2a bc >”为假命题的一组a ，b ，c 的值是______.13. 函数()11x f x x +=-的图象的对称中心是______，不等式()1f x ≥-的解集是______.14. 已知函数()(]()243,,011,0,+x x x f x x x ∞∞⎧++∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有4个不同的实数根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则t 的取值范围是______，若12340x x x x ++=，则t =______.15. 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且满足下列条件：（1）对任意的[]0,1x ∈，总有()3f x ≥，且()14f =；（2）若10x ≥，20x ≥，121x x +≤，则有()()()12123f x x f x f x +≥+-.给出下列四个结论：①1722f ⎛⎫≤⎪⎝⎭；②()0f 可能为区间[]3,4中的任意值；③函数()f x 的最大值是4；④当211,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()33f x x <+.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16. 已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()232f x x x =-+.现已作出函数()f x 在y 轴右侧的图象，如图所示.（1）请根据条件，将函数()f x 的图象补充完整，并直接写出函数()f x 的表达式；（2）写出函数()f x 的单调区间，并利用单调性的定义证明函数()f x 在()0,1上单调递减；（3）直接写出不等式()()10x f x ->的解集.17. 已知集合{}12A x x =-<，{}22650B x x ax a =-+<.（1）若1a =，求A B ⋃；（2）请在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得至少存在一个实数a 满足该条件，并求出a 的范围.①A B B = ；②A B B ⋃=；③R R A B ⊆ðð.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18. 已知关于x ，y 的方程组22221x y y kx ⎧+=⎨=+⎩其中k ∈R .（1）当1k =时，求该方程组的解；（2）证明：无论k 为何值，该方程组总有两组不同的解；（3）记该方程组的两组不同的解分别为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩，判断()121232y y y y +-是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.19. 某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量t （万件）与广告费用x （万元）之间的关系为252kt x =-+.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为19万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入12万元.另外，厂家每年还需投入30万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和.（1）求k 的值；（2）试求该厂家的年总成本y （万元）与广告费用x （万元）之间的函数关系式；（3）假定年生产成本为生产投入费用、维护投入费用的和.若每件产品的售价定为产品的年平均生产成本的2倍，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润最高?20. 已知函数()2f x x x a x =-+，0a ≥.（1）证明：当0a =时，()f x 是奇函数；（2）若函数()f x 在()0,∞+上单调递增，求a 的取值范围；（3）若对任意[]1,2x ∈，关于x 的不等式()21f x x <+恒成立，求a 的取值范围.21. 对任意的非空数集A ，定义：()(){}Ω,A X X A X π=⊆≠∅，其中π()X 表示非空数集X 中所有元素的乘积，特别地，如果{}X x =，规定π()X x =.（1）若121,1,4,{2,3,5}2A A ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，请直接写出集合1)(A Ω和2)(A Ω中元素的个数.（2）若12345{,,,,}A a a a a a =，其中i a 是正整数(1,2,3,4,5)i =，求集合)(A Ω中元素个数的最大值和最小值，并说明理由.（3）若1234567,{,,,,,}A a a a a a a a =，其中i a 是正实数(1,2,3,4,5,6,7)i =，求集合)(A Ω中元素个数的最小值，并说明理由.参考答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】C【分析】根据交集的运算求解.【详解】因为{},Z |21A x x k k ==+∈表示所有奇数组成的集合，所以{}1,1,3A B ⋂=-，故选:C.2. 【答案】B【分析】根据二次根式被开方数为非负数，解出x 的取值范围即可.【详解】()f x = ，210,x ∴-≥解得：[]1,1x ∈-.故选：B.3. 【答案】D【分析】由函数的基本性质即可判断.【详解】对于A ，2y x =是偶函数，不符合题意，对于B ，1y x =+不具有奇偶性，不符合题意，对于C ，1y x=-，是奇函数，但在定义域内不具有单调性，不符合题意，对于D ，3y x =，是奇函数，在定义域内单调递增，符合题意.故选：D .4. 【答案】C【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.【详解】因为0x >，则96x x +≥=，当且仅当9x x =，即3x =时，等号成立，所以9x x+的最小值为6.故选：C.5. 【答案】B【分析】分1a ≥、1a <两种情况讨论，结合()3f a =可求出实数a 的值.【详解】因为()21,12,1x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，且()3f a =.当1a ≥时，则()231a f a =-=，解得2a =或2a =-（舍）；当1a <时，则()23f a a =-=，解得5a =（舍）.综上所述，2a =.故选：B.6. 【答案】A【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性判断即可.【详解】因为函数为偶函数，所以()(||)f x f x =，所以(5)(5),(2)(2)f f f f -=-=，因为()f x 在[]0,6上单调递增，所以(2)(π)(5)f f f <<，即(2)(π)(5)f f f -<<-，故选：A 7. 【答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB ；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以()()010.240f f <=-<，正确；对于B ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以当2x >时，()()2 1.210f x f >=>，正确；对于C ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，()10f <且()20f >，即()()120f f <，所以函数()f x 有且仅有一个在区间()1,2的零点，正确；对于D ，因为函数()()g x f x x =+连续，且()()()()()0010,1110g f f g f =<<=+>，即()()010g g <，所以函数()()g x f x x =+在区间()0,1上一定存在零点，错误，故选：D.8. 【答案】B【分析】根据最大值的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】只有“存在实数M ，使得对任意R x ∈总有()f x M ≤”且“存在0R x ∈，使得()0f x M =”，这时()f x 的最大值才是M ，所以充分性不满足，当()f x 的最大值是M 时，对任意R x ∈总有()f x M ≤恒成立，所以必要性满足，所以，“存在实数M ，使得对任意R x ∈总有()f x M ≤”是“函数()f x 存在最大值”的必要不充分条件.故选：B .9. 【答案】A【分析】从图中观察，显然图1的阴影部分面积不小于图2矩形的阴影面积，建立不等式即可.【详解】BCE QV 为等腰直角三角形,且DE FD =，AF ∴==，∴22111222BCE ABFa bS S S +=+=+=，,∴四边形ABCD 的面积2S =观察图形，显然图1的阴影部分面积不小于图2的阴影面积，∴2a b+≥，当且仅当a b =，原式取“=”.故选：A.10. 【答案】C【分析】根据题意，由5个1分布的列数不同情形进行讨论，即可确定m 的最大值.【详解】解：依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定m 的最大值. (1)若5个1分布在同一列，则5m =；(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故2515320m ≤⨯+⨯=,故10m ≤；(3)若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故351525330m ≤⨯+⨯+⨯=，故10m ≤；(4)若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10m ≤；另一方面，如下表的例子说明m 可以取到10.1114511245222453324533345故选：C.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】x ∀∈R ，210x x -+≥【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题解答.【详解】命题p ：x ∃∈R ，210x x -+<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x -+≥.故答案为：x ∀∈R ，210x x -+≥.12. 【答案】1a =，1b =-，2c =-(答案不唯一)【分析】可以直接选一组特殊值，只要能满足a b c >>，但是2a bc <即可.【详解】当1,1,2a b c ==-=-时，21a =，2bc =，此时满足a b c >>，但是2a bc <.故答案为：1,1,2a b c ==-=-(答案不唯一).13. 【答案】 ①. ()1,1 ②. (](),01,-∞⋃+∞.【分析】空1：整理可得()211f x x =+-，结合函数图象平移求对称中心；空2：分1x >和1x <两种情况，根据题意运算求解即可.【详解】由题意可知：()12111x f x x x +==+--，因为2y x =的对称中心为()0,0，向右平移1个单位，得到21y x =-，对称中心为()1,0，再向上平移1个单位，得到()211f x x =+-，对称中心为()1,1；因为()f x 的定义域为{}|1x x ≠，则有：当1x >时，则10x ->，可得()21111=+>>--f x x ，符合题意；当1x <时，则()111+=≥--x f x x ，解得0x ≤；综上所述：不等式()1f x ≥-的解集是(](),01,-∞⋃+∞.故答案为：()1,1；(](),01,-∞⋃+∞.14. 【答案】 ①. ()0,1 ②.【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出分段函数图像，方程()f x t =有4个不同的实数根，所以求出t 的取值范围；（2）根据分段函数(),0x ∈-∞是二次函数，所以122x x +=-，即342x x =，根据函数()()110,+f x x =-∈∞,x ，求出3x ，4x ，继而求出234111=11-=12x t t tx +-+= ，最终求出t 的值.【详解】如图所示方程()f x t =有4个不同的实数根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则t 的取值范围是()0,1.因为(]()2,0,43f x x x ∈-∞=++x 是二次函数，所以122x x +=-，因为12340x x x x ++=，所以342x x =，即()()110,+f x x=-∈∞=t ,x 所以311t x -=，411t x -=-，解得311x t =+，411x t =-+，234111=11-=12x t t tx +-+=解得t =，因为10t >>，所以t =故答案为：()0,115. 【答案】①③④.【分析】根据所给性质取1212x x ==判断①；根据所给性质取特殊值求出()0f 判断②；根据所给性质可推断出函数的单调性判断③；利用性质（2）推理可判断④.