七年级数学8.1幂的运算讲解与例题

8.1 幂的运算

1．了解幂的运算性质，会利用幂的运算性质进行计算．

2．通过幂的运算性质的形成和应用，养成观察、归纳、猜想、论证的能力，提高计算和口算的能力．

3．了解和体会“特殊—一般—特殊”的认知规律，体验和学习研究问题的方法，培养思维严谨性，做到步步有据，正确熟练，养成良好的学习习惯．

1．同底数幂的乘法

(1)同底数幂的意义

“同底数幂”顾名思义，是指底数相同的幂．如32与35，(－5)2与(－5)6，(a＋b)4与(a＋b)3等表示的都是同底数的幂．

(2)幂的运算性质1

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

用字母可以表示为：a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)．

(3)性质的推广运用

当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质，如：a m·a n·a p＝a m＋n＋p(m，n，p是正整数)．

(4)在应用同底数幂的乘法的运算性质时，应注意以下几点：

①幂的底数a可以是任意的有理数，也可以是单项式或多项式；底数是和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看作一个“整体”．

②底数必须相同才能使用同底数幂的乘法公式，若底数不同，则不能使用；注意：－a n 与(－a)n不是同底数的幂，不能直接用性质．

③不要忽视指数是1的因数或因式．

【例1－1】(1)计算x3·x2的结果是______；

(2)a4·(－a3)·(－a)3＝__________.

解析：(1)题中的底数都是x，是两个同底数幂相乘的运算式子，只需运用同底数幂相乘的性质进行运算，即x3·x2＝x3＋2＝x5；(2)应先把底数分别是a，－a的幂化成同底数的幂，才能应用同底数幂的乘法性质，原式＝a4·(－a3)·(－a3)＝a4·a3·a3＝a4＋3＋3＝a10.

答案：(1)x5(2)a10

正确运用幂的运算性质解题的前提是明确性质的条件和结论．例如同底数幂的乘法，条件是底数相同，且运算是乘法运算，结论是底数不变，指数相加．

【例1－2】计算：

(1)(x＋y)2·(x＋y)3；

(2)(a－2b)2·(2b－a)3.

分析：(1)把(x＋y)看作底数，可根据同底数幂的乘法性质来解；(2)题中(a－2b)2可转化为(2b－a)2，或者把(2b－a)3转化为－(a－2b)3，就是两个同底数的幂相乘了．解：(1)原式＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5；

(2)方法一：原式＝(2b －a )2·(2b －a )3＝(2b －a )5

；

方法二：原式＝(a －2b )2·[－(a －2b )3]＝－(a －2b )5

.

本题应用了整体的数学思想，把(x ＋y )和(a －2b )看作一个整体，(2)题中的

两种解法所得的结果实质是相等的，因为互为相反数的奇次幂仍是互为相反数． 2．幂的乘方

(1)幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．如(a 5)3是指三个a 5

相乘，读作

“a 的五次幂的三次方”，即有(a 5)3＝a 5·a 5·a 5＝a 5＋5＋5＝a 5×3

；

(a m )n 表示n 个a m 相乘，读作“a 的m 次幂的n 次方”，即有(a m )n ＝m m m n a a a ⋅⋅⋅L 1442443个

＝

m m m n a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L L 1424314243142

43144444424444443

个个个

个

＝a mn

(m ，n 都是正整数) (2)幂的运算性质2

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

用字母可以表示为：(a m )n ＝a mn

(m ，n 都是正整数)．

这个性质的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算，即底数不变，指数相乘． (3)性质的推广运用

幂的乘方性质可推广为： [(a m )n ]p ＝a mnp

(m ，n ，p 均为正整数)．

(4)注意(a m )n 与am n

的区别 (a m )n 表示n 个a m 相乘，而am n 表示m n 个a 相乘，例如：(52)3＝52×3＝56,523＝58

.因此，(a m )n ≠am n .

【例2】(1)计算(x 3)2

的结果是( )．

A ．x 5

B ．x 6

C ．x 8

D ．x 9

(2)计算3(a 3)3＋2(a 4)2

·a ＝__________.

解析：(1)根据性质，底数不变，指数相乘，结果应选B ；(2)先根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算，再合并同类项得到结果．

3(a 3)3＋2(a 4)2·a ＝3a 3×3＋2a 4×2·a ＝3a 9＋2a 8·a ＝3a 9＋2a 9＝5a 9.

答案：(1)B (2)5a 9

防止“指数相乘”变为“指数相加”，同时防止“指数相乘”变为“指数乘方”．如(a 4)2＝a 4＋2＝a 6与(a 2)3＝a 23＝a 8

都是错误的．

3．积的乘方

(1)积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如(2ab )3，(ab )n

等．

(2ab )3

＝(2ab )·(2ab )·(2ab )(乘方意义)

＝(2×2×2)(a ·a ·a )(b ·b ·b )(乘法交换律、结合律) ＝23a 3b 3.

(ab )n ＝n ab ab ab ()()()L 1442443

个

＝n a a a (⋅⋅⋅)L 14243个

n b b b (⋅⋅⋅⋅)L 14243

个

＝a n b n

(n 为正整数)．

(2)幂的运算性质3

积的乘方等于各因式乘方的积．

也就是说，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的结果相乘．

用字母可以表示为：(ab )n ＝a n b n

(n 是正整数)． (3)性质的推广运用

三个或三个以上的乘方也具有这一性质，如(abc )n ＝a n b n c n

(n 是正整数)．

【例3】计算：(1)(－2x )3；(2)(－xy )2

；

(3)(xy 2)3·(－x 2y )2

；(4)⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12ab 2c 34.

分析：(1)要注意－2x 含有－2，x 两个因数；(2)－xy 含有三个因数：－1，x ，y ；(3)

把xy 2看作x 与y 2的积，把－x 2y 看作－1，x 2

，y 的积；(4)－12ab 2c 3含有四个因数－12

，a ，