专题：四点共圆在中考数学及自主招生中的应用
四点共圆在中考压轴题中的应用——以广东省近五年的中考题为例
四点共圆在中考压轴题中的应用—–以广东省近五年的中考题为例广东省珠海市文园中学(519000)伍磊摘要四点共圆在初中几何中应用比较广泛,尤其是在近五年的广东省中考题应用更多,新课程背景下的初中数学要求学生形成发散思维,四点共圆为几何题的证明提供了新的方法,对于培养学生的思维水平有着非常重要的作用.关键词四点共圆;压轴题;圆周角;符号语言四点共圆在中考的直接考察意图不明显,但通过四点共圆将各类问题转化为圆的常见问题,再用圆的基本性质将问题解决,达到事半功倍的效果,有助于学生形成新的数学模型.本文通过反证法证明四点共圆的两个判定定理,并将它们应用在近五年广东中考题中,再将常规方法和四点共圆的方法进行对比,总结出四点共圆的优点,培养学生的综合解题能力和严谨的学习态度.1四点共圆的两个判定方法定理1四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.将定理1转化为符号语言和图形语言.如题图1,在四边形ABCD 中,∠B +∠ADC =180◦.求证:点A,B,C,D 四点共圆.证明:(反证法)因为不在同一直线的三个点确定一个圆,所以设过点A,B,C 三点的圆为⊙O ,假设D 不在⊙O 上,所以D 就在⊙O 外部或内部.∴与x 轴正半轴交点的坐标为(2−n,0)则此抛物线解析式为y =a (x −n )(x −2+n ),即y =ax 2−2ax −an (n −2),∴a =a,b =−2a,c =−an (n −2)1⃝ab =a (−2a )=−2a 2<0,故1⃝正确;2⃝b 2−4ac =(−2a )2−4a (−an )(n −2)=4a 2(n −1)2 0,故2⃝正确;3⃝第一种方法:a +b +2c =a −2a −2an (n −2)=−a (2n 2−4n +1)=−2a (n −2+√22)(n −2−√22)∵−1<n <0,∴n −2+√22<0,n −2−√22<0,∴(n −2+√22)(n −2−√22)>0,又∵a >0,∴−2a (n −2+√22)(n −2−√22)<0,∴a +b +2c <0,故3⃝正确;第二种方法:2n 2−4n +1=2(n −1)2−1,∵−1<n <0,∴1<(n −1)2<4,∴1<2(n −1)2−1<7,即当−1<n <0时,2n 2−4n +1>0,∴−a (2n 2−4n +1)<0,故3⃝正确;4⃝3a +c =3a −an (n −2)=−a (n −3)(n +1),∵a >0,−1<n <0,∴n −3<0,n +1>0,∴3a +c >0,故4⃝错误.初中阶段的函数概念是动态的,重点在于运动变化的过程中变量之间的关系,在遇到实际问题时,需要学生主动发现运动变化中的变量关系,在关系发现的过程中潜移默化的渗透数学抽象,模型思想,即便这几题均没有实际问题的背景,但在教学过程中也要把问题回归到函数概念生成的原点,关注二次函数概念的本质.上面解题使用的方法,抛离了总结的所谓“套路”,虽然看似解法变复杂了,但实则回归了二次函数概念的本质,把此类问题划归为对二次函数解析式的确定,明确二次函数解析式中的待定系数,用更严谨的思维和更规范的表达,体会解决二次函数问题的一般方法.题图1图1(1)当点D 在⊙O 外部,如图1,设CD 与⊙O 交于点E ,连接AE ,∴四边形ABCE 是⊙O 的内接四边形,∴∠B +∠AEC =180◦,∵∠B +∠D =180◦,∴∠D =∠AEC ,∵三角形的外角大于任意一个和他不相邻的内角,∴∠AEC >∠D ,与∠D =∠AEC 矛盾,假设不成立,∴点D 在⊙O 上.(2)当点D 在⊙O 内部,如图2,延长CD 交⊙O 于点F ,连接AF ,∴四边形ABCF 是⊙O 的内接四边形,∴∠B +∠AF C =180◦,∵∠B +∠ADC =180◦,∴∠ADC =∠AF C ,∵三角形的外角大于任意一个和他不相邻的内角,∴∠ADC >∠AF C ,这与∠ADC =∠AF C 矛盾,假设不成立,∴点D 在⊙O 上.综合(1)和(2)得点A,B,C,D 共圆.图2题图2定理2若两个点在一条线段所在直线的的两旁,并且和这条线段的两个端点连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线段的两个端点共圆.将定理2转化为符号语言和图形语言.如题图2,点A 和点D 在直线BC 的两旁,连接AB 、AC 、DB 、DC 和AD ,∠BAC =∠BDC (从图形上看也可以看成是在四边形ABCD 中,AC 和BD 是对角线,∠BAC =∠BDC ).求证:点A,B,C,D 四点共圆.证明:(反证法)因为不在同一直线上的三个点确定一个圆,设过点A,B,C 的圆为⊙O ,假设D 不在⊙O 上,所以D就在⊙O 外部或内部.图3图4(1)当点D 在⊙O 外部,如图3,设BD 与⊙O 交于点E ,连接CE ,在同圆中,同弧所对的圆周角相等,∴∠BAC =∠BEC ,∵∠BAC =∠BDC ,∴∠BEC =∠BDC ,∵三角形的外角大于任意一个和他不相邻的内角,∴∠BEC >∠BDC ,这与∠BEC =∠BDC 矛盾,假设不成立,∴点D 在⊙O 上.(2)当点D 在⊙O 内部,如图4,延长BD 交⊙O 于点F ,连接CF ,∵在同圆中,同弧所对的圆周角相等,∴∠BAC =∠BF C ,∵∠BAC =∠BDC ,∴∠BF C =∠BDC ,∵三角形的外角大于任意一个和他不相邻的内角,∴∠BDC >∠BF C ,这与∠BF C =∠BDC 矛盾,假设不成立,∴点D 在⊙O 上.