【详解】令1212x x ==，得()1141322f f f ⎛⎫⎛⎫=≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1272f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以1722f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，①正确；令120x x ==，得(0)(0)(0)3f f f ≥+-，所以(0)3f ≤，结合条件（1）知(0)3f =，故②错误；任取[]12,0,1x x ∈，12x x <，则()()()()()212112113f x f x x x f x f x x f x ⎡⎤=-+--+≥≥⎣⎦，所以()f x 在[]0,1上单调递增，所以()()14f x f ≤=，即函数()f x 的最大值是4，③正确；因为()1211113633333f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+-≥++- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()111163333f f ⎛⎫⎡⎤≤+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭，当211,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2113333333x +>⋅+=+，所以当211,33x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()1133333f x f x ⎛⎫≤≤+<+ ⎪⎝⎭，故④正确.故答案为：①③④三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）作图见解析，()2232,00,032,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩（2）单调增区间是3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，30,2⎛⎫⎪⎝⎭，证明见解析（3）()()(),21,02,-∞--+∞ 【分析】（1）由奇函数的对称性，直接作出函数的图像，得出其解析式.（2）根据图像得出单调区间，由定义法证明函数的单调性的步骤证明即可.（3）利用函数图像，分1x >和1x <两种情况讨论可得答案.【小问1详解】由奇函数的图像关于原点成中心对称，则图像如图，当0x =时，()0f x =当0x <时，0x ->，由()()f x f x =--()()223232x x x x ⎡⎤=---⨯-+=---⎣⎦所以()2232,00,032,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩.【小问2详解】单调增区间是3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，30,2⎛⎫⎪⎝⎭，证：1x ∀，()20,1x ∈，不妨设12x x <，()()()()()22121122121232323f x f x x x x x x x x x -=-+--+=-+-，因为1230x x +-<，120x x -<，所以，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，因此，()f x 在()0,1上单调递减.【小问3详解】当1x >时，由()()10x f x ->，则()0f x >，即2320x x -+>，解得2x > 当1x <时，()2232,00,032,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩，由()()10x f x ->，则()0f x <，即当10x >>时，2320x x -+<，此时无解，当0x <时，2320x x ---<，解得<2x -或10x -<<；解集为()()(),21,02,-∞--+∞ 17. 【答案】（1）()1,5A B ⋃=-（2）答案见解析【分析】（1）先求出集合,A B ，再由并集的定义求解；（2）由分析知，只可选择①或③，可得B A ⊆，分类讨论0a =，0a >和a<0，求解即可.【小问1详解】由12x -<可得：212x -<-<，解得：13x -<<，所以()13A ,=-，当1a =时，()1,5B =，因此，()1,5A B ⋃=-【小问2详解】选择条件①: A B B= 由条件可得B A⊆当0a =时，B =∅，满足题意；当0a >时，(),5B a a =，所以，53a ≤，即35a ≤，所以，305a <≤当a<0时，()5,B a a =，所以，51a ≥-，即15a ≥-，所以，15a -≤<综上所述，a 的取值范围是13,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.选择条件③: R R A B⊆ðð由条件可得B A⊆当0a =时，B =∅，满足题意；当0a >时，(),5B a a =，所以，53a ≤，即35a ≤，所以，305a <≤当a<0时，()5,B a a =，所以，51a ≥-，即15a ≥-，所以，15a -≤<综上所述，a 的取值范围是13,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.补充：下面说明条件②不成立：选择条件②，由A B B ⋃=可得：A B ⊆，当0a =时，B =∅，不满足A B ⊆；当0a >时，(),5B a a =，不满足A B ⊆；当a<0时，()5,B a a =，不满足A B ⊆；故不能选择条件②.18. 【答案】（1）10x y =-⎧⎨=⎩和1343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）证明见解析（3）是定值，定值为4【分析】（1）消去y 求出所对应的一元二次方程的解，从而求出方程组的解；（2）消去y ，判断所对应的一元二次方程的解的情况，即可判断；（3）利用韦达定理得到12x x +，12x x ，即可求出12y y +、12y y ，从而得解.【小问1详解】当1k =时22221x y y x ⎧+=⎨=+⎩，消去y 得23210x x +-=，解得11x =-，213x =，因此，方程组的解为10x y =-⎧⎨=⎩和1343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.【小问2详解】消去y 整理得()222210k x kx ++-=，显然220k +≠，且2880k ∆=+>，因此，该方程有两个不同的解，该方程组也对应有两组不同的解.【小问3详解】由韦达定理得12222kx x k +=-+，12212x x k =-+，所以()12122422y y k x x k +=++=+，()2212121222212k y y k x x k x x k -+=+++=+，所以()2121222124432422k y y y y k k -++-=-=++，因此，()121232y y y y +-是定值，且定值为4.19. 【答案】（1）48k =（2）483012252y x x ⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭，0x ≥（3）22万元【分析】（1）利用当广告费用投入为6万元时，产品订购量为19万件，可直接求出k 的值；（2）根据年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和可直接列函数关系式；（3）利用基本不等式可求出利润最大值.【小问1详解】由题意，当6x =时，251962kt =-=+，解得48k =.【小问2详解】由题意，该厂家的年总成本y （万元）与广告费用x （万元）之间的函数关系式为：483012252y x x ⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭，0x ≥.【小问3详解】设年利润为W 万元，则5765762230300332222y x W t y y x x x t x x -⎛⎫=⋅-=-=-+-=-++ ⎪++⎝⎭，0x ≥，因为5762482x x ++≥=+，所以5763322332482842x x ⎛⎫-++≤-= ⎪+⎝⎭，当且仅当224x +=即22x =时，W 取最大值284，所以广告费用为22万元时，厂家的年利润最高.20. 【答案】（1）证明见解析（2）[]0,2（3）3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意结合奇函数的定义分析证明；（2）对()f x 整理得()()()222,2,x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，结合分段函数单调性分析求解；（3）根据题意分析可得11x a x x x-<<+，[]1,2x ∈内恒成立，根据恒成立问题结合函数单调性以及基本不等式运算求解.【小问1详解】当0a =时，则()2f x x x x =+，可知()f x 的定义域为R ，可得()()()22-=---=-+=-f x x x x x x x f x ，因此()f x 是R 上的奇函数.【小问2详解】由题意可得：()()()222,22,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩，且()f x 连续不断，若函数()f x 在()0,∞+上单调递增，则22220a aa a a -⎧≤⎪⎪+⎪≥⎨⎪≥⎪⎪⎩，解得02a ≤≤，所以a 的取值范围是[]0,2.【小问3详解】因为()21f x x <+在[]1,2x ∈内恒成立，即1x x a -<，[]1,2x ∈，整理得11x a x x x-<<+，[]1,2x ∈内恒成立，又因为1y x x =-在[]1,2上单调递增，且23|2==x y ，即1y x x =-在[]1,2上最大值为32，且12y x x =+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立，即1y x x=+在[]1,2上最小值为2，可得322a <<，所以a 的取值范围是3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.21. 【答案】（1）()1A Ω有4个元素，()2A Ω有7个元素（2）31个，11个（3）13，理由见解析【分析】（1）根据已知新定义结合条件求解即可.（2）根据已知新定义，分类讨论、列举结合条件进行求解.（3）根据已知新定义，分类讨论、列举进行求解、证明.【小问1详解】因为()11,1,2,42A ⎧⎫Ω=⎨⎬⎩⎭，(){}22,3,5,6,10,15,30A Ω=，所以()1A Ω有4个元素，()2A Ω有7个元素.【小问2详解】最大值：集合A 的非空子集只有52131-=个，因此()A Ω最多有31个元素.可能的构造如下：{}2,3,5,7,11A =.这个集合的元素均为素数，()A Ω中最大的元素为235711⨯⨯⨯⨯，则集合A 任意两个不同子集元素的乘积不同，从而()A Ω由该数字的所有大于1的因子组成.最小值：不妨设12345a a a a a <<<<，显然有22a ≥，则123452535452453452345a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<<<<<，则()A Ω至少有11个元素.可能的构造如下：{}1,2,4,8,16A =，等比数列即可.【小问3详解】()A Ω中至少有13个元素，可能的构造如下：111,,,1,2,4,8842A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以()111111,,,,,,1,2,4,8,16,32,64643216842A ⎧⎫Ω=⎨⎬⎩⎭证明如下：考虑对集合A 进行分类：{}1,1A a a A a =∈<，{}2,1A a a A a =∈=，{}3,1A a a A a =∈>，设1A x =，2A y =，37A z x y z =⇒++=，16y x z ≤⇒+≥.设()B A =Ω，再对集合B 进行分类：{}1,1B b b B a =∈<，{}2,1B b b B b =∈=，{}3,1B b b B b =∈>，设1B p =，2B q =，3B r =.分析x ，y ，z 与p ，q ，r 的关系：对集合1A 中的元素：121x a a a <<⋅⋅⋅<<，则12x a a a ⋅⋅⋅<⋅⋅⋅12312x a a a a a a <<⋅⋅⋅<<12131x a a a a a a <<⋅⋅⋅<<121x a a a <<⋅⋅⋅<<则()()()112112p x x x x x ≥+-+-+⋅⋅⋅+=+①对集合2A 中的元素：q y ≥；②对集合3A 中的元素：121z a a a <<<⋅⋅⋅<，则121211z z z z z a a a a a a a a a -<<<⋅⋅⋅<<<<⋅⋅⋅<<112121z z z z z z z a a a a a a a a a ----<<⋅⋅⋅<<12z a a a ⋅⋅⋅<⋅⋅⋅则()()()112112r z z z z z ≥+-+-+⋅⋅⋅+=+③①+②+③得到()()()22111112222p q r x x z z y x x z z y ++≥++++=++++()()()()22211142722x x z z x z x z xz =-+-+=+-+-+注意到67x z ≤+≤：当7x z +=时，()()()212728142p q r x z x z xz xz ++≥+-+-+=-≥当6x z +=时，()()()212722132p q r x z x z xz xz ++≥+-+-+=-≥（均值不等式）从而()A Ω元素个数至少为13.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.。

