高二数学选修1-1 第二章 第2节 抛物线北师大版(文)知识精讲

高二数学选修1－1 第二章 第2节 抛物线北师大版（文）

【本讲教育信息】

一、教学内容

选修1—1 抛物线的标准方程及其几何性质

二、教学目标

1、掌握抛物线定义、抛物线的标准方程四种形式及其几何性质并能熟练地应用定义、几何性质解决抛物线问题。

2、方程的数学思想、函数的数学思想、等价转化的数学思想、数与形结合的思想及待定系数法、定义法等数学思想方法的应用。

三、知识要点分析

1、抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线L （L 不过F 点）的距离相等的点的集合叫抛物线。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线L 叫做抛物线的准线。

2、抛物线的标准方程形式：

px y 22=（p>0）px y 22-=，（p>0）py x 22=，（p>0）py x 22

-=（p>0）

P ：称为焦准距（焦点到准线的距离）

3、抛物线的几何性质：对称性，X 围，顶点，离心率，（以px y 22

=为例） 4、抛物线的通径：过抛物线焦点F 且垂直于对称轴的直线，与抛物线相交于P 1、P 2两点，则两交点)P P (21之间的距离就是抛物线的通径，长度是2p 。

5、有关的重要结论：设过抛物线px y 22

=的焦点的直线的倾斜角是θ，与抛物线交于A （),(),,2211y x B y x 。则有下列结论

（1）|AB|=p x x ++21，|AB|=θ

2

sin p

2，（显然当︒=θ90时，|AB|最小。最小值是2p ，此时|AB|是抛物线的通径。）

（2）=

21x x 2212

,4

p y y p

-=

（3）θsin 22

p S AOB =∆

（4）

p

BF AF 2

||1||1=+（定值） （5）以|AB|为直径的圆与准线相切。

【典型例题】

考点一：考查求抛物线的标准方程

例1：求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P （－2，－4）的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标。

【思路分析】因顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点P （－2，－4），故可设抛物线方程是)0(,22

>-=p py x 或设)0(,22

>-=p px y

解：由已知设抛物线的标准方程是)0(,22

>-=p py x 或)0(,22

>-=p px y 把P （－2，－4）代入py x 22

-=或px y 22-=得2

1

=p 或p=4 故所求的抛物线的标准方程是x y y x 82

2

-=-=或

当抛物线方程是y x -=2

时，焦点坐标是F （)4

1,0-，准线方程是4

1=

y 当抛物线方程是x y 82

-=时，焦点坐标是F （－2，0），准线方程是x=2 【说明】对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程可设为)0a (,ay x ax y 22≠==或

例2：设过P （－2，4），倾斜角为

π4

3

的直线L 与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的顶点在原点，以x 轴为对称轴，若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求抛物线C 的标准方程。

【思路分析】由已知得：抛物线的开口方向不定，故可设抛物线方程为

)0a (,ax 2y 2≠=

直线L 的方程为y=－x+2.利用|PA|，|AB|，|PB|成等比数列转化为P ，A ，B 三点纵坐标之间的关系。由此关系求a 的值。

解：设A ),(),,(2211y x B y x 由已知得L ：y=－x+2

0422

222=-+⎩⎨⎧+-==∴a ay y x x y ax y 整理得：消去

01642>+=∆a a ……………………（#）

a y y a y y 4,22121-=-=+∴，由|PA|，|AB|，|PB|共线且 成等比数列得：|4||,||,4|2211---y y y y 成等比数列

即有：|4y ||4y ||y y |21212-⋅-=-………………（*）

把得：

代入(*)4,22121a y y a y y -=-=+a a a 4|4|2

+=+且满足（#） 故：a=1，即所求的抛物线C 的标准方程是x y 22

=

考点二：考查抛物线定义的应用

例3：已知动圆M 与直线L ：x=1相切，与圆1)2(:2

2

=++y x C 相外切，求动圆的圆心M 的轨迹方程

【思路分析】如图：定圆1)2(2

2

=++y x 的圆心），

（02O 1- 根据平面几何定理知：动圆圆心M 到直线L ：x=1的距离等于动圆的半径加1，即动圆的圆心到)0,2(1-O 的距离等于它到定直线x=2的距离。

解：由已知动圆的圆心M 到)0,2(1-O 的距离等于它到定直线x=2的距离。 由抛物线的定义知：动圆的圆心M 的轨迹是以（－2，0）为焦点，x=2为准线的抛物线。

故p=4，所求动圆的圆心M 的轨迹方程是x y 82

-=

另解：本题也可利用“定义法”来求轨迹：设M （x ，y ），动圆的半径是r 显然：x<0，r=|x －1|=1－x.x x y x -=+-=++21)1()2(2

2

整理得：y 2=－8x

【说明】从上述的解法中可以看出：充分利用抛物线的定义给解题带来很大的方便。

例4：在抛物线2

x y -=上求一点P ，使P 点到焦点F 的距离与到点A （1，－2）的距离之和最小

【思路分析】根据抛物线方程及A 点坐标可以推知A 点在抛物线内，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离。