最优捕鱼策略问题
最优捕鱼策略
最优捕鱼策略1.问题重述鱼分4个年龄组，各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年），平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3 龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×1011/1.22×1011+n）。
每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业，单位固定时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42∶1。
建立数学模型分析如何实现可持续捕捞，并且在此前提下得到最高的年收获量。
承包捕捞业务5年，已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条）。
应采取怎样的策略才能使总收获量最高。
二、模型假设1、只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入与迁出。
2、各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。
3、所有的鱼都在每年最后的四个月内（后1/3年）完成产卵和孵化的过程，孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼进入一龄鱼组。
4、产卵发生于后四个月之初，产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后，5、相龄两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，也就是说，第K年底第i年龄组的鱼的条数等于第K+1年初第i+1年龄组鱼的条数。
6、四龄以下的鱼全部死亡7、采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数，比例系数为捕捞强度系数。
三、符号说明x i(t)——t时刻i年龄组的鱼群的大小r——鱼的平均自然死亡率f i——i年龄组鱼的产卵率t——时间（以年为单位）W i——i年龄组鱼的平均重量Q i——i年龄组的捕捞强度系数X i(t) (i=1,2,3,4)为某一时间段i龄鱼的数量；n为产卵总量;dX i(t)/dt是某一时间段i龄组鱼群的数量的增长率；G为捕鱼量;K3为3龄鱼捕捞强度系数；K4为4龄鱼捕捞强度系数；F(t)为某一时间段的捕捞量;M为孵化存活率；四、模型的建立于求解固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞量的模型dx i(t)/dt=-rx i(t)k≤t＜k+1,i=1,…,k=0,1,2, …x i(0)=x i,x i+1(k+1)=x i-(k+1)=lmt t→k+1 x j(t)x1(k+1)=1.22×1011x0(k+t)/[1.22×1011+x0(k+j)],x0(k+t)=0.5Ax3(k+ t)+Ax4(k+ t)由题设知捕捞期为k≤t＜k+t故有模型dx i(t)/dt=-rx i-q i(E)x i, k≤t＜k+tdx i(t)/dt=-rx i k+t≤t＜k+1x i(0)=x i,x i+1(k+1)=x i-(k+1) i=1 ,2,3, k=0,1,2…; x1(k+1)=1.22×1011x0(k+t)/[1.22×1011+x0(k+t)],x0(k+t)=0.5Ax3(k+t)+Ax4(k+t)单位时间第i年龄组鱼的捕捞量（条数）y i(t)=q i(E)x i(t), k≤t＜k+t第K年全年（八个月）第i年龄组鱼的捕捞量（条数）Y i(k)= ⎰tidt)t(y=⎰t0iidt)t(x)E(q=[q i(E)/(r+q i(E))](1-s t p i E)x i(k)第K年总捕捞量（重量）Y（K）=W3Y3（K）+W4Y4(k)可持续捕捞的模型可持续捕捞的概念意味着，如果每年通过自然死亡，捕捞和产卵繁殖补充，使得鱼群能够在每年年初捕捞开始时保持平衡不变，那么这样的捕捞策略就可以年复一年地一直持续下去，因此可持续捕捞的鱼群应该是模型的平衡解，即模型不依赖于时间的解最优可持续捕捞的努力量E*=17.36最大年捕捞量（重量）Y*=38.87万吨可持续捕捞鱼群的大小（条数）x*1 =119,601,343,172(条) x*2 =53，740，347，635（条）x* 3=24，147，094，734（条）x*4=84，025，418（条）各年龄组鱼群的捕捞率C1=C2=0 C3=89.70%，C4=95.59%五、定期（五年）承包的最优收获最优捕捞努力量E*=17.84被优化的最佳指标值J（E*）=1，477，164，613，075 最优的五年产量Y（E*）=160.5万吨第五年的鱼产量Y（5）=38.17万吨第五年鱼群的年龄构成X1=119,172,969,564(条) X2=53,612,417,452(条) X3=23,649,689,723(条) X4=71,038,025(条)。
最优捕鱼策略问题
最优捕鱼策略问题摘要本文以最优捕鱼策略为主题，在logistic模型基础上建立了可持续发展捕鱼策略模型,并借助计算机Matlab，运用二分法近似求得了模型最优解。
在此基础上提出了灵敏度函数S，并由此判断死亡率w和捕捞强度E的变化对产量变化的影响。
最后根据实际生产需求，分析死亡率w对最大产量Qm的影响。
对于问题1，我们首先考虑不存在捕捞情况下的模型，再加入捕捞强度分析，最后根据问题1的条件（每年开始捕捞时渔场中各种年龄组鱼群条数不变）建立方程组，得到可持续发展捕鱼策略模型，解得方程组后在w=0.8时绘图得到最大产量Qm=3.8871*10^11。
对于问题2，我们引用了灵敏度函数S(ω,Q),起意义为ω变化率与Q变化率的比值，例如S=0.1，即表示当死亡率变化1%的时候，产量Q变化0.1%。
发现在问题1取得最大产量的情况下，死亡率每增加1%，最大产量减少1.743%。
并给出了不同死亡率w和产量下S的函数。
对于问题3，方法与问题2相似，灵敏度函数S(E,Q)在问题1的情况下，捕捞强度系数E每增加1%，产量Q减少0.0010%。
并给出了不同捕捞强度E和产量Q下S的函数。