2019-2020学年度北师大实验中学新高一入学分班考试数学试题-含详细解析

有球都被放入盒中，则( )
6.
A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球
D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为 10 名学生的预赛成
绩，其中有三个数据模糊．
学生序号
1
2
“割圆术”相似，数学家阿尔⋅卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外切
正 6n 边形(各边均与圆相切的正 6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值．按照阿尔⋅卡西的方
法，的近似值的表达式是(
A. 3(sin
C. 3(sin
3.
30°

60°

19.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
()男学生人数多于女学生人数；
()女学生人数多于教师人数；
()教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为______．
②该小组人数的最小值为______．
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20.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种
A. 中位数
B. 平均数
C. 方差
D. 极差
11. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我
现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，
根据以上信息，则(
)
A. 乙可以知道两人的成绩

北京高一入学分班考试数学(1)

北京高一入学分班考试数学(1) 北京高一入学分班考试数学（1）一、选择题1.若a+b=8，ab=2，则a^3+b^3=（）A。

128B。

464C。

496D。

5122.把多项式2ab+1-a^2+b^3写成两个一次式的乘积，得到（）A。

(a+b-1)(b-a+1)B。

(a-b+1)(a-b-1)C。

(a+b-1)(a-b+1)D。

(a-b+1)(b-a+1)3.若a+√2b=1，√2a+b=1，则√(a+b+c)=（）A。

1B。

2C。

3D。

44.当a>0时，-ax^3的符号是（）A。

xaxB。

x-axC。

-x-axD。

-xax5.已知方程3x-y-7=0，2x+3y=1，y=kx-9有公共解，则k 的值是（）A。

6B。

5C。

4D。

36.关于x的方程ax^2+bx+c（a≠0）中，若a与c异号，则根的情况是（）A。

有两个不相等的实数根B。

有两个相等的实数根C。

没有实数根D。

无法确定7.设x1，x2是方程2x^2-6x+3=0的两根，则x1^2+x2的值是（）A。

15B。

12C。

6D。

38.若A(-4,y1)，B(-1,y2)，C(1,y3)为二次函数y=-x^2+4x+5的图像上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A。

y1<y2<y3B。

y3<y2<y1___<y1<y2D。

y2<y1<y39.函数y=1-|x|和函数y=1-x的图像有一个交点，这个交点的横坐标为a，纵坐标为b，则点(a,b)也在函数y=1+|x|的图像上，那么下列点中一定在函数y=1+|x|的图像上的是（）A。

(a,b)B。

(-a,-b)C。

(a,-b)D。

(-a,b)10.函数y=-2x^2+x（-1≤x≤2）的最小值是（）A。

-1B。

-1/8C。

8D。

-6二、填空题11.若a=1/3，b=2/3，则-1/(b-1)+a-13+22/(3-2b)=_____。

答案：-312.已知方程组2x+4y-z=0，x-2y+3z=0，则x∶y∶z=_____。

北师大附属实验学校高一分班试题

北师大附属实验学校高一分班试题第一部分(选择题爱共40分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1.下列运算正确的是(A) a3a2=a6(B) a8 = a4=a2(C) a3+a3=2a6(D) (a3)2=a6一、一 22. 一兀二次方程2x —7x+k=0的一个根是x i =2，则另一个根X2和k的值是(A) x2=1,k =4 ( B) x2 = —1,k = —43(C)x2 =1,k =6 ( D) x2 = ——, k = 6223.如果关于x的一元二次方程x —kx+2=0中，k是投掷骰子所得的数字(1,2,3,4,5,6),则该二次方程有两个不等实数根的概率p =(A) - (B) 1(C) 1 (D)-3 2 3 624.二次函数y = r -4x+2的顶点坐标、对称轴分别是(A) (―2,6), x = —2 (B) (2,6),x =2(C) (2,6), x = —2(D) (-2,6), x = 2连结S2各边的中点彳#四边形S3,以此类推，则S2006为(A)是矩形但不是菱形(C)既是菱形又是矩形(B)是菱形但不是矩形(D)既非矩形又非菱形如图，D是直角MBC斜边BC上一点，AB =AD,记/CAD =%/ABC =P.若久=10◎则P的度数是(A) 40* (B) 50 °(D)不确定面部分的表面积是正视图左视图俯视图8.已知四边形S1的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结S i各边的中点彳#四边形S2,顺次9.10. 如图为由一些边长为1 cm正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外(C) 60(A) 11cm2 (B) 15cm2 (C) 18cm2 (D) 22cm2第二部分(非选择题爱共110分)二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)13.如图，在|_0 中,/ACD =/D=60;OA=2,则AC 的长为.14.同室的4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的拿法有种.115.对于正数x,规定f(x)=上，例如f(3)=3=9,f(1)=」一=1,计算1 x 1 3 4 3 .141 ■一31 1 1 1 1f(“H f(”c』(…). f(I f" f(1)f(1)f ⑵ f ⑶f(2004) 2006 2005 2004 3 2+ f (2005) + f (2006) = .x 1,x _0 —- 116.设函数f(x)=< * ，则满足f (x)+f(x——) >1的x的取值范围^2x,x 0 2三、解答题（共6小题，共80分。

2023北京北师大实验中学高一(下)期中数学(试题含答案)

