冲激信号与冲激信号的卷积
卷积的物理意义与最简单解释
卷积的物理意义与最简单解释卷积是一个在信号处理、图像处理、机器学习等领域广泛应用的数学概念。
它描述了两个函数在某个特定空间（如时间、频率等）上的相互作用。
下面从多个方面解释卷积的物理意义和最简单的理解。
1. 信号处理应用：在信号处理中，卷积常被用于描述一个信号通过一个线性时不变系统后的输出。
这个输出是输入信号与系统响应函数的卷积结果。
2. 线性时不变系统：对于线性时不变系统，其输出信号是输入信号与系统冲激响应的卷积。
卷积的交换性和分配性使系统具有“叠加性”，即多个信号输入或系统多个冲激响应输出的总和可表示为单一卷积操作。
3. 滤波与平滑操作：卷积可以用于实现滤波操作，例如，卷积一个图像与一个平均滤波器可以平滑图像中的噪声。
这里，滤波器函数描述了如何将邻近像素值结合来产生一个新的像素值。
4. 积分与加权求和：从离散角度理解，卷积操作可以看作是对输入序列与权重序列进行加权求和。
这些权重通常由系统冲激响应或滤波器函数定义，并通过平移与输入序列的对应元素相乘来实现。
5. 反转与平移操作：在进行卷积操作时，通常将其中一个函数反转并沿时间或空间轴平移，这与滑动平均的概念类似，但它是一个更加一般的操作。
6. 响应叠加效应：卷积可以理解为多个响应的叠加。
例如，在图像处理中，一个像素的输出值可能是其周围像素值的加权和，这种加权和是通过卷积操作实现的。
7. 关联与相似性：卷积也被用于测量两个信号之间的关联或相似性。
例如，在卷积神经网络中，卷积操作被用于提取输入数据的局部特征，这些特征通过训练过程与特定任务关联。
8. 简化理解为“叠加”：在最简单的理解下，卷积可以被看作是一种“叠加”操作。
它描述了如何将一个函数（如输入信号或图像）通过另一个函数（如系统冲激响应或滤波器）进行转换。
这个转换是通过将后者在前者的每一个位置上进行加权并求和来实现的。
总之，卷积的物理意义非常广泛，涉及到信号处理、图像处理、机器学习等多个领域。
信号与系统实验_卷积实验
学号： 姓名：实验四 信号卷积实验一、实验目的1、理解卷积的概念及物理意义；2、 通过实验的方法加深对卷积运算的图解方法及结果的理解。
二、预备知识1、学习卷积的基本特性三、实验原理卷积积分的物理意义是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解系统对任意激励信号的零状态响应。
设系统的激励信号为)t (x ，冲激响应为)t (h ，则系统的零状态响应为)t (h *)t (x )t (y =()()x h t d τττ∞-∞=-⎰。
对于任意两个信号)t (f 1和)t (f 2，两者做卷积运算定义为12()()()f t f f t d τττ∞-∞=-⎰=)t (f 1*)t (f 2=)t (f 2*)t (f 1。
0≤<∞-t210≤≤t 12≤≤t 41≤≤t ∞<≤t2124τ（b)(a)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)2卷积结果四、实验内容1、两信号)t(x与)t(h都为矩形脉冲信号，由图解的方法给出两个信号的卷积过程和结果，以便与实验结果进行比较。
2、用matlab软件实现门信号的自卷积，并给出结果分析；方波与三角波的卷积：3、有能力的同学可以自编辑信号实现三角波的自卷积，并给出结果分析门信号自卷积：width=3; %定义门信号高度t=0:0.001:2;f1=rectpuls(t,width);%门信号f2=rectpuls(t,width);%门信号f=(conv(f1,f2))/1000;%门信号自卷积n1=(1:length(f1))/1000;n2=(1:length(f2))/1000;%%画图subplot(3,1,1);plot(n1,f1);axis([0,4.5,0,2]);title('输入方波');subplot(3,1,2);plot(n2,f2);axis([0,4.5,0,2]);title('输入方波');n=(1:length(f))/1000;subplot(3,1,3);plot(n,f);title('卷积结果');分析：①反褶;②当t<0时，被积函数为0，则f=0;③当0<t<1时，卷积的积分上限为t，积分下限为0，被积函数为1，则得f=t；④当1<t<2时，卷积的积分上限为1，积分下限为t，被积函数为1，则得f=1-t；⑤当2<t时，被积函数为0，则f=0；门信号与三角波卷积：clc,clear;width=1;t=0:0.001:2;f1=rectpuls(t,width);%门信号f2=sawtooth(10*pi*t,width)+1;%三角信号f=(conv(f1,f2))/1000;%卷积n1=(1:length(f1))/1000;n2=(1:length(f2))/1000;subplot(3,1,1);plot(n1,f1);axis([0,2,0,2]);title('输入方波');subplot(3,1,2);plot(n2,f2);axis([0,2,0,2]);title('输入三角波');n=(1:length(f))/1000;subplot(3,1,3);plot(n,f);axis([0,2,0,2]);title('卷积结果');三角波自卷积：clc,clear;width=1;t=0:0.001:2;f1=sawtooth(10*pi*t,width)+1;%产生三角信号1 f2=sawtooth(10*pi*t,width)+1;%产生三角信号2 f=(conv(f1,f2))/1000;%三角信号自卷积n1=(1:length(f1))/1000;n2=(1:length(f2))/1000;subplot(3,1,1);plot(n1,f1);axis([0,2,0,2]);title('输入三角波1');subplot(3,1,2);plot(n2,f2);axis([0,2,0,2]);title('输入三角波2');n=(1:length(f))/1000;subplot(3,1,3);plot(n,f);axis([0,2,0,2]);title('卷积结果');。
阶跃响应、冲激响应和卷积积分
清华大学电机系电路原理教学组第9章阶跃响应、冲激响应和卷积积分的应用9.1 阶跃函数和冲激函数本章重点9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应——卷积积分9.5 电容电压和电感电流的跃变9.2 阶跃响应9.3 冲激响应清华大学电机系电路原理教学组•阶跃响应和冲激响应 本章重点•阶跃函数和冲激函数•卷积积分返回目录•电容电压和电感电流的跃变清华大学电机系电路原理教学组9.1 阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数（unit step function ）1. 定义tε(t )10()t ε用可描述开关的动作。
+–u C U S ε(t )RCdef0 (0)() 1 (0)t t t ε<⎧=⎨>⎩def S S 0 (0)() (0)t U t U t ε<⎧=⎨>⎩U SS+–u C R C开关在t =0 时闭合清华大学电机系电路原理教学组2. 延迟的单位阶跃函数tε(t-t 0)t 0def0000 ()() 1 ()t t t t t t ε<⎧−=⎨>⎩3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号U SS+–u C RC开关在t =t 0时闭合清华大学电机系电路原理教学组0()()()f t t t t εε=−−t 0t-ε(t -t 0)ε(t )0f (t )1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。
例1⎩⎨⎧><<<=), 0( 0)0( 1)(00t t t t t t f 1t 0tf (t )0试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。
清华大学电机系电路原理教学组()[()(1)](1)f t t t t t εεε=−−+−11t1t1f (t )例2试用阶跃函数表示图示的波形。
解f (t ) 分成两段表示。
1t101t1+(0< t <1)()[()(1)]f t t t t εε=−−(1< t )()(1)f t t ε=−则清华大学电机系电路原理教学组二、单位冲激函数（unit pulse function ）1. 单位脉冲函数1()[()()]p t t t εεΔΔ=−−0lim ()()p t t Δδ→=令1ΔΔ→→∞面积不变Δ1/Δtp (t )0Δ减小，脉冲变窄，面积不变。
数字信号处理什么是卷积 卷积有什么用
什么是卷积卷积有什么用1.卷积的定义：在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。
简单定义：卷积是分析数学中一种重要的运算。
设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。
这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。
容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。