综合(1)和(2)得点A,B,C,D 四点共圆.2四点共圆在近五年广东中考压轴题中的应用以上两个定理在各省市的中考题中应用广泛,接下来我将以广东省近五年的中考压轴题为例.2015年广东省中考题第24题⊙O 是∆ABC 的外接圆,AB 是直径,过弧BC 的中点P 作⊙O 的直径P G 交弦BC 于点D ,连接AG,CP,P B .(1)如题图3,若D 是线段OP 的中点,求∠BAC 的度数;(2)如题图4,在DG 上取一点K ,使DK =DP ,连接CK ,求证:四边形AGKC 是平行四边形;(3)如题图5,取CP 的中点E ,连接ED 并延长ED 交AB 于点H ,连接P H ,求证:P H ⊥AB.题图3题图4题图5图5此题在第(3)中应用定理1证明(3)∵P 是弧BC 的中点且P G 是直径,∴∠P DB =90◦,BD =CD .∵E 为P C 的中点,∴ED 是∆P BC 的中位线,∴DH //P B ,∴∠ODH =∠OP B ,∠ODH =∠OBP ,∵OP =OB ,∴∠OP B =∠OBP ,∴∠ODH =∠OBP ,∴∠HDP +∠P BO =∠HDP +∠ODH =180◦,∴点P 、D 、H 、B 四点共圆,如图5.∴∠P HB =∠P DB =90◦,∴P H ⊥AB .此问也可以证明∆OBD =∆OP H 得∠P HO =∠BDO =90◦,进而得到P H ⊥AB ,但是这种方法相比四点共圆稍显复杂,学生需要从复杂的图形先找到全等三角形,综合性很强.题图62018广东省中考题第24题如题图6,四边形ABCD 中,AB =AD ,以AB 为直径的⊙O 经过点C ,连接AC 和OD 交于点E .(1)证明:OD //BC ;(2)若tan ∠ABC =2,证明:DA 与⊙O 相切;(3)在(2)条件下,连接BD 交于⊙O 于点F ,连接EF ,若BC =1,求EF 的长.图6此题在第(3)中应用定理2.证明(3)连接AF 和CF ,∵AB 为直径,∴∠ACB =∠AF B =90◦,∴∠AF D =180◦−90◦=90◦,∴AF ⊥BD ,由(1)得OD //BC ,∴∠ACB =∠CED =90◦,∴∠AED =180◦−∠CED =180◦−90◦=90◦,∴∠AF D =∠AED =90◦,∴点A 、E 、F 、D 四点共圆,如图6,∴∠F ED =∠F AD ,∵由(2)得∠BAD =90◦且AB =AD ,∴∆ABD 为等腰直角三角形,∴∠ABF =45◦,∵∆ABD 为等腰直角三角形且AF ⊥BD ,∠F AD =∠BAD ÷2=90◦÷2=45◦,∴∠F ED =∠F AD =45◦,∴∠CEF =90◦−45◦=45◦,∵∠ABF 与∠ACF 是弧AF 所对的圆周角,∴∠ABF =∠ACF =45◦,∴∠CF E =90◦,∴∆CEF 为等腰直角三角形,由(2)可知CE =BC =1,∴EF =CE √2=1√2=√22.此问也可以通过相似三角形的判定得∆EF D∆BOD ,再通过相似三角形的对应边成比例得出EF 的长,但是这种方法的计算量相对较大.图72017广东省中考题第25题如图7,在平面直角坐标系中,O 为原点,四边形ABCO 是矩形,点A ,C 的坐标分别是A (0,2)和C (2√3,0),点D 是对角线AC 上一动点(不与A ,C 重合),连结BD ,作DE ⊥BD ,交x 轴于点E ,以线段DE ,BD 为邻边作矩形BDEF .(1)填空:点B 的坐标为;(2)是否存在这样的点D ,使得∆DEC 是等腰三角形?若存在,请求出AD 的长度;若不存在,请说明理由;(3)1⃝求证:DE BD =√33;2⃝设AD =x ,矩形BDEF 的面积为y ,求y 关于x 的函数关系式(可利用1⃝的结论),并求出y 的最小值.此题在第(3)中的第1⃝问分别应用定理1和定理2.图7-1证明(3)1⃝第一种情况,当点E 在点C 的左侧,连接BE ,∵四边形ABCO 和四边形BDEF 是矩形,∴∠BDE =∠BCE =90◦,∴∠BDE +∠BCE =180◦,∴点B 、D 、E 、C 共圆,如图7-1,∵∠DBE 与∠ACO 是弧DE 所对的圆周角,∴∠DBE =∠ACO ,∵tan ∠ACO =AO CO =22√3=√33,∴∠DBE =∠ACO =30◦,∴在Rt ∆DBE 中,DE BD =tan 30◦=√33.第二种情况,当点E 在点C 的左侧,连接BE ,∵∠ACB =90◦−30◦=60◦,∠BDE =90◦,在Rt ∆DBC 中,∠CBD =180◦−∠BDC −∠ACB=180◦−(90◦+∠CDE )−60◦=30◦−∠CDE图8∵∠DEC =30−∠CDE ,∴∠DEC =∠CBD ,∴点B 、D 、E 、C 四点共圆,如图8,∴∠DBE +∠DCE =180◦,∴∠DBE =180◦−∠DCE =180◦−(180◦−30◦)=30◦,∴在Rt ∆DBE 中,DEBD =tan 30◦=√33.综合以上两种情况,DE BD =√33.此问也可以过D 作DH ⊥AB 于点H ,并延长HD 交OE 于G (即利用直角构造相似三角形),可得∆DHB∆DEG ,进而得出DE BD =DG BH =DG CG =tan 30◦=√33,但是利用直角构造相似三角形的是中考的难点,学生不容易想到.波利亚曾经说过:解题是一种实际性的技能,就好像游泳一样,必须模仿和观察别人在解题时的方法,就能独具慧眼.用敏锐的视角发现四点共圆,从而让你感觉到原来圆如此的简单.参考文献[1]张素慧.例谈初中数学四点共圆策略[J],数理化学习(初中版),2016,5,30-31.。
专题1.5 最值问题-隐圆模型之四点共圆
∠BAD=∠EAC=α,连接CD,BE相交于点P.
