等比的通项公式
等比数列的概念及通项公式
3、已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的 积为64，求这三个数。 2,4,8 或8,4,2
4、正项等比数列{an},公比q=2，且a1a2a3…a18=230, 则a3a6a9…a18=__________ 。 216
例题分析
例:（2006全国卷I）已知{an}为等比数 列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等 比 数列 {an}的通项公式
练
习
Байду номын сангаас
1、已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ A ） A.5 B.10 C.15 D.20
log3 (a1a2 a3 a11 )
3
1
3
2
3
3
3
11
11
log a log 3
11 3 6 11 3
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
形成性训练
1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6，a10=9，那么a4=_________.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
等比数列的通项与求和公式
等比数列的通项与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，由于其特殊的规律性质，在各个领域都有广泛的应用。
本文将以等比数列的通项与求和公式为主线，探讨其定义、性质及应用等方面内容。
一、等比数列的定义等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。
通常用字母a表示首项，字母r表示公比，公比r≠0。
二、等比数列的通项公式设等比数列的首项是a，公比是r，第n项是an。
根据等比数列的定义，可得等式：an = ar^(n-1)即等比数列的通项公式为an = a × r^(n-1)。
三、等比数列的求和公式对于等比数列的求和，有两种情况要讨论。
1. 当公比r不等于1时，求和公式为：Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和。
2. 当公比r等于1时，求和公式为：Sn = na这是因为当r=1时，等比数列变为等差数列，其求和公式为Sn =(n/2)(a + an) = na。
四、等比数列的性质1. 等比数列的比值恒定：对于等比数列中的任意两项an和an+1，它们的比值都等于公比r，即an+1 / an = r。
2. 等比数列前n项的和与后n项的和的关系：等比数列的前n项和Sn与后n项和Sn'的关系是Sn' = Sn × r^n。
3. 等比数列的性质与对数函数的关系：等比数列与指数函数和对数函数密切相关，等比数列的通项公式可以看作是指数函数的离散形式，而求和公式则与对数函数有着密切的联系。
五、等比数列的应用等比数列在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 财务分析：某企业每年的盈利额按等比数列递增或递减，通过求和公式可以计算出多年的总盈利额。
2. 投资计算：等比数列可以用来计算复利的本金增长情况，根据投资年限和年复利率，可以计算出多年后的本金总额。
3. 几何形状分析：等比数列可以用来分析几何形状中的边长、面积、体积等相关问题，如等比缩放、等比放大等。
等比等差通项公式
等比等差通项公式
等比数列通项公式是指根据数列的首项和公比，可以求出数列中任意一项的数值。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式可以表示为：
an = a1 * r^(n-1)
其中，^表示乘方运算。
同样地，等差数列通项公式是指根据数列的首项和公差，可以求出数列中任意一项的数值。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式可以表示为：
an = a1 + (n-1) * d
这两个通项公式在数学中非常常用，可以用来快速计算等比数列或等差数列中任意一项的数值。
这对于解决数列相关的问题非常有帮助，例如计算数列的和、确定数列的性质等等。
除了通项公式，还可以利用等差、等比数列的性质来推导出一些重要的公式，例如等差数列的前n项和公式和等比数列的前n项和公式。
这些公式可以用来计算数列前n项的和，对于数列求和问题非常有用。
总之，等比等差通项公式是数学中非常重要的工具，可以用来计算数列中任意一项的数值，解决数列相关的问题。
在学习数学、物理、工程等领域时，掌握这些公式是非常有帮助的。
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式等比数列是数学中一个重要的概念，其中每一项与前一项的比值保持不变。
在解决等比数列问题时，掌握通项公式是至关重要的。
本文将详细介绍等比数列的通项公式，并给出相关的例子进行解析。
一、等比数列的定义与性质等比数列是指数列中，每一项与前一项的比值都是固定的常数。
数列的通项公式可以通过等比数列的性质推导出来。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式可表示为：an = a₁ * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项。