对于问题4,我们取不同的死亡率w，得到不同的最大产量Q,利用MATLAB用函数拟合的方法得到了相似度很高的4阶拟合函数Qm（w）仿照问题2求解了灵敏度函数S(E,Qm)，发现了在问题1求得最大产量的时候，死亡率的波动对最大产量的影响是相对较大的。
现实生产中可表现为一段时间内大量鱼群的死亡对渔民的收获量会造成比较大的损失。
为此我们找到了影响较小的点，当把死亡率控制在0.957附近时，鱼群的突然大数目死亡短时间内对渔民造成的损失最小。
对此我们提出了一些策略。
关键词：可持续发展捕鱼策略模型，灵敏度分析，函数拟合，微分方程。
一、问题重述以鳀鱼为例，制定一种最优的捕鱼策略，要求实现可持续捕捞，并且在此前提下得到最高的年收获量，并进一步考虑自然死亡率和捕捞强度系数，提出相关建议。
最优捕捞策略
一、一、问题的重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业）的开发必须适度。
一种合理简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
假设某种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，……，4龄鱼。
各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。
渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。
如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度。
常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。
以及对某承包这种鱼捕捞业务的渔业公司，提出最优捕捞策略。
同时提供了一种可再生资源的开发思路与管理模型。
二、二、问题分析因为通常使用的鱼网只能捕捞3、4龄鱼，所以年收获量（捕捞总重量）是由3、4龄鱼的捕捞条数决定。
由于3、4龄鱼的年捕捞量与其各自的条数成正比（比例系数称为捕捞强度系数k i）,同时按照题意要求：实现可持续收获，即每年开始捕捞时渔场中3、、4龄鱼各自的条数应该是一个固定不变的量，那末年收获量实质是由捕捞强度系数决定的量，因此可以把本题就转化为约束极值问题。
通常情况下，渔业管理以一年为一个周期，则称“捕捞——产卵”为一个周期（每年的1到8月“捕捞”，后4月“产卵”），为满足可持续收获这一约束条件，可将问题看作多阶段。
又因为上一年产卵成活1龄鱼的多少直接影响这一年2龄鱼的多少，这一年2龄鱼的多少直接影响下一年3龄鱼的多少……即各个阶段的各年龄组鱼群的数量存在必然联系，所以依据这些关系，我们可以从“离散”入手建立一系列的方程，然后在此基础上，利用微分方程处理“连续”的情况，逐步求得最优解。
最优捕鱼策略(1)
第二步 得出最终模型 • 根据可持续捕捞的要求, 给出约束条件及其目标函数
最优捕鱼策略(1)
由于每年各龄鱼的演化规律相同，且捕捞模式相
同，综上可得：
第k年底i 龄鱼的数量Ni1(k)对第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k) 的
递推关系
(4最优捕鱼策略(1)
由各龄鱼之间的年龄增长关系,并假定产卵在年底一次完成,利用关系 式(4)得
从而第k+1年初i 龄鱼的数量Ni0 (k+1)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0 (k) 的递
最优捕鱼策略(1)
3rew
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2020/11/17
最优捕鱼策略(1)
最优捕鱼策略(1)
2020/11/17
最优捕鱼策略(1)
（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中
各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高年收获量（捕捞总重 量）。 （2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产 能力不能受到太大破坏。
已 知 承 包 时 各 年 龄 组 鱼 群 数 量 分 别 为 ： 122 ， 29.7 ， 10.1 ， 3.29 （×109条）。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才 能使总收获量最高。
Qk —k年度鱼产卵总量
p —鱼卵的成活率
Mi—第i 龄鱼的平均重量(i=1，2，3，4) Ei —第i 龄鱼的捕捞强度系数 ai —对i 龄鱼的年捕捞量(i=3，4） W—年总收获量，即W=M3a3+M4a4 WW — 5年的总收获量为，即
最优捕鱼策略（A题）
最优捕鱼策略（A题）摘要当今世界，可持续地与自然和谐相处已成为了人们的共同意识。
本文主要寻求一种以针对实现鳀鱼种群的可持续收获为前提的最佳捕捞方案，达到最佳效益，同时为渔业部门制定相关规定提出建议。
对于问题一，运用合理的假设将影响鳀鱼种群数量的因素抽象为自然死亡和捕捞两种，并将自然死亡和捕捞过程理解为瞬时影响，由此建立出微分方程，进而得到各年龄组的鳀鱼数量与时间的关系式。
接着，以题干所述“各种年龄组鱼群条数不变”为约束条件，求捕捞总重量的最大值，即建立一非线性规划模型。
最后，利用Matlab软件求得：鳀鱼捕捞总重量的最大值为11，并且3.865510g求得在取得最大值时，3龄鱼、4龄鱼的捕捞强度分别为7.0021和16.6718。
对于问题二和问题三，在假定自然死亡率和捕捞强度系数变化很小的情况下，先运用微分思想和一定的等式变换，再利用捕捞总重量这一多元函数的一阶偏导函数，分别得出年捕鱼总重量对自然死亡率和对捕捞强度系数的灵敏性函数。
通过分析灵敏度函数的函数值大小，得出自然死亡率对模型的灵敏度不高，捕捞强度系数对模型的灵敏度不太高的结论。
同时，还发现了3、4龄鱼的捕捞强度系数对年收获量的影响程度相同的结论。
对于问题四，在充分分析了影响鳀鱼开发利用经济效益的因素的基础上，通过查阅相关学术文献资料，给出了综合开发利用鳀鱼资源的策略。