(1)求∠BPD的度数(用含α的代数式表示)；
(2)连接AP,求证：∠APD=∠ABD.
A D
OP
E
B
C
模型解读---手拉手(双子型)中的四点共圆
D 条件：△OCD∽△OAB
O
结论：①△OAC∽△OBD
E C ②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；
3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。
E
D
A
C
A
B
O
B O
F
典型例题---直径是圆中最长的弦
【例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作
OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为? A
【简答】∵∠EOF=∠C=90º,∴C,O均在以
EF为直径的圆上∵EF是圆的直径,O、C均
F M
D
C
E
O
A
B
当堂训练---对角互补型四点共圆
1.如图,在四边形ABCD中,∠B=60º,∠D=120º,BC=CD=a,
则AB-AD=( C )
A. a
B.
3 a
C.a
D. 3a
2
2
D
a
120º
C
a
A
60º 60º
Ea
B
当堂训练---对角互补型四点共圆
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接EF.
典型例题---对角互补型四点共圆
【例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接 BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.
专题二----四点共圆的应用
专题二----四点共圆的应用【知识点】1、如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”；2、性质：①共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； ②圆内接四边形的对角互补；③圆内接四边形的一个外角等于它的内对角；3、判定：①若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径； ②共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆； ③对于凸四边形ABCD ，若对角互补，则A 、B 、C 、D 四点共圆； ④相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD ，其对角线AC 、BD 交于P ，若PA ·PC=PB ·PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； ⑤割线定理的逆定理：对于凸四边形ABCD ，两边AB 、DC 的延长线相交于点P ，若PB ·PA=PC ·PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； 4、四点共圆的妙用：巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长、最值等问题。
【例1】如图，点C 为线段AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），分别以AC 、BC 为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD 和△BCE ，CA=CD ，CB=CE ，且∠ACD=∠BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于点N ，AE 与BD 交于点P ，连接CP 。
求证：∠APC=∠BPC【变式1】如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一动点，连接AE 交对角线BD 于点F ，过点F 作FG ⊥AE 交 BC 于点G ，求证：△AFG 为等腰直角三角形。
ADCBDPABCDE FG【例2】如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的点，∠AEP=90°，且EP 交正方形外角的平分线CD 于 点P ， 交边CD 于点F ；求证：AE=EP【变式2】如图，在Rt △ABC 和在Rt △DBC 中，∠BAC=∠BDC=90°，点O 、M 分别为BC 、AD 的中点， 求证：OM ⊥AD【例3】如图，△ABC 和△EFG 均为边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转时，线段EM 长的最大值是 ；【变式3】如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交射线AB 、BC 于 E 、F ，则EF 的最小值为【例4】如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且DE=2CE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为点F,连接OF ，则OF 的长为A BE CPDABCDOMAB CDF GM EAB CDOEF【变式4】如图，正方形ABCD 的中心为O 点，面积为25；点P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=3:4，则PB=【检测练习】1、如图，正方形OABC 的边长为2，以O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点A ，连接AE ，CF 相交于点P ，将正方形OABC 从OA 与OF 重合的位置开始，绕着点O 逆时针旋转90°，交点P 运动的路径长是 ．2、如图，在△ABC 中，∠ACB=65°，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，则∠AED= ，∠CED= 。
“四点共圆”在解题中的妙用
“四点共圆”在解题中的妙用众所周知，在同一个圆中，相等（相同）的弧（弦）所对的圆周角相等；相等（相同）的弧（弦）所对的圆心角相等；四个顶点在同一个圆的四边形（圆内接四边形）对角互补，任一内角的外角等于其内角的对角，。
巧妙运用这一知识点可轻松解决一些角度的等量代换及比例问题。
通常我们判定平面上的四个点是否在同一个圆上所用的模型有以下几种：（1）两个直角三角形的斜边为同一个；（2）同一个线段所对的角相等（图中的角度为随意给出，表示两个角相等）；（3）四边形对角互补（图中的角度为随意给出，表示对角互补）。
【例1】在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，连接ED。
求证：△ABC∽△ADE。
【解析】∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴B、C、D、E四点共圆，∴∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC，故△ABC∽△ADE。
【例2】如图，已知△PAB中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，PD=3，PB=4，求AD·DC 的值。
【解析】因为∠APB=2∠ACB，故作∠APB的角平分线可获得与∠ACB相等的角，从而利用四点共圆和角平分线定理可解此题。
如图，作∠APB的角平分线PM，交AD于点M，则∠MPD=∠ACB，故B、C、P、M四点共圆。
∴MD·DC=PD·DB=3·（4-3）=3；∵PM平分∠APD，根据角平分线定理：AP∶PD=AM∶MD=4∶3，“四点共圆”在解题中的妙用（二）【例3】如图，已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，点P、Q分别为CA、AB延长线上的点，且AP=BQ。
求证：O、A、P、Q四点共圆。
【解析】如图，连接OA、OB、OP、OQ。
（只要证明∠P=∠Q就行了）∵AB=AC，∴∠BAO=∠CAO=∠ABO，∴∠QBO=∠PAO，在△QBO和△PAO中：∵∠QBO=∠PAO，OB=OA，BQ=AP∴△QBO≌△PAO∴∠P=∠Q，即O、A、P、Q四点共圆。
中考复习四点共圆
四点共圆四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。
ADCC6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
四川省成都地区中考数学第二部分系统复习专题9四点共圆巧解中考题课件
∴PA＝(4 3－3)k.∴PH＝4 3k.