2023北京北师大实验中学高一（下）期中数学班级__________姓名__________学号__________成绩__________一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 下列各角中，与27︒角终边相同的是（）A. 63︒B. 153︒C. 207︒D. 387︒ 2. 在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B （）A. 在第一象限B. 在第二象限C. 在第三象限D. 在第四象限 3. 已知3cos 5α=，且角α，β的终边关于y 轴对称，则cos β=（） A. 35 B. 35 C. 45 D. 45− 4. 已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的图象如图所示，则ω的值为（）A. 2B. 1C. 12D. 14 5. 下列函数中，周期为π2的偶函数为（） A. sin 4y x = B. cos 2y x = C. tan 4y x = D. 2sin 2y x = 6. 如果角α的终边在直线2y x =上，则sin 2cos 3sin cos αααα+=−（）A. 45−B. 45C. 54−D. 547. 若将函数()2sin f x x =的图像先向左平移π6个单位长度，再保持纵坐标不变，并将图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数()g x 的图象，则函数()y g x =图像的对称中心可能是（） A. π,012⎛⎫− ⎪⎝⎭ B. π,06⎛⎫− ⎪⎝⎭ C. π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p （x ，y ）．若初始位置为01,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，当秒针从P 0（注此时t =0）正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为（）A. y =sin 306t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B. y =sin 606t ππ⎛⎫−− ⎪⎝⎭ C. y =sin 306t ππ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭ D. y =sin 306t ππ⎛⎫−− ⎪⎝⎭ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 已知向量()2,3a =−−，()6,b m =.若a b ⊥，则m =__________.10. 已知圆的半径为2，则5π的圆心角所对的弧长为______.11. 已知tan ,tan αβ是方程240x ++=的两根，则()tan αβ+等于__________.12. 设向量a ，b 的夹角为60︒，且2a =，4b =，则a b −=__________.13. 已知函数()sin f x x =，若对任意x ∈R 都有()()f x f x m c ++=（c 为常数），则常数m 的一个取值为_________．14. 关于函数()sin cos f x x x =+，给出下列四个结论：①函数()f x 的最小正周期为π2；②函数()f x 的最小值是1；③函数()f x ；④函数()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 其中全部正确结论的序号是__________.三、解答题（本大题共3小题，共30分）15. 已知角α的终边过点()3,8P m −，且3cos 5α=−. （1）求m ，sin α，tan α的值；（2）求cos 2α，πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16. 已知函数()sin 22f x x x =.（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数()()0y f x ωω=>在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点，求ω的取值范围. 17. 已知()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个： ①π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()()πsin 2f x A x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图像可以由sin cos y x x =−的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为π2；④最大值为2. （1）请直接指出这三个条件，并求出()f x 的解析式；（2）若曲线()y f x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，求m 的取值范围.第Ⅱ卷（共50分）四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）18. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边与以原点O 为圆心的单位圆交于点3()5P x ,，则πcos()2α−=______． 19. 梯形ABCD 中，AB CD ，2AB =，1AD CD ==，90BAD ∠=︒，点P 在线段BC 上运动. （1）当点P 与点C 重合时，BC AP ⋅=__________.（2）AP BP ⋅的最小值是__________.20. 已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()π2sin 0,02x x f ωϕωϕ⎛⎫=+>−<< ⎪⎝⎭图像上的任意两点，角ϕ的终边经过点(1,P ，且当()()124f x f x −=时，12x x −的最小值为π3.又对任意π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()2mf x m f x +≥恒成立，则ω=__________，实数m 的取值范围是__________. 21. 已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是__________.①()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点；②()f x 的最小正周期可能是π2； ③ω的取值范围是1317,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭； ④()f x 在区间π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 五、解答题（本大题共3小题，共30分）22. 已知函数()22sin cos f x x x x =+. （1）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若函数()()g x f x k =−在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，请直接写出实数k 的取值范围（不需过程）.23. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足1233OC OA OB =+. （1）已知()3,0A ，()0,3B ，求cos ,BA OC ；（2）已知()1,cos A x ，()1sin ,cos B x x +，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2123f x OA OC m AB m ⎛⎫=⋅+++ ⎪⎝⎭的最小值为5，求实数m 的值.24. 已知函数()y f x =的定义域为区间D ，若对于给定的非零实数m ，存在0x ，使得()()00f f x x m =+，则称函数()y f x =在区间D 上具有性质()P m .（1）判断函数()2f x x =在区间[]1,1−上是否具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并说明理由；（2）若函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求n 的取值范围；（3）已知函数()y f x =的图像是连续不断的曲线，且()()02f f =，求证：函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.参考答案第Ⅰ卷（共100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 【答案】D【解析】【分析】写出与27︒终边相同角的集合，取k 值得答案.【详解】与27︒角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z αα=︒+⋅︒∈，取1k =，可得387α=︒.∴与27︒角终边相同的是387︒.故选：D【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.2. 【答案】B【解析】【分析】先判断cos ,tan A B 的正负，即可求解【详解】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限，故选：B3. 【答案】B【解析】【分析】首先根据对称性，求,αβ的关系，根据诱导公式，即可求解.【详解】因为角α，β的终边关于y 轴对称，所以π2πk αβ+=+，Z k ∈，即π2πk βα=−++，()3cos cos π2πcos 5k βαα=−++=−=−. 故选：B4. 【答案】C【解析】【分析】由图象分析函数的周期，求得ω的值.【详解】因为()0f =，()2πf =2π，所以π2πω=，得12ω=. 故选：C5. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的周期公式及二倍角的余弦公式,结合函数的奇偶性的定义及诱导公式即可求解.【详解】对于A ，2π2ππ42T ω===，由题意可知，sin 4y x =的定义域为R ,()()()sin 4sin 4f x x x f x −=−=−=−，所以sin 4y x =为奇函数，故A 错误；对于B ，2π2ππ2T ω===，故B 错误；对于C ，ππ4T ω==，故C 错误；对于D ，211sin 2cos 422y x x ==−，2π2ππ42T ω===，由题意可知，211sin 2cos 422y x x ==−的定义域为R ,()()()22sin 2sin 2f x x x f x −=−==，所以2sin 2y x =为偶函数，故D 正确.故选：D.6. 【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的定义及同角三角函数的商数关系即可求解.【详解】因为角α的终边在直线2y x =上，所以tan 2α=. 所以sin 2cos sin 2cos tan 2224cos 3sin cos 3sin cos 3tan 13215cos αααααααααααα++++====−−−⨯−. 故选：B.7. 【答案】A【解析】【分析】首先根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】将函数()2sin f x x =的图像先向左平移π6个单位长度得到π2sin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将π2sin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭保持纵坐标不变，图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到()2sin 2π6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2π6x k +=，Z k ∈，解得ππ122k x =−+，Z k ∈，所以函数的对称中心为ππ,0122k ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，Z k ∈，故符合题意的有π,012⎛⎫− ⎪⎝⎭.故选：A8. 【答案】C【解析】【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而结合待定系数法可求函数的解析式，注意秒针是顺时针走动．【详解】解：由题意，函数的周期为60T =，26030ππω∴== 设函数解析式为sin()30y t πϕ=−+（因为秒针是顺时针走动），初始位置为0(2P ，1)2， 0t ∴=时，12y =， 1sin 2ϕ∴=， ϕ∴可取6π， ∴函数解析式为sin()306y t ππ=−+故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 【答案】4−【解析】【分析】利用向量垂直的条件及数量积的坐标运算即可求解.【详解】因为()2,3a =−−，()6,b m =，且 a b ⊥，所以()()2630a b m ⋅=−⨯+−⨯=，解得4m =−.故答案为：4−.10. 已知圆的半径为2，则5π的圆心角所对的弧长为______. 【答案】25π 【解析】【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解【详解】由弧长公式可得2255l r ππα==⨯=.故答案为：25π 【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题.11.【解析】【分析】根据题意得到tan tan tan tan 4αβαβ+=−=，结合()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=−，即可求解.【详解】由题意知tan ,tan αβ是方程240x ++=的两根，可得tan tan tan tan 4αβαβ+=−=，所以()tan tan tan 1tan tan 14αβαβαβ+−+===−−12. 【答案】【解析】【分析】首先根据数量积的定义求出a b ⋅，再根据()2a b a b −=−及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为向量a ，b 的夹角为60︒，且2a =，4b =，所以cos 602442a b a b ⋅=⋅︒=⨯=，所以()2222222a b a a b b a b b a b a =−=−−⋅+=−⋅+==故答案为：13. 【答案】π（答案不唯一，只要是(21)k π+即可）【解析】【分析】先根据函数的对称性得到0c ，再根据诱导公式求出(21)m k π=+都可满足条件.【详解】函数()sin f x x =中心对称点都在x 轴上，所以0c，所以()()0f x f x m ++=对任意x ∈R 恒成立， ()()sin sin()0f x f x m x x m ++=++=，所以sin sin()x x m =−+，故利用诱导公式得(21)m k π=+都可满足条件.故答案为：π（答案不唯一，只要是(21)k π+即可）【点睛】正弦函数的奇偶性，对称性，周期性，单调性及诱导公式等等是我们必备的基础知识，做题时经常用到.14. 【答案】①②③【解析】【分析】首先把三角函数变形成()f x =. 【详解】函数()sin cos f x x x =+=则()π2f x f x ⎛⎫+==== ⎪⎝⎭，且()ππsin cos ),2π2π,Z 42ππsin cos ),2π2ππ,Z 42π3πsin cos ),2ππ2π,Z 42π3πcos sin ),2π2π2π,Z 42x x x k x k k x x x k x k k f x x x x k x k k x x x k x k k ⎧+=+≤<+∈⎪⎪⎪−=−+≤<+∈⎪=⎨⎪−−=++≤<+∈⎪⎪⎪−=−+≤<+∈⎩，函数图象如下所示：所以函数()f x 的最小正周期为π2，故①正确；故当sin 20x =时，函数的最小值为1，故②正确；当sin 21x =±，故③正确；当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,πx ∈，因为sin y x =在()0,π上不单调，故函数()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故④错误；故答案为：①②③三、解答题（本大题共3小题，共30分）15. 【答案】（1）2m =；4sin 5α；43−. （2）7cos 225α=−；πsin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用余弦函数在各象限的符号及三角函数的定义即可求解；（2）根据（1）的结论及二倍角的余弦公式，利用两角和的正弦公式及三角函数的特殊值即可求解. 【小问1详解】因为角α的终边过点()3,8P m −，且3cos 05α=−<，所以α是第二象限角,且0m >.所以3cos 5α==−，解得2m =或2m =−（舍）.所以6,8,10x y r OP =−====,所以84sin 105y r α===，84tan 63y x α===−−.【小问2详解】由（1）知，4sin 5α，又因为3cos 5α=−，所以2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=−=⨯−−=− ⎪⎝⎭，πππ43sin sin cos cos sin 444525210ααα⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+−⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 16.【答案】（1）最小正周期为π；单调递减区间5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）102ω<< 【解析】【分析】（1）首先化简函数()f x ，再结合三角函数的性质，即可求解；（2）首先根据（1）的结果求π23x ω−在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦的范围，根据函数无零点，求ω的取值范围. 【小问1详解】()π2sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则函数的最小正周期2ππ2T ==,令ππ3π2π22π232k x k +≤−≤+，Z k ∈，得5π11πππ1212k x k +≤≤+，Z k ∈，所以函数的单调递减区间是5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；【小问2详解】()()π2sin 2,03y f x x ωωω⎛⎫==−> ⎪⎝⎭，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2ππ2,3333x ωω⎡⎤−∈−⋅−⎢⎥⎣⎦因为函数在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点，所以π2ππ<0333ω−<⋅−，解得：102ω<<. 17. 【答案】（1）①③④，()π2sin 26f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭（2）π5π,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先分析②③④成立时的情况，然后推出矛盾即可确定出满足的三个条件；（2）先根据（1）求解出()f x 的解析式，然后采用整体替换的方法求解出()f x 的对称轴方程，然后对k 进行赋值，确定出在区间[]0,m 上仅有一条对称轴时m 的取值范围.