关键词：微分方程；非线性规划模型；灵敏度分析；多元函数的偏导数；Matlab 软件；Mathematica软件目录一问题重述 (2)二问题分析 (2)三模型假设与符号说明 (3)3.1 模型假设 (3)3.2 符号说明 (3)四模型建立与求解 (4)4.1 问题一的模型建立与求解 (4)4.1.1 模型的推导 (4)4.1.2 运用Matlab求解模型 (7)4.2问题二的模型建立与求解 (9)4.2.1 模型的推导 (9)4.2.2 对模型输出结果的分析 (9)4.3问题三的模型建立与求解 (10)4.3.1 模型的推导 (10)4.3.2 对模型输出结果的分析 (11)4.4问题四的解答 (12)五模型的优缺点 (13)5.1 模型的优点 (13)5.2 模型的缺点 (13)六参考文献 (13)七附录 (14)7.1 求解第一问模型的Matlab源代码 (14)一 问题重述假设鳀鱼分四种年龄组，称为1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼。
最优捕鱼策略_数学建模
精心整理西安邮电大学（理学院）数学建模报告摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。
问题一采用条件极值列方程组的方法求解，即1龄鱼的数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年1龄鱼，2龄鱼生长而来；4龄鱼由上一年的3龄鱼和上一年末存活的4龄鱼组成。
最后得到：只要每年1-8月份3、4龄鱼捕捞总量小于、，就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的对象主要是3龄鱼，当3龄与4龄鱼的捕捞系数发生变化时，总的捕捞量变化不大。
???问题二给出年初各龄鱼的数量，要求在5年后鱼群的生产能力没有受到太大条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。
二、模型假设1、这种鱼分为四个年龄组：1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼；2、各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07克,11.55克,17.86克,22.99克；3、各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；m……i龄鱼每条鱼的平均重量in……9月底该种鱼总共产卵数量*n……卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量k……对i龄鱼活鱼的捕捞强度系数i四、问题分析针对问题一：如何在满足可持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量），文中给出各龄鱼在年底转化的具体情况：1龄鱼数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来；4龄鱼是由上一年段3龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长的和原有的4龄鱼组成的，并且规定只在每年的前八个月出船捕捞。
那么根据以上信息我们可以建立动态整型规划模型，即以每年的前八个月作为动态规划中的8种状态，在满足文中的可持续捕捞的约束条件下，先确定这前八个月中，每个月的捕捞量，最后求得这八个月总捕捞量的最大值；当然我们还可以建立微分方程模型，把每一龄鱼的数量变化看成是随时间连续变化的，将每一龄鱼的初始数量减去第八个月末的数量⎪⎩⎪⎨≤≤-=---129,1,1,1,,j c x x i j i j i i i j i j i 这个等式说明了该模型中我们把每一个月看做一个时间单位，鱼的数量随时间的变化是离散的，当每个月月初各龄鱼的数量固定时，该月要捕捞的总的活鱼数量也就固定了。
最优捕鱼策略
(8)
由于捕捞被看成连续的作业，因此捕捞总收获量即年
收获量可以用t 时刻的捕捞量s(t)关于t 在捕捞期内的积分,
H s( t )dt
0
2 3
(9)
要求最高的年收获量，即求H的最大值。
6) 四龄鱼在年末进行的两个假设
(1)4龄鱼在年末与鱼群总数量相比十分微小，它们既
不产卵，又不会被捕捞。可以将它们忽略不计，令其退出 系统。 (2)未死亡的4龄鱼在年末的各个特征（重量、产卵个 数等）均不发生改变，即仍会到4龄鱼组中。
捕捞时渔场中各年龄组鱼群条
数不变），并在此前提下得到
最高的年收获量（捕捞总量）。 2.某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5 年后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各
年龄组鱼群数量分别为：122，29.7，10.1,3.29(109条),
如果固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才
t [0,1], t [0,1], t [0, 2 ], 3 t [ 2 ,1], 3 t [0, 2 ], 3 t [ 2 ,1]. 3
xi , j 1 (1) xi 1, j (0)
j 2, 3,4.
模型一：令每一年的捕捞强度系数为一固定值，即 k=ki;这样与问题一相似，利用一元函数求最值得方法，可 得到Hmax=1.605×106(吨），捕捞强度系数k=17.58。
题目已假定捕捞强度系数k一定，且只在捕捞期内(即
每年的前八个月）捕捞3、4龄鱼，因此只会影响3、4龄鱼
鱼群的数量，而不会影响其它的鱼群数量。我们可以看到
3、4 龄鱼鱼群的数量在捕捞期内不仅与k有关，而且还与 死亡率a有关，类似于1）的分析，可以得到3龄鱼鱼群(前 8个月）的数量变化规律
最优捕鱼问题
最优捕鱼策略优化模型摘要“最优捕鱼策略” 的数学模型通过鱼在单位时间内的死亡率来年调整捕鱼强度系数对现有的鱼进行捕捞并获取最大的产量。
由于鱼的生长具有周期性，每一种鱼的数量的改变对整个循环都有影响，因此必须综合考虑，以使每个种年龄段的鱼的数量不破坏的情况下的到最大产量，利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。
问题一：根据已经掌握的人口模型，将鱼的死亡同人口增长联系起来，每种鱼的死亡也有相应的关系，从开始到一个循环的结束，死亡量由大到小，而死亡率保持不变。
通过对死亡率的分析讨论发现)()(t x k r dtdx+-= 经过不定积分可知tk r t e x x )()0()(+-=在此基础上对死亡和捕获量进行综合分析，从而避开了考虑具体的谁先谁后的问题。