DH 3 ∴在 Rt△PDH 中，tan∠P＝PH＝ 3 . ∴∠P＝30°，∠PDH＝60°. ∵PD⊥DO， ∴∠BDE＝90°－∠PDH＝30°. 连接 BE，则∠DBE＝90°，DE＝2r＝50， ∴BD＝DE·cos 30°＝25 3.
方法提炼
1.四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四 个点共圆，一般简称为“四点共圆”． 2．四点共圆的性质 (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的 顶角相等． (2)圆内接四边形的对角互补． (3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
方法提炼
3．四点共圆的判定 (1)用“角”判定： ①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上； ②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆 上； ③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个 角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上． (2)“等线段”判定： 四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C， D四点共圆． (3)用“比例线段”判定： 若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则 A，B，C，D四点共圆.
∵∠DBE＝∠DBE，∴△BOF∽△BED. BO OF 3
∴BE＝DE＝10 5. 6
∵DE＝4，∴OF＝5 5.
∴BF＝59 10.
课堂精讲
方法二：如图，∵∠BOC＝∠BFC＝90°，
∴B，C，F，O 四点共圆．
∴∠1＝∠2＝45°.
∵∠2＝∠3＝45°，∴∠1＝∠3＝45°.
∵∠DBE＝∠FBO，∴△BOF∽△BED.
第 8 题图
课后精练
奥林匹克及自主招生辅导材料第二集(强烈推荐)第六讲：四点共圆
再 由 BEA BDA 90 90 180 知 A, D, B, E 共 圆 于 I . 同 理 ， A, D, C , F 共 圆 于
II , A, E , H , F 共圆于 III .
AFD圆II ACD圆I AFE , AED圆I ABD圆I AEF . 故 ADE圆I ABE圆I ACF圆II ADF，
C , D, H , E .
B A
F H E
D
C
59
不含 H 的也有三组，即 B, F , E , C ； C , D, F , A ； A, E , D, B. 所以共有６组. （２）因为 C , D, F , A 四点共圆，故 BDF A. 又因为 A, E , D, B 四点共圆，故 EDC A. 从而 BDF EDC. 由等角的余角相等，知 ADF ADE. 由结论（２）知锐角 ABC 的垂心 H 为 DEF 的内心. （２）若两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧，又有相等的顶角，则四顶点共圆. 【例 2】锐角 ABC 中， A 60 , 且 O, I , H 分别为 ABC 的外心、内心和垂心. 求证： OI IH . 证明：易见 BOC 2A 120 , BHC 180 A 120 , BIC 90 且 O, I , H 均在 BC 的同侧，故 B, O, I , H , C 五点共圆. 因为 I 为内心，所以 ABI CBI 1 ○
C A
A 120 , 2
O
I H
B 1 1 又 AOB 为等腰三角形，故 ABO (180 AOB) (180 2C ) 90 C CBH , 2 2
即 ABO CBH
分析中考数学中的四点共圆_赵宏伟
D C 又 因为 0 0
.
与0 0
尹
外切 于 P
两 圆 相 切 常 作 它们 的 公 切 线
不
9 89年 3
月 1 2 日收 至1
, 妨 过 点 P作 内公切线 P E 交 B D 于 点 E
.
又 因 BD切 0 0
1
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于 点B
。
,
联想 到 切线 长 定 理
2
=
,
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=
,
EP
,
所 以艺
、
1
、
分析
:
令 P H 交 圆P A B 于 Q
,
,
要 证 P H 过 圆 P A B 的圆 心
,
,
只须 证 P Q为 圆 P A B 的 直
,
径
Q
A
、
、
。
连 结 A Q 则证 乙 P A Q
H
B
、
=
R t乙
在 四 边形 A Q H C 中
1
二
,
P H土 C D
,
故只 须 证 四 点 A
,
、
C共 圆 C
5
二
乙D
因此匕
1
二
, 乙 E 四 边 形 B C F E 内接
于圆
等式仍 能 成 立
例
6
.
如图
、
,
, 0 0 与 0 0 相交 于 A
、
B两 点
.
,
④O 过0 0
,
, 的 圆 心 O 过 A 作 直 线 分别
交 两 圆于 C
D
,
连结 C B
,
初中数学重点梳理：四点共圆
四点共圆知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理，圆内接四边形的性质和判定，点、直线、圆和圆的位置关系是今后我们学习综合题目的重要基础，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆的内接四边形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
2、判定定理：方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）3、托勒密定理：若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB*DC+BC*AD=AC*BD。
托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形ABCD，总有AB*CD+AD*BC≥AC*BD，等号成立的条件是ABCD四点共圆。
4、证明方法：（1）从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆（2）被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。
几何描述：四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，则ABCD四点共圆。
证明：过ABC作一个圆，明显D一定在圆上。
中考数学压轴题破解策略专题20《简单的四点共圆》
