第二章平面问题的复变函数解法-2009分析

第二章 平面裂纹问题的复变函数解法

第1节 绪论

如果二元实变函数()y x U ,在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯（Laplace ）方程

02=∇U

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∇22222

y x

则称()y x U ,为区域D 内的调和函数。

弹性力学的分析表明, 平面问题可以归结为求解满足双调和方程022=∇∇U 的应力函数U ，并使其在边界上满足全部边界条件。双调和方程022=∇∇U 的解U 为双调和函数。

在数学中，复变解析函数的实部和虚部均为调和函数(满足02=∇U )。而利用复变解析函数来讨论含孔、裂纹等结构的平面问题比较方便。

1．复变函数的基础知识

复数

a i

b + 1-=i 为虚单位

复变数（量）

iy x z += 实变数x 和y 分别称为复变数z 的实部和虚部，

记为：z x Re =，z y Im =

则有：

z i z z Im Re += (2-1-1) z 的极坐标形式为

()θθsin cos i r z +=θi re =

z 的共轭复数

()θθθi re i r iy x z -=-=-=sin cos

复变函数

以复变量iy x z +=为自变量的函数, 称为复变函数。复变函数也可以看成是由它的实部f Re 和虚部f Im 所组成，有：

()Re Im f z f i f p iq =+=+

()iq p f i f z f -=-=Im Re (2-1-2)

例如 ()()22222y ixy x iy x z z f -+=+==

则有 22Re y x f p -==，xy f q 2Im ==

几何上，可以将函数()z f 看成复数平面z 上的点),(y x 到另一复数平面W 上的点),(q p 的变换, 变换关系如图2-1-1所示。 p

(p,q)

q W

0 0y z (x,y)

图2-1-1 复数平面变换图

复变函数的导数

设复变函数)(z f 在某一点的领域内有定义，取z ∆为复值增量，若

()()z

z f z z f Lim z ∆-∆+→∆0 (2-1-3) 极限存在，则)(z f 在点z 处可导，并记为()z f '，即()z f '为)(z f 在点z 处的导数。

注意在复变函数可导的定义中，0→∆z 的方式应该是任意的，定义式（2-1-3）极限值存在的要求与0→∆z 的方式无关。

复变函数)(z f 的实部f Re 和虚部f Im 对x ，y 足够高阶的偏导数，还不能说明极限式（2-1-3）一定存在。例如

33Im Re )(iy x f i f z f +=+=

若取x z ∆=∆，则

()()()x iy x iy x x Lim z z f z z f Lim x z ∆--+∆+=∆-∆+→∆→∆3

333

00 ()232203

30333x x

x x x xx Lim x x x x Lim x x =∆∆+∆+∆=∆-∆+=→∆→∆ 若取y i z ∆=∆，则

()()()23

3

003y y i iy y y i Lim z z f z z f Lim y z =∆-∆+=∆-∆+→∆→∆ 可见，当z ∆取不同值时，（2-1-3）式所示的极限并不相等，说明此极限并不存在。

由复变函数可导定义的这一特点出发，可导出复变函数可导的充分与必要条件。设f Re 和f Im 在区域D 内有对y x ,的一阶连续偏导数，则函数()z f 在D 内一点z 处可导的充分与必要条件为

y f x f ∂∂=∂∂Im Re （2-1-4） y

f x f ∂∂-=∂∂Re Im （2-1-5） 这一条件称为柯西—黎曼（Cauchy —Riemann ）条件。

事实上，若取x z ∆=∆，则有

()()()x

f i x f z z f z z f Lim z f z ∂∂+∂∂=∆-∆+=→∆Im Re '0 （2-1-6） 证明：设 ()f z p iq =+ （Re Im p f

q f ==）

0=∆y ，x z ∆=∆

()()()x

iy x f x iy x f Lim z f z ∆+-∆++=→∆0' ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨

⎧∆+-∆∆++∆+=→∆x y x iq y x p x y x x iq y x x p Lim z ,,,,0 ()()()()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∆-∆++∆-∆+=→∆x y x iq y x x iq x y x p y x x p Lim z ,,,,0 ()()()()x

y x q y x x q Lim i x y x p y x x p Lim

z z ∆-∆++∆-∆+=→∆→∆,,,,00 x q i x p ∂∂+∂∂= 再取y i z ∆=∆，有

()()()y

f i y f z z f z z f Lim z f z ∂∂-∂∂=∆-∆+=→∆Re Im '0 （2-1-7） 为使导数存在，上述两个极限必须相等，即得（2-1-4）、（2-1-5），由此证明了必要条件，充分条件证明从略。

由（2-1-6）、（2-1-7）两式，可以直接得到复变函数对z 的导数的实部和虚部与复变解析函数的实部和虚部对x ，y 的偏导数之间的以下重要关系： y f x f f ∂∂=∂∂=

Im Re 'Re （2-1-8） y

f x f f ∂∂-=∂∂=

Re Im 'Im （2-1-9） 解析函数

x

f i x f ∂∂+∂∂=Im Re