这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。
利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。
特别当g为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。
利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。
卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。
如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。
另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。
如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为，其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。
2.卷积在工程和数学上都有很多应用：统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
∫0
−
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§2.6 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 信号的时域分解与 • 卷积的图解法
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一、信号的时域分解与卷积积分
1．信号的时域分解 信号的时域分解
• 预备知识
f1(t)
问 f1(t) = ? p(t) 直观看出
p(t)
1 ∆
A
t
−
f1 (t) = A ∆ p(t)
−
∆ 2
δ (tห้องสมุดไป่ตู้)
h(t )
T {0}
第 2页
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程 阶微分方程表示 对于LTI系统,可以用一 阶微分方程表示 LTI系统
dn y(t) dt n bm + an−1 dn−1 y(t) d t n−1 +L+ a1 d y(t) + a0 y(t) = dt d f (t) + b0 f (t) dt
h′ (t) = C1e−t + C2e−3t δ (t) + − C1e−t − 3C2e−3t ε (t)
−t −3t 1 2 1 2
信号与系统 §2.07 卷积的性质
微分积分性质对于计算卷积很方便。 微分积分性质对于计算卷积很方便。
三.与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t ) ∗δ (t ) = ∫ f (τ )δ (t −τ ) dτ = ∫ f (t −τ ) δ (τ ) dτ = f (t )
∞ ∞
推广： 推广： f (t ) ∗δ (t − t 0) = f (t − t 0)
f (t ) ∗δ ′(t ) = f '(t )
f (t ) ∗ u(t ) =
−∞
−∞
f (t − t1) ∗δ (t − t 2) = f (t − t1 − t 2)
−∞
∫ f (λ)dλ
t
f (t ) ∗δ (k ) (t ) = f (k ) (t )
f (t ) ∗δ (k ) (t − t 0) = f (k ) (t − t 0)
f(t)的积分 的积分
微分性质积分性质联合实用
g(n−m) (t ) = f (n) (t ) ∗ h(−m) (t ) = f (−m) (t ) ∗ h(n) (t )
微分n次 微分 次， 积分m次 积分 次 m=n, 微分次数＝ 微分次数＝ 积分次数
g(t ) = f (n) (t ) ∗ h(−n) (t )
+
∑
h2 (t) +
y(t )
h1 (t )
h2 (t )
1
1 t
解：
(a)
O 1
h(t )
O 1 2 t
(b)
1
h(t ) = h1(t ) ∗[h1(t ) + h2 (t )]
如图（ ） 如图（c）所示
O 1 2 3t
X
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
信号第二章3卷积
若将此信号作用到冲激信号为h(t)的线性时不 变系统，则系统的响应为
r (t ) H [e(t )] H [ e( ) (t )d ]