二、等比数列的通项公式推导接下来，我们通过一个简单的例子来推导等比数列的通项公式。
例1：已知等比数列的首项为2，公比为3，求第10项的值。
解：根据等比数列的定义，我们可以得到：a₁ = 2, r = 3代入通项公式an = a₁ * r^(n-1)，则第10项的值为：a₁₀ = 2 * 3^(10-1) = 2 * 3^9通过计算，得到第10项的值为2 * 19683 = 39366。
三、等比数列的应用等比数列的通项公式在实际问题中有广泛的应用。
下面，我们通过一个实例来说明等比数列在日常生活中的应用。
例2：小明每天存钱，第一天存1元，之后每天存的金额是前一天的3倍，求30天内总共存了多少钱。
解：设第n天存的金额为an，根据题意，我们可以得到：a₁ = 1, r = 3代入通项公式an = a₁ * r^(n-1)，则第30天存的金额为：a₃₀ = 1 * 3^(30-1) = 1 * 3^29通过计算，得到第30天存的金额为1 * 3^29 = 1 * 594,914,763 = 594,914,763元。
因此，小明在30天内总共存了594,914,763元。
四、等比数列的性质除了通项公式，等比数列还具有以下几个重要的性质：1. 任意项与其后第n项的比值为r^(n-1)。
2. 任意项与其前第n项的比值为r^(1-n)。
3. 任意连续两项的比值为相同的常数r。
4. 等比数列的前n项和公式为Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)。
等比数列的通项公式与求和公式
等比数列的通项公式与求和公式等比数列是指一个数列中，任意两个相邻的项之比都相等的数列。
在等比数列中，有两个重要的公式，分别是通项公式和求和公式。
一、等比数列的通项公式
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，我们需要找到等
比数列中第n项与首项的关系。
根据等比数列的定义，第n项与首项的关系可以表示为以下式子：an = ar^(n-1)
其中，ar^(n-1)表示首项经过n-1次公比的连续乘积得到的第n项。
通过上述公式，我们可以很方便地求得等比数列中任意一项的数值。
二、等比数列的求和公式
设等比数列的首项为a，公比为r，共有n项，我们需要找到等比数列的前n项和的公式。
根据等比数列的定义，前n项和可以表示为以下式子：
Sn = a(1-r^n)/(1-r)
其中，a(1-r^n)表示将首项与公比的连续乘积r^n-1相乘得到的一个
中间结果，然后通过(1-r)进行除法运算来获得前n项和。
通过上述公式，我们可以很方便地求得等比数列前n项的和。
三、等比数列的应用
等比数列在数学中有广泛的应用。
例如在金融领域中，复利计算中的利率比例就是等比数列中的公比。
另外，在自然科学领域，一些指数型增长或衰减的现象也可以通过等比数列来进行建模和分析。
总结：
等比数列是一种常见的数列形式，其中通项公式和求和公式是重要的基础工具。
通项公式用于求解等比数列中特定项的数值，求和公式用于计算等比数列前n项的和。
了解这两个公式的含义和应用，有助于我们更好地理解和运用等比数列。
等比数列公式_公式总结
等比数列公式_公式总结如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)②当q=1时，Sn=n×a1（q=1）记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
高中数学等比数列公式是什么
高中数学等比数列公式是什么高中数学等比数列公式1、等比数列的通项公式是：An=A1__q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N__,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2arar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap__aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.高中数学解题方法与技巧1、不等式、方程或函数的题型，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2、在研究含有参数的初等函数的时候应该抓住无论参数怎么变化一些性质都不变的特点。
如函数过的定点、二次函数的对称轴等。
3、在求零点的函数中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。
4、恒成立问题中，可以转化成最值问题或者二次函数的恒成立可以利用二次函数的图像性质来解决，灵活使用函数闭区间上的最值，分类讨论的思想(在分类讨论中应注意不重复不遗漏)。
5、选择与填空中出现不等式的题，应优先选特殊值法。
6、在利用距离的几何意义求最值得问题中，应首先考虑两点之间线段最短，常用次结论来求距离和的最小值;三角形的两边之差小于第三边，常用此结论来求距离差的最大值。
等比数列的通项公式及性质
一、等比数列的通项公式
设等比数列{an
}的公比为q，则：
a2 q
a1
a3 q a2 a4 q
a…3 …
累乘法
an q an 1
累乘得： an qn1
a1
