(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( )
(A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）
3311()
()
()
()32
8
168
A B C D
(3)),4,(~2
μN X ),5,(~2
μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p >
(4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）⎰
-
=-a
dx x f a F 0
)(1)( （B ）⎰-=
-a
dx x f a F 0
)(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F
(5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50
11,50i i X X ==∑ 则 50
21
1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2,
)50N (B) 2
(,4)50
N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)
(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=⋃B A P ,则___________)(=B A P
(2) 设随机变量X 有密度⎩
⎨⎧<<=其它01
0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=>
的常数a =
(3) 设随机变量),2(~2
σN X ，若3.0}40{=<<X P ,则=<}0{X P (4)设(
)2
21
x
x f x -+-=， 则EX = , DX =
(5)设总体~(,9)X N μ，已知样本容量为25，样本均值x m =；记
0.1u a =，0.05u b =；()0.124t c =，()0.125t d =；()0.0524t l =，()0.0525t k =，
则μ的置信度为0.9的置信区间为
三、解答题 （共60分）
1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率
(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？
2、(10分)设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
⎩⎨⎧≤≤=.,0;
10,1)(其它x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0,
0;0,)(y y e y f y Y
求:随机变量Y X Z +=的概率密度函数.
3、(10分)设随机变量X 服从参数2λ=的指数分布，证明：21X
Y e
-=-服从()0,1上的
均匀分布。

4、(8分)设某次考试考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得
66.5,X =样本标准差为15，问在0.05α=时，是否可以认为这次考试全体考生的平均成
绩为70分?
5、(10分)在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品。

设产品的次品率为10﹪，问至少应抽查多少个产品进行检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？（()..12909Φ=）
6、(12分)设(X , Y ) 服从二维正态分布，X~N (1 , 9)，Y~N (0 , 16)，1
2
XY ρ=-
，设32
X Y
Z =
+，求(1)EZ , DZ (2)XZ ρ
(3)X 与Z 是否相关？
标准答案
二、填 空 题（5×4分） 1、 0.1 2、
4
2
1
3、 0.35
4、11,2
EX DX ==
5、33(,)55m b m b -
+或0.050.0533
(,)55
m u m u -+ 三、 解答题（60分）
1、解：A=“生产的产品是次品”，B 1=“产品是甲厂生产的”，B 2=“产品是乙厂生产的”，B 3=“产品是丙厂生产的”，易见的一个划分是Ω321,,B B B (1) 由全概率公式，得
.0345.0%2%40%4%35%5%25)()()()(3
1
31
=⨯+⨯+⨯===
∑∑==i
i i
i i
B A P B P AB P A P
(2) 由Bayes 公式有：111()()
25%5%25
()()
0.034569
P A B P B P B A P A ⨯=
=
=
2、因为X 与Y 相互独立，所以⎰
+∞
∞
--=
dx x z f x f z f Y X Z )()()(
当0≤z 时，;0)()()(=-=⎰+∞
∞
-dx x z f x f z f Y X Z
当10<<z 时，;1)()()(0
)(z z
x z Y X Z e dx e dx x z f x f z f ---+∞
∞
--==-=⎰⎰
当1≥z 时，);1()()()(1
)(-==-=
---+∞
∞
-⎰⎰
e e dx e dx x z
f x f z f z x z Y X Z
所以 ;1)1(10100)()()(⎪⎩
⎪
⎨⎧
≥-<<-≤=-=
--∞
+∞
-⎰
z e e z e z dx x z f x f z f z z Y X Z
3、{}{
}2ln(1)()12X
Y y F y P Y y P e
y P X --⎧
⎫=≤=-≤=≤-⎨⎬⎩
⎭
ln(1)
220,0,
2(01),1, 1.y x y e dx y y y ----∞
<⎧⎪⎪
==≤<⎨⎪
≥⎪⎩
⎰ 1,(01)()()0,，其他。

Y Y y f y F y <<⎧'∴==⎨⎩
4、H 0: μ = μ 0 =70 ①由于σ 2
未知，则令~(1)t t n =
-
②由()2||1,P t t n αα⎧⎫⎪⎪
>-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭查表得t 的临界值()()==0.0252
135 2.0301,t n t α-
则拒绝域为{}
2.0301c I t t =≥，
由条件计算出0 1.4t =
=
=-，
由于0 1.4 2.0301,t =<所以接受0t ，即可以认为考生平均成绩为70分。

5、设应抽查n 件产品，其中次品数为Y ，则Y ～B (n ，0.1),
其中.,().011009EY np n DY np p n ===-=，由二项分布的中心极限定理，得
{}
10P Y n P ≤≤=≤≤=Φ-Φ 1
≈-Φ，要使10.9-Φ≥，即0.9Φ≥，查表得
.
129≥，解得147n ≥，即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率
达到0.9。

6、(1)(
)32X Y EZ E =+1132EX EY =+111032=⋅+⋅13
= (
)32X Y DZ D =+()()2cov(,)3232X Y X Y D D =++119162cov(,)9432X Y =⋅+⋅+ 52cov(
,)32
X Y
=+，
而()1cov(
,)cov ,326X Y X Y =16XY ρ=11
()3462
=⋅-⋅⋅1=- 52(1)3DZ ∴=+⋅-=
cov ,(2)
XZ X Z ρ=
，而()c o v
,c o v (,)32X Y X Z X
=+11
cov(,)co (,32
v )X X X Y =+ 1132DX =
+⋅()6-1
9303
=⋅-=，0XZ ρ∴= (3)0XZ ρ=Q ，所以X 与Z 不相关。