e( ) H [ (t )]d
e( )h(t )d
零状态响应：rzs (t ) e( )h(t )d h(t ) e(t )
def
2.算子符号基本规则
(1)算子多项式可以进行因式分解 ( p 2)( p 3) p 2 5 p 6 例如： (2)等式两端的算子符合因式不能相消 ( p 2) r (t ) ( p 1) e(t ) ( p 2)( p 3) r (t ) ( p 2 4 p 3) e(t ) 不能简化为： (3)算子的乘除顺序不能随意颠倒
（3）结合律： f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f3 (t)
e(t)
h1(t)
h2(t)
r(t)
串联系统 r (t ) e(t ) h1 (t ) h2 (t )
2.卷积的微分与积分
d f1 (t ) f 2 (t ) df 2 (t ) （4）微分性： f1 (t ) dt dt df1 (t ) (适于高阶微分） f 2 (t ) dt
r (t ) e( )h(t )d
1 (a) t 2
e(t ) * h(t ) 0
h(t )
e( )
1
1 2
t 2
(b)
0
1 t 1 2
相乘
t
1
1 t 1 2 t 1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 t2 t 1 4 4 16 (b)
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
单位冲激信号的卷积和相乘
单位冲激信号的卷积和相乘单位冲激信号是一种非常特殊的信号，其数学表示为单位冲激函数（Dirac delta function），通常用符号δ(t)表示。
冲激信号具有短时、高幅值、面积为1的特点。
在信号处理中，卷积是一种重要的运算，它可以用来将两个信号合并或叠加起来。
给定两个连续函数f(t)和g(t)，它们的卷积定义为：(f * g)(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ，其中，* 表示卷积运算，τ是积分变量。
在使用单位冲激信号进行卷积时，通常将冲激信号看作某个函数在某个时刻的幅值，即δ(t-t0)表示在t=t0时的幅值为1的冲激信号。
因此，给定函数f(t)和冲激信号δ(t-t0)，它们的卷积定义为：(f * δ(t-t0)) = ∫f(τ)δ(t-t0-τ)dτ,简化为：(f * δ(t-t0)) = f(t0)。
这意味着函数f(t)与冲激信号的卷积等于函数f(t)在冲激信号出现的时刻的幅值。
相乘是另一种重要的信号处理运算，它可以将两个信号逐个元素相乘。
给定两个函数f(t)和g(t)，它们的相乘定义为：(f * g)(t) = f(t) * g(t)，其中，* 表示逐个元素相乘。
当其中一个信号为单位冲激信号时，即一个函数f(t)与冲激信号δ(t-t0)相乘时，得到的结果是：f(t) * δ(t-t0) = f(t)*0 = 0。
因为单位冲激信号在除了t=t0的位置上都为0，与任何函数相乘后都会得到0。
这意味着单位冲激信号与任何函数的相乘结果都为零序列。
综上所述，单位冲激信号的卷积可以简化为函数在冲激信号出现的时刻的幅值，而单位冲激信号与任何函数的相乘结果都为零序列。
这些性质在信号处理中具有重要的应用。
信号分析与处理公式 笔记
信号分析是认识世界的方法，信号处理是改造世界的手段用阶跃函数闭式表示分段光滑信号x (t ) = 2ε(t )- 3ε(t -1) +ε(t -2)冲激函数的性质1） 与普通函数 x(t) 的乘积——筛分性质若x (t )在 t = 0 、 t = t0处存在，则 x (t )δ(t ) = x (0)δ(t ) ， x (t )δ(t –t 0) = x (a) (t –t 0) 2） 与普通函数 x(t) 的乘积再积分——抽样性质3）冲激函数与阶跃函数关系： 可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。