【小问1详解】三个条件是：①③④，理由如下：若满足②：因为πsin cos 4y x x x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，所以A =，1ω=；若满足③：因为π22T =，所以2ππT ω==，所以2ω=，若满足④：2A =，由此可知：若满足②，则③④均不满足，所以满足的三个条件是：①③④；由③④知()()2sin 2f x x ϕ=+，由①知π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以π2sin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 32ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 36k k ϕ+=+∈或π5π2π,Z 36k k ϕ+=+∈，所以π2π,Z 6k k ϕ=−∈或2,2k k ϕπ=π+∈Z ，又因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=−，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，【小问2详解】由（1）可知()π2sin 26f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，不妨令ππ2π,Z 62x k k −=+∈，所以ππ,Z 23k x k =+∈，当1k =−时，π6x =−；当0k =时，π3x =；当1k =时，5π6x =，所以若要()y f x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，只需π5π,36m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,所以m 的取值范围是π5π,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 第Ⅱ卷（共50分）四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）18. 【答案】35##0.6 【解析】3sin 5α=，再使用诱导公式进行求解. 【详解】根据三角函数定义可得：3sin 5α=，由诱导公式得：π3cos()sin 25αα−==.故答案为：3519. 【答案】 ①. 0 ②. 12−##0.5− 【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示，即可求解；（2）根据ABC 是等腰直角三角形，设出点P 的坐标，利用数量积的坐标表示，转化为二次函数求最值. 【详解】（1）如图，以点A 为原点，建立平面直角坐标系，当点P 与点C 重合时，()0,0A ，()1,1P ，()1,1C ，()2,0B ，()1,1AP =，()1,1BC =−，()11110BC AP ⋅=⨯−+⨯=；（2）由（1）可知，ABC 是等腰直角三角形，设()2,P y y −，01y ≤≤，()2,AP y y =−，(),BP y y =−()()22211222222AP BP y y y y y y ⎛⎫⋅=−⋅−+=−=−− ⎪⎝⎭，当12y =时，AP BP ⋅的最小值是12−.故答案为：0；12−. 20. 【答案】 ①. 3 ②. 13m ≥ 【解析】【分析】由ϕ的终边上的点可求出ϕ的值，再由题可得2π3T =，即可求出ω，可得()f x 解析式；根据π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得()f x 的范围，不等式化为()212m f x ≥−+，求出()212f x −+的最大值即可.【详解】角ϕ的终边经过点(1,P ，所以tan ϕ= 又π02ϕ−<<，所以π3ϕ=−，因为当()()124f x f x −=时，12x x −的最小值为π3，所以2π3T =，即2π2π3ω=，所以3ω=，可得()π2sin 33f x x ⎛⎫=−⎪⎝⎭，当π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ3,336x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，π1sin 3,322x ⎡⎤⎛⎫−∈−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()1f x ≤≤，所以()20f x +>，于是()()2mf x m f x +≥即为()()()2122f x m f x f x ≥=−++，由()1f x ≤≤，()223f x ≤+≤，()22432f x ≤≤=++所以()213123f x −−≤−≤+，得()212f x −+的最大值为13，所以实数m 的取值范围是13m ≥. 故答案为：3；13m ≥. 21. 【答案】②③ 【解析】【分析】首先通过()f x 在区间[]0,π上有且仅有4条对称轴，求出ω的范围，再依次对各项进行辨析即可. 【详解】∵()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ∴当[]0,πx ∈时，ππππ444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,， ∵正弦函数sin y x =的对称轴为直线ππ2x k =+，k ∈Ζ， ∴当0k =，1，2，3，4时，sin y x =的对称轴分别为直线π2x =，3π2x =，5π2x =，7π2x =，9π2x =， ∴若函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有4条对称轴，则ππ427ππ9ππ242ω⎧<⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩，解得1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故③正确；对于①，当()0,πx ∈时，πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， ∵1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴π7π9ππ,422ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，∵正弦函数sin y x =的对称中心为点()π,0k ，k ∈Ζ时，∴当1k =，2，3，4时，sin y x =的对称中心分别为点()π,0，()2π,0，()3π,0，()4π,0，∴当π7ππ,4π42ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，即1315,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有且仅有3个对称中心，当π9ππ4π,42ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，即1517,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有且仅有4个对称中心，故①错误；对于②，若()f x 的最小正周期2ππ2T ω==，则13174,44ω⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，故②正确；对于④，当π0,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππππ,44154x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，又∵1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴ππ7π8π,1541515ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，∵正弦函数sin y x =在区间ππ,22⎛⎫−⎪⎝⎭上单调递增，在区间π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， ∴当ππ7ππ,154215ω⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即1315,44ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当πππ8π,154215ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即1517,44ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故④错误．故答案为：②③.【点睛】方法点睛：本题ω的取值并不是一个特定的值，而是一个范围，故应首先由已知条件解决ω的取值范围，判断③，再由ω的取值范围，使用整体代换思想，对其他项进行辨析.五、解答题（本大题共3小题，共30分）22. 【答案】（1）最大值2，最小值. （2）)2 【解析】【分析】（1）使用二倍角公式（降幂公式）和辅助角公式化简()f x ，再结合正弦函数性质求解；（2）将问题转化为函数图象与直线y k =有两个不同的交点解决即可. 【小问1详解】由已知，()22sin cos f x x x x =+)2sin 22cos 1x x =+−sin 22x x =+12sin 2222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2333x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,，∴当ππ232x +=，即π12x =时，πsin 213x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()f x 有最大值2，当π4π233x +=，即π2x =时，πsin 232x ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，()f x 有最小值.∴()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为【小问2详解】由第（1）问，()()π2sin 23x k g x f x k ⎛=⎫−+− ⎪⎝⎭=， ()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，即方程π2sin 203x k ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数解，令π23x t +=，∵π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π5π,36t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴方程2sin 0t k −=即2sin t k =，在π5π,36t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数解， ∴函数2sin y t =的图象与直线y k =在π5π,36t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个交点，如图所示.∴实数k 的取值范围是)2.23. 【答案】（1）10−（2）3−【解析】【分析】（1）首先求出OA ，OB ，BA 的坐标，再坐标法求出数量积与模，即可得解；（2）首先求出OA OC ⋅、AB ，则()()222i s n n 1s 2i f x m x x m −=++++，再令sin t x =，[]0,1t ∈，令()()22212g t m t m t =+−+++，结合二次函数的性质得到方程，解得即可.【小问1详解】因为()3,0A ，()0,3B ，所以()3,0OA =，()0,3OB =，()3,3BA =−，又1233OC OA OB =+，所以()()()23,0120,31,33OC =+=，所以()31233BA OC ⨯⋅=+⨯−=−，21OC ==23BA ==所以cos ,105BA OC BA OC BA OC⋅===−⋅.【小问2详解】因为()1,cos OA x =，()1sin ,cos OB x x =+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以()()s 121221sin ,cos 1sin ,cos 333331,co O A x C O OB x x x x ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭， ()sin ,0AB x =，故221sin cos 3OA OC x x ⋅=++，sin sin AB x ==，从而()2123f x OA OC m AB m ⎛⎫=⋅+++ ⎪⎝⎭2212i 21sin cos s n 33m x m x x ⎛⎫=+⎭+ ++⎝+⎪()2221si 1cos n m x m x +++=+ ()2221sin 2sin m x m x =+++−+，即()()222i s n n 1s 2i f x m x x m −=++++，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，依题意()min 5f x =，令sin t x =，[]0,1t ∈，令()()22212g t m t m t =+−+++，[]0,1t ∈，则()g t 对称轴为212m t +=， ①当212m +≤12，即0m ≤时，当sin 1t x ==时，()2min 22g t m m =++，由()min 5f x =，得()2min 225g t m m =++=，解得3m =−或1m =，又0m ≤，所以3m =−； ②当212m +>12，即0m >时，当sin 0t x ==时，()2min 2g t m =+，由()min 5f x =，得()n 2mi 52g t m =+=，解得m =0m >，所以m =．综上所述：m 的值为3− 24. 【答案】（1）具有性质12P ⎛⎫⎪⎝⎭，理由见解析（2）5,8π⎛⎫+∞⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题可得22012x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则014x =−，结合条件即得；（2）由00sin sin 4x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得038x k ππ=+，()()050,N 48x k n k πππ+=+∈∈，可得58n π>，即得；（3）设()()13g x f x f x ⎛⎫=−+⎪⎝⎭，50,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()()()1150200333k g g g g f f −⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13k g −⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中有一个为0时，可得111333i i f f −−⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，即证；当()0g 、13g ⎛⎫⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13n g −⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设103i g −⎛⎫> ⎪⎝⎭，103j g −⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合条件可知，存在0x ，()()000103g x f x f x ⎛⎫=−+= ⎪⎝⎭，即证.【小问1详解】函数()2f x x =在[]1,1−上具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.若220012x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则014x =−，因为[]11,14−∈−，且[]1111,1424−+=∈−，所以函数()2f x x =在[]1,1−上具有性质12P ⎛⎫⎪⎝⎭. 【小问2详解】解法1：由题意，存在()00,x n ∈，使得00sin sin 4x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0024x x k ππ+=+（舍）或0024x k x πππ+=+−()k ∈Z ，则得038x k ππ=+. 因为0308x k ππ=+>，所以k ∈N .又因为()030,8x k n ππ=+∈且()()050,48x k n k πππ+=+∈∈N ，所以58n π>，即所求n 的取值范围是5,8π⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 解法2：当02n π<≤时，函数()sin f x x =，()0,x n ∈是增函数，所以不符合题意；当2n π>时，因为直线2x π=是函数()sin f x x =的一条对称轴，而函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫⎪⎝⎭，所以224n ππ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，解得58n π>，即所求n 的取值范围是5,8π⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【小问3详解】设()()13g x f x f x ⎛⎫=−+⎪⎝⎭，50,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 则有()()1003g f f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，112333g f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22133g f f ⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋅⋅⋅， 11333k k k g f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，⋅⋅⋅，()55233g f f ⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}()1,2,3,,6k ∈⋅⋅⋅.以上各式相加得()()()115020333k g g g g f f −⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()11500333k g g g g −⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（ⅰ）当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13k g −⎛⎫⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫⎪⎝⎭中有一个为0时，不妨设103i g −⎛⎫= ⎪⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，即110333i i i g f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111333i i f f −−⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，所以函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （ⅱ）当()0g 、13g ⎛⎫⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13n g −⎛⎫⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫⎪⎝⎭中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设103i g −⎛⎫> ⎪⎝⎭，103j g −⎛⎫< ⎪⎝⎭，第21页/共21页其中i j ≠，{}1,2,3,,6i j ∈⋅⋅⋅、.由于函数()y g x =的图像是连续不断的曲线，所以当i j <时，至少存在一个实数011,33i j x −−⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（当i j >时，至少存在一个实数011,33j i x −−⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），其中{}1,2,3,,6i j ∈⋅⋅⋅、，使得()00g x =，即()()000103g x f x f x ⎛⎫=−+= ⎪⎝⎭，即存在0x ，使得()0013f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =在区间[]0,2上也具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭. 综上，函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.。