专题20《简单的四点共圆》破解策略如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共圆”．四点共圆常用的判定方法有：1．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的圆上．D【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值是2．【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O＇，显然点M，N在以OP为直径的⊙O＇上，连结NO＇并延长，交⊙O＇于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2，而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O＇，且直径OP＝2，而MN为⊙O＇的一条弦，故MN为⊙O＇的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠MON＝90°．2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．D【答案】（1）略；（2）AD＝3DE；（3）AD＝DE·tanα．【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE．（2）同（1），可得A ，D ，B ，E 四点共圆，∠AED ＝∠ABD ＝30°，所以AD DE＝ tan30°，即AD ＝3DE ． 3．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中，∠CDE 为外角，若∠B ＝∠CDE ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．【答案】略4．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．【来源：21·世纪·教育·网】如图，点A ，D 在线段BC 的同侧，若∠A ＝∠D ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．D【答案】略诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来．利用四点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等．例题讲解例1 如图，在△ABC 中，过点A 作AD ⊥BC 与点D ，过点D 分别作AB ，AC 的垂线，垂足分别为E ，F ．求证：B ，E ，F ，C 四点共圆．证明 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以∠AED ＋∠AFD ＝180°，即A ，E ，D ，F 四点共圆．A B C D EF AB CD E F G连结EF ，则∠AEF ＝∠ADF ．因为AD ⊥BC ，DF ⊥AC ，所以∠FCD ＝∠ADF ＝∠AEF ，所以B ，E ，F ，C 四点共圆．例2 在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 的中点．若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 与点N ，射线EN 与AB 相交于点P ，证明：∠APE ＝2∠MA D ．证明 如图，连结DE ．因为AD ⊥BC ，CN ⊥AM ，E 为AC 的中点，所以DE ＝AE ＝CE ＝NE ，从而A ，N ，D ，C 在以点E 为圆心、AC 为直径的圆上，所以∠DEN ＝2∠DAN ．由题意可得D 为BC 的中点，所以ED ∥AB ，所以∠APE ＝∠DEP ＝2∠MA D ．进阶训练1．已知⊙O 的半径为2，AB ，CD 是⊙O 的直径，P 是BC 上任意一点，过点P 分别作AB ，CD 的垂线，垂足分别为N ，M ．（1）如图1，若直径AB 与CD 相交成120°角，当点P （不与B ，C 重合）从B 运动到C 的过程中，证明MN 的长为定值；（2）如图2，求当直径AB 与CD 相交成多少度角时，MN 的长取最大值，并写出其最大值．答案：（1）略（2）AB ，CD 相交成90°时，MN 取最大值，最大值为2．【提示】（1）如图，连接OP ，取其中点O ′，显然点M ．，N 在以OP 为直径的⊙O ′上．连结NO ′并延长，交⊙O ′于点Q ，连结QM ，则∠QMN ＝90°，QN ＝OP ＝2．而∠MQN ＝180°－∠BOC ＝60°，所以可求得MN 的长为定值．A B C D E PN M AB C D EP N M AB C D O MN P图1 图2 A B C D P M N O（2）由（1）知，四边形PMON 内接于⊙O ′，且直径OP ＝2．而MN 为⊙O ′的一条弦，故MN 为⊙O ′的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠QMN ＝90°．2．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，过点B 的直线MN ∥AC ，D 为BC 边上一点，连结AD ，作DE ⊥AD 交MN 于点E ，连结AE ．（1）如图1，当∠ABC ＝45°时，求证：AD ＝DE ；（2）如图2，当∠ABC ＝30°时，线段AD 与DE 有何数量关系？请说明理由；（3）当∠ABC ＝α时，请直接写出线段AD 与DE 的数量关系（用含α的三角函数表示）．答案：（略）；（2）ADDE ；（3）AD ＝DE ·tan α． 【提示】（1）证A ，D ，B ，E 四点共圆，从而∠AED ＝∠ABD ＝45°，所以AD ＝DE ．（2）同（1）可得A ，D ，B ，E 四点共圆，从而∠AED ＝∠ABD ＝30°，所以AE DE＝tan30°，即ADDE ． AB C D O MN QO ′ P图1 图1AB C DEFG 图2 A B C D E M N。
【中考数学必备专题】中考模型解题系列之四点共圆模型(含答案)
【中考数学必备专题】中考模型解题系列之四点
共圆模型
一、证明题(共2道，每道50分)
1.设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．
答案：证明：过点P作EP∥AD，且EP=AD．连接AE，EB
∴四边形AEPD是平行四边形
∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，
可得：A、E、B、P共圆．
∴∠PAB=∠BEP
又∵EP∥BC，且EP=BC
∴四边形EBCP是平行四边形
∴∠BEP=∠PCB
∴∠PAB=∠PCB．
解题思路：根据已知作出过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DP，通过倒角得出A、E、B、P四点共圆，即可得出答案．
试题难度：三颗星知识点：平行四边形的判定与性质
2.如图，O是Rt△ABC斜边AB的中点，CH⊥AB于H，延长CH至D，使得CH=DH，F为CO 上任意一点，过B作BE⊥AF于E，连接DE交BC于G．求证：∠CAF=∠CDE．
答案：（1）证明：连接OD，
∵△ABC是Rt三角形，BE⊥AF
∴∠BEA=∠ACB=90°，
∴A，B，E，C，四点共圆，且AB是此圆直径，
又∵CH⊥AB，CH=DH，
∴OC=OD
∴D在此圆上，
∴A，B，C，D，E五点共圆，
∴∠CAF=∠CDE．
解题思路：先连接OD，根据已知条件得出∠BEA=∠ACB=90°，得出A，B，E，C，四点共圆且AB是此圆直径，再根据CH⊥AB，CH=DH，确定出D也在此圆上，从而得出A，B，C，D，E五点共圆，即可证出∠CAF=∠CDE
试题难度：三颗星知识点：确定圆的条件。
九年级培优专题：四点共圆判断及其应用
四点共圆判断及其应用共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。
因此，掌握四点共圆的方法很重要。
定义法：如果A、B、C、D四个点到定点O的距离相等，即OA＝OB＝OC＝OD，那么A、B、C、D四点共圆．角度关系法：①如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
②如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
③如果两三角形有公共底边，且同侧又有相等顶角，那么这两个三角形的四个顶点共圆。
线段关系法：①相交弦定理的逆定理：若两线段AB和CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。
②割线定理的逆定理：若相交于点P的两线段PB、PD上各有一点A、C，且PA·PB =PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。
③托勒密定理的逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA=AC·BD，则ABCD 是圆内接四边形。
另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。