如 x (t ) = 2ε(t +1)-2ε(t -1) x′(t ) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)注意：图中K 为强度，要括住！冲激函数的导数δ’(t ) （也称冲激偶信号） 1） 与普通函数 x(t) 的乘积——筛分性质2） 抽样性质 例如：★周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示周期信号的傅里叶级数 1、傅里叶级数的三角形式)(d )()(00t x t t t t x =-⎰∞∞-δ⎰∞-=tt ττδεd )()(dt t d t )()(δδ='()()(0)()(0)()x t t x t x t δδδ'''=-00()()d ()x t t t t x t δ∞-∞''-=-⎰)42(4)(2-=t t t xδ24(2(2))t t δ=-24(2)8(2)2t t t δδ=-=-1sin()()2j t j tt e e j ωωω-=-1cos()()2j t j t t e e ωωω-=+))sin()cos(()(1110t k b t k a a t x k k k ωω++=∑∞=∑∞=++=110)cos()(k k k t k C C t x ϕω⎰∞∞--=ττδτd )()()(t x t x2、傅里叶级数的指数形式两种傅氏级数的系数间的关系:非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的频谱1.单边指数信号 x (t) = e –αt ε(t)， α >0实数2. 矩形脉冲信号 （门函数）3. 符号函数4. 单位冲激信号5. 单位阶跃信号 ⎰-=221111d )cos()(2T T k t t k t x T a ω∑∞-∞==k tjk k X t x 1e )(ω000a c X ==)(21k k j k k jb a e X X k -==ϕ)(21k k j k k jb a e X X k+==---ϕ()()()()()()1F 1F 2j tj tX x t x t e dt x t X X e d ωωωωωωπ∞--∞∞--∞⎧==⎡⎤⎣⎦⎪⎨⎪==⎡⎤⎣⎦⎩⎰⎰⎰∞∞--∞→==t t x T X X tj k T d e )(lim )(11ωω()()()j X X e ϕωωω=⎰∞∞-=dt t x X )()0(⎰∞∞-=ωωπd )(21)0(X x ωαωαωωαωαj j t X t j t j t +=+-==∞+-∞--⎰1e 1d e e )(0)(0()()22222sin Sa 22j t j t j t E X x t e dt E e dt e j E E ττωωωττωωωτωττω∞----∞--===-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()1,0sgn 1,0t x t t t >⎧==⎨-<⎩ωωαωωααj j X t 22lim )(lim )sgn(22010=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=←→→→0()()1j t j X t e dt e ωωωδ+∞---∞===⎰)(2)(2d e 1ωπδωπδω=-=←→⎰∞∞--t tj 111傅里叶变换的性质1. 线性(Linear Property)2. 对偶性(Symmetrical Property) 若 x (t ) ←→X (ω) 则3. 尺度变换性质(Scaling Transform Property) 若 x (t ) ←→X (ω) 则 其中 “a ” 为不等于零的实常数。
冲激响应和卷积分析
冲激响应和卷积分析(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--实验2离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析一、实验目的1 加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。
二、实验原理离散系统其输入、输出关系可用以下差分方程描述：∑=∑=-=-M k k N k k k n x p k n y d 00][][输入信号分解为冲激信号：∑-=∞-∞=m m n m x n x ][][][δ记系统单位冲激响应 ： ][][n h n →δ则系统响应为如下的卷积计算式： ∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y ][][][][][ 当N k d k ,...2,1,0==时，h[n]是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。
在MATLAB 中，可以用函数y=Filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函数y=Conv(x,h)计算卷积。
二、实验内容编制程序求解下列两个系统的单位冲激响应和阶跃响应，并绘出其图形。