北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学试卷(含简单答案)

北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（）A B. C. 2 D. 43. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（）A. B. C. D.4. 已知向量，满足，，，则（）A.B.C.D.5. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则的图象的一条对称轴是（）A. B. C. D. 6. 已知满足，，则（）A.B. C.D. 7. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到函数.240︒a b a b ⋅=4-2-πsin y x=cos y x=tan2y x=sin cos y x x=a b()0,1a = 1b = a b -=r r ,a b 〈〉= π6π3π22π3()()sin 0f x x x ωωω=>2y =π()f x π12x =π6x =5π12x =5π6x =ABC V AB AC =tan 2B =tan A =4343-4545-()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<的图象，只需将函数的图象（）A向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位8. 若，则（）A.B. C.D. 9. 已知函数．则“”是“为奇函数”的（）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，是轮子外边沿上一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m 时，下列选项中，关于点的描述正确的是（参考数据：）（）A. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.56mB. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.45mC. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mD. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为__________________ .12. 已知向量，，使和的夹角为钝角的的一个取值为________..的2sin 2y x =()f x π3π6π3π6π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2α=725725-925925-()()cos f x x ϕ=+()()11f f -=-()f x A A 7π21.991≈A A A A tan(4y x π=+(a = ()cos ,sin b θθ= a bθ13. 若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则_________，__________.14. 在矩形中，若，，且，则的值为______，的值为______.15. 已知，给出下列四个结论：①对任意的，函数是偶函数；②存在，函数的最大值与最小值的差为4；③当时，对任意的非零实数，；④当时，存在实数，，使得对任意的，都有.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16. 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为.（1）直接写出和的值，并求的值；（2）求的值；（3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标.17. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）若函数，求的图象的对称中心.18. 在平面直角坐标系中，原点，，，，，，为线段上一点，且.为π()sin()6f x x ω=+0ω>22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+-+ω=π()6g =ABCD 1AB =13BE BC = AB AE AD AE ⋅=⋅AD AE AC⋅ ()2cos f x x m =+m ∈R ()f x m ∈R ()f x 0m ≠x 22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0m =()0,T π∈0x ∈R n ∈Z ()()00f x f x nT =+αβOx A B A 35B 513tan αsin βtan()αβ-π2sin(π)sin()23πcos()cos(3π)2αααα-++--+A O π4C C ()π4sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()()cos g x f x x =()g x O ()2,2A ()3,B m (),4C n AB AC ⊥ //BC OAP BC PC BC λ=（1）求，的值；（2）当时，求；（3）求的取值范围.19. 已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题.（1）求的值；（2）若函数在区间上的取值范围是，求的取值范围.条件①；条件②是的一个零点；条件③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒（）.（1）当时，求点绕转动的弧度数；（2）分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，；（3）求的最小值.21. 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零m n 35λ=cos APC ∠PA PC ⋅()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++π||2ϕ<()f x ϕ()f x []0,m 1[,1]2m π(16f =-π12-()f x (0)3π(f f =2O 1O 125O O =A B 1O xOy A B 1y 2y t 0t ≥1t =B 2O 1y 2y t t 2 5.5y ≥21y y -R ()y f x =1t 2t k t k 120k t t t =<<< x ∀∈R 12((0))()k f x t f x t f x t ++++++= ()f x k和函数”.（1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；（2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，.的11()x f x =+2()sin f x x =1()f x 2()f x ()f x ()f x 3cos 2cos5cos8()f x x x x =++4cos 2cos3cos 4()f x x x x =++北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学简要答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】A 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】A 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】D 【8题答案】【答案】B 【9题答案】【答案】C 【10题答案】【答案】B第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【12题答案】【答案】（答案不唯一）【13题答案】【答案】①. 2②.或1【14题答案】【答案】①.②. 【15题答案】【答案】①②④三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1），；（2）10；（3）.【17题答案】【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为（2）【18题答案】【答案】（1）；（2）（3）.【19题答案】【答案】（1）条件选择略，；（2）.【20题答案】π2-1-2312tan ,sin 413αβ==33tan )6(5αβ-=-π5π2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈5π11π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈ππ,26k ⎛+⎝()Z k ∈1,8m n =-=[8,10]-π6ϕ=-ππ63m ≤≤【答案】（1）2（2），，满足（3）【21题答案】【答案】（1）不是，是；（2）充分不必要条件，证明略；（3）是，不是，理由略.12sin y t =2π5sin 22y t ⎛⎫=+-⎪⎝⎭t π2πππ,N 33t k t k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭721()f x 2()f x 3()f x 4()f x。

北京市西城区北京师范大学附属实验中学2023年高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

B. 2
2
3
C. 4
D. 5
9
9
10．已知函数
f
(x)
2x
x2
，则不等式
f
(2 cos x)
3,
x
2
,
2
的解集为（
）
A.
6
,
6
B.
3
,
3
C.
2
,6ຫໍສະໝຸດ 6,2D.
2
,
3
3
,
2
二、填空题（本大题共 5 小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知球 O 的内接圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，则球 O 的表面积为________.
①平面 MENF 平面 BDDB ；②当且仅当 x 1 时，四边形 MENF 的面积最小； ③四边形 MENF 周长 2
L f (x) ， x [0,1] 是单调函数；④四棱锥 C MENF 的体积V h(x) 为常函数；
以上命题中真命题的序号为___________. 三、解答题（本大题共 6 小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
68.74
64.36
60.42
设茶水温度从 85°C 开始，经过 tmin 后温度为 y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供
选择：① y kat b ；② y at 2 bt c
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前 3 组数据，求出函数模型的解析式；（2）若茶水温度降至 55℃时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时
，则
的值
18．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关.经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感.某研究员在泡制茶水的过程中，每隔 1min 测量一次茶水温度，收集到以下数据：

2023-2024学年北京师范大学附属实验中学高三2月开学考数学试题及答案

北京师范大学附属实验中学2023－2024学年度第二学期高三数学开学摸底测试一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知集合{1,2,3},{|(2)0}A B x x x ==∈−Z ≥，则AB =ZA. {1,2}B. {0,1,2,3}C. ZD. {0}x x ∈≠Z2．在5)x −的展开式中，3x 的系数为A. 10B. 10−C. 20D. 20−3．已知9log 3a =， 1.21()2b =，121.2c =，则A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. c b a >>4．在复平面内，复数z 满足方程12i z z +=⋅，则z 所对应的向量的坐标为A. 21(,)55B. 12(,)55−−C. 12(,)33D. 21(,)33−−5．平面向量a 与b 的夹角是π3，且1=a ，2=b ，如果AB =+b a ，3AC =−a b ，点D是线段BC 的中点，那么AD =A.B. C. 3 D. 66．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D −−为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断，其中不正确的是A. CD ⊥平面ABCB. AB ⊥平面ACDC. 平面ABD ⊥平面ACDD. 平面ABD ⊥平面BCD图1图27．已知圆2224x y a +=+经过点(2,)a b −，且点(,)P a b 到点(1,0)Q 的距离为3，则A. 4a =−B. 2a =C. b =D. 4b =8．已知函数()|2||2|f x a x x =−++，则“1a =−”是“()f x 为奇函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知31a =−，55a =．记nn nS b a =(1,2,)n =，则数列{}n b 的 A. 最小项为3bB. 最大项为3bC. 最小项为4bD. 最大项为4b10．函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若(1)f x −和(2)g x +都是偶函数，则A. ()f x 是奇函数B. ()f x 是偶函数C. ()g x 是奇函数D. ()g x 是偶函数二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知双曲线221x my −=的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为___． 12．函数2()cos sin f x x x x −的单调递增区间为___．13．已知函数()2f x x ϕ=+，其中常数0ϕ>，若π()6f −与π()2f 所对应的角的终边关于x 轴对称，则ϕ的最小值为___．14．设定义在[1,3]−函数[1,),()1,[,3].x a f x ax x a ∈−=−∈⎪⎩ 当0a =时，()f x 的值域为___；若()f x 的最大值为1，则实数a 的所有取值组成的集合为___．15．已知曲线2221:W x y m +=，4242:W x y m +=，其中0m >．① 当1m =时，曲线1W 与2W 有4个公共点； ②当2m =时，第一象限内，曲线1W 位于曲线2W 的下方； ③ 存在实数(0,1)m ∈，使得曲线1W 围成的区域面积恰等于2W 围成的区域面积； ④ 曲线1W 围成的区域内（不含边界）的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数不多于曲线2W 围成的区域内（不含边界）的整点的个数．其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.（13分）在ABC △中，1cos 4C =−，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使三角形唯一确定，求：（Ⅰ）sin B 的值；（Ⅱ）ABC △的面积．条件①：a =，11c =；条件②：6b =，2c a =；条件③：8c =，ABC △为等腰三角形．注：如果选择多个条件解答或选择不符合要求的条件解答，本题得0分．17.（13分）如图，长方体1111ABCD A B C D −中, 1AB AD ==，点E 为1DD 的中点，1EB ⊥平面ACE ．（Ⅰ）求证：1BD ∥平面ACE ；（Ⅱ）求1DD 的长，及二面角1A CE C −−的余弦值；（Ⅲ）求点1A 到平面ACE 的距离．18. （14分）上学期间，甲每天7:30之前到校的概率为23，乙每天7:30之前到校的概率为13．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）设M 为事件“在上学期间随机选择三天，甲在7:30之前到校的天数恰为2天”，求事件M 发生的概率．（Ⅱ）在上学期间随机选择两天，记X 为甲7:30之前到校的天数，记Y 为乙7:30之前到校的天数，X Y ξ=−，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）在上学期间随机选择n 天，若在这n 天中，甲7:30之前到校的天数多于乙，则记1n η=，否则记0n η=，分别比较12(),()D D ηη的大小和45(),()D D ηη的大小，直接写出结论.19. （15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,1)B ，且离心率为2.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设A 为椭圆E 的右顶点，直线1:2l y x =与椭圆交于C ，D 两点（C 在第三象限），P 是椭圆上的动点，直线AP ，BP 分别交直线l 于点E ，F ，记ED EC λ=，FD FC μ=，求λμ+的值.20. （15分）已知函数2()e x f x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点1x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；（Ⅱ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）若实数,,αβγ分别满足()(1)f f αα=且1α≠，3()(3)f f ββ=且3β≠，5()(5)f f γγ=且5γ≠，比较,,αβγ的大小.21. （15分）若数列{}n a 满足：存在*0N ∈N 和*T ∈N ，使得对任意0n N ≥和*k ∈N ，都有n n kT a a +=，则称数列{}n a 为“P 数列”；如果数列{}n a 满足：存在*0N ∈N ，使得对任意0j i N >≥（*,i j ∈N ），都有i j a a ≤，则称数列{}n a 为“I 数列”；（Ⅰ）在下列情况下，分别判断{}n a 是否“P 数列”，是否“I 数列”？① 11a =，22a =，21()n n n a a a ++=−+； ② 15a =，12|3|n n a a +=−；（Ⅱ）若数列{}n a ：120a a >>，21()2n n n ka a a ++=+是“I 数列”，其中k ∈Z 且0k ≠，求k 的所有可能值；（Ⅲ）设“I 数列”{}n a 和“P 数列”{}n b 的各项均为正数，定义分段函数(),[1,)f x x ∈+∞如下：记[]x 为“不超过x 的最大正整数”，[][]()([])x x f x f x a b ==证明：若()f x 是周期函数，则{}n a 是“P 数列”.答案1~10：DDCBA DBCCD11. y =12. ππ(π,π),36k k k −+∈Z13.2π314. 2[0,1){1};(0,]3−15. ①③④16. 选条件①：得0分。