a 等比数列的通项公式： na1q 源自 1 法二： a2 a1q
a3 a2q (a1q)q a1q2
特别地，若m+n=2p,则aman ap2. m, n，p,q N
1、在等比数列中，
(1)若a2= 2，a10=20,则a5a7=
a6=
(2)若a3a5a8a10=16 ，则 a4a9=_____
(3)若a3a4a5a6a7=-32，则 a5=______
（5)若a3=-2，则等比数列的前5项的积为______
作业：P15---练习，P19---A组1,2,3,4,5
能力提升
例4：在数列an中，a1=1，an 3an1,
求数列的通项公式an。
二、性质
性质1：an amqnm
m, n N
可变形为：an am
q
nm
分例析2：：1已数知列任{意an一}为项等am及比公数比列q即：可求出通项公式。
从第2项起,每一项与它前 概
一项的比等同一个常数 念
等差数列
从第2项起,每一项与它前
一项的差等同一个常数
公比(q)
常
数
q可正可负,但不可为零 性
质
an a1 qn1
通 项
通
an am qnm (m, n N*)
项 变
形
等比数列的三个公式
等比数列的三个公式等比数列是指一个数列中任意两个相邻的项之间的比值都相等的数列。
首先，我们来定义等比数列的一般项表示法和通项公式。
一、一般项表示法：对于等比数列a₁,a₂,a₃,...,aₙ，其中a₁是首项，r是公比，则第n项被表示为aₙ=a₁*r^(n-1)，其中n≥1二、通项公式：通项公式指的是通过首项和公比来直接计算出等比数列的任意一项的公式。
1.第n项的通项公式：已知等比数列a₁,a₂,a₃,...,aₙ，其中a₁是首项，r是公比。
则第n项的通项公式可以表示为：aₙ=a₁*r^(n-1)，其中n≥12.前n项和的通项公式：已知等比数列a₁,a₂,a₃,...,aₙ，其中a₁是首项，r是公比。
则前n项和的通项公式可以表示为：Sn=a₁*(1-r^n)/(1-r)，其中n≥1接下来，我们来推导这两个通项公式。
首先，我们假设等比数列的首项为a₁，公比为r。
那么等比数列的第二项a₂可以表示为a₂=a₁*r第三项a₃可以表示为a₃=a₁*r^2，依此类推，第n项aₙ可以表示为aₙ=a₁*r^(n-1)。
要计算前n项和Sn，我们将每一项与公比相除可得：Sn=a₁*(1+r+r^2+...+r^(n-1))接下来，我们用Sn乘以公比r：r*Sn=a₁*(r+r^2+...+r^n)将以上两式相减可得：Sn-r*Sn=a₁*(1-r^n)对于左边的Sn-r*Sn，我们可以因式分解：Sn(1-r)=a₁*(1-r^n)最后，我们将两边整理得到前n项和的通项公式：Sn=a₁*(1-r^n)/(1-r)这就是等比数列的常见公式：一般项表示法和通项公式。
利用这两个公式，我们可以方便地计算等比数列中的任意一项或前n项的和。
总结起来，等比数列的三个公式分别是：1.一般项表示法：aₙ=a₁*r^(n-1)，其中n≥12.第n项的通项公式：aₙ=a₁*r^(n-1)，其中n≥13.前n项和的通项公式：Sn=a₁*(1-r^n)/(1-r)，其中n≥1。
高三数学 教案 等比数列的通项公式推导方法
等比数列的通项公式
•等比数列的通项公式:
a n=a1q n-1，q≠0，n∈N*。
•等比数列的通项公式的理解：
①在已知a1和q的前提下，利用通项公式可求出等比数
列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任何
一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a n}的通项公式，可以改
写为．当q>o，且q≠1时，y=q x是一个指数函数，而
是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a n}的图象是函数
的图象上的一群孤立的点；
④通项公式亦可用以下方法推导出来：
将以上（n一1）个等式相乘，便可得到
⑤用方程的观点看通项公式．在a n，q，a1，n中，知三求一。
等比数列的定义和通项公式
等比数列的定义和通项公式一、等比数列的定义和通项公式1、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。
（1）等比数列中任一项都不为0，且公比$q≠0$。
（2）若一个数列为常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，0，$\cdots$。
2、等比数列的通项公式（1）通项公式若等比数列${a_n}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则这个等比数列的通项公式是$a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$。
在记忆公式时，要注意$q$的指数比项数$n$小1这一特点。
注：由$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，可推出$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$。
所以有：① 在已知等比数列${a_n}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。
②已知等比数列${a_n}$中的$a_m$和$a_n$两项，就可以使用$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$求出公比。
