最优捕鱼策略问题

关键词：最优捕鱼；微分方程；非线性优化模型；LINGO 软件；MATLAB 软件
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一 问题重述
1.1 问题背景 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开 发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大 产量或最佳效益。 考虑对鳀鱼的最优捕捞策略： 假设这种鱼分 4 个年龄组，称为 1 龄鱼，2 龄鱼，3 龄鱼，4 龄鱼。各年龄 组每条鱼的平均重量分别为 5.07，11.55，17.86，22.99（克） ，各年龄组的自 然死亡率为 0.8（/年） ，这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条 4 龄鱼的产卵 量为 1.109 ´ 105 （个） ，3 龄鱼的产卵量为这个数的一半，2 龄和 1 龄鱼不产卵， 产卵和孵化期为每年的最后 4 个月，卵孵化并成活为 1 龄鱼，成活率（1 龄鱼条 数与产卵量 n 之比）为 1.22 ´ 1011 ( 1.22 ´ 1011 + n ) 。 1.2 问题描述 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的 8 个月进行捕捞作业。如 果每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞 量将与各年龄组鱼群条数成正比， 比例系数不妨称捕捞强度系数。 通常使用 13mm 网眼的拉网， 这种网只能捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼， 其两个捕捞强度系数之比为 0.42∶ 1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年 龄组鱼群条数不变） ，并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量） 。 2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务 5 年，合同要求 5 年后鱼群的生产能 力不能受到太大破坏。 已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为： 122， 29.7， 10.1， 3.29（´109 条） ，如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才 能使总收获量最高。
可得： x i (t ) = x ie -rit (i = 1,2) （1） 对于 3、4 龄鱼在前 8 个月不仅受到自然死亡率的影响，还要受到捕捞强度 系数的影响，并且捕捞强度系数的关系为： k3 =0.42k4 。而当处于后 4 个月时进 入卵孵化期则只受自然死亡率的影响。 捕捞期 3、4 龄鱼数量满足的微分方程： é 2ù dx i (t) = (r + ki )x i (t ) (i = 3, 4) t Î ê 0, ú êë 3 úû dt 并且，当 t = 0 时 x i (t )=x i (i =3,4)
数学建模练习
第 7 次练习
姓名：程涛 胡铭 李冲 题目：最优捕鱼策略问题
最优捕鱼策略问题
摘 要
本文主要解决在在保护自然环境、实现可持续捕捞的前提下，针对鳀鱼提出 合理的捕捞方案以实现最大产量或最佳效益， 同时为渔业部门制定相关规定提出 参考依据。 针对问题一，在实现可持续捕捞的前提下，得到最高的年收获量。将鳀鱼分 为 4 个年龄段，分别建立微分方程，得到各龄组鳀鱼数量与时间的关系式，再以 每年开始时渔场中各年龄组鱼群条数不变为约束条件， 以总捕捞量最大为目标函 数，建立非线性规划模型，运用 MATLAB 软件求得当 3 龄鱼、4 龄鱼的捕捞强度
各年龄段鱼群数量 鱼年龄段 数量 1
1.19 ´ 10
11
表一 3 4
10
2
5.36 ´ 10
10
2.41 ´ 10
7.26 ´ 107
3 龄鱼、4 龄鱼捕捞数量如下表二：
5
3、4 龄鱼捕捞数量 鱼年龄段 数量（条） 3 4
10
表二
2.17 ´ 10
6.95 ´ 107
同时运用 MATLAB 画出捕捞强度系数与总捕捞量的关系图,即图一:
四 符号说明
t ：表示时刻。 T ：表示年份。 (T =1, ,6)
x i (t ) ：表示 t 时刻 i 龄鱼的数量。 ( i =1,2,3,4 )
x i ：表示初始时 i 龄鱼的数量。 ( i =1,2,3,4 ) wi :表示 i 龄鱼个体平均重量。 ( 单位：克 / 条 )
r ：表示各年龄鱼的自然死亡率。 (r = 0.8)
5.2 问题二模型建立与求解 5.2.1 模型建立 为方便模型的建立，假设不同年份以相同捕捞强度系数捕捞，并且 3 龄鱼与 4 龄鱼捕捞强度系数之比为 0.42:1。 由于五年后鳀鱼总数量主要取决于第一年初 1 龄鱼的数量，将 1 龄鱼第 5 年 末的数量与第 1 年初数量的变化率小于 10% 作为鱼群生产能力没有受到太大破 坏的指标。 在问题一的基础上，可以求出时间 t Î [T ,T +1] 时各龄段组鱼的数量随时间 的函数如下：
5.1.2 模型求解与结果分析 代入相关数据，由式 (1) (6) ，运用 MATLAB 求解得到：3 龄鱼、4 龄鱼的 捕 捞 强 度 系 数 分 别 为 k3 = 7.51 、 k4 = 17.88 ， 此 时 捕 捞 总 重 量 最 大 为 ：
f = 3.87 ´ 1011(g) ；对应的各年龄段鱼群数量见表一：
三 模型假设
1）该鱼场的鳀鱼生态系统是独立的生态系统，不受其他生态系统的影响。 2）鳀鱼各年龄组的自然死亡率已经包含了鳀鱼群体与其他生物之间的竞争。 3）各年龄组的鱼经过一年后即进入高一年龄组，4 龄鱼经过一年后仍为 4 龄鱼。 4）不考虑水质污染、气候异常等自然灾害对鳀鱼生长的影响。 5）3 龄鱼、4 龄鱼在 9 月初集中产卵。 6) 问题二中，假设五年 3、4 龄鱼的捕捞强度系数相同。
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五 模型建立与求解
5.1 问题一模型建立与求解 5.1.1 模型建立 由题已知 w 3 =17.86g 、 w 4 =22.99g 。并且对 1、2 龄鱼不能进行捕捞，其生 长只受自然死亡率的的影响。而题目中所给的各年龄组的自然死亡率为 0.8（/ 年） ，将死亡率理解为瞬时死亡率。由此求得 1、2 龄鱼的生长微分方程： dx i (t) = rx i (t ) (i = 1, 2) dt 并且，当 t = 0 时 x i (t )=x i (i =1,2) 。
（4）
n = 又卵孵化并成活为 1 龄鱼的成活率为： 1.22ⅹ 1011 e= 1.22ⅹ 1011 + n） （ x1(1) = en 则年末 1 龄鱼的数量为：
2 - (r +k3 ) 0.5n 4x 3e 3
2 - (r +k4 ) + n 4x 4e 3
（5）
（6）
建立非线性规划模型： 目标函数： 使得在该年内捕捞总重量最大，即： max f =w 3 f3 +w 4 f4 约束条件： 1） 第一年末， 由卵孵化并成活为 1 龄鱼的数量等于第一年初 1 龄鱼的数量， 即： en =x1
dfi =ki x i (t )dt
则 8 个月总的捕捞量为：
2
fi =ò 3 ki x i (t )dt
0
2(k +r ) ö - i ki x i æ ÷ ç ÷ 3 ç = 1-e ÷ ç ÷ ç ki +r ç ÷ è ø
(i = 3, 4)
（3）
产卵孵化期 3、4 龄鱼数量满足的微分方程： dx i (t ) = ki x i (t ) (i = 3, 4) dt
2.39 ´ 1011 、 2.2 ´ 1011 g 、 的捕捞强度分别为 7.38、 17.58 时， 每年的捕捞量约为：
4.05 ´ 1011 g 、 3.87 ´ 1011 g 、 3.9 ´ 1011 g 。 此 时 5 年 捕 捞 总 量 最 大 约 为 ：
1.6 ´ 1012 g ，并且得到每年初各年龄组鱼群数量见表三。
6.95 ´ 107 分别为 7.51、 17.88 时， 捕捞 3 龄鱼、 4 龄鱼对应的条数为 2.17 ´ 1010 、
