数学分析(1)期末试题A

山东师范大学2007-2008学年第一学期期末考试试题

（时间：120分钟 共100分）

课程编号： 4081101 课程名称：数学分析 适用年级： 2007 学制: 四 适用专业：数学与信息试题类别： A (A/B/C)

2分，共20分）

1. 数列{}n a 收敛的充要条件是数列{}n a 有界. ( )

2. 若0N ∃>, 当n N >时有n n n a b c ≤≤, 且lim lim n n n n a c →∞

→∞

≠, 则lim n n b →∞

不存在.

( )

3. 若0

lim ()lim ()x x x x f x g x →→>, 则存在 00(;)U x δ使当00(;)x U x δ∈时,有()()f x g x >.

( )

4. ()f x 为0x x →时的无穷大量的充分必要条件是当00(;)x U x δ∈时,()f x 为无界函数.

( )

5. 0x =为函数

sin x

x

的第一类间断点. ( ) 6. 函数()f x 在[,]a b 上的最值点必为极值点.

( )

7. 函数21,0,()0,

0x e x f x x -⎧⎪

≠=⎨⎪=⎩在0x =处可导.

( )

8. 若|()|f x 在[,]a b 上连续, 则()f x 在[,]a b 上连续.

( )

9. 设f 为区间I 上严格凸函数. 若0x I ∈为f 的极小值点，则0x 为f 在I 上唯一的极小值点. ( )

10. 任一实系数奇次方程至少有两个实根. ( )

二、

填空题（本题共8小题，每空2分，共20分）

1. 0

lim x

x x +

→=_________________. 2. 设2

,sin 2x

u e v x ==，则v d u ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

__________________. 3. 设f 为可导函数，(())x y f f e =, 则 y '=_______________. 4. 已知3(1)f x x +=, 则 ()f x ''=_______________. 5. 设 ()sin ln f x x x =, 则()f π'=_______________ .

6. 设21,0,

(),0;

x x f x ax b x ⎧+≥=⎨+<⎩在0x =处可导, 则a =____________ , b =___________________.

7. 曲线arctan y x =在(0,0)处的切线方程为_____ ___，法线方程为 .

8. 设()f x 在0()U x 内1n +阶可导，则()f x 在0x 处带拉格朗日型余项的泰勒公式为_ __ _ 三、

计算题（本题共5小题，第1—4小题每题5分，第5小题10分，共30分） 1. 设3x

y x e =, 试求(6)

y

.

2. 试求由摆线方程(sin ),

(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩

所确定的函数()y f x =的二阶导数.

3. 试求2

()ln(1)f x x =+到6

x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式. 4. 试求极限 0

lim x →1

11x x e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭

. 5. 试求函数3

2

|2912|y x x x =-+在[1,3]-上的最值和极值.

四、

证明题(本题共3小题，每小题10分, 共30分).

1. 证明不等式2

1(0)2

x

x e x x >++

>

2. 设f 为(,)-∞+∞上的连续函数，对所有,()0x f x >，且l im x →+∞

()f x l i m x →-∞

=()0f x =，证明()

f x 必能取到最大值.

3. 若函数()f x 在[0,1]上二阶可导, 且(0)0f =，(1)1f =，(0)(1)0f f ''==，则存在(0,1)c ∈使得|()|2f c ''≥.