北京高一新生入学分班考试数学(2)

A BC 北京高一新生入学分班考试数学(2)一. 选择题1．下列运算正确的是（）。

A 、a 2·a 3=a 6B 、a 8÷a 4=a 2C 、a 3+a 3=2a 6D 、(a 3)2=a 62．一元二次方程2x 2-7x+k=0的一个根是x 1=2,则另一个根和k 的值是 ( )A ．x 2=1 ，k=4B ．x 2= - 1, k= -4C ．x 2=32,k=6 D ．x 2= 32-,k=-6 3．如果关于x 的一元二次方程220x kx -+=中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率P= ( ) A ．23B ．12C ．13D ．164．二次函数y=-x 2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是( )A.(-2,6)，x=-2B.(2,6)，x=2C.(2,6)，x=-2D.(-2,6)，x=25．已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简b a bc c a ---+-的结果是（）A 、2aB 、2bC 、2cD 、06. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是（）7．下列图中阴影部分的面积与算式122)21(|43|-++-的结果相同的是（）8．如图为由一些边长为1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是________ cm 2。

A ． 11B ．15C ．18D ．22 二. 填空题9．函数21--=x x y 中，自变量x 的取值范围是． 10．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD AB D ⊥于，AC ＝10， CD ＝6，则sinB 的值为_____。

2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属中学高一上学期10月月考数学试题(含答案)

2024-2025学年北京师范大学附属中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |−2≤x ≤3}，B ={x |x <−1或x >4}，那么集合A ∩B =( )A. {x |−2≤x <−1}B. {x |x ≤3或 x ≥4}C. {x |−2≤x <4}D. {x |−1≤x ≤3}2.命题：“∀x ∈[1,2]，2x 2−3≥0的否定是( )A. ∀x ∉[1,2]，2x 2−3≥0B. ∀x ∈[1,2],2x 2−3<0C. ∃x 0∈[1,2]，2x 20−3<0D. ∃x 0∉[1,2]，2x 20−3<03.设a,b,c ∈R ，且a >b ，则( )A. 1a <1bB. a 2>b 2C. a−c >b−cD. ac >bc4.已知集合A ={(x,y )|y =2x +1}，B ={(x,y )|y =x−1}，则A ∩B =( )A. {−2,−3}B. {(−2,−3)}C. {−2}D. ⌀5.已知U 为全集，集合M ，N 是U 的子集．若M ∩N =N ，则( )A. (∁UM)⊇(∁ UN)B. M ⊆(∁UN)C. (∁UM)⊆(∁ UN)D. M ⊇(∁UN)6.若命题“∃x ∈R,x 2+mx +1<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−2]∪[2,+∞)B. (−2,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. [−2,2]7.已知全集U =R ，集合M ={x |x >2}，N ={x |1<x <3}，那么下面的维恩图中，阴影部分所表示的集合为( )A. {x |x >2}B. {x |x ≤2}C. {x |x >2}D. {x |x ≤1}8.若xy ≠0，则“x +y =0”是“y x +x y =−2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知a>0，b>0，M=a+b，N=a+b，则M与N的大小关系为( )A. M>NB. M<NC. M≤ND. M，N大小关系不确定10.已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是( )A. 13B. 18C. 21D. 26二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

北京师范大学附属实验中学2023届高三上学期开学测试数学试题

B．{x∣1 x 3}
C．{x∣x 1}
D．{x∣x 3}
2．在下列函数中，图象关于坐标原点对称的是
A． y lg x
B． y sin x
C． y cos x
D． y | x |
3．已知集合 S s s 2n 1, n Z,T t t 4n 1, n Z ，则 S T （）
.（用含
四、填空题 15．设非空集合 S {x | m x n}满足：当 x S 时，有 x2 S ，给出如下三个结论： ①若 m 1，则 S {1} ； ②若 m 1 ，则 0.25 n 1；
2
试卷第 2页，共 4页
③若 n 0.5 ，则 2 ≤ m ≤ 0 . 2
其中正确结论是
（）
A． f x 在0, x0 上是减函数
B． f x 在x0, 上是减函数
C． x 0, , f x f x0
D． x 0, , f x f x0
二、填空题 11．函数 f (x) lg(x 1) 的定义域是 .
12．已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) x 2 4x ，则不等式 f (x) x 的
北京师范大学附属实验中学 2023 届高三上学期开学测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A x∣x 1, B {x∣x 3}，那么集合 A B 等于（）
A．{x∣1 x 3}
（Ⅱ）求函数 f x 的单调区间．
20．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 （a＞b＞0）的一个焦点坐标为 (1, 0) ，且长轴长是短轴长的

北京市北京师范大学附属实验中学2025届高三上学期统一练习数学试题

北京市北京师范大学附属实验中学2025届高三上学期统一练习数学试题一、单选题1．已知集合{}42A x x =-<<，{}29B x x =≤，则A B =U （）A ．(]4,3-B ．[)3,2-C ．()4,2-D ．[]3,3-2．若复数()()()1a i i a R ++∈为纯虚数，则a 的值为（） A ．1-B ．0C ．1D ．23．在421x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（）A ．4-B ．4C ．6-D ．64．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（） A ．()ln f x x =- B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=5．设,R,0a b ab ∈≠，且a b >，则（） A ．b a a b< B ．2b aa b+> C ．()sin a b a b -<-D ．32a b >6．已知圆C 过点()1,2A -，()10B ,，则圆心C 到原点距离的最小值为（）A ．12B C ．1D 7．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AP AB ⋅u u u r u u u r的值为（）A ．2B ．4-C ．4D ．8．已知函数()sin()f x x ϕ=+．则“(1)(1)f f -=”是“()f x 为偶函数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为44，高为（） ABC．D10．若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,4D ．()2,4二、填空题11．抛物线y 2=2x 的焦点坐标为．12．若(cos ,sin )P θθ与(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ值．13．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱1BB 上一点，12AB AA ==，则三棱锥1P ACC -的体积为.14．设O 为原点，双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在C 的右支上.则C 的渐近线方程是；OP OFOP⋅u u u r u u u r u u u r 的取值范围是. 15．对于数列{}n a ，令()112341n n n T a a a a a +=-+-+⋅⋅⋅+-，给出下列四个结论：①若n a n =，则20231012T =； ②若n T n =，则20221a =-；③存在各项均为整数的数列{}n a ，使得1n n T T +>对任意的*n ∈N 都成立； ④若对任意的*n ∈N ，都有n T M <，则有12n n a a M +-<. 其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，(1)求证：⊥BC 平面P AB ； (2)求二面角A PC B --的大小．17．在ABC V 中，sin 2sin b A B =． (1)求A ∠；(2)若ABC V 的面积为再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：sinC =②：b c =③：cos C = 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．H 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.表1假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. (1)试估计H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率；(2)设H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X 元，求X 的分布列和数学期望；(3)H 地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加50kg .从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.19．如图，已知椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>的一个焦点为1(0,1)F ．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点1F 作斜率为k 的直线交椭圆E 于两点A ，B ，AB 的中点为M ．设O 为原点，射线OM 交椭圆E 于点C ．当ABC V 与ABO V 的面积相等时，求k 的值．20．已知函数()sin x f x x =（0πx <<），()(1)l n gxx x m =-+（m ∈R ）（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：1是()g x 的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a ，(0,)b ∈π，满足()()f a g b =，求m 的取值范围.（只需写出结论） 21．若数列A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （3n ≥）中*i a N ∈（1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤-，112k k k a a a +-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”.（1）若数列1，x ，y ，7为“U -数列”，写出所有可能的x 、y ；（2）若“U -数列” A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值；（3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，0n a ，记{}012max ,,,n M a a a =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，⋅⋅⋅，s x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值.。