通过使用了非线性等式的约束来实现可持续收获，采用了微分方程和非线性规划方法来解决该优化问题。
利用了MATLAB 软件工具求的每年年初的各年龄组鱼的量、最大捕捞量和捕捞强度系数。
得到了各年龄组鱼群的年初的量分别为111019599.1⨯，1110537395.0⨯，,102414672.011⨯7103959.8⨯（单位为条）。
最优的捕捞强度系数为四龄鱼的捕捞强度系数：()年/136279.174=k ，最大量为111088708.3max ⨯=（克）。
在第二问中，模型中通过对鱼群的循环周期考虑可知四年一个循环但模型中将5年作为一个周期来建立模型，这样可以得到最大捕捞量，综合题目一中的模型最终捕在保证破坏最少的情况下的最大产量，由于捞强度系数为未知量，在实现5年后鱼群的生产能力不受到太大破坏的前提下，通过最后一年的量与初始量相等建立模型并利用MATLAB 软件进行求解，求出最大捕捞量，收获的最大量。
求得的捕捞强度系数分别为18.217266（1/年），总收获量为1210604751.1⨯ 克，即160.4751万吨。
关键词：微分方程. 最大捕捞量. 捕捞强度系数. 死亡率. 非线性规划一.问题的提出（略）二.问题分析该问题是一个涉及到微分方程的优化问题，初步分析为非线性规划问题。
最优捕鱼策略原稿
最优捕鱼策略原稿捕鱼作为一项常见的娱乐活动，已经成为许多人闲暇时消遣的选择。
然而，对于那些希望在捕鱼中获得最佳结果的人来说，制定一种最优捕鱼策略是非常重要的。
以下为一些关键的策略，可以帮助提高捕鱼的成功率。
1.了解目标鱼种：不同的鱼类有着不同的特点和习性。
因此，在捕鱼之前，首先要了解目标鱼种的喜好、聚集地以及食物偏好。
这将有助于找到更多的目标鱼，并提高捕获的概率。
2.选择合适的钓具：根据目标鱼种的大小和习性，选择合适的钓具对成功捕鱼至关重要。
如果目标鱼种较大而有力，选择一根更坚固的渔杆和更强大的渔线是必要的。
另外，鱼饵的选择也是一项关键决策，只有符合目标鱼种的偏好，才能吸引它们上钩。
4.运用适当的技巧：在捕鱼过程中运用适当的技巧是非常重要的。
例如，使用正确的投掷技巧可以使鱼饵更加准确地落入目标位置。
此外，在操作钓杆和渔线时要注意技巧，保持稳定和平稳的动作，以提高捕鱼的概率。
5.尊重渔业法规：为了保护渔业资源和环境，许多地区都设有相关的渔业法规和限制。
在进行捕鱼活动时，要了解和遵守当地的渔业法规，遵循合理的捕鱼限额和尺寸限制。
只有通过遵守法规，才能保护渔业资源的可持续性并促进保护生态平衡。
6.保持耐心和冷静：捕鱼是需要耐心和冷静的活动。
有时鱼儿不一定会立刻上钩，这时候保持耐心是非常重要的。
遇到挫折时，要保持冷静，分析原因并尝试调整策略，而不是仓促行事。
最后，捕鱼策略的最重要的一点是享受过程。
不论是单独垂钓还是与朋友家人一起垂钓，都要专注于过程的乐趣和享受，而不仅仅局限于对捕鱼结果的追求。
总之，最优捕鱼策略需要综合考虑多种因素，包括了解目标鱼种、选择合适的钓具、确定合适的时间和地点、运用适当的技巧、遵守渔业法规以及保持耐心和冷静。
通过制定最优的捕鱼策略，我们可以提高捕获的概率并获得更好的捕鱼体验。
最优捕鱼问题策略
最优捕鱼策略问题捕鱼问题【摘要】当今社会的发展越来越多的依赖于节约资源，保护环境。
而在渔业生产方面，采取何种捕捞生产策略以实现渔业的可持续发展关系重大，因此有必要进一步的研究最优的捕鱼策略既兼顾鱼类的可持续收获又达到最大的经济收益。
针对问题一,由题目给定的条件及查阅的相关资料作出基本假设，并依据假设与已知数据作出微分方程模型，得出描述各龄鱼的数量与时间的关系式，并通过鱼的产卵孵化及生长条件进一步得出鱼在各个时刻的数量。
由以上关系式及积分计算出捕捞量函数。
以捕捞量最大作为优化目标，以各龄鱼的数量关系方程作为约束条件及可得到一个非线性的数学规划模型。
用MATLAB，软件进行编程求解即可得到符合要求的各龄鱼数量以及最大捕捞量。
结果如下表所示：最大捕捞量Q 3.8871×1011捕捞强度系数l17.35X1(0) 1.1961×1011X2(0) 5.3743×1010X3(0) 2.4148×1010X4(0)8.4266×107针对问题二，题目已经给出各个年龄组鱼的数量的初值，只需设出每年的固定捕捞强度，并由问题1的关系式得出相应的鱼群各年龄组的数量等式作为优化问题的约束条件。
以五年间的捕捞量最大和五年后的鱼群年龄分布与可持续捕捞的鱼群的一龄鱼数量最接近作为优化问题的双目标，并赋予两个目标不同的权重，得到了综合效益评价函数。
并利用MATLAB软件编程求解，得出最优的捕捞强度系数。
当权重120.5c c==时，121.604910Q=×。
最后，针对已建立的模型及得到的数值计算结果进行分析检验，并结合模型建立、计算求解等过程中遇到的问题评价模型的优缺点，并提出了模型改进与推广建议。
关键词：微分方程多目标非线性规划年自然生存率年捕捞生存率目录1问题重述 (3)1.1问题背景 (3)1.2待解决的问题 (3)2分析假设 (3)2.1问题分析 (3)2.2模型假设 (3)3符号说明 (4)4模型一的建立与求解 (4)4.1问题一的分析 (4)4.2模型一的建立 (5)4.3模型一的求解 (7)5模型二的建立与求解 (8)5.1问题二的分析 (8)5.2模型二的建立 (8)5.3模型二的求解 (9)6模型的检验 (10)6.1模型一的检验 (10)6.2模型二的检验 (10)7模型的评价 (11)7.1模型的优点 (11)7.2模型的缺点 (12)8模型的改进与推广 (12)8.1模型的改进 (12)8.2模型的推广 (12)9参考文献 (12)10附录 (12)10.1附录1（问题一程序代码） (12)10.2附录2（问题二程序代码1） (13)10.3附录3（问题二程序代码2） (13)1问题重述1.1问题背景为了保护自然环境，使自然资源达到最优配置以实现可持续发展，在给定的条件下研究一种合理的捕鱼策略势在必行。
最优捕鱼策略的研究（1）
最优捕鱼策略的研究摘要建立决策优化模型，在保证“持续捕捞”的前提下，使捕捞量达到最大。
分析过程中，我们深度分析了自然死亡率与捕捞强度系数，将捕捞强度系数视为捕捞死亡率，给我们解决实际问题带来了很大的方便。
针对问题一，问题一涉及的是渔业管理，即对一固定的渔场如何实现在保证可持续发展的同时得到最大的收益。
