专题：四点共圆在中考数学及自主招生中的应用

专题：四点共圆在中考数学及自主招生中的应用
四点共圆的判定方法：
方法一：若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆；
方法二：若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆；
方法三：若一个四边形的外角等于它相邻的内对角，则这个四边形的四个点共圆；
方法四：若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆
方法五：同斜边的直角三角形的顶点共圆
C A
D B C A D
经典例题
题型1、先证四点共圆后，然后求线段最值问题（关键是找到动点的轨迹）
例1、如图1，OA=OB=4，∠OCA=135°
（1）求证：AC⊥BC；
（2）如图2，点P与点B关于x轴对称，试求PC的最小值。

题型2、先证四点共圆后，然后求角度、三角函数值、或线段的比值（若从一个点出发的三条线段之间的比值问题，特别注意三弦定理）
例2、如图，抛物线y=ax2-4ax+b与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物
线的顶点为M，直线y=x-3经过M，B两点，交y轴于点D
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P为x轴上一动点，过P作PC的垂线交直线BD于Q，连接CQ，求∠PQC
的度数
例3、（2013年哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC
交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为
例4、（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，
EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．
（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
例5、如图1，直线y=−21x+2交x 轴、y 轴于A 、B 两点，C 为直线AB 上第二象限内一点，且S △AOC =8，双曲线 y=x
k （x ＜0）经过点C （1）求k 的值； （2） 如图2，Q 为双曲线上另一点，连接OQ ，过C 作CM ⊥OQ 于M ，CN ⊥y 轴于N ，连接MN 。

当Q 点运动时，
MN MO
MC +的值是否为定值？若为定值，证明并求出定值；若不是定值，请说明理由．
题型3、先证四点共圆后，然后求线段的长度、线段的和差、共点三弦之间的数量关系（三弦定理隆重登场） （充分利用几何图形的特点，作辅助线，构造四点共圆）
特别注意：在求线段的和差时，若找不到从一点发出的三条弦，或没有特殊角，都不可能运用三弦定理，这时通常用全等来做，看有没有角平分线。

例6、如图，等边三角形ABC 中，D 为BC 中点，∠AEC=150°，∠BED=30°，AB=3
212，则DE=
连接AD ，易得∠BAD=∠BED=30°，故A 、B 、D 、E 四点共圆，所以∠AEB=∠ADB=90°，接下来易得∠DEC=90° 所以△DEC ∽△AEB ，故AB DC AE DE ==2
1 在△AED 中，AD=7，∠AED=120°，过点D 作DF ⊥AE ，充分利用特殊角
设DE=x ，则AE=2x ，DF=23x ，EF=2
x ， 在Rt △ADF 中，由勾股定理得，x=1，故DE=1
例7、如图1，已知直线y=33x+3交坐标轴于A 、B 两点，点M 为x 轴正半轴上一点，以点M 为圆心的⊙M 与直线AB 相切于点B ，交x 轴于C 、D 两点，与y 轴交于另一点E
（1）求圆心M 的坐标；
（2）如图2，连接BM 并延长交⊙M 于F ，点N 为弧CF 上任意一点，连接DN 交BF 于Q ，连接FN 并延长交x 轴于点P ，则CP 与MQ 有何数量关系？证明你的结论。

（3）如图3，点N 为弧CF 上一动点，NH ⊥x 轴于H ，NG ⊥BF 于G ，连接GH ，下列两个猜想：① NG+NH 为定值；② GH 的长度不变。

其中只有一个是正确的，请选择正确的猜想加以证明，并求出其值。

例8、如图1，在平面直角坐标系中，点M 在y 轴上，⊙M 交坐标轴于A 、B 、C 、D 四点，A （-1，0），且OM=OD
（1）求点M 的坐标；
（2）直线y=kx+b 切⊙M 于B 点，交y 轴于点F ，求该直线BF 的解析式；
（3）如图2，P 为线段AB 上一点，作∠CPE=60°，边PE 交直线BF 于点E ，求PB+EB 的值
例9、如图，P（-3，3），过P作PM交x轴于M，作PM⊥PN交y轴于N
（1）若点M在x轴正半轴上时，求ON-OM的值；
（2）若点M在x轴负半轴上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请求出ON与OM之间新的数量关系。