（2）等比数列中项的正负对于等比数列${a_n}$，若$q<0$，则${a_n}$中正负项间隔出现，如数列1，-2，4，-8，16，$\cdots$；若$q>0$，则数列${a_n}$各项同号。
综上，等比数列奇数项必同号，偶数项也同号。
3、等比中项如果在$a$与$b$中间插入一个数$G（G≠0）$，使$a$，$G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项。
若$G$是$a$与$b$的等比中项，则$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$，即$G^2=ab$，$G=±\sqrt{ab}$。
等比数列公式汇总
等比数列公式汇总等比数列是高中数学学习中比较重要的一个概念，通常会涉及到数列的一些基本概念，如首项、公比、项数等。
掌握等比数列的公式可以帮助我们更好地理解和应用数列相关知识。
本文将对等比数列的几个重要公式进行汇总。
一、通项公式等比数列的通项公式是指我们可以通过已知的数列首项和公比来求出数列中任意一项的公式。
具体的公式如下：an= a1 * q^(n-1)其中，an表示数列中第n项的值，a1表示数列的第一项的值，q表示数列的公比，n表示数列中的项数。
二、和的公式等比数列的和的公式是指我们可以通过数列的首项、末项和项数来求得数列的所有项的总和。
具体的公式如下：S= a1 * (q^n - 1) / (q-1)其中，S表示数列的总和，a1表示数列的第一项的值，n表示数列的项数，q表示数列的公比。
三、前n项和的公式很多时候我们并不需要求出所有项的总和，而只需要求出数列的前n项和，针对这种情况，我们有一个前n项和的公式。
具体的公式如下：Sn = a1 * (1-q^n) / (1-q)其中，Sn表示数列前n项的和，a1表示数列的第一项的值，q表示数列的公比。
四、求未知数的值在一些题目中，我们需要求解数列中的未知变量，通常我们可以使用等比数列中的几何平均数与算术平均数公式来求解。
具体的公式如下：1、求等比中项的值an = √(a(n-1) * a(n+1))其中，an表示数列中第n项的值，a(n-1)表示数列中第n-1项的值，a(n+1)表示数列中第n+1项的值。
2、求等比数列的公比q = √(a(n+1) / a(n))其中，a(n+1)表示数列中第n+1项的值，a(n)表示数列中第n项的值。
3、求等比数列首项a1 = an / (q^(n-1))其中，an表示数列中第n项的值，q表示数列的公比，n表示数列中的项数。
以上就是等比数列的几个重要公式的汇总，这些公式的掌握可以帮助我们更好地理解和应用等比数列相关的知识。
高中数学等比数列通项公式
高中数学等比数列通项公式高中数学等比数列通项公式大全学好数学的关键是公式的掌握，数学在多个不同领域的应用一般被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并促成全新数学学科的发展。
下面是小编为大家整理的高中数学等比数列通项公式，希望能帮助到大家!等比数列通项公式an=a1__q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)an=Sn-S(n-1)(n≥2)前n项和当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1__q’n)/(1-q)(q≠1)当q=1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=na1高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
等比数列通项公式和前n项和公式
等比数列通项公式和前n项和公式等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，则其通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中n 为项数。
在等比数列中，前n项和的公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。
英文：Geometric progression is a sequence in which the ratio of any two consecutive terms is the same. Let the first term of the geometric sequence be a, and the common ratio be r, then its general term formula is: an = a * r^(n-1), where n is the number of terms. In a geometric sequence, the formula for the sum of the first n terms is: Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r).等比数列通项公式an= a1 * q^(n-1)，其中q为公比。
英文：The general term formula of a geometric sequence is an=a1 * q^(n-1), where q is the common ratio.在等比数列中，首项为a1，通项公式为：an= a1*q^(n-1)。