我们的基本思路是：考虑鱼类生灭过程中两个相互制约的因素，捕捞能力与自然死亡造成的减少量和产卵孵化成功的增长量，从而确定在什么样的约束条件下进行最优规划。
我们用微分方程来描述鱼群数量随时间变化的动态特征规律，在此基础上用年捕捞总量作为目标函数，以稳定性可持续发展作为约束条件进行最优捕鱼的非线性规划。
针对问题二，问题二讨论的是各年龄组的自然死亡率对收获量的影响。
自然死亡率不会是一成不变的。
我们的思路是分别对各个年龄组鱼群的自然死亡率做灵敏度分析。
将自然死亡率看成变量重新建模进行最优规划，利用LINGO求值列表MATLAB 画图的方式将一表两图展示出来得出初步的分析结果。
利用衡量相对改变量的办法对新目标函数求导算出敏感度。
再根据四种鱼不同的敏感度得出不同年龄鱼群自然死亡率对最大年收获量以及最优捕鱼强度系数的影响。
针对问题三，问题三研究的是不同的捕捞系数对年收获量的影响，我们的想法是在死亡率为0.8的前提下，求出年收获量与捕捞强度系数之间的函数关系式，同样利用LINGO求值列表，再用MATLAB拟合出图象，利用衡量相对改变量的办法算出年收获量对捕捞强度系数的敏感度，进而得出捕捞强度系数的变化对年收获量的影响关系。
针对问题四，问题四要求我们对渔业发展部门提出鳀鱼捕捞策略建议。
我们首先查阅相关资料，得到现实情况下的鳀鱼死亡率、鳀鱼资源储存量等相关数据，了解鳀鱼资源发展现状，并结合我们所建立的最优捕鱼策略模型对渔业管理部门提出相应建议以保证鳀鱼资源的可持续发展和人类经济效益的最大化。
关键词：捕捞强度系数、死亡率、年最大收获量、最优解、灵敏度分析、LINGO⒈问题的重述随着人口的发展，人类对资源巨大需求和大规模开采消耗已导致资源基础的退化。
最优捕鱼策略原稿
最优捕鱼策略原稿在捕鱼游戏中，深入研究和掌握最优捕鱼策略是非常重要的。
这将帮助玩家提高捕鱼效率，最大化收益。
下面将介绍一些常用的最优捕鱼策略。
1.鱼群分析在开始游戏之前，玩家应该仔细观察鱼群的分布和行为习惯。
通常来说，不同种类的鱼群在不同的水域和深度中出现。
一些稀有鱼种可能只出现在特定的时间和地点。
通过分析鱼群的分布，玩家可以选择最佳的捕鱼点。
2.利用技能道具游戏中通常会提供各种技能道具，如加速器、锁定器等。
玩家可以根据当前情况选择使用合适的道具。
例如，当有大量的鱼从不同方向游过时，可以使用加速器来追赶和捕捉尽可能多的鱼。
而当有一种稀有鱼在附近出现时，可以使用锁定器保证捕获的准确性。
3.注意合理的瞄准和开火在捕鱼游戏中，精确的瞄准和准确的开火是关键。
不同种类的鱼有着不同的血量和价值。
一些大型和稀有的鱼可能需要多次射击才能捕捉到。
因此，在选择目标之前，玩家应该考虑鱼的血量和价值，并选择最合适的武器和开火方式。
4.多人合作一些捕鱼游戏提供了多人模式，玩家可以与其他玩家合作来捕捉鱼群。
合作可以提高捕鱼效率，同时也可以减少竞争压力。
通过与队友之间的配合，玩家可以选择分工合作，将捕鱼策略最大化。
5.持续学习和改进技巧捕鱼游戏是一个技巧活，玩家应该在游戏中不断学习和改进自己的技巧。
通过观察其他玩家的策略和经验，玩家可以发现新的捕鱼技巧。
此外，一些游戏平台还提供了捕鱼技巧教程和讨论区，玩家可以通过参与讨论来分享和学习经验。
在最优捕鱼策略的基础上，也需要注意一些常见的陷阱和误区。
例如，有些玩家可能会盲目追求高价值的鱼类，而忽略了捕获其他鱼类的机会。
另外，一些玩家也可能会过度依赖技能道具，忽视了自身的技巧提升。
因此，在制定捕鱼策略时，玩家应该避免这些陷阱，综合考虑各种因素。
在游戏中，最优捕鱼策略的实践需要积累经验和路径探索。
通过不断尝试和调整策略，玩家可以逐渐提升自己的捕鱼效率和技巧。
同时，也要保持耐心和冷静，在游戏中享受捕鱼的乐趣。
最优捕鱼策略问题
最优捕鱼策略问题摘要问题一，我们考虑渔场生产过程中的各年龄组鱼群数量的制约因素,将其分为两大类，第1，2龄鱼群为一类，该鱼群数量变化只受自然死亡率制约;第3,4龄鱼群为一类,其数量变化在前8个月受捕捞强度和自然死亡率影响，后4个月只受自然死亡率的制约；可写出在某时刻各鱼群的数量表达式.捕捞只在前8个月进行,则年捕捞量为前8个月各时刻鱼群数量的积分。
最后建立年总捕捞量的函数与生产过程中满足的关系式，转化为非线性规划模型，利用matlab 软件求解。
问题二，我们利用问题一中所得到的迭代方程,可迭代地求出第i 年初各年龄组鱼群的数量；再根据问题一中的捕捞量表达式，可写出5年的捕捞总量表达式，以5年捕捞总量最大为前提，利用matlab 软件求解出此时的捕捞强度，然后再验证在此捕捞强度下会不会使5年后鱼群的生产能力有太大的破坏.最后得出以下结论：可持续捕获条件下，捕捞强度为17。
36时，达到最大捕捞总质量g 1088.311⨯； 5年后鱼群的生产能力不会有太大的破坏条件下,捕捞强度为()17.5,17.8k ∈,达到最大最大捕捞总质量g 1064.112⨯。
关键词：渔业；最大收益；捕捞策略；生产能力；生长率；matlabOptimal Fishing StrategyABSTRACTOne problem，meet the function of integral quantity expressions; we consider fisheries production process in the age group of fish number of constraints，it is divided into two major categories，on the 1st and 2nd instar fish as a class, the number of fish change only by natural mortality rate control; the 3,4 years old fish as a class，the number of changes in the first eight months of fishing intensity and natural mortality, after 4 months only by natural mortality constraints can be written in a moment the fish. Fishing only in the first eight months, then the annual catches in the first eight months each time stocks。
最优捕鱼策略
其中 n3 , n4为可持续捕获条件下鱼 群的数量.