例10、如图1，直线y=x+1交y轴于点A，交x轴于点C，B是x轴正半轴上一点，连接AB，B点的坐标
为（2-1，0）
（1）求证：AC=BC；
（2）点P是线段AB延长线上的一点，试求CP2-AP×BP的值；
（3）如图2，连接CP交y轴于点D，作AH⊥CP交x轴于点E，垂足为H，连接HO，求出EH、OH、DH三线段之间的数量关系并给予证明；
巩固练习
1、在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A 且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作
Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无
需写证明过程）
（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明
理由；
（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明
2、（2009年武汉）如图1，在中，，于点，点是边上一点，连
接交于，交边于点．
（1）求证：；
（2）当为边中点，时，如图2，求的值；
（3）当为边中点，时，请直接写出的值．
3、如图，正方形ABCD的对称中心为O，面积为1989，P为正方形内的一点，且∠OPB＝45°，
PA：PB＝5：14，求PB的长．
Rt ABC
△90
BAC
∠=°AD BC
⊥D O AC BO AD F OE OB
⊥BC E
ABF COE
△∽△
O AC2
AC
AB
=
OF
OE
O AC
AC
n
AB
=
OF
OE
B
B
A A
C
O
E
D
D
E
C
O
F
图1 图2
F
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，CD∥AB。

点E为射线CD上一动点（不与点C重合），连接AE，交边BC于点F，∠BAE的的平分线交BC于点G。

（1）当CE=3时，求S△CEF：S△CAF的值
（2）设CE=x，AE=y，当CG=2BG时，求y与x之间的函数关系式；
（3）当AC=5时，连接EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长
5、（2014年福州中考）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60︒，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.
（1）当t=1
2
秒时，则OP=，S△ABP=；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.
6、如图，点O为正方形ABCD对角线的交点，点E、F分别在DA和CD的延长线上，且AE=DF，连接BE、AF，延长FA交BE于G
（1）求证：FG⊥BE；
（2）连接OG，求∠OGF的度数；
（3）若AE=5，AB=25，求OG的长
7、如图1，在平面直角坐标系中，E 的坐标为（4，0），⊙E 的半径为8，⊙E 交x 轴于A 、B ，交y 轴于C 、D
（1）过C 作⊙E 的切线，交x 轴于F ，求F 点的坐标；
（2）如图2，半径EP 交OC 于G （0，3），连接PO 并延长交⊙E 于Q 点，连接BQ ，求BQ 的长；
（3）如图3，M 为线段OE 上一点，MN ⊥AB 交⊙E 于N ，作⊙E 的直径NK ，P 是劣弧BK 上任意一动，PH ⊥NK 于H ，PS ⊥x 轴于S ，连接SH 。

当M 在OE 上任意运动，P 在劣弧BK 上任意运动，SH MN 的值是否发生变化？若不变，请予以证明并求出其值；若发生变化，求出其变化的范围。

8、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3交坐标轴于A 、B 两点，C 为x 轴上A 点右边的点，以BC 为边作等边三角形BCD ，连接DA 交y 轴于E
（1）求A 点的坐标；
（2）求直线DE 的解析式
（3）若C 点坐标为（2，0），求AD 的长。

9、如图所示，在直角坐标系中，A （-1，0），B （3，0），以AB 为边作等边△ABP ，AP 交y 轴正半轴于G ，点M 为x 轴负半轴上一动点，∠MGN=120°，GN 交PB 的延长线于N ，当M 点运动时，求BM-BN 的值
10、（2017年十堰）已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D 为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．
（1）如图1，若点B在OP上，则
①AC OE（填“＜”，“=”或“＞”）；
②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是；
（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；
（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式．
（2018荆门）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为
（2018达州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为．。