(1): y [n ]+[n -1]+[n -2]=x [n ]-x [n -1](2)： y [n ]={x [n -1]+x [n -2]+x [n -3]+x [n -4]+x [n -5]}程序（1）：A=[1,,];B=[1,-1];x1=[1,zeros(1,10)];x2=ones(1,20);y1=filter(B,A,x1);subplot(2,2,1);stem(y1);title('y1单位冲击响应')y2=filter(B,A,x2);subplot(2,2,2);stem(y2);title('y2阶跃响应');y3=conv(x1,y1);subplot(2,2,3);stem(y3);title('y3卷积');y4=conv(x2,y1);subplot(2,2,4);stem(y4);title('y4卷积')程序（1）图程序（2）：A=[1];B=[0,,,,];x1=[1,zeros(1,10)];x2=ones(1,20);y1=filter(B,A,x1);subplot(2,2,1);stem(y1);title('y1单位冲击响应')y2=filter(B,A,x2);subplot(2,2,2);stem(y2);title('y2阶跃响应');y3=conv(x1,y1);subplot(2,2,3);stem(y3);title('y3卷积');y4=conv(x2,y1);subplot(2,2,4);stem(y4);title('y4卷积')程序（2）图三、理论计算：经计算：系统(1)： y[n]+[n-1]+[n-2]=x[n]-x[n-1]理论冲激响应为：因为y[n]为因果函数，由递归计算所得：X[n]= δ(n)当n<0时，h(n)=0h(0)=1, h(1)=-7/4, h(2)=19/16, h(3)=-43/64 ..... ......h(z)=*.^n*u(n)- .^n*u(n)理论阶跃响应为：因为y[n]为因果函数，由递归计算所得：X[n]=u(n)当n<0时，g(n)=0g(0)=1, g(1)=-3/4, g(2)=7/16, g(3)=-9/64.............g(z)=*.^n-.^n系统(2)： y[n]={x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]+x[n-4]+x[n-5]}同理，由递归方法可得：理论冲激响应为：h(z)=*[δ（n-1）+ δ（n-2）+ δ（n-3）+ δ（n-4]理论阶跃响应为： g(z)=*[u（n-1）+ u（n-2）+ u（n-3）+ u（n-4)]将n值分别代入理论式h(z)和g(z)，将结果与程序结果图比较可知理论与程序结果一致。
信号卷积实验报告
信号与系统实验报告学院：电子信息与电气工程学院班级: 13级电信<1>班学号: 20131060104姓名:李重阳实验三 信号卷积实验一、实验目的1、理解卷积的概念及物理意义；2、通过实验的方法加深对卷积运算的图解方法及结果的理解。
二、实验原理说明卷积积分的物理意义是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解系统对任意激励信号的零状态响应。
设系统的激励信号为x （t ），冲激响应为h （t ），则系统的零状态响应为()()()*y t x t h t ==()()x t h t d ττ∞-∞-⎰。
1、两个矩形脉冲信号的卷积过程两信号x （t ）与h （t ）都为矩形脉冲信号，如图3-1所示。
下面由图解的方法（图3-1）给出两个信号的卷积过程和结果，以便与实验结果进行比较。
图3-1 两矩形脉冲的卷积积分的运算过程与结果2、矩形脉冲信号与锯齿波信号的卷积信号f1（t ）为矩形脉冲信号， f2（t ）为锯齿波信号，如图3-2所示。
根据卷积积分的运算方法得到f1（t ）和f2（t ）的卷积积分结果f （t ），如图3-2（c ）所示。
图3-2 矩形脉冲信号与锯齿脉冲信号的卷积积分的结果3、本实验进行的卷积运算的实现方法在本实验装置中采用了DSP数字信号处理芯片，因此在处理模拟信号的卷积积分运算时，是先通过A/D转换器把模拟信号转换为数字信号，利用所编写的相应程序控制DSP芯片实现数字信号的卷积运算，再把运算结果通过D/A转换为模拟信号输出。
结果与模拟信号的直接运算结果是一致的。
数字信号处理系统逐步和完全取代模拟信号处理系统是科学技术发展的必然趋势。
图3-3为信号卷积的流程图。
图3-3 信号卷积的流程图三、实验内容1、检测矩形脉冲信号的自卷积结果。
用双踪示波器同时观察输入信号和卷积后的输出信号，把输入信号的幅度峰峰值调节为4V，再调节输入信号的频率或占空比使输入信号的时间宽度满足表中的要求，观察输出信号有何变化，判断卷积的结果是否正确，并记录表3-1。