据以上分析,我们可得如下承包期总产量模型:
max Z max{ MM Y },Leabharlann 其中MM M i为五年产量之和
i 1 5
据以上分析,我们可得如下承包期总产量模型:
max Z max{ MM Y }, 其中MM M i
k k k k 利用ni(0 ) ni(0 1) , 也即ni(0 ) , ni(1 ) , Q ( k )等与时间k无关, 化简得
max M max{ m3 3 m4 4 }
2 2 ( 3r 3 ) ( r 4 ) DQ 3 n10 , n40 e n10 e 3 n40 DQ s.t . 2 2 2r 3 4 3 Q 28553.4e n10 57106.8e 3 n40
另外,由图5可以看出,捕捞重量是β4的单峰函数,故我 们可知盲目增大捕捞强度并不能导致捕获量的增加.
1 n10 (1 )D f ( 4 ) (1 28553.4 n30e
2 2r 3 3
1 57106.8 e
2 2 3r 3 4 3 3 2 r 4 3
最佳捕鱼策略问题(96A题)
为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如 渔业,林业资源)的开发必须适度,一种合理、简化的策 略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或 最佳效益。 考虑对某种鱼(鳀鱼 )的最佳捕捞策略: 假设这种鱼分4个年龄组,称1龄鱼,…,4龄鱼,各年 龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07, 11.55, 17.86, 22.99(克),各年龄组鱼的自然死亡率均为 0.8(1/年), 这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵 量为 1.109×105(个),3龄鱼的产卵量为这个数目的一 半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期在每年的最后 4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产 卵量 n 之比)为 1.22 ×1011 /(1.22 ×1011+ n).
最优捕鱼问题
结果分析： 结果分析： 捕捞强度在区间（17.5,17.8）内时， 捕捞强度在区间（17.5,17.8）内时， 总捕捞量达到最大值1.6056 1.6056* 总捕捞量达到最大值1.6056*1012，在 这种捕捞强度下， 年后1 这种捕捞强度下，5年后1龄鱼数量占 第一年1龄鱼数量的比例为98% 98%， 第一年1龄鱼数量的比例为98%，即可 认为生产能力没有受到太大破坏。 认为生产能力没有受到太大破坏。因 求解出的结果即为最优捕鱼策略。 此，求解出的结果即为最优捕鱼策略。
单位时间内捕捞量与各年龄组鱼群 条数的比例系数，由于只能对3,4 条数的比例系数，由于只能对3,4 龄鱼进行捕捞， 龄鱼进行捕捞，并且只在捕捞期内 进行捕捞。 进行捕捞。所以捕捞强度系数影响 3,4龄鱼在前 个月内的数量变化： 龄鱼在前8 了3,4龄鱼在前8个月内的数量变化： 设K4=k, 则K3=0.42k 故有 dt= (t),i d Ni(t)/dt=-(r+ki)Ni(t),i=3,4 (2)
问题一模型
1.可知1,2龄鱼的生长只受自然死亡率的影响， 1.可知1,2龄鱼的生长只受自然死亡率的影响，由 可知1,2龄鱼的生长只受自然死亡率的影响 此可知1,2龄鱼的生长的微分方程满足方程（ 1,2龄鱼的生长的微分方程满足方程 此可知1,2龄鱼的生长的微分方程满足方程（1）： d Ni(t)/dt=-r Ni(t), i=1,2 (5) dt= 可得： 可得： Ni(0)=N0e-rt,i=1,2 每年年初i 年的i龄鱼在T 每年年初i龄鱼的数量 T年的i龄鱼在T +1年变为i+1龄鱼 则有， 年变为i+1龄鱼， +1年变为i+1龄鱼，则有， Ni+1(T+1)=e-rNi(T) (6)
最优捕鱼策略
1996年A题最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
考虑对某种鱼（鯷鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，…，4龄鱼。
各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年龄组鱼自然死亡率均为0.8（1/年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109⨯105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵。
产卵和孵化期为每年的最后3个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22⨯1011/(1.22⨯1011 +n)。
渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。
如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。
通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。
2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。