例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上。
已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。
例2：设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆。
例3：梯形ABCD 的两条对角线相交于点K ，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，点K 位于这两个圆之外，证明：由点K 向这两个圆所作的切线长度相等。
例4：如图，A 、B 为半圆O 上的任意两点，AC 、BD 垂直于直径EF ，BH ⊥OA ，求证：DH =AC .例5：如图，已知锐角三角形ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高线CC'及其延长线交于M 、N ，以AC 为直径的圆与AC 边的高线BB'及其延长线交于P 、Q ，求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆。
“四点共圆”在解题中的妙用
“四点共圆”在解题中的妙用众所周知，在同一个圆中，相等（相同）的弧（弦）所对的圆周角相等；相等（相同）的弧（弦）所对的圆心角相等；四个顶点在同一个圆的四边形（圆内接四边形）对角互补，任一内角的外角等于其内角的对角，。
巧妙运用这一知识点可轻松解决一些角度的等量代换及比例问题。
通常我们判定平面上的四个点是否在同一个圆上所用的模型有以下几种：（1）两个直角三角形的斜边为同一个；（2）同一个线段所对的角相等（图中的角度为随意给出，表示两个角相等）；（3）四边形对角互补（图中的角度为随意给出，表示对角互补）。
【例1】在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，连接ED。
求证：△ABC∽△ADE。
【解析】∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴B、C、D、E四点共圆，∴∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC，故△ABC∽△ADE。
【例2】如图，已知△PAB中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，PD=3，PB=4，求AD·DC 的值。
【解析】因为∠APB=2∠ACB，故作∠APB的角平分线可获得与∠ACB相等的角，从而利用四点共圆和角平分线定理可解此题。
如图，作∠APB的角平分线PM，交AD于点M，则∠MPD=∠ACB，故B、C、P、M四点共圆。
∴MD·DC=PD·DB=3·（4-3）=3；∵PM平分∠APD，根据角平分线定理：AP∶PD=AM∶MD=4∶3，“四点共圆”在解题中的妙用（二）【例3】如图，已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，点P、Q分别为CA、AB延长线上的点，且AP=BQ。
求证：O、A、P、Q四点共圆。
【解析】如图，连接OA、OB、OP、OQ。
（只要证明∠P=∠Q就行了）∵AB=AC，∴∠BAO=∠CAO=∠ABO，∴∠QBO=∠PAO，在△QBO和△PAO中：∵∠QBO=∠PAO，OB=OA，BQ=AP∴△QBO≌△PAO∴∠P=∠Q，即O、A、P、Q四点共圆。
“四点共圆”在中考数学解题中的应用赏析
21ABD C“圆”来如此简单——“四点共圆”在中考解题中的应用赏析2012年8月，在暑假集体备课之际，新浙教版数学教材以焕然一新的面貌出现在大家眼前。
与老版相比，新版教材增加了一些传授内容。
其中，九年级上册的《圆内接四边形》就是一节新增内容。
而且与之配套的《数学教学参考书》在3.6《圆内接四边形》这一课时末尾，颇有用意地在第103页“相关资源”中对于如何判定四点共圆作了批注。
原文如下：如何判定四点共圆。
对于四点共圆的判定一般有以下两种方法：1.如图，四边形中同一边所对的两个边与对角线所成的角相等（如12），则这个四边形为圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。
2.如果四边形的两个对角互补，那么这个四边形为圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。
判定四点共圆会给许多几何问题的解决带来方便。
近年来，经过笔者的收集整理和实践探究，发现很多地方的中考试题，都能通过妙用四点共圆达到事半功倍的效果。
现就四点共圆问题在中考解题中的应用，采撷几例，剖析解法，供大家分享。
一、四点共圆与线段问题结合的应用举例例1．（2013?绍兴）在△ABC 中，∠CAB=90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD 交于点G ，点F 在BC 上．（1）如图1，AC ：AB=1：2，EF ⊥CB ，求证：EF=CD ．（2）如图2，AC ：AB=1：，EF ⊥CE ，求EF ：EG 的值．原方法分析：第（2）小题作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=12 BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=32AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．原方法解答：（1）略（2）解：如图，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sin∠B=12 EQBE，∴EQ=12 BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=32 EHAE，∴EH=32AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=12BE：32AE=1：．该方法采用了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH 是矩形．下面赏析四点共圆方法解（2）：GFD ECAB解：连结GF,DE∵在△ABC 中，∠CAB=90° AC ：AB=1：∴∠CBA=30∵AD ⊥BC ∴△BAD 是直角三角形∵点E 为AB 的中点∴DE=BE ∴∠EDB=∠CBA=30∵EF ⊥CE ，AD ⊥BC ，∴四边形DGEF 对角互补∴D 、G 、E 、F 四点共圆∴∠FGE=∠FDE=300∴EF ：EG=tan ∠FGE=1：例2（2013?呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP 交正方形外角的平分线CP 于点P ，交边CD 于点F ，（1）的值为；（2）求证：AE=EP ；（3）在AB 边上是否存在点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．原方法分析：第（2）题在BA边上截取BK=NE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE ≌△ECP，于是结论得出；原方法解答：（1）（3）略（2）证明：在BA边上截取BK=NE，连接KE，∵∠B=90°，BK=BE，∴∠BKE=45°，∴∠AKE=135°，∵CP平分外角，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AKE=∠ECP，∵AB=CB，BK=BE，∴AB﹣BK=BC﹣BE，即：AK=EC，易得∠KAE=∠CEP，∵在△AKE和△ECP中，，∴△AKE≌△ECP（ASA），∴AE=EP；该方法采用了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此方法综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．下面赏析四点共圆方法解（2）：解：连结AC 、AP∵在正方形ABCD 中∠BCD=900CP 是正方形外角的平分线∴∠ACD=450∠PCD=45∴∠ACP=900∵∠AEP=90°∴A 、E 、C 、P 四点共圆∴∠APE=∠ACE=450∴△EAP 是等腰直角三角形∴AE=EP二、四点共圆与函数问题结合的应用举例例3如图（1），直线122yx 交坐标轴于A 、B 两点，交双曲线0k yx x于点C ，且(1)求k 的值. (2)如图（2），A,G 关于y 轴对称，P 为双曲线上一点，过P 作PD ⊥x 轴于D ，分别交BG ，AB 于F ，E ，求证：DE+DF=4 (3)Q 为双曲线上另一动点，连OQ ，过C 作CM ⊥OQ,CN ⊥y 轴于N ，如图（3），当Q 点运动时，∠OMN 是否是定值？说明你的理由。
