6-4正定二次型及正定矩阵

λ2
λn
1 设Q =
λ1
1
λ2
1
，则 λn
Q T ΛQ = Q T P T APQ =
1
λ1
1
λ2
1
λ1 1 λ2 λn λn
λ1
1
λ2
1
=E λn
与单位阵合同。 设C = PQ , 则C T AC = E , 所以A与单位阵合同。
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设 A为正定实对称阵 , 则 A T , A 1 , A , A k 均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为 n阶正定矩阵 , 则A + B也是正定 矩阵 .
注意： Ａ，Ｂ为正定 矩阵，ＡＢ可逆， ，ＡＢ可逆 注意：若Ａ，Ｂ为正定 矩阵，ＡＢ可逆，但不 一定 是正定矩阵． 是正定矩阵．
x T Ax = x T ( P 1 )T ΛP 1 x = ( P 1 x )T Λ ( P 1 x )
T 设y = P 1 x = y1 , y2 , , yn） , 则y为非零向量 （
2 2 2 x T Ax = y T Λy = λ1 y1 + λ 2 y2 + λ n yn > 0
为正定矩阵。 ∴ A 为正定矩阵。
A 0 x z Cz = ( x , y ) 0 B y
T T T
= x T Ax + y By > 0,
T
且C是实对称阵 , 故C为正定矩阵 .
第六章
二次型
中南财经政法大学信息系
一、正(负)定二次型的概念 负 定二次型的概念
定义6.6 定义 具有实对称矩阵A的 元二次型为 具有实对称矩阵 的n元二次型为
f ( X ) = X T AX
x1 x 1) 如果对于任意的非零向量 X＝ 2 ，都有 xn
X T AX > （或<0）成立，那么称二次型为正定 0 ）成立，那么称二次型为正定 负定）二次型， 为正定（负定）矩阵。 （负定）二次型，A为正定（负定）矩阵。
T
证
. 显然 AT = A, 即 A实对称 令 Y = UX ,
则
f = X T AX = X TUTUX = (UX )T (UX ) = Y TY ,
对任意 X ≠ 0,因 U 可逆 所以 Y ≠ 0, 可逆, 故 f = Y T Y = y2 + y2 ++ y2 > 0,
1 2 n
f = X T AX 是正定二次型 是正定二次型. 即
( 1)
r
ar 1
> 0, arr
(r = 1,2, , n ).
例1 判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x1 + x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定. 是否正定
2 5 1 解 f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为 2 4 2 它的顺序主子式 5 2 5 2 1 5 > 0, = 1 > 0, 2 2 1 4 2 故上述二次型是正定的. 故上述二次型是正定的
1 2
=
t + 2 2t + 2 2 3t + 2
= (3t 2 + 4t) > 0.
由 可得
，
2 t 2 > 0 (3t + 4)t < 0
4 <t <0 3
于是当 4 < t < 0 时， f (x1, x2 , x3 ) 为正定 3 二次型．
例5
为可逆矩阵, 设 U 为可逆矩阵 A = UTU, 证明 是正定二次型. f = X AX 是正定二次型
1 0 0 为正定矩阵。 0 4 0 为正定矩阵。 0 0 6 2 2 2 ( 2) f ( x1 , x 2 , x 3 , x4 ) = x1 + 4 x 2 + 6 x 3 为半正定二次型
1 4 为半正定矩阵 6 0
2 2 ( 3) f ( x1 , x 2 ) = x1 3 x 2 为负定二次型
∴α iT Aα i = λ iα iT α i 0 特征向量 α i ≠ 0，由A正定知 α iT Aα i〉， 0 即 λ iα iT α i〉
0 ∴ λ i〉 (i = 1,2, , n)
充分性
个特征值， 假设λ i > 0( i = 1,2 , n)为A的n个特征值，则存在正
交矩阵 P，使得 P T AP = Λ , 其中Λ = diag (λ1 , λ 2 , , λ n ) 对于任意非零向量 x
推论1 推论1 对称矩阵为正定矩阵的充要条件是其存 在可逆矩阵C 使得A=CTC. 推论2 对称矩阵为正定矩阵，则A的对角线上 推论2 对称矩阵为正定矩阵， 的元素均大于零。 的元素均大于零。
准则3 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： 准则3 正定的充分必要条件是： 的充分必要条件是 A 的各阶主子式为正， 的各阶主子式为正，即 a11 a1n a11 a12 > 0; > 0, , a11 > 0, a21 a22 an1 a nn 负定的充分必要条件是 的充分必要条件是： 对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正， 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 a11 a1r
4 2 , 5
4 2 = 1 > 0, 5
例2 判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 4 x2 + 5 x3 4 x1 x3 是否正定. 是否正定 解 用特征值判别法. 特征值判别法
2 二次型的矩阵为 A = 0 2 令 λE A = 0 λ1 = 1, λ 2
推论1 n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指 推论1 n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指 数为n. 数为n.