已知承包时各年龄组的鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（⨯109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.基本假设:1、鱼群生活在稳定的环境中，不考虑鱼群的迁入和迁出，也不考虑鱼群的空间分布；2、 1龄鱼、2龄鱼、3龄鱼、4龄鱼均可以在一年即一个周期的任意时间内死亡；3、成活的i龄鱼(i=1,2,3)每经过一年即一个周期变为(i+1)龄鱼，而4龄鱼不变；4、假设相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第T年底第i年龄组的鱼的条数等于第T+1年初第i+1年龄组的鱼的条数；5、各年龄组鱼的平均重量和自然死亡率稳定，不考虑由于饲养技术、环境等因素引起变化；6、只考虑采用固定努力量捕捞方式下的捕捞策略。
最优捕鱼策略模型
求解 (1) (2) (3)式 ,得到 :
fi ( t) = e - kt fi ( 0) , i = 1, 2,
fi ( t) =
e-
( k + xi) t fi ( 0) ,
( 0 ≤ t≤
2 3
)
e- k(t-
2 3
)
fi (
2 3
),
(
2 3
≤ t≤1 )
可求得
fi (
2 3
)
= e-
2 3
nj:第 j年产卵总数量 ;
η j
=
1.1.2222××1100111η1 j为第
j年卵的存活率 。
2. 问题分析 。
问题一 :要求在可持续捕捞的基础上 ,实现年捕捞重量最大 。在鱼
的重量一定的情况下 ,捕捞量由 3龄鱼和 4 龄鱼捕捞的数量 (即题目中
的捕捞强度系数 )确定 ,另外还需要求出各年龄组的鱼的数量 。这里设
问题二 :这里同样需要求最大捕捞量 ,注意到这里仍然是固定努力
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四 符号说明
t ：表示时刻。 T ：表示年份。 (T =1, ,6)
x i (t ) ：表示 t 时刻 i 龄鱼的数量。 ( i =1,2,3,4 )
x i ：表示初始时 i 龄鱼的数量。 ( i =1,2,3,4 ) wi :表示 i 龄鱼个体平均重量。 ( 单位：克 / 条 )
r ：表示各年龄鱼的自然死亡率。 (r = 0.8)
关键词：最优捕鱼；微分方程；非线性优化模型；LINGO 软件；MATLAB 软件
1
一 问题重述
1.1 问题背景 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开 发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大 产量或最佳效益。 考虑对鳀鱼的最优捕捞策略： 假设这种鱼分 4 个年龄组，称为 1 龄鱼，2 龄鱼，3 龄鱼，4 龄鱼。各年龄 组每条鱼的平均重量分别为 5.07，11.55，17.86，22.99（克） ，各年龄组的自 然死亡率为 0.8（/年） ，这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条 4 龄鱼的产卵 量为 1.109 ´ 105 （个） ，3 龄鱼的产卵量为这个数的一半，2 龄和 1 龄鱼不产卵， 产卵和孵化期为每年的最后 4 个月，卵孵化并成活为 1 龄鱼，成活率（1 龄鱼条 数与产卵量 n 之比）为 1.22 ´ 1011 ( 1.22 ´ 1011 + n ) 。 1.2 问题描述 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的 8 个月进行捕捞作业。如 果每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞 量将与各年龄组鱼群条数成正比， 比例系数不妨称捕捞强度系数。 通常使用 13mm 网眼的拉网， 这种网只能捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼， 其两个捕捞强度系数之比为 0.42∶ 1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年 龄组鱼群条数不变） ，并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量） 。 2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务 5 年，合同要求 5 年后鱼群的生产能 力不能受到太大破坏。 已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为： 122， 29.7， 10.1， 3.29（´109 条） ，如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才 能使总收获量最高。
三 模型假设
1）该鱼场的鳀鱼生态系统是独立的生态系统，不受其他生态系统的影响。 2）鳀鱼各年龄组的自然死亡率已经包含了鳀鱼群体与其他生物之间的竞争。 3）各年龄组的鱼经过一年后即进入高一年龄组，4 龄鱼经过一年后仍为 4 龄鱼。 4）不考虑水质污染、气候异常等自然灾害对鳀鱼生长的影响。 5）3 龄鱼、4 龄鱼在 9 月初集中产卵。 6) 问题二中，假设五年 3、4 龄鱼的捕捞强度系数相同。
5.1.2 模型求解与结果分析 代入相关数据，由式 (1) (6) ，运用 MATLAB 求解得到：3 龄鱼、4 龄鱼的 捕 捞 强 度 系 数 分 别 为 k3 = 7.51 、 k4 = 17.88 ， 此 时 捕 捞 总 重 量 最 大 为 ：
f = 3.87 ´ 1011(g) ；对应的各年龄段鱼群数量见表一：
2
年的产卵量，结合成活率便得到年末 1 龄鱼数量。年末后低龄鱼变为高龄鱼，根 据年龄组鱼群条数不变得到约束条件，建立非线性优化模型，运用 MATLAB 便可 求得 3 龄鱼和 4 龄鱼的捕捞强度、年最大捕捞总量。 对于问题二，要求 5 年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，使得 5 年总 收获量最高。假设每年的捕捞强度系数不变。考虑到 5 年后鳀鱼总数量主要取决 于第 1 年初 1 龄鱼的数量， 将 1 龄鱼第 5 年末的数量与第 1 年初数量的变化率较 小作为鱼群生产能力没有受到太大破坏的指标， 利用第一问中所得到的各年龄鱼 数量随时间的关系，建立非线性规划模型，运用 LINGO 便可以求得 5 年最大总捕 捞量、捕捞强度。