中考能不能用四点共圆
中考能不能用四点共圆
可以。
四点共圆不属于初中学习知识，未学过的知识点中考中也是可以使用的，但要在使用时给出证明过程。
一些未学过的定理知识可以去询问自己的老师，他们应该更了解考试中有关知识点的应用的范围和要求。
四点共圆简介
1、到定点的距离相等的四点共圆；
2、对角互补的四边形的四个顶点共圆；
3、一个外角等于内对角的四边形的顶点共圆。
4、同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）；
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆；
四点共圆如何使用
实际上，四点共圆考得较多的还是这种公共边是直径，然后两顶角是直角的情况，而且当两个顶角是直角时，不在同侧也是四点共圆的。
一般地，题目中并没有为你画出圆，因此常常称四点共圆的圆是个“隐圆”，即隐藏的圆。
几何题里只要看到如下的模型，就应该想到四点共圆，尽管解题思路并不一定非要用到四点共圆的性质，但是你的脑海里一定要像流星一样闪耀划过“四点共圆”四个大字。
数学北师大版九年级下册四点共圆的证明和应用
例 1 ：如图，在△ ABC 中∠ A=60°， BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P 为BC边的中点，连接PM，PN，则 △PMN为等边三角形；
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例3（本小题满分10分） 如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧， ， ，. （1）求证： ； （2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作 ， 交直线BE与点Q； • i）当点P与A，B两点不重合时，求 的值； • ii）当P点从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径 （线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程） • • • • • •
• 例4．（2015•包头）如图，AB是⊙O的直径，点D 是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F． • （1）求证：BC是⊙O的切线； • （2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB； • （3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P， 若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径． •
四点共圆的明 及应用
判定四点共圆的常用方法： (1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点 共圆． (2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四 边形的四个顶点共圆．（对角互补） (3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角， 那么这个四边形的四个顶点共圆． （外角等于内对角） (4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两 个三角形的四个顶点共圆（同斜边） (5)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角 相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形 有公共的外接圆（同底同侧同顶角）
2021中考数学《四点共圆及其应用》
四点共圆及其应用例题选讲：例 1、如图，⊙O 、⊙P 交于 C 、D 两点，⊙O 的直径 AB 过点 P ，MN 为⊙P 的一条直径， NB 交 AM 于 K ，证明：∠DKC + ∠OCP = 180°。
例 2、如图，△ABC 中，AD⊥BC，D 关于 AB 的对称点为 E ，D 关于AC 的对称点为 F ，FE 交 CB 于 G ，作△AEF 的外接圆⊙O，作△ABG 的外接圆⊙P，⊙O 与⊙P 交于另一点 K ，证明： △ADK 的外心在直线 AE 上。
F例 3、如图，△ABC 内接于⊙O，BD⊥AC 于 D ，CE⊥AB 于 E ，BD 、CE 交于点H ，K 为△ ADE 垂心，KH 交 BC 于 T ，△AKH 的外心为 P ，证明：O 、K 、P 、T 四点共圆。
P例4、如图，△ABC内接于⊙O，K 为△ABC内一点，BK 交AC 于E，CK 交AB 于F，AK交⊙O于D，⊙O在B、C 处的切线交于点 L，LD 交⊙O 于S，作S 关于BC 的对称点T。
作△ AEF 的外接圆⊙R交⊙O 于另一点 G，作△CEG的外接圆⊙P交BE 于M，作△BFG的外接圆⊙ Q 交FC 于N，证明：G、K、D、T、N、M 六点共圆。
例 5、如图，△ABC 内接于⊙O，H 为△ABC 垂心，T 为⊙O 上一点，满足∠ATH = 90°，M 为平面上一点，使得∠MHB = ∠MBC = 90°，BN⊥CM 于 N，H 关于点B 的对称点为 K，作△KHT 的外接圆⊙P，证明：NH 切⊙P 于H。
例 6、如图，△ABC内接于⊙O，I 为△ABC内心，E、F 分别为 AC、AB 中点，K 为⊙O上一点，AK 交AI 的中垂线于 M，过 K 作IK 的垂线交AI 的中垂线于 N，IM 交EF 于D，证明：∠ADN = 90°。
K例 7、如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，D 为弧BC 中点，AD 交 BC 于 E ，S 为BD 中点，AS 交⊙O 于 F ，延长 AF 到 T ，使得FT = 2SF 。
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专题：四点共圆在中考数学及自主招生中的应用四点共圆的判定方法：方法一：若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆；方法二：若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆；方法三：若一个四边形的外角等于它相邻的内对角，则这个四边形的四个点共圆；方法四：若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆方法五：同斜边的直角三角形的顶点共圆C AD B C A D经典例题题型1、先证四点共圆后，然后求线段最值问题（关键是找到动点的轨迹）例1、如图1，OA=OB=4，∠OCA=135°（1）求证：AC⊥BC；（2）如图2，点P与点B关于x轴对称，试求PC的最小值。