2 推论
f 实二次型 = xT Ax为正定的充要条件是
正 它的标准型的系数全为 。
对负定矩阵也有类似结论： 负定矩阵也有类似结论： 也有类似结论
实二次型 f = x T Ax 为负定的充要条件是下 列之一： 列之一： 1 的特征值全为负； （） A的特征值全为负； （2 其负惯性指数为 n； ） ( 3) A的标准型的系数全为负 .
思考题
设A, B分别为 m 阶, n阶正定矩阵 , 试判定分块 A 0 矩阵C = 是否为正定矩阵 . 0 B
思考题解答
解 C是正定的. T 因为, 设 z T = ( x T , y )为m + n维向量 , 其中x , y分
别是m 维和n维列向量 , 若z ≠ 0, 则x , y不同时为零向 量, 于是
与单位阵合同， 若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵 使A= 与单位阵合同 则存在可逆矩阵C,使 CTEC= CTC，则对于非零向量 则对于非零向量x x T Ax = x T C T Cx = (Cx )T (Cx )
∵ C可逆， x ≠ 0, 故Cx ≠ 0，则(Cx )T (Cx ) ≠ 0 可逆， 正定。 所以f正定。
二、正(负)定二次型的判别 负 定二次型的判别
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的 准则1 为正定的充分必要条件是： 特征值全为正． 特征值全为正． 证明 必要性 的特征值， 假设λi ( i = 1,2 , n)为A的特征值， α i 为对应于 λ i的
特征向量，则 特征向量， Aα i = λ i α i
为正定二次型， 为了使 f (x1, x2 , x3 ) 为正定二次型， A 的各阶顺序主子 式都应大于零， 式都应大于零，即
1 t d1 = 1 > 0, d2 = = 2 t 2 > 0 t 2
1 d3 =| A|= t t 1 1 t 1 2 2 = t + 2 2t + 2 0 3 2 3t + 2 0
实对称矩阵A正定的充分必要条件为A 准则二 实对称矩阵A正定的充分必要条件为A合同于单 位阵E. 位阵E. 证明: 证明
若二次型正定 则A的特征值全部为正 若二次型正定,则 的特征值全部为正
个特征值， 假设λ i > 0( i = 1,2 , n)为A的n个特征值，
则存在正交矩阵 P，使得 λ1 T P AP = Λ =
三、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 正定二次型的概念， 矩阵的区别与联系． 矩阵的区别与联系． 2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (1)定义法； 定义法 (2)特征值判别法 特征值判别法. (2)特征值判别法 (3)顺次主子式判别法； (3)顺次主子式判别法； 顺次主子式判别法 3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 根据正定二次型的判别方法， 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法， 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导． 家自己推导．
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1 为负定矩阵。 为负定矩阵。 3 2 2 (4) f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 3 x 2 为半负定二次型
1 为半负定矩阵。 3 为半负定矩阵。 0 2 2 (5) f ( x1 , x 2 ) = x1 + 3 x 2 为不定二次型 1 为不定矩阵。 为不定矩阵。 3
X 1T AX 1 > 0 ，而对另一 3）如果对某向量 X 1 ，有 ）
X 2 ，有 X 2T AX 2 > 0 ，则称该二次型为不定 向量
二次型。矩阵A称为不定矩阵。 二次型。矩阵 称为不定矩阵。 称为不定矩阵
例如
2 2 2 (1) f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 + 4 x 2 + 6 x 3 为正定二次型
X ，都有 X T AX ≥ 0 2) 如果对于任意非零向量
成立，并且存在某向量X 使得 （或 ≤ 0 ）成立，并且存在某向量 0,使得
T X 0 AX 0 = 0,
那么称二次型为半正定 半负定）二次型， 为 半正定（ 那么称二次型为半正定（半负定）二次型，A为 半正定（半负定）矩阵。 半正定（半负定）矩阵。
A = 80 < 0,
根据定理 3知 f 为负定 .
取何值时， 例4 当 t 取何值时，实二次型 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + 2x2 + 3x3 + 2tx1x2 2x1x3 + 4x2 x3 是正定二次型． 是正定二次型． 解 实二次型的矩阵为
1 t 1 A= t 2 2 1 2 3
0 2 4 0 , 0 5 = 4, λ 3 = 6.
是正定矩阵，故此二次型为正定二次型. 即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型
例3 判别二次型 2 f = 5 x 2 6 y 4 z 2 + 4 xy + 4 xz 的正定性. 的正定性
2 5 2 解 f的矩阵为 A = 2 6 0 , 2 0 4 a11 a12 5 2 = = 26 > 0, a11 = 5 < 0, 2 6 a 21 a 22