其中an表示第n项，q为公比。
英文：In a geometric sequence, the first term is a1 and the general term formula is: an= a1*q^(n-1). Where an represents the nth term, and q is the common ratio.当公比小于1时，等比数列是一个收敛的数列。
理解等比数列的通项与求和公式
理解等比数列的通项与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的通项公式和求和公式是解决等比数列问题的基本工具。
理解等比数列的通项与求和公式有助于我们更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列的每一项与它前一项的比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，那么数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1) (n ≥ 1)其中aₙ表示等比数列的第n项，n表示项数。
公比r是一个常数，对于等比数列中的任意两项aₙ和aₙ₊₁，它们的比值都是r。
二、等比数列的通项公式推导为了更好地理解等比数列的通项公式，我们来推导一下。
假设等比数列的首项为a₁，公比为r，我们需要找出等比数列中的第n项aₙ与首项a₁和公比r之间的关系。
我们可以通过观察等比数列的性质得出以下结论：a₂ = a₁ * ra₃ = a₂ * r = a₁ * r * r = a₁ * r²a₄ = a₃ * r = a₁ * r² * r = a₁ * r³...可以看出，每一项都是前一项与公比r的乘积。
根据这个规律，我们可以推断出等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1) (n ≥ 1)三、等比数列的求和公式求和公式是用来计算等比数列所有项的和的公式。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，项数为n，那么等比数列的前n项和Sₙ可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r) (r ≠ 1)Sₙ = a₁ * n (r = 1)其中Sₙ表示等比数列的前n项和。
四、等比数列的应用举例现在我们通过一个具体的例子来应用等比数列的通项公式和求和公式。
例子：求等比数列1, 2, 4, 8, 16, ...的第10项和前10项和。
首先确定等比数列的首项和公比，可以发现首项a₁为1，公比r为2。
根据等比数列的通项公式，可以计算出第10项的值：a₁₀ = 1 * 2^(10-1) = 1 * 2^9 = 512接下来，根据等比数列的求和公式，可以计算出前10项的和：S₁₀ = 1 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 1 * (1 - 1024) / (1 - 2) = -1023所以，该等比数列的第10项为512，前10项的和为-1023。
等比数列的所有公式
等比数列的所有公式等比数列，又称等比级数，是一种有规律的数列，其特点是每一项都是前一项的一个固定比率乘积，它所特有的公式让其成为数学中最重要的数列之一。
首先，我们来看看等比数列的第一个公式，即通项公式a_n=a_1*q^{n-1}。
这个公式表示，等比数列的每一项都是前一项的一个固定比率q乘积。
比如，假设有一个数列，第一项是2，公比是3，则等比数列的第二项是2*3=6，第三项是2*3*3=18，以此类推。
其次，我们来看看等比数列的第二个公式，即求和公式S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)。
这个公式表示，等比数列的前n项和可以通过第一项以及公比来计算。
比如，假设有一个数列，第一项是2，公比是3，则等比数列的前三项和就是2*(1-3^3)/(1-3)=60。
再次，我们来看看等比数列的第三个公式，即等差数列的等比数列公式a_n=a_1*q^{n-1}+d*(1-q^{n-1})/(1-q)。
这个公式表示，等比数列也可以用等差数列的方法来计算。
比如，假设有一个数列，第一项是2，公比是3，等差数列的公差是4，则等比数列的第二项是2*3+4*(1-3)/(1-3)=10，第三项是2*3^2+4*(1-3^2)/(1-3)=22，以此类推。
最后，我们来看看等比数列的第四个公式，即极限公式lim_{n->oo}a_n=a_1*q^n。
这个公式表示，当n趋近于无穷大时，等比数列的每一项都会收敛到一个固定值。
比如，假设有一个数列，第一项是2，公比是3，则等比数列的最后一项会收敛到2*3^∞=0。
等比数列的四个公式表明，它具有极强的规律性，在数学中有着重要的地位。
它不仅可以用来计算等比数列的每一项，还可以用来计算等比数列的前n项和，甚至可以用等差数列的方法来计算等比数列，这些都使得等比数列具有极大的实用价值。
等比数列的通项公式
例:三个数成等比数列,其积为512,若第一数与第三 数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.