（4）
n = 又卵孵化并成活为 1 龄鱼的成活率为： 1.22ⅹ 1011 e= 1.22ⅹ 1011 + n） （ x1(1) = en 则年末 1 龄鱼的数量为：
2 - (r +k3 ) 0.5n 4x 3e 3
2 - (r +k4 ) + n 4x 4e 3
（5）
（6）
建立非线性规划模型： 目标函数： 使得在该年内捕捞总重量最大，即： max f =w 3 f3 +w 4 f4 约束条件： 1） 第一年末， 由卵孵化并成活为 1 龄鱼的数量等于第一年初 1 龄鱼的数量， 即： en =x1
图一
捕捞强度系数与总捕捞量
根据图一可以得出：在一定的范围内总捕获量随着捕捞强度的增大而增大； 当超过某一最大之后便随着捕捞强度的增大而减小， 而那最高点即为所求的最高 的年收获量。这与实际吻合的比较好，当过度捕捞时会破坏鱼群生态的平衡。可 见该模型具有一定的合理性，能够为实际生产活动提供一定的参考。
é2 ù t Î ê ,1 ú êë 3 úû
并且，当 t =
- (r +ki ) 2 2 时 x i ( )=x i e 3 (i =3,4) 3 3
2
解得：
4
x i (t ) = x i 其中总产卵量为：
2 - ki -rt e 3
(i = 3, 4)
é2 ù t Î ê ,1 ú êë 3 úû
数学建模练习
第 7 次练习
姓名：程涛 胡铭 李冲 题目：最优捕鱼策略问题
最优捕鱼策略问题
摘 要
本文主要解决在在保护自然环境、实现可持续捕捞的前提下，针对鳀鱼提出 合理的捕捞方案以实现最大产量或最佳效益， 同时为渔业部门制定相关规定提出 参考依据。 针对问题一，在实现可持续捕捞的前提下，得到最高的年收获量。将鳀鱼分 为 4 个年龄段，分别建立微分方程，得到各龄组鳀鱼数量与时间的关系式，再以 每年开始时渔场中各年龄组鱼群条数不变为约束条件， 以总捕捞量最大为目标函 数，建立非线性规划模型，运用 MATLAB 软件求得当 3 龄鱼、4 龄鱼的捕捞强度
二 问题分析
本为需要解决的根本问题在于：如何合理的制定捕捞方案既能达到最佳收 益，又能不太大破坏渔场生态系统，实现可持续收获。 对于问题一，在实现可持续捕捞的前提下，得到最大的年收获量。题中所给 的自然死亡率为 0.8（/年）理解为瞬时死亡率。对于 1 龄鱼、2 龄鱼由于不存在 捕捞， 建立鱼群数量与时间的微分方程， 得到 1 龄鱼、 2 龄鱼数量随时间的关系。 对于 3 龄鱼、4 龄鱼，每年前 8 个月不仅要考虑自然死亡率，还要考虑捕捞量； 后四个月只需考虑死亡率，建立鱼群数量随时间的变化关系，得到 3 龄鱼、4 龄 鱼数量随时间的关系。假定产卵在 9 月初集中进行，由于只有 3 龄鱼、4 龄鱼进 行产卵且每年只允许在产卵孵化期前的 8 个月进行捕捞作业。根据 3 龄鱼、4 龄 鱼数量随时间的关系，求得每年产卵前 3 龄鱼、4 龄鱼的数量，这样便可得到该
2.39 ´ 1011 、 2.2 ´ 1011 g 、 的捕捞强度分别为 7.38、 17.58 时， 每年的捕捞量约为：
4.05 ´ 1011 g 、 3.87 ´ 1011 g 、 3.9 ´ 1011 g 。 此 时 5 年 捕 捞 总 量 最 大 约 为 ：
1.6 ´ 1012 g ，并且得到每年初各年龄组鱼群数量见表三。
3
五 模型建立与求解
5.1 问题一模型建立与求解 5.1.1 模型建立 由题已知 w 3 =17.86g 、 w 4 =22.99g 。并且对 1、2 龄鱼不能进行捕捞，其生 长只受自然死亡率的的影响。而题目中所给的各年龄组的自然死亡率为 0.8（/ 年） ，将死亡率理解为瞬时死亡率。由此求得 1、2 龄鱼的生长微分方程： dx i (t) = rx i (t ) (i = 1, 2) dt 并且，当 t = 0 时 x i (t )=x i (i =1,2) 。
可得：
x i (t ) = x ie -(r +ki )t (i = 3, 4)
2
é 2ù t Î ê 0, ú êë 3 úû
（2）
- (r +ki ) 2 2 解得， t = 时 x i ( )=x ie 3 3 3 由于每年的捕捞只在 1 月到 8 月进行，且只能捕捞到 3、4 龄鱼，设在微小 的时间段 dt 内，捕捞量为 dfi ，则：
6.95 ´ 107 分别为 7.51、 17.88 时， 捕捞 3 龄鱼、 4 龄鱼对应的条数为 2.17 ´ 1010 、
条，此时捕捞总量最大为： 3.87 ´ 1011 g 。并且得到年初各年龄组鱼群的条数分 别为 1.19 ´ 1011 、 5.36 ´ 1010 、 2.41 ´ 1010 、 7.26 ´ 107 条。 针对问题二，要求 5 年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，使得 5 年总 收获量最高。 以 1 龄鱼第 5 年末的数量与第 1 年初数量的相对误差小于 10% 作为 鱼群生产能力没有受到太大破坏的指标。 利用第一问中所得到的各年龄鱼数量随 时间的关系，以鱼群生产能力未受到太大破坏的指标为约束条件，5 年总捕捞量 最大为目标函数，建立非线性规划模型，运用 LINGO 软件求得当 3 龄鱼、4 龄鱼
2）第一年末， i 龄鱼的数量等于第一年初高一龄的数量，即： x i (1)=x i +1 (i =1,2) 3）第一年末，3、4 龄鱼的数量之和等于第一年初 4 龄鱼的数量，即： x 3 (1)+x 4 (1)=x 4 故模型可以总结为如下优化模型： max w 3 f3 +w 4 f4
s.t. ì en =x1 ï ï ï ï x1e-0.8 =x 2 ï ï ï ï x e-0.8 =x 3 ï í 2 ï 2k 2k ï - 3 -r - 4 -r ï 3 3 ï x e + x e =x 4 3 4 ï ï ï k =0.42k4 ï ï î 3