条，此时捕捞总量最大为： 3.87 ´ 1011 g 。并且得到年初各年龄组鱼群的条数分 别为 1.19 ´ 1011 、 5.36 ´ 1010 、 2.41 ´ 1010 、 7.26 ´ 107 条。 针对问题二，要求 5 年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，使得 5 年总 收获量最高。 以 1 龄鱼第 5 年末的数量与第 1 年初数量的相对误差小于 10% 作为 鱼群生产能力没有受到太大破坏的指标。 利用第一问中所得到的各年龄鱼数量随 时间的关系，以鱼群生产能力未受到太大破坏的指标为约束条件，5 年总捕捞量 最大为目标函数，建立非线性规划模型，运用 LINGO 软件求得当 3 龄鱼、4 龄鱼
é2 ù t Î ê ,1 ú êë 3 úû
并且，当 t =
- (r +ki ) 2 2 时 x i ( )=x i e 3 (i =3,4) 3 3
2
解得：
4
x i (t ) = x i 其中总产卵量为：
2 - ki -rt e 3
(i = 3, 4)
é2 ù t Î ê ,1 ú êë 3 úû
可得：
x i (t ) = x ie -(r +ki )t (i = 3, 4)
2
é 2ù t Î ê 0, ú êë 3 úû
（2）
- (r +ki ) 2 2 解得， t = 时 x i ( )=x ie 3 3 3 由于每年的捕捞只在 1 月到 8 月进行，且只能捕捞到 3、4 龄鱼，设在微小 的时间段 dt 内，捕捞量为 dfi ，则：
2）第一年末， i 龄鱼的数量等于第一年初高一龄的数量，即： x i (1)=x i +1 (i =1,2) 3）第一年末，3、4 龄鱼的数量之和等于第一年初 4 龄鱼的数量，即： x 3 (1)+x 4 (1)=x 4 故模型可以总结为如下优化模型： max w 3 f3 +w 4 f4
s.t. ì en =x1 ï ï ï ï x1e-0.8 =x 2 ï ï ï ï x e-0.8 =x 3 ï í 2 ï 2k 2k ï - 3 -r - 4 -r ï 3 3 ï x e + x e =x 4 3 4 ï ï ï k =0.42k4 ï ï î 3
图一
捕捞强度系数与总捕捞量
根据图一可以得出：在一定的范围内总捕获量随着捕捞强度的增大而增大； 当超过某一最大之后便随着捕捞强度的增大而减小， 而那最高点即为所求的最高 的年收获量。这与实际吻合的比较好，当过度捕捞时会破坏鱼群生态的平衡。可 见该模型具有一定的合理性，能够为实际生产活动提供一定的参考。
n 4 ：表示 4 龄个体平均产卵量。 ( n 4 =1.109 ´ 105个 )
n ：表示年产卵总量。 fi ：表示每年 i 龄鱼的捕捞数量。 ( 单位：条 )
f ：表示年捕捞总重量。 ( 单位：克 ) ki ：表示 4 龄鱼捕捞强度系数。 ( i =3,4 )
e ：表示卵孵化并成活为 1 龄鱼的成活率。
二 问题分析
本为需要解决的根本问题在于：如何合理的制定捕捞方案既能达到最佳收 益，又能不太大破坏渔场生态系统，实现可持续收获。 对于问题一，在实现可持续捕捞的前提下，得到最大的年收获量。题中所给 的自然死亡率为 0.8（/年）理解为瞬时死亡率。对于 1 龄鱼、2 龄鱼由于不存在 捕捞， 建立鱼群数量与时间的微分方程， 得到 1 龄鱼、 2 龄鱼数量随时间的关系。 对于 3 龄鱼、4 龄鱼，每年前 8 个月不仅要考虑自然死亡率，还要考虑捕捞量； 后四个月只需考虑死亡率，建立鱼群数量随时间的变化关系，得到 3 龄鱼、4 龄 鱼数量随时间的关系。假定产卵在 9 月初集中进行，由于只有 3 龄鱼、4 龄鱼进 行产卵且每年只允许在产卵孵化期前的 8 个月进行捕捞作业。根据 3 龄鱼、4 龄 鱼数量随时间的关系，求得每年产卵前 3 龄鱼、4 龄鱼的数量，这样便可得到该
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年的产卵量，结合成活率便得到年末 1 龄鱼数量。年末后低龄鱼变为高龄鱼，根 据年龄组鱼群条数不变得到约束条件，建立非线性优化模型，运用 MATLAB 便可 求得 3 龄鱼和 4 龄鱼的捕捞强度、年最大捕捞总量。 对于问题二，要求 5 年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，使得 5 年总 收获量最高。假设每年的捕捞强度系数不变。考虑到 5 年后鳀鱼总数量主要取决 于第 1 年初 1 龄鱼的数量， 将 1 龄鱼第 5 年末的数量与第 1 年初数量的变化率较 小作为鱼群生产能力没有受到太大破坏的指标， 利用第一问中所得到的各年龄鱼 数量随时间的关系，建立非线性规划模型，运用 LINGO 便可以求得 5 年最大总捕 捞量、捕捞强度。