2022-2023高一上期中北师大附属实验中学答案

北师大附属实验中学2022-2023学年度第一学期期中试卷高一年级数学参考答案第Ⅰ卷（共100分）(1,2]三、解答题（每小题10分，共30分） 15. 解：（1）2={230}A x x x −−< {13}A x x ∴=−<<{253}B x x x =−−≥ {2}B x x ∴=≥，则(,2)B =−∞R ={23}A B x x <≤.【4’】（2）由B C C =，可知B C ⊆{20}={}2a C x x a x x =+>>−则22a−<，所以4a >−，a 的取值范围为(.4,)−+∞【10’】16. 解：（1）由4()+3=2f x x x x =+，解得11x =−，24x =.所以函数()f x 的图像与直线2y x =的交点为(1,2)−−，(4,8). 【3’】（2）因为0x >，所以4()+337f x x x =+=≥.当且仅当4x x=，即2x =时等号成立. 故当2x =时，函数()f x 在(0,)+∞上取到最小值7. 【6’】（3）任取12,(2,)x x ∈+∞，且12x x <，那么12121244()()(3)(3)f x f x x x x x −=++−++2112124()()x x x x x x −=−+121212()(4)x x x x x x −−= 因为122x x <<，所以120x x −<，1240x x −>，120x x >，从而12()()0f x f x −<，即12()()f x f x <．所以函数()f x 在(2,)+∞上单调递增．【10’】17. 解：（1）4b =−；0c =. 【2’】（2）（i ）[]22,−或(2,2)−. 【4’】（ii ）由（1）知2()4f x x x =−，则当0x ≥时，2()4g x x x =−；当0x <时，0x −>，则224())(4()x g x x x x −=−−+−= 因为()g x 是奇函数，所以2((4))x g x g x x ==−−−−. 若()g a a >，则20,4;a a a a ⎧⎨−>⎩≥或20,4.a a a a <⎧⎨−−>⎩ 解得5a >或50a −<<. 综上，a 的取值范围为(5,0)(5,)−+∞. 【10’】第Ⅱ卷（共50分）[3,)+∞五、解答题（每小题10分，共30分） 22. 解：（1）0a >，0b >且1ab =，2a b +=≥当且仅当2a b ==时，等号成立，故2a b +的最小值为．【4’】（2）0a >，0b >且1ab =，3194a b +=≥，当且仅当194a b =，且1ab =，即1,66a b ==时取等，即194a b+的最小值为3， 223x x ∴−<，即2230x x −−<，解得13x −<<，即实数x 的取值范围是(1,3)−．【10’】23. 解：（1）在区间[2,2]−上，()(2)(4)f x x x =−+.所以()f x 在区间[2,1]−−上单调递增，在区间[1,2]−上单调递减，所以()f x 在区间[2,2]−上的最大值为(1)9f −=，最小值为(2)0f =.【4’】（2）当2a ≤时，()f x 在[4,1]−−上单调递增，在[1,6]−上单调递减，所以()f x 的最大值为9.当28a ≤<时，()f x 在[4,1]−−上单调递增，在[1,2]−上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减，此时(1)9f −=，222()()922a a f ≤+−=，所以()f x 的最大值为9.当810a ≤<时，()f x 在[4,1]−−上单调递增，在[1,2]−上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减. 此时222()()(1)22a a f f +−=>−，所以()f x 的最大值为2(2)4a −.当10a >时，()f x 在[4,1]−−上单调递增，在[1,2]−上单调递减，在[2,6]单调递增，此时(6)4(6)(1)f a f =−>−，所以()f x 的最大值为4(6)a −.综上，298,(2)()810,44(6)10.a a g a a a a ≤≤⎧⎪−⎪=<⎨⎪−>⎪⎩ 【10’】24. 解：（1）(12,21,11,12,21)(1,1,0,1,1)A B −=−−−−−=， (,)12211112214d A B =−+−+−+−+−=. 【4’】（2）因为对于任意的,n A B S ∈，都有n A B S −∈，由1122(||,||,,||)n n A B a b a b a b −=−−−，,{,1},1,2,,i i a b k i n ∈=⋅⋅⋅，可知i i a b k −=或1i i a b −=.1) 当,1i i a k b ==时，1k k −=或11k −=，即12k =或2k =或0k =; 2) 当,i i a k b k ==时，k k k −=或1k k −=，即0k =; 3) 当1,1i i a b ==时，11k −=或111−=，即0k =; 4) 当1,i i a b k ==时，1k k −=或11k −=，即12k =或2k =或0k =;若2k =，不妨取(2,1,,1),(1,1,,1)A B ==，则(1,0,,0)n A B S −=∈，与2k =矛盾；若12k =，不妨取1(,1,,1),(1,1,,1)2A B ==，则1(,0,,0)2n A B S −=∈与12k =矛盾；当0k =时，对任意的,{,1},1,2,,i i a b k i n ∈=⋅⋅⋅.都有{}0,1i i a b −∈，故任意的,n A B S ∈，都有n A B S −∈. 综上，0k =.设12(,,,)n n C c c c S =⋅⋅⋅∈.所以,,{0,1},1,2,,i i i a b c i n ∈=⋅⋅⋅.当0i c =时，i i i i i i a c b c a b −−−=−；当1i c =时，(1)(1)i i i i i i i i a c b c a b a b −−−=−−−=−；所以1(,)(,)ni i i d A C B C a b d A B =−−=−=∑.【10’】。

2024—2025学年北京市北京师范大学附属实验中学高一上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年北京市北京师范大学附属实验中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，则（）A．B．C．D．(★) 2. 函数的定义域为（）A．B．C．D．(★) 3. 若，则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．(★) 4. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（）A．B．C．D．(★) 5. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（）A．B．C．D．(★) 6. 设，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. “”是“关于的不等式的解集为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 8. 已知某商品每件的成本为8元，每月销量（万件）与每件售价（元）的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为（）（注：净利润销售总额总成本）A． 10元B． 12元C． 15元D． 16元(★★) 9. 对于函数，下列说法正确的是（）A．存在最大值B．的解集为C．在上单调递减D．对任意，有(★★) 10. 已知集合，若存在，使得中恰有2个元素，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 11. 命题“”的否定是 __________ .(★★) 12. 计算： __________ .(★) 13. 设实数满足：，则的取值范围是 __________ .(★★) 14. 若函数在上的值域为，则的最小值为__________ ；最大值为 __________ .(★★★) 15. 已知是上的奇函数，记不等式的解集为.给出下列四个结论：①一定有；②可能存在且；③若当时，，则一定有；④若当时，，且，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是 __________ .三、解答题(★★) 16. 设集合.(1)若，求；(2)若，求的取值范围.(★★★) 17. 已知关于的方程有两个不相等的正实数根.(1)求的取值范围；(2)若，求的值；(3)若，求的取值范围.(★★★) 18. 已知函数为上的偶函数，且当时，.(1)当时，求的解析式；(2)判断在上的单调性，并依据单调性的定义证明；(3)若，且，试比较与的大小，并说明理由.四、填空题(★★) 19. 给出能够说明“若，则”是假命题的一组的值：__________ ； __________ .(★★) 20. 已知集合且，满足：，，则 __________ ； __________ .(★★) 21. 已知为奇函数.① __________ .②若恰有两个整数解，则的取值范围是 __________ .(★★★★) 22. 函数,①当时，的单调递增区间为 __________ .②若恰有三个零点，则的取值范围是 __________ .五、解答题(★★) 23. 已知.(1)求的最小值；(2)对于（1）中取得最小值的每组，都有恒成立，求的取值范围. (★★★) 24. 已知函数.(1)当时，求证：；(2)若在上的最小值为，求的值；(3)若存在，使得，求的取值范围.(★★★★) 25. 对于非空有限数集，记或表示中所有元素的个数.(1)若，用列举法直接写出；(2)给定且，设，对于且，记，求的最小值（用表示）；(3)设非空有限数集满足以下条件：①；②；③.求证：.。

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2023北师大实验中学新高一分班考试数
学真题
第一部分选择题（共30题，每题2分，满分60分）
1. 若a > 0，b < 0，c > 0，则（a+b) c = ____
- A) ac + bc
- B) - ac + bc
- C) ac - bc
- D) - ac - bc
2. 设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则f(0) + f(1) + f(2)的值为____
- A) 6
- B) 8
- C) 14
- D) 16
（以下省略28题）
第二部分解答题（共2题，每题20分，满分40分）
1. 设函数y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，给出如下条件：
- 当x = 1时，y = 4；
- 当x = -2时，y = 9。

求函数的解析式。

2. 若a、b、c都是非零实数，且满足方程ax^2 + bx + c = 0有
两个不相等的实数根，则称这样的二次方程为“标准二次方程”。

给
出如下条件：
- 二次方程x^2 - 4x + c = 0是标准二次方程；
- 对于任意非零实数m，二次方程mx^2 - (m+1)x + c = 0都不是
标准二次方程。

求a、b、c的取值范围。

第三部分简答题（共2题，每题20分，满分40分）
1. 在笛卡尔坐标系中，求方程y = 2x^2 + 3x - 4的对称轴和顶
点坐标。

2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c是单调递增的，且f(-1) = f(1) = 4，求三个参数a、b、c的取值情况。

第四部分计算题（共2题，每题20分，满分40分）
1. 已知函数y = 2x^3 - 3x^2的图像上有两点A(1, -1)和B(-2, -12)，求曲线与x轴交点的坐标。

2. 若两个正数的和为8，求它们的乘积的最大值。

总分：满分180分
以上为2023北师大实验中学新高一分班考试数学真题，希望
能对你有所帮助。