与冲激函数或阶跃函数的卷积
二、卷积和的图解说明
f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k )
卷积和的图解步骤：
k
(1)变量置换： f1(k)--> f1(k), f2(k)--> f2(k) (2)反褶：将f2(k)以纵轴为对称轴反褶，得f2(n－k) (3)平移：将f2(－k)沿k轴自左向右平移n，得f2(n－k)，
h(n)
（1）零状态响应响应 （2）具有零输入响应的
形式
（3）反映系统本身特性 因果性 稳定性
（4）根据框图求h(t),h(n)
3 卷积定义 ( Convolution)
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
系统的零状态响应＝激励与系统冲激响应的卷积
3.1 卷积的性质 与图解 3.2 与冲激函数的卷积及其推广
n k
0 k n, h(n k) 0
0 k
n
r(n) e(k)u(k)h(n k)u(n k) k
n
e(k)h(n k) k 0
(2)任意两个序列的卷积和
f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k ) k
Convl89.m
r(n) e(n)*h(n)
e(k)h(n k) k
表明：LTI系统对任意激励信号e(n)的零状态响 应r(n)等于e(n)与单位样值响应的卷积和。
（1）对因果序列 r(n) e(n)* h(n) e(k)h(n k) k
卷积积分法求零状态响应
卷积积分法求零状态响应
卷积积分法是一种求解线性时不变系统零状态响应的方法。
零状态响应是指系统在没有初始状态（即零初始条件）下，仅由输入信号引起的响应。
以下是使用卷积积分法求解零状态响应的步骤：
确定系统的单位冲激响应h(t)。
单位冲激响应是系统对单位冲激信号（在时间t=0处为1，其他时间为0）的响应。
确定输入信号f(t)。
输入信号是系统接收到的外部信号，可以是任意信号。
计算卷积积分。
卷积积分是输入信号f(t)与系统单位冲激响应h(t)的卷积，表示为∫f(τ)h(t-τ)dτ。
这个积分表示了在时间t之前所有时刻τ的输入信号对系统响应的贡献之和。
将积分结果作为零状态响应。
计算出的卷积积分就是在没有初始条件下，由输入信号f(t)引起的系统响应，即零状态响应。
需要注意的是，卷积积分法只适用于线性时不变系统，并且需要知道系统的单位冲激响应。
此外，卷积积分法的计算过程可能比较复杂，需要使用数值计算或符号计算工具来辅助计算。
另外，也可以通过频域方法来求解零状态响应，将时域信号和系统转换为频域表示，然后进行乘积运算，最后再将结果转换回时域。
这种方法在某些情况下可能更为简便。
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冲激信号与冲激信号的卷积
冲激信号是一种理论上的理想信号，表示在极短时间内进行了突
变或者震荡，具有瞬时的高能量。
卷积是一种基础的数学运算，它将
两个函数进行叠加。
冲激信号与冲激信号的卷积是一种常见的信号处
理方法，它在实际应用中具有广泛的适用性。
在信号处理中，冲激信号的可逆性和线性性质被广泛利用。
一般
来说，冲激信号可以表示为一个极短的单位脉冲信号，其形式可以表
示为delta(t)，其中t是时间。
由于冲激信号的瞬时性质，它可以被
用于判断系统是否稳定、线性及其相应性能等。
因此，冲激信号可以
用于分析和描述很多复杂系统的特性。
冲激信号的卷积是一种将两个信号进行混合的方法。
卷积的数学
定义为两个函数乘积在时间上的积分，即(fg)(t) = ∫f(t-x)g(x)dx。
在冲激信号与冲激信号的卷积中，一个信号(例如输入信号f(t))与一
个冲激响应函数(例如系统的冲激响应g(t))进行卷积，得到输出信号
h(t)。
这个过程等价于在系统中发送f(t)信号，然后测量系统对该信
号响应的g(t)。
冲激信号与冲激信号的卷积在信号处理中有许多应用。
例如，它
可以被用于图像处理中的模糊滤波，通过将图像与一个卷积核进行卷积，可以模糊图像并且降低其高频分量。
此外，卷积还可以用于信号
的恢复和压缩。
在音频压缩中，通过将音频信号与一个特定的卷积核
进行卷积，可以降低信号的数据量并提高信号传输效率。
在信号恢复中，可以利用卷积来恢复由于信号传输过程中造成的失真。
总之，冲激信号与冲激信号的卷积是一种有用的信号处理方法，
它在许多领域都有广泛的应用。
通过利用冲激信号的可逆性和线性性质，卷积可以有效地分析和描述复杂系统的动态响应。
在实际应用中，它可以被用于图像处理、音频压缩、信号恢复等方面，为我们提供了
诸多重要的工具和技术。