等差数列中：若给定连续三项之和，则三项可设为
例:
a-d, a, a+d
等比数列中：若给定连续三项之积，则三项可设为 a／q, a, aq
例: 在1与21中间插入两个数，使前三个数 成等比数列，后三个数成等差数列，求所插 入的两个数。
1 得bn 1 2(n 1) 2n 1, 即 2n 1 an
1 1 因此an (n N) 于是a2 0 0 1 2n 1 4001
小结：
求某些非等差、非等比数列的通 项公式时，可以根据这些数列的 结构特点，利用换元法、待定系 数法等方法，构造等差或等比的 新数列，从而非等差、非等比数 列转化为等差、等比数列求解。
a1 1 1 1 3 q q a8 8 2
a3 a8 q
3 8
1 5 32 ( ) 32 32 1024 2
进一步推广：
k,l, s均 为 自 然 数 且 l r s r, k
a （ 1） n 等 差 ， 求 证 ：ka al ar as
a （ 2） n 等 比 ， 求 证 ：ka al ar as
3)等比数列{b n }中的b b 8 16 2 则b3 b 7 _____, 5 _______ b
4)等 比 数 列 {b 的 b 和 b1 0是 方 程 n }中 1
2
2x 4x 1 0的 两 根 ， 则 4 b 7 _____ b
等差数列的通项公式a a1 (n 1)d n 当d o时是一个关于n的一 次多项式 即可写成an An B, A,B常数,A d,B a1 d
等比数列的通项
等比数列的通项等比数列是数学中非常重要的一种数列，它的通项公式与等差数列的通项公式相似，但它们的增量是相乘而非相加的。
在本文中，我们将介绍等比数列的通项公式及其性质。
一、等比数列的定义等比数列是一个由各项元素乘以同一个比例数得出的数列，这个比例数叫做等比数列的公比。
用符号 q 来表示公比，第 n 项为 $a_n$ 则有：$$a_n = a_1 q^{n-1}$$其中，$a_1$ 是等比数列的首项。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过递推公式及通项公式推导出来。
1. 递推公式等比数列的递推公式可以表示为：$$a_{n+1}=q\\times a_n$$该公式说明了等比数列中的每一项都是前一项乘以公比。
例如，第二项是第一项乘以公比，第三项是第二项乘以公比，以此类推。
2. 通项公式由递推公式可以得到以下的推导过程：$$a_{n+1}=q\\times a_n$$$$a_n=q\\times a_{n-1}$$$$a_{n-1}=q\\times a_{n-2}$$将第二个式子代入第一个式子中，可以得到：$$a_{n+1}=q\\times q\\times a_{n-1} = q^2\\times a_{n-2}$$继续将第三个式子代入第二个式子中，可以得到：$$a_{n+1}=q\\times q\\times q\\times a_{n-2} = q^3\\times a_{n-3}$$ 以此类推，可以得到通项公式：$$a_n=a_1 \\times q^{n-1}$$三、等比数列的性质1. 通项公式的说明等比数列的通项公式表明，每一项是上一项乘以公比而得。
这说明等比数列是一个不断等比放大的过程，每一项都是前一项的一定倍数。
2. 公比 q 的作用公比 q 决定了等比数列的增量。
如果 q 大于 1，则等比数列是一个不断增长的数列；如果 q 小于 1，则等比数列是一个递减的数列；如果 q 等于 1，则等比数列是一个常数序列。
等比数列的判定与证明-通项公式法
• 1．等比数列 {an} 中， |ห้องสมุดไป่ตู้1|＝ 1， a5＝－ 8a2， a5＞ a2，则 an＝( ) • A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 • C．(－2)n D．－(－2)n • 解析： ∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1. • ∵a5＝－8a2＝a2·q3， • ∴q3＝－8，∴q＝－2. • 又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a2＝a1q＝a1·(－2)＜ 0， • ∴a1＝1.故an＝a1·(－2)n－1＝(－2)n－1 • 答案： A
• (3) 等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与 等差数列对应项之积构成的数列求和问题，即利用错 位相消的方法去求数列的前n项和． • (4)在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1 或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方 法． • (5)等差数列与等比数列的关系是： • ①若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数 列是非零常数列； • ②若 {an} 是等比数列，且 an ＞ 0 ，则 {lg an} 构成等差数 列．
②
即(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.
因为 q＜1，所以 q＝－1 或 q＝－2. 当 q＝－1 时，代入①式得 a1＝2， 所以通项公式 an＝2×(－1)n－1； 1 当 q＝－2 时，代入①式得 a1＝2， 1 所以通项公式 an＝2×(－2)n－1.
对于通项公式an a q n1来说，有a , q , an , n四个量， 1 1 可以知三求一
• 等比数列的定义，通项公式，前n项和公式是解决等比 数列中的有关计算、讨论等比数列的有关性质的问题 的基础和出发点． • (1)确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q. • (2)在等比数列通项公式和前 n项和公式中共涉及五个量 an，a1，n，q，Sn，可“知三求二”．