题型2、先证四点共圆后，然后求角度、三角函数值、或线段的比值（若从一个点出发的三条线段之间的比值问题，特别注意三弦定理）例2、如图，抛物线y=ax2-4ax+b与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，直线y=x-3经过M，B两点，交y轴于点D（1）求抛物线的解析式；（2）设P为x轴上一动点，过P作PC的垂线交直线BD于Q，连接CQ，求∠PQC的度数例3、（2013年哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为例4、（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．例5、如图1，直线y=−21x+2交x 轴、y 轴于A 、B 两点，C 为直线AB 上第二象限内一点，且S △AOC =8，双曲线 y=xk （x ＜0）经过点C （1）求k 的值； （2） 如图2，Q 为双曲线上另一点，连接OQ ，过C 作CM ⊥OQ 于M ，CN ⊥y 轴于N ，连接MN 。
当Q 点运动时，MN MOMC +的值是否为定值？若为定值，证明并求出定值；若不是定值，请说明理由．题型3、先证四点共圆后，然后求线段的长度、线段的和差、共点三弦之间的数量关系（三弦定理隆重登场） （充分利用几何图形的特点，作辅助线，构造四点共圆）特别注意：在求线段的和差时，若找不到从一点发出的三条弦，或没有特殊角，都不可能运用三弦定理，这时通常用全等来做，看有没有角平分线。
例6、如图，等边三角形ABC 中，D 为BC 中点，∠AEC=150°，∠BED=30°，AB=3212，则DE=连接AD ，易得∠BAD=∠BED=30°，故A 、B 、D 、E 四点共圆，所以∠AEB=∠ADB=90°，接下来易得∠DEC=90° 所以△DEC ∽△AEB ，故AB DC AE DE ==21 在△AED 中，AD=7，∠AED=120°，过点D 作DF ⊥AE ，充分利用特殊角设DE=x ，则AE=2x ，DF=23x ，EF=2x ， 在Rt △ADF 中，由勾股定理得，x=1，故DE=1例7、如图1，已知直线y=33x+3交坐标轴于A 、B 两点，点M 为x 轴正半轴上一点，以点M 为圆心的⊙M 与直线AB 相切于点B ，交x 轴于C 、D 两点，与y 轴交于另一点E（1）求圆心M 的坐标；（2）如图2，连接BM 并延长交⊙M 于F ，点N 为弧CF 上任意一点，连接DN 交BF 于Q ，连接FN 并延长交x 轴于点P ，则CP 与MQ 有何数量关系？证明你的结论。
（3）如图3，点N 为弧CF 上一动点，NH ⊥x 轴于H ，NG ⊥BF 于G ，连接GH ，下列两个猜想：① NG+NH 为定值；② GH 的长度不变。
其中只有一个是正确的，请选择正确的猜想加以证明，并求出其值。
例8、如图1，在平面直角坐标系中，点M 在y 轴上，⊙M 交坐标轴于A 、B 、C 、D 四点，A （-1，0），且OM=OD（1）求点M 的坐标；（2）直线y=kx+b 切⊙M 于B 点，交y 轴于点F ，求该直线BF 的解析式；（3）如图2，P 为线段AB 上一点，作∠CPE=60°，边PE 交直线BF 于点E ，求PB+EB 的值例9、如图，P（-3，3），过P作PM交x轴于M，作PM⊥PN交y轴于N（1）若点M在x轴正半轴上时，求ON-OM的值；（2）若点M在x轴负半轴上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请求出ON与OM之间新的数量关系。
例10、如图1，直线y=x+1交y轴于点A，交x轴于点C，B是x轴正半轴上一点，连接AB，B点的坐标为（2-1，0）（1）求证：AC=BC；（2）点P是线段AB延长线上的一点，试求CP2-AP×BP的值；（3）如图2，连接CP交y轴于点D，作AH⊥CP交x轴于点E，垂足为H，连接HO，求出EH、OH、DH三线段之间的数量关系并给予证明；巩固练习1、在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A 且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明2、（2009年武汉）如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．（1）求证：；（2）当为边中点，时，如图2，求的值；（3）当为边中点，时，请直接写出的值．3、如图，正方形ABCD的对称中心为O，面积为1989，P为正方形内的一点，且∠OPB＝45°，PA：PB＝5：14，求PB的长．Rt ABC△90BAC∠=°AD BC⊥D O AC BO AD F OE OB⊥BC EABF COE△∽△O AC2ACAB=OFOEO ACACnAB=OFOEBBA ACOEDDECOF图1 图2F4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，CD∥AB。
点E为射线CD上一动点（不与点C重合），连接AE，交边BC于点F，∠BAE的的平分线交BC于点G。
（1）当CE=3时，求S△CEF：S△CAF的值（2）设CE=x，AE=y，当CG=2BG时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC=5时，连接EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长5、（2014年福州中考）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60︒，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.（1）当t=12秒时，则OP=，S△ABP=；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.6、如图，点O为正方形ABCD对角线的交点，点E、F分别在DA和CD的延长线上，且AE=DF，连接BE、AF，延长FA交BE于G（1）求证：FG⊥BE；（2）连接OG，求∠OGF的度数；（3）若AE=5，AB=25，求OG的长7、如图1，在平面直角坐标系中，E 的坐标为（4，0），⊙E 的半径为8，⊙E 交x 轴于A 、B ，交y 轴于C 、D（1）过C 作⊙E 的切线，交x 轴于F ，求F 点的坐标；（2）如图2，半径EP 交OC 于G （0，3），连接PO 并延长交⊙E 于Q 点，连接BQ ，求BQ 的长；（3）如图3，M 为线段OE 上一点，MN ⊥AB 交⊙E 于N ，作⊙E 的直径NK ，P 是劣弧BK 上任意一动，PH ⊥NK 于H ，PS ⊥x 轴于S ，连接SH 。
当M 在OE 上任意运动，P 在劣弧BK 上任意运动，SH MN 的值是否发生变化？若不变，请予以证明并求出其值；若发生变化，求出其变化的范围。
8、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3交坐标轴于A 、B 两点，C 为x 轴上A 点右边的点，以BC 为边作等边三角形BCD ，连接DA 交y 轴于E（1）求A 点的坐标；（2）求直线DE 的解析式（3）若C 点坐标为（2，0），求AD 的长。
9、如图所示，在直角坐标系中，A （-1，0），B （3，0），以AB 为边作等边△ABP ，AP 交y 轴正半轴于G ，点M 为x 轴负半轴上一动点，∠MGN=120°，GN 交PB 的延长线于N ，当M 点运动时，求BM-BN 的值10、（2017年十堰）已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D 为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．（1）如图1，若点B在OP上，则①AC OE（填“＜”，“=”或“＞”）；②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是；（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式．（2018荆